Tema lecției: Cilindru, elementele sale.
Scopul lecției:
Consolidarea cunoștințelor elevilor despre corpul revoluției - cilindrul (elementele cilindrului, formulele pentru aria suprafeței laterale și a întregii suprafețe a cilindrului).
Scopul elevului: să poată rezolva sarcini tipice pentru un cilindru în sarcini UNT.
Obiectivele lecției:
1. să formeze deprinderi de rezolvare a problemelor tipice;
2. dezvolta reprezentări spațiale pe exemplul corpurilor rotunde;
3. continua formarea deprinderilor logice si grafice.
Tipul de lecție: combinat.
Metode de predare: verbal, activitate practică, lucru cu o carte, problematică.
Echipament: tabla, masa numarul 3, un set de modele.
În timpul orelor
1. Moment organizatoric:
1. stabilirea obiectivelor
2. atitudine psihologică.
2. Actualizarea cunoștințelor de bază.
1) Lucrați pe cărți.
Elevii sunt rugați să completeze o fișă de lucru.
Este posibil să se lucreze folosind copierea (în acest caz, un exemplar este predat profesorului, iar al doilea elev verifică în cursul lucrărilor ulterioare din lecție).
Card.
1. Desenați elementele principale ale cilindrului pe desen.
2
.Reprezentaţi a) secţiunea axială a cilindrului; b) secţiunea cilindrului printr-un plan care trece perpendicular pe axa cilindrului; c) secţiunea cilindrului printr-un plan paralel cu axa cilindrului. Ce cifră se obține în fiecare caz?
3. Notați formulele pentru calcularea suprafeței unui cilindru.
Ce se poate găsi prin aceste formule? Ce trebuie știut în aceste cazuri?
Elevii predau fișe de lucru.
3. Lucrare orală pe modele. (pentru a generaliza cunoștințele și a verifica munca depusă)
1) Ce formă se numește cilindru?
Cilindru - Acesta este un corp geometric format din două cercuri egale situate în planuri paralele și un set de segmente care leagă punctele corespunzătoare acestor cercuri.
2) De ce un cilindru este numit corp de revoluție?
Un cilindru poate fi obținut prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale.
3) Care sunt tipurile de cilindri?
Cilindri înclinați, cilindri drepti, suprafețe cilindrice.
4) Numiți elementele cilindrului.
Baze cilindrilor - cercuri egale situate în planuri paralele.
Înălțimea cilindrului - Acest distanța dintre planurile bazelor sale.
Raza cilindrului este raza bazei sale.
Axa cilindrului este o linie dreaptă care trece prin centrele bazei cilindrului (axa cilindrului este axa de rotație a cilindrului).
Generator cilindric - acesta este un segment care leagă punctul cercului bazei superioare cu punctul corespunzător al cercului bazei inferioare. Toate generatoarele sunt paralele cu axa de rotație și au aceeași lungime, egală cu înălțimea cilindrului.
Se formează generatoarea cilindrului în timpul rotației în jurul axei suprafata laterala (cilindrica) a unui cilindru .
5) Ce este măturarea cilindrului?
Dezvoltarea suprafeței laterale a cilindrului este un dreptunghi cu laturi Hși C, Unde H este înălțimea cilindrului și C este circumferința bazei.6) Cum să găsiți suprafața laterală a unui cilindru?
S b = H · C = 2 π RH
7) Cum să găsiți suprafața totală a unui cilindru?
S P = S b + 2 S = 2 π R (R + H ).
8) Care sunt principalele tipuri de secțiuni ale cilindrului. Ce cifră se obține în fiecare caz?
Secțiunea axială a cilindrului - sectiunea cilindrului printr-un plan care trece prin axa cilindrului (sectiunea axiala a cilindrului este planul de simetrie al cilindrului). Toate secțiunile axiale ale cilindrului sunt dreptunghiuri egale.
secțiune transversală plan paralel cu axa cilindrului. Secțiunea este un dreptunghi.
Secțiune de avion perpendicular pe axa cilindrului. Cercuri în secțiune transversală, egale cu baza.
9) Dați exemple de utilizare a cilindrilor.
Gastronomie cilindrică. Arhitectura cilindrica. Cilindrii faraonului (performanta elevilor 1-2 minute).
4. Fixarea materialului. Rezolvarea problemelor.
La 
Elevii văd o listă de sarcini pentru munca la clasă. Dacă doresc, elevii au posibilitatea de a decide înainte de nota.
№ 2 . Sectiunea axiala a cilindrului este un patrat a carui diagonala este de 20 cm.Aflati: a) inaltimea cilindrului; b) Deci cilindru.
№3 Aria secțiunii axiale a cilindrului este de 10 m 2, iar aria de bază este de 5 m 2. Aflați înălțimea cilindrului.
№4 Capetele segmentului AB se află pe baze diferite ale cilindrului. Raza cilindrului este r, marea lui - h, distanța dintre dreapta AB și axa cilindrului este d. Găsi: A) înălţime dacă r = 10, d= 8, AB = 13.
№5* Prin generatoarea AA 1 a cilindrului sunt trasate două plane secante, dintre care unul trece prin axa cilindrului. Aflați raportul dintre ariile secțiunii transversale ale cilindrului după aceste plane dacă unghiul dintre ele este egal cu j.
5. Munca educațională independentă. Lucru independent asupra opțiunilor. (Este posibil să se organizeze munca în pereche).
Planul g, paralel cu axa cilindrului, taie arcul A din circumferința bazei m D cu măsura gradului a . Raza cilindrului este A, înălțimea este h, distanta dintre axa cilindrului OO 1 si planul g este egala cu d.
Opțiunea 2. 1) Realizați un plan pentru calcularea ariei secțiunii transversale din date A , h, d.2) Găsiți AD dacă A =8 cm, A = 120°. 6. Stabilirea temelor . Repetați formula 1 și rezolvați numărul 25. 7. Bloc reflexo-evaluator.Reflecţie. Ce nou ai învățat la lecție?
Ce ai invatat?
Care este starea ta la sfârșitul lecției?
Puteți explica soluția acestor probleme unui coleg de clasă care a lipsit azi la curs?
kylindros, rolă, rolă) - un corp geometric delimitat de o suprafață cilindrică (numită suprafața laterală a cilindrului) și nu mai mult de două suprafețe (baze cilindrice); în plus, dacă există două baze, atunci una se obține din cealaltă prin transfer paralel de-a lungul generatricei suprafeței laterale a cilindrului; iar baza intersectează fiecare generatrică a suprafeței laterale exact o dată.Se numește un corp infinit delimitat de o suprafață cilindrică infinită închisă cilindru nesfârșit, delimitat de o rază cilindrica închisă și baza ei, se numește cilindru deschis. Baza și generatoarele unui fascicul cilindric se numesc baza și, respectiv, generatoarele unui cilindru deschis.
Un corp finit delimitat de o suprafață cilindrică finită închisă și două secțiuni care îl despart se numește cilindru final, sau de fapt cilindru. Secțiunile se numesc bazele cilindrului. Prin definiția unei suprafețe cilindrice finite, bazele unui cilindru sunt egale.
În mod evident, generatoarele suprafeței laterale a cilindrului sunt egale ca lungime (numite înalt cilindru) segmente situate pe linii paralele, iar capetele lor situate pe bazele cilindrului. Curiozitățile matematice includ definirea oricărei suprafețe tridimensionale finite fără auto-intersecții ca un cilindru cu înălțime zero (această suprafață este considerată simultan de ambele baze ale unui cilindru finit). Bazele cilindrului influențează calitativ cilindrul.
Dacă bazele cilindrului sunt plate (și, prin urmare, planurile care le conțin sunt paralele), atunci cilindrul se numește stând în avion. Dacă bazele unui cilindru aflat pe un plan sunt perpendiculare pe generatoare, atunci cilindrul se numește drept.
În special, dacă baza unui cilindru aflat pe un plan este un cerc, atunci se vorbește despre un cilindru circular (rotund); dacă o elipsă - atunci eliptică.
Volumul cilindrului final este egal cu integrala ariei bazei de-a lungul generatricei. În special, volumul unui cilindru circular drept este
(unde este raza bazei, este înălțimea).
Suprafața laterală a unui cilindru se calculează folosind următoarea formulă:
Suprafața totală a unui cilindru este suma suprafeței laterale și aria bazelor. Pentru un cilindru circular drept:
Fundația Wikimedia. 2010 .
Vedeți ce este „Cilidru (geometrie)” în alte dicționare:
O ramură a matematicii care studiază proprietățile diferitelor forme (puncte, linii, unghiuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale), dimensiunea și poziția relativă a acestora. Pentru comoditatea predării, geometria este împărțită în planimetrie și geometrie solidă. LA… … Enciclopedia Collier
- (γήμετρώ pământ, μετρώ măsura). Conceptele de spațiu, poziție și formă sunt printre cele originale, cu care omul era deja familiarizat în vremurile străvechi. Primii pași în Georgia au fost făcut de egipteni și caldeeni. În Grecia, G. a fost introdus ...... Dicţionar enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
GEOMETRIE LIBERA DE SURFACE- forma suprafeţei libere, formată sub acţiunea gravitaţiei şi a forţei centrifuge în timpul rotaţiei metalului lichid în jurul axei de rotaţie. Cu o axă orizontală de rotație, suprafața liberă este un cilindru circular, cu o verticală ... Dicţionar metalurgic
O secțiune de geometrie în care imaginile geometrice sunt studiate prin metode de analiză matematică. Obiectele principale ale DG sunt curbe (linii) și suprafețe ale spațiului euclidian suficient de netede, precum și familii de linii și ...
Acest termen are alte semnificații, vezi Pyramidatsu (sensuri). Fiabilitatea acestei secțiuni a articolului a fost pusă la îndoială. Este necesar să se verifice acuratețea faptelor menționate în această secțiune. Pot exista explicații pe pagina de discuții... Wikipedia
O teorie care studiază geometria externă și relația dintre extern și intern. geometria subvarietăților spațiului euclidian sau riemannian. P. m. g. este o generalizare a clasicului. Geometria diferențială a suprafețelor din spațiul euclidian. Enciclopedie matematică
Sistem de coordonate carteziene Secțiune de geometrie analitică a geometriei în care ... Wikipedia
Secțiune de geometrie, în care se studiază geometria. imagini, în primul rând curbe și suprafețe, prin metode matematice. analiză. De obicei, în DG-uri proprietățile curbelor și suprafețelor sunt studiate în mici, adică proprietățile unor bucăți arbitrar mici ale acestora. În plus, în… Enciclopedie matematică
Acest termen are alte semnificații, vezi Domeniul de aplicare (sensuri). Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (măsuri) care caracterizează capacitatea unei regiuni a spațiului pe care o ocupă. Inițial, a apărut și a fost aplicat fără stricte ... ... Wikipedia
O parte a geometriei inclusă în matematica elementară (vezi matematica elementară). Granițele egalitarismului, precum și ale matematicii elementare în general, nu sunt strict delimitate. Ei spun că E.g. este acea parte a geometriei care este studiată în ...... Marea Enciclopedie Sovietică
Cărți
- Geometrie veselă pentru cei mici, Timofeevsky Alexander Pavlovich. O nouă carte a minunatului poet, autor al binecunoscutului Cântec al crocodilului Gena Alexander Timofeevsky, cu ilustrații vii de Leonid Shmelkov într-un mod jucăuș, îi introduce pe copii în principalele ...
Cilindru (cilindru circular drept) un corp se numește corp format din două cercuri (baze cilindrice) combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale acestor cercuri în timpul translației paralele. Segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale cercurilor bazelor se numesc generatoare ale cilindrului.
Iată o altă definiție:
Cilindru- un corp care este delimitat de o suprafata cilindrica cu ghidaj inchis si doua plane paralele care intersecteaza generatoarele acestei suprafete.
Suprafata cilindrica- o suprafață care se formează prin deplasarea unei linii drepte de-a lungul unei anumite curbe. Linia dreaptă se numește generatoarea suprafeței cilindrice, iar linia curbă se numește ghidajul suprafeței cilindrice.
Suprafața laterală a cilindrului- parte a unei suprafețe cilindrice care este delimitată de plane paralele.
Baze cilindrilor- părți din planuri paralele tăiate de suprafața laterală a cilindrului.
Fig.1 mini
Cilindrul se numește direct(Cm. Fig.1) dacă generatoarele sale sunt perpendiculare pe planurile bazelor. În caz contrar, se numește cilindrul oblic.
cilindru circular- un cilindru ale cărui baze sunt cercuri.
Cilindru circular drept (doar un cilindru) este corpul obținut prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale. Cm. Fig.1.
Raza cilindrului este raza bazei sale.
Generator cilindric- generatoarea unei suprafeţe cilindrice.
înălțimea cilindrului numită distanţa dintre planurile bazelor. Axa cilindrului se numește linie dreaptă care trece prin centrele bazelor. Se numește secțiunea unui cilindru printr-un plan care trece prin axa cilindrului sectiune axiala.
Axa cilindrului este paralelă cu generatoarea sa și este axa de simetrie a cilindrului.
Planul care trece prin generatoarea unui cilindru drept și perpendicular pe secțiunea axială trasată prin această generatoare se numește planul tangent al cilindrului. Cm. Fig.2.
Alezarea suprafeței laterale a cilindrului- un dreptunghi cu laturile egale cu inaltimea cilindrului si circumferinta bazei.
Suprafața laterală a cilindrului- zona de dezvoltare a suprafeței laterale. $$S_(lateral)=2\pi\cdot rh$$ , unde h este înălțimea cilindrului și r este raza bazei.
Suprafața completă a unui cilindru- aria, care este egală cu suma ariilor celor două baze ale cilindrului și a suprafeței sale laterale, i.e. se exprimă prin formula: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , unde h este înălțimea cilindrului și r este raza bazei.
Volumul oricărui cilindru este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea: $$V = S\cdot h$$ Volumul unui cilindru rotund: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , unde ( r este raza bazei).
O prismă este o formă particulară a unui cilindru (generatoarele sunt paralele cu marginile laterale; ghidajul este un poligon situat la bază). Pe de altă parte, un cilindru arbitrar poate fi privit ca o prismă degenerată („netezită”) cu un număr foarte mare de fețe foarte înguste. Practic, cilindrul nu se distinge de o astfel de prismă. Toate proprietățile prismei sunt păstrate în cilindru.
Numele științei „geometrie” este tradus ca „măsurarea pământului”. S-a născut prin eforturile primilor geodeți antici. Și s-a întâmplat așa: în timpul inundațiilor Nilului sacru, pâraiele de apă spălau uneori granițele parcelelor fermierilor, iar noile granițe s-ar putea să nu coincidă cu cele vechi. Impozitele erau plătite de țărani la vistieria faraonului proporțional cu mărimea terenului. După deversare, persoane speciale au fost angajate în măsurarea suprafețelor de teren arabil din noile limite. În urma activităților lor, a apărut o nouă știință, care a fost dezvoltată în Grecia antică. Acolo și-a primit numele și a căpătat un aspect aproape modern. În viitor, termenul a devenit numele internațional pentru știința figurilor plate și tridimensionale.
Planimetria este o ramură a geometriei care se ocupă cu studiul figurilor plane. O altă ramură a științei este stereometria, care ia în considerare proprietățile figurilor spațiale (volumice). Cilindrul descris în acest articol aparține și el unor astfel de figuri.
Există o mulțime de exemple de prezență a obiectelor cilindrice în viața de zi cu zi. Aproape toate părțile de rotație - arborii, bucșele, gâturile, osiile etc. au o formă cilindrică (mult mai rar - conică). Cilindrul este utilizat pe scară largă în construcții: turnuri, suport, coloane decorative. Și în plus, vase, unele tipuri de ambalaje, țevi de diferite diametre. Și în sfârșit - celebrele pălării, care au devenit de mult timp un simbol al eleganței masculine. Lista este nesfârșită.
Definirea unui cilindru ca figură geometrică
Un cilindru (cilindru circular) este de obicei numit o figură constând din două cercuri, care, dacă se dorește, sunt combinate folosind translația paralelă. Aceste cercuri sunt bazele cilindrului. Dar liniile (segmente drepte) care leagă punctele corespunzătoare se numesc „generatoare”.
Este important ca bazele cilindrului să fie întotdeauna egale (dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci avem în față un trunchi de con, altceva, dar nu un cilindru) și să fie în planuri paralele. Segmentele care leagă punctele corespunzătoare de pe cercuri sunt paralele și egale.
Totalitatea unui set infinit de generatoare nu este altceva decât suprafața laterală a unui cilindru - unul dintre elementele unei figuri geometrice date. Cealaltă componentă importantă a acesteia sunt cercurile discutate mai sus. Se numesc baze.
Tipuri de cilindri
Cel mai simplu și cel mai comun tip de cilindru este circular. Este format din două cercuri regulate care acționează ca baze. Dar în locul lor pot exista și alte cifre.
Bazele cilindrilor pot forma (cu excepția cercurilor) elipse și alte figuri închise. Dar cilindrul poate să nu aibă neapărat o formă închisă. De exemplu, o parabolă, o hiperbolă sau o altă funcție deschisă poate servi ca bază a unui cilindru. Un astfel de cilindru va fi deschis sau desfășurat.
Dupa unghiul de inclinare al generatricelor fata de baze, cilindrii pot fi drepti sau inclinati. Pentru un cilindru drept, generatoarele sunt strict perpendiculare pe planul bazei. Dacă acest unghi diferă de 90°, cilindrul este înclinat.
Ce este o suprafață a revoluției
Un cilindru circular drept este, fără îndoială, cea mai comună suprafață de revoluție folosită în inginerie. Uneori, conform indicațiilor tehnice, se folosesc suprafețe conice, sferice și alte tipuri de suprafețe, dar 99% din toți arborii rotativi, osii etc. realizate sub formă de cilindri. Pentru a înțelege mai bine ce este o suprafață de revoluție, putem lua în considerare modul în care este format cilindrul în sine.
Să spunem că există o linie A plasat vertical. ABCD este un dreptunghi, una dintre ale cărui laturi (segmentul AB) se află pe o dreaptă A. Dacă rotim un dreptunghi în jurul unei linii drepte, așa cum se arată în figură, volumul pe care îl va ocupa în timp ce se rotește va fi corpul nostru de revoluție - un cilindru circular drept cu înălțimea H = AB = DC și raza R = AD = BC.
În acest caz, ca urmare a rotației figurii - un dreptunghi - se obține un cilindru. Rotind un triunghi, puteți obține un con, rotind un semicerc - o minge etc.
Suprafața cilindrului
Pentru a calcula suprafața unui cilindru circular drept obișnuit, este necesar să se calculeze ariile bazelor și ale suprafeței laterale.
Mai întâi, să ne uităm la modul în care se calculează aria suprafeței laterale. Acesta este produsul dintre circumferința și înălțimea cilindrului. Circumferința, la rândul său, este egală cu dublul produsului numărului universal P la raza cercului.
Se știe că aria unui cerc este egală cu produsul P la pătratul razei. Deci, adăugând formulele pentru aria de determinare a suprafeței laterale cu de două ori expresia pentru aria de bază (sunt două) și efectuând transformări algebrice simple, obținem expresia finală pentru determinarea ariei suprafeței cilindru.
Determinarea volumului unei figuri
Volumul unui cilindru este determinat de schema standard: suprafața bazei este înmulțită cu înălțimea.
Astfel, formula finală arată astfel: doritul este definit ca produsul înălțimii corpului cu numărul universal. Pși pătratul razei bazei.
Formula rezultată, trebuie spus, este aplicabilă pentru rezolvarea celor mai neașteptate probleme. În același mod ca și volumul unui cilindru, de exemplu, se determină volumul cablurilor electrice. Acest lucru poate fi necesar pentru a calcula masa firelor.
Singura diferență în formulă este că în loc de raza unui cilindru există diametrul miezului de cablu împărțit în două, iar numărul de miezuri din fir apare în expresie N. De asemenea, lungimea firului este folosită în loc de înălțime. Astfel, volumul „cilindrului” este calculat nu de unul, ci de numărul de fire din împletitură.
Astfel de calcule sunt adesea necesare în practică. La urma urmei, o parte semnificativă a rezervoarelor de apă este realizată sub formă de țeavă. Și este adesea necesar să se calculeze volumul unui cilindru chiar și în gospodărie.
Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, forma cilindrului poate fi diferită. Și în unele cazuri este necesar să se calculeze cu ce este egal volumul cilindrului înclinat.
Diferența este că suprafața bazei este înmulțită nu cu lungimea generatricei, ca în cazul unui cilindru drept, ci cu distanța dintre plane - un segment perpendicular construit între ele.
După cum se poate observa din figură, un astfel de segment este egal cu produsul lungimii generatricei cu sinusul unghiului de înclinare al generatricei față de plan.
Cum se construiește un cilindru de măturat
În unele cazuri, este necesară tăierea unui alez cilindric. Figura de mai jos arată regulile prin care se construiește un semifabricat pentru fabricarea unui cilindru cu o înălțime și un diametru dat.
Vă rugăm să rețineți că figura este afișată fără cusături.
Diferențele de cilindru teșit
Să ne imaginăm un cilindru drept mărginit pe o parte de un plan perpendicular pe generatoare. Dar planul care limitează cilindrul pe cealaltă parte nu este perpendicular pe generatoare și nu este paralel cu primul plan.
Figura prezintă un cilindru teșit. Avion A la un alt unghi decât 90° față de generatoare, intersectează figura.
Această formă geometrică este mai frecventă în practică sub formă de conexiuni de conducte (coturi). Dar există chiar și clădiri construite sub forma unui cilindru teșit.
Caracteristicile geometrice ale cilindrului teșit
Panta unuia dintre planurile cilindrului teșit modifică ușor ordinea de calcul atât a suprafeței unei astfel de figuri, cât și a volumului acesteia.
Corpul de rotație numit corp format ca urmare a rotației unei linii în jurul unei drepte.
CILINDRU
Un cilindru (cilindru circular) este un corp care este format din două cercuri care nu se află în același plan și sunt combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale acestor cercuri. Cercurile se numesc bazele cilindrului, iar segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale cercurilor cercurilor se numesc generatoare ale cilindrului.
Deoarece translația paralelă este mișcare, bazele cilindrului sunt egale. Deoarece în timpul transferului paralel planul trece într-un plan paralel, atunci bazele cilindrului se află în planuri paralele. Deoarece, în timpul translației paralele, punctele sunt deplasate de-a lungul liniilor paralele la aceeași distanță, generatoarele cilindrului sunt paralele și egale. Suprafața unui cilindru este formată din baze și o suprafață laterală.
Raza unui cilindru este raza bazei acestuia. Înălțimea unui cilindru este distanța dintre planurile bazelor sale. Axa unui cilindru este o linie dreaptă care trece prin centrele bazelor.
Un cilindru se numește drept dacă generatoarele lui sunt perpendiculare pe planurile bazelor. Vom lua în considerare doar un cilindru circular drept, numindu-l pur și simplu cilindru pentru concizie.
Un cilindru poate fi obținut prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale. Figura prezintă un cilindru obţinut prin rotirea dreptunghiului ABCD în jurul laturii AB. În acest caz, suprafața laterală a cilindrului este formată prin rotirea laterală CD, iar baza - prin rotirea laturilor BC și AD.
Secțiuni de cilindru
1) Dacă planul de tăiere trece prin axa cilindrului, atunci secțiunea este un dreptunghi (vezi figura), ale cărui două laturi sunt generatrice, iar celelalte două sunt diametrele bazelor cilindrului. O astfel de secțiune se numește axială.
