Pentru a înțelege ce este sistem fundamental de decizie puteți urmări tutorialul video pentru același exemplu făcând clic pe . Acum să trecem la descrierea tuturor lucrărilor necesare. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți esența acestei probleme mai detaliat.
Cum se găsește sistemul fundamental de soluții al unei ecuații liniare?
Luați de exemplu următorul sistem de ecuații liniare:
Să găsim o soluție la acest sistem liniar de ecuații. Pentru început, noi notează matricea de coeficienți a sistemului.
Să transformăm această matrice într-una triunghiulară. Rescriem prima linie fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(11)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(21)$, trebuie să scădeți primul din a doua linie și să scrieți diferența pe a doua linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul din al treilea rând și să scrieți diferența în al treilea rând. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(41)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, scădeți primul înmulțit cu 2 din a cincea linie și scrieți diferența pe a cincea linie. 
Rescriem primul și al doilea rând fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(22)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(32)$, este necesar să scădem al doilea înmulțit cu 2 din al treilea rând și să scrieți diferența în al treilea rând. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(42)$, este necesar să scădem al doilea înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(52)$, scădeți al doilea înmulțit cu 3 din a cincea linie și scrieți diferența pe a cincea linie. 
Vedem asta ultimele trei rânduri sunt aceleași, deci dacă scadeți a treia din a patra și a cincea, atunci acestea vor deveni zero. 
Pentru această matrice scrieți un nou sistem de ecuații.
Vedem că avem doar trei ecuații liniar independente și cinci necunoscute, deci sistemul fundamental de soluții va consta din doi vectori. Deci noi mutați ultimele două necunoscute la dreapta.
Acum, începem să exprimăm acele necunoscute care sunt pe partea stângă prin cele care sunt pe partea dreaptă. Începem cu ultima ecuație, mai întâi exprimăm $x_3$, apoi substituim rezultatul obținut în a doua ecuație și exprimăm $x_2$, iar apoi în prima ecuație și aici exprimăm $x_1$. Astfel, am exprimat toate necunoscutele care sunt pe partea stângă prin necunoscutele care sunt pe partea dreaptă. 
După aceea, în loc de $x_4$ și $x_5$, puteți înlocui orice numere și puteți găsi $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Fiecare dintre aceste cinci numere va fi rădăcinile sistemului nostru original de ecuații. Pentru a găsi vectorii care sunt incluși în FSR trebuie să înlocuim 1 în loc de $x_4$ și să înlocuim 0 în loc de $x_5$, să găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$ și apoi invers $x_4=0$ și $x_5=1$.
Vom continua să lustruim tehnica transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Conform primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și obișnuit, dar această impresie este înșelătoare. Vor exista o mulțime de informații noi pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.
Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?
Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toata lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:
Este destul de clar că sistemul omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, așa-zisul banal decizie 
. Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă bespontovoe. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ... De ce să ne batem în jurul tufișului, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:
Exemplul 1
Decizie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să scriem matricea sistemului iar cu ajutorul unor transformări elementare aduc-o într-o formă în trepte. Rețineți că nu este nevoie să scrieți aici bara verticală și coloana zero a membrilor liberi - deoarece orice ați face cu zerouri, acestea vor rămâne zero: 
(1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -3.
(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -1.
Împărțirea celui de-al treilea rând la 3 nu are prea mult sens.
Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent 
, și, aplicând mișcarea inversă a metodei gaussiene, este ușor de verificat că soluția este unică.
Răspuns: 
Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are singura solutie banala, dacă rangul matricei sistemului(în acest caz, 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz, 3 buc.).
Ne încălzim și ne acordăm radioul la un val de transformări elementare:
Exemplul 2
Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare 
Pentru a remedia în sfârșit algoritmul, să analizăm sarcina finală:
Exemplul 7
Rezolvați un sistem omogen, scrieți răspunsul în formă vectorială. 
Decizie: scriem matricea sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă în trepte: 
(1) Semnul primei linii a fost schimbat. Încă o dată, atrag atenția asupra tehnicii întâlnite în mod repetat, care vă permite să simplificați semnificativ următoarea acțiune.
(1) Prima linie a fost adăugată la rândurile a 2-a și a 3-a. Prima linie înmulțită cu 2 a fost adăugată la a patra linie.
(3) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele au fost eliminate.
Ca rezultat, se obține o matrice standard de etape, iar soluția continuă de-a lungul pistei moletate:
– variabile de bază;
sunt variabile libere.
Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere. Din a 2-a ecuație:
- înlocuiți în prima ecuație:
Deci solutia generala este:
Deoarece există trei variabile libere în exemplul luat în considerare, sistemul fundamental conține trei vectori.
Să înlocuim un triplu de valori 
în soluția generală și obțineți un vector ale cărui coordonate satisfac fiecare ecuație a sistemului omogen. Și din nou, repet că este foarte de dorit să verificați fiecare vector primit - nu va dura atât de mult timp, dar va salva sută la sută de erori.
Pentru un triplu de valori 
găsi vectorul
Și în sfârșit pentru triplu 
obținem al treilea vector:
Răspuns: , Unde
Cei care doresc să evite valorile fracționale pot lua în considerare tripleți 
și obțineți răspunsul în forma echivalentă:
Apropo de fracții. Să ne uităm la matricea obținută în problemă 
și puneți întrebarea - este posibil să simplificați soluția ulterioară? Până la urmă, aici am exprimat mai întâi variabila de bază în termeni de fracții, apoi variabila de bază în termeni de fracții și, trebuie să spun, acest proces nu a fost cel mai ușor și nici cel mai plăcut.
A doua soluție:
Ideea este sa incerci alegeți alte variabile de bază. Să ne uităm la matrice și să observăm două în coloana a treia. Deci de ce să nu obții zero în vârf? Să facem încă o transformare elementară:
Un sistem omogen este întotdeauna consistent și are o soluție banală 
. Pentru ca o soluție netrivială să existe, este necesar ca rangul matricei 
a fost mai mic decât numărul de necunoscute:
.
Sistem de decizie fundamental
sistem omogen 
numiți sistemul de soluții sub formă de vectori coloană 
, care corespund temeiului canonic, i.e. bază în care constantele arbitrare 
sunt setate alternativ egale cu unu, în timp ce restul sunt setate la zero.
Atunci soluția generală a sistemului omogen are forma:
Unde 
sunt constante arbitrare. Cu alte cuvinte, soluția generală este o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții.
Astfel, soluțiile de bază pot fi obținute din soluția generală dacă necunoscutelor libere li se dă alternativ valoarea unității, presupunând că toate celelalte sunt egale cu zero.
Exemplu. Să găsim o soluție la sistem
Acceptăm , apoi obținem soluția sub forma:
Să construim acum un sistem fundamental de soluții:
.
Soluția generală poate fi scrisă astfel:
Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:
Cu alte cuvinte, orice combinație liniară de soluții la un sistem omogen este din nou o soluție.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare a fost de interes pentru matematicieni de câteva secole. Primele rezultate au fost obținute în secolul al XVIII-lea. În 1750, G. Kramer (1704–1752) și-a publicat lucrările despre determinanții matricilor pătrate și a propus un algoritm pentru găsirea matricei inverse. În 1809, Gauss a schițat o nouă metodă de soluție cunoscută sub numele de metoda eliminării.
Metoda Gauss, sau metoda eliminării succesive a necunoscutelor, constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul de ecuații se reduce la un sistem echivalent de formă în trepte (sau triunghiulară). Astfel de sisteme vă permit să găsiți în mod constant toate necunoscutele într-o anumită ordine.
Să presupunem că în sistemul (1) 
(ceea ce este întotdeauna posibil).
(1)
Înmulțind pe rând prima ecuație cu așa-numita numere potrivite
și adunând rezultatul înmulțirii cu ecuațiile corespunzătoare ale sistemului, obținem un sistem echivalent în care toate ecuațiile, cu excepția primei, nu vor avea necunoscute. X 1
(2)
Înmulțim acum a doua ecuație a sistemului (2) cu numere adecvate, presupunând că 
,
iar adăugând-o la cele inferioare, eliminăm variabila 
a tuturor ecuațiilor, începând cu a treia.
Continuând acest proces, după 
pașii primim:
(3)
Dacă cel puţin unul dintre numere 
nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare este inconsecventă și sistemul (1) este inconsecvent. Dimpotrivă, pentru orice sistem de numere comun 
sunt egale cu zero. Număr 
nu este altceva decât rangul matricei sistemului (1).
Se numește trecerea de la sistemul (1) la (3). în linie dreaptă Metoda Gaussiană și găsirea necunoscutelor din (3) - înapoi .
cometariu : Este mai convenabil să se efectueze transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricea extinsă a sistemului (1).
Exemplu. Să găsim o soluție la sistem
.
Să scriem matricea augmentată a sistemului:
.
Să adăugăm la liniile 2,3,4 primul, înmulțit cu (-2), (-3), respectiv (-2):
.
Să schimbăm rândurile 2 și 3, apoi în matricea rezultată adăugați rândul 2 la rândul 4, înmulțit cu 
:
.
Adaugă la linia 4 linia 3 înmulțită cu 
:
.
Este evident că 
, prin urmare sistemul este compatibil. Din sistemul de ecuații rezultat
găsim soluția prin substituție inversă:
,
,
,
.
Exemplul 2 Găsiți soluția de sistem:
.
Este evident că sistemul este inconsecvent, pentru că 
, A 
.
Avantajele metodei Gauss :
Mai puțin consumator de timp decât metoda lui Cramer.
Stabilește fără ambiguitate compatibilitatea sistemului și vă permite să găsiți o soluție.
Oferă capacitatea de a determina rangul oricăror matrici.
Ecuația liniară se numește omogen dacă interceptarea sa este zero, iar neomogenă în caz contrar. Un sistem format din ecuații omogene se numește omogen și are forma generală:
Evident, orice sistem omogen este consistent și are o soluție zero (trivială). Prin urmare, în raport cu sistemele omogene de ecuații liniare, de multe ori trebuie să căutați un răspuns la întrebarea existenței soluțiilor nenule. Răspunsul la această întrebare poate fi formulat ca următoarea teoremă.
Teorema . Un sistem omogen de ecuații liniare are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă rangul său este mai mic decât numărul de necunoscute .
Dovada: Să presupunem că un sistem al cărui rang este egal are o soluție diferită de zero. Evident, nu depășește . În cazul în care sistemul are o soluție unică. Deoarece sistemul de ecuații liniare omogene are întotdeauna o soluție zero, tocmai soluția zero va fi această soluție unică. Astfel, soluțiile diferite de zero sunt posibile numai pentru .
Corolarul 1 : Un sistem omogen de ecuații, în care numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, are întotdeauna o soluție diferită de zero.
Dovada: Dacă sistemul de ecuații are , atunci rangul sistemului nu depășește numărul de ecuații , i.e. . Astfel, condiția este îndeplinită și, prin urmare, sistemul are o soluție diferită de zero.
Consecința 2 : Un sistem omogen de ecuații cu necunoscute are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă determinantul său este zero.
Dovada: Să presupunem un sistem de ecuații liniare omogene a cărui matrice cu determinant are o soluție diferită de zero. Apoi, conform teoremei dovedite, , ceea ce înseamnă că matricea este degenerată, adică .
Teorema Kronecker-Capelli: SLE este consecvent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a acestui sistem. Un sistem ur-th se numește compatibil dacă are cel puțin o soluție.Sistem omogen de ecuații algebrice liniare.
Un sistem de m ecuații liniare cu n variabile se numește sistem de ecuații liniare omogene dacă toți termenii liberi sunt egali cu 0. Un sistem de ecuații liniare omogene este întotdeauna compatibil, deoarece are întotdeauna cel puțin o soluție zero. Un sistem de ecuații liniare omogene are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă rangul matricei sale de coeficienți la variabile este mai mic decât numărul de variabile, i.e. pentru rangul A (n. Orice combinație liniară
soluții ale sistemului de linii. omogen ur-ii este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.
Un sistem de soluții liniar independente e1, e2,…,ek se numește fundamental dacă fiecare soluție a sistemului este o combinație liniară de soluții. Teoremă: dacă rangul r al matricei de coeficienți la variabilele sistemului de ecuații liniare omogene este mai mic decât numărul de variabile n, atunci orice sistem fundamental de soluții al sistemului este format din n-r soluții. Prin urmare, soluția generală a sistemului de linii. singur ur-th are forma: c1e1+c2e2+…+ckek, unde e1, e2,…, ek este orice sistem fundamental de soluții, c1, c2,…,ck sunt numere arbitrare și k=n-r. Soluția generală a unui sistem de m ecuații liniare cu n variabile este egală cu suma
soluţia generală a sistemului corespunzător acestuia este omogenă. ecuații liniare și o soluție particulară arbitrară a acestui sistem.
7. Spații liniare. Subspații. Baza, dimensiunea. Înveliș liniar. Se numește spațiu liniar n-dimensională, dacă conține un sistem de vectori liniar independenți și orice sistem de mai mulți vectori este dependent liniar. Numărul este sunat dimensiune (numar de masuratori) spațiu liniar și se notează cu . Cu alte cuvinte, dimensiunea unui spațiu este numărul maxim de vectori liniar independenți din acel spațiu. Dacă un astfel de număr există, atunci se spune că spațiul este de dimensiune finită. Dacă pentru orice număr natural n în spațiu există un sistem format din vectori liniar independenți, atunci un astfel de spațiu se numește infinit-dimensional (scris: ). În cele ce urmează, dacă nu se specifică altfel, vor fi luate în considerare spațiile cu dimensiuni finite.
Baza unui spațiu liniar n-dimensional este un set ordonat de vectori liniar independenți ( vectori de bază).
Teorema 8.1 privind expansiunea unui vector în termeni de bază. Dacă este o bază a unui spațiu liniar n-dimensional, atunci orice vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
si, mai mult, intr-un mod unic, i.e. coeficienții sunt determinați în mod unic. Cu alte cuvinte, orice vector spațial poate fi extins într-o bază și, în plus, într-un mod unic.
Într-adevăr, dimensiunea spațiului este de . Sistemul de vectori este liniar independent (aceasta este baza). După unirea oricărui vector la bază, obținem un sistem dependent liniar (deoarece acest sistem este format din vectori într-un spațiu n-dimensional). Prin proprietatea a 7 vectori liniar dependenți și liniar independenți, obținem concluzia teoremei.
Chiar și la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și, cu siguranță, sistemele de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe moduri de a le rezolva. Astăzi vom analiza în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare, care constau din mai mult de două egalități.
Poveste
Astăzi se știe că arta de a rezolva ecuații și sistemele lor își are originea în Babilonul și Egiptul antic. Cu toate acestea, egalitățile în forma lor obișnuită au apărut după apariția semnului egal „=", care a fost introdus în 1556 de matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Într-adevăr, nu există un exemplu mai bun de egalitate.
Fondatorul desemnărilor moderne de litere de necunoscute și semne de grade este un matematician francez, dar desemnările sale diferă semnificativ de cele de astăzi. De exemplu, el a notat pătratul unui număr necunoscut cu litera Q (lat. „quadratus”), iar cubul cu litera C (lat. „cubus”). Aceste notații par incomode acum, dar pe atunci era cel mai înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.
Cu toate acestea, un dezavantaj al metodelor de soluție de atunci a fost că matematicienii au considerat doar rădăcini pozitive. Poate că acest lucru se datorează faptului că valorile negative nu au avut nicio utilitate practică. Într-un fel sau altul, matematicienii italieni Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano și Rafael Bombelli au fost primii care au luat în considerare rădăcinile negative în secolul al XVI-lea. Iar viziunea modernă, principala metodă de soluție (prin discriminant) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrării lui Descartes și Newton.
La mijlocul secolului al XVIII-lea, matematicianul elvețian Gabriel Cramer a găsit o nouă modalitate de a ușura rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Această metodă a fost numită ulterior după el și o folosim până astăzi. Dar despre metoda lui Cramer vom vorbi puțin mai târziu, dar deocamdată vom discuta despre ecuații liniare și metode de rezolvare a acestora separat de sistem.
Ecuatii lineare
Ecuațiile liniare sunt cele mai simple egalități cu variabilă(e). Ele sunt clasificate ca fiind algebrice. scrieți în formă generală, după cum urmează: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... și n * x n \u003d b. Vom avea nevoie de reprezentarea lor în această formă atunci când compilăm sisteme și matrice în continuare.
Sisteme de ecuații algebrice liniare
Definiția acestui termen este următoarea: este un set de ecuații care au necunoscute comune și o soluție comună. De regulă, la școală, totul a fost rezolvat prin sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne dăm seama mai întâi cum să le notăm, astfel încât să fie convenabil să le rezolvăm mai târziu. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, toate ecuațiile ar trebui aduse la forma canonică: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.
După toate aceste acțiuni, putem începe să vorbim despre cum să găsim o soluție la sistemele de ecuații liniare. Matricele sunt foarte utile pentru asta.
matrici
O matrice este un tabel care constă din rânduri și coloane, iar la intersecția lor se află elementele sale. Acestea pot fi fie valori specifice, fie variabile. Cel mai adesea, pentru a desemna elemente, sub ele sunt plasate indicele (de exemplu, un 11 sau un 23). Primul index înseamnă numărul rândului, iar al doilea numărul coloanei. Pe matrice, precum și pe orice alt element matematic, puteți efectua diverse operații. Astfel, puteți:
2) Înmulțiți o matrice cu un număr sau un vector.
3) Transpunere: transformați rândurile matricei în coloane și coloanele în rânduri.
4) Înmulțiți matrice dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeilalte.
Vom discuta mai detaliat despre toate aceste tehnici, deoarece ne vor fi utile pe viitor. Scăderea și adăugarea matricelor este foarte ușoară. Deoarece luăm matrice de aceeași dimensiune, fiecare element al unui tabel corespunde fiecărui element al altuia. Astfel, adunăm (scădem) aceste două elemente (important este ca ele să fie în aceleași locuri în matricele lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau vector, trebuie pur și simplu să înmulțiți fiecare element al matricei cu acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. Este foarte interesant uneori să-l vezi în viața reală, de exemplu, când schimbi orientarea unei tablete sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop sunt o matrice, iar când schimbi poziția se transpune și devine mai lată, dar scade în înălțime.
Să analizăm un astfel de proces ca Deși nu ne va fi de folos, va fi totuși util să-l cunoaștem. Puteți înmulți două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri din celălalt. Acum să luăm elementele unui rând dintr-o matrice și elementele coloanei corespunzătoare a alteia. Le înmulțim unul cu altul și apoi le adunăm (adică, de exemplu, produsul elementelor a 11 și a 12 cu b 12 și b 22 va fi egal cu: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Astfel, se obține un element al tabelului și este completat în continuare printr-o metodă similară.
Acum putem începe să luăm în considerare modul în care este rezolvat sistemul de ecuații liniare.
metoda Gauss
Acest subiect începe la școală. Cunoaștem bine conceptul de „sistem de două ecuații liniare” și știm să le rezolvăm. Dar ce se întâmplă dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Acest lucru ne va ajuta
Desigur, această metodă este convenabilă de utilizat dacă faceți o matrice din sistem. Dar nu o poți transforma și rezolva în forma sa pură.
Deci, cum se rezolvă sistemul de ecuații liniare gaussiene prin această metodă? Apropo, deși această metodă poartă numele lui, a fost descoperită în vremuri străvechi. Gauss propune următoarele: să efectueze operații cu ecuații pentru a reduce eventual întregul set la o formă în trepte. Adică este necesar ca de sus în jos (dacă este plasat corect) de la prima ecuație până la ultima, o necunoscută să scadă. Cu alte cuvinte, trebuie să ne asigurăm că obținem, să zicem, trei ecuații: în prima - trei necunoscute, în a doua - două, în a treia - una. Apoi din ultima ecuație găsim prima necunoscută, înlocuim valoarea acesteia în a doua sau în prima ecuație și apoi găsim celelalte două variabile.
Metoda Cramer
Pentru a stăpâni această metodă, este vital să stăpânești abilitățile de adunare, scădere a matricelor și, de asemenea, trebuie să poți găsi determinanți. Prin urmare, dacă faci toate acestea prost sau nu știi deloc cum, va trebui să înveți și să exersezi.
Care este esența acestei metode și cum se face astfel încât să se obțină un sistem de ecuații liniare Cramer? Totul este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice din coeficienții numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, pur și simplu luăm numerele în fața necunoscutelor și le punem în tabel în ordinea în care sunt scrise în sistem. Dacă numărul este precedat de semnul „-”, atunci notăm un coeficient negativ. Deci, am compilat prima matrice din coeficienții necunoscutelor, fără a include numerele după semnele egale (în mod firesc, ecuația ar trebui redusă la forma canonică, când numai numărul este în dreapta și toate necunoscutele cu coeficienții din stânga). Apoi trebuie să creați mai multe matrice - câte una pentru fiecare variabilă. Pentru a face acest lucru, în prima matrice, la rândul său, înlocuim fiecare coloană cu coeficienți cu o coloană de numere după semnul egal. Astfel, obținem mai multe matrice și apoi găsim determinanții acestora.
După ce am găsit determinanții, problema este mică. Avem o matrice inițială și există mai multe matrice rezultate care corespund unor variabile diferite. Pentru a obține soluțiile sistemului, împărțim determinantul tabelului rezultat la determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.
Alte Metode
Există mai multe metode pentru obținerea unei soluții la sistemele de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este folosită pentru a găsi soluții la un sistem de ecuații pătratice și este, de asemenea, asociată cu utilizarea matricelor. Există și o metodă Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai ușor de adaptat la un computer și este folosit în tehnologia informatică.
Cazuri dificile
Complexitatea apare de obicei atunci când numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Atunci putem spune cu siguranță că fie sistemul este inconsecvent (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să scriem soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Acesta va conține cel puțin o variabilă.
Concluzie
Aici ajungem la final. Să rezumam: am analizat ce sunt un sistem și o matrice, am învățat cum să găsim o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, au fost luate în considerare și alte opțiuni. Am aflat cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare: metoda Gauss și Am vorbit despre cazuri dificile și alte modalități de a găsi soluții.
De fapt, acest subiect este mult mai amplu, iar dacă vrei să-l înțelegi mai bine, atunci te sfătuim să citești mai multă literatură de specialitate.
