Formula probabilității totale vă permite să găsiți probabilitatea unui eveniment A, care poate apărea numai cu fiecare dintre n evenimente care se exclud reciproc care formează un sistem complet dacă probabilitățile lor sunt cunoscute și probabilități condiționate evenimente A cu privire la fiecare dintre evenimentele sistemului sunt egale cu .

Evenimentele sunt numite și ipoteze, se exclud reciproc. Prin urmare, în literatură puteți găsi și desemnarea lor nu după literă B, dar cu o scrisoare H(ipoteză).

Pentru a rezolva problemele cu astfel de condiții, este necesar să luați în considerare 3, 4, 5 sau în cazul general n posibilitatea unui eveniment A- cu fiecare eveniment.

Folosind teoremele adunării și înmulțirii probabilităților, obținem suma produselor probabilității fiecăruia dintre evenimentele sistemului prin probabilitate condițională evenimente A pentru fiecare eveniment din sistem. Adică probabilitatea unui eveniment A poate fi calculată prin formula

sau în general

,

Care e numit formula probabilității totale .

Formula probabilității totale: exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 Există trei urne cu aspect identic: prima are 2 bile albe și 3 negre, a doua are 4 albe și una neagră, iar a treia are trei bile albe. Cineva se apropie aleatoriu de una dintre urne și scoate o minge din ea. A profita formula probabilității totale, aflați probabilitatea ca mingea să fie albă.

Decizie. Eveniment A- aspectul unei mingi albe. Propunem trei ipoteze:

Prima urnă selectată;

Se alege a doua urna;

A fost aleasă a treia urnă.

Probabilități de evenimente condiționate A pentru fiecare dintre ipoteze:

, , .

Aplicăm formula probabilității totale, ca rezultat - probabilitatea necesară:

.

Exemplul 2 La prima fabrică, din 100 de becuri, se produc în medie 90 de becuri standard, la a doua - 95, la a treia - 85, iar produsele acestor fabrici reprezintă 50%, 30% și 20%, respectiv, a tuturor becurilor electrice furnizate magazinelor dintr-o anumită zonă. Găsiți probabilitatea de a cumpăra un bec standard.

Decizie. Să notăm probabilitatea de a obține un bec standard ca A, și evenimentele că becul achiziționat a fost fabricat la prima, a doua și, respectiv, a treia fabrică prin . După condiție, se cunosc probabilitățile acestor evenimente: , , și probabilitățile condiționate ale evenimentului A referitor la fiecare dintre ele: , , . Acestea sunt probabilitățile de achiziție a unui bec standard, cu condiția ca acesta să fie fabricat la prima, a doua și, respectiv, a treia fabrică.

Eveniment A va avea loc dacă are loc un eveniment sau K- becul este realizat la prima fabrica si este standard, sau eveniment L- becul este realizat la a doua fabrica si este standard, sau eveniment M- becul este fabricat la a treia fabrica si este standard. Alte posibilități de producere a evenimentului A Nu. Prin urmare, evenimentul A este suma evenimentelor K, Lși M care sunt incompatibile. Aplicând teorema de adunare a probabilității, reprezentăm probabilitatea unui eveniment A la fel de

iar prin teorema înmulțirii probabilităților obținem

adică un caz special al formulei probabilității totale.

Înlocuind probabilitățile în partea stângă a formulei, obținem probabilitatea evenimentului A :

Exemplul 3 Aeronava aterizează pe aeroport. Dacă vremea o permite, pilotul aterizează avionul, folosind, pe lângă instrumente, și observația vizuală. În acest caz, probabilitatea unei aterizări reușite este de . Dacă aerodromul este acoperit cu nori joase, atunci pilotul aterizează avionul, orientându-se doar pe instrumente. În acest caz, probabilitatea unei aterizări reușite este de ; . Dispozitivele care asigură aterizare oarbă au fiabilitate (probabilitate de funcționare fără defecțiuni) P. În prezența înnorării scăzute și a instrumentelor de aterizare orb eșuate, probabilitatea unei aterizări reușite este de ; . Statisticile arată că în k% din aterizări, aerodromul este acoperit cu nori joase. A găsi probabilitatea deplină a evenimentului A- aterizarea sigură a aeronavei.

Decizie. Ipoteze:

Nu există acoperire de nori joasă;

Există nori scăzut.

Probabilitățile acestor ipoteze (evenimente):

;

Probabilitate condițională.

Probabilitatea condiționată se găsește din nou prin formula pentru probabilitatea totală cu ipoteze

Dispozitivele de aterizare oarbă funcționează;

Instrumentele de aterizare oarbă au eșuat.

Probabilitățile acestor ipoteze sunt:

Conform formulei probabilității totale

Exemplul 4 Dispozitivul poate funcționa în două moduri: normal și anormal. Modul normal este observat în 80% din toate cazurile de funcționare a dispozitivului și anormal - în 20% din cazuri. Probabilitatea defecțiunii dispozitivului într-un anumit timp t egal cu 0,1; în anormal 0,7. A găsi probabilitate deplină defectarea dispozitivului la timp t.

Decizie. Notăm din nou probabilitatea defecțiunii dispozitivului ca A. Deci, în ceea ce privește funcționarea dispozitivului în fiecare mod (evenimente), probabilitățile sunt cunoscute după condiție: pentru modul normal este de 80% (), pentru modul anormal - 20% (). Probabilitatea evenimentului A(adică defecțiunea dispozitivului) în funcție de primul eveniment (mod normal) este 0,1 (); în funcție de al doilea eveniment (mod anormal) - 0,7 ( ). Înlocuim aceste valori în formula probabilității totale (adică suma produselor probabilității fiecăruia dintre evenimentele sistemului și probabilitatea condiționată a evenimentului A referitoare la fiecare dintre evenimentele sistemului) și avem rezultatul cerut.

Dacă evenimentul DAR poate avea loc numai împreună cu unul dintre evenimentele ,, ..., formând un grup complet de evenimente incompatibile (aceste evenimente se numesc ipoteze), atunci probabilitatea de apariție a evenimentului A se calculează prin formula probabilitate deplină :

. (4.1)

Lăsați evenimentul în schema descrisă mai sus DAR s-a întâmplat şi se cere să se afle probabilitatea ca acesta să se fi întâmplat împreună cu una dintre ipoteze . Această probabilitate se calculează din Formule Bayes :

, . (4.2)

Mostre de rezolvare a problemelor

Exemplu1 ‑ Există trei urne cu aspect identic; prima are 2 bile albe si 3 negre, a doua are 4 bile albe si 1 neagra, a treia are 3 bile albe. Una dintre urne este aleasă la întâmplare și din ea se extrage o minge. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.

Decizie

Experiența sugerează trei ipoteze:

-selectarea primei urne, ;

-selectarea celei de-a doua urne, ;

-selectarea celei de-a treia urne, .

Luați în considerare evenimentul de interes A - bila extrasă este albă. Acest eveniment poate avea loc numai în combinație cu una dintre următoarele ipoteze:

Conform formulei probabilității totale (4.1), obținem

Răspuns: .

Exemplu2 ‑ Două mașini produc aceleași piese care sunt alimentate la un transportor comun. Performanța primei mașini este de două ori mai mare decât a celei de-a doua. Prima mașină produce în medie 60% din piese de calitate excelentă, iar a doua - 84%. Piesa luată la întâmplare de pe linia de asamblare s-a dovedit a fi de o calitate excelentă. Găsiți probabilitatea ca acest articol să fi fost produs de prima mașină.

Decizie

Se pot face două ipoteze (ipoteze): - piesa este produsă de primul automat și (deoarece primul automat produce de două ori mai multe piese decât al doilea); - piesa este produsă de al doilea automat și .

Probabilitatea condiționată ca piesa să fie de calitate excelentă dacă este produsă de prima mașină, dacă este produsă de a doua mașină.

Probabilitatea ca o parte luată la întâmplare să fie de calitate excelentă, conform formulei probabilității totale (4.1), este egală cu:

Probabilitatea dorită ca partea excelentă luată să fie produsă de primul automat, conform formulei Bayes, este egală cu:

.

Răspuns: .

Sarcini pentru soluție independentă

1 În lotul de sportivi sunt 20 de schiori, 6 bicicliști și 4 alergători. Probabilitatea de a îndeplini standardul de calificare este următoarea: pentru un schior - 0,9, pentru un biciclist - 0,8 și pentru un alergător - 0,75. Găsiți probabilitatea ca un sportiv, ales la întâmplare, să îndeplinească norma.

2 Dintr-o urna care contine 5 bile albe si 3 negre, o bila este extrasa la intamplare si transferata intr-o alta urna, care continea anterior 2 bile albe si 7 negre. Culoarea mingii transferate nu este fixă. O minge este extrasă la întâmplare din a doua urnă. Care este probabilitatea ca această minge să fie albă?

3 Există 5 puști în piramidă, dintre care trei sunt echipate cu o vizor optic. Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta atunci când este tras de la o pușcă cu o vizor telescopic este de 0,95; pentru o pușcă cu lunetă normală, această probabilitate este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie lovită dacă trăgătorul trage o singură lovitură dintr-o pușcă aleasă aleatoriu.

4 În condițiile sarcinii anterioare, trăgătorul a lovit ținta. Determinați probabilitatea ca acesta să tragă: dintr-o pușcă cu ochire telescopică; dintr-o pușcă cu o vizor convențional.

5 Pentru a participa la competițiile sportive de calificare pentru studenți, 4 studenți au fost selectați din prima grupă a cursului, 6 din a doua și 5 din a treia. Probabilitățile ca un elev din prima, a doua și a treia grupă să intre în echipa de institut, respectiv, sunt 0,9; 0,7 și 0,8. Un elev ales aleatoriu a ajuns în echipa națională în urma competiției. Cărui grup a aparținut cel mai probabil acest elev?

6 Prima urna contine 10 bile, dintre care 8 sunt albe; A doua urnă conține 20 de bile, dintre care 4 sunt albe. Din fiecare urnă se extrage o minge la întâmplare, apoi se extrage o minge la întâmplare din aceste două bile. Aflați probabilitatea ca o bilă albă să fie extrasă.

7 Într-un grup de 10 elevi care au venit la examen, 3 au fost excelenți, 4 buni, 2 mediocri și 1 prost. Există 20 de întrebări în lucrările de examen. Un elev bine pregătit știe toate cele 20 de întrebări, un elev bine pregătit știe 16, un elev mediocru știe 10, iar un elev sărac știe 5. Un elev la întâmplare a răspuns la trei întrebări puse aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca acest elev să fie pregătit: excelent; rău.

8 Fiecare dintre cele trei urne conține 6 bile negre și 4 albe. O minge este extrasă aleatoriu din prima urna și transferată în a doua urna, după care o bilă este extrasă aleatoriu din a doua urna și transferată în a treia urna. Găsiți probabilitatea ca o minge extrasă la întâmplare din a treia urnă să fie albă.

9 Trei focuri independente sunt trase asupra obiectului. Probabilitatea de a lovi prima lovitură este de 0,4; la a doua - 0,5; cu al treilea - 0,7. Trei lovituri sunt cu siguranță suficiente pentru a scoate un obiect din acțiune, cu două lovituri, acesta iese din acțiune cu o probabilitate de 0,6; cu unu - cu o probabilitate de 0,2. Găsiți probabilitatea ca, în urma a trei lovituri, obiectul să fie dezactivat.

10 Trei săgeți au tras o salvă și două gloanțe au lovit ținta. Găsiți probabilitatea ca cel de-al treilea trăgător să lovească ținta dacă probabilitățile de a lovi ținta de către primul, al doilea și, respectiv, al treilea trăgător, sunt 0,6; 0,5 și 0,4.

Teme pentru acasă.

1 Repetarea testelor. formulele Bernoulli și Poisson. Teoreme locale și integrale ale lui Laplace.

2 Rezolva probleme.

Sarcină1 . Sunt două urne. Prima urnă conține două bile albe și trei negre, iar a doua urnă conține trei albe și cinci negre. Din prima și a doua urnă, fără să se uite, se ia o minge și se pune în a treia urnă. Bilele din a treia urnă sunt amestecate și o minge este luată la întâmplare din ea. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.

Sarcină2 . Unul dintre cei trei trăgători este chemat pe linia de foc și trage un foc. Ținta este lovită. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,3, pentru al doilea - 0,5, pentru al treilea - 0,8. Găsiți probabilitatea ca focul să fi fost tras de al doilea trăgător.

Sarcină3 . De la prima mașină, 40% merg la asamblare, de la a doua - 35%, de la a treia - 25% din piese. Dintre piesele primei mașini 0,2% sunt defecte, a doua - 0,3%, a treia - 0,5%. Găsiți probabilitatea ca:

a) piesa primită pentru asamblare este defectă;

b) piesa care s-a dovedit a fi defectă a fost realizată la a doua mașină.

Sarcină4 . Într-un grup de 20 de trăgători, cinci sunt excelenți, nouă buni și șase mediocri. Cu o lovitură, un trăgător excelent lovește ținta cu o probabilitate de 0,9, unul bun cu o probabilitate de 0,8 și unul mediocru cu o probabilitate de 0,7. Un trăgător ales aleatoriu a tras de două ori; A fost o lovitură și una ratată. Care shooter era cel mai probabil să fie excelent, bun sau mediocru?

Din urna unde se află mingi, inclusiv alb negru, scos accidental bile. Care este probabilitatea ca printre ei să fie bile negre albe?

Exemplul 1. În prima urnă: trei bile roșii, una albă. În a doua urnă: una roșie, trei bile albe. Se aruncă la întâmplare o monedă: dacă stema este aleasă din prima urnă, în caz contrar, din a doua.
Decizie:
a) probabilitatea de a extrage o bila rosie
A - am o minge roșie
P 1 - stema a căzut, P 2 - în caz contrar

b) Se alege o bila rosie. Găsiți probabilitatea ca acesta să fie luat din prima urnă, din a doua urnă.
B 1 - din prima urna, B 2 - din a doua urna
,

Exemplul 2. Într-o cutie sunt 4 bile. Poate fi: numai alb, doar negru sau alb și negru. (Compoziție necunoscută).
Decizie:
A este probabilitatea apariției unei bile albe
a) Toți albii:
(probabilitatea ca una dintre cele trei variante în care există alb să fie prinsă)
(probabilitatea ca o minge albă să apară acolo unde toate sunt albe)

b) Scos acolo unde toată lumea este neagră



c) a scos o variantă în care toate sunt albe sau/și negre

- cel putin unul dintre ele este alb

Pa + P b + P c =

Exemplul 3 . O urna contine 5 bile albe si 4 negre. Se scot din el 2 bile la rând. Găsiți probabilitatea ca ambele bile să fie albe.
Decizie:
5 bile albe, 4 negre
P(A 1) - a tras o minge albă

P(A 2) este probabilitatea ca a doua bilă să fie și ea albă

P(A) – Bile albe selectate pe rând

Exemplul 3a. Într-un pachet sunt 2 bancnote contrafăcute și 8 reale. Din pachet au fost scoase la rând 2 bancnote. Găsiți probabilitatea ca ambele să fie false.
Decizie:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Exemplul 4. Sunt 10 urne. 9 urne conțin 2 bile negre și 2 albe. Există 5 albi și 1 negru într-o urnă. Se extrage o minge dintr-o urna luata la intamplare.
Decizie:
P(A)-? se ia o minge alba dintr-o urna care contine 5 albe
B - probabilitatea de a fi scos din urnă, unde 5 sunt albe
, - scos de la alții
C 1 - probabilitatea apariției unei mingi albe la lvl 9.

C 2 - probabilitatea apariției unei mingi albe, unde sunt 5

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Exemplul 5. 20 role cilindrice și 15 conice. Culegătorul ia 1 rolă și apoi altul.
Decizie:
a) ambele role sunt cilindrice
P(C1)=; P(C2)=
C 1 - primul cilindru, C 2 - al doilea cilindru
P(A)=P(C1)P(C2) =
b) Cel puțin un cilindru
K 1 - primul con.
K 2 - al doilea con.
P(B)=P(C1)P(K2)+P(C2)P(K1)+P(C1)P(C2)
;

c) primul cilindru, iar al doilea nu este
P(C)=P(C1)P(K2)

e) Nici un singur cilindru.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) Exact 1 cilindru
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)

Exemplul 6. Într-o cutie sunt 10 piese standard și 5 piese defecte.
Trei piese sunt extrase la întâmplare.
a) Una dintre ele este defectă
P n (K)=C n k p k q n-k ,
P este probabilitatea produselor defecte

q este probabilitatea pieselor standard

n=3, trei părți


b) două din cele trei părți sunt defecte P(2)
c) cel puţin un standard
P(0) - nu este defect

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - probabilitatea ca cel puțin o parte să fie standard

Exemplul 7 . Prima urna contine 3 bile albe si 3 negre, iar a 2-a urna contine 3 albe si 4 negre. Se transferă 2 bile din prima urnă în a 2-a urnă fără să se uite, apoi se extrag 2 bile din a 2-a urna. Care este probabilitatea ca acestea să fie de culori diferite?
Decizie:
La transferul bilelor din prima urna sunt posibile urmatoarele optiuni:
a) Se desenează 2 bile albe pe rând
P WB 1 =
Va fi întotdeauna o minge mai puțin în a doua etapă, deoarece o minge a fost deja scoasă în prima etapă.
b) se extrage o bilă albă și una neagră
Situația când a fost extrasă prima bila albă, apoi cea neagră
P BC =
Situația când a fost extrasă prima bila neagră, apoi cea albă
P BW =
Total: P CU 1 =
c) Se desenează 2 bile negre pe rând
P HH 1 =
Deoarece 2 bile au fost transferate din prima urna in a doua urna, numarul total de bile din a doua urna va fi de 9 (7 + 2). În consecință, vom căuta toate opțiunile posibile:
a) Mai întâi se extrage o bilă albă și apoi o bilă neagră din a doua urnă

P BC 2 P BB 1 - înseamnă probabilitatea ca mai întâi să fi fost extrasă o bilă albă, apoi o bilă neagră, cu condiția ca 2 bile albe să fie extrase din prima urnă la rând. De aceea, numărul de bile albe în acest caz este 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - înseamnă probabilitatea ca mai întâi să fi fost extrasă o bilă albă, apoi o bilă neagră, cu condiția ca din prima urnă să fie extrase bile albe și negre. De aceea, numărul de bile albe în acest caz este 4 (3+1), iar numărul de bile negre este de cinci (4+1).
P BC 2 P BC 1 - înseamnă probabilitatea ca mai întâi să fi fost extrasă o bilă albă, apoi o bilă neagră, cu condiția ca ambele bile negre să fie scoase din prima urna la rând. De aceea, numărul de bile negre în acest caz este 6 (4+2).

Probabilitatea ca cele 2 bile extrase să fie de culori diferite este egală cu:

Răspuns: P = 0,54

Exemplul 7a. Din prima urnă, care conține 5 bile albe și 3 negre, 2 bile sunt transferate aleatoriu în a 2-a urna, care conține 2 bile albe și 6 negre. Apoi 1 minge este extrasă la întâmplare din a 2-a urna.
1) Care este probabilitatea ca mingea extrasă din urna 2 să fie albă?
2) Bila extrasă din a 2-a urnă s-a dovedit a fi albă. Calculați probabilitatea ca bile de diferite culori să fi fost transferate din urna 1 în urna 2.
Decizie.
1) Evenimentul A - mingea extrasă din a 2-a urnă s-a dovedit a fi albă. Luați în considerare următoarele opțiuni pentru apariția acestui eveniment.
a) Două bile albe sunt plasate din prima urnă în a doua: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
În a doua urnă sunt 4 bile albe. Atunci probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă este P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Bilele albe și negre sunt plasate din prima urnă în a doua: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
În a doua urnă sunt 3 bile albe. Atunci probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă este P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Două bile negre sunt plasate din prima urna în a doua: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
În a doua urnă sunt 2 bile albe. Atunci probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă este P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Atunci probabilitatea ca mingea extrasă din a 2-a urnă să se dovedească a fi albă este egală cu:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Bila extrasă din a 2-a urnă s-a dovedit a fi albă, adică. probabilitatea totală este P(A)=13/32.
Probabilitatea ca bile de diferite culori (alb-negru) să fie transferate în a doua urnă și s-a ales alb: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Exemplul 7b. Prima urna contine 8 bile albe si 3 negre, a doua urna contine 5 albe si 3 negre. O minge este aleasă la întâmplare din prima și două bile din a doua. După aceea, o minge este luată la întâmplare din cele trei bile alese. Această ultimă minge s-a dovedit a fi neagră. Găsiți probabilitatea ca o bilă albă să fi fost aleasă din prima urna.
Decizie.
Să luăm în considerare toate variantele evenimentului A - din trei bile, bila extrasă s-a dovedit a fi neagră. Cum s-a putut întâmpla ca printre cele trei bile să fie negru?
a) Din prima urna se extrage o bila neagra, iar din a doua urna se extrag doua bile albe.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Din prima urna se extrage o bila neagra, iar din a doua urna se extrag doua bile negre.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Din prima urna se extrage o bila neagra, iar din a doua urna se extrage o bila alba si una neagra.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Din prima urna se extrage o bila alba, iar din a doua urna se iau doua bile negre.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Din prima urna s-a scos o bila alba, iar din a doua urna s-a scos o bila alba si una neagra.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Probabilitatea totală este: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Probabilitatea ca o minge albă să fi fost aleasă dintr-o urnă albă este:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Atunci probabilitatea ca o bilă albă să fi fost aleasă din prima urna, cu condiția ca una neagră să fi fost aleasă din trei bile, este egală cu:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57

Exemplul 7c. Prima urna contine 12 bile albe si 16 negre, a doua urna contine 8 albe si 10 negre. Totodată, se extrage câte o minge din urna 1 și a 2-a, amestecată și returnată pe rând în fiecare urnă. Apoi se extrage o minge din fiecare urna. S-au dovedit a fi de aceeași culoare. Determinați probabilitatea ca în prima urnă să rămână atâtea bile albe câte erau la început.

Decizie.
Evenimentul A - în același timp, se extrage o minge din prima și a doua urnă.
Probabilitatea extragerii unei bile albe din prima urna: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Probabilitatea extragerii unei bile negre din prima urna: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă: P2(B) = 8/18 = 4/9
Probabilitatea de a extrage o minge neagră din a doua urnă: P2(H) = 10/18 = 5/9

S-a întâmplat evenimentul A. Evenimentul B - se extrage o minge din fiecare urna. După amestecare, probabilitatea de a întoarce mingea în urna unei bile albe sau negre este de ½.
Luați în considerare variantele evenimentului B - s-au dovedit a fi de aceeași culoare.

Pentru prima urnă
1) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă una albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă una albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă neagră, P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Pentru a doua urnă
1) s-a plasat o bilă albă în prima urnă și s-a extras una albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca o bilă albă să fie extrasă mai devreme, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă una albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă neagră, P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Bilele s-au dovedit a fi de aceeași culoare:
un alb
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) negru
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Exemplul 7g. Prima cutie conține 5 bile albe și 4 albastre, a doua 3 și 1, iar a treia 4 și, respectiv, 5. O cutie este aleasă la întâmplare și o minge extrasă din ea se dovedește a fi albastră. Care este probabilitatea ca această minge să fie din a doua cutie?

Decizie.
A - eveniment de extracție a balonului albastru. Luați în considerare toate opțiunile pentru rezultatul unui astfel de eveniment.
H1 - minge extrasă din prima casetă,
H2 - minge extrasă din a doua casetă,
H3 - mingea extrasă din a treia casetă.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
În funcție de starea problemei, probabilitățile condiționate ale evenimentului A sunt:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Probabilitatea ca această minge să fie din a doua casetă este:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Exemplul 8 . Cinci cutii cu câte 30 de bile conțin fiecare 5 bile roșii (aceasta este cutia de compoziție H1), alte șase cutii cu câte 20 de bile fiecare conțin 4 bile roșii (aceasta este cutia de compoziție H2). Găsiți probabilitatea ca o bilă roșie extrasă aleatoriu să fie conținută într-una dintre primele cinci casete.
Soluție: Sarcina aplicării formulei probabilității totale.

Probabilitatea ca orice mingea luată este conținută într-una dintre primele cinci casete:
P(H1) = 5/11
Probabilitatea ca orice Mingea luată este conținută într-una din cele șase cutii:
P(H2) = 6/11
Evenimentul a avut loc - a fost extrasă o minge roșie. Prin urmare, acest lucru se poate întâmpla în două cazuri:
a) scoase din primele cinci cutii.
P 5 = 5 bile roșii * 5 cutii / (30 bile * 5 cutii) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
b) scos din alte șase cutii.
P 6 = 4 bile roșii * 6 cutii / (20 bile * 6 cutii) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
Total: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Prin urmare, probabilitatea ca o minge roșie extrasă aleatoriu să fie conținută într-una dintre primele cinci casete este:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Exemplul 9 . O urnă conține 2 bile albe, 3 negre și 4 roșii. Trei bile sunt extrase la întâmplare. Care este probabilitatea ca cel puțin două bile să fie de aceeași culoare?
Decizie. Există trei posibile rezultate ale evenimentelor:
a) dintre cele trei bile extrase, cel puțin două sunt albe.
P b (2) = P 2b
Numărul total de rezultate elementare posibile pentru aceste încercări este egal cu numărul de moduri în care pot fi extrase 3 bile din 9:

Aflați probabilitatea ca 2 din cele 3 bile să fie albe.

Număr de opțiuni de a alege dintre 2 bile albe:

Numărul de opțiuni de a alege din alte 7 bile a treia bilă:

b) dintre cele trei bile extrase, cel puțin două sunt negre (adică fie 2 negre, fie 3 negre).
Aflați probabilitatea ca 2 din cele 3 bile să fie negre.

Numărul de opțiuni de a alege dintre 3 bile negre:

Numărul de opțiuni de a alege din alte 6 bile dintr-o singură minge:


P2h = 0,214
Găsiți probabilitatea ca toate bilele alese să fie negre.

P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

c) dintre cele trei bile extrase, cel puțin două sunt roșii (adică fie 2 roșii, fie 3 roșii).
Să aflăm probabilitatea ca dintre cele 3 bile alese 2 să fie roșii.

Numărul de opțiuni de a alege dintre 4 bile negre:

Numărul de opțiuni de a alege dintre 5 bile albe rămase 1 albă:


Găsiți probabilitatea ca toate bilele alese să fie roșii.

P la (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Atunci probabilitatea ca cel puțin două bile să fie de aceeași culoare este: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Exemplul 10 . Prima urna contine 10 bile, dintre care 7 sunt albe; A doua urnă conține 20 de bile, dintre care 5 sunt albe. Din fiecare urnă se extrage o minge la întâmplare, apoi se extrage o minge la întâmplare din aceste două bile. Aflați probabilitatea ca o bilă albă să fie extrasă.
Decizie. Probabilitatea ca o minge albă să fi fost extrasă din prima urnă este P(b)1 = 7/10. În consecință, probabilitatea de a extrage o bilă neagră este P(h)1 = 3/10.
Probabilitatea ca o minge albă să fie extrasă din a doua urnă este P(b)2 = 5/20 = 1/4. În consecință, probabilitatea de a extrage o bilă neagră este P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Evenimentul A - o bilă albă este luată din două bile
Luați în considerare rezultatul evenimentului A.

1. Din prima urna se extrage o bila alba, iar din a doua urna se extrage o bila alba. Apoi a fost extrasă o minge albă din aceste două bile. P1=7/10*1/4=7/40
2. Din prima urna se extrage o bila alba, iar din a doua urna se extrage o bila neagra. Apoi a fost extrasă o minge albă din aceste două bile. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Din prima urna se extrage o bila neagra, iar din a doua urna se extrage o bila alba. Apoi a fost extrasă o minge albă din aceste două bile. P3=3/10*1/4=3/40

Deci probabilitatea poate fi găsită ca sumă a probabilităților de mai sus.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Exemplul 11 ​​. Există n mingi de tenis într-o cutie. Dintre ei au jucat m . Pentru primul joc, au luat două mingi la întâmplare și le-au pus înapoi după joc. Pentru al doilea joc au luat și două mingi la întâmplare. Care este probabilitatea ca al doilea joc să fie jucat cu mingi noi?
Decizie. Luați în considerare evenimentul A - jocul a fost jucat pentru a doua oară cu mingi noi. Să vedem ce evenimente pot duce la asta.
Notați cu g = n-m, numărul de bile noi înainte de a le scoate.
a) Două bile noi sunt extrase pentru primul joc.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) pentru primul joc au scos o minge nouă și una deja jucată.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) pentru primul joc au fost scoase două mingi jucate.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Luați în considerare evenimentele celui de-al doilea joc.
a) Au fost extrase două bile noi, cu condiția P1: deoarece bile noi au fost deja extrase pentru primul joc, apoi pentru al doilea joc numărul lor a scăzut cu 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Au fost extrase două bile noi, sub rezerva P2: deoarece o bilă nouă a fost deja extrasă pentru primul joc, apoi pentru al doilea joc numărul lor a scăzut cu 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Au scos două bile noi, cu condiția P3: deoarece nu au fost folosite bile noi pentru primul joc, numărul lor nu s-a schimbat pentru al doilea joc g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Probabilitate totală P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Răspuns: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Exemplul 12 . Prima, a doua și a treia cutie conțin 2 bile albe și 3 negre fiecare, a patra și a cincea cutie conțin fiecare 1 bile albă și 1 neagră. O cutie este aleasă aleatoriu și din ea se extrage o minge. Care este probabilitatea condiționată ca a patra sau a cincea casetă să fie selectată dacă mingea extrasă este albă?
Decizie.
Probabilitatea de a alege fiecare casetă este P(H) = 1/5.
Luați în considerare probabilitățile condiționate ale evenimentului A - tragerea unei mingi albe.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Probabilitatea totală de a extrage o minge albă:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Probabilitate condiționată ca a patra casetă să fie selectată
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Probabilitate condiționată ca a cincea casetă să fie selectată
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Deci, probabilitatea condiționată ca a patra sau a cincea casetă să fie aleasă este
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Exemplul 13 . O urnă conține 7 bile albe și 4 roșii. Apoi se punea o altă bilă albă sau roșie sau neagră în urnă și după amestecare se scotea o bilă. S-a dovedit a fi roșu. Care este probabilitatea ca a) să fi fost plasată o minge roșie? b) bila neagra?
Decizie.
a) bila rosie
Evenimentul A - este extrasă o minge roșie. Evenimentul H - puneți o minge roșie. Probabilitatea ca o minge roșie să fi fost plasată în urnă P(H=K) = 1 / 3
Atunci P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) bila neagră
Evenimentul A - este extrasă o minge roșie. Evenimentul H - puneți o minge neagră.
Probabilitatea ca o bilă neagră să fi fost plasată în urnă este P(H=H) = 1/3
Atunci P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111

Exemplul 14 . Sunt două urne cu bile. Unul are 10 bile roșii și 5 albastre, celălalt are 5 bile roșii și 7 albastre. Care este probabilitatea ca o bila rosie sa fie extrasa la intamplare din prima urna si una albastra din a doua?
Decizie. Fie evenimentul A1 - se extrage o bila rosie din prima urna; A2 - se extrage o bila albastra din a doua urna:
,
Evenimentele A1 și A2 sunt independente. Probabilitatea de apariție în comun a evenimentelor A1 și A2 este egală cu

Exemplul 15 . Există un pachet de cărți (36 de piese). Două cărți sunt extrase la întâmplare. Care este probabilitatea ca ambele cărți extrase să fie roșii?
Decizie. Fie evenimentul A 1 să fie prima carte extrasă din culoarea roșie. Evenimentul A 2 - a doua carte extrasă din culoarea roșie. B - ambele cărți extrase de culoare roșie. Deoarece atât evenimentul A 1 cât și evenimentul A 2 trebuie să aibă loc, atunci B = A 1 · A 2 . Evenimentele A1 și A2 sunt dependente, deci P(B) :
,
De aici

Exemplul 16 . Două urne conțin bile care diferă doar prin culoare, iar în prima urnă sunt 5 bile albe, 11 negre și 8 roșii, iar în a doua 10, 8, 6 bile, respectiv. Din ambele urne se extrage o minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca ambele bile să aibă aceeași culoare?
Decizie. Fie ca indicele 1 să însemne alb, indicele 2 negru; 3 - culoare roșie. Fie evenimentul A i - din prima urna se extrage o bila de culoarea i-a; evenimentul B j - o minge de j -a culoare a fost luată din a doua urnă; evenimentul A - ambele bile sunt de aceeași culoare.
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. Evenimentele A i și B j sunt independente, în timp ce A i · B i și A j · B j sunt incompatibile pentru i ≠ j . Prin urmare,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Exemplul 17 . Dintr-o urna cu 3 bile albe si 2 negre se extrag una cate una pana apare negru. Care este probabilitatea ca 3 bile să fie extrase din urnă? 5 bile?
Decizie.
1) probabilitatea ca 3 bile să fie extrase din urnă (adică a treia bilă va fi neagră, iar primele două vor fi albe).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) probabilitatea ca 5 bile să fie extrase din urnă
o astfel de situaţie nu este posibilă, pentru că doar 3 bile albe.
P=0

Corolarul ambelor teoreme principale - teorema de adunare a probabilității și teorema de înmulțire a probabilității - este așa-numita formulă a probabilității totale.

Să fie necesar să se determine probabilitatea unui eveniment care poate apărea împreună cu unul dintre evenimentele:

formând un grup complet de evenimente incompatibile. Vom numi aceste evenimente ipoteze.

Să demonstrăm că în acest caz

, (3.4.1)

acestea. probabilitatea unui eveniment se calculează ca suma produselor dintre probabilitatea fiecărei ipoteze și probabilitatea evenimentului conform acestei ipoteze.

Formula (3.4.1) se numește formula probabilității totale.

Dovada. Deoarece ipotezele formează un grup complet, evenimentul poate apărea numai în combinație cu oricare dintre aceste ipoteze:

Întrucât ipotezele sunt inconsistente, combinațiile de asemenea incompatibil; aplicându-le teorema adunării, obținem:

Aplicând teorema înmulțirii evenimentului, obținem:

,

Q.E.D.

Exemplul 1. Există trei urne cu aspect identic; prima urnă conține două bile albe și una neagră; în al doilea - trei albi și unul negru; în al treilea - două bile albe și două negre. Cineva alege una dintre urne la întâmplare și trage o minge din ea. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.

Decizie. Să luăm în considerare trei ipoteze:

Alegerea primei urne,

Alegerea celei de-a doua urne,

Alegerea celei de-a treia urne

iar evenimentul este apariția unei mingi albe.

Întrucât ipotezele, după starea problemei, sunt la fel de probabile, atunci

.

Probabilitățile condiționate ale evenimentului conform acestor ipoteze sunt, respectiv, egale:

Conform formulei probabilității totale

.

Exemplul 2. Trei focuri simple sunt trase într-o aeronavă. Probabilitatea de a lovi cu prima lovitură este de 0,4, cu a doua - 0,5, cu a treia 0,7. Trei lovituri sunt, evident, suficiente pentru a dezactiva o aeronavă; cu o lovitură, aeronava eșuează cu o probabilitate de 0,2, cu două lovituri, cu o probabilitate de 0,6. Găsiți probabilitatea ca, în urma a trei lovituri, aeronava să fie scoasă din funcțiune.

Decizie. Să luăm în considerare patru ipoteze:

Niciun obuz nu a lovit avionul,

Un obuz a lovit avionul

Avionul a fost lovit de două obuze.

Trei obuze au lovit avionul.

Folosind teoremele de adunare și înmulțire, găsim probabilitățile acestor ipoteze:

Probabilitățile condiționate ale evenimentului (defecțiunea aeronavei) conform acestor ipoteze sunt:

Aplicând formula probabilității totale, obținem:

Rețineți că prima ipoteză nu ar fi putut fi introdusă în considerare, deoarece termenul corespunzător din formula probabilității totale dispare. Acest lucru se face de obicei atunci când se aplică formula probabilității totale, luând în considerare nu grupul complet de ipoteze inconsistente, ci doar pe acelea dintre ele în baza cărora este posibil un anumit eveniment.

Exemplul 3. Funcționarea motorului este controlată de două regulatoare. Se ia în considerare o anumită perioadă de timp, în care este de dorit să se asigure funcționarea fără probleme a motorului. Dacă ambele regulatoare sunt prezente, motorul se defectează cu probabilitate, dacă doar primul dintre ele funcționează, cu probabilitate, dacă doar al doilea funcționează, dacă ambele regulatoare se defectează, cu probabilitate. Primul dintre reglementatori are fiabilitate, al doilea -. Toate elementele eșuează independent unele de altele. Găsiți fiabilitatea totală (probabilitatea de funcționare fără defecțiuni) a motorului.