Pentru prima dată cu o astfel de operație aritmetică precum înmulțirea, elevii se cunosc pe banca școlii. Profesorul de matematică printre numeroasele reguli ridică subiectul „înmulțirii cu zero”. În ciuda lipsei de ambiguitate a formulării, elevii au multe întrebări. Să ne uităm la ce se întâmplă dacă înmulțim cu 0.
Regula că nu poți înmulți cu zero generează multe dispute între profesori și elevii lor. Este important de înțeles că înmulțirea cu zero este un aspect controversat din cauza ambiguității sale.
În primul rând, atenția este concentrată pe lipsa unui nivel suficient de cunoștințe în rândul elevilor de liceu. Trecând pragul unei instituții de învățământ, un participant la procesul educațional în majoritatea cazurilor nu se gândește la scopul principal care trebuie urmărit.
În timpul instruirii, profesorul acoperă diverse aspecte. Printre acestea se numără situația, ce se întâmplă dacă înmulți cu 0. În efortul de a anticipa narațiunea profesorului, unii elevi intră în controverse. Ei dovedesc, măcar încearcă, că înmulțirea cu 0 este valabilă. Dar, din păcate, nu este cazul. Înmulțirea oricărui număr cu 0 nu duce la nimic.În unele surse literare, se menționează chiar că orice număr înmulțit cu zero formează un gol.
Important! Ascultătorii atenți ai publicului înțeleg imediat că, dacă numărul este înmulțit cu 0, atunci rezultatul va fi 0. O evoluție diferită a evenimentelor poate fi urmărită în cazul acelor elevi care sar peste cursuri în mod sistematic. Elevii neatenți sau lipsiți de scrupule sunt mai predispuși decât alții să se gândească la cât de mult va fi dacă se înmulțesc cu zero.
Ca urmare a lipsei de cunoștințe asupra temei, profesorul și elevul neglijent se găsesc în părți opuse ale unei situații contradictorii.
Diferența de opinii pe tema litigiului constă în gradul de educație cu privire la faptul dacă este posibil să se înmulțească cu 0 sau încă nu. Singura cale acceptabilă de ieșire din această situație este să încerci să apelezi la gândirea logică pentru a găsi răspunsul corect.
Nu este recomandat să folosiți următorul exemplu pentru a explica regula. Vanya are 2 mere în geantă pentru o gustare. La prânz s-a gândit să mai pună niște mere în servietă. Dar în acel moment nu era niciun fruct în apropiere. Vanya nu a pus nimic. Cu alte cuvinte, a pus 0 mere la 2 mere.
În ceea ce privește aritmetica, în acest exemplu, se dovedește că dacă 2 este înmulțit cu 0, atunci nu există un gol. Răspunsul în acest caz este clar. Pentru acest exemplu, regula înmulțirii cu zero nu este relevantă. Soluția corectă este însumarea. De aceea răspunsul corect este 2 mere.
În caz contrar, profesorul nu are de ales decât să compună o serie de sarcini. Ultima măsură este resetarea trecerii subiectului și sondajul pentru excepții în multiplicare.
Esența acțiunii
Este recomandabil să începeți studiul algoritmului acțiunilor la înmulțirea cu zero, indicând esența operației aritmetice.
Esența acțiunii de înmulțire a fost inițial determinată exclusiv pentru un număr natural. Dacă mecanismul de acțiune este dezvăluit, atunci se adaugă un anumit număr implicat în calcul.
Este important să luați în considerare numărul de completări. În funcție de acest criteriu, se obține un rezultat diferit. Adăugarea unui număr relativ la el însuși determină o astfel de proprietate a acestuia ca naturalitatea.
Să ne uităm la un exemplu. Este necesar să înmulțiți numărul 15 cu 3. Când este înmulțit cu 3, numărul 15 crește de trei ori în valoare. Cu alte cuvinte, acțiunea arată ca 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Pe baza mecanismului de calcul, devine evident că dacă un număr este înmulțit cu un alt număr natural, există o aparență de adunare într-o formă simplificată. .
Este recomandabil să porniți algoritmul de acțiuni atunci când înmulțiți cu 0 prin furnizarea unei caracteristici cu zero.
Notă! Conform înțelepciunii convenționale, zero reprezintă întregul neant. Pentru goluri de acest fel, o desemnare este prevăzută în aritmetică. În ciuda acestui fapt, valoarea zero nu poartă nimic.
Trebuie remarcat faptul că o astfel de opinie în societatea științifică a lumii moderne diferă din punctul de vedere al oamenilor de știință antici din Est. Conform teoriei pe care o susțineau, zero era egal cu infinitul.
Cu alte cuvinte, dacă înmulțiți cu zero, aveți o varietate de opțiuni. În valoarea zero, oamenii de știință au considerat un fel de adâncime a universului.
Ca confirmare a posibilității înmulțirii cu 0, matematicienii au citat următorul fapt. Dacă puneți 0 lângă orice număr natural, obțineți o valoare de zece ori mai mare decât cea inițială.
Exemplul dat este unul dintre argumente. Pe lângă dovezile de acest fel, există multe alte exemple. Ei sunt cei care stau la baza disputelor în curs atunci când se înmulțesc prin gol.
Fezabilitatea de a încerca
În rândul elevilor, destul de des la începutul stăpânirii materialului educațional există încercări de a înmulți un număr cu 0. O astfel de acțiune este o greșeală gravă.
În esență, nu se va întâmpla nimic din astfel de încercări, dar nici nu va exista niciun beneficiu. Dacă înmulțiți cu o valoare zero, obțineți o notă nesatisfăcătoare în jurnal.
Singurul gând care ar trebui să apară la înmulțirea prin vid este imposibilitatea acțiunii. Memorarea în acest caz joacă un rol important. După ce a învățat regula odată pentru totdeauna, elevul previne apariția unor situații controversate.
Ca exemplu pentru a fi folosit la înmulțirea cu zero, este permisă utilizarea următoarei situații. Sasha a decis să cumpere mere. În timp ce era în supermarket, a ales 5 mere mari coapte. Mergând la departamentul de produse lactate, ea a simțit că acest lucru nu va fi suficient pentru ea. Fata a mai pus 5 bucăți în coș.
După ce s-a mai gândit puțin, a mai luat 5. Drept urmare, la casă, Sasha a primit: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 mere. Dacă ea pune 5 mere doar de 2 ori, atunci ar fi 5 * 2 = 5 + 5 = 10. În cazul în care Sasha nu a pus 5 mere în coș, ar fi 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Cu alte cuvinte, a cumpăra mere de 0 ori înseamnă a nu cumpăra niciunul.
Video util
Rezumând
Regula înmulțirii cu zero generează multe controverse. Pentru a-i înțelege esența, este suficient să luăm în considerare câteva exemple. Doar memorând formularea va fi clar dacă puteți înmulți cu 0 sau nu.
Inapoi inainte
Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Ţintă:
- Introduceți cazuri speciale de înmulțire cu 0 și 1.
- Pentru a consolida sensul înmulțirii și proprietatea comutativă a înmulțirii, pentru a dezvolta abilități de calcul.
- Dezvoltați atenția, memoria, operațiile mentale, vorbirea, creativitatea, interesul pentru matematică.
Echipament: Prezentarea diapozitivelor: Anexa 1.
În timpul orelor
1. Moment organizatoric.
Astăzi este o zi neobișnuită pentru noi. Sunt invitați la lecție. Vă rog, prieteni, oaspeți cu succesele voastre. Deschide caietele, notează numărul, munca la clasă. În marjă, notează-ți starea de spirit la începutul lecției. Slide 2.
Verbal, toată clasa repetă tabelul înmulțirii de pe cărți vorbind cu voce tare (Copiii marchează răspunsurile greșite cu palme).
Fizkultminutka („Gimnastica creierului”, „Pălărie pentru reflecție”, pentru respirație).
2. Enunțarea sarcinii de învățare.
2.1. Sarcini pentru dezvoltarea atenției.
Pe tablă și pe masă, copiii au o poză în două culori cu numere:
– Ce este interesant la numerele scrise? (Scris în culori diferite; toate numerele „roșii” sunt pare, iar „albastru” sunt impare.)
Care este numărul suplimentar? (10 este rotund, iar celelalte nu; 10 este două cifre, iar restul sunt o singură cifră; 5 se repetă de două ori, iar restul sunt una câte una.)
- Voi închide numărul 10. Există un plus printre celelalte numere? (3 - nu are o pereche sub 10, dar ceilalți au.)
– Găsiți suma tuturor numerelor „roșii” și scrieți-o în pătratul roșu.
(30.)
– Găsiți suma tuturor numerelor „albastre” și scrieți-o în pătratul albastru. (23.)
Cât este mai mult 30 decât 23? (Pe 7.)
Cu cât este 23 mai puțin decât 30? (Tot la 7.)
Ce acțiune căutai? (Scădere.) Slide 3.
2.2. Sarcini pentru dezvoltarea memoriei și a vorbirii. Actualizare de cunoștințe.
a) - Repetați în ordine cuvintele pe care le voi numi: termen, termen, sumă, redus, scăzut, diferență. (Copiii încearcă să reproducă ordinea cuvintelor.)
Ce componente de acțiune au fost denumite? (Adunare si scadere.)
Cu ce acțiune ești familiarizat? (Înmulțire, împărțire.)
- Numiți componentele înmulțirii. (Multiplicator, multiplicator, produs.)
Ce înseamnă primul multiplicator? (Termeni egali în sumă.)
Ce înseamnă al doilea multiplicator? (Numărul de astfel de termeni.)
Scrieți definiția înmulțirii.
un + A+… + A= an
b) Uită-te la notițe. Ce sarcină vei face?
12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
a + a + a
(Înlocuiți suma cu produs.)
Ce se va intampla? (Prima expresie are 5 termeni, fiecare dintre care este egal cu 12, deci este egal cu 12 5. În mod similar - 33 4 și 3)
c) Denumiți operația inversă. (Înlocuiți produsul cu suma.)
– Înlocuiți produsul cu suma din expresiile: 99 2. 8 4. b 3.(99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b). slide 4.
d) Ecuațiile sunt scrise pe tablă:
81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5
Imaginile sunt plasate lângă fiecare egalitate.
Animalele școlii forestiere erau în misiune. Au făcut-o corect?
Copiii stabilesc că elefantul, tigrul, iepurele și veverița au făcut o greșeală, explică care sunt greșelile lor. Slide 5.
e) Comparați expresiile:
8 5... 5 8
5 6... 3 6
34 9… 31 2
a 3... a 2 + a
(8 5 \u003d 5 8, deoarece suma nu se modifică din rearanjarea termenilor;
5 6 > 3 6, deoarece sunt 6 termeni în stânga și în dreapta, dar termenii din stânga sunt mai mari;
34 9 > 31 2. întrucât sunt mai mulți termeni în stânga și termenii înșiși sunt mai mari;
a 3 \u003d a 2 + a, deoarece există 3 termeni în stânga și în dreapta, egali cu a.)
Ce proprietate de înmulțire a fost folosită în primul exemplu? (Deplasare.) Slide 6.
2.3. Formularea problemei. Stabilirea obiectivelor.
Sunt egalitățile adevărate? De ce? (Corect, deoarece suma 5 + 5 + 5 = 15. Apoi suma devine încă un termen 5, iar suma crește cu 5.)
5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30
– Continuați acest model spre dreapta. (5 7 = 35; 5 8 = 40...)
- Continuă-l acum spre stânga. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
- Ce înseamnă expresia 5 1? cincizeci? (? Problemă!)
Rezultatul discuției:
Cu toate acestea, expresiile 5 1 și 5 0 nu au sens. Putem fi de acord să considerăm adevărate aceste egalități. Dar pentru aceasta trebuie să verificăm dacă încălcăm proprietatea comutativă a înmulțirii.
Deci, scopul lecției noastre este determinați dacă putem număra egalitățile 5 1 = 5 și 5 0 = 0 corect?
Problema lecției! Slide 7.
3. „Descoperirea” de noi cunoștințe de către copii.
a) - Urmați pașii: 1 7, 1 4, 1 5.
Copiii rezolvă exemple cu comentarii într-un caiet și pe tablă:
1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5
- Faceți o concluzie: 1 a -? (1 a = a.) Cardul este expus: 1 a = a
b) - Au sens expresiile 7 1, 4 1, 5 1? De ce? (Nu, deoarece suma nu poate avea un singur termen.)
– Cu ce ar trebui să fie egale pentru a nu încălca proprietatea comutativă a înmulțirii? (7 1 trebuie de asemenea să fie egal cu 7, deci 7 1 = 7.)
4 1 = 4; 5 1 = 5.
- Faceți o concluzie: a 1 =? (a 1 = a.)
Cardul este expus: a 1 = a. Prima carte este suprapusă pe a doua: a 1 \u003d 1 a \u003d a.
- Concluzia noastră coincide cu ceea ce am obținut pe fasciculul numeric? (Da.)
– Traduceți această egalitate în rusă. (Când înmulți un număr cu 1 sau 1 cu un număr, obții același număr.)
- Foarte bine! Deci, vom lua în considerare: a 1 \u003d 1 a \u003d a. slide 8.
2) În mod similar se studiază și cazul înmulțirii cu 0. Concluzie:
- când un număr este înmulțit cu 0 sau 0 cu un număr, se obține zero: a 0 \u003d 0 a \u003d 0. slide 9.
- Comparați ambele egalități: de ce vă amintesc 0 și 1?
Copiii își exprimă opiniile. Le puteți atrage atenția asupra imaginilor:
1 - „oglindă”, 0 - „fiară îngrozitoare” sau „șapcă de invizibilitate”.
Foarte bine! Deci, înmulțirea cu 1 dă același număr. (1 - „oglindă”), iar când înmulțim cu 0, obținem 0 ( 0 - „cap de invizibilitate”).
4. Educație fizică (pentru ochi - „cerc”, „sus - jos”, pentru mâini - „blocare”, „camere”).
5. Fixare primară.
Pe tablă sunt scrise exemple:
23 1 =
1 89 =
0 925 =
364 1 =
156 0 =
0 1 =
Copiii le rezolvă într-un caiet și pe o tablă cu pronunția regulilor primite într-un discurs tare, de exemplu:
3 1 = 3, deoarece la înmulțirea unui număr cu 1, se obține același număr (1 este o „oglindă”) etc.
a) 145 x = 145; b) x 437 = 437.
- Când ați înmulțit 145 cu un număr necunoscut, sa dovedit 145. Deci, au înmulțit cu 1 x = 1. etc.
a) 8 x = 0; b) x 1 \u003d 0.
- Înmulțirea lui 8 cu un număr necunoscut sa dovedit a fi 0. Deci, înmulțit cu 0 x \u003d 0. Și așa mai departe.
6. Lucru independent cu verificarea clasei. slide 10.
Copiii rezolvă în mod independent exemplele înregistrate. Apoi terminat
eșantion își verifică răspunsurile cu pronunția în vorbire tare, marchează exemplele corect rezolvate cu un plus, corectează greșelile făcute. Cei care au greșit primesc o sarcină similară pe o fișă și o lucrează individual, în timp ce clasa rezolvă probleme de repetare.
7. Sarcini pentru repetare. (Se lucrează în perechi). Slide 11.
a) - Vrei să știi ce te așteaptă în viitor? Puteți afla descifrând înregistrarea:
G – 49:7 despre – 9 8 n – 9 9 în – 45:5 al – 6 6 d – 7 8 s – 24:3
| 81 | 72 | 5 | 8 | 36 | 7 | 72 | 56 |
— Deci, ce ne rezervă? (An Nou.)
b) - „M-am gândit la un număr, am scăzut 7 din el, am adăugat 15, apoi am adăugat 4 și am obținut 45. La ce număr m-am gândit?”
Operațiile inverse trebuie făcute în ordine inversă: 45 - 4 - 15 + 7 = 31.
8. Rezultatul lecției.slide 12.
Care sunt noile reguli?
Ce ți-a plăcut? Ce a fost dificil?
Aceste cunoștințe pot fi aplicate în viața reală?
În margini, vă puteți exprima starea de spirit la sfârșitul lecției.
Completați tabelul de autoevaluare:
Vreau sa stiu mai mult
ok dar pot face mai bine
În timp ce am probleme
Mulțumesc pentru munca ta, ai făcut o treabă grozavă!
9. Tema pentru acasă
pp. 72–73 Regula, nr. 6.
Chiar și la școală, profesorii au încercat să ne pună în cap cea mai simplă regulă: „Orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero!”, - dar totusi multe controverse apar constant in jurul lui. Cineva tocmai a memorat regula și nu se deranjează cu întrebarea „de ce?”. „Nu poți face totul aici, pentru că la școală așa spuneau, regula este regula!” Cineva poate umple o jumătate de caiet cu formule, dovedind această regulă sau, dimpotrivă, ilogicitatea ei.
Cine are dreptate până la urmă
În timpul acestor dispute, ambii oameni, având puncte de vedere opuse, se privesc ca un berbec și dovedesc cu toată puterea că au dreptate. Deși, dacă te uiți la ei din lateral, poți vedea nu unul, ci doi berbeci sprijiniți unul de celălalt cu coarnele lor. Singura diferență dintre ele este că unul este puțin mai puțin educat decât celălalt. Cel mai adesea, cei care consideră că această regulă este greșită încearcă să apeleze la logică în acest fel:
Am două mere pe masă, dacă le pun zero mere, adică nu pun unul singur, atunci cele două mere ale mele nu vor dispărea din asta! Regula este ilogică!
Într-adevăr, merele nu vor dispărea nicăieri, dar nu pentru că regula este ilogică, ci pentru că aici este folosită o ecuație ușor diferită: 2 + 0 \u003d 2. Deci, să renunțăm imediat la această concluzie - este ilogică, deși are opusul scop - a chema la logica.
Acesta este interesant: Cum să găsiți diferența de numere în matematică?
Ce este înmulțirea
Regula de înmulțire inițială a fost definit doar pentru numerele naturale: înmulțirea este un număr adăugat la sine de un anumit număr de ori, ceea ce implică naturalețea numărului. Astfel, orice număr cu înmulțire poate fi redus la această ecuație:
Din această ecuație rezultă concluzia, că înmulțirea este o adunare simplificată.
Ce este zero
Orice persoană știe din copilărie: zero este gol, în ciuda faptului că acest gol are o denumire, nu poartă absolut nimic. Oamenii de știință din estul antic au gândit diferit - au abordat problema filozofic și au făcut unele paralele între gol și infinit și au văzut un sens profund în acest număr. La urma urmei, zero, care are valoarea golului, stând lângă orice număr natural, îl înmulțește de zece ori. De aici toată controversa cu privire la înmulțire - acest număr are atât de multă inconsecvență încât devine dificil să nu te confuzi. În plus, zero este utilizat în mod constant pentru a determina cifrele goale în fracții zecimale, acest lucru se face atât înainte, cât și după virgulă.
Este posibil să se înmulțească prin gol
Se poate înmulți cu zero, dar este inutil, pentru că, orice s-ar spune, dar și la înmulțirea numerelor negative, tot se va obține zero. Este suficient să vă amintiți această regulă cea mai simplă și să nu mai puneți niciodată această întrebare. De fapt, totul este mai simplu decât pare la prima vedere. Nu există semnificații și secrete ascunse, așa cum credeau oamenii de știință antici. Explicația cea mai logică va fi dată mai jos că această înmulțire este inutilă, deoarece la înmulțirea unui număr cu el, se va obține în continuare același lucru - zero.
Acesta este interesant: care este modulul unui număr?
Revenind la început, argumentul despre două mere, de 2 ori 0 arată astfel:
La urma urmei, să mănânci un măr de 0 ori înseamnă să nu mănânci unul singur. Acest lucru va fi clar chiar și pentru cel mai mic copil. Vă place sau nu, va ieși 0, două sau trei pot fi înlocuite cu absolut orice număr și va ieși absolut același lucru. Și pentru a spune simplu, zero este nimic iar când ai nu este nimic, atunci indiferent cât de mult ai înmulți - e tot la fel va fi zero. Nu există magie și nimic nu va face un măr, chiar dacă înmulți 0 cu un milion. Aceasta este cea mai simplă, mai înțeleasă și logică explicație a regulii înmulțirii cu zero. Pentru o persoană care este departe de toate formulele și matematica, o astfel de explicație va fi suficientă pentru ca disonanța din cap să se rezolve și totul să cadă la loc.
Din toate cele de mai sus rezultă o altă regulă importantă:
Nu poți împărți la zero!
Această regulă, de asemenea, ne-a fost încăpățânată încăpățânată în capul nostru încă din copilărie. Știm doar că este imposibil și atât, fără să ne umplem capul cu informații inutile. Dacă vi se pune brusc întrebarea, din ce motiv este interzisă împărțirea la zero, atunci majoritatea va fi confuză și nu va putea răspunde clar la cea mai simplă întrebare din programa școlară, deoarece nu există atât de multe dispute și contradicții. în jurul acestei reguli.
Toată lumea a memorat regula și nu împarte la zero, fără a bănui că răspunsul se află la suprafață. Adunarea, înmulțirea, împărțirea și scăderea sunt inegale, numai înmulțirea și adunarea sunt pline de cele de mai sus și toate celelalte manipulări cu numere sunt construite din ele. Adică, intrarea 10: 2 este o abreviere a ecuației 2 * x = 10. Prin urmare, intrarea 10: 0 este aceeași abreviere pentru 0 * x = 10. Se pare că împărțirea la zero este o sarcină de găsit un număr, înmulțind cu 0, obținem 10 Și ne-am dat deja seama că un astfel de număr nu există, ceea ce înseamnă că această ecuație nu are soluție și va fi a priori incorectă.
Lasa-ma sa iti spun
A nu împărți la 0!
Tăiați 1 după cum doriți, împreună,
Doar nu împărți la 0!
obrazovanie.guru
Impartirea cu zero. Matematică fascinantă
Numărul 0 poate fi reprezentat ca un fel de graniță care separă lumea numerelor reale de cele imaginare sau negative. Din cauza poziției ambigue, multe operații cu această valoare numerică nu se supun logicii matematice. Incapacitatea de a împărți la zero este un prim exemplu în acest sens. Și operațiile aritmetice permise cu zero pot fi efectuate folosind definiții general acceptate.
Istoria lui Zero
Zero este punctul de referință în toate sistemele de numere standard. Utilizarea numărului de către europeni este relativ recentă, dar înțelepții Indiei antice au folosit zero timp de o mie de ani înainte ca numărul gol să fie folosit în mod regulat de matematicienii europeni. Chiar înainte de indieni, zero era o valoare obligatorie în sistemul numeric Maya. Acest popor american a folosit sistemul duozecimal și a început prima zi a fiecărei luni cu un zero. Interesant este că printre mayași, semnul pentru „zero” a coincis complet cu semnul pentru „infinit”. Astfel, vechii Maya au ajuns la concluzia că aceste cantități erau identice și de necunoscut.
Operații matematice cu zero
Operațiile matematice standard cu zero pot fi reduse la câteva reguli.
Adunare: dacă adăugați zero la un număr arbitrar, atunci acesta nu își va schimba valoarea (0+x=x).
Scădere: la scăderea zero din orice număr, valoarea scăderii rămâne neschimbată (x-0=x).
Înmulțire: orice număr înmulțit cu 0 dă 0 în produs (a*0=0).
Diviziunea: zero poate fi împărțit la orice număr diferit de zero. În acest caz, valoarea unei astfel de fracții va fi 0. Și împărțirea la zero este interzisă. 
Exponentiatie. Această acțiune poate fi efectuată cu orice număr. Un număr arbitrar ridicat la puterea lui zero va da 1 (x 0 =1).
Zero la orice putere este egal cu 0 (0 a \u003d 0).
În acest caz, apare imediat o contradicție: expresia 0 0 nu are sens.
Paradoxurile matematicii
Faptul că împărțirea la zero este imposibilă, mulți oameni știu de la școală. Dar din anumite motive nu este posibil să explicăm motivul unei astfel de interdicții. Într-adevăr, de ce nu există formula împărțirii cu zero, dar alte acțiuni cu acest număr sunt destul de rezonabile și posibile? Răspunsul la această întrebare este dat de matematicieni.
Chestia este că operațiile aritmetice obișnuite pe care școlarii le învață în clasele elementare sunt de fapt departe de a fi atât de egale pe cât credem. Toate operațiile simple cu numere pot fi reduse la două: adunarea și înmulțirea. Aceste operații sunt esența însuși conceptului de număr, iar restul operațiunilor se bazează pe utilizarea acestor două.
Adunarea și înmulțirea
Să luăm un exemplu de scădere standard: 10-2=8. La școală, se consideră simplu: dacă două sunt luate din zece obiecte, rămân opt. Dar matematicienii privesc această operație cu totul diferit. La urma urmei, nu există o astfel de operație precum scăderea pentru ei. Acest exemplu poate fi scris în alt mod: x+2=10. Pentru matematicieni, diferența necunoscută este pur și simplu numărul care trebuie adăugat la doi pentru a face opt. Și nu este necesară nicio scădere aici, trebuie doar să găsiți o valoare numerică adecvată.
Înmulțirea și împărțirea sunt tratate în același mod. În exemplul 12:4=3, se poate înțelege că vorbim despre împărțirea a opt obiecte în două grămezi egale. Dar, în realitate, aceasta este doar o formulă inversată pentru scrierea 3x4 \u003d 12. Astfel de exemple de împărțire pot fi date la nesfârșit. 
Exemple de împărțire la 0
Aici devine puțin clar de ce este imposibil de împărțit la zero. Înmulțirea și împărțirea cu zero au propriile reguli. Toate exemplele pe diviziune a acestei cantități pot fi formulate ca 6:0=x. Dar aceasta este o expresie inversată a expresiei 6 * x = 0. Dar, după cum știți, orice număr înmulțit cu 0 dă în produs doar 0. Această proprietate este inerentă însuși conceptului de valoare zero.
Se dovedește că un astfel de număr, care, înmulțit cu 0, dă orice valoare tangibilă, nu există, adică această problemă nu are soluție. Nu trebuie să vă fie frică de un astfel de răspuns, este un răspuns firesc pentru probleme de acest tip. Doar a scrie 6:0 nu are niciun sens și nu poate explica nimic. Pe scurt, această expresie poate fi explicată prin nemuritoarea „fără împărțire la zero”.
Există o operație 0:0? Într-adevăr, dacă operația de înmulțire cu 0 este legală, poate fi împărțit zero la zero? La urma urmei, o ecuație de forma 0x5=0 este destul de legală. În loc de numărul 5, puteți pune 0, produsul nu se va schimba de la acesta. 
Într-adevăr, 0x0=0. Dar tot nu poți împărți la 0. După cum am menționat, împărțirea este doar inversul înmulțirii. Astfel, dacă în exemplul 0x5=0, trebuie să determinați al doilea factor, obținem 0x0=5. Sau 10. Sau infinit. Împărțirea infinitului la zero - cum vă place?
Dar dacă orice număr se potrivește în expresie, atunci nu are sens, nu putem alege unul dintr-un set infinit de numere. Și dacă da, înseamnă că expresia 0:0 nu are sens. Se pare că nici măcar zeroul însuși nu poate fi împărțit la zero.
matematica superioara
Împărțirea cu zero este o bătaie de cap pentru matematica de liceu. Analiza matematică studiată în universitățile tehnice extinde ușor conceptul de probleme care nu au soluție. De exemplu, la expresia deja cunoscută 0:0, se adaugă altele noi care nu au soluție la cursurile de matematică din școală:
Este imposibil să rezolvi astfel de expresii prin metode elementare. Dar matematica superioară, datorită posibilităților suplimentare pentru un număr de exemple similare, oferă soluții finale. Acest lucru este evident mai ales în considerarea problemelor din teoria limitelor.
Dezvăluirea incertitudinii
În teoria limitelor, valoarea 0 este înlocuită cu o variabilă infinitezimală condiționată. Și sunt convertite expresiile în care se obține împărțirea la zero la înlocuirea valorii dorite. Mai jos este un exemplu standard de extindere a limitelor folosind transformările algebrice obișnuite:
După cum puteți vedea în exemplu, o simplă reducere a unei fracții aduce valoarea acesteia la un răspuns complet rațional.
Când se iau în considerare limitele funcțiilor trigonometrice, expresiile acestora tind să fie reduse la prima limită remarcabilă. Când se iau în considerare limitele în care numitorul ajunge la 0 atunci când limita este înlocuită, se folosește a doua limită remarcabilă.
Metoda Spitalului
În unele cazuri, limitele expresiilor pot fi înlocuite cu limita derivatelor lor. Guillaume Lopital este un matematician francez, fondatorul școlii franceze de analiză matematică. El a demonstrat că limitele expresiilor sunt egale cu limitele derivatelor acestor expresii. În notația matematică, regula lui este următoarea. 
În prezent, metoda L'Hopital este utilizată cu succes în rezolvarea incertitudinilor de tip 0:0 sau ∞:∞.
Matematică: împărțire lungă și înmulțire
Înmulțirea și împărțirea numerelor cu o singură cifră nu vor fi dificile pentru niciun elev care a învățat tabla înmulțirii. Este inclus în programa de matematică de clasa a II-a. Un alt lucru este atunci când este necesar să se efectueze operații matematice cu numere din mai multe cifre. Ei încep astfel de acțiuni la lecțiile de matematică din clasa a 3-a. Analizăm noul subiect „Diviziunea și înmulțirea într-o coloană”
Înmulțirea numerelor din mai multe cifre
Împărțirea și înmulțirea numerelor complexe este cea mai ușoară într-o coloană. Pentru a face acest lucru, aveți nevoie de cifrele numărului: sute, zeci, unități:
235 = 200 (sute) + 30 (zeci) + 5 (uni).
Vom avea nevoie de acest lucru pentru înregistrarea corectă a numerelor la înmulțire.
Când se scriu două numere care trebuie înmulțite, ele se scriu unul sub celălalt, plasând numerele în cifre (unități sub unități, zeci sub zeci). Când înmulțiți un număr cu mai multe cifre cu un număr cu o singură cifră, nu vor fi dificultăți:
Înregistrarea se face astfel: 
Calculul se efectuează de la final - din categoria unităților. La înmulțirea cu prima cifră - din categoria unităților - înregistrarea se efectuează și de la sfârșit:
- 3 x 5 = 15, notează 5 (uni), zeci (1) reține;
- 2 x 5 \u003d 10 și 1 zece pe care ni le-am amintit, doar 11, notăm 1 (zeci), ne amintim sute (1);
- deoarece nu avem alte cifre în exemplu, notăm sute (1 - care a fost amintit).
Următorul pas este înmulțirea cu a doua cifră (locul zecilor):
Deoarece am înmulțit cu un număr de la locul zecilor, vom începe să scriem la fel, de la final, începând de la locul doi din dreapta (unde este locul zecilor).
1. trebuie să notați înmulțirea într-o coloană cu cifre;
2. efectuați calcule pornind de la unități;
3. notam totalul cu cifre - daca inmultim cu o cifra din rangul unitatilor - incepem inregistrarea din ultima coloana, din rangul - zeci - din aceasta coloana si tinem evidenta.
Regula care se aplică înmulțirii într-o coloană cu un număr de două cifre se aplică și numerelor cu un număr mare de cifre.
Pentru a vă ușura să vă amintiți regulile de scriere a exemplelor de înmulțire a numerelor cu mai multe cifre într-o coloană, puteți crea cărți evidențiind diferite cifre în culori diferite.
Dacă numerele sunt înmulțite într-o coloană cu zerouri la sfârșit, acestea nu sunt luate în considerare în calcul, iar evidența este păstrată astfel încât cifra semnificativă să fie sub cea semnificativă, iar zerourile să rămână în dreapta. După calcule, numărul lor este adăugat în dreapta:
Matematicianul Yakov Trakhtenberg a dezvoltat un sistem de numărare rapidă. Metoda Trachtenberg facilitează înmulțirea dacă se aplică un anumit sistem de calcule. De exemplu, înmulțind cu 11. Pentru a obține rezultatul, trebuie să adăugați un număr la următorul:
2,253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.
Demonstrarea adevărată este simplă: 11 = 10 + 1
2,253 x 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.
Algoritmii de calcul pentru numere diferite sunt diferiți, dar vă permit să efectuați rapid calcule.
Videoclipul „Înmulțirea coloanelor”
Împărțirea numerelor din mai multe cifre
Împărțirea după o coloană poate părea dificilă pentru copii, dar amintirea algoritmului nu este dificilă. Luați în considerare împărțirea numerelor cu mai multe cifre la un număr dintr-o singură cifră:
215: 5 = ?
Calculul se scrie astfel: 
Sub divizor vom scrie rezultatul. Împărțirea se face astfel: comparăm cifra din stânga a dividendului cu divizorul: 2 este mai mic decât 5, nu putem împărți 2 la 5, așa că mai luăm o cifră: 21 este mai mare decât 5, la împărțirea rezultă : 20: 5 = 4 (restul 1)
Demolăm următoarea cifră la restul rezultat: obținem 15. 15 este mai mult decât 5, împărțim: 15: 5 = 3
Soluția va arăta astfel:
Așa se face împărțirea fără rest. Conform aceluiași algoritm, se realizează împărțirea într-o coloană cu un rest, singura diferență fiind că ultima intrare va conține nu zero, ci restul.
Dacă este necesar să împărțiți numerele din trei cifre dintr-o coloană cu două cifre, procedura va fi aceeași ca și atunci când împărțiți cu un număr cu o singură cifră.
Iată câteva exemple de împărțire:
În mod similar, calculul se efectuează atunci când se împarte un număr din mai multe cifre la un număr din două cifre cu un rest: 853: 15 = 50 și (3) restul 
Atenție la această intrare: dacă în timpul calculelor intermediare rezultatul este 0, dar exemplul nu este rezolvat până la sfârșit, zero nu este înregistrat, dar următoarea cifră este imediat demolată, iar calculul continuă.
Vă va ajuta să învățați regulile de împărțire a numerelor cu mai multe cifre într-o coloană de tutorial video. După ce am memorat algoritmul și urmând succesiunea calculelor de înregistrare, exemplele de înmulțire și împărțire într-o coloană în clasa a 4-a nu vor mai părea atât de complicate.
Important! Urmăriți înregistrarea: cifrele trebuie scrise sub cifre, într-o coloană.
Videoclipul „Diviziunea într-o coloană”
Dacă un copil a învățat tabla înmulțirii în clasa a 2-a, exemplele de înmulțire și împărțire a unui număr de două sau trei cifre la lecțiile de matematică pentru clasa a 4-a nu îi vor provoca dificultăți.
www.razvitiedetei.info
Reguli de înmulțire și împărțire
După ce se învață tabla înmulțirii, elevilor li se explică regulile de înmulțire și împărțire, învățați să le folosească la calculul expresiilor matematice.
Ce este înmulțirea? Este un plus inteligent
La adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor în expresii simple, copiii nu întâmpină dificultăți:
În astfel de calcule, trebuie să cunoașteți doar regulile de adunare și scădere și tabelul înmulțirii.
Când încep exerciții mai complexe, exemplele constau în două sau mai multe acțiuni și chiar și cu paranteze, copiii au erori la rezolvare. Și principala este ordinea greșită a acțiunilor.
Care este diferența?
Într-adevăr, este atât de important - ce acțiune din exemplu să efectuați prima, care a doua?
Dacă parcurgem pașii în ordine, obținem:
Avem două răspunsuri diferite. Dar nu ar trebui să fie așa, așadar, contează ordinea în care se desfășoară acțiunile. Mai ales dacă expresia conține paranteze:
Încercăm să o rezolvăm în două moduri:
Răspunsurile sunt diferite și, pentru a determina ordinea acțiunilor, există paranteze în expresie - arată care acțiune trebuie efectuată mai întâi. Deci soluția corectă ar fi:
Nu ar trebui să existe altă soluție pentru răspunsul din exemplu.
Care este mai important, înmulțirea sau adunarea?
La rezolvarea exemplelor
Aranjați cursul acțiunii.
Înmulțiți sau împărțiți - pe primul loc.
Pentru expresiile în care nu există adunare sau scădere, ci înmulțire sau împărțire, se aplică aceeași regulă: toate operațiile cu numere se fac în ordine, începând de la stânga:
Un caz mai dificil este atunci când înmulțirea sau împărțirea cu adunarea sau scăderea apar într-o singură problemă. Care este ordinea calculelor atunci?
Dacă efectuați toți pașii în ordine, prima împărțire, apoi adăugare. Ca rezultat, obținem:
Deci exemplul este corect. Dacă conține paranteze?
Orice dintre paranteze are întotdeauna prioritate. De aceea stau în expresie. Prin urmare, ordinea calculelor în astfel de expresii va fi următoarea:
Exemplu:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?
81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.
Și care va fi prioritatea: înmulțirea - sau împărțirea, scăderea - sau adunarea, dacă ambele acțiuni apar în sarcină? Nimic, sunt egali, în acest caz se aplică prima regulă - acțiunile se execută una după alta, începând din stânga.
Algoritm pentru rezolvarea expresiei:
28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?
- 11 – 4 = 7;
- 25 – 8 = 17;
- 28: 7 = 4;
- 4 + 18 = 22;
- 22 – 17 = 5.
Răspuns: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.
Important! Dacă expresia conține litere, procedura rămâne aceeași.
Rotunda zero este atât de frumoasă
Dar nu înseamnă nimic.
În exemple, zero nu apare ca număr, dar poate fi rezultatul unei acțiuni intermediare, de exemplu:
La înmulțirea cu 0, regula spune că rezultatul va fi întotdeauna 0. De ce? Se poate explica simplu: ce este înmulțirea? Acesta este același număr, adăugat la felul său de mai multe ori. In caz contrar:
0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;
Împărțirea la 0 nu are sens, iar împărțirea zero la orice număr va avea întotdeauna ca rezultat 0:
0: 5 = 0.
Amintiți-vă alte operații aritmetice cu zero:
Înmulțirea și împărțirea cu unu
Operațiile matematice cu unu sunt diferite de operațiile cu zero. Când un număr este înmulțit sau împărțit cu 1, se obține numărul original în sine:
7 x 1 = 7;
7: 1 = 7.
Desigur, dacă ai 7 prieteni, și fiecare ți-a dat câte o bomboană, vei avea 7 bomboane, iar dacă le-ai mâncat singur, adică împărțit doar cu tine, atunci toate au ajuns în stomac.
Calcule cu fracții, puteri și funcții complexe
Acestea sunt cazuri complexe de calcul care nu sunt acoperite în școala elementară.
Înmulțirea fracțiilor simple între ele nu este dificilă, doar înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul.
Exemplu:
După reducere obținem: \(\) = \(\).
Împărțirea fracțiilor simple nu este atât de dificilă pe cât pare la prima vedere. Este suficient să transformi problema - transformă-o într-un exemplu cu înmulțire. Pentru a face acest lucru este simplu - trebuie să răsturnați fracția astfel încât numitorul să devină numărător, iar numărătorul să devină numitorul.
Exemplu:
Dacă în problemă se întâlnește un număr, reprezentat ca putere, valoarea acestuia este calculată înaintea tuturor celorlalte (vă puteți imagina că este cuprins între paranteze - iar acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi).
Exemplu:
Prin transformarea numărului reprezentat ca putere într-o expresie regulată cu acțiunea înmulțirii, rezolvarea exemplului s-a dovedit a fi simplă: mai întâi înmulțirea, apoi scăderea (pentru că este între paranteze) și împărțirea.
Întrucât astfel de funcții sunt studiate doar în cadrul liceului, nu le vom lua în considerare, este suficient să spunem că ele, ca și în cazul puterilor, au prioritate în calcul: în primul rând, se găsește valoarea acestei expresii. , atunci ordinea de calcul este normală - paranteze, înmulțire cu împărțire, apoi în ordine de la stânga la dreapta.
Reguli principale pe tema
Vorbind despre operațiile matematice principale și neprincipale, trebuie spus că cele patru operații principale se pot reduce la două: adunarea și înmulțirea. Dacă scăderea și împărțirea par dificile pentru școlari, ei își amintesc mai repede regulile de adunare și înmulțire. Într-adevăr, expresia 5 - 2 poate fi scrisă diferit:
În cazurile de înmulțire, se aplică reguli similare cu proprietățile adunării: produsul nu se va schimba dintr-o rearanjare a factorilor:
La rezolvarea problemelor complexe, prima acțiune este cea care se evidențiază între paranteze, apoi împărțirea sau înmulțirea, apoi toate celelalte acțiuni în ordine.
Când trebuie să rezolvați exemple fără paranteze, se efectuează mai întâi înmulțirea sau împărțirea, apoi scăderea sau adunarea.
Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi
La înmulțirea și împărțirea numerelor întregi se aplică mai multe reguli. În această lecție, ne vom uita la fiecare dintre ele.
Când înmulțiți și împărțiți numerele întregi, acordați atenție semnelor numerelor. Va depinde de ei ce regulă să aplice. De asemenea, trebuie să înveți câteva legi ale înmulțirii și împărțirii. Învățarea acestor reguli vă va ajuta să evitați unele greșeli jenante în viitor.
Legile înmulțirii
Câteva dintre legile matematicii am considerat în lecție legile matematicii. Dar nu am luat în considerare toate legile. Există multe legi în matematică și ar fi mai înțelept să le studiem succesiv, după cum este necesar.
În primul rând, să ne amintim în ce constă înmulțirea. Înmulțirea constă din trei parametri: inmultindu-se, multiplicatorși lucrări. De exemplu, în expresia 3 × 2 = 6, numărul 3 este multiplicatorul, numărul 2 este multiplicatorul și numărul 6 este produsul.
Deînmulţit arată ce anume creștem. În exemplul nostru, creștem numărul 3.
Factor Arată de câte ori trebuie să măriți multiplicandul. În exemplul nostru, multiplicatorul este numărul 2. Acest multiplicator arată de câte ori trebuie să crești multiplicatorul 3. Adică, în timpul operației de înmulțire, numărul 3 va fi dublat.
Muncă acesta este de fapt rezultatul operației de înmulțire. În exemplul nostru, produsul este numărul 6. Acest produs este rezultatul înmulțirii a 3 cu 2.
Expresia 3 × 2 poate fi înțeleasă și ca suma a două triplete. În acest caz, multiplicatorul 2 va arăta de câte ori trebuie să luați numărul 3:
Astfel, dacă luați numărul 3 de două ori la rând, obțineți numărul 6.
Legea comutativă a înmulțirii
Multiplicatorul și multiplicatorul sunt numite un cuvânt comun - factori. Legea comutativă a înmulțirii arată astfel:
Din permutarea locurilor factorilor, produsul nu se schimbă.
Să verificăm dacă acesta este cazul. Înmulțiți de exemplu 3 cu 5. Aici 3 și 5 sunt factori.
Acum să schimbăm factorii:
În ambele cazuri, obținem răspunsul 15, ceea ce înseamnă că putem pune un semn egal între expresiile 3 × 5 și 5 × 3, deoarece sunt egale cu aceeași valoare:
Și cu ajutorul variabilelor, legea comutativă a înmulțirii poate fi scrisă astfel:
Unde Ași b- factori
Legea asociativă a înmulțirii
Această lege spune că dacă o expresie constă din mai mulți factori, atunci produsul nu va depinde de ordinea operațiilor.
De exemplu, expresia 3 × 2 × 4 constă din mai mulți factori. Pentru a-l calcula, puteți înmulți 3 și 2, apoi înmulțiți produsul rezultat cu numărul rămas 4. Va arăta astfel:
3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24
Aceasta a fost prima soluție. A doua opțiune este să înmulțiți 2 și 4, apoi să înmulțiți produsul rezultat cu numărul rămas 3. Va arăta astfel:
3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24
În ambele cazuri, obținem răspunsul 24. Prin urmare, între expresiile (3 × 2) × 4 și 3 × (2 × 4) putem pune un semn egal, deoarece sunt egale cu aceeași valoare:
(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)
iar cu ajutorul variabilelor legea asociativă a înmulțirii se poate scrie astfel:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
unde în loc de a, b, c poate fi orice număr.
Legea distributivă a înmulțirii
Legea distributivă a înmulțirii vă permite să înmulțiți o sumă cu un număr. Pentru a face acest lucru, fiecare termen al acestei sume este înmulțit cu acest număr, apoi se adună rezultatele.
De exemplu, să găsim valoarea expresiei (2 + 3) × 5
Expresia dintre paranteze este suma. Această sumă trebuie înmulțită cu numărul 5. Pentru a face acest lucru, fiecare termen al acestei sume, adică numerele 2 și 3, trebuie înmulțit cu numărul 5, apoi se adună rezultatele:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Deci valoarea expresiei (2 + 3) × 5 este 25 .
Cu ajutorul variabilelor, legea distributivă a înmulțirii se scrie astfel:
(a + b) × c = a × c + b × c
unde în loc de a, b, c poate fi orice număr.
Legea înmulțirii cu zero
Această lege spune că dacă în orice înmulțire există cel puțin un zero, atunci răspunsul va fi zero.
Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.
De exemplu, expresia 0 × 2 este zero
În acest caz, numărul 2 este un multiplicator și arată de câte ori trebuie să crești multiplicandu-ul. Adică de câte ori să crească zero. Literal, această expresie este citită ca „mărește zero de două ori”. Dar cum poți dubla zero dacă este zero?
Cu alte cuvinte, dacă „nimic” este dublat, sau chiar de un milion de ori, va fi tot „nimic”.
Și dacă în expresia 0 × 2 schimbăm factorii, din nou obținem zero. Știm acest lucru din legea anterioară a deplasării:
Exemple de aplicare a legii înmulțirii cu zero:
2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0
În ultimele două exemple, există mai mulți factori. Văzând zero în ele, punem imediat zero în răspuns, aplicând legea înmulțirii cu zero.
Am luat în considerare legile de bază ale înmulțirii. În continuare, luați în considerare înmulțirea numerelor întregi.
Înmulțirea întregului
Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei −5 × 2
Aceasta este înmulțirea numerelor cu semne diferite. −5 este negativ și 2 este pozitiv. În astfel de cazuri, trebuie aplicată următoarea regulă:
Pentru a înmulți numerele cu semne diferite, trebuie să le înmulți modulele și să pui un minus înainte de răspunsul primit.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
De obicei scris mai scurt: −5 × 2 = −10
Orice înmulțire poate fi reprezentată ca o sumă de numere. De exemplu, luați în considerare expresia 2 × 3. Este egală cu 6.
Multiplicatorul din această expresie este numărul 3. Acest multiplicator arată de câte ori trebuie să măriți cele două. Dar expresia 2 × 3 poate fi înțeleasă și ca suma a trei doi:
Același lucru se întâmplă cu expresia −5 × 2. Această expresie poate fi reprezentată ca o sumă
Iar expresia (-5) + (-5) este egală cu -10 și știm asta din ultima lecție. Aceasta este adunarea numerelor negative. Amintiți-vă că rezultatul adunării numerelor negative este un număr negativ.
Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei 12 × (−5)
Aceasta este înmulțirea numerelor cu semne diferite. 12 este un număr pozitiv, (−5) este negativ. Din nou, aplicăm regula anterioară. Înmulțim modulele de numere și punem un minus înaintea răspunsului primit:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
De obicei scris mai scurt: 12 × (−5) = −60
Exemplul 3 Găsiți valoarea expresiei 10 × (−4) × 2
Această expresie constă din mai mulți factori. Mai întâi, înmulțiți 10 și (−4), apoi înmulțiți numărul rezultat cu 2. Pe parcurs, aplicați regulile studiate anterior:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
A doua acțiune:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Deci valoarea expresiei 10 × (−4) × 2 este −80
De obicei scris mai scurt: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80
Exemplul 4 Găsiți valoarea expresiei (−4) × (−2)
Aceasta este înmulțirea numerelor negative. În astfel de cazuri, ar trebui să se aplice următoarea regulă:
Pentru a înmulți numerele negative, trebuie să înmulțiți modulele acestora și să puneți un plus în fața răspunsului primit.
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
În plus, prin tradiție, nu notăm, așa că notăm doar răspunsul 8.
De obicei scris mai scurt (−4) × (−2) = 8
Se pune întrebarea de ce, la înmulțirea numerelor negative, apare brusc un număr pozitiv. Să încercăm să demonstrăm că (−4) × (−2) este egal cu 8 și nimic altceva.
Mai întâi scriem următoarea expresie:
Să-l anexăm între paranteze:
Să adăugăm expresia noastră (−4) × (−2) la această expresie. Să-l punem și în paranteză:
Echivalăm toate acestea cu zero:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Acum începe distracția. Concluzia este că trebuie să calculăm partea stângă a acestei expresii și, ca rezultat, obținem 0.
Deci primul produs (4 × (−2)) este −8. Să scriem numărul −8 în expresia noastră în loc de produsul (4 × (−2))
Acum, în locul celui de-al doilea produs, punem temporar o elipsă
Acum să ne uităm cu atenție la expresia −8 + […] = 0. Ce număr ar trebui folosit în loc de elipse pentru ca egalitatea să fie respectată? Răspunsul se sugerează de la sine. În loc de o elipsă, ar trebui să existe un număr pozitiv 8 și nu altul. Numai așa se va menține egalitatea. Deoarece −8 + 8 este egal cu 0.
Revenim la expresia −8 + ((−4) × (−2)) = 0 și în locul produsului ((−4) × (−2)) scriem numărul 8
Exemplul 5 Aflați valoarea expresiei −2 × (6 + 4)
Aplicam legea distributiva a inmultirii, adica inmultim numarul −2 cu fiecare termen al sumei (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)
Acum să evaluăm expresiile dintre paranteze. Apoi adunăm rezultatele. Pe parcurs, aplicați regulile învățate anterior. Intrarea cu module poate fi omisă pentru a nu aglomera expresia
−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12
−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8
A treia acțiune:
Deci valoarea expresiei −2 × (6 + 4) este −20
De obicei scris mai scurt: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Exemplul 6 Găsiți valoarea expresiei (−2) × (−3) × (−4)
Expresia constă din mai mulți factori. În primul rând, înmulțim numerele -2 și -3, iar produsul rezultat este înmulțit cu numărul rămas -4. Omitem intrarea cu module pentru a nu aglomera expresia
Deci valoarea expresiei (−2) × (−3) × (−4) este −24
De obicei scris mai scurt: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Legile diviziunii
Înainte de a împărți numerele întregi, este necesar să studiem două legi ale diviziunii.
În primul rând, să ne amintim în ce constă divizarea. Împărțirea constă din trei parametri: divizibil, separatorși privat. De exemplu, în expresia 8: 2 = 4, 8 este dividendul, 2 este divizorul, 4 este câtul.
Dividend arată exact ceea ce împărtășim. În exemplul nostru, împărțim numărul 8.
Divizor Afișează câte părți trebuie împărțite dividendul. În exemplul nostru, divizorul este numărul 2. Acest divizor arată câte părți trebuie împărțit dividendul 8. Adică, în timpul operației de împărțire, numărul 8 va fi împărțit în două părți.
Privat este rezultatul real al operațiunii de divizare. În exemplul nostru, câtul este 4. Acest cât este rezultatul împărțirii a 8 la 2.
Nu se poate împărți la zero
Orice număr nu poate fi împărțit la zero. Acest lucru se datorează faptului că împărțirea este inversul înmulțirii. De exemplu, dacă 2 × 6 = 12, atunci 12:6 = 2
Se poate observa că a doua expresie este scrisă în ordine inversă.
Acum vom face același lucru pentru expresia 5 × 0. Știm din legile înmulțirii că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Deci expresia 5 × 0 este, de asemenea, zero
Dacă scriem această expresie în ordine inversă, obținem:
Răspunsul atrage imediat atenția este 5, care este rezultatul împărțirii zero la zero. Este imposibil și stupid.
O altă expresie similară poate fi scrisă în ordine inversă, de exemplu 2 × 0 = 0
În primul caz, împărțind zero la zero, obținem 5, iar în al doilea caz, 2. Adică, de fiecare dată când împărțim zero la zero, putem obține valori diferite, iar acest lucru este inacceptabil.
A doua explicație este că împărțirea dividendului la divizor înseamnă găsirea unui număr care, atunci când este înmulțit cu divizor, va da dividendul.
De exemplu, expresia 8: 2 înseamnă să găsiți un număr care, atunci când este înmulțit cu 2, va da 8
Aici, în loc de elipse, ar trebui să existe un număr care, înmulțit cu 2, dă răspunsul 8. Pentru a găsi acest număr, este suficient să scrieți această expresie în ordine inversă:
Acum imaginați-vă că trebuie să găsiți valoarea expresiei 5: 0. În acest caz, 5 este dividendul, 0 este divizorul. A împărți 5 la 0 înseamnă a găsi un număr care, înmulțit cu 0, va da 5
Aici, în loc de elipse, ar trebui să existe un număr care, înmulțit cu 0, să dea răspunsul 5. Dar nu există un număr care, înmulțit cu zero, să dea 5.
Expresia […] × 0 = 5 contrazice legea înmulțirii cu zero, care spune că produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.
Deci, scrierea expresiei […] × 0 = 5 în ordine inversă, împărțind 5 la 0 nu are sens. De aceea se spune că nu poți împărți la zero.
Cu ajutorul variabilelor, această lege se scrie astfel:
La b ≠ 0
Număr A poate fi împărțit la un număr b, cu conditia ca b nu este egal cu zero.
proprietate privată
Această lege spune că dacă dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul nu se va modifica.
De exemplu, luați în considerare expresia 12: 4. Valoarea acestei expresii este 3
Să încercăm să înmulțim dividendul și divizorul cu același număr, de exemplu, cu numărul 4. Dacă credem proprietatea coeficientului, ar trebui să obținem din nou numărul 3 în răspuns
(12×4) : (4×4)
(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3
Acum să încercăm să nu înmulțim, ci să împărțim dividendul și divizorul la numărul 4
(12: 4) : (4: 4)
(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3
A primit un răspuns 3.
Vedem că dacă dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul nu se modifică.
Împărțirea numerelor întregi
Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei 12: (−2)
Aceasta este împărțirea numerelor cu semne diferite. 12 este un număr pozitiv, (−2) este negativ. În astfel de cazuri, aveți nevoie
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
De obicei scris mai scurt decât 12: (−2) = −6
Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei −24: 6
Aceasta este împărțirea numerelor cu semne diferite. −24 este negativ, 6 este pozitiv. În astfel de cazuri, din nou, împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și puneți un semn minus în fața răspunsului primit.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
De obicei scris mai scurt decât -24: 6 = -4
Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei (−45) : (−5)
Aceasta este împărțirea numerelor negative. În astfel de cazuri, aveți nevoie împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și puneți un semn plus în fața răspunsului primit.
(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
De obicei scris mai scurt (−45) : (−5) = 9
Exemplul 4 Aflați valoarea expresiei (−36) : (−4) : (−3)
După ordinea operațiilor, dacă expresia conține doar înmulțire sau împărțire, atunci toate acțiunile trebuie efectuate de la stânga la dreapta în ordinea în care apar.
Împărțiți (−36) la (−4) și împărțiți numărul rezultat la (−3)
Prima actiune:
(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
De obicei scris mai scurt (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții
Chiar și la școală, profesorii au încercat să ne pună în cap cea mai simplă regulă: „Orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero!”, - dar totusi multe controverse apar constant in jurul lui. Cineva tocmai a memorat regula și nu se deranjează cu întrebarea „de ce?”. „Nu poți face totul aici, pentru că la școală așa spuneau, regula este regula!” Cineva poate umple o jumătate de caiet cu formule, dovedind această regulă sau, dimpotrivă, ilogicitatea ei.
Cine are dreptate până la urmă
În timpul acestor dispute, ambii oameni, având puncte de vedere opuse, se privesc ca un berbec și dovedesc cu toată puterea că au dreptate. Deși, dacă te uiți la ei din lateral, poți vedea nu unul, ci doi berbeci sprijiniți unul de celălalt cu coarnele lor. Singura diferență dintre ele este că unul este puțin mai puțin educat decât celălalt.
Cel mai adesea, cei care consideră că această regulă este greșită încearcă să apeleze la logică în acest fel:
Am două mere pe masă, dacă le pun zero mere, adică nu pun unul singur, atunci cele două mere ale mele nu vor dispărea din asta! Regula este ilogică!
Într-adevăr, merele nu vor dispărea nicăieri, dar nu pentru că regula este ilogică, ci pentru că aici este folosită o ecuație ușor diferită: 2 + 0 \u003d 2. Deci, să renunțăm imediat la această concluzie - este ilogică, deși are opusul scop - a chema la logica.
Ce este înmulțirea
Regula de înmulțire inițială a fost definit doar pentru numerele naturale: înmulțirea este un număr adăugat la sine de un anumit număr de ori, ceea ce implică naturalețea numărului. Astfel, orice număr cu înmulțire poate fi redus la această ecuație:
- 25x3=75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25x3 = 25 + 25 + 25
Din această ecuație rezultă concluzia, că înmulțirea este o adunare simplificată.
Ce este zero
Orice persoană știe din copilărie: zero este gol, în ciuda faptului că acest gol are o denumire, nu poartă absolut nimic. Oamenii de știință din estul antic au gândit diferit - au abordat problema filozofic și au făcut unele paralele între gol și infinit și au văzut un sens profund în acest număr. La urma urmei, zero, care are valoarea golului, stând lângă orice număr natural, îl înmulțește de zece ori. De aici toată controversa cu privire la înmulțire - acest număr are atât de multă inconsecvență încât devine dificil să nu te confuzi. În plus, zero este utilizat în mod constant pentru a determina cifrele goale în fracții zecimale, acest lucru se face atât înainte, cât și după virgulă.
Este posibil să se înmulțească prin gol
Se poate înmulți cu zero, dar este inutil, pentru că, orice s-ar spune, dar și la înmulțirea numerelor negative, tot se va obține zero. Este suficient să vă amintiți această regulă cea mai simplă și să nu mai puneți niciodată această întrebare. De fapt, totul este mai simplu decât pare la prima vedere. Nu există semnificații și secrete ascunse, așa cum credeau oamenii de știință antici. Explicația cea mai logică va fi dată mai jos că această înmulțire este inutilă, deoarece la înmulțirea unui număr cu el, se va obține în continuare același lucru - zero.
Revenind la început, argumentul despre două mere, de 2 ori 0 arată astfel:
- Dacă mănânci două mere de cinci ori, atunci consumate 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 mere
- Dacă mănânci două dintre ele de trei ori, atunci mănânci 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 mere
- Dacă mănânci două mere de zero ori, atunci nimic nu va fi mâncat - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0
La urma urmei, să mănânci un măr de 0 ori înseamnă să nu mănânci unul singur. Acest lucru va fi clar chiar și pentru cel mai mic copil. Vă place sau nu, va ieși 0, două sau trei pot fi înlocuite cu absolut orice număr și va ieși absolut același lucru. Și pentru a spune simplu, zero este nimic iar când ai nu este nimic, atunci indiferent cât de mult ai înmulți - e tot la fel va fi zero. Nu există magie și nimic nu va face un măr, chiar dacă înmulți 0 cu un milion. Aceasta este cea mai simplă, mai înțeleasă și logică explicație a regulii înmulțirii cu zero. Pentru o persoană care este departe de toate formulele și matematica, o astfel de explicație va fi suficientă pentru ca disonanța din cap să se rezolve și totul să cadă la loc.
Divizia
Din toate cele de mai sus rezultă o altă regulă importantă:
Nu poți împărți la zero!
Această regulă, de asemenea, ne-a fost încăpățânată încăpățânată în capul nostru încă din copilărie. Știm doar că este imposibil și atât, fără să ne umplem capul cu informații inutile. Dacă vi se pune brusc întrebarea, din ce motiv este interzisă împărțirea la zero, atunci majoritatea va fi confuză și nu va putea răspunde clar la cea mai simplă întrebare din programa școlară, deoarece nu există atât de multe dispute și contradicții. în jurul acestei reguli.
Toată lumea a memorat regula și nu împarte la zero, fără a bănui că răspunsul se află la suprafață. Adunarea, înmulțirea, împărțirea și scăderea sunt inegale, numai înmulțirea și adunarea sunt pline de cele de mai sus și toate celelalte manipulări cu numere sunt construite din ele. Adică, intrarea 10: 2 este o abreviere a ecuației 2 * x = 10. Prin urmare, intrarea 10: 0 este aceeași abreviere pentru 0 * x = 10. Se pare că împărțirea la zero este o sarcină de găsit un număr, înmulțind cu 0, obținem 10 Și ne-am dat deja seama că un astfel de număr nu există, ceea ce înseamnă că această ecuație nu are soluție și va fi a priori incorectă.
Lasa-ma sa iti spun
A nu împărți la 0!
Tăiați 1 după cum doriți, împreună,
Doar nu împărți la 0!
Prezentare pentru lecție
Descărcați prezentarea (489,5 kB)
- Introduceți cazuri speciale de înmulțire cu 0 și 1.
- Pentru a consolida sensul înmulțirii și proprietatea comutativă a înmulțirii, pentru a dezvolta abilități de calcul.
- Dezvoltați atenția, memoria, operațiile mentale, vorbirea, creativitatea, interesul pentru matematică.
Echipament: Prezentarea diapozitivelor: Anexa 1.
1. Moment organizatoric.
Astăzi este o zi neobișnuită pentru noi. Sunt invitați la lecție. Vă rog, prieteni, oaspeți cu succesele voastre. Deschide caietele, notează numărul, munca la clasă. În marjă, notează-ți starea de spirit la începutul lecției. Slide 2.
Verbal, toată clasa repetă tabelul înmulțirii de pe cărți vorbind cu voce tare (Copiii marchează răspunsurile greșite cu palme).
Fizkultminutka („Gimnastica creierului”, „Pălărie pentru reflecție”, pentru respirație).
2. Enunțarea sarcinii de învățare.
2.1. Sarcini pentru dezvoltarea atenției.
Pe tablă și pe masă, copiii au o poză în două culori cu numere:
– Ce este interesant la numerele scrise? (Scris în culori diferite; toate numerele „roșii” sunt pare, iar „albastru” sunt impare.)
Care este numărul suplimentar? (10 este rotund, iar celelalte nu; 10 este două cifre, iar restul sunt o singură cifră; 5 se repetă de două ori, iar restul sunt una câte una.)
- Voi închide numărul 10. Există un plus printre celelalte numere? (3 - nu are o pereche sub 10, dar ceilalți au.)
– Găsiți suma tuturor numerelor „roșii” și scrieți-o în pătratul roșu. (30.)
– Găsiți suma tuturor numerelor „albastre” și scrieți-o în pătratul albastru. (23.)
Cât este mai mult 30 decât 23? (Pe 7.)
Cu cât este 23 mai puțin decât 30? (Tot la 7.)
Ce acțiune căutai? (Scădere.) Slide 3.
2.2. Sarcini pentru dezvoltarea memoriei și a vorbirii. Actualizare de cunoștințe.
a) - Repetați în ordine cuvintele pe care le voi numi: termen, termen, sumă, redus, scăzut, diferență. (Copiii încearcă să reproducă ordinea cuvintelor.)
Ce componente de acțiune au fost denumite? (Adunare si scadere.)
Cu ce acțiune ești familiarizat? (Înmulțire, împărțire.)
- Numiți componentele înmulțirii. (Multiplicator, multiplicator, produs.)
Ce înseamnă primul multiplicator? (Termeni egali în sumă.)
Ce înseamnă al doilea multiplicator? (Numărul de astfel de termeni.)
Scrieți definiția înmulțirii.
b) Uită-te la notițe. Ce sarcină vei face?
12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
a + a + a
(Înlocuiți suma cu produs.)
Ce se va intampla? (Prima expresie are 5 termeni, fiecare dintre care este egal cu 12, deci este egal cu 12 5. În mod similar - 33 4 și 3)
c) Denumiți operația inversă. (Înlocuiți produsul cu suma.)
– Înlocuiți produsul cu suma din expresiile: 99 2. 8 4. b 3. (99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b). slide 4.
d) Ecuațiile sunt scrise pe tablă:
81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5
Imaginile sunt plasate lângă fiecare egalitate.
Animalele școlii forestiere erau în misiune. Au făcut-o corect?
Copiii stabilesc că elefantul, tigrul, iepurele și veverița au făcut o greșeală, explică care sunt greșelile lor. Slide 5.
e) Comparați expresiile:
8 5. 5 8
5 6. 3 6
34 9… 31 2
a 3. a 2 + a
(8 5 \u003d 5 8, deoarece suma nu se modifică din rearanjarea termenilor;
5 6 > 3 6, deoarece sunt 6 termeni în stânga și în dreapta, dar termenii din stânga sunt mai mari;
34 9 > 31 2. întrucât sunt mai mulți termeni în stânga și termenii înșiși sunt mai mari;
a 3 \u003d a 2 + a, deoarece există 3 termeni în stânga și în dreapta, egali cu a.)
Ce proprietate de înmulțire a fost folosită în primul exemplu? (Deplasare.) Slide 6.
2.3. Formularea problemei. Stabilirea obiectivelor.
Sunt egalitățile adevărate? De ce? (Corect, deoarece suma 5 + 5 + 5 = 15. Apoi suma devine încă un termen 5, iar suma crește cu 5.)
5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30
– Continuați acest model spre dreapta. (5 7 = 35; 5 8 = 40.)
- Continuă-l acum spre stânga. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
- Ce înseamnă expresia 5 1? cincizeci? (? Problemă!)
Cu toate acestea, expresiile 5 1 și 5 0 nu au sens. Putem fi de acord să considerăm adevărate aceste egalități. Dar pentru aceasta trebuie să verificăm dacă încălcăm proprietatea comutativă a înmulțirii.
Deci, scopul lecției noastre este determinați dacă putem număra egalitățile 5 1 = 5 și 5 0 = 0 corect?
Problema lecției! Slide 7.
3. „Descoperirea” de noi cunoștințe de către copii.
a) - Urmați pașii: 1 7, 1 4, 1 5.
Copiii rezolvă exemple cu comentarii într-un caiet și pe tablă:
1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5
- Faceți o concluzie: 1 a -? (1 a = a.) Cardul este expus: 1 a = a
b) - Au sens expresiile 7 1, 4 1, 5 1? De ce? (Nu, deoarece suma nu poate avea un singur termen.)
– Cu ce ar trebui să fie egale pentru a nu încălca proprietatea comutativă a înmulțirii? (7 1 trebuie de asemenea să fie egal cu 7, deci 7 1 = 7.)
4 1 = 4; 5 1 = 5.
- Faceți o concluzie: a 1 =? (a 1 = a.)
Cardul este expus: a 1 = a. Prima carte este suprapusă pe a doua: a 1 \u003d 1 a \u003d a.
- Concluzia noastră coincide cu ceea ce am obținut pe fasciculul numeric? (Da.)
– Traduceți această egalitate în rusă. (Când înmulți un număr cu 1 sau 1 cu un număr, obții același număr.)
- Foarte bine! Deci, vom lua în considerare: a 1 \u003d 1 a \u003d a. slide 8.
2) În mod similar se studiază și cazul înmulțirii cu 0. Concluzie:
- când un număr este înmulțit cu 0 sau 0 cu un număr, se obține zero: a 0 \u003d 0 a \u003d 0. slide 9.
- Comparați ambele egalități: de ce vă amintesc 0 și 1?
Copiii își exprimă opiniile. Le puteți atrage atenția asupra imaginilor:
1 - „oglindă”, 0 - „fiară îngrozitoare” sau „șapcă de invizibilitate”.
Foarte bine! Deci, înmulțirea cu 1 dă același număr. (1 - „oglindă”), iar când înmulțim cu 0, obținem 0 ( 0 - „cap de invizibilitate”).
4. Educație fizică (pentru ochi - „cerc”, „sus - jos”, pentru mâini - „blocare”, „camere”).
5. Fixare primară.
Pe tablă sunt scrise exemple:
Copiii le rezolvă într-un caiet și pe o tablă cu pronunția regulilor primite într-un discurs tare, de exemplu:
3 1 = 3, deoarece la înmulțirea unui număr cu 1, se obține același număr (1 este o „oglindă”) etc.
a) 145 x = 145; b) x 437 = 437.
- Când ați înmulțit 145 cu un număr necunoscut, sa dovedit 145. Deci, au înmulțit cu 1 x = 1. etc.
- Înmulțirea lui 8 cu un număr necunoscut sa dovedit a fi 0. Deci, înmulțit cu 0 x \u003d 0. Și așa mai departe.
6. Lucru independent cu verificarea clasei. slide 10.
Copiii rezolvă în mod independent exemplele înregistrate. Apoi terminat
eșantion își verifică răspunsurile cu pronunția în vorbire tare, marchează exemplele corect rezolvate cu un plus, corectează greșelile făcute. Cei care au greșit primesc o sarcină similară pe o fișă și o lucrează individual, în timp ce clasa rezolvă probleme de repetare.
7. Sarcini pentru repetare. (Se lucrează în perechi). Slide 11.
a) - Vrei să știi ce te așteaptă în viitor? Puteți afla descifrând înregistrarea:
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Regula înmulțirii cu 1 și 0
Conform definiției general acceptate, zero este numărul care separă numerele pozitive de numerele negative pe linia numerică. Zero- acesta este locul cel mai problematic din matematică, care nu se supune logicii, și toate operațiile matematice cu zero bazată nu pe logică, ci pe definiții general acceptate.
Primul exemplu de problematică zero sunt numere naturale. în școlile rusești zero nu este un număr natural, în alte școli zero este un număr natural. Deoarece conceptul de „numere naturale” este o separare artificială a unor numere de toate celelalte numere în funcție de anumite criterii, nu poate exista o dovadă matematică a naturaleței sau a nenaturalității zeroului. Zero este considerat un element neutru în ceea ce privește operațiile de adunare și scădere.
Zero este considerat un număr întreg, fără semn. De asemenea zero este considerat un număr par, deoarece atunci când împărțiți zero la 2, obțineți un număr întreg zero.
Zero este prima cifră din toate sistemele de numere standard. În sistemele de numere poziționale, cărora le aparține sistemul de numere zecimal cunoscut nouă, cifra zero indicați absența unei valori pentru acest bit atunci când scrieți un număr. Indienii Maya au folosit zero în sistemul lor numeric duozecimal cu o mie de ani înaintea matematicienilor indieni. Fiecare lună a început din ziua zero în calendarul mayaș. Interesant, același semn zero Matematicienii mayași au desemnat și infinitul - a doua problemă a matematicii moderne.
Cuvântul " zero„ în arabă sună ca „syfr”. Din cuvântul arab zero(syfr) a apărut cuvântul „număr”.
Cum se scrie - zero sau zero? Cuvintele zero și zero au același sens, dar diferă în utilizare. Obișnuit, zero folosit în vorbirea de zi cu zi și într-un număr de combinații stabile, zero- în terminologie, în vorbirea științifică. Ambele ortografii ale acestui cuvânt sunt corecte. De exemplu: Impartirea cu zero. Zero întreg. Atenție zero. Zero fără baghetă. Zero absolut. Zero virgulă cinci.
În gramatică, cuvinte derivate din cuvinte zeroși zero sunt scrise astfel: zero sau zero, zero sau zero, zero sau zero, zero sau mai puțin obișnuit zero, zero-zero. De exemplu: Sub zero. Este egal cu zero. Reduceți la zero. Meridianul zero. Zero kilometraj. La doisprezece zero zero.
În operațiile matematice cu zero, au fost definite până în prezent următoarele rezultate:
plus- dacă adăugați la orice număr zero, numărul va rămâne neschimbat; dacă să zero adăugați orice număr, rezultatul adunării va fi același orice număr:
scădere- dacă scade din orice număr zero, numărul va rămâne neschimbat; dacă din zero scădeți orice număr, rezultatul va fi același orice număr cu semnul opus:
multiplicare- dacă orice număr este înmulțit cu zero, rezultatul este zero; Dacă zero este înmulțit cu orice număr, rezultatul este zero:
Divizia- împărțirea după zero interzis deoarece rezultatul nu există; viziunea general acceptată a problemei împărțirii la zero este prezentată în lucrarea lui Alexander Sergeev " De ce nu poți împărți la zero?» ; pentru curioși s-a scris un alt articol care discută despre posibilitatea împărțirii la zero:
a: 0 = fără împărțire la zero, în care A nu este egal cu zero
împarte zero la zero- expresia nu are sens, deoarece nu poate fi definită:
0: 0 = expresia nu are sens
zero împărțit la un număr- dacă zeroîmpărțit la un număr rezultatul va fi întotdeauna zero, indiferent ce număr se află la numitor (o excepție de la această regulă este numărul zero, Vezi deasupra):
0:a=0, în care A nu este egal cu zero
zero la putere — zero egală în orice măsură zero:
0 a = 0, în care A nu este egal cu zero
exponentiare- orice număr la putere zero este egal cu unu (număr cu puterea lui 0):
a 0 = 1, în care A nu este egal cu zero
zero la puterea lui zero- expresia nu are sens, deoarece nu poate fi definită (zero la puterea zero, 0 la puterea lui 0):
0 0 = expresia nu are sens
extragerea rădăcinilor este orice rădăcină de grad a zero egală zero:
0 1/a = 0, în care A nu este egal cu zero
factorial- factorial de zero, sau factorial zero, este egal cu unu:
distribuția cifrelor- la calcularea distribuţiei numerelor zero considerat un număr nesemnificativ. Schimbarea abordării în regulile de numărare a distribuției cifrelor când zero considerată o cifră SEMNIFICATIVA, vă va permite să obțineți rezultate mai precise ale distribuției cifrelor în toate sistemele de numere standard, inclusiv sistemul de numere binar.
Cine este interesat de întrebarea zero, îmi propun să citesc articolul „The History of Zero” de J. J. O'Connor și E. F. Robertson, în traducerea lui I. Yu. Osmolovsky.
Dacă ți-a plăcut această postare și vrei să afli mai multe, te rog să mă ajuți cu mai mult conținut.
Acum o mică reclamă. Filtrele de apă de acasă vor ajuta la purificarea apei și o vor face mai sigură de băut. Calitatea apei de la robinet astăzi nu îndeplinește cerințele de siguranță pentru sănătatea umană. Utilizarea filtrelor de apă devine o necesitate în fiecare casă.
Crearea unui site de prețuri, loc de producție Moscova. Crearea și realizarea site-ului Mira Ave. te va ajuta să-ți câștigi reprezentarea în lumea virtuală. Site-uri frumoase și funcționale pentru o varietate de nevoi, creând un site pentru nevoile dvs.
Proiectul special „45 de minute” organizează constant concursuri pentru profesori din diverse discipline academice. Creare de pagini proprii, portofoliu de profesori, schimb de experiență pedagogică, pregătire pentru examene.
ndspaces.narod.ru
Cum se înmulțește cu 0,1
Să analizăm regula și să ne uităm la exemple despre cum să înmulțim orice număr cu 0,1.
Prin urmare, înmulțirea unui număr cu 0,1 poate fi înlocuită prin împărțirea lui la 10. În termeni generali, aceasta poate fi scrisă după cum urmează:
Aici intervine regula.
0,1 regula înmulțirii
Pentru a înmulți un număr cu 0,1, trebuie să mutați virgula din înregistrarea acestui număr cu o cifră la stânga.
Când scrieți un număr natural, nu scrieți virgulă la sfârșit:
Înmulțirea unui număr natural cu 0,1 înseamnă mutarea acestei virgule cu un caracter la stânga:
Dacă ultima cifră din înregistrarea unui număr natural este zero, ca urmare a înmulțirii acestui număr cu 0,1, obținem un număr natural (deoarece zero după virgula zecimală de la sfârșitul numărului nu este scris):
Pentru a înmulți o fracție obișnuită cu 0,1, ambele fracții trebuie reduse la aceeași formă - fie fracția obișnuită este convertită în zecimală, fie zecimala este convertită în obișnuit.
www.for6cl.uznateshe.ru
Regula pentru înmulțirea oricărui număr cu zero
Chiar și la școală, profesorii au încercat să ne pună în cap cea mai simplă regulă: „Orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero!”, - dar totusi multe controverse apar constant in jurul lui. Cineva tocmai a memorat regula și nu se deranjează cu întrebarea „de ce?”. „Nu poți face totul aici, pentru că la școală așa spuneau, regula este regula!” Cineva poate umple o jumătate de caiet cu formule, dovedind această regulă sau, dimpotrivă, ilogicitatea ei.
Cine are dreptate până la urmă
În timpul acestor dispute, ambii oameni, având puncte de vedere opuse, se privesc ca un berbec și dovedesc cu toată puterea că au dreptate. Deși, dacă te uiți la ei din lateral, poți vedea nu unul, ci doi berbeci sprijiniți unul de celălalt cu coarnele lor. Singura diferență dintre ele este că unul este puțin mai puțin educat decât celălalt.
Acesta este interesant: termeni biți - ce este?
Cel mai adesea, cei care consideră că această regulă este greșită încearcă să apeleze la logică în acest fel:
Am două mere pe masă, dacă le pun zero mere, adică nu pun unul singur, atunci cele două mere ale mele nu vor dispărea din asta! Regula este ilogică!
Într-adevăr, merele nu vor dispărea nicăieri, dar nu pentru că regula este ilogică, ci pentru că aici este folosită o ecuație ușor diferită: 2 + 0 \u003d 2. Deci, să renunțăm imediat la această concluzie - este ilogică, deși are opusul scop - a chema la logica.
Acesta este interesant: Cum să găsiți diferența de numere în matematică?
Ce este înmulțirea
Regula de înmulțire inițială a fost definit doar pentru numerele naturale: înmulțirea este un număr adăugat la sine de un anumit număr de ori, ceea ce implică naturalețea numărului. Astfel, orice număr cu înmulțire poate fi redus la această ecuație:
- 25x3=75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25x3 = 25 + 25 + 25
Din această ecuație rezultă concluzia, că înmulțirea este o adunare simplificată.
Acest lucru este interesant: ce este o coardă de cerc în geometrie, definiție și proprietăți.
Ce este zero
Orice persoană știe din copilărie: zero este gol, în ciuda faptului că acest gol are o denumire, nu poartă absolut nimic. Oamenii de știință din estul antic au gândit diferit - au abordat problema filozofic și au făcut unele paralele între gol și infinit și au văzut un sens profund în acest număr. La urma urmei, zero, care are valoarea golului, stând lângă orice număr natural, îl înmulțește de zece ori. De aici toată controversa cu privire la înmulțire - acest număr are atât de multă inconsecvență încât devine dificil să nu te confuzi. În plus, zero este utilizat în mod constant pentru a determina cifrele goale în fracții zecimale, acest lucru se face atât înainte, cât și după virgulă.
Este posibil să se înmulțească prin gol
Se poate înmulți cu zero, dar este inutil, pentru că, orice s-ar spune, dar și la înmulțirea numerelor negative, tot se va obține zero. Este suficient să vă amintiți această regulă cea mai simplă și să nu mai puneți niciodată această întrebare. De fapt, totul este mai simplu decât pare la prima vedere. Nu există semnificații și secrete ascunse, așa cum credeau oamenii de știință antici. Explicația cea mai logică va fi dată mai jos că această înmulțire este inutilă, deoarece la înmulțirea unui număr cu el, se va obține în continuare același lucru - zero.
Acesta este interesant: care este modulul unui număr?
Revenind la început, argumentul despre două mere, de 2 ori 0 arată astfel:
- Dacă mănânci două mere de cinci ori, atunci consumate 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 mere
- Dacă mănânci două dintre ele de trei ori, atunci mănânci 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 mere
- Dacă mănânci două mere de zero ori, atunci nimic nu va fi mâncat - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0
La urma urmei, să mănânci un măr de 0 ori înseamnă să nu mănânci unul singur. Acest lucru va fi clar chiar și pentru cel mai mic copil. Vă place sau nu, va ieși 0, două sau trei pot fi înlocuite cu absolut orice număr și va ieși absolut același lucru. Și pentru a spune simplu, zero este nimic iar când ai nu este nimic, atunci indiferent cât de mult ai înmulți - e tot la fel va fi zero. Nu există magie și nimic nu va face un măr, chiar dacă înmulți 0 cu un milion. Aceasta este cea mai simplă, mai înțeleasă și logică explicație a regulii înmulțirii cu zero. Pentru o persoană care este departe de toate formulele și matematica, o astfel de explicație va fi suficientă pentru ca disonanța din cap să se rezolve și totul să cadă la loc.
Din toate cele de mai sus rezultă o altă regulă importantă:
Nu poți împărți la zero!
Această regulă, de asemenea, ne-a fost încăpățânată încăpățânată în capul nostru încă din copilărie. Știm doar că este imposibil și atât, fără să ne umplem capul cu informații inutile. Dacă vi se pune brusc întrebarea, din ce motiv este interzisă împărțirea la zero, atunci majoritatea va fi confuză și nu va putea răspunde clar la cea mai simplă întrebare din programa școlară, deoarece nu există atât de multe dispute și contradicții. în jurul acestei reguli.
Toată lumea a memorat regula și nu împarte la zero, fără a bănui că răspunsul se află la suprafață. Adunarea, înmulțirea, împărțirea și scăderea sunt inegale, numai înmulțirea și adunarea sunt pline de cele de mai sus și toate celelalte manipulări cu numere sunt construite din ele. Adică, intrarea 10: 2 este o abreviere a ecuației 2 * x = 10. Prin urmare, intrarea 10: 0 este aceeași abreviere pentru 0 * x = 10. Se pare că împărțirea la zero este o sarcină de găsit un număr, înmulțind cu 0, obținem 10 Și ne-am dat deja seama că un astfel de număr nu există, ceea ce înseamnă că această ecuație nu are soluție și va fi a priori incorectă.
Lasa-ma sa iti spun
A nu împărți la 0!
Tăiați 1 după cum doriți, împreună,
Doar nu împărți la 0!
obrazovanie.guru
Înmulțirea cu 0 și 1. clasa a II-a
Prezentare pentru lecție
Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Obiectivele lecției:
- Educational:
- să formeze capacitatea de a efectua înmulțirea cu zero și unu;
- pentru a-și forma capacitatea de a citi corect expresii matematice, denumește componentele înmulțirii;
- să consolideze capacitatea de a înlocui produsul numerelor cu suma și de a calcula verbal valoarea acestora; pentru a forma abilitățile inițiale de lucru cu testul.
- Educational:
- pentru a promova dezvoltarea vorbirii matematice, a memoriei de lucru, a atenției voluntare, a gândirii vizual-eficiente.
- Educational:
- să cultive o cultură a comportamentului în munca frontală, munca individuală; interes pentru subiect.
Tipul de lecție- o lectie in descoperirea de noi cunostinte.
Formarea de noi abilități este posibilă numai în activitate, prin urmare, în desfășurarea lecției, s-a folosit tehnologia metodei activității. Utilizarea acestei tehnologii este un factor esențial în creșterea eficienței stăpânirii cunoștințelor subiectului de către studenți, formarea acțiunilor educaționale universale: reglator, comunicativ, cognitiv.
Lecția dezvoltată are următoarea structură:
1. Dobândirea experienței primare în realizarea unei acțiuni și motivație.
2. Formarea unei noi metode (algoritm) de acţiune, stabilirea legăturilor primare cu metodele existente.
3. Antrenament, clarificarea conexiunilor, autocontrol și corectare.
4. Control.
Echipament pentru lecție:
- Standard: un manual, un tabel pentru completarea răspunsurilor la test, stele de hârtie colorate, memorii pentru elevi.
- Inovator: proiector multimedia, tablă interactivă, prezentare multimedia „Călătorie pe planeta înmulțirii”
Utilizarea componentelor multimedia în lecție introduce un element de noutate, face procesul de lucru vizual și ajută profesorul să se concentreze asupra punctelor principale. Lucrarea la fiecare etapă a lecției este construită ca un fel de dialog între profesor și elevi, în care tabla interactivă servește drept demonstrator pentru rezolvarea întrebărilor. Utilizarea sa în procesul educațional permite atingerea unui grad ridicat de eficacitate.
Chimie, Atribuții noi USE, Doronkin V.N., 2016 Chimie, Atribuții noi USE, Doronkin V.N., 2016. Manualul a fost întocmit în conformitate cu modificările în redactarea și conținutul sarcinilor din testele USE conform noii specificații și este [… ]
