Acest articol tratează operațiile pe fracții. Se vor forma și justifica reguli de adunare, scădere, înmulțire, împărțire sau exponențiere a fracțiilor de forma A B, unde A și B pot fi numere, expresii numerice sau expresii cu variabile. În concluzie, vor fi luate în considerare exemple de soluții cu o descriere detaliată.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Reguli pentru efectuarea operațiilor cu fracții numerice de formă generală

Fracțiile numerice de formă generală au un numărător și un numitor, în care există numere naturale sau expresii numerice. Dacă luăm în considerare astfel de fracții ca 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , atunci este clar că numărătorul și numitorul pot avea nu numai numere, ci și expresii ale unui plan diferit.

Definiția 1

Există reguli prin care acțiunile sunt efectuate cu fracții obișnuite. Este potrivit și pentru fracții de formă generală:

• La scăderea fracțiilor cu aceiași numitori, se adaugă doar numărătorii, iar numitorul rămâne același, și anume: a d ± c d \u003d a ± c d, valorile a, c și d ≠ 0 sunt niște numere sau expresii numerice.
• Când se adună sau se scăde fracții cu numitori diferiți, este necesar să se reducă la una comună, iar apoi să se adună sau să scadă fracțiile rezultate cu aceiași indicatori. Literal, arată astfel a b ± c d = a p ± c r s , unde valorile a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 sunt numere reale și b p = d r = s. Când p = d și r = b, atunci a b ± c d = a d ± c d b d.
• La înmulțirea fracțiilor, se efectuează o acțiune cu numărători, după care cu numitori, obținem a b c d \u003d a c b d, unde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 acționează ca numere reale.
• Când împărțim o fracție la o fracție, o înmulțim pe prima cu a doua reciprocă, adică schimbăm numărătorul și numitorul: a b: c d \u003d a b d c.

Rațiunea regulilor

Definiția 2

Există următoarele puncte matematice pe care ar trebui să te bazezi când calculezi:

• o bară fracțională înseamnă un semn de divizare;
• împărțirea cu un număr este tratată ca o înmulțire cu reciproca sa;
• aplicarea proprietății acțiunilor cu numere reale;
• aplicarea proprietății de bază a unei fracții și a inegalităților numerice.

Cu ajutorul lor, puteți face transformări ale formei:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Exemple

În paragraful anterior s-a spus despre acțiunile cu fracții. După aceasta, fracția trebuie simplificată. Acest subiect a fost discutat în detaliu în secțiunea privind conversia fracțiilor.

Mai întâi, luați în considerare exemplul de adunare și scădere a fracțiilor cu același numitor.

Exemplul 1

Având în vedere fracțiile 8 2 , 7 și 1 2 , 7 , atunci conform regulii este necesar să se adună numărătorul și să rescrie numitorul.

Decizie

Apoi obținem o fracție de forma 8 + 1 2 , 7 . După efectuarea adunării, obținem o fracție de forma 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Deci 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Răspuns: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Există o altă modalitate de a rezolva. Pentru început, se face o tranziție la forma unei fracții obișnuite, după care efectuăm o simplificare. Arata cam asa:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemplul 2

Să scădem din 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 fracții de forma 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Deoarece sunt dați numitori egali, înseamnă că calculăm o fracție cu același numitor. Înțelegem asta

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Există exemple de calculare a fracțiilor cu numitori diferiți. Un punct important este reducerea la un numitor comun. Fără aceasta, nu vom putea efectua alte acțiuni cu fracții.

Procesul amintește de departe de reducerea la un numitor comun. Adică se face o căutare pentru cel mai mic divizor comun la numitor, după care factorii lipsă se adaugă la fracții.

Dacă fracțiile adăugate nu au factori comuni, atunci produsul lor poate deveni unul.

Exemplul 3

Luați în considerare exemplul de adunare a fracțiilor 2 3 5 + 1 și 1 2 .

Decizie

În acest caz, numitorul comun este produsul numitorilor. Atunci obținem că 2 · 3 5 + 1 . Apoi, atunci când stabilim factori suplimentari, avem că pentru prima fracție este egal cu 2, iar pentru a doua 3 5 + 1. După înmulțire, fracțiile sunt reduse la forma 4 2 3 5 + 1. Distribuția generală 1 2 va fi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Adăugăm expresiile fracționale rezultate și obținem asta

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Răspuns: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Când avem de-a face cu fracții de formă generală, atunci cel mai mic numitor comun nu este de obicei cazul. Este neprofitabil să luăm ca numitor produsul numărătorilor. Mai întâi trebuie să verificați dacă există un număr care are o valoare mai mică decât produsul lor.

Exemplul 4

Luați în considerare exemplul 1 6 2 1 5 și 1 4 2 3 5 când produsul lor este egal cu 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Apoi luăm 12 · 2 3 5 ca numitor comun.

Luați în considerare exemple de înmulțiri de fracții dintr-o formă generală.

Exemplul 5

Pentru a face acest lucru, este necesar să înmulțiți 2 + 1 6 și 2 · 5 3 · 2 + 1.

Decizie

Urmând regula, este necesar să rescrieți și să scrieți produsul numărătorilor ca numitor. Obținem că 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Când fracția este înmulțită, se pot face reduceri pentru a o simplifica. Atunci 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Folosind regula trecerii de la împărțire la înmulțire cu o reciprocă, obținem reciproca celei date. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul sunt inversate. Să ne uităm la un exemplu:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

După aceea, trebuie să efectueze înmulțirea și să simplifice fracția rezultată. Dacă este necesar, scăpați de iraționalitatea din numitor. Înțelegem asta

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Răspuns: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Acest paragraf este aplicabil atunci când un număr sau o expresie numerică poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor egal cu 1, atunci operația cu o astfel de fracție este considerată un paragraf separat. De exemplu, expresia 1 6 7 4 - 1 3 arată că rădăcina lui 3 poate fi înlocuită cu o altă expresie 3 1. Atunci această înregistrare va arăta ca o înmulțire a două fracții de forma 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Efectuarea unei acțiuni cu fracții care conțin variabile

Regulile discutate în primul articol sunt aplicabile operațiilor cu fracții care conțin variabile. Luați în considerare regula scăderii atunci când numitorii sunt aceiași.

Este necesar să se demonstreze că A , C și D (D nu sunt egale cu zero) pot fi orice expresii, iar egalitatea A D ± C D = A ± C D este echivalentă cu intervalul său de valori valide.

Este necesar să se ia un set de variabile ODZ. Atunci A, C, D trebuie să ia valorile corespunzătoare a 0 , c 0 și d0. O substituire a formei A D ± C D are ca rezultat o diferență de forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , unde, conform regulii de adunare, obținem o formulă de forma a 0 ± c 0 d 0 . Dacă înlocuim expresia A ± C D , atunci obținem aceeași fracție de forma a 0 ± c 0 d 0 . Din aceasta concluzionăm că valoarea aleasă care satisface ODZ, A ± C D și A D ± C D sunt considerate egale.

Pentru orice valoare a variabilelor, aceste expresii vor fi egale, adică se numesc identic egale. Aceasta înseamnă că această expresie este considerată a fi o egalitate demonstrabilă de forma A D ± C D = A ± C D .

Exemple de adunare și scădere de fracții cu variabile

Când există aceiași numitori, este necesar doar să se adună sau să scadă numărătorii. Această fracție poate fi simplificată. Uneori trebuie să lucrați cu fracții care sunt identic egale, dar la prima vedere acest lucru nu se observă, deoarece trebuie efectuate unele transformări. De exemplu, x 2 3 x 1 3 + 1 și x 1 3 + 1 2 sau 1 2 sin 2 α și sin a cos a. Cel mai adesea, este necesară o simplificare a expresiei originale pentru a vedea aceiași numitori.

Exemplul 6

Calculați: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Decizie

1. Pentru a face un calcul, trebuie să scădeți fracțiile care au aceiași numitori. Atunci obținem că x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . După aceea, puteți deschide parantezele cu reducerea termenilor similari. Obținem că x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Deoarece numitorii sunt aceiași, rămâne doar adunarea numărătorilor, lăsând numitorul: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Adăugarea a fost finalizată. Se poate observa că fracția poate fi redusă. Numătorul său poate fi pliat folosind formula sumei pătrate, apoi obținem (l g x + 2) 2 din formulele de multiplicare prescurtate. Atunci obținem asta
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Date fracții de forma x - 1 x - 1 + x x + 1 cu diferiți numitori. După transformare, puteți trece la adăugare.

Să luăm în considerare o soluție în două sensuri.

Prima metodă este ca numitorul primei fracții să fie supus factorizării folosind pătrate și cu reducerea sa ulterioară. Obținem o fracțiune din formă

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Deci x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

În acest caz, este necesar să scăpăm de iraționalitatea în numitor.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

A doua modalitate este de a înmulți numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu x-1. Astfel, scăpăm de iraționalitate și trecem la adunarea unei fracții cu același numitor. Apoi

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Răspuns: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

În ultimul exemplu, am constatat că reducerea la un numitor comun este inevitabilă. Pentru a face acest lucru, trebuie să simplificați fracțiile. Pentru a adăuga sau scădea, trebuie întotdeauna să căutați un numitor comun, care arată ca produsul numitorilor cu adăugarea de factori suplimentari la numărători.

Exemplul 7

Calculați valorile fracțiilor: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Decizie

1. Numitorul nu necesită calcule complicate, așa că trebuie să alegeți produsul lor de forma 3 x 7 + 2 2, apoi la prima fracție x 7 + 2 2 este ales ca factor suplimentar și 3 la a doua. Când înmulțim, obținem o fracție de forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Se poate observa că numitorii sunt prezentați ca un produs, ceea ce înseamnă că transformările suplimentare sunt inutile. Numitorul comun va fi produsul formei x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . De aici x 4 este un factor suplimentar la prima fracție și ln (x + 1) la al doilea. Apoi scadem si obtinem:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Acest exemplu are sens atunci când lucrați cu numitori de fracții. Este necesar să se aplice formulele pentru diferența de pătrate și pătratul sumei, deoarece acestea vor face posibilă trecerea la o expresie de forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Se poate observa că fracțiile sunt reduse la un numitor comun. Obținem că cos x - x cos x + x 2 .

Atunci obținem asta

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Răspuns:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Exemple de înmulțire a fracțiilor cu variabile

La înmulțirea fracțiilor, numărătorul este înmulțit cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Apoi puteți aplica proprietatea de reducere.

Exemplul 8

Înmulțiți fracțiile x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 și 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Decizie

Trebuie să faci înmulțirea. Înțelegem asta

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Numărul 3 este transferat pe primul loc pentru confortul calculelor și puteți reduce fracția cu x 2, apoi obținem o expresie de forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Răspuns: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Divizia

Împărțirea fracțiilor este similară cu înmulțirea, deoarece prima fracție este înmulțită cu a doua reciprocă. Dacă luăm, de exemplu, fracția x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 și împărțim la 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, atunci aceasta poate fi scrisă ca

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , apoi înlocuiți cu un produs de forma x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Exponentiație

Să trecem la acțiunea cu fracții de formă generală cu exponențiere. Dacă există un grad cu exponent natural, atunci acțiunea este considerată ca o înmulțire a fracțiilor identice. Dar se recomandă utilizarea unei abordări generale bazate pe proprietățile gradelor. Orice expresii A și C, unde C nu este identic egal cu zero, și orice r real pe ODZ pentru o expresie de forma A C r, egalitatea A C r = A r C r este adevărată. Rezultatul este o fracție ridicată la o putere. De exemplu, luați în considerare:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Ordinea operațiilor cu fracții

Acțiunile asupra fracțiilor sunt efectuate după anumite reguli. În practică, observăm că o expresie poate conține mai multe fracții sau expresii fracționale. Apoi, este necesar să efectuați toate acțiunile într-o ordine strictă: ridicați la o putere, înmulțiți, împărțiți, apoi adăugați și scădeți. Dacă există paranteze, prima acțiune este efectuată în ele.

Exemplul 9

Calculați 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Decizie

Deoarece avem același numitor, atunci 1 - x cos x și 1 c o s x , dar este imposibil să scădem conform regulii, mai întâi se execută acțiunile dintre paranteze, după care înmulțirea, apoi adunarea. Apoi, când calculăm, obținem asta

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Când înlocuim expresia în cea originală, obținem că 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. La înmulțirea fracțiilor, avem: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . După ce au făcut toate înlocuirile, obținem 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Acum trebuie să lucrați cu fracții care au numitori diferiți. Primim:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Răspuns: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Fracțiune- o formă de reprezentare a unui număr în matematică. Bara oblică indică operația de împărțire. numărător fracții se numește dividend și numitor- separator. De exemplu, într-o fracție, numărătorul este 5 și numitorul este 7.

Corect O fracție se numește dacă modulul numărătorului este mai mare decât modulul numitorului. Dacă fracția este corectă, atunci modulul valorii sale este întotdeauna mai mic decât 1. Toate celelalte fracții sunt gresit.

Se numește fracțiune amestecat, dacă se scrie ca număr întreg și fracție. Aceasta este aceeași cu suma acestui număr și a unei fracții:

Proprietatea de bază a fracției

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu același număr, atunci valoarea fracției nu se va schimba, adică, de exemplu,

Aducerea fracțiilor la un numitor comun

Pentru a aduce două fracții la un numitor comun, aveți nevoie de:

1. Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua
2. Înmulțiți numărătorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei
3. Înlocuiți numitorii ambelor fracții cu produsul lor

Acțiuni cu fracții

Plus. Pentru a adăuga două fracții, aveți nevoie

1. Adăugați noi numărători ai ambelor fracții și lăsați numitorul neschimbat

Exemplu:

Scădere. Pentru a scădea o fracție din alta,

1. Aduceți fracțiile la un numitor comun
2. Scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat

Exemplu:

Multiplicare. Pentru a înmulți o fracție cu alta, înmulțiți-le numărătorii și numitorii:

Divizia. Pentru a împărți o fracție la alta, înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua:

Acum că am învățat cum să adunăm și să înmulțim fracții individuale, putem lua în considerare structuri mai complexe. De exemplu, ce se întâmplă dacă într-o singură problemă apar adunarea, scăderea și înmulțirea fracțiilor?

În primul rând, trebuie să convertiți toate fracțiile în fracțiuni necorespunzătoare. Apoi efectuăm secvențial acțiunile necesare - în aceeași ordine ca și pentru numerele obișnuite. Și anume:

1. În primul rând, se efectuează exponențiarea - scăpați de toate expresiile care conțin exponenți;
2. Apoi - împărțirea și înmulțirea;
3. Ultimul pas este adunarea și scăderea.

Desigur, dacă există paranteze în expresie, ordinea acțiunilor se schimbă - tot ceea ce se află în paranteze trebuie luat în considerare mai întâi. Și amintiți-vă despre fracțiile improprii: trebuie să selectați întreaga parte numai atunci când toate celelalte acțiuni au fost deja finalizate.

Să traducem toate fracțiile din prima expresie în unele improprii și apoi să efectuăm următoarele acțiuni:

Acum să găsim valoarea celei de-a doua expresii. Nu există fracții cu o parte întreagă, dar există paranteze, așa că mai întâi efectuăm adunarea și abia apoi împărțirea. Rețineți că 14 = 7 2 . Apoi:

În cele din urmă, luați în considerare al treilea exemplu. Există paranteze și un grad aici - este mai bine să le numărați separat. Având în vedere că 9 = 3 3 , avem:

Atenție la ultimul exemplu. Pentru a ridica o fracție la o putere, trebuie să ridicați separat numărătorul la această putere și separat numitorul.

Puteți decide altfel. Dacă ne amintim definiția gradului, problema se va reduce la înmulțirea obișnuită a fracțiilor:

Fracții cu mai multe etaje

Până acum am luat în considerare doar fracțiile „pure”, când numărătorul și numitorul sunt numere obișnuite. Acest lucru este în concordanță cu definiția unei fracții numerice dată în prima lecție.

Dar ce se întâmplă dacă un obiect mai complex este plasat în numărător sau numitor? De exemplu, o altă fracție numerică? Astfel de construcții apar destul de des, mai ales când se lucrează cu expresii lungi. Iată câteva exemple:

Există o singură regulă pentru a lucra cu fracții cu mai multe etaje: trebuie să scapi imediat de ele. Îndepărtarea podelelor „în plus” este destul de simplă, dacă vă amintiți că bara fracțională înseamnă operația standard de împărțire. Prin urmare, orice fracție poate fi rescrisă după cum urmează:

Folosind acest fapt și urmând procedura, putem reduce cu ușurință orice fracție cu mai multe etaje la una obișnuită. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Convertiți fracțiile cu mai multe etaje în fracții comune:

În fiecare caz, rescriem fracția principală, înlocuind linia despărțitoare cu un semn de diviziune. De asemenea, amintiți-vă că orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor de 1. Adică, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Primim:

În ultimul exemplu, fracțiile au fost reduse înainte de înmulțirea finală.

Specificul lucrului cu fracții cu mai multe etaje

Există o subtilitate în fracțiile cu mai multe etaje care trebuie reținută întotdeauna, altfel puteți obține un răspuns greșit, chiar dacă toate calculele au fost corecte. Aruncă o privire:

1. La numărător există un număr separat 7, iar la numitor - fracția 12/5;
2. Numătorul este fracția 7/12, iar numitorul este singurul număr 5.

Deci, pentru o singură înregistrare, am primit două interpretări complet diferite. Dacă numărați, răspunsurile vor fi și ele diferite:

Pentru a vă asigura că înregistrarea este întotdeauna citită fără ambiguitate, utilizați o regulă simplă: linia de despărțire a fracției principale trebuie să fie mai lungă decât linia imbricată. De preferință de mai multe ori.

Dacă urmați această regulă, atunci fracțiile de mai sus ar trebui scrise după cum urmează:

Da, probabil că este urâtă și ocupă prea mult spațiu. Dar vei număra corect. În cele din urmă, câteva exemple în care apar cu adevărat fracții cu mai multe niveluri:

Sarcină. Găsiți valorile expresiei:

Deci, să lucrăm cu primul exemplu. Să convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi să efectuăm operațiile de adunare și împărțire:

Să facem același lucru cu al doilea exemplu. Convertiți toate fracțiile în improprii și efectuați operațiile necesare. Pentru a nu plictisi cititorul, voi omite câteva calcule evidente. Noi avem:

Datorită faptului că numărătorul și numitorul fracțiilor principale conțin sume, se respectă automat regula de scriere a fracțiilor cu mai multe etaje. De asemenea, în ultimul exemplu, am lăsat în mod deliberat numărul 46/1 sub formă de fracție pentru a efectua împărțirea.

De asemenea, observ că în ambele exemple, bara fracțională înlocuiește de fapt parantezele: în primul rând, am găsit suma și abia apoi - coeficientul.

Cineva va spune că trecerea la fracții improprii în al doilea exemplu a fost în mod clar redundantă. Poate că așa stau lucrurile. Dar astfel ne asigurăm de greșeli, pentru că data viitoare exemplul se poate dovedi mult mai complicat. Alegeți singur ceea ce este mai important: viteza sau fiabilitatea.

Această secțiune tratează operațiile cu fracții obișnuite. Dacă este necesară efectuarea unei operații matematice cu numere mixte, atunci este suficient să convertiți fracția mixtă într-una extraordinară, să efectuați operațiile necesare și, dacă este necesar, să prezentați din nou rezultatul final ca număr mixt. Această operație va fi descrisă mai jos.

Reducerea fracțiilor

operatie matematica. Reducerea fracțiilor

Pentru a reduce fracția \frac(m)(n) trebuie să găsiți cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului său: mcd(m,n), apoi împărțiți numărătorul și numitorul fracției la acest număr. Dacă mcd(m,n)=1, atunci fracția nu poate fi redusă. Exemplu: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

De obicei, găsirea imediată a celui mai mare divizor comun este o sarcină dificilă, iar în practică fracția este redusă în mai multe etape, evidențiind pas cu pas factori comuni evidenti de la numărător și numitor. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Aducerea fracțiilor la un numitor comun

operatie matematica. Aducerea fracțiilor la un numitor comun

Pentru a reduce două fracții \frac(a)(b) și \frac(c)(d) la un numitor comun, aveți nevoie de:

• găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor: M=LCM(b,d);
• înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu M / b (după care numitorul fracției devine egal cu numărul M);
• înmulțiți numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu M/d (după care numitorul fracției devine egal cu numărul M).

Astfel, convertim fractiile originale in fractii cu aceiasi numitori (care vor fi egale cu numarul M).

De exemplu, fracțiile \frac(5)(6) și \frac(4)(9) au LCM(6,9) = 18. Atunci: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Astfel, fracțiile rezultate au un numitor comun.

În practică, găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM) al numitorilor nu este întotdeauna o sarcină ușoară. Prin urmare, ca numitor comun este ales un număr egal cu produsul numitorilor fracțiilor originale. De exemplu, fracțiile \frac(5)(6) și \frac(4)(9) sunt reduse la un numitor comun N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Comparația fracțiunilor

operatie matematica. Comparația fracțiunilor

Pentru a compara două fracții comune:

• comparați numărătorii fracțiilor rezultate; o fracție cu un numărător mai mare va fi mai mare.

De exemplu, \frac(9)(14)

La compararea fracțiilor, există mai multe cazuri speciale:

1. Din două fracții cu aceiași numitori cu atât este mai mare fracția al cărei numărător este mai mare. De exemplu \frac(3)(15)
2. Din două fracții cu aceiași numărători cu atât mai mare este fracția al cărei numitor este mai mic. De exemplu, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Fracția aceea, care în același timp numărător mai mare și numitor mai mic, Mai mult. De exemplu, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Atenţie! Regula 1 se aplică oricăror fracții dacă numitorul lor comun este un număr pozitiv. Regulile 2 și 3 se aplică fracțiilor pozitive (care au numărătorul și numitorul mai mari decât zero).

Adunarea și scăderea fracțiilor

operatie matematica. Adunarea și scăderea fracțiilor

Pentru a adăuga două fracții, aveți nevoie de:

• aduceți-le la un numitor comun;
• adună numărătorii lor și lasă numitorul neschimbat.

Exemplu: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Pentru a scădea o altă fracție dintr-una, aveți nevoie de:

• aduce fracțiile la un numitor comun;
• scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat.

Exemplu: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Dacă fracțiile originale au inițial un numitor comun, atunci punctul 1 (reducerea la un numitor comun) este omis.

Transformarea unui număr mixt într-o fracție improprie și invers

operatie matematica. Transformarea unui număr mixt într-o fracție improprie și invers

Pentru a converti o fracție mixtă într-una improprie, este suficient să însumăm întreaga parte a fracției mixte cu partea fracțională. Rezultatul unei astfel de sume va fi o fracție improprie, al cărei numărător este egal cu suma produsului părții întregi și numitorul fracției cu numărătorul fracției mixte, iar numitorul rămâne același. De exemplu, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Pentru a converti o fracție improprie într-un număr mixt:

• împărțiți numărătorul unei fracții la numitorul ei;
• scrieți restul împărțirii la numărător și lăsați numitorul același;
• scrieți rezultatul împărțirii ca parte întreagă.

De exemplu, fracția \frac(23)(4) . Când împărțim 23:4=5,75, adică partea întreagă este 5, restul diviziunii este 23-5*4=3. Apoi se va scrie numărul mixt: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Conversia unei zecimale într-o fracție comună

operatie matematica. Conversia unei zecimale într-o fracție comună

Pentru a converti o zecimală într-o fracție comună:

1. luați a n-a putere a lui zece ca numitor (aici n este numărul de zecimale);
2. ca numărător, luați numărul după virgulă zecimală (dacă partea întreagă a numărului inițial nu este egală cu zero, atunci luați și toate zerourile de început);
3. partea întreagă diferită de zero este scrisă la numărător chiar la început; partea întreagă zero este omisă.

Exemplul 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 zecimale, deci numitorul 10 4 =10000, deoarece partea întreagă este 0, numărătorul este numărul de după virgulă fără zerouri înainte)

Exemplul 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (în numărător scriem numărul după virgulă zecimală cu toate zerourile: „0109”, apoi adăugăm partea întreagă a numărului original „31” înaintea acestuia)

Dacă partea întreagă a unei fracții zecimale este diferită de zero, atunci poate fi convertită într-o fracție mixtă. Pentru a face acest lucru, traducem numărul într-o fracție obișnuită ca și cum partea întreagă ar fi egală cu zero (punctele 1 și 2) și pur și simplu rescriem partea întreagă înaintea fracției - aceasta va fi partea întreagă a numărului mixt. Exemplu:

3,014=3\frac(14)(100)

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, este suficient să împărțiți pur și simplu numărătorul la numitor. Uneori obțineți o zecimală infinită. În acest caz, este necesar să se rotunjească la zecimala dorită. Exemple:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\approx0,6667

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor

operatie matematica. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor

Pentru a înmulți două fracții comune, trebuie să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Pentru a împărți o fracție comună la alta, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca celei de-a doua ( reciproc este o fracție în care numărătorul și numitorul sunt inversate.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Dacă una dintre fracții este un număr natural, atunci regulile de înmulțire și împărțire de mai sus rămân în vigoare. Rețineți că un număr întreg este aceeași fracție, al cărei numitor este egal cu unu. De exemplu: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Acțiuni cu fracții. În acest articol, vom analiza exemple, totul este detaliat cu explicații. Vom lua în considerare fracțiile obișnuite. În viitor, vom analiza zecimale. Recomand să urmăriți întregul și să studiați secvențial.

1. Suma fracțiilor, diferența de fracții.

Regula: atunci când se adună fracții cu numitori egali, rezultatul este o fracție - al cărei numitor rămâne același, iar numărătorul ei va fi egal cu suma numărătorilor fracțiilor.

Regula: atunci când se calculează diferența fracțiilor cu aceiași numitori, obținem o fracție - numitorul rămâne același, iar numărătorul celei de-a doua se scade din numărătorul primei fracții.

Notarea formală a sumei și diferenței fracțiilor cu numitori egali:

Exemple (1):

Este clar că atunci când sunt date fracții obișnuite, atunci totul este simplu, dar dacă sunt amestecate? Nimic complicat...

Opțiunea 1- le puteți converti în altele obișnuite și apoi le puteți calcula.

Opțiunea 2- puteți „lucra” separat cu părțile întregi și fracționale.

Exemple (2):

Mai mult:

Și dacă este dată diferența a două fracții mixte și numărătorul primei fracții este mai mic decât numărătorul celei de-a doua? De asemenea, se poate face în două moduri.

Exemple (3):

* Tradus în fracții obișnuite, calculat diferența, convertit fracția improprie rezultată într-una mixtă.

* Împărțit în părți întregi și fracționale, am obținut trei, apoi a prezentat 3 ca sumă a lui 2 și 1, cu unitatea prezentată ca 11/11, apoi a găsit diferența dintre 11/11 și 7/11 și a calculat rezultatul. Sensul transformărilor de mai sus este să luăm (selectăm) unitatea și să o prezentăm ca o fracție cu numitorul de care avem nevoie, apoi din această fracție putem scădea deja alta.

Alt exemplu:

Concluzie: există o abordare universală - pentru a calcula suma (diferența) fracțiilor mixte cu numitori egali, acestea pot fi întotdeauna convertite în unele improprii, apoi efectuați acțiunea necesară. După aceea, dacă în rezultat obținem o fracție improprie, o traducem într-una mixtă.

Mai sus, ne-am uitat la exemple cu fracții care au numitori egali. Ce se întâmplă dacă numitorii diferă? În acest caz, fracțiile sunt reduse la același numitor și se efectuează acțiunea specificată. Pentru a schimba (transforma) o fracție, se folosește proprietatea principală a fracției.

Luați în considerare exemple simple:

În aceste exemple, vedem imediat cum una dintre fracții poate fi convertită pentru a obține numitori egali.

Dacă desemnăm modalități de reducere a fracțiilor la un numitor, atunci acesta va fi numit METODA 1.

Adică, imediat când „evaluați” fracția, trebuie să vă dați seama dacă o astfel de abordare va funcționa - verificăm dacă numitorul mai mare este divizibil cu cel mai mic. Și dacă este împărțit, atunci efectuăm transformarea - înmulțim numărătorul și numitorul astfel încât numitorii ambelor fracții să devină egali.

Acum uită-te la aceste exemple:

Această abordare nu se aplică lor. Există și alte modalități de a reduce fracțiile la un numitor comun, luați în considerare.

Metoda A DOUA.

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei:

*De fapt, aducem fracții la forma când numitorii devin egali. În continuare, folosim regula adunării timizi cu numitori egali.

Exemplu:

*Această metodă poate fi numită universală și funcționează întotdeauna. Singurul negativ este că, după calcule, se poate dovedi o fracție care va trebui redusă în continuare.

Luați în considerare un exemplu:

Se poate observa că numărătorul și numitorul sunt divizibile cu 5:

Metoda A TREIA.

Găsiți cel mai mic multiplu comun (MCM) al numitorilor. Acesta va fi numitorul comun. Ce este acest numar? Acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre numere.

Uite, aici sunt două numere: 3 și 4, există multe numere care sunt divizibile cu ele - acestea sunt 12, 24, 36, ... Cel mai mic dintre ele este 12. Sau 6 și 15, 30, 60, 90 sunt divizibil de ei.... Cel puțin 30. Întrebare - cum se determină acest cel mai mic multiplu comun?

Există un algoritm clar, dar adesea acest lucru se poate face imediat, fără calcule. De exemplu, conform exemplelor de mai sus (3 și 4, 6 și 15), nu este nevoie de un algoritm, am luat numere mari (4 și 15), le-am dublat și am văzut că sunt divizibile cu al doilea număr, dar perechi de numere pot fi altele, cum ar fi 51 și 119.

Algoritm. Pentru a determina cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, trebuie:

- descompuneți fiecare dintre numere în factori SIMPLI

- scrieți descompunerea CEI MAI MARI dintre ele

- înmulțiți-l cu factorii LIPSĂ ai altor numere

Luați în considerare exemple:

50 și 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

în extinderea unui număr mai mare, lipsește unul cinci

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 și 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

în extinderea unui număr mai mare lipsesc doi și trei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Cel mai mic multiplu comun al două numere prime este egal cu produsul lor

Întrebare! Și de ce este util să găsiți cel mai mic multiplu comun, deoarece puteți utiliza a doua metodă și pur și simplu reduceți fracția rezultată? Da, poți, dar nu este întotdeauna convenabil. Vedeți care va fi numitorul pentru numerele 48 și 72 dacă le înmulțiți pur și simplu 48∙72 = 3456. Fiți de acord că este mai plăcut să lucrați cu numere mai mici.

Luați în considerare exemple:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

în extinderea unui număr mai mare, lipsește un triplu

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

Și acum aplicăm prima metodă:

* Uitați-vă la diferența dintre calcule, în primul caz există un minim, iar în al doilea trebuie să lucrați separat pe o bucată de hârtie și chiar și fracțiunea pe care o obțineți trebuie redusă. Găsirea LCM simplifică considerabil munca.

Mai multe exemple:

* În al doilea exemplu, este deja clar că cel mai mic număr care este divizibil cu 40 și 60 este 120.

TOTAL! ALGORITM GENERAL DE CALCUL!

- aducem fracții la cele obișnuite, dacă există o parte întreagă.

- aducem fractiile la un numitor comun (mai intai ne uitam sa vedem daca un numitor este divizibil cu altul, daca este divizibil, apoi inmultim numaratorul si numitorul acestei alte fractii; daca nu este divizibil, actionam folosind alte metode indicate mai sus).

- primind fracții cu numitori egali, efectuăm acțiuni (adunare, scădere).

- daca este necesar, reducem rezultatul.

- dacă este necesar, selectați întreaga parte.

2. Produsul fracțiilor.

Regula este simplă. La înmulțirea fracțiilor, numărătorii și numitorii lor se înmulțesc:

Exemple: