Când studiați subiectul expresiilor numerice, literale și expresii cu variabile, este necesar să acordați atenție conceptului valoarea expresiei. În acest articol, vom răspunde la întrebarea care este valoarea unei expresii numerice și ceea ce se numește valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile cu valorile selectate ale variabilelor. Pentru a clarifica aceste definiții, dăm exemple.

Navigare în pagină.

Care este valoarea unei expresii numerice?

Cunoașterea expresiilor numerice începe aproape de la primele lecții de matematică la școală. Aproape imediat, este introdus conceptul de „valoare a unei expresii numerice”. Se referă la expresii formate din numere legate prin semne aritmetice (+, −, ·, :). Să dăm o definiție adecvată.

Definiție.

Valoarea unei expresii numerice- acesta este numărul care se obține după efectuarea tuturor acțiunilor din expresia numerică originală.

De exemplu, luați în considerare expresia numerică 1+2. După executare, obținem numărul 3, este valoarea expresiei numerice 1+2.

Adesea, în expresia „valoarea unei expresii numerice”, cuvântul „numeric” este omis și pur și simplu spun „valoarea expresiei”, deoarece este încă clar ce expresie se referă.

Definiția de mai sus a sensului unei expresii se aplică și expresiilor numerice de formă mai complexă, care sunt studiate în liceu. Aici trebuie remarcat faptul că se pot întâlni expresii numerice ale căror valori nu pot fi specificate. Acest lucru se datorează faptului că în unele expresii este imposibil să se efectueze acțiunile înregistrate. De exemplu, prin urmare, nu putem specifica valoarea expresiei 3:(2−2) . Astfel de expresii numerice sunt numite expresii care nu au sens.

Adesea, în practică, nu este atât expresia numerică cea care interesează, cât valoarea ei. Adică apare sarcina care constă în determinarea valorii acestei expresii. În acest caz, ei spun de obicei că trebuie să găsiți valoarea expresiei. În acest articol, procesul de găsire a valorii expresiilor numerice de diferite tipuri este analizat în detaliu și sunt luate în considerare o mulțime de exemple cu descrieri detaliate ale soluțiilor.

Sensul expresiilor literale și variabile

Pe lângă expresiile numerice, ei studiază expresiile literale, adică expresiile în care sunt prezente una sau mai multe litere împreună cu numerele. Literele dintr-o expresie literală pot reprezenta numere diferite, iar dacă literele sunt înlocuite cu aceste numere, atunci expresia literală devine una numerică.

Definiție.

Numerele care înlocuiesc literele într-o expresie literală sunt numite semnificațiile acestor litere, iar valoarea expresiei numerice rezultate se numește valoarea expresiei literale date fiind valorile literelor.

Deci, pentru expresiile literale, se vorbește nu doar despre sensul expresiei literale, ci și despre sensul expresiei literale pentru valorile date (date, indicate etc.) ale literelor.

Să luăm un exemplu. Să luăm expresia literală 2·a+b . Să fie date valorile literelor a și b, de exemplu, a=1 și b=6. Înlocuind literele din expresia originală cu valorile lor, obținem o expresie numerică de forma 2 1+6 , valoarea acesteia este 8 . Astfel, numărul 8 este valoarea expresiei literale 2·a+b având în vedere valorile literelor a=1 și b=6. Dacă ar fi date alte valori de litere, atunci am obține valoarea expresiei literale pentru acele valori de litere. De exemplu, cu a=5 și b=1 avem valoarea 2 5+1=11 .

În liceu, când studiezi algebra, literele din expresii literale au voie să capete semnificații diferite, astfel de litere se numesc variabile, iar expresiile literale sunt expresii cu variabile. Pentru aceste expresii se introduce conceptul de valoare a unei expresii cu variabile pentru valorile alese ale variabilelor. Să ne dăm seama ce este.

Definiție.

Valoarea unei expresii cu variabile pentru valorile selectate ale variabilelor se numește valoarea unei expresii numerice, care se obține după înlocuirea valorilor selectate ale variabilelor în expresia originală.

Să explicăm definiția sonoră cu un exemplu. Se consideră o expresie cu variabile x și y de forma 3·x·y+y . Să luăm x=2 și y=4 , înlocuim aceste valori variabile în expresia originală, obținem expresia numerică 3 2 4+4 . Să calculăm valoarea acestei expresii: 3 2 4+4=24+4=28 . Valoarea găsită 28 este valoarea expresiei originale cu variabilele 3·x·y+y cu valorile selectate ale variabilelor x=2 și y=4.

Dacă alegeți alte valori ale variabilelor, de exemplu, x=5 și y=0, atunci aceste valori ale variabilelor selectate vor corespunde valorii expresiei cu variabile egale cu 3 5 0+0=0.

Se poate observa că uneori se pot obține valori egale ale expresiei pentru diferite valori alese ale variabilelor. De exemplu, pentru x=9 și y=1, valoarea expresiei 3 x y+y este 28 (pentru că 3 9 1+1=27+1=28 ), iar mai sus am arătat că aceeași valoare este expresia cu variabilele are la x=2 și y=4 .

Valorile variabile pot fi selectate dintre respectivele lor intervale de valori acceptabile. În caz contrar, înlocuirea valorilor acestor variabile în expresia originală va avea ca rezultat o expresie numerică care nu are sens. De exemplu, dacă alegeți x=0 și înlocuiți acea valoare în expresia 1/x, obțineți expresia numerică 1/0, care nu are sens deoarece împărțirea la zero este nedefinită.

Rămâne doar să adăugăm că există expresii cu variabile ale căror valori nu depind de valorile variabilelor lor constitutive. De exemplu, valoarea unei expresii cu o variabilă x de forma 2+x−x nu depinde de valoarea acestei variabile, este egală cu 2 pentru orice valoare aleasă a variabilei x din intervalul ei de valori valide, care în acest caz este mulţimea tuturor numerelor reale.

Bibliografie.

• Matematică: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Formulă

Adunare, scădere, înmulțire, împărțire - operații aritmetice (sau operatii aritmetice). Aceste operații aritmetice corespund semnelor operațiilor aritmetice:

+ (citit " la care se adauga") - semnul operației de adăugare,

- (citit " minus") - semnul operației de scădere,

∙ (citit " multiplica") - semnul operației de înmulțire,

: (citit " divide„) este semnul operațiunii de împărțire.

Se numește o înregistrare formată din numere interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice expresie numerică. Parantezele pot fi prezente și într-o expresie numerică. De exemplu, intrarea 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) este o expresie numerică.

Se numește rezultatul efectuării operațiilor asupra numerelor într-o expresie numerică valoarea unei expresii numerice. Efectuarea acestor acțiuni se numește calcularea valorii unei expresii numerice. Înainte de a scrie valoarea unei expresii numerice, pune semn egal„=". Tabelul 1 prezintă exemple de expresii numerice și semnificațiile acestora.

O înregistrare formată din numere și litere mici ale alfabetului latin, interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice se numește expresie literală. Această intrare poate conține paranteze. De exemplu, intrarea un +b - 3 ∙c este o expresie literală. În loc de litere într-o expresie literală, puteți înlocui diverse numere. În acest caz, semnificația literelor se poate schimba, astfel încât literele din expresia literală sunt numite și variabile.

Înlocuind numere în loc de litere în expresia literală și calculând valoarea expresiei numerice rezultate, ei găsesc valoarea unei expresii literale date fiind valorile literelor(pentru valorile date ale variabilelor). Tabelul 2 prezintă exemple de expresii literale.

O expresie literală poate să nu aibă valoare dacă, prin înlocuirea valorilor literelor, se obține o expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale nu poate fi găsită. O astfel de expresie numerică se numește incorect pentru numere naturale. De asemenea, ei spun că sensul unei astfel de expresii " nedefinit" pentru numerele naturale și expresia în sine "nu are sens". De exemplu, expresia literală a-b nu contează pentru a = 10 și b = 17. Într-adevăr, pentru numerele naturale, minuendul nu poate fi mai mic decât subtraend. De exemplu, având doar 10 mere (a = 10), nu poți oferi 17 dintre ele (b = 17)!

Tabelul 2 (coloana 2) prezintă un exemplu de expresie literală. Prin analogie, completați complet tabelul.

Pentru numerele naturale, expresia 10 -17 greșit (nu are sens), adică diferența 10 -17 nu poate fi exprimată ca număr natural. Un alt exemplu: nu poți împărți la zero, deci pentru orice număr natural b, câtul b:0 nedefinit.

Legile matematice, proprietățile, unele reguli și relații sunt adesea scrise în formă literală (adică sub forma unei expresii literale). În aceste cazuri, se numește expresia literală formulă. De exemplu, dacă laturile unui heptagon sunt egale A,b,c,d,e,f,g, apoi formula (expresia literală) pentru calcularea perimetrului acestuia p se pare ca:

p=un +b+c+d+e +f +g

Pentru a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, perimetrul heptagonului este p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Pentru a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, perimetrul altui heptagon este p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Bloc 1. Dicţionar

Realizați un dicționar de termeni și definiții noi din paragraf. Pentru a face acest lucru, în celulele goale, introduceți cuvintele din lista de termeni de mai jos. În tabel (la sfârșitul blocului), indicați numărul de termeni în conformitate cu numerele cadrelor. Se recomandă să revizuiți cu atenție paragraful înainte de a completa celulele dicționarului.

1. Operatii: adunare, scadere, inmultire, impartire.

2. Semne „+” (plus), „-” (minus), „∙” (înmulțire, „ : " (divide).

3. O înregistrare constând din numere care sunt interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice și în care pot fi prezente și paranteze.

4. Rezultatul efectuării operaţiilor asupra numerelor în termeni numerici.

5. Semnul dinaintea valorii unei expresii numerice.

6. O înregistrare formată din cifre și litere mici ale alfabetului latin, interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice (pot fi prezente și paranteze).

7. Numele comun al literelor în expresia literală.

8. Valoarea unei expresii numerice, care se obține prin înlocuirea variabilelor într-o expresie literală.

9. Expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale nu poate fi găsită.

10. Expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale poate fi găsită.

11. Legi matematice, proprietăți, unele reguli și rapoarte scrise în formă literală.

12. Un alfabet ale cărui litere mici sunt folosite pentru a scrie expresii literale.

Bloc 2. Potrivire

Potriviți sarcina din coloana din stânga cu soluția din dreapta. Scrieți răspunsul sub forma: 1a, 2d, 3b...

Blocul 3. Testul fațetelor. Expresii numerice și alfabetice

Testele fațete înlocuiesc colecțiile de probleme de matematică, dar se compară favorabil cu acestea, deoarece pot fi rezolvate pe computer, pot verifica soluțiile și pot afla imediat rezultatul muncii. Acest test conține 70 de sarcini. Dar puteți rezolva probleme la alegere, pentru aceasta există un tabel de evaluare, care enumeră sarcini simple și altele mai dificile. Mai jos este un test.

1. Dat un triunghi cu laturi c,d,m, exprimată în cm
2. Dat un patrulater cu laturi b,c,d,m exprimată în m
3. Viteza mașinii în km/h este b, timpul de călătorie în ore este d
4. Distanța parcursă de un turist m ore, este cu km
5. Distanța parcursă de un turist care se deplasează cu o viteză m km/h este b km
6. Suma a două numere este mai mare decât al doilea număr cu 15
7. Diferența este mai mică decât cea redusă cu 7
8. O linie de pasageri are două punți cu același număr de locuri pentru pasageri. În fiecare dintre rândurile de punte m scaune, rânduri pe punte n mai mult decât locuri la rând
9. Petya are m ani, Masha are n ani, iar Katya este cu k ani mai mică decât Petya și Masha împreună
10. m=8, n=10, k=5
11. m=6, n=8, k=15
12. t=121, x=1458

1. Valoarea acestei expresii
2. Expresia literală pentru perimetru este
3. Perimetrul exprimat în centimetri
4. Formula pentru distanța parcursă de mașină
5. Formula v viteză, mișcări turistice
6. Formula temporală t, mișcările turistice
7. Distanța parcursă cu mașina în kilometri
8. Viteza turiștilor în kilometri pe oră
9. Timp de călătorie în ore
10. Primul număr este...
11. Scăderea este egală...
12. Expresia pentru cel mai mare număr de pasageri pe care îi poate transporta linia k zboruri
13. Cel mai mare număr de pasageri pe care îi poate transporta un avion de linie k zboruri
14. Expresie scrisă pentru vârsta lui Katya
15. Vârsta Katiei
16. Coordonata punctului B, dacă coordonata punctului C este t
17. Coordonata punctului D, dacă coordonata punctului C este t
18. Coordonata punctului A, dacă coordonata punctului C este t
19. Lungimea segmentului BD pe linia numerică
20. Lungimea segmentului CA pe linia numerică
21. Lungimea segmentului DA pe linia numerică

O expresie numerică este o înregistrare de numere în conjuncție cu operații aritmetice și paranteze. Când variabilele sunt folosite într-o expresie împreună cu numere și întreaga expresie este compusă cu sens, atunci se numește expresie algebrică (literală). Dacă expresia conține funcții trigonometrice directe, derivate, inverse și alte funcții trigonometrice, atunci expresia se numește trigonometrică. Un număr mare de exemple și sarcini care folosesc diverse expresii sunt detaliate în cursul de matematică din școală.

Principalele lucruri de reținut:

1. Valoarea unei expresii numerice va fi numărul obţinut prin efectuarea operaţiilor aritmetice în această expresie. Principalul lucru este să efectuați în mod constant operații aritmetice. Pentru simplitatea întregii operațiuni, pașii pot fi numerotați. Dacă expresia conține paranteze, atunci în primul rând executăm acțiunea corespunzătoare caracterului dintre paranteze. Exponentiarea va fi urmatorul pas. Urmează cu prioritate înmulțirea sau împărțirea, iar abia la sfârșit, adunarea și scăderea.

Acum să găsim valoarea expresiei numerice 5+20*(60-45). Să scăpăm mai întâi de paranteze. Efectuând acțiunea, obținem 60-45=15. Acum avem 5+20*15. Următoarea acțiune este înmulțirea 20*15=300. Și ultima acțiune va fi adunarea, o executăm și obținem rezultatul final 5 + 300 = 305.

2. Într-un unghi cunoscut? Când lucrați cu expresii trigonometrice, veți avea nevoie de cunoștințe despre formulele trigonometrice de bază care vă vor ajuta la simplificarea expresiei. Să aflăm valoarea expresiei cos 12? cos 18? - sin 12? păcatul 18?. Pentru a simplifica această expresie, folosim formula cos (? +?) = cos? ca? - păcat? păcat?, atunci obținem cos 12? cos 18? - sin 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Expresii cu variabile. Trebuie amintit că valoarea unei expresii algebrice depinde direct de variabilă. Variabilele pot fi notate cu litere ale alfabetului grecesc sau latin. Când avem parametrii dați ai unei expresii algebrice, trebuie mai întâi să o simplificăm. După aceea, este necesar să înlocuiți variabilele date și să efectuați operații aritmetice. Ca urmare, cu variabilele date, vom obține un număr, care va fi valoarea expresiei algebrice. Luați în considerare un exemplu în care trebuie să găsiți valoarea expresiei 3(a+y)+2(3a+2y) cu a=4 și y=5. Simplificați această expresie și obțineți 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Acum trebuie să înlocuiți valoarea variabilelor și să calculați, rezultatul obținut va fi valoarea expresiei. Deci avem 9a+7y cu a=4 și y=5 obținem 36+35=71. Rețineți că expresiile algebrice nu au întotdeauna sens. De exemplu, expresia 15:(b-4) are sens pentru orice b, altul decât b =4.

Acest articol discută cum să găsiți valorile expresiilor matematice. Să începem cu expresii numerice simple și apoi vom lua în considerare cazurile pe măsură ce complexitatea lor crește. La sfârșit, dăm o expresie care conține denumiri de litere, paranteze, rădăcini, semne matematice speciale, grade, funcții etc. Întreaga teorie, conform tradiției, va fi furnizată cu exemple abundente și detaliate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cum se află valoarea unei expresii numerice?

Expresiile numerice, printre altele, ajută la descrierea stării problemei în limbajul matematic. În general, expresiile matematice pot fi fie foarte simple, formate dintr-o pereche de numere și semne aritmetice, fie foarte complexe, conținând funcții, grade, rădăcini, paranteze etc. Ca parte a sarcinii, este adesea necesar să găsiți valoarea unei expresii. Cum se face acest lucru va fi discutat mai jos.

Cele mai simple cazuri

Acestea sunt cazurile în care expresia nu conține decât numere și aritmetică. Pentru a găsi cu succes valorile unor astfel de expresii, veți avea nevoie de cunoștințe despre ordinea în care operațiile aritmetice sunt efectuate fără paranteze, precum și de capacitatea de a efectua operații cu numere diferite.

Daca expresia contine doar numere si semne aritmetice " + " , " · " , " - " , " ÷ " , atunci operatiile se efectueaza de la stanga la dreapta in urmatoarea ordine: mai intai inmultirea si impartirea, apoi adunarea si scaderea. Să dăm exemple.

Exemplul 1. Valoarea unei expresii numerice

Să fie necesar să găsim valorile expresiei 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Să facem mai întâi înmulțirea și împărțirea. Primim:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Acum scadem si obtinem rezultatul final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplul 2. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Mai întâi, efectuăm conversia fracțiilor, împărțirea și înmulțirea:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Acum să facem adunarea și scăderea. Să grupăm fracțiile și să le aducem la un numitor comun:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Se găsește valoarea dorită.

Expresii cu paranteze

Dacă o expresie conține paranteze, atunci ele determină ordinea acțiunilor din această expresie. În primul rând, sunt efectuate acțiunile dintre paranteze și apoi toate celelalte. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplul 3. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Există paranteze în expresie, așa că mai întâi efectuăm operația de scădere între paranteze și abia apoi înmulțirea.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Valoarea expresiilor care conțin paranteze între paranteze se găsește după același principiu.

Exemplul 4. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Vom efectua acțiuni începând de la cele mai interioare paranteze, trecând la cele exterioare.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

În găsirea valorilor expresiilor cu paranteze, principalul lucru este să urmăriți succesiunea acțiunilor.

Expresii cu rădăcini

Expresiile matematice ale căror valori trebuie să le găsim pot conține semne rădăcină. Mai mult decât atât, expresia în sine poate fi sub semnul rădăcinii. Cum să fii în acest caz? Mai întâi trebuie să găsiți valoarea expresiei sub rădăcină și apoi să extrageți rădăcina din numărul rezultat. Dacă este posibil, este mai bine să scăpați de rădăcinile din expresiile numerice, înlocuind din cu valori numerice.

Exemplul 5. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei cu rădăcini - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Mai întâi, calculăm expresiile radicale.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Acum putem calcula valoarea întregii expresii.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu rădăcini, este adesea necesar să se transforme mai întâi expresia originală. Să explicăm acest lucru cu un alt exemplu.

Exemplul 6. Valoarea unei expresii numerice

Ce este 3 + 1 3 - 1 - 1

După cum puteți vedea, nu avem capacitatea de a înlocui rădăcina cu o valoare exactă, ceea ce complică procesul de numărare. Cu toate acestea, în acest caz, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Prin urmare:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expresii cu puteri

Dacă expresia conține puteri, valorile acestora trebuie calculate înainte de a continua cu toate celelalte acțiuni. Se întâmplă ca exponentul însuși sau baza gradului să fie expresii. În acest caz, se calculează mai întâi valoarea acestor expresii, apoi valoarea gradului.

Exemplul 7. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Începem să calculăm în ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Rămâne doar să efectuați operația de adunare și să aflați valoarea expresiei:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

De asemenea, este adesea recomandabil să simplificați expresia folosind proprietățile gradului.

Exemplul 8. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea următoarei expresii: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenții sunt din nou astfel încât valorile lor numerice exacte nu pot fi obținute. Simplificați expresia originală pentru a-i găsi valoarea.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expresii cu fracții

Dacă o expresie conține fracții, atunci când se calculează o astfel de expresie, toate fracțiile din ea trebuie reprezentate ca fracții obișnuite și valorile lor trebuie calculate.

Dacă există expresii în numărătorul și numitorul fracției, atunci se calculează mai întâi valorile acestor expresii și se înregistrează valoarea finală a fracției în sine. Operațiile aritmetice sunt efectuate în ordinea standard. Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplul 9. Valoarea unei expresii numerice

Să aflăm valoarea expresiei care conține fracții: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

După cum puteți vedea, există trei fracții în expresia originală. Să le calculăm mai întâi valorile.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Să rescriem expresia noastră și să îi calculăm valoarea:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Adesea, atunci când găsiți valorile expresiilor, este convenabil să reduceți fracțiile. Există o regulă nerostită: înainte de a-și găsi valoarea, orice expresie este cel mai bine simplificată la maximum, reducând toate calculele la cele mai simple cazuri.

Exemplul 10. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm expresia 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Nu putem extrage complet rădăcina lui cinci, dar putem simplifica expresia originală prin transformări.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Expresia originală ia forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Să calculăm valoarea acestei expresii:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expresii cu logaritmi

Când logaritmii sunt prezenți într-o expresie, valoarea lor, dacă este posibil, este calculată de la bun început. De exemplu, în expresia log 2 4 + 2 4, puteți scrie imediat valoarea acestui logaritm în loc de log 2 4 și apoi efectuați toate acțiunile. Se obține: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Expresiile numerice pot fi găsite și sub semnul logaritmului și la baza acestuia. În acest caz, primul pas este să le găsiți valorile. Să luăm expresia log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Noi avem:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Dacă este imposibil să se calculeze valoarea exactă a logaritmului, simplificarea expresiei ajută la găsirea valorii acestuia.

Exemplul 11. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Conform proprietății logaritmilor:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Aplicând din nou proprietățile logaritmilor, pentru ultima fracție din expresie obținem:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Acum puteți trece la calculul valorii expresiei originale.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Expresii cu funcții trigonometrice

Se întâmplă ca în expresie să existe funcții trigonometrice de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, precum și funcții care sunt inverse acestora. Din valoarea sunt calculate înainte de a fi efectuate toate celelalte operații aritmetice. În caz contrar, expresia este simplificată.

Exemplul 12. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Mai întâi, calculăm valorile funcțiilor trigonometrice incluse în expresie.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Înlocuiți valorile în expresie și calculați valoarea acesteia:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Se găsește valoarea expresiei.

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu funcții trigonometrice, aceasta trebuie mai întâi convertită. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 13. Valoarea unei expresii numerice

Este necesar să găsim valoarea expresiei cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pentru transformare, vom folosi formulele trigonometrice pentru cosinusul unghiului dublu și cosinusul sumei.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Cazul general al expresiei numerice

În cazul general, o expresie trigonometrică poate conține toate elementele descrise mai sus: paranteze, grade, rădăcini, logaritmi, funcții. Să formulăm o regulă generală pentru găsirea valorilor unor astfel de expresii.

Cum să găsiți valoarea unei expresii

1. Rădăcini, puteri, logaritmi etc. sunt înlocuite cu valorile lor.
2. Acțiunile din paranteze sunt efectuate.
3. Pașii rămași sunt executați în ordine de la stânga la dreapta. Mai întâi - înmulțirea și împărțirea, apoi - adunarea și scăderea.

Să luăm un exemplu.

Exemplul 14. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm care este valoarea expresiei - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Expresia este destul de complexă și greoaie. Nu întâmplător am ales doar un astfel de exemplu, încercând să încadrăm în el toate cazurile descrise mai sus. Cum să aflu valoarea unei astfel de expresii?

Se știe că atunci când se calculează valoarea unei forme fracționale complexe, mai întâi se găsesc separat valorile numărătorului și, respectiv, numitorului fracției. Vom transforma și simplifica succesiv această expresie.

În primul rând, calculăm valoarea expresiei radicalului 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea sinusului și expresia care este argumentul funcției trigonometrice.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Acum puteți afla valoarea sinusului:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Calculăm valoarea expresiei radicalului:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Cu numitorul unei fracții, totul este mai ușor:

Acum putem nota valoarea întregii fracții:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Având în vedere acest lucru, scriem întreaga expresie:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Rezultat final:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

În acest caz, am putut calcula valori exacte pentru rădăcini, logaritmi, sinusuri și așa mai departe. Dacă acest lucru nu este posibil, puteți încerca să scăpați de ele prin transformări matematice.

Calcularea expresiilor în moduri raționale

Valorile numerice trebuie calculate în mod consecvent și precis. Acest proces poate fi raționalizat și accelerat prin utilizarea diferitelor proprietăți ale operațiilor cu numere. De exemplu, se știe că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Având în vedere această proprietate, putem spune imediat că expresia 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 este egală cu zero. În acest caz, nu este deloc necesar să efectuați pașii în ordinea descrisă în articolul de mai sus.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale. Fără a efectua nicio acțiune, se poate ordona ca valoarea expresiei 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 să fie și ea egală cu zero.

O altă tehnică care vă permite să accelerați procesul este utilizarea transformărilor identice, cum ar fi gruparea termenilor și factorilor și scoaterea din paranteze a factorului comun. O abordare rațională a calculului expresiilor cu fracții este reducerea acelorași expresii în numărător și numitor.

De exemplu, să luăm expresia 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Fără a efectua acțiuni între paranteze, ci prin reducerea fracției, putem spune că valoarea expresiei este 1 3 .

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru anumite valori date de litere și variabile.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Pentru a găsi valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile, trebuie să înlocuiți valorile date ale literelor și variabilelor în expresia originală, apoi să calculați valoarea expresiei numerice rezultate.

Exemplul 15. Valoarea expresiei cu variabile

Calculați valoarea expresiei 0 , 5 x - y dat x = 2 , 4 și y = 5 .

Înlocuim valorile variabilelor în expresie și calculăm:

0, 5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.

Uneori este posibil să se transforme o expresie în așa fel încât să se obțină valoarea acesteia indiferent de valorile literelor și variabilelor incluse în ea. Pentru a face acest lucru, este necesar să scăpați de literele și variabilele din expresie, dacă este posibil, folosind transformări identice, proprietăți ale operațiilor aritmetice și toate celelalte metode posibile.

De exemplu, expresia x + 3 - x are în mod evident valoarea 3 și nu este necesar să se cunoască valoarea lui x pentru a calcula această valoare. Valoarea acestei expresii este egală cu trei pentru toate valorile variabilei x din intervalul său de valori valide.

Încă un exemplu. Valoarea expresiei x x este egală cu unu pentru toate x-urile pozitive.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Voi, ca părinți, în procesul de predare a copilului dumneavoastră, vă veți confrunta adesea cu nevoia de ajutor în rezolvarea problemelor temelor de matematică, algebră și geometrie. Și una dintre abilitățile de bază pe care trebuie să le înveți este cum să găsești valoarea unei expresii. Mulți ajung în impas, pentru că câți ani au trecut de când eram în clasele 3-5? Multe au fost deja uitate, dar ceva nu s-a învățat. Regulile operațiilor matematice în sine sunt simple și le puteți aminti cu ușurință. Să începem cu elementele de bază ale expresiei matematice.

Definirea expresiei

Expresie matematică - un set de numere, semne de acțiune (=, +, -, *, /), paranteze, variabile. Pe scurt, aceasta este o formulă a cărei valoare va trebui găsită. Asemenea formule tocmai se găsesc în cursul matematicii încă de la școală, iar apoi îi persecută pe elevii care și-au ales specialități legate de științele exacte. Expresiile matematice sunt împărțite în trigonometrice, algebrice și așa mai departe, nu ne vom întâlni chiar în „sălbăticii”.

1. Faceți mai întâi orice calcul pe o schiță, apoi rescrieți-l într-un registru de lucru. Astfel, veți evita barăturile inutile și murdăria;
2. Recalculați numărul total de operații matematice care vor trebui efectuate în expresie. Vă rugăm să rețineți că, conform regulilor, se efectuează mai întâi operațiile între paranteze, apoi împărțirea și înmulțirea, iar la final, scăderea și adunarea. Vă recomandăm să evidențiați toate acțiunile cu un creion și să puneți numere deasupra acțiunilor în ordinea în care sunt efectuate. În acest caz, vă va fi mai ușor să navigați dvs. și copilului;
3. Începeți să faceți calcule respectând cu strictețe ordinea în care sunt efectuate acțiunile. Lăsați copilul, dacă calculul este simplu, să încerce să o facă în mintea lui, dar dacă este dificil, atunci pune într-un creion numărul corespunzător numărului ordinal al expresiei și face calculul în scris sub formula;
4. De regulă, găsirea valorii unei expresii simple nu este dificilă dacă toate calculele sunt efectuate în conformitate cu regulile și ordinea corectă. Majoritatea se confruntă cu o problemă în această etapă de a găsi valoarea expresiei, așa că aveți grijă și nu faceți greșeli;
5. Interziceți calculatorul. Formulele matematice și sarcinile în sine ar putea să nu fie utile copilului dvs., dar acesta nu este scopul studierii subiectului. Principalul lucru este dezvoltarea gândirii logice. Dacă utilizați calculatoare, atunci sensul tuturor se va pierde;
6. Sarcina ta ca parinte nu este sa rezolvi problemele copilului, ci sa-l ajuti in asta, sa-l ghidezi. Lasă-l să facă singur toate calculele și te asiguri că nu face greșeli, explică de ce trebuie să faci așa și nu altfel.
7. După ce se găsește răspunsul la expresie, notează-l după semnul „=";
8. Deschide ultima pagină a manualului tău de matematică. De obicei, există răspunsuri pentru fiecare exercițiu din carte. Nu interferează cu verificarea dacă totul este calculat corect.

Găsirea valorii unei expresii este, pe de o parte, o procedură simplă, principalul lucru este să ne amintim regulile de bază prin care am trecut la cursul de matematică din școală. Cu toate acestea, pe de altă parte, atunci când trebuie să-ți ajuți copilul să facă față formulelor și rezolvării problemelor, problema devine mai complicată. La urma urmei, acum nu ești un student, ci un profesor, iar creșterea viitorului Einstein stă pe umerii tăi.

Sperăm că articolul nostru v-a ajutat să găsiți răspunsul la întrebarea cum să găsiți valoarea unei expresii și să vă puteți da seama cu ușurință orice formulă!