Acest articol conține informații de bază despre numere reale. În primul rând, este dată definiția numerelor reale și sunt date exemple. Poziția numerelor reale pe linia de coordonate este afișată în continuare. Și în concluzie, se analizează modul în care numerele reale sunt date sub formă de expresii numerice.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere reale

Numerele reale ca expresii

Din definiția numerelor reale, este clar că numerele reale sunt:

• orice număr natural;
• orice număr întreg;
• orice fracție obișnuită (atât pozitivă, cât și negativă);
• orice număr mixt;
• orice fracție zecimală (pozitivă, negativă, finită, periodică infinită, neperiodică infinită).

Dar de foarte multe ori numerele reale pot fi văzute sub forma , etc. În plus, suma, diferența, produsul și câtul numerelor reale sunt, de asemenea, numere reale (vezi operatii cu numere reale). De exemplu, acestea sunt numere reale.

Și dacă mergi mai departe, atunci de la numere reale folosind semne aritmetice, semne rădăcină, grade, funcții logaritmice, trigonometrice etc. puteți compune tot felul de expresii numerice, ale căror valori vor fi și numere reale. De exemplu, valorile expresiei și sunt numere reale.

În încheierea acestui articol, observăm că următorul pas în extinderea conceptului de număr este trecerea de la numerele reale la numere complexe.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Numerele naturale sunt definite ca numere întregi pozitive. Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiecte și în multe alte scopuri. Iată numerele:

Aceasta este o serie naturală de numere.
Zero este un număr natural? Nu, zero nu este un număr natural.
Câte numere naturale există? Există un set infinit de numere naturale.
Care este cel mai mic număr natural? Unul este cel mai mic număr natural.
Care este cel mai mare număr natural? Nu poate fi specificat, deoarece există o mulțime infinită de numere naturale.

Suma numerelor naturale este un număr natural. Deci, adunarea numerelor naturale a și b:

Produsul numerelor naturale este un număr natural. Deci, produsul numerelor naturale a și b:

c este întotdeauna un număr natural.

Diferența numerelor naturale Nu există întotdeauna un număr natural. Dacă minuend este mai mare decât subtraend, atunci diferența numerelor naturale este un număr natural, altfel nu este.

Coeficientul numerelor naturale Nu există întotdeauna un număr natural. Dacă pentru numerele naturale a și b

unde c este un număr natural, înseamnă că a este divizibil egal cu b. În acest exemplu, a este dividendul, b este divizorul, c este coeficientul.

Împărțitorul unui număr natural este numărul natural cu care primul număr este divizibil egal.

Fiecare număr natural este divizibil cu 1 și cu el însuși.

Numerele naturale simple sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Aici ne referim la împărțit complet. Exemplu, numerele 2; 3; 5; 7 este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. Acestea sunt numere naturale simple.

Unul nu este considerat număr prim.

Numerele care sunt mai mari decât unu și care nu sunt prime se numesc numere compuse. Exemple de numere compuse:

Unul nu este considerat un număr compus.

Mulțimea numerelor naturale este formată din unu, numere prime și numere compuse.

Mulțimea numerelor naturale este notă cu litera latină N.

Proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor naturale:

proprietate comutativă a adunării

proprietate asociativă a adunării

(a + b) + c = a + (b + c);

proprietatea comutativă a înmulțirii

proprietatea asociativă a înmulțirii

(ab)c = a(bc);

proprietatea distributivă a înmulțirii

a (b + c) = ab + ac;

Numere întregi

Numerele întregi sunt numere naturale, zero și opusul numerelor naturale.

Numerele opuse numerelor naturale sunt numere întregi negative, de exemplu:

1; -2; -3; -4;…

Mulțimea numerelor întregi este notă cu litera latină Z.

Numere rationale

Numerele raționale sunt numere întregi și fracții.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică. Exemple:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Din exemple se poate observa că orice număr întreg este o fracție periodică cu perioadă zero.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Să reprezentăm numărul 3,(6) din exemplul anterior ca o astfel de fracție:

Un alt exemplu: numărul rațional 9 poate fi reprezentat ca o fracție simplă ca 18/2 sau ca 36/4.

Un alt exemplu: numărul rațional -9 poate fi reprezentat ca o fracție simplă ca -18/2 sau ca -72/8.

Acest articol este dedicat studiului subiectului „Numere raționale”. Următoarele sunt definiții ale numerelor raționale, sunt date exemple și cum să determinați dacă un număr este rațional sau nu.

Numere rationale. Definiții

Înainte de a da o definiție a numerelor raționale, să ne amintim ce sunt celelalte seturi de numere și cum sunt legate între ele.

Numerele naturale, împreună cu contrariile lor și numărul zero, formează un set de numere întregi. La rândul său, mulțimea numerelor fracționale întregi formează mulțimea numerelor raționale.

Definiție 1. Numere raționale

Numerele raționale sunt numere care pot fi reprezentate ca o fracție comună pozitivă a b , o fracție comună negativă a b sau ca număr zero.

Astfel, putem lăsa o serie de proprietăți ale numerelor raționale:

1. Orice număr natural este un număr rațional. Evident, fiecare număr natural n poate fi reprezentat ca o fracție 1 n .
2. Orice număr întreg, inclusiv numărul 0, este un număr rațional. Într-adevăr, orice număr întreg pozitiv și număr întreg negativ poate fi ușor reprezentat ca o fracție ordinară pozitivă sau, respectiv, negativă. De exemplu, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Orice fracție comună pozitivă sau negativă a b este un număr rațional. Aceasta rezultă direct din definiția de mai sus.
4. Orice număr mixt este rațional. Într-adevăr, la urma urmei, un număr mixt poate fi reprezentat ca o fracție improprie obișnuită.
5. Orice fracție zecimală finită sau periodică poate fi reprezentată ca o fracție comună. Prin urmare, fiecare zecimală periodică sau finală este un număr rațional.
6. Decimale infinite și nerecurente nu sunt numere raționale. Ele nu pot fi reprezentate sub formă de fracții obișnuite.

Să dăm exemple de numere raționale. Numerele 5 , 105 , 358 , 1100055 sunt naturale, pozitive și întregi. La urma urmei, acestea sunt numere raționale. Numerele - 2 , - 358 , - 936 sunt numere întregi negative și sunt, de asemenea, raționale prin definiție. Fracțiile comune 3 5 , 8 7 , - 35 8 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată mai concis. Să răspundem din nou la întrebarea ce este un număr rațional.

Definiție 2. Numere raționale

Numerele raționale sunt acele numere care pot fi reprezentate ca o fracție ± z n, unde z este un număr întreg, n este un număr natural.

Se poate arăta că această definiție este echivalentă cu definiția anterioară a numerelor raționale. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că bara unei fracții este aceeași cu semnul diviziunii. Luând în considerare regulile și proprietățile împărțirii numerelor întregi, putem scrie următoarele inegalități corecte:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Astfel, se poate scrie:

z n = z n , p p și z > 0 0 , p p și z = 0 - z n , p p și z< 0

De fapt, această înregistrare este o dovadă. Dăm exemple de numere raționale pe baza celei de-a doua definiții. Luați în considerare numerele - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 și - 1 3 5 . Toate aceste numere sunt raționale, deoarece pot fi scrise ca o fracție cu numărător întreg și numitor natural: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Prezentăm încă o formă echivalentă a definiției numerelor raționale.

Definiție 3. Numere raționale

Un număr rațional este un număr care poate fi scris ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Această definiție rezultă direct din prima definiție a acestui paragraf.

Pentru a rezuma și a formula un rezumat pentru acest articol:

1. Numerele fracționale și întregi pozitive și negative alcătuiesc mulțimea numerelor raționale.
2. Fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție, al cărei numărător este un număr întreg și numitorul un număr natural.
3. Fiecare număr rațional poate fi reprezentat și ca o fracție zecimală: periodic finit sau infinit.

Care număr este rațional?

După cum am aflat deja, orice număr natural, întreg, fracție ordinară regulată și improprie, fracție zecimală periodică și finală sunt numere raționale. Înarmat cu aceste cunoștințe, puteți determina cu ușurință dacă un număr este rațional.

Cu toate acestea, în practică, de multe ori trebuie să ne ocupăm nu de numere, ci de expresii numerice care conțin rădăcini, puteri și logaritmi. În unele cazuri, răspunsul la întrebarea „Este un număr rațional?” este departe de a fi evident. Să aruncăm o privire la cum să răspundem la această întrebare.

Dacă un număr este dat ca expresie care conține numai numere raționale și operații aritmetice între ele, atunci rezultatul expresiei este un număr rațional.

De exemplu, valoarea expresiei 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) este un număr rațional și este egal cu 18 .

Astfel, simplificarea unei expresii numerice complexe vă permite să determinați dacă numărul dat de aceasta este rațional.

Acum să ne ocupăm de semnul rădăcinii.

Rezultă că numărul m n dat ca rădăcină a gradului n a numărului m este rațional numai atunci când m este puterea a n-a a unui număr natural.

Să ne uităm la un exemplu. Numărul 2 nu este rațional. În timp ce 9, 81 sunt numere raționale. 9 și 81 sunt pătratele perfecte ale numerelor 3 și, respectiv, 9. Numerele 199 , 28 , 15 1 nu sunt numere raționale, deoarece numerele de sub semnul rădăcinii nu sunt pătrate perfecte ale niciunui numere naturale.

Acum să luăm un caz mai complicat. Este numărul 243 5 rațional? Dacă ridici 3 la puterea a cincea, obții 243 , deci expresia originală poate fi rescrisă astfel: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Prin urmare, acest număr este rațional. Acum să luăm numărul 121 5 . Acest număr nu este rațional, deoarece nu există un număr natural a cărui ridicare la puterea a cincea să dea 121.

Pentru a afla dacă logaritmul unui număr a la baza b este un număr rațional, este necesar să se aplice metoda contradicției. De exemplu, să aflăm dacă numărul log 2 5 este rațional. Să presupunem că acest număr este rațional. Dacă da, atunci poate fi scrisă ca o fracție obișnuită log 2 5 \u003d m n. Prin proprietățile logaritmului și proprietățile gradului, următoarele egalități sunt adevărate:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Evident, ultima egalitate este imposibilă, deoarece părțile din stânga și din dreapta conțin numere pare și, respectiv. Prin urmare, ipoteza făcută este greșită, iar numărul log 2 5 nu este un număr rațional.

Este demn de remarcat faptul că atunci când se determină raționalitatea și iraționalitatea numerelor, nu ar trebui să ia decizii bruște. De exemplu, rezultatul unui produs de numere iraționale nu este întotdeauna un număr irațional. Un exemplu ilustrativ: 2 · 2 = 2 .

Există și numere iraționale a căror ridicare la o putere irațională dă un număr rațional. Într-o putere de forma 2 log 2 3, baza și exponentul sunt numere iraționale. Cu toate acestea, numărul în sine este rațional: 2 log 2 3 = 3 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Conceptul de număr real: numar real- (număr real), orice număr nenegativ sau negativ sau zero. Cu ajutorul numerelor reale exprimă măsurători ale fiecărei mărimi fizice.

real, sau numar real a apărut din necesitatea de a măsura mărimile geometrice și fizice ale lumii. În plus, pentru efectuarea de operații de extragere a rădăcinii, calcularea logaritmului, rezolvarea ecuațiilor algebrice etc.

Numerele naturale s-au format odată cu dezvoltarea numărării, iar numerele raționale cu nevoia de a gestiona părți ale întregului, apoi numerele reale (reale) sunt folosite pentru măsurarea cantităților continue. Astfel, extinderea stocului de numere care sunt luate în considerare a condus la mulțimea numerelor reale, care, pe lângă numerele raționale, este formată din alte elemente numite numere irationale.

Mulțimea numerelor reale(notat R) sunt mulțimile de numere raționale și iraționale puse împreună.

Numerele reale se împart laraţionalși iraţional.

Mulțimea numerelor reale este desemnată și adesea numită real sau linie numerică. Numerele reale sunt formate din obiecte simple: întregși numere rationale.

Un număr care poate fi scris ca raport, undem este un număr întreg și neste un număr naturalNumar rational.

Orice număr rațional poate fi ușor reprezentat ca o fracție finită sau o fracție zecimală periodică infinită.

Exemplu,

Decimală infinită, este o fracție zecimală care are un număr infinit de cifre după virgulă.

Numere care nu pot fi reprezentate așa cum sunt numere irationale.

Exemplu:

Orice număr irațional este ușor de reprezentat ca o fracție zecimală neperiodică infinită.

Exemplu,

Numerele raționale și iraționale creează set de numere reale. Toate numerele reale corespund unui punct de pe linia de coordonate, care este numit linie numerică.

Pentru seturile numerice se foloseste urmatoarea notatie:

• N- multime de numere naturale;
• Z- mulţime de numere întregi;
• Q- mulţime de numere raţionale;
• R este multimea numerelor reale.

Teoria fracțiilor zecimale infinite.

Un număr real este definit ca zecimală infinită, adică:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

unde ± este unul dintre simbolurile + sau -, semnul unui număr,

a 0 este un număr întreg pozitiv,

a 1 ,a 2 ,...a n ,... este o succesiune de zecimale, adică elemente ale unei multimi numerice {0,1,…9}.

O fracție zecimală infinită poate fi explicată ca un număr care se află pe linia numerică dintre punctele raționale, cum ar fi:

±a 0 ,a 1 a 2 …a nși ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) pentru toți n=0,1,2,…

Comparația numerelor reale ca fracții zecimale infinite are loc bit cu bit. de exemplu, să presupunem că sunt date 2 numere pozitive:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

În cazul în care un a 0 0, apoi α<β ; dacă a0 >b0 apoi α>β . Când a 0 = b 0 Să trecem la următorul nivel de comparație. etc. Când α≠β , deci după un număr finit de pași va fi întâlnită prima cifră n, astfel încât a n ≠ b n. În cazul în care un Ann, apoi α<β ; dacă a n > b n apoi α>β .

Dar, în același timp, este plictisitor să acordați atenție faptului că numărul a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Prin urmare, dacă înregistrarea unuia dintre numerele comparate, începând de la o anumită cifră, este o fracție zecimală periodică, care are 9 în perioadă, atunci trebuie înlocuită cu o înregistrare echivalentă, cu zero în perioadă.

Operațiile aritmetice cu fracții zecimale infinite sunt o continuare continuă a operațiilor corespunzătoare cu numere raționale. de exemplu, suma numerelor reale α și β este un număr real α+β , care îndeplinește următoarele condiții:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ A'')∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

În mod similar definește operația de înmulțire a fracțiilor zecimale infinite.