O ecuație diferențială este o ecuație care include o funcție și una sau mai multe dintre derivatele acesteia. În majoritatea problemelor practice, funcțiile sunt mărimi fizice, derivatele corespund ratelor de modificare a acestor mărimi, iar ecuația determină relația dintre ele.

Acest articol discută metode de rezolvare a unor tipuri de ecuații diferențiale obișnuite, ale căror soluții pot fi scrise sub forma functii elementare, adică funcții polinomiale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice, precum și funcțiile lor inverse. Multe dintre aceste ecuații apar în viața reală, deși majoritatea celorlalte ecuații diferențiale nu pot fi rezolvate prin aceste metode, iar pentru ele răspunsul este scris ca funcții speciale sau serii de puteri, sau găsit prin metode numerice.

Pentru a înțelege acest articol, trebuie să cunoașteți calculul diferențial și integral, precum și să aveți o anumită înțelegere a derivatelor parțiale. De asemenea, se recomandă cunoașterea elementelor de bază ale algebrei liniare aplicate ecuațiilor diferențiale, în special ecuațiilor diferențiale de ordinul doi, deși cunoașterea calculului diferențial și integral este suficientă pentru a le rezolva.

Informații preliminare

• Ecuațiile diferențiale au o clasificare extinsă. Acest articol vorbește despre ecuații diferențiale obișnuite, adică despre ecuații care includ o funcție a unei variabile și derivatele acesteia. Ecuațiile diferențiale obișnuite sunt mult mai ușor de înțeles și de rezolvat decât ecuații cu diferențe parțiale, care includ funcții ale mai multor variabile. Acest articol nu ia în considerare ecuațiile diferențiale parțiale, deoarece metodele de rezolvare a acestor ecuații sunt de obicei determinate de forma lor specifică.
  • Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale obișnuite.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Mai jos sunt câteva exemple de ecuații cu diferențe parțiale.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Ordin ecuația diferențială este determinată de ordinea celei mai mari derivate incluse în această ecuație. Prima dintre ecuațiile diferențiale obișnuite de mai sus este de ordinul întâi, în timp ce a doua este de ordinul al doilea. grad a unei ecuații diferențiale se numește puterea cea mai mare la care se ridică unul dintre termenii acestei ecuații.
  • De exemplu, ecuația de mai jos este de ordinul trei și puterea a doua.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ dreapta)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Ecuația diferențială este ecuație diferențială liniară dacă funcția și toate derivatele ei sunt în prima putere. În caz contrar, ecuația este ecuație diferențială neliniară. Ecuațiile diferențiale liniare sunt remarcabile prin faptul că din soluțiile lor se pot face combinații liniare, care vor fi, de asemenea, soluții ale acestei ecuații.
  • Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale liniare.
  • Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale neliniare. Prima ecuație este neliniară datorită termenului sinus.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Decizie comună ecuația diferențială obișnuită nu este unică, ea include constante arbitrare de integrare. În cele mai multe cazuri, numărul de constante arbitrare este egal cu ordinea ecuației. În practică, valorile acestor constante sunt determinate de date condiții inițiale, adică prin valorile funcției și derivatelor sale la x = 0. (\displaystyle x=0.) Numărul de condiții inițiale care sunt necesare pentru a găsi decizie privată ecuație diferențială, în cele mai multe cazuri este, de asemenea, egală cu ordinea acestei ecuații.
  • De exemplu, acest articol va analiza rezolvarea ecuației de mai jos. Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi. Soluția sa generală conține două constante arbitrare. Pentru a găsi aceste constante, este necesar să se cunoască condițiile inițiale la x (0) (\displaystyle x(0))și x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) De obicei, condițiile inițiale sunt date la punct x = 0 , (\displaystyle x=0,), deși acest lucru nu este necesar. Acest articol va lua în considerare, de asemenea, cum să găsiți soluții speciale pentru condiții inițiale date.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Pași

Partea 1

Ecuații de ordinul întâi

Când utilizați acest serviciu, unele informații pot fi transferate pe YouTube.

1. Ecuații liniare de ordinul întâi. Această secțiune discută metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi în cazuri generale și speciale, când unii termeni sunt egali cu zero. Să ne prefacem că y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))și q (x) (\displaystyle q(x)) sunt functii X . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Conform uneia dintre principalele teoreme ale analizei matematice, integrala derivatei unei funcții este de asemenea o funcție. Astfel, este suficient să integrezi ecuația pentru a-i găsi soluția. În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că la calcularea integralei nedefinite apare o constantă arbitrară.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Folosim metoda separarea variabilelor. În acest caz, diferite variabile sunt transferate în diferite părți ale ecuației. De exemplu, puteți transfera toți membrii de la y (\displaystyle y)într-unul, și toți membrii cu x (\displaystyle x) de cealaltă parte a ecuației. De asemenea, membrii pot fi mutați d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)și d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), care sunt incluse în expresiile derivate, cu toate acestea, trebuie amintit că aceasta este doar o convenție, ceea ce este convenabil atunci când diferențiem o funcție complexă. O discuție despre acești termeni, care se numesc diferențiale, este în afara domeniului de aplicare al acestui articol.

   • Mai întâi, trebuie să mutați variabilele pe părțile opuse ale semnului egal.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integram ambele părți ale ecuației. După integrare, pe ambele părți apar constante arbitrare, care pot fi transferate în partea dreaptă a ecuației.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e - ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Exemplul 1.1.În ultimul pas, am folosit regula e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) si inlocuit e C (\displaystyle e^(C)) pe C (\displaystyle C), deoarece este și o constantă arbitrară a integrării.
     • d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aliniat)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\q(x)\neq 0.) Pentru a găsi soluția generală, am introdus factor integrator ca o funcție a x (\displaystyle x) pentru a reduce partea stângă la o derivată comună și a rezolva astfel ecuația.

   • Înmulțiți ambele părți cu μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Pentru a reduce partea stângă la o derivată comună, trebuie făcute următoarele transformări:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Ultima egalitate înseamnă că d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Acesta este un factor de integrare care este suficient pentru a rezolva orice ecuație liniară de ordinul întâi. Acum putem deriva o formulă pentru rezolvarea acestei ecuații în raport cu µ , (\displaystyle \mu ,) deși pentru antrenament este util să faci toate calculele intermediare.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Exemplul 1.2.În acest exemplu, luăm în considerare cum să găsim o anumită soluție a unei ecuații diferențiale cu condiții inițiale date.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d))) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aliniat)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Rezolvarea ecuațiilor liniare de ordinul întâi (înregistrate de Intuit - National Open University).

2. Ecuații neliniare de ordinul întâi. În această secțiune sunt luate în considerare metode de rezolvare a unor ecuații diferențiale neliniare de ordinul întâi. Deși nu există o metodă generală de rezolvare a unor astfel de ecuații, unele dintre ele pot fi rezolvate folosind metodele de mai jos.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Dacă funcţia f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) poate fi împărțit în funcții ale unei variabile, se numește o astfel de ecuație ecuație diferențială separabilă. În acest caz, puteți utiliza metoda de mai sus:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Exemplul 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ începe(aliniat)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(aliniat)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Să ne prefacem că g (x , y) (\displaystyle g(x, y))și h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) sunt functii x (\displaystyle x)și y . (\displaystyle y.) Apoi ecuație diferențială omogenă este o ecuaţie în care g (\displaystyle g)și h (\displaystyle h) sunteți funcții omogene acelasi grad. Adică, funcțiile trebuie să îndeplinească condiția g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Unde k (\displaystyle k) se numeste grad de omogenitate. Orice ecuație diferențială omogenă poate fi dată de un adecvat modificarea variabilelor (v = y / x (\displaystyle v=y/x) sau v = x / y (\displaystyle v=x/y)) pentru a converti într-o ecuație cu variabile separabile.

   • Exemplul 1.4. Descrierea de mai sus a omogenității poate părea obscură. Să ne uităm la acest concept cu un exemplu.
     • d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Pentru început, trebuie remarcat faptul că această ecuație este neliniară în raport cu y . (\displaystyle y.) De asemenea, vedem că în acest caz este imposibilă separarea variabilelor. Cu toate acestea, această ecuație diferențială este omogenă, deoarece atât numărătorul, cât și numitorul sunt omogene cu o putere de 3. Prin urmare, putem face o schimbare de variabile v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Ca rezultat, avem o ecuație pentru v (\displaystyle v) cu variabile partajate.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Aceasta este Ecuația diferențială Bernoulli- un tip special de ecuație neliniară de gradul I, a cărei soluție poate fi scrisă folosind funcții elementare.

   • Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu (1 - n) y - n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe din partea stângă și transformăm ecuația într-o ecuație liniară în raport cu y 1 - n , (\displaystyle y^(1-n),) care poate fi rezolvată prin metodele de mai sus.
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.) Aceasta este ecuația diferențială totală. Este necesar să găsiți așa-numitul funcție potențială φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), care îndeplinește condiția d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Pentru a îndeplini această condiție, este necesar să aveți derivat total. Derivata totală ia în considerare dependența de alte variabile. Pentru a calcula derivata totală φ (\displaystyle \varphi ) pe x , (\displaystyle x,) presupunem că y (\displaystyle y) poate depinde și de X . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Compararea termenilor ne oferă M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x)))și N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y)).) Acesta este un rezultat tipic pentru ecuațiile cu mai multe variabile, unde derivatele mixte ale funcțiilor netede sunt egale între ele. Uneori se numește acest caz teorema lui Clairaut. În acest caz, ecuația diferențială este o ecuație în diferențiale totale dacă este îndeplinită următoarea condiție:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Metoda de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale este similară cu găsirea de funcții potențiale în prezența mai multor derivate, pe care le vom discuta pe scurt. Mai întâi ne integrăm M (\displaystyle M) pe X . (\displaystyle x.)În măsura în care M (\displaystyle M) este o funcţie şi x (\displaystyle x), și y , (\displaystyle y,) la integrare, obținem o funcție incompletă φ , (\displaystyle \varphi ,) etichetat ca φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultatul include și dependența de y (\displaystyle y) constanta de integrare.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • După aceea, pentru a obține c (y) (\displaystyle c(y)) puteți lua derivata parțială a funcției rezultate în raport cu y , (\displaystyle y,) echivalează rezultatul N (x, y) (\displaystyle N(x, y))și să integreze. De asemenea, se poate integra primul N (\displaystyle N), și apoi luați derivata parțială în raport cu x (\displaystyle x), ceea ce ne va permite să găsim o funcție arbitrară d(x). (\displaystyle d(x).) Ambele metode sunt potrivite și, de obicei, funcția mai simplă este aleasă pentru integrare.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ parțial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Exemplul 1.5. Puteți lua derivate parțiale și puteți verifica dacă ecuația de mai jos este o ecuație diferențială totală.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Dacă ecuația diferențială nu este o ecuație diferențială totală, în unele cazuri puteți găsi un factor de integrare care vă va permite să o convertiți într-o ecuație diferențială totală. Cu toate acestea, astfel de ecuații sunt rareori utilizate în practică și, deși, factorul de integrare exista, află că se întâmplă nu asa de usor, deci aceste ecuații nu sunt luate în considerare în acest articol.

Partea 2

Ecuații de ordinul doi

1. Ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți. Aceste ecuații sunt utilizate pe scară largă în practică, astfel încât soluția lor este de o importanță capitală. În acest caz, nu vorbim despre funcții omogene, ci despre faptul că în partea dreaptă a ecuației există 0. În secțiunea următoare, vom arăta cum corespunzătoare eterogen ecuatii diferentiale. De mai jos a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) sunt constante.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ecuație caracteristică. Această ecuație diferențială este remarcabilă prin faptul că poate fi rezolvată foarte ușor dacă acordați atenție la ce proprietăți ar trebui să aibă soluțiile sale. Din ecuație se poate observa că y (\displaystyle y) iar derivatele sale sunt proporționale între ele. Din exemplele anterioare, care au fost luate în considerare în secțiunea privind ecuațiile de ordinul întâi, știm că numai funcția exponențială are această proprietate. Prin urmare, este posibil să se prezinte ansatz(o presupunere educată) despre care va fi soluția ecuației date.

   • Soluția va lua forma unei funcții exponențiale e r x , (\displaystyle e^(rx),) Unde r (\displaystyle r) este o constantă a cărei valoare trebuie găsită. Înlocuiți această funcție în ecuație și obțineți următoarea expresie
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Această ecuație indică faptul că produsul dintre o funcție exponențială și un polinom trebuie să fie zero. Se știe că exponentul nu poate fi egal cu zero pentru nicio valoare a gradului. Prin urmare, concluzionăm că polinomul este egal cu zero. Astfel, am redus problema rezolvării unei ecuații diferențiale la o problemă mult mai simplă de rezolvare a unei ecuații algebrice, care se numește ecuație caracteristică pentru o ecuație diferențială dată.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Avem două rădăcini. Deoarece această ecuație diferențială este liniară, soluția ei generală este o combinație liniară de soluții parțiale. Deoarece aceasta este o ecuație de ordinul doi, știm că aceasta este într-adevăr soluție generală și nu există altele. O justificare mai riguroasă pentru aceasta constă în teoremele privind existența și unicitatea soluției, care pot fi găsite în manuale.
   • O modalitate utilă de a verifica dacă două soluții sunt liniar independente este de a calcula Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- acesta este determinantul matricei, în coloanele căreia se află funcții și derivatele lor succesive. Teorema algebrei liniare afirmă că funcțiile din Wronskian sunt liniar dependente dacă Wronskianul este egal cu zero. În această secțiune, putem testa dacă două soluții sunt liniar independente, asigurându-ne că Wronskianul este diferit de zero. Wronskianul este important în rezolvarea ecuațiilor diferențiale neomogene cu coeficienți constanți prin metoda variației parametrilor.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • În ceea ce privește algebra liniară, mulțimea tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale date formează un spațiu vectorial a cărui dimensiune este egală cu ordinea ecuației diferențiale. În acest spațiu, se poate alege o bază din liniar independent decizii unul de la celălalt. Acest lucru este posibil datorită faptului că funcția y (x) (\displaystyle y(x)) valabil operator liniar. Derivat este o operator liniar, deoarece transformă spațiul funcțiilor diferențiabile în spațiul tuturor funcțiilor. Ecuațiile sunt numite omogene în cazurile în care pentru un operator liniar L (\displaystyle L) este necesar să se găsească o soluție la ecuație L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Să ne întoarcem acum la câteva exemple concrete. Cazul rădăcinilor multiple ale ecuației caracteristice va fi luat în considerare puțin mai târziu, în secțiunea privind reducerea ordinii.

   Dacă rădăcinile r ± (\displaystyle r_(\pm )) sunt numere reale diferite, ecuația diferențială are următoarea soluție

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Două rădăcini complexe. Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că soluțiile soluției ecuațiilor polinomiale cu coeficienți reali au rădăcini care sunt reale sau formează perechi conjugate. Prin urmare, dacă numărul complex r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) este rădăcina ecuației caracteristice, atunci r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta) este și rădăcina acestei ecuații. Astfel, soluția poate fi scrisă sub formă c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) cu toate acestea, acesta este un număr complex și este nedorit în rezolvarea problemelor practice.

   • În schimb, puteți folosi Formula lui Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), care vă permite să scrieți soluția sub formă de funcții trigonometrice:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Acum poți în loc să fii constant c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) scrie c 1 (\displaystyle c_(1)), și expresia i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) inlocuit de c 2 . (\displaystyle c_(2).) După aceea obținem următoarea soluție:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Există o altă modalitate de a scrie soluția în termeni de amplitudine și fază, care este mai potrivită pentru problemele fizice.
   • Exemplul 2.1. Să găsim soluția ecuației diferențiale prezentate mai jos cu condiții inițiale date. Pentru aceasta, este necesar să luați soluția obținută, precum și derivatul său, și înlocuiți-le în condițiile inițiale, ceea ce ne va permite să determinăm constante arbitrare.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\dreapta))
   
   Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul al n-lea cu coeficienți constanți (înregistrate de Intuit - National Open University).

2. Comanda de retrogradare. Reducerea ordinului este o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale atunci când se cunoaște o soluție liniar independentă. Această metodă constă în scăderea cu unu a ordinii ecuației, ceea ce permite rezolvarea ecuației folosind metodele descrise în secțiunea anterioară. Să fie cunoscută soluția. Ideea principală de scădere a comenzii este de a găsi o soluție în formularul de mai jos, unde este necesar să se definească funcția v (x) (\displaystyle v(x)), substituind-o în ecuația diferențială și constatând v(x). (\displaystyle v(x).) Să luăm în considerare modul în care reducerea ordinii poate fi utilizată pentru a rezolva o ecuație diferențială cu coeficienți constanți și rădăcini multiple.

   
   

   Rădăcini multiple ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți. Amintiți-vă că o ecuație de ordinul doi trebuie să aibă două soluții liniar independente. Dacă ecuația caracteristică are rădăcini multiple, mulțimea soluțiilor nu formează un spațiu deoarece aceste soluții sunt dependente liniar. În acest caz, reducerea ordinului trebuie utilizată pentru a găsi o a doua soluție liniar independentă.

   • Fie ca ecuația caracteristică să aibă mai multe rădăcini r (\displaystyle r). Presupunem că a doua soluție poate fi scrisă ca y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), și înlocuiți-l în ecuația diferențială. În acest caz, majoritatea termenilor, cu excepția termenului cu derivata a doua a funcției v , (\displaystyle v,) vor fi reduse.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Exemplul 2.2. Având în vedere următoarea ecuație, care are mai multe rădăcini r = − 4. (\displaystyle r=-4.) La înlocuire, majoritatea termenilor sunt anulați.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(aliniat)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • La fel ca ansatz-ul nostru pentru o ecuație diferențială cu coeficienți constanți, în acest caz numai derivata a doua poate fi egală cu zero. Integram de doua ori si obtinem expresia dorita pt v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale cu coeficienți constanți, dacă ecuația caracteristică are rădăcini multiple, se poate scrie în următoarea formă. Pentru comoditate, vă puteți aminti că pentru a obține independența liniară, este suficient să înmulțiți pur și simplu al doilea termen cu x (\displaystyle x). Acest set de soluții este liniar independent și astfel am găsit toate soluțiile acestei ecuații.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Reducerea comenzii este aplicabilă dacă soluția este cunoscută y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), care poate fi găsit sau dat în enunțul problemei.

   • Cautam o solutie in formular y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))și conectați-l în această ecuație:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • În măsura în care y 1 (\displaystyle y_(1)) este o soluție a ecuației diferențiale, toți termenii cu v (\displaystyle v) se micsoreaza. Drept urmare, rămâne ecuație liniară de ordinul întâi. Pentru a vedea acest lucru mai clar, haideți să schimbăm variabilele w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\dreapta)(\mathrm (d) )x\dreapta))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Dacă integralele pot fi calculate, obținem soluția generală ca o combinație de funcții elementare. În caz contrar, soluția poate fi lăsată în formă integrală.

3. Ecuația Cauchy-Euler. Ecuația Cauchy-Euler este un exemplu de ecuație diferențială de ordinul doi cu variabile coeficienți, care are soluții exacte. Această ecuație este folosită în practică, de exemplu, pentru a rezolva ecuația Laplace în coordonate sferice.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ecuație caracteristică. După cum puteți vedea, în această ecuație diferențială, fiecare termen conține un factor de putere, al cărui grad este egal cu ordinul derivatei corespunzătoare.

   • Astfel, se poate încerca să caute o soluție în formă y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) unde să se definească n (\displaystyle n), așa cum căutam o soluție sub forma unei funcții exponențiale pentru o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți. După diferențiere și înlocuire, obținem
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Pentru a folosi ecuația caracteristică, trebuie să presupunem că x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punct x = 0 (\displaystyle x=0) numit punct singular regulat ecuație diferențială. Astfel de puncte sunt importante atunci când se rezolvă ecuații diferențiale folosind serii de puteri. Această ecuație are două rădăcini, care pot fi diferite și reale, multiple sau complexe conjugate.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Două rădăcini reale diferite. Dacă rădăcinile n ± (\displaystyle n_(\pm )) sunt reale și diferite, atunci soluția ecuației diferențiale are următoarea formă:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Două rădăcini complexe. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), soluția este o funcție complexă.

   • Pentru a transforma soluția într-o funcție reală, facem o schimbare de variabile x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) adică t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)și folosiți formula lui Euler. Acțiuni similare au fost efectuate mai devreme la definirea constantelor arbitrare.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Atunci soluția generală poate fi scrisă ca
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Rădăcini multiple. Pentru a obține o a doua soluție liniar independentă, este necesar să reduceți din nou ordinea.

   • Este nevoie de destul de mult calcul, dar principiul este același: înlocuim y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))într-o ecuație a cărei primă soluție este y 1 (\displaystyle y_(1)). După reduceri, se obține următoarea ecuație:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Aceasta este o ecuație liniară de ordinul întâi în raport cu v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Soluția lui este v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Astfel, soluția poate fi scrisă în forma următoare. Este destul de ușor de reținut - pentru a obține a doua soluție liniar independentă, aveți nevoie doar de un termen suplimentar cu ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Ecuații diferențiale liniare neomogene cu coeficienți constanți. Ecuațiile neomogene au forma L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Unde f (x) (\displaystyle f(x))- așa-zisul membru liber. Conform teoriei ecuațiilor diferențiale, soluția generală a acestei ecuații este o suprapunere decizie privată y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))și solutie suplimentara y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Totuși, în acest caz, o soluție anume nu înseamnă o soluție dată de condițiile inițiale, ci mai degrabă o soluție care se datorează prezenței neomogenității (membru liber). Soluția complementară este soluția ecuației omogene corespunzătoare în care f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Soluția generală este o suprapunere a acestor două soluții, deoarece L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), și de când L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) o astfel de suprapunere este într-adevăr o soluție generală.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metoda coeficienților nedeterminați. Metoda coeficienților nedeterminați este utilizată în cazurile în care termenul liber este o combinație de funcții exponențiale, trigonometrice, hiperbolice sau de putere. Doar aceste funcții sunt garantate a avea un număr finit de derivate liniar independente. În această secțiune, vom găsi o soluție specială a ecuației.

   • Comparați termenii din f (x) (\displaystyle f(x)) cu termeni în ignorarea factorilor constanţi. Sunt posibile trei cazuri.
     • Nu există membri identici.În acest caz, o soluție specială y p (\displaystyle y_(p)) va fi o combinație liniară de termeni din y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) conţine membru x n (\displaystyle x^(n)) și un membru din y c , (\displaystyle y_(c),) Unde n (\displaystyle n) este zero sau un întreg pozitiv, iar acest termen corespunde unei singure rădăcini a ecuației caracteristice.În acest caz y p (\displaystyle y_(p)) va consta dintr-o combinație a funcției x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) derivatele sale liniar independente, precum și alți termeni f (x) (\displaystyle f(x))și derivatele lor liniar independente.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) conţine membru h (x) , (\displaystyle h(x),) care este o lucrare x n (\displaystyle x^(n)) și un membru din y c , (\displaystyle y_(c),) Unde n (\displaystyle n) este egal cu 0 sau un număr întreg pozitiv, iar acest termen îi corespunde multiplu rădăcina ecuației caracteristice.În acest caz y p (\displaystyle y_(p)) este o combinație liniară a funcției x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Unde s (\displaystyle s)- multiplicitatea rădăcinii) și derivatele sale liniar independente, precum și alți membri ai funcției f (x) (\displaystyle f(x))și derivatele sale liniar independente.
   • Să scriem y p (\displaystyle y_(p)) ca o combinație liniară a termenilor de mai sus. Datorită acestor coeficienți într-o combinație liniară, această metodă se numește „metoda coeficienților nedeterminați”. La apariţia celor cuprinse în y c (\displaystyle y_(c)) membrii lor pot fi aruncați din cauza prezenței constantelor arbitrare în Y c . (\displaystyle y_(c).) După aceea înlocuim y p (\displaystyle y_(p))într-o ecuație și echivalează termeni similari.
   • Determinăm coeficienții. În această etapă, se obține un sistem de ecuații algebrice, care de obicei poate fi rezolvat fără probleme speciale. Soluția acestui sistem face posibilă obținerea y p (\displaystyle y_(p))și astfel rezolvă ecuația.
   • Exemplul 2.3. Considerăm o ecuație diferențială neomogenă al cărei termen liber conține un număr finit de derivate liniar independente. O soluție particulară a unei astfel de ecuații poate fi găsită prin metoda coeficienților nedeterminați.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aliniat)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ sfârșitul (cazurile)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Metoda Lagrange. Metoda Lagrange, sau metoda de variație a constantelor arbitrare, este o metodă mai generală de rezolvare a ecuațiilor diferențiale neomogene, mai ales în cazurile în care termenul liber nu conține un număr finit de derivate liniar independente. De exemplu, cu membri gratuiti bronz ⁡ x (\displaystyle \tan x) sau x − n (\displaystyle x^(-n)) pentru a găsi o anumită soluție, este necesar să folosiți metoda Lagrange. Metoda Lagrange poate fi folosită chiar și pentru a rezolva ecuații diferențiale cu coeficienți variabili, deși în acest caz, cu excepția ecuației Cauchy-Euler, este mai rar folosită, deoarece soluția suplimentară nu este de obicei exprimată în termeni de funcții elementare.

   • Să presupunem că soluția are următoarea formă. Derivata sa este dată în a doua linie.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) „+v_(2)”y_(2)+v_(2)y_(2)”)
   • Întrucât soluția propusă conține Două cantități necunoscute, este necesar să se impună adiţional condiție. Alegem această condiție suplimentară în următoarea formă:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Acum putem obține a doua ecuație. După înlocuirea și redistribuirea membrilor, puteți grupa membrii cu v 1 (\displaystyle v_(1)) si membrii din v 2 (\displaystyle v_(2)). Acești termeni sunt anulați deoarece y 1 (\displaystyle y_(1))și y 2 (\displaystyle y_(2)) sunt soluții ale ecuației omogene corespunzătoare. Ca rezultat, obținem următorul sistem de ecuații
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aliniat)))
   • Acest sistem poate fi transformat într-o ecuație matriceală de formă A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) a cărui soluție este x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Pentru matrice 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) matricea inversă se găsește prin împărțirea la determinant, permutarea elementelor diagonale și inversarea semnului elementelor off-diagonale. De fapt, determinantul acestei matrice este un Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Expresii pentru v 1 (\displaystyle v_(1))și v 2 (\displaystyle v_(2)) sunt enumerate mai jos. Ca și în metoda reducerii ordinului, în acest caz apare o constantă arbitrară în timpul integrării, care include o soluție suplimentară în soluția generală a ecuației diferențiale.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Prelegerea Universității Naționale Deschise Intuit intitulată „Ecuații diferențiale liniare de ordinul n-a cu coeficienți constanți”.

Uz practic

Ecuațiile diferențiale stabilesc o relație între o funcție și una sau mai multe dintre derivatele sale. Deoarece astfel de relații sunt atât de comune, ecuațiile diferențiale au găsit o aplicație largă într-o mare varietate de domenii și, deoarece trăim în patru dimensiuni, aceste ecuații sunt adesea ecuații diferențiale în privat derivate. Această secțiune discută unele dintre cele mai importante ecuații de acest tip.

• Creștere și decădere exponențială. dezintegrare radioactivă. Interes compus. Viteza reacțiilor chimice. Concentrația de medicamente în sânge. Creștere nelimitată a populației. Legea Newton-Richmann. Există multe sisteme în lumea reală în care rata de creștere sau decădere la un moment dat este proporțională cu cantitatea din acel moment sau poate fi bine aproximată printr-un model. Acest lucru se datorează faptului că soluția acestei ecuații diferențiale, funcția exponențială, este una dintre cele mai importante funcții din matematică și alte științe. Mai general, în condiții de creștere controlată a populației, sistemul poate include termeni suplimentari care limitează creșterea. În ecuația de mai jos, constanta k (\displaystyle k) poate fi mai mare sau mai mică decât zero.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Vibrații armonice. Atât în ​​mecanica clasică, cât și în cea cuantică, oscilatorul armonic este unul dintre cele mai importante sisteme fizice datorită simplității și aplicației sale extinse pentru aproximarea sistemelor mai complexe, cum ar fi un pendul simplu. În mecanica clasică, oscilațiile armonice sunt descrise printr-o ecuație care leagă poziția unui punct material de accelerația sa prin legea lui Hooke. În acest caz, pot fi luate în considerare și forțele de amortizare și de antrenare. În expresia de mai jos x ˙ (\displaystyle (\punct (x)))- derivată în timp a x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta) este un parametru care descrie forța de amortizare, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frecvența unghiulară a sistemului, F (t) (\displaystyle F(t)) este o forță motrice dependentă de timp. Oscilatorul armonic este prezent și în circuitele oscilatoare electromagnetice, unde poate fi implementat cu o precizie mai mare decât în ​​sistemele mecanice.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Ecuația Bessel. Ecuația diferențială Bessel este utilizată în multe domenii ale fizicii, inclusiv soluția ecuației de undă, ecuația Laplace și ecuația Schrödinger, în special în prezența simetriei cilindrice sau sferice. Această ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți variabili nu este o ecuație Cauchy-Euler, deci soluțiile sale nu pot fi scrise ca funcții elementare. Soluțiile ecuației Bessel sunt funcțiile Bessel, care sunt bine studiate datorită faptului că sunt utilizate în multe domenii. În expresia de mai jos α (\displaystyle \alpha) este o constantă care se potrivește Ordin Funcțiile Bessel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Ecuațiile lui Maxwell. Alături de forța Lorentz, ecuațiile lui Maxwell formează baza electrodinamicii clasice. Acestea sunt patru ecuații diferențiale parțiale pentru electric E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) si magnetice B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) câmpuri. În expresiile de mai jos ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- densitatea de încărcare, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) este densitatea de curent și ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))și μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) sunt constantele electrice și respectiv magnetice.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Ecuația Schrödinger.În mecanica cuantică, ecuația Schrödinger este ecuația de bază a mișcării care descrie mișcarea particulelor în funcție de o schimbare a funcției de undă. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) cu timpul. Ecuația mișcării este descrisă de comportament Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\pălărie(H))) - operator, care descrie energia sistemului. Unul dintre exemplele binecunoscute ale ecuației Schrödinger în fizică este ecuația pentru o particulă non-relativistă, care este supusă potențialului V (r, t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). Multe sisteme sunt descrise de ecuația Schrödinger dependentă de timp, cu ecuația în partea stângă E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Unde E (\displaystyle E) este energia particulei. În expresiile de mai jos ℏ (\displaystyle \hbar ) este constanta Planck redusă.
  • eu ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• ecuația de undă. Este imposibil să ne imaginăm fizica și tehnologia fără valuri, ele sunt prezente în toate tipurile de sisteme. În general, undele sunt descrise de ecuația de mai jos, în care u = u (r, t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r)),t)) este funcția dorită și c (\displaystyle c)- constantă determinată experimental. d'Alembert a fost primul care a descoperit că pentru cazul unidimensional soluția ecuației de undă este orice funcția cu argument x − c t (\displaystyle x-ct), care descrie o undă arbitrară care se propagă spre dreapta. Soluția generală pentru cazul unidimensional este o combinație liniară a acestei funcții cu o a doua funcție cu un argument x + c t (\displaystyle x+ct), care descrie o undă care se propagă spre stânga. Această soluție este prezentată în a doua linie.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Ecuații Navier-Stokes. Ecuațiile Navier-Stokes descriu mișcarea fluidelor. Deoarece fluidele sunt prezente în aproape toate domeniile științei și tehnologiei, aceste ecuații sunt extrem de importante pentru predicția vremii, proiectarea aeronavelor, curenții oceanici și multe alte aplicații. Ecuațiile Navier-Stokes sunt ecuații diferențiale parțiale neliniare, iar în majoritatea cazurilor este foarte dificil de rezolvat, deoarece neliniaritatea duce la turbulențe, iar pentru a obține o soluție stabilă prin metode numerice este necesar să se rezolve. împărțirea în celule foarte mici, ceea ce necesită o putere de calcul semnificativă. În scopuri practice în hidrodinamică, metode precum medierea timpului sunt folosite pentru a modela curgerile turbulente. Întrebări și mai de bază, cum ar fi existența și unicitatea soluțiilor pentru ecuațiile diferențiale parțiale neliniare, sunt probleme complexe, iar demonstrarea existenței și unicității soluțiilor pentru ecuațiile Navier-Stokes în trei dimensiuni este printre problemele matematice ale mileniului. . Mai jos sunt ecuația de curgere a fluidului incompresibil și ecuația de continuitate.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)))) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Multe ecuații diferențiale pur și simplu nu pot fi rezolvate prin metodele de mai sus, în special cele menționate în ultima secțiune. Acest lucru se aplică atunci când ecuația conține coeficienți variabili și nu este o ecuație Cauchy-Euler sau când ecuația este neliniară, cu excepția câtorva cazuri foarte rare. Cu toate acestea, metodele de mai sus vă permit să rezolvați multe ecuații diferențiale importante care sunt adesea întâlnite în diferite domenii ale științei.
• Spre deosebire de diferențiere, care vă permite să găsiți derivata oricărei funcții, integrala multor expresii nu poate fi exprimată în funcții elementare. Prin urmare, nu pierdeți timpul încercând să calculați integrala acolo unde este imposibil. Uită-te la tabelul integralelor. Dacă soluția unei ecuații diferențiale nu poate fi exprimată în termeni de funcții elementare, uneori poate fi reprezentată în formă integrală, iar în acest caz nu contează dacă această integrală poate fi calculată analitic.

Avertizări

• Aspect ecuația diferențială poate induce în eroare. De exemplu, mai jos sunt două ecuații diferențiale de ordinul întâi. Prima ecuație este ușor de rezolvat folosind metodele descrise în acest articol. La prima vedere, o schimbare minoră y (\displaystyle y) pe y 2 (\displaystyle y^(2))în a doua ecuație o face neliniară și devine foarte greu de rezolvat.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Fie deja rezolvate în raport cu derivata, fie pot fi rezolvate în raport cu derivata .

Rezolvarea generală a ecuațiilor diferențiale de tip pe interval X, care este dat, poate fi găsit luând integrala ambelor părți ale acestei egalități.

obține .

Dacă ne uităm la proprietățile integralei nedefinite, găsim soluția generală dorită:

y = F(x) + C,

Unde F(x)- unul dintre antiderivatele funcţiei f(x) intre X, A Cu este o constantă arbitrară.

Vă rugăm să rețineți că în majoritatea sarcinilor intervalul X nu indica. Aceasta înseamnă că trebuie găsită o soluție pentru toată lumea. X, pentru care și funcția dorită y, iar ecuația originală are sens.

Dacă trebuie să calculați o anumită soluție a unei ecuații diferențiale care satisface condiția inițială y(x0) = y0, apoi după calculul integralei generale y = F(x) + C, este încă necesar să se determine valoarea constantei C=C0 folosind condiția inițială. Adică o constantă C=C0 determinată din ecuație F(x 0) + C = y 0, iar soluția particulară dorită a ecuației diferențiale va lua forma:

y = F(x) + C0.

Luați în considerare un exemplu:

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale, verificați corectitudinea rezultatului. Să găsim o soluție particulară a acestei ecuații care să satisfacă condiția inițială .

Decizie:

După ce am integrat ecuația diferențială dată, obținem:

.

Luăm această integrală prin metoda integrării pe părți:

Acea., este o soluție generală a ecuației diferențiale.

Să verificăm pentru a ne asigura că rezultatul este corect. Pentru a face acest lucru, înlocuim soluția pe care am găsit-o în ecuația dată:

.

Adică la ecuația originală se transformă într-o identitate:

prin urmare, soluția generală a ecuației diferențiale a fost determinată corect.

Soluția pe care am găsit-o este soluția generală a ecuației diferențiale pentru fiecare valoare reală a argumentului X.

Rămâne de calculat o anumită soluție a EDO care ar satisface condiția inițială. Cu alte cuvinte, este necesar să se calculeze valoarea constantei Cu, la care egalitatea va fi adevărată:

.

.

Apoi, înlocuind C = 2în soluția generală a EDO, obținem o soluție particulară a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială:

.

Ecuație diferențială obișnuită se poate rezolva în raport cu derivata împărțind cele 2 părți ale ecuației la f(x). Această transformare va fi echivalentă dacă f(x) nu merge la zero pentru niciunul X din intervalul de integrare a ecuaţiei diferenţiale X.

Sunt probabile situații când, pentru unele valori ale argumentului X ∈ X funcții f(x)și g(x) se întoarce la zero în același timp. Pentru valori similare X soluția generală a ecuației diferențiale este orice funcție y, care este definit în ele, deoarece .

Dacă pentru unele valori ale argumentului X ∈ X condiția este îndeplinită, ceea ce înseamnă că în acest caz ODE nu are soluții.

Pentru toate celelalte X din interval X soluția generală a ecuației diferențiale se determină din ecuația transformată.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1

Să găsim soluția generală a EDO: .

Decizie.

Din proprietățile funcțiilor elementare de bază, este clar că funcția de logaritm natural este definită pentru valorile nenegative ale argumentului, prin urmare, domeniul expresiei log(x+3) exista un interval X > -3 . Prin urmare, ecuația diferențială dată are sens pentru X > -3 . Cu aceste valori ale argumentului, expresiei x + 3 nu dispare, astfel încât se poate rezolva EDO în raport cu derivata împărțind cele 2 părți la x + 3.

Primim .

În continuare, integrăm ecuația diferențială rezultată, rezolvată în raport cu derivata: . Pentru a lua această integrală, folosim metoda subsumării sub semnul diferenţialului.

Apendice

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale online pe site pentru ca elevii să consolideze materialul pe care l-au studiat. Și exersează-ți abilitățile practice. Ecuații diferențiale online. Difuras online, soluție de matematică online. Rezolvarea pas cu pas a problemelor matematice online. Ordinea sau gradul unei ecuații diferențiale este ordinul cel mai înalt al derivatelor incluse în ea. Ecuații diferențiale online. Procesul de rezolvare a unei ecuații diferențiale se numește integrare. Problema integrării unei ecuații diferențiale se consideră rezolvată dacă aflarea funcției necunoscute poate fi adusă în cuadratură, indiferent dacă integrala rezultată este exprimată în forma finală în termeni de funcții cunoscute sau nu. Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. Toate ecuațiile diferențiale pot fi împărțite în ecuații diferențiale obișnuite (ODE), care includ numai funcții (și derivatele lor) ale unui singur argument și ecuații diferențiale parțiale (PDE), în care funcțiile de intrare depind de multe variabile. Ecuații diferențiale online. Există, de asemenea, ecuații diferențiale stocastice (SDE) care implică procese aleatorii. Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. În funcție de combinațiile de derivate, funcții, variabile independente, ecuațiile diferențiale se împart în liniare și neliniare, cu coeficienți constanți sau variabili, omogene sau neomogeni. Datorită importanței aplicațiilor, ecuațiile cu diferențe parțiale cvasiliniare (liniare în raport cu derivatele superioare) sunt evidențiate într-o clasă separată. Soluțiile ecuațiilor diferențiale sunt împărțite în soluții generale și soluții particulare. Ecuații diferențiale online. Soluțiile generale includ constante nedefinite, iar pentru ecuațiile diferențiale parțiale, funcții arbitrare ale variabilelor independente care pot fi rafinate din condiții suplimentare de integrare (condiții inițiale pentru ecuațiile diferențiale obișnuite, condiții inițiale și la limită pentru ecuațiile diferențiale parțiale). Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. După determinarea formei acestor funcții constante și nedefinite, soluțiile devin particulare. Căutarea de soluții la ecuații diferențiale obișnuite a condus la stabilirea unei clase de funcții speciale - funcții des întâlnite în aplicații care nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare cunoscute. Ecuații diferențiale online. Proprietățile lor au fost studiate în detaliu, au fost întocmite tabele de valori, au fost determinate interconexiuni etc. . Setul de numere enumerate poate fi explorat. Cel mai bun răspuns la problema dată. Cum să găsiți în prima aproximare vectorul de ieșire către regiunea de convergență despre ecuații diferențiale fără a clarifica limita superioară găsită. Alegerea este evidentă pentru creșterea funcțiilor matematice. Există o metodă progresivă peste nivelul cercetării. Pentru a se alinia cu condiția inițială a problemei, rezolvarea celor diferențiale va ajuta la găsirea unei valori alese cu o singură valoare. Se poate ca el să poată determina imediat necunoscutul. Ca și în exemplul anterior de indicare a unei soluții la o problemă matematică, ecuațiile diferențiale liniare sunt răspunsul la o problemă specifică într-un interval de timp specificat. Menținerea procedurii de studiu nu este definită la nivel local. Se va face astfel incat sa existe un exemplu pentru fiecare elev si rezolvarea ecuatiilor diferentiale va fi determinata de persoana desemnata executorului responsabil din cel putin doua valori. Luați o funcție de valoare generală pe un anumit segment și avertizați de-a lungul cărei axe va exista un decalaj. După ce am studiat ecuațiile diferențiale online, este posibil să arătăm fără ambiguitate cât de important este rezultatul, dacă unul este furnizat din condițiile inițiale. Decuparea unei regiuni dintr-o definiție de funcție este imposibilă, deoarece nu există o definiție de sarcină la nivel local. Fiind găsit dintr-un sistem de ecuații, răspunsul conține o variabilă care poate fi calculată în sens general, dar în mod natural va fi posibil să se rezolve online o ecuație diferențială fără această acțiune pentru a determina condiția menționată. Aproape de intervalul segmentului, se poate observa cum soluția ecuațiilor diferențiale online este capabilă să avanseze rezultatul cercetării într-o direcție pozitivă la momentul limitării cunoștințelor studenților. Cel mai bun nu se obține întotdeauna prin abordarea general acceptată a afacerilor. La nivelul 2x, se pot vizualiza în mod util toate ecuațiile diferențiale liniare naturale necesare, dar capacitatea de a calcula o valoare numerică va duce la o creștere a cunoștințelor. Conform oricărei tehnici din matematică, există ecuații diferențiale care sunt prezentate în expresii esențial diferite, precum omogene sau complexe. După ce am efectuat o analiză generală a studiului funcției, va deveni clar că soluția diferențială ca set de posibilități reprezintă o eroare clară a valorilor. Adevărul în ea constă în spațiul de deasupra liniilor de abscisă. Undeva în domeniul unei funcții complexe, la un moment dat în definiția acesteia, ecuațiile diferențiale liniare vor putea reprezenta răspunsul într-o formă analitică. adică, în termeni generali, ca esenţă. Nu se va schimba nimic la schimbarea variabilei. Cu toate acestea, este necesar să privim răspunsul cu un interes deosebit. De fapt, calculatorul modifică raportul în final, adică modul în care soluția ecuațiilor diferențiale este proporțională cu valoarea globală este indicat în soluția dorită. În unele cazuri, un avertisment de eroare în masă este inevitabil. Ecuațiile diferențiale online implementează o idee generală a problemei, dar în cele din urmă, trebuie să asigurați aspectele pozitive ale produsului încrucișat cât mai curând posibil. În matematică, cazurile de eroare în teoria numerelor nu sunt neobișnuite. Neapărat trebuie verificat. Desigur, este mai bine să acordați acest drept profesioniștilor din domeniul lor și ei sunt cei care vor ajuta la rezolvarea ecuației diferențiale online, deoarece experiența lor este colosală și pozitivă. Diferența pe suprafețele figurilor și a zonei este de așa natură încât nu soluția ecuațiilor diferențiale online vă va permite să vedeți, ci mulțimea de obiecte neintersectate este astfel încât linia să fie paralelă cu axa. Drept urmare, puteți obține valori de două ori mai multe. Fiind implicită, ideea noastră de corectitudine a notației formale prevede ecuații diferențiale liniare atât în ​​zona de vizualizare, cât și în raport cu supraestimarea deliberată a calității rezultatului. O discuție pe un subiect care este interesant pentru toți studenții este publicată de mai multe ori în recenzie. Pe parcursul studiului întregului curs de prelegeri, ne vom concentra atenția asupra ecuațiilor diferențiale și a domeniilor conexe de studiu ale științei, dacă acest lucru nu contrazice adevărul. Multe etape pot fi evitate la începutul călătoriei. Dacă soluția diferențialelor este încă fundamental ceva nou pentru studenți, atunci vechiul nu este deloc uitat, ci progresează în viitor cu un ritm ridicat de dezvoltare. Inițial, condițiile pentru o problemă de matematică diferă, dar acest lucru este indicat în paragraful din dreapta. După expirarea timpului specificat prin definiție, nu este exclusă posibilitatea unui rezultat dependent proporțional pe diferite planuri de mișcare ale vectorului. Un astfel de caz simplu este corectat în același mod în care ecuațiile diferențiale liniare sunt descrise pe un calculator într-o formă generală, astfel încât va fi mai rapid și compensarea calculelor nu va duce la o opinie eronată. Doar cinci cazuri numite conform teoriei pot depăși granițele a ceea ce se întâmplă. Soluția noastră de ecuații diferențiale va ajuta la calcularea manuală a valorii în numere deja la primele etape de descompunere a spațiului funcțional. În locurile potrivite, este necesar să se prezinte punctul de contact al celor patru linii în sens general. Dar dacă trebuie să forțați sarcina, atunci va fi ușor să echivalați complexitatea. Datele inițiale sunt suficiente pentru a proiecta piciorul adiacent, iar ecuațiile diferențiale online arată aliniate la stânga, iar suprafața unilaterală este îndreptată către rotorul vectorial. Peste limita superioară, sunt posibile valori numerice care depășesc condiția indicată. Este posibil să se țină cont de formula matematică și să se rezolve online ecuația diferențială din cauza a trei necunoscute în valoarea generală a proporției. Metoda locală de calcul este recunoscută ca fiind valabilă. Sistemul de coordonate este dreptunghiular în mișcare relativă a planului. Soluția generală online a ecuațiilor diferențiale face posibilă tragerea fără ambiguitate a unei concluzii în favoarea unei analize computaționale prin definițiile matricei pe întreaga linie dreaptă situată deasupra graficului unei funcții specificate în mod explicit. Soluția este văzută dacă aplicați vectorul de mișcare la punctul de contact al celor trei emisfere. Cilindrul se obține prin rotirea dreptunghiului în jurul laturii și ecuațiile diferențiale liniare pot arăta direcția de mișcare a punctului conform expresiilor date ale legii sale de mișcare. Datele inițiale sunt corecte și problema de matematică este interschimbabilă într-o singură condiție. Cu toate acestea, din cauza circumstanțelor, având în vedere complexitatea subproblemei de setare, ecuațiile diferențiale simplifică procesul de spații numerice calculate la nivelul spațiului tridimensional. Este ușor să demonstrezi contrariul, dar se poate evita, ca în exemplul de mai sus. La matematica superioară sunt prevăzute următoarele puncte: atunci când o problemă este redusă la o formă simplificată, ar trebui extins la ea cel mai mare efort posibil din partea elevilor. Liniile suprapuse una peste alta cad în offset. Soluția diferențială Pro reia avantajul metodei menționate pe o linie curbă. Dacă nu recunoașteți la început ceea ce aveți nevoie, atunci formula matematică va face o nouă valoare a expresiei. Scopul este abordarea optimă a rezolvării sarcinilor stabilite de profesor. Nu trebuie să presupuneți că ecuațiile diferențiale liniare într-o formă simplificată vor depăși rezultatul așteptat. Amplasăm trei vectori pe o suprafață compusă finit. ortogonale între ele. Să calculăm produsul. Să efectuăm adăugarea unui număr mai mare de simboluri și să scriem toate variabilele funcției din expresia rezultată. Există o proporție. Câteva acțiuni care preced sfârșitul calculului nu vor da un răspuns fără ambiguitate la soluția ecuațiilor diferențiale imediat, ci numai după ce timpul alocat a trecut de-a lungul axei ordonatelor. În stânga punctului de discontinuitate, dat implicit din funcție, trasăm o axă ortogonală cu cel mai bun vector crescător și plasăm ecuațiile diferențiale online de-a lungul celei mai mici valori la limită a limitei inferioare a obiectului matematic. Să adăugăm un argument suplimentar în zona de pauză a funcției. În dreapta punctelor dreptei curbe, formulele scrise de noi pentru reducerea la un numitor comun vor ajuta la rezolvarea ecuației diferențiale online. Singura abordare corectă va fi cea care va face lumină asupra problemelor nerezolvate de la teorie la practică, în cazul general fără ambiguitate. Liniile în direcția coordonatelor punctelor date nu au închis niciodată poziția extremă a pătratului, totuși, rezolvarea ecuațiilor diferențiale online ne va ajuta atât studenții, cât și pe noi, și doar începătorii în acest domeniu, să studiem matematica. Vorbim despre posibilitatea substituirii argumentului valorii în toate subliniile semnificative ale unui câmp. În principiu, așa cum ar fi de așteptat, ecuațiile noastre diferențiale liniare sunt ceva izolat într-un singur concept al sensului redus. Pentru a ajuta studenții, unul dintre cele mai bune servicii similare este un calculator. Parcurgeți toate cursurile și alegeți-l pe cel mai potrivit pentru dvs.

=

Ecuație diferențială obișnuită numită ecuație care relaționează o variabilă independentă, o funcție necunoscută a acestei variabile și derivatele (sau diferențiale) ei de diferite ordine.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate conținute în ea.

Pe lângă cele obișnuite, sunt studiate și ecuațiile cu diferențe parțiale. Acestea sunt ecuații care relaționează variabile independente, o funcție necunoscută a acestor variabile și derivatele sale parțiale în raport cu aceleași variabile. Dar vom lua în considerare doar ecuații diferențiale obișnuite și de aceea vom omite cuvântul „obișnuit” pentru concizie.

Exemple de ecuații diferențiale:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ecuația (1) este de ordinul al patrulea, ecuația (2) este de ordinul al treilea, ecuațiile (3) și (4) sunt de ordinul doi, ecuația (5) este de ordinul întâi.

Ecuație diferențială n ordinea nu trebuie să conțină în mod explicit o funcție, toate derivatele ei de la primul la n de ordinul al-lea și o variabilă independentă. Este posibil să nu conțină în mod explicit derivate ale unor ordine, o funcție, o variabilă independentă.

De exemplu, în ecuația (1) în mod clar nu există derivate de ordinul trei și al doilea, precum și funcții; în ecuația (2) - derivată și funcție de ordinul doi; în ecuația (4) - variabilă independentă; în ecuația (5) - funcții. Doar ecuația (3) conține în mod explicit toate derivatele, funcția și variabila independentă.

Prin rezolvarea ecuației diferențiale orice funcție este numită y = f(x), înlocuindu-l pe care în ecuație, se transformă într-o identitate.

Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește ea integrare.

Exemplul 1 Găsiți o soluție pentru ecuația diferențială.

Decizie. Scriem această ecuație sub forma . Soluția este să găsim funcția prin derivata ei. Funcția originală, așa cum se știe din calculul integral, este antiderivată pentru, i.e.

Asta e rezolvarea ecuației diferențiale date . schimbându-se în ea C, vom obține soluții diferite. Am aflat că există un număr infinit de soluții pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Soluția generală a ecuației diferențiale n Ordinea este soluția sa exprimată explicit cu privire la funcția necunoscută și care conține n constante arbitrare independente, de ex.

Soluția ecuației diferențiale din exemplul 1 este generală.

Rezolvarea parțială a ecuației diferențiale se numește soluția sa, în care valori numerice specifice sunt atribuite constantelor arbitrare.

Exemplul 2 Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale și o soluție particulară pentru .

Decizie. Integram ambele părți ale ecuației de atâtea ori încât ordinea ecuației diferențiale este egală.

,

.

Ca rezultat, am obținut soluția generală -

dată o ecuație diferențială de ordinul trei.

Acum să găsim o soluție specială în condițiile specificate. Pentru a face acest lucru, înlocuim valorile lor în loc de coeficienți arbitrari și obținem

.

Dacă, pe lângă ecuația diferențială, condiția inițială este dată sub forma , atunci o astfel de problemă se numește Problema Cauchy . Valorile și sunt înlocuite în soluția generală a ecuației și se găsește valoarea unei constante arbitrare C, și apoi o soluție particulară a ecuației pentru valoarea găsită C. Aceasta este soluția la problema Cauchy.

Exemplul 3 Rezolvați problema Cauchy pentru ecuația diferențială din Exemplul 1 cu condiția .

Decizie. Inlocuim in solutia generala valorile din conditia initiala y = 3, X= 1. Primim

Scriem soluția problemei Cauchy pentru ecuația diferențială dată de ordinul întâi:

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale, chiar și a celor mai simple, necesită abilități bune în integrarea și preluarea derivatelor, inclusiv a funcțiilor complexe. Acest lucru poate fi văzut în exemplul următor.

Exemplul 4 Aflați soluția generală a ecuației diferențiale.

Decizie. Ecuația este scrisă în așa fel încât ambele părți să poată fi integrate imediat.

.

Aplicam metoda integrarii prin schimbarea variabilei (substitutie). Să , atunci .

Necesar să ia dx iar acum – atenție – o facem după regulile de diferențiere a unei funcții complexe, întrucât Xși există o funcție complexă ("măr" - extragerea rădăcinii pătrate sau, ceea ce este același - ridicarea la putere "o secundă", și "carne tocată" - expresia însăși sub rădăcină):

Găsim integrala:

Revenind la variabilă X, primim:

.

Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale de gradul I.

În rezolvarea ecuațiilor diferențiale vor fi necesare nu numai abilități din secțiunile anterioare de matematică superioară, ci și abilități de la matematica elementară, adică școlară. După cum sa menționat deja, într-o ecuație diferențială de orice ordin poate să nu existe o variabilă independentă, adică o variabilă X. Cunoștințele despre proporții care nu au fost uitate (totuși, oricine le place) de la banca școlii va ajuta la rezolvarea acestei probleme. Acesta este următorul exemplu.

Amintiți-vă problema cu care ne-am confruntat când am găsit integrale definite:

sau dy = f(x)dx. Soluția ei:

și se reduce la calculul unei integrale nedefinite. În practică, o sarcină mai dificilă este mai frecventă: găsirea unei funcții y, daca se stie ca satisface o relatie de forma

Această relație leagă variabila independentă X, funcție necunoscută yși derivatele sale până la ordin n inclusiv, sunt numite .

O ecuație diferențială include o funcție sub semnul derivatelor (sau diferențialelor) de un ordin sau altul. Ordinul celor mai mari se numește ordine (9.1) .

Ecuatii diferentiale:

- prima comanda

a doua comanda,

- al cincilea ordin etc.

O funcție care satisface o ecuație diferențială dată se numește soluție , sau integrală . A o rezolva înseamnă a-i găsi toate soluțiile. Dacă pentru funcţia dorită y a reusit sa obtinem o formula care da toate solutiile, atunci spunem ca i-am gasit solutia generala , sau integrală generală .

Decizie comună conţine n constante arbitrare si arata ca

Dacă se obține o relație care se referă X yși n constante arbitrare, într-o formă nepermisă cu privire la y -

atunci o astfel de relație se numește integrală generală a ecuației (9.1).

Problema Cauchy

Fiecare soluție specifică, adică fiecare funcție specifică care satisface o ecuație diferențială dată și nu depinde de constante arbitrare, se numește o soluție particulară , sau integrală privată. Pentru a obține soluții particulare (integrale) din cele generale, este necesar să se atașeze constantelor valori numerice specifice.

Graficul unei anumite soluții se numește curbă integrală. Soluția generală, care conține toate soluțiile particulare, este o familie de curbe integrale. Pentru o ecuație de ordinul întâi, această familie depinde de o constantă arbitrară; pentru ecuație n ordinul - de la n constante arbitrare.

Problema Cauchy este de a găsi o soluție particulară a ecuației n comandă, satisfăcătoare n condiții inițiale:

care determină n constante с 1 , с 2 ,..., c n.

Ecuații diferențiale de ordinul I

Pentru o nerezolvată în raport cu derivata, ecuația diferențială de ordinul I are forma

sau pentru permis relativ

Exemplul 3.46. Găsiți o soluție generală a ecuației

Decizie. Integrarea, obținem

unde C este o constantă arbitrară. Dacă dăm C valori numerice specifice, atunci obținem soluții particulare, de exemplu,

Exemplul 3.47. Luați în considerare o sumă tot mai mare de bani depusă în bancă, sub rezerva acumulării de 100 r dobândă compusă pe an. Fie Yo suma inițială de bani și Yx după expirare X ani. Când dobânda este calculată o dată pe an, primim

unde x = 0, 1, 2, 3,.... Când dobânda este calculată de două ori pe an, obținem

unde x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... La calcularea dobânzii n o dată pe an şi dacă x ia succesiv valorile 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., apoi

Notăm 1/n = h , atunci egalitatea anterioară va arăta astfel:

Cu mărire nelimitată n(la ) în limită ajungem la procesul de creștere a sumei de bani cu acumulare continuă a dobânzii:

Astfel, se poate observa că cu o schimbare continuă X legea modificării masei monetare este exprimată printr-o ecuație diferențială de ordinul I. Unde Y x este o funcție necunoscută, X- variabila independenta, r- constant. Rezolvăm această ecuație, pentru aceasta o rescriem după cum urmează:

Unde , sau , unde P reprezintă e C .

Din condițiile inițiale Y(0) = Yo , găsim P: Yo = Pe o , de unde, Yo = P. Prin urmare, soluția arată astfel:

Luați în considerare a doua problemă economică. Modelele macroeconomice sunt descrise și prin ecuații diferențiale liniare de ordinul I, care descriu modificarea venitului sau producției Y în funcție de timp.

Exemplul 3.48. Fie ca venitul național Y să crească proporțional cu mărimea sa:

și să fie, deficitul în cheltuielile guvernamentale este direct proporțional cu venitul Y cu un coeficient de proporționalitate q. Deficitul de cheltuieli duce la o creștere a datoriei naționale D:

Condiții inițiale Y = Yo și D = Do la t = 0. Din prima ecuație Y= Yoe kt . Înlocuind Y obținem dD/dt = qYoe kt . Soluția generală are forma
D = (q/ k) Yoe kt +С, unde С = const, care se determină din condițiile inițiale. Înlocuind condițiile inițiale, obținem Do = (q/k)Yo + C. Deci, în sfârșit,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

aceasta arată că datoria națională crește în aceeași rată relativă k, care este venitul național.

Luați în considerare cele mai simple ecuații diferențiale n ordine, acestea sunt ecuații de formă

Soluția sa generală poate fi obținută folosind n vremuri de integrare.

Exemplul 3.49. Luați în considerare exemplul y """ = cos x.

Decizie. Integrarea, găsim

Soluția generală are forma

Ecuații diferențiale liniare

În economie, sunt de mare folos, luați în considerare soluția unor astfel de ecuații. Dacă (9.1) are forma:

atunci se numește liniar, unde po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) sunt date funcții. Dacă f(x) = 0, atunci (9.2) se numește omogen, în caz contrar se numește neomogen. Soluția generală a ecuației (9.2) este egală cu suma oricăreia dintre soluțiile sale particulare y(x) iar soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare acesteia:

Dacă coeficienții p o (x), p 1 (x),..., p n (x) sunt constante, atunci (9.2)

(9.4) se numește ecuație diferențială liniară cu coeficienți de ordin constanți n .

Pentru (9.4) are forma:

Putem seta fără pierderea generalității p o = 1 și scrie (9.5) sub forma

Vom căuta o soluție (9.6) sub forma y = e kx , unde k este o constantă. Noi avem: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Înlocuim expresiile obţinute în (9.6), vom avea:

(9.7) este o ecuație algebrică, necunoscuta ei este k, se numește caracteristic. Ecuația caracteristică are grad nși n rădăcini, printre care pot fi atât multiple, cât și complexe. Fie k 1 , k 2 ,..., k n reale și distincte, atunci sunt soluții particulare (9.7), în timp ce cele generale

Considerăm o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți:

Ecuația sa caracteristică are forma

(9.9)

discriminantul său D = p 2 - 4q, în funcție de semnul lui D, sunt posibile trei cazuri.

1. Dacă D>0, atunci rădăcinile k 1 și k 2 (9.9) sunt reale și diferite, iar soluția generală are forma:

Decizie. Ecuația caracteristică: k 2 + 9 = 0, de unde k = ± 3i, a = 0, b = 3, soluția generală este:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul doi sunt utilizate pentru a studia un model economic asemănător web cu stocuri de bunuri, în care rata de modificare a prețului P depinde de mărimea stocului (a se vedea punctul 10). Dacă cererea și oferta sunt funcții liniare ale prețului, adică

a - este o constantă care determină viteza de reacție, apoi procesul de modificare a prețului este descris printr-o ecuație diferențială:

Pentru o anumită soluție, puteți lua o constantă

care are semnificaţia preţului de echilibru. Deviere satisface ecuaţia omogenă

(9.10)

Ecuația caracteristică va fi următoarea:

În cazul în care, termenul este pozitiv. Denota . Rădăcinile ecuației caracteristice k 1,2 = ± i w, deci soluția generală (9.10) are forma:

unde C și constante arbitrare, acestea sunt determinate din condițiile inițiale. Am obținut legea modificării prețului în timp:

Introduceți ecuația diferențială, apostroful """ este folosit pentru a introduce derivata, apăsați pe trimitere și obțineți soluția