1. Programul de o zi conține 5 lecții. Determinați numărul de astfel de programe atunci când alegeți dintre unsprezece discipline.
2. Comisia este formată dintr-un președinte, adjunctul acestuia și alte cinci persoane. În câte moduri membrii comisiei își pot distribui sarcinile între ei.
3. În câte moduri pot fi aleși trei însoțitori dintr-un grup de 20 de persoane?
4. Câte combinații de sunete diferite pot fi luate pe zece taste ale pianului selectate, dacă fiecare combinație de sunete poate conține de la trei până la zece sunete.
5. Într-o vază sunt 10 garoafe roșii și 5 roz. În câte moduri pot fi selectate cinci garoafe de aceeași culoare dintr-o vază?
6. Numerele rutelor tramvaiului sunt uneori indicate de două lumini colorate. Câte trasee diferite pot fi marcate folosind felinare de opt culori.
7. Dintr-un grup de 15 persoane, sunt selectați patru participanți la cursa de ștafetă 800 + 400 + 200 + 100. În câte moduri pot fi plasați sportivii în etapele ștafetei.
8. O echipă de cinci concurează într-o competiție de înot cu alți 20 de sportivi. În câte moduri pot fi repartizate locurile ocupate de membrii acestei echipe.
9. Dintr-un grup de 12 persoane, doi însoțitori sunt selectați zilnic timp de 6 zile. Determinați numărul de liste de sarcini diferite dacă fiecare persoană este de serviciu o dată.
Intrebari de discutat pe forum
1. Rezolvarea problemelor de combinatorie.
Lista literaturii suplimentare:
1. Gorbatov V.A. Fundamentele matematicii discrete. M.: Şcoala superioară, 2000. - 544 p.
2. V. A. Kofman, Introducere în combinatorică aplicată. M.: Radio și comunicare, 1982. 431s.
Seminar №7.Teoria grafurilor
Scopul atelierului:
Luați în considerare problemele legate de aplicarea practică a teoriei grafurilor în luarea deciziilor.
Planul lecției:
Semina este dedicat teoriei grafurilor. Primul subiect este conceptele de bază și operațiile pe grafice, apoi subiectul este dedicat traseelor și arborilor. Atelierul durează 2 ore.
Sarcina 1. Figura 7.1 prezintă grafice - cu patru vârfuri în fiecare. Comparați grafice.
Orez. 7.1. Conteaza -
Decizie.
Rezultatele comparației grafice sunt următoarele:
neorientat;
Orientat;
Completează, și = ;
Nu este completă, deoarece, deși fiecare pereche de vârfuri este conectată printr-o muchie, există o buclă. Uneori, un grafic complet este un grafic cu bucle la toate vârfurile, fiecare pereche fiind conectată printr-o muchie. Graficul nu îndeplinește această definiție.
Toate vârfurile acestui grafic sunt izolate (un grafic cu un set gol de muchii, adică 0);
Și se completează: = și = ;
Multigraf deoarece conține mai multe margini Ași b, precum și eși f;
Dirijată, corespunzând canonic unui graf nedirecționat;
Și nu este egal, deoarece au muchii diferite (4,1) - și (1,4) în ;
Multigraf regizat: muchii Ași b sunt multipli, în timp ce nu este un multigraf, deoarece muchiile din acesta Ași b orientat diferit.
Sarcina 2. Care sunt gradele vârfurilor graficelor din Fig. 7.2.
Orez. 7.2. Conti si
Decizie.
Ambele grafice au patru vârfuri: . Gradele vârfurilor unui graf nedirecționat: , , , , dacă suntem de acord să luăm în considerare contribuția buclei la gradul vârfului. Suma gradelor tuturor vârfurilor graficului este 14, i.e. de două ori numărul de muchii din grafic:
Unde m=7 este numărul de muchii ale graficului.
Gradele vârfurilor unui graf direcționat:
Sumele gradelor de vârf ale primului și celui de-al doilea tip de grafic coincid și sunt egale cu numărul m muchiile graficului: .
Sarcina 3. Pe fig. 7.3 prezintă un grafic de rețea (model de rețea) pentru efectuarea unui set de operații (lucrări) ale unui anumit program. În ea, săgețile indică operații, vârfuri - evenimente care caracterizează sfârșitul unor lucrări și începutul altora. Direcția săgeților reflectă succesiunea acestor evenimente. Definiți un grafic de rețea în diferite moduri.
Orez. 7.3. graficul rețelei
Decizie.
Modelul de rețea reprezentat este un grafic direcționat care poate fi specificat complet în diferite moduri:
1) grafic (vezi figura de mai sus);
2) prin specificarea a două seturi: și ;
3) matricea de incidență (Tabelul 7.1). O caracteristică a modelului de rețea este că săgețile ies din evenimentul inițial 1 și intră doar în evenimentul final 6. Prin urmare, în primul rând al matricei de incidență există unități doar cu semnul minus, iar în ultimul rând doar cu semnul plus;
Tabelul 7.1. Matricea de incidenta
4) matricea de adiacență (Tabelul 7.2). Din motivul indicat la paragraful 3, în ultimul rând al matricei de adiacență sunt plasate doar zerouri;
Tabelul 7.2. Matricea adiacentei
5) lista de muchii definește un graf de rețea într-un mod evident, deoarece muchiile grafului sunt notate prin vârfurile lor de capăt. În acest caz, numerele vârfurilor indicate în coloana „muchii” vor fi repetate în coloana „vertice” a listei, iar în ordinea în care sunt indicate săgețile - muchii în acest caz.
Sarcina 4. Faceți graficele din fig. 7.4 de mai jos sunt cicluri hamiltoniene, lanțuri.
Orez. 7.4. Conti si
Decizie.
Un ciclu hamiltonian ca ciclu simplu care trece prin toate vârfurile graficului există pe grafic - merge de-a lungul muchiilor ( a, b, c, d, e, f, g, q, n, m, l, h, a). Există, de asemenea, un lanț hamiltonian în B, pentru care este suficient să eliminați orice margine din ciclul hamiltonian.
Nu există un ciclu hamiltonian într-un grafic: a trece prin vârfuri a, b, c triunghiul exterior al graficului trebuie să conțină toate muchiile situate pe aceste laturi, dar apoi nu trece prin vârful situat în centrul triunghiului d.Totuși, există un lanț hamiltonian în grafic, de exemplu, cu începutul la vârf A, sfarsit dși o succesiune de muchii care leagă vârfurile a, f, b, g, c, e, d.
Sarcina 5. Problema cu cea mai scurtă cale. Care este cea mai scurtă cale de a ajunge de la un vârf de graf la altul. În ceea ce privește managementul producției: cum să ajungeți de la punctul A la punctul B în cel mai scurt mod (și, prin urmare, cu cel mai mic consum de combustibil și timp) start vertex to end vertex. Luați în considerare graficul prezentat în fig. 7.5.
Orez. 7.5. Grafic
Situația poate fi descrisă nu numai printr-un grafic direcționat cu greutăți atribuite arcelor, ci și printr-un tabel (vezi tabelul de mai jos). În acest tabel, două vârfuri - începutul căii și sfârșitul căii - sunt asociate cu timpul de călătorie. În tabel. 7.3 ia în considerare trasee fără opriri intermediare. Rutele mai complexe sunt formate din segmente elementare enumerate în tabel.
Tabelul 7.3. Date inițiale pentru problema cu cea mai scurtă cale.
Întrebarea este pusă în problemă: cum să ajungeți de la vârful 1 la vârful 4 în cel mai scurt mod.
Decizie. Să introducem notația: Cu(T) - lungimea drumului cel mai scurt de la vârful 1 la vârf T. (Deoarece orice cale care trebuie luată în considerare constă din arce și există un număr finit de arce și fiecare intră cel mult o dată, există un număr finit de concurenți pentru cea mai scurtă cale, iar minimul unui număr finit de elemente este întotdeauna atins. ) Problema luată în considerare este de a calcula Cu(4) și o indicație a căii pe care se atinge acest minim.
Pentru datele inițiale prezentate în fig. deasupra și în tabel. deasupra, o singură săgeată intră în vârful 3, tocmai din vârful 1, iar lângă această săgeată există lungimea ei egală cu 1, prin urmare Cu(3) = 1. Mai mult, este evident că Cu(1) = 0.
Puteți ajunge la vârful 4 fie de la vârful 2, având parcurs un drum egal cu 4, fie de la vârful 5, după ce a parcurs un drum egal cu 5. Prin urmare, relația
Cu(4) = min(С(2) + 4; Cu(5) + 5}.
Astfel, restructurarea (simplificarea) problemei a fost efectuată - constatarea С(4) a fost redusă la constatarea С(2) și Cu(5).
Puteți ajunge la vârful 5 fie de la vârful 3, având parcurs un drum egal cu 2, fie de la vârful 6, după ce a parcurs un drum egal cu 3. Prin urmare, relația
Cu(5) = min ( Cu(3) + 2; Cu(6) + 3}.
Noi stim aia Cu(3) = 1. Prin urmare
Cu(5) = min(3; Cu(6) + 3}.
Din moment ce este evident că Cu(6) este un număr pozitiv, atunci din ultima relație rezultă că Cu(5) = 3.
Puteți ajunge la vârful 2 fie de la vârful 1, după ce a parcurs un drum egal cu 7, fie de la vârful 3, după ce a parcurs un drum egal cu 5, fie de la vârful 5, după ce a parcurs un drum egal cu 2. Prin urmare, relația
Cu(2) = min (С(1) + 7; С(3) + 5; Cu(5) + 2}.
Noi stim aia Cu(1) = 0, Cu(3) = 1, Cu(5) = 3. Prin urmare
Cu(2) = min(0 + 7; 1 + 5; 3 + 2) = 5.
Acum putem găsi Cu(4):
Cu(4) = min ( Cu(2) + 4; Cu(5) + 5) = min(5 + 4; 3 + 5) = 8.
Astfel, lungimea drumului cel mai scurt este 8. Din ultima relație reiese clar că trebuie să mergem la vârful 4 prin vârful 5. Revenind la calcul Cu(5), vedem că trebuie să mergem la vârful 5 prin vârful 3. Și putem ajunge la vârful 3 doar de la vârful 1. Deci, calea cea mai scurtă este următoarea:
1 → 3 → 5 → 4 .
Sarcina 6. Problema debitului maxim Cum (adică pe ce rute) să trimiteți cantitatea maximă posibilă de mărfuri de la punctul de plecare până la punctul final, dacă capacitatea căilor dintre puncte este limitată.
Pentru a rezolva această problemă, fiecare arc al graficului direcționat corespunzător sistemului de transport trebuie să fie asociat cu un număr - capacitatea acestui arc. Luați în considerare graficul din fig. 7.6.
Orez. 7.6. Grafic
Datele inițiale despre sistemul de transport, de exemplu, în fabrică, prezentate în fig. 7.6., De asemenea, puteți seta tabelul din Tabelul 7.4.
Tabelul 7.4. Date inițiale pentru problema cu cea mai scurtă cale.
Decizie.
Rezolvarea problemei debitului maxim poate fi obținută din următoarele considerații.
Evident, capacitatea maximă a sistemului de transport nu depășește 6, întrucât nu pot fi trimise mai mult de 6 unități de marfă de la punctul de plecare 0 și anume 2 unități la punctul 1, 3 unități la punctul 2 și 1 unitate la punctul 3. .
În continuare, este necesar să ne asigurăm că toate cele 6 unități de marfă care pleacă din punctul 0 ajung în punctul final 4. Evident, 2 unități de marfă care au ajuns la punctul 1 pot fi trimise direct la punctul 4. Mărfurile care au ajuns la punctul 2 vor avea de împărțit: 2 unități trimise imediat la punctul 4, și 1 unitate - la punctul intermediar 3 (datorită capacității limitate a secțiunii dintre punctele 2 și 4). La punctul 3 au fost livrate următoarele mărfuri: 1 unitate de la punctul 0 și 1 unitate de la punctul 2. Le trimitem la punctul 4.
Deci, capacitatea maximă a sistemului de transport luat în considerare este de 6 unități de marfă. În același timp, nu sunt utilizate secțiunile interne (ramurile) între punctele 1 și 2, precum și între punctele 1 și 3. Ramura dintre punctele 1 și 4 nu este încărcată complet - 2 unități de marfă sunt trimise împreună cu o debit de 3 unități.
Soluția poate fi prezentată sub forma unui tabel. 7.5.
Tabelul 7.5. Rezolvarea problemei debitului maxim
Omnibus N 9-10 2007.
Sufletul mării al luminilor de traseu.
Lucrul misterios este tradiția. La început, o observă cu atenție, încercând să reziste tuturor nuanțelor, să o aducă la superstiție, apoi descoperă brusc că nu se ridică la nivelul așteptărilor puse asupra ei, nu corespunde logicii, nu are nicio justificare științifică - și se încalcă. cu tradiția, iar ulterior observă cu tristețe că odată cu ea A pierdut ceva frumos și necesar. . .
Mai recent, a existat o tradiție de a da rutelor tramvaiului nu doar o desemnare digitală, ci și o denumire de culoare - luminile de traseu erau aprinse pe ambele părți ale numărului de traseu, în fața și în spatele mașinii. Străzile cu trafic de tramvaie se remarcau printr-o eleganță deosebită, festivă, șoferii, pasagerii, lucrătorii de cale, dispecerii și comutatorii erau ghidați de luminile de traseu în fluxul tramvaiului, mulți nu și-au putut imagina un tramvai fără lumini colorate. Sistemul de lumini de traseu din Moscova a fost construit pe o corespondență unu-la-unu între numere și culori. „1” este întotdeauna roșu, „2” este verde, „5” este măsline, „7” este albastru și așa mai departe. Dar în Leningrad, luminile „vorbeau” într-o altă limbă, iar lectura lor „la Moscova” a dus cel mai adesea la prostii, deoarece nu erau 10 lumini, ca la Moscova, ci doar cinci. Se deosebeau bine, iar combinațiile lor arătau mereu foarte frumoase. Totuși, din cinci lumini, sunt posibile 25 de combinații diferite a două, în timp ce rutele din Sankt Petersburg-Leningrad au devenit în cele din urmă aproximativ 70, așa că semnele rutelor puteau fi repetate. De exemplu, doi albi - 9, 43; roșu și galben - 1, 51, 64; albastru și roșu - 33, 52, 54; două roșii - 5, 36, 39, 45, 47. Și numai ruta N 20 a fost desemnată în același mod conform sistemelor Moscova și Sankt Petersburg: verde și alb.
S-a întâmplat să se schimbe luminile de traseu în Sankt Petersburg. Daca s-a intamplat ca dupa schimbarea unuia dintre trasee sa functioneze pe un tronson suficient de lung cu un alt traseu avand aceleasi culori, atunci unul dintre aceste trasee a trebuit sa schimbe compozitia luminilor.
Drumul N 4 mergea dinspre insula Decembriștilor până la cimitirul Volkov și era indicat de două lumini galbene (portocalii). Apoi traseul a fost închis și sub același număr a fost deschis în alt loc cu lumini diferite: albastru + albastru, întrucât avea tronson comun cu tramvaiul 35 (două galbene).
Traseul N 43 avea inițial semafor: roșu + alb. Când a fost extinsă în port în 1985, luminile s-au schimbat: alb + alb, pe măsură ce traseul a început să împartă un tronson cu tramvaiul N 28 (roșu + alb). Traseul 3 a fost marcat cu culorile verde și alb. Când luminile au fost restaurate în 2007, combinația a fost schimbată în galben + verde. În același timp, s-au schimbat și combinațiile pe o serie de alte rute: 48 (era: alb + alb, acum: albastru + albastru); 61 (era: alb + alb, acum: alb + galben), etc.
Sistemul de lumini de traseu din Sankt Petersburg, atât de simplu în aparență și atât de complicat, este legat de tradiția, în primul rând, a orașelor europene cu tramvai. Deci, deja în 1907, o scrisoare către ziarul Novoye Vremya conținea o solicitare din partea „locuitorilor insulei Vasilevsky” de a introduce lumini colorate în tramvaie, „cum fac în străinătate, în special la Frankfurt pe Main”. În prezent, rămășițele fostelor sisteme s-au păstrat sub formă de iluminare diagonală colorată pe semnele de traseu ale tramvaielor din Amsterdam. Această tradiție, la rândul său, probabil că se întoarce la luminile de navigație. De ce tocmai la mare, și nu, să zicem, la calea ferată? Da, pentru că luminile de traseu, precum luminile de mare, nu interzic nimic, nu forțează pe nimeni, ci pur și simplu ajută la orientarea în întuneric.
Luminile navigației maritime sunt descifrate în cărți maritime speciale - direcțiile de navigație ale mărilor. Luminile de traseu sunt, de asemenea, descrise în ghidurile orașului. Primul dintre acestea a fost „Ghidul mobil al tramvaielor din Sankt Petersburg”, publicat la editura E.I. Marcus (1910).
Compoziția culorilor folosite la luminile de traseu din Sankt Petersburg (alb, roșu, portocaliu sau galben, verde, albastru) diferă puțin de culorile luminilor marine (alb, roșu, portocaliu, verde, albastru, violet).
Privind atent, puteți găsi și alte asemănări, dar este mult mai important să înțelegeți de ce un astfel de sistem non-strict de lumini de rută a prins rădăcini în Petersburg prudent, necesitând o ajustare constantă. Răspunsul este simplu: la urma urmei, Sankt Petersburg este un oraș de pe litoral, iar severitatea formelor arhitecturale și frivolitatea carnavalului îi sunt la fel de caracteristice, ceea ce înseamnă că sunt caracteristice și culorile vesele ale luminilor de traseu.
În 2007, tradiția a luat o nouă întorsătură. Acum mașinile sunt echipate cu lămpi LED pentru luminile de traseu. Ele vor străluci nu numai în amurgul serii, ci și în lumina zilei.
Sarcina numărul 3. Tabelul 26 Opțiune Nr. Job
Tabelul 26
c) Trenul de metrou face 16 stații în care coboară toți pasagerii. În câte moduri pot fi repartizați între aceste opriri 100 de pasageri la bordul trenului la oprirea finală?
ELEMENTE DE COMBINATORIE.
Reguli de sumă și produs.
Combinatoria (sau teoria compusă) este o ramură a matematicii care studiază întrebări despre câte combinații diferite care satisfac anumite condiții pot fi făcute din obiecte date.
În cazul în care intersecția mulțimilor A și B nu este goală, este valabilă următoarea egalitate: n(AÈB) = n(A) + n(B) – n(AÇB).
Numărul de elemente din uniunea a trei mulțimi poate fi găsit prin formula
n(AÈBÈC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AÇB) -n(AÇC) - n(BÇC) - - n(AÇBÇC)
Exemplu. Din cei 40 de elevi din grupă, 35 au promovat cu succes examenul la matematică, iar 37 la limba rusă. Doi elevi au primit note nesatisfăcătoare la ambele materii. Câți studenți au datorii academice?
Decizie. Fie A mulțimea elevilor care au primit o notă nesatisfăcătoare la matematică, atunci n(A) = 40 - 35 = 5; iar B este ansamblul studenților care au primit o notă nesatisfăcătoare la limba rusă, apoi n(B) = 40 - 37 = 3. Atunci numărul studenților cu datorii academice este n(AÈB). Prin urmare, n(AÈB) = n(A) + n(B) - n(AÇB) = 5 + 3 – 2 = 6.
Dacă AÇB = Æ, atunci n(AÈB) = n(A) + n(B)
regula sumeiși se formulează după cum urmează: dacă elementul x poate fi ales în k moduri, iar elementul y în m moduri și, și nicio modalitate de a alege elementul x nu este aceeași cu orice modalitate de a alege elementul y, atunci alegerea lui "x sau y " se poate face k + m moduri.
Pentru mulțimi, avem și n(А´В) = n(А) × n(В)
În combinatorică, această regulă se numește regula produsuluiși se formulează astfel: dacă elementul x poate fi ales în k moduri, iar dacă după fiecare astfel de alegere elementul y poate fi ales în m moduri, atunci alegerea perechii ordonate m moduri.
Exemplu. Există 3 drumuri de la orașul A la orașul B și 2 drumuri de la B la C. Câte moduri există de a călători de la A la C prin B?
Decizie. Dacă notăm numerele 1, 2, 3 și drumurile de la B la C - literele x și y, atunci fiecare opțiune a căii de la A la C este dată de o pereche ordonată de numere și litere. Dar putem alege un număr în trei moduri și o literă în două moduri, astfel încât numărul de astfel de perechi ordonate este 3 × 2 = 6.
Cazare.
Fie n(A) = m. Un tuplu de lungime k (k £ m), ale cărui componente sunt elemente ale mulțimii A și toate componentele sunt distincte pe perechi, se numește plasare fără repetare
Pentru orice mulțime A astfel încât n(A) = m, numărul de aranjamente posibile ale m elemente se notează cu k
Și se calculează după formula
Exemplu. La turneul de șah participă 5 școlari și 15 elevi. În câte moduri pot fi repartizate locurile ocupate de școlari în cadrul turneului, dacă se știe că nici doi participanți nu au obținut același număr de puncte?
Decizie.În total sunt 20 de participanți la turneu. În consecință, din 20 de locuri, școlarii aparțin lui 5. Prin urmare, soluția problemei este asociată cu formarea tuturor tuplurilor posibile de lungime 5 din elementele mulțimii, în care sunt 20 de elemente, adică suntem vorbind despre plasamente fără repetări a 20 de elemente din 5 elemente.
Fie n(A) = m. Se numește un tuplu de lungime k ale cărui componente sunt elemente ale mulțimii A plasare cu repetari de la m elemente la k elemente.
Pentru orice mulțime A astfel încât n(A) = m, numărul de aranjamente posibile cu repetări de m elemente prin k este notat și calculat prin formula .
Exemplu. Există 5 scaune diferite și 7 role de tapițerie în culori diferite. În câte moduri pot fi tapițate scaunele?
Decizie. Deoarece scaunele sunt diferite, fiecare tapițerie este un tuplu de lungime 5, alcătuit din elemente dintr-un set dat de culori ale țesăturilor, care conține 7 elemente. Aceasta înseamnă că există tot atâtea moduri de tapițerie a scaunelor câte astfel de tupluri există, adică așezări cu repetări de 7 elemente câte 5. Obținem .
Permutări.
Fie n(A) = m. Permutare fără repetare din m elemente se numește orice mulțime ordonată de m-element.
Numărul de permutări diferite ale m elemente este egal cu produsul numerelor naturale consecutive de la 1 la m inclusiv, i.e.
Exemplu. Câte numere diferite din cinci cifre pot fi scrise folosind cifrele 0, 1, 2, 3, 4 dacă nicio cifră din număr nu se repetă de două ori?
Decizie. Numărul tuturor permutărilor posibile de cinci cifre este P 5 = 5!. Și deoarece numărul zero nu poate ocupa primul loc, numărul dorit este:
P 5 - P 4 \u003d 5! - 4! = 120 - 24 = 96.
permutare cu repetari din elemente a, b,…,l,în care aceste elemente se repetă m 1 , m 2 , ..., respectiv m k ori, se numește tuplu de lungime m = m 1 + m 2 + ... + m k , dintre componentele căruia A apare de m 1 ori, b- m de 2 ori și așa mai departe l- mk ori.
Numărul de permutări cu repetări este notat prin simbol
Numărul de permutări diferite cu repetări ale elementelor a, b,…,l,în care aceste elemente se repetă m 1 , m 2 , ..., m k ori, respectiv, este determinată de formula
Exemplu. Câte numere de opt cifre pot fi scrise folosind numerele 1, 3, 5, cu condiția ca numărul 1 să se repete de patru ori în fiecare număr, numerele de 3 și 5 - de 2 ori fiecare?
Decizie. Numărul dorit este numărul de permutări diferite cu repetări ale numerelor 1, 3, 5, în care numărul 1 se repetă de patru ori, iar numerele 3 și 5 se repetă de două ori. Prin urmare, conform formulei, avem: 
.
Combinații.
Se numește orice submulțime k-element a unei mulțimi de m-element (k £ m). combinație fără repetare din m elemente prin k.
Numărul de combinații diferite de m elemente prin k este notat cu simbolul
Exemplu.În câte moduri poți alege trei însoțitori din 30 de studenți?
Decizie.Întrucât ordinea alegerii însoțitorilor nu joacă un rol, problema este de a selecta dintr-o mulțime în care există 30 de elemente de submulțimi care conțin câte trei elemente, adică combinații fără repetiții a treizeci de elemente din trei.
Prin urmare, 
.
Combinație cu repetări de la date m diferite tipuri de elemente prin k elemente, se numește orice colecție care conține k elemente, fiecare dintre acestea fiind unul dintre elementele tipurilor specificate.
Numărul de combinații diferite cu repetări ale m elemente cu k elemente va fi notat cu simbolul .
Numărul de combinații diferite cu repetări de m tipuri de elemente pentru k elemente este determinat de formulă
Exemplu. Oficiul poștal vinde patru tipuri de cărți poștale. În câte moduri pot fi cumpărate 9 cărți poștale de aici?
Decizie. Numărul de moduri de a cumpăra cărți poștale este egal cu numărul de combinații diferite cu repetări de 4 elemente cu 9, adică egal cu 
.
Numărul de submulțimi ale unei mulțimi finite.
Fie n(A) = m.
Numărul tuturor submulților ale mulțimii A este 2 n .
Exercițiul 6
1. În clasă sunt 30 de persoane care urmează cursuri opționale de fizică și matematică. Se știe că 10 persoane studiază ambele materii în profunzime, iar 25 de persoane studiază matematica.Câți oameni merg la ore opționale doar la fizică?
2. Din 50 de elevi, 20 vorbesc germana si 15 vorbesc engleza. Care ar putea fi numărul de studenți care cunosc ambele limbi; știind cel puțin o limbă?
3. Din 100 de persoane, 28 studiază engleza, 30 – germană, 10 – franceză, 5 – germană și franceză, 15 – germană și engleză, 6 – engleză și franceză. Toate cele trei limbi sunt studiate de 3 studenți. Câți studenți studiază o singură limbă? Câți studenți nu studiază nicio limbă?
Sarcini pentru munca independentă pe tema „Combinatorie” .
1. Programul unei zile conține 5 lecții la diferite materii. Determinați numărul de astfel de programe atunci când alegeți dintre 11 subiecte.
2. Comisia este formată dintr-un președinte, adjunctul acestuia și încă cinci persoane. În câte moduri pot membrii comisiei să împartă între ei atribuțiile de președinte și de adjunct?
3. În câte moduri pot fi aleși trei însoțitori dintr-un grup de 20 de persoane?
4. Câte combinații de sunete diferite pot fi luate pe zece taste ale pianului selectate, dacă fiecare combinație de sunete poate conține de la trei până la zece sunete?
5. Într-o vază sunt 10 garoafe roșii și 5 roz. În câte moduri pot fi selectate cinci garoafe de aceeași culoare dintr-o vază?
6. Numerele rutelor tramvaiului sunt uneori indicate de două lumini colorate. Câte trasee diferite pot fi marcate folosind felinare de opt culori?
7. Campionatul, la care participă 16 echipe, se desfășoară în două runde (adică fiecare echipă se întâlnește de două ori). Stabiliți numărul de întâlniri care urmează să fie organizate.
8. Blocarea se deschide numai dacă este format un anumit număr din trei cifre. Încercarea constă în tastarea aleatorie a trei cifre din cele cinci cifre date. Numărul a fost posibil să se ghicească numai în ultima dintre toate încercările posibile. Câte încercări au existat înainte de una reușită?
9. Dintr-un grup de 15 persoane, patru participanți la ștafetă sunt selectați 800 + 400 + 200 + 100. În câte moduri pot fi plasați sportivii în etapele ștafetei?
10. O echipă de cinci concurează într-o competiție de înot cu alți 20 de sportivi. În câte moduri pot fi repartizate locurile ocupate de membrii acestei echipe?
11. În câte moduri pot fi plasate două turnuri pe o tablă de șah, astfel încât una să nu-l prindă pe cealaltă? (O turnă poate captura alta dacă se află pe același rang sau fișier pe tabla de șah cu ea.)
12. Pe o tablă de șah sunt așezate două turnuri de culori diferite, astfel încât fiecare să-l poată captura pe celălalt. Câte astfel de locații există?
13. Ordinea de performanță a opt participanți la concurs se stabilește prin tragere la sorți. Câte rezultate diferite ale extragerii sunt posibile?
14. Treizeci de persoane sunt împărțite în trei grupe I, II și III a câte zece persoane. Câte compoziții diferite de grup pot fi?
15. Câte numere de patru cifre divizibile cu 5 pot fi făcute din numerele 0, 1, 3, 5, 7, dacă fiecare număr nu trebuie să conțină aceleași cifre?
16. Câte inele luminoase diferite se pot realiza prin plasarea a 10 becuri multicolore în jurul unui cerc (inelele sunt considerate aceleași dacă culorile sunt în aceeași ordine)?
17. Pe un raft de cărți sunt 30 de volume. În câte moduri pot fi aranjate astfel încât primul și al doilea volum să nu stea unul lângă altul?
18. Patru trăgători trebuie să lovească opt ținte (două fiecare). În câte moduri pot distribui țintele între ei?
19. Dintr-un grup de 12 persoane, doi ofițeri de serviciu sunt selectați zilnic timp de 6 zile. Determinați numărul de liste de sarcini diferite dacă fiecare persoană este de serviciu o dată.
20. Câte numere din patru cifre formate din numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5 conţin numărul 3 (numerele din numere nu se repetă)?
21. Zece grupuri sunt angajate în zece săli de clasă consecutive. Câte opțiuni de program există în care grupurile 1 și 2 ar fi în sălile de clasă adiacente?
22. 16 jucători de șah participă la turneu. Determinați numărul de programe diferite pentru prima rundă (programele sunt considerate diferite dacă diferă la participanții la cel puțin un joc; nu se iau în considerare culoarea pieselor și numărul tablei).
23. La cinci etaje ale șantierului sunt livrate șase cutii din diverse materiale. În câte moduri pot fi determinate materialele de podele? În câte variante este livrat un material la etajul cinci?
24. Doi poștași trebuie să livreze 10 scrisori la 10 adrese. În câte moduri pot distribui munca?
©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 20-08-2016
Anterior, numerele de tramvai erau marcate cu două felinare colorate. Câte trasee diferite pot fi marcate folosind opt culori diferite de lumini?
Raspunsuri:
formula va fi: 8²=64 64 de trasee diferite.
Întrebări similare
- Amintiți-vă de clădirile arhitecturale și sculpturile Renașterii, care au ceva asemănător cu catedrala Renașterii, și statuia lui Verrocchio. Notează-le numele.
- Introduceți în loc de goluri numerele de serie ale cuvintelor corespunzătoare din lista propusă. Cuvintele sunt date în listă la singular, la caz nominativ. Vă rugăm să rețineți: există mai multe cuvinte în listă decât lacune în text! O clasificare care, în funcție de motivele și condițiile pentru dobândirea calității de membru ____, este utilizată pe scară largă în ____, distinge personalul din ____ partide. Primele se disting prin faptul că sunt formate în jurul unui grup de ___ politici, iar la baza structurii lor se află un comitet de activiști. Partidele de personal sunt de obicei formate „de sus” pe baza diferitelor ___ facțiuni, asociații ale birocrației de partid. Astfel de partide își intensifică, de obicei, activitățile doar pentru perioada ___. Alte partide sunt organizații centralizate, bine disciplinate. Ei acordă o mare importanță unității membrilor de partid. Astfel de partide se formează cel mai adesea „de jos”, pe baza mișcărilor sindicale și a altor ___, reflectând diverse interese sociale. grupuri 1) Sociologie 10) alegeri 2) public 11) norma 3 factor 12) partid 4) electoral 13) parlamentar 5) național 14) consens 6) societate 15) ideologic 7) masă 16) sistem 8) demitere 17) lider 9) Stiinte Politice
- Nr. 1 Rezolvați: 28/5 * 4 Nr. 2 Numărul a este marcat pe linia de coordonate _______o____|___|___|___________> a -1 0 1 1) a; a -1;\frac(1)(a) 2) a;\frac(1)(a);a-1 3) a-1;\frac(1)(a);a 4)a-1; a;\frac(1)(a)
- este numărul 2008*2011*2012*2014+1 un pătrat exact
- În clădirea nou construită sunt 300 de apartamente.În prima zi au fost ocupate 120 de apartamente, în a doua zi – o treime din restul. Câte apartamente au mai rămas de ocupat?
- Tolik a înmulțit un număr de cinci cifre cu suma cifrelor sale. Apoi Tolik a înmulțit rezultatul cu suma cifrelor sale (rezultatului). În mod surprinzător, s-a dovedit a fi din nou un număr de cinci cifre. Ce număr a înmulțit Tolik pentru prima dată? (Găsiți toate răspunsurile posibile.)
