Definiția 2.7. este o pereche de numere aleatoare (X, Y), sau un punct de pe planul de coordonate (Fig. 2.11).
Orez. 2.11.
O variabilă aleatoare bidimensională este un caz special al unei variabile aleatoare multidimensionale sau vector aleatoriu.
Definiția 2.8. vector aleatoriu - este o funcție aleatoare?,(/) cu un set finit de valori posibile ale argumentelor t, a cărui valoare pentru orice valoare t este o variabilă aleatoare.
O variabilă aleatoare bidimensională se numește continuă dacă coordonatele sale sunt continue și discretă dacă coordonatele sale sunt discrete.
A stabili legea distribuției variabilelor aleatoare bidimensionale înseamnă a stabili o corespondență între valorile posibile ale acesteia și probabilitatea acestor valori. În funcție de modalitățile de setare, variabilele aleatoare sunt împărțite în continue și discrete, deși există modalități generale de a stabili legea distribuției oricărui RV.
Variabilă aleatoare bidimensională discretă
O variabilă aleatoare bidimensională discretă este specificată folosind un tabel de distribuție (Tabelul 2.1).
Tabelul 2.1
Tabel de alocare (alocare comună) BC ( X, U)
Elementele tabelului sunt definite de formulă
Proprietățile elementului tabelului de distribuție:
Distribuția pe fiecare coordonată este numită unidimensional sau marginal:
R 1> = P(X =.d,) - distribuția marginală a SW X;
p^2) = P(Y= y,)- distribuția marginală a SV U.
Comunicarea distribuirii în comun a CB Xși Y, dat de setul de probabilități [p () ), i = 1,..., n,j = 1,..., t(tabel de distribuție) și distribuție marginală.
La fel și pentru SV U p- 2)= X p, g
Problema 2.14. Dat:
Variabilă aleatoare 2D continuă
/(X, y)dxdy- element de probabilitate pentru o variabilă aleatoare bidimensională (X, Y) - probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare (X, Y) într-un dreptunghi cu laturi cbc, dy la dx, dy -* 0:
f(x, y) - densitatea de distribuție variabilă aleatoare bidimensională (X, Y). Sarcina /(x, y) oferim informații complete despre distribuția unei variabile aleatoare bidimensionale.
Distribuțiile marginale sunt specificate după cum urmează: pentru X - prin densitatea de distribuție a CB X/,(x); pe Y- Densitatea distribuției SV f>(y).
Stabilirea legii de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale prin funcția de distribuție
O modalitate universală de a specifica legea distribuției pentru o variabilă aleatoare bidimensională discretă sau continuă este funcția de distribuție F(x, y).
Definiția 2.9. Funcția de distribuție F(x, y)- probabilitatea producerii comune a evenimentelor (Xy), i.e. F(x0,y n) = = P(X y), aruncat pe planul de coordonate, se încadrează într-un cadran infinit cu un vârf în punctul M(x 0, tu i)(în zona umbrită din fig. 2.12).
Orez. 2.12. Ilustrație a funcției de distribuție F( X y)
Proprietățile funcției F(x, y)
- 1) 0 1;
- 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
- 3) F(x, y)- nedescrescătoare în fiecare argument;
- 4) F(x, y) - continuă stânga și jos;
- 5) consistența distribuțiilor:
F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - distribuţie marginală peste Y F( oo, y) = F 2 (y). Conexiune /(X y) cu F(x, y):
Relația dintre densitatea articulației și densitatea marginală. Dana f(x, y). Obținem densitățile de distribuție marginală f(x),f 2 (y)”.
Cazul coordonatelor independente ale unei variabile aleatoare bidimensionale
Definiția 2.10. SW Xși Independent de Y(nc) dacă orice evenimente asociate cu fiecare dintre aceste RV sunt independente. Din definiția nc CB rezultă:
- 1 )Pij = p X) pf
- 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).
Se pare că pentru SW independenți Xși Y finalizat și
3 )f(x,y) = J(x)f,(y).
Să demonstrăm că pentru SW independente Xși Y2) 3). dovada, a) Fie 2), adică
în același timp F(x,y) = f J f(u,v)dudv, de unde rezultă 3);
b) să țină 3 acum, atunci
acestea. adevărat 2).
Să luăm în considerare sarcinile.
Problema 2.15. Distribuția este dată de următorul tabel:
Construim distribuții marginale:
Primim P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0,1485 => => SV Xși Dependenții.
Funcția de distribuție:
Problema 2.16. Distribuția este dată de următorul tabel:
Primim P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => SW Xși Y nz.
Problema 2.17. Dana /(x, y) = 1/st exp| -0,5(d "+ 2xy + 5d/ 2)]. A găsi Oh)și /Ay)-
Decizie
(calculeaza-te).
Destul de des, atunci când studiem variabile aleatoare, trebuie să faci față cu două, trei sau chiar mai multe variabile aleatoare. De exemplu, variabila aleatoare bidimensională $\left(X,\Y\right)$ va descrie punctul de lovire al proiectilului, unde variabilele aleatoare $X,\Y$ sunt abscisa și, respectiv, ordonata. Performanța unui elev aleatoriu în timpul sesiunii este caracterizată de o variabilă aleatoare $n$-dimensională $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, unde variabilele aleatoare sunt $X_1,\ X_2 ,\ \dots ,\ X_n $ - acestea sunt notele înscrise în carnetul de note la diferite discipline.
Setul de $n$ variabile aleatoare $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ este numit vector aleatoriu. Ne restrângem la cazul $\left(X,\Y\right)$.
Fie $X$ o variabilă aleatoare discretă cu valori posibile $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$ și $Y$ o variabilă aleatoare discretă cu posibile valori $y_1,y_2,\ \dots , \ y_n$.
Atunci o variabilă aleatoare bidimensională discretă $\left(X,\Y\right)$ poate lua valorile $\left(x_i,\ y_j\right)$ cu probabilități $p_(ij)=P\left( \left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Aici $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ este probabilitatea condiționată ca variabila aleatoare $Y$ să ia valoarea $y_j$ dat fiind că variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x_i$.
Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x_i$ este egală cu $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Probabilitatea ca variabila aleatoare $Y$ să ia valoarea $y_j$ este egală cu $q_j=\sum_i(p_(ij))$.
$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\peste (P\ stânga(Y=y_j\dreapta)))=((p_(ij))\peste (q_j)).$$
$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\peste (P\ stânga(X=x_i\dreapta)))=((p_(ij))\peste (p_i)).$$
Exemplul 1 . Distribuția unei variabile aleatoare bidimensionale este dată:
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(matrice)$
Să definim legile de distribuție pentru variabilele aleatoare $X$ și $Y$. Să găsim distribuțiile condiționate ale variabilei aleatoare $X$ în condiția $Y=2$ și variabilei aleatoare $Y$ în condiția $X=0$.
Să completăm următorul tabel:
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(matrice)$
Să explicăm cum este umplut tabelul. Valorile primelor trei coloane ale primelor patru rânduri sunt luate din condiție. Suma numerelor coloanelor $2$th și $3$th din rândul $2$th ($3$th) este indicată în coloana $4$th a rândului $2$th ($3$th). Suma numerelor din coloanele $2$th și $3$th din rândul $4$th este indicată în coloana $4$th a rândului $4$th.
Suma numerelor din rândurile $2$th, $3$th și $4$th ale coloanei $2$th ($3$th) este scrisă în rândul $5$th al coloanei $2$th ($3$th). Fiecare număr din coloana $2$ este împărțit la $q_1=0,52$, rezultatul este rotunjit la două zecimale și scris în coloana $5$. Numerele din coloanele $2$th și $3$th din rândul $3$th sunt împărțite la $p_2=0,41$, rezultatul este rotunjit la două zecimale și scris în ultimul rând.
Atunci legea distribuției variabilei aleatoare $X$ are următoarea formă.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end(matrice)$
Legea distribuției variabilei aleatoare $Y$.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end(matrice)$
Distribuția condiționată a variabilei aleatoare $X$ în condiția $Y=2$ are următoarea formă.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(matrice)$
Distribuția condiționată a variabilei aleatoare $Y$ în condiția $X=0$ are următoarea formă.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end(matrice)$
Exemplul 2 . Avem șase creioane, dintre care două sunt roșii. Punem creioanele în două cutii. bucăți de $2$ sunt puse în prima, iar două în a doua. $X$ este numărul de creioane roșii din prima casetă, iar $Y$ este în a doua. Scrieți legea distribuției pentru sistemul de variabile aleatoare $(X,\ Y)$.
Fie variabila aleatoare discretă $X$ numărul de creioane roșii din prima casetă, iar variabila aleatoare discretă $Y$ să fie numărul de creioane roșii din a doua casetă. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare $X,\ Y$ sunt respectiv $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Atunci o variabilă aleatoare bidimensională discretă $\left(X,\Y\right)$ poate lua valorile $\left(x,\y\right)$ cu probabilități $P=P\left(\left( X=x\right) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, unde $P\left(Y =y|X=x\right)$ - probabilitatea condiționată ca variabila aleatoare $Y$ să ia valoarea $y$, cu condiția ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x$. Să reprezentăm corespondența dintre valorile $\left(x,\y\right)$ și probabilitățile $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) \right)$ după cum urmează tabelele.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 și ((1)\peste (15)) și ((4)\peste (15)) și ((1)\peste (15)) \\
\hline
1 și ((4)\peste (15)) și ((4)\peste (15)) și 0 \\
\hline
2 și ((1)\peste (15)) și 0 și 0 \\
\hline
\end(matrice)$
Rândurile unui astfel de tabel indică valorile $X$, iar coloanele indică valorile $Y$, apoi probabilitățile $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y) =y\dreapta)\dreapta)$ sunt indicate la intersecția rândului și coloanei corespunzătoare. Să calculăm probabilitățile folosind definiția clasică a probabilității și teorema produsului a probabilităților evenimentelor dependente.
$$P\left(\left(X=0\dreapta)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\peste (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\peste (15))\cdot ((1)\peste (6))=((1)\peste (15));$$
$$P\left(\left(X=0\dreapta)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\peste (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\dreapta)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\peste (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\peste (15))\cdot ((1)\peste (6))=((1)\peste (15));$$
$$P\left(\left(X=1\dreapta)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\peste (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\peste (C^2_4))=((2\cdot 4)\peste (15))\cdot ((3)\peste (6))=((4)\peste (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\dreapta)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\peste (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4)\peste(15));$$
$$P\left(\left(X=2\dreapta)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\peste (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\peste (15))\cdot 1=((1)\peste (15)).$$
Deoarece în legea distribuției (tabelul rezultat) întregul set de evenimente formează un grup complet de evenimente, suma probabilităților ar trebui să fie egală cu 1. Să verificăm asta:
$$\sum_(i,\ j)(p_(ij))=((1)\peste (15))+((4)\peste (15))+((1)\peste (15))+ ((4)\peste (15))+((4)\peste (15))+((1)\peste (15))=1.$$
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale
functie de distributie O variabilă aleatoare bidimensională $\left(X,\Y\right)$ este o funcție $F\left(x,\y\right)$, care pentru orice numere reale $x$ și $y$ este egală cu probabilitatea executării în comun a două evenimente $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\ y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
Pentru o variabilă aleatoare bidimensională discretă, funcția de distribuție se găsește prin însumarea tuturor probabilităților $p_(ij)$ pentru care $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\ y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Proprietăți ale funcției de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale.
1 . Funcția de distribuție $F\left(x,\ y\right)$ este mărginită, adică $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\ y\right)$ nedescrescătoare pentru fiecare dintre argumentele sale cu celălalt fix, adică $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1,\ y\ dreapta )$ pentru $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ pentru $y_2>y_1$.
3 . Dacă cel puțin unul dintre argumente ia valoarea $-\infty $, atunci funcția de distribuție va fi egală cu zero, adică $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ - \infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Dacă ambele argumente iau valoarea $+\infty $, atunci funcția de distribuție va fi egală cu $1$, adică $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . În cazul în care exact unul dintre argumente ia valoarea $+\infty $, funcția de distribuție $F\left(x,\ y\right)$ devine funcția de distribuție a variabilei aleatoare corespunzătoare celuilalt element, adică $ F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\y\right)=F_y\left (y\dreapta) =F_Y\stanga(y\dreapta)$.
6 . $F\left(x,\y\right)$ este lăsat continuu pentru fiecare dintre argumentele sale, de exemplu.
$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\ y\right)\ )=F\left(x_0,\ y\right),\ (\mathop(lim) _(y\la y_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x,\y_0\right).$$
Exemplul 3 . Fie o variabilă aleatoare bidimensională discretă $\left(X,\Y\right)$ să fie dată de o serie de distribuție.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 \\
\hline
0 și ((1)\peste (6)) și ((2)\peste (6)) \\
\hline
1 și ((2)\peste (6)) și ((1)\peste (6)) \\
\hline
\end(matrice)$
Apoi funcția de distribuție:
$F(x,y)=\left\(\begin(matrix)
0,\ la\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ la\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ pentru\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ la\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\peste (6)),\ la\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\peste (6))+((2)\peste (6))=((1)\peste (2)),\ când\ 0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ pentru\ x>1,\ y\le 0 \\
((1)\peste (6))+((2)\peste (6))=((1)\peste (2)),\ când\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\peste (6))+((2)\peste (6))+((2)\peste (6))+((1)\peste (6))=1,\ pentru\ x >1,\ y>1 \\
\end(matrice)\dreapta.$
distribuție discretă bivariată aleatorie
Adesea rezultatul experimentului este descris de mai multe variabile aleatoare: . De exemplu, vremea într-un anumit loc la un anumit moment al zilei poate fi caracterizată prin următoarele variabile aleatorii: X 1 - temperatura, X 2 - presiune, X 3 - umiditatea aerului, X 4 - viteza vântului.
În acest caz, se vorbește despre o variabilă aleatoare multidimensională sau un sistem de variabile aleatoare.
Luați în considerare o variabilă aleatoare bidimensională ale cărei valori posibile sunt perechi de numere. Geometric, o variabilă aleatoare bidimensională poate fi interpretată ca un punct aleatoriu pe un plan.
Dacă componentele Xși Y sunt variabile aleatoare discrete, atunci este o variabilă aleatoare bidimensională discretă și dacă Xși Y sunt continue, atunci este o variabilă aleatoare bidimensională continuă.
Legea distribuției probabilităților unei variabile aleatoare bidimensionale este corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile acestora.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete bidimensionale poate fi dată sub forma unui tabel cu intrări duble (vezi tabelul 6.1), unde este probabilitatea ca componenta X a căpătat sensul X i, și componenta Y- sens y j .
Tabelul 6.1.1.
|
y 1 |
y 2 |
y j |
y m |
|||
|
X 1 |
p 11 |
p 12 |
p 1j |
p 1m |
||
|
X 2 |
p 21 |
p 22 |
p 2j |
p 2m |
||
|
X i |
p i1 |
p i2 |
p ij |
p Sunt |
||
|
X n |
p n1 |
p n2 |
p nj |
p nm |
Deoarece evenimentele alcătuiesc un grup complet de evenimente incompatibile în perechi, suma probabilităților este egală cu 1, adică.
Din tabelul 6.1 puteți găsi legile de distribuție a componentelor unidimensionale Xși Y.
Exemplu 6.1.1 . Găsiți legile distribuției componentelor Xși Y, dacă distribuţia unei variabile aleatoare bidimensionale este dată sub forma tabelului 6.1.2.
Tabelul 6.1.2.
Dacă fixăm valoarea unuia dintre argumente, de exemplu, atunci distribuția rezultată a cantității X se numește distribuție condiționată. Distribuția condiționată este definită în mod similar Y.
Exemplu 6.1.2 . Conform distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale prezentate în tabel. 6.1.2, găsiți: a) legea distribuției condiționate a componentei X dat fiind; b) legea distribuţiei condiţionate Y cu conditia ca.
Decizie. Probabilități condiționate ale componentelor Xși Y calculate prin formule
Legea distribuției condiționate X condiția are forma
Controlul: .
Legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale poate fi dată ca functii de distributie, care determină pentru fiecare pereche de numere probabilitatea ca X capătă o valoare mai mică decât X, și în care Y capătă o valoare mai mică decât y:
Din punct de vedere geometric, funcția înseamnă probabilitatea ca un punct aleatoriu să cadă într-un pătrat infinit cu un vârf în punct (Fig. 6.1.1).
Să notăm proprietățile.
- 1. Domeniul funcției - , adică. .
- 2. Funcție - funcție nedescrescătoare pentru fiecare argument.
- 3. Există relații limitative:
Când , funcția de distribuție a sistemului devine egală cu funcția de distribuție a componentei X, adică .
La fel, .
Știind, puteți găsi probabilitatea ca un punct aleatoriu să se încadreze în dreptunghiul ABCD.
Și anume,
Exemplul 6.1.3. Variabilă aleatoare discretă bivariată definită de tabelul de distribuție
Găsiți funcția de distribuție.
Decizie. Valoare în cazul componentelor discrete Xși Y se găsește prin însumarea tuturor probabilităților cu indici iși j, pentru care, . Apoi, dacă și, atunci (evenimentele și sunt imposibile). În mod similar, obținem:
dacă și atunci;
dacă și atunci;
dacă și atunci;
dacă și atunci;
dacă și atunci;
dacă și atunci;
dacă și atunci;
dacă și atunci;
dacă și atunci.
Rezultatele obţinute sunt prezentate sub forma unui tabel (6.1.3) de valori:
Pentru bidimensional continuu variabilă aleatoare, se introduce conceptul de densitate de probabilitate
Densitatea de probabilitate geometrică este o suprafață de distribuție în spațiu
O densitate de probabilitate bidimensională are următoarele proprietăți:
3. Funcția de distribuție poate fi exprimată prin formula
4. Probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare continuă în zonă este egală cu
5. În conformitate cu proprietatea (4) a funcției, au loc formulele:
Exemplul 6.1.4. Este dată funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale
O pereche ordonată (X , Y) de variabile aleatoare X și Y se numește o variabilă aleatoare bidimensională sau un vector aleatoriu al unui spațiu bidimensional. O variabilă aleatoare bidimensională (X,Y) se mai numește și un sistem de variabile aleatoare X și Y. Mulțimea tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete cu probabilitățile lor se numește legea de distribuție a acestei variabile aleatoare. O variabilă aleatoare bidimensională discretă (X, Y) este considerată dată dacă legea sa de distribuție este cunoscută:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
Atribuirea serviciului. Folosind serviciul, conform unei legi de distribuție date, puteți găsi:
- seriile de distribuție X și Y, așteptarea matematică M[X], M[Y], varianța D[X], D[Y];
- covarianța cov(x,y), coeficientul de corelație r x,y , seria de distribuție condiționată X, așteptarea condiționată M;
Instruire. Precizați dimensiunea matricei de distribuție a probabilității (număr de rânduri și coloane) și forma acesteia. Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word.
Exemplul #1. O variabilă aleatoare discretă bidimensională are un tabel de distribuție:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Decizie. Găsim valoarea q din condiția Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. De unde q = 0,09
Folosind formula ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), găsiți seria de distribuție X.
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Dispersia D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Deviație standardσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801
covarianta cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 20 0.02 + 1 30 0.02 + 0.02 + 0.02 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Coeficient de corelație rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
Exemplul 2 . Datele de prelucrare statistică a informațiilor privind doi indicatori X și Y sunt reflectate în tabelul de corelații. Necesar:
- scrieți seriile de distribuție pentru X și Y și calculați mediile eșantionului și abaterile standard ale eșantionului pentru acestea;
- scrieți seria de distribuție condiționată Y/x și calculați mediile condiționate Y/x;
- descrieți grafic dependența mediilor condiționate Y/x de valorile lui X;
- se calculează coeficientul de corelație al eșantionului Y pe X;
- scrieți un exemplu de ecuație de regresie directă;
- reprezentați geometric datele tabelului de corelare și construiți o linie de regresie.
Setul tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete cu probabilitățile lor se numește legea de distribuție a acestei variabile aleatoare.
O variabilă aleatoare bidimensională discretă (X,Y) este considerată dată dacă legea sa de distribuție este cunoscută:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
| X Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Dependența variabilelor aleatoare X și Y.
Găsiți seriile de distribuție X și Y.
Folosind formula ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), găsiți seria de distribuție X. Așteptări matematice M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Dispersia D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Abaterea standard σ(y).
Deoarece, P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, atunci variabilele aleatoare X și Y dependent.
2. Legea distribuției condiționate X.
Legea distribuției condiționate X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Așteptări condiționate M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Varianta condiționată D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Legea distribuției condiționate X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Așteptări condiționate M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Legea distribuției condiționate X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Așteptări condiționate M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Legea distribuției condiționate X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Așteptări condiționate M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Legea distribuției condiționate X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Așteptări condiționate M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Legea distribuției condiționate Y.
Legea distribuției condiționate Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Așteptări condiționate M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Varianta condiționată D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Legea distribuției condiționate Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Așteptări condiționate M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Varianță condiționată D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Legea distribuției condiționate Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Așteptări condiționate M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Legea distribuției condiționate Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Așteptări condiționate M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Legea distribuției condiționate Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Așteptări condiționate M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Legea distribuției condiționate Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Așteptări condiționate M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
covarianta.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 30 3 4 + 40 31 4 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Dacă variabilele aleatoare sunt independente, atunci covarianța lor este zero. În cazul nostru cov(X,Y) ≠ 0.
Coeficient de corelație.
Ecuația de regresie liniară de la y la x este:
Ecuația de regresie liniară de la x la y este:
Găsiți caracteristicile numerice necesare.
Eșantion înseamnă:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
dispersii:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
De unde obținem abaterile standard:
σ x = 9,99 și σ y = 4,9
si covarianta:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 30 3 4 + 40 31 4 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Să definim coeficientul de corelație:
Să notăm ecuațiile dreptelor de regresie y(x):
și calculând, obținem:
yx = 0,38x + 9,14
Să scriem ecuațiile dreptelor de regresie x(y):
și calculând, obținem:
x y = 1,59 y + 2,15
Dacă construim punctele definite de tabel și de liniile de regresie, vom vedea că ambele drepte trec prin punctul cu coordonatele (42.3; 25.3) iar punctele sunt situate aproape de liniile de regresie.
Semnificația coeficientului de corelație.
Conform tabelului lui Student cu nivelul de semnificație α=0,05 și grade de libertate k=100-m-1 = 98 găsim t crit:
t crit (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
unde m = 1 este numărul de variabile explicative.
Dacă t obs > t este critic, atunci valoarea obținută a coeficientului de corelație este recunoscută ca semnificativă (se respinge ipoteza nulă care afirmă că coeficientul de corelație este egal cu zero).
Deoarece t obl > t crit, respingem ipoteza că coeficientul de corelație este egal cu 0. Cu alte cuvinte, coeficientul de corelație este semnificativ statistic.
Exercițiu. Numărul de accesări ale perechilor de valori ale variabilelor aleatoare X și Y în intervalele corespunzătoare este prezentat în tabel. Din aceste date, găsiți coeficientul de corelație al eșantionului și ecuațiile eșantionului ale dreptelor de regresie Y pe X și X pe Y.
Decizie
Exemplu. Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare bidimensionale (X, Y) este dată de un tabel. Aflați legile de distribuție a mărimilor componente X, Y și coeficientul de corelație p(X, Y).
Descărcați soluția
Exercițiu. O valoare discretă bidimensională (X, Y) este dată de o lege de distribuție. Aflați legile de distribuție ale componentelor X și Y, covarianța și coeficientul de corelație.
