1.21. DECADERE, OSCILATII FORȚATE

Ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate și soluția acesteia. Coeficient de atenuare. logaritmică decbanda de amortizare.factorul Qsistemul corpului.proces aperiodic. Ecuația diferențială a oscilațiilor forțate și soluția acesteia.Amplitudinea și faza oscilațiilor forțate. Procesul de stabilire a oscilaţiilor. Caz de rezonanță.Auto-oscilații.

Amortizarea oscilațiilor este scăderea treptată a amplitudinii oscilațiilor în timp, datorită pierderii de energie de către sistemul oscilator.

Vibrațiile naturale fără amortizare reprezintă o idealizare. Motivele decolorării pot fi diferite. Într-un sistem mecanic, vibrațiile sunt atenuate de prezența frecării. Când toată energia stocată în sistemul oscilant este epuizată, oscilațiile se vor opri. Prin urmare, amplitudinea oscilații amortizate scade până devine zero.

Oscilațiile amortizate, precum și cele naturale, în sisteme de natură diferită, pot fi considerate dintr-un singur punct de vedere - caracteristici comune. Cu toate acestea, caracteristici precum amplitudinea și perioada necesită redefinire, în timp ce altele necesită completări și clarificări în comparație cu aceleași caracteristici pentru oscilațiile naturale neamortizate. Semnele și conceptele generale ale oscilațiilor amortizate sunt următoarele:

Ecuația diferențială trebuie obținută ținând cont de scăderea energiei vibraționale în procesul oscilațiilor.

Ecuația de oscilație este soluția unei ecuații diferențiale.

Amplitudinea oscilațiilor amortizate depinde de timp.

Frecvența și perioada depind de gradul de amortizare a oscilațiilor.

Faza și faza inițială au aceeași semnificație ca și pentru oscilațiile neamortizate.

Oscilații mecanice amortizate.

sistem mecanic : pendul arc supus fortelor de frecare.

Forțe care acționează asupra pendulului :

Forță elastică., unde k este coeficientul de rigiditate a arcului, х este deplasarea pendulului din poziția de echilibru.

Forța de rezistență. Se consideră forța de rezistență proporțională cu viteza v de mișcare (o astfel de dependență este tipică pentru o clasă mare de forțe de rezistență): . Semnul minus arată că direcția forței de rezistență este opusă direcției vitezei corpului. Coeficientul de rezistență r este numeric egal cu forța de rezistență care apare la o viteză unitară a corpului:

Legea mișcării Pendulul cu arc este a doua lege a lui Newton:

m A = F ex. + F a rezista.

Având în vedere că și , scriem a doua lege a lui Newton sub forma:

. (21.1)

Împărțind toți termenii ecuației la m, deplasându-i pe toți în partea dreaptă, obținem ecuație diferențială oscilații amortizate:

Să notăm unde β – factorul de amortizare , , Unde ω 0 este frecvența oscilațiilor libere neamortizate în absența pierderilor de energie în sistemul oscilator.

În noua notație, ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate are forma:

. (21.2)

Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi.

Această ecuație diferențială liniară este rezolvată printr-o schimbare de variabile. Reprezentăm funcția x, în funcție de timpul t, sub forma:

.

Să găsim derivatele prima și a doua de timp ale acestei funcții, având în vedere că funcția z este și o funcție a timpului:

, .

Înlocuiți expresiile din ecuația diferențială:

Aducem termeni similari în ecuație și reducem fiecare termen cu , obținem ecuația:

.

Să notăm cantitatea .

Soluția ecuației sunt funcțiile , .

Revenind la variabila x, obținem formulele pentru ecuațiile oscilațiilor amortizate:

Prin urmare , ecuația oscilațiilor amortizate este o soluție a ecuației diferențiale (21.2):

Frecvența de oscilație amortizată :

(deci doar rădăcina reală are un sens fizic).

Perioada de oscilații amortizate :

(21.5)

Sensul care a fost pus în conceptul de perioadă pentru oscilațiile neamortizate nu este potrivit pentru oscilațiile amortizate, deoarece sistemul oscilator nu revine niciodată la starea inițială din cauza pierderii energiei vibraționale. În prezenţa frecării, oscilaţiile sunt mai lente: .

Perioada oscilațiilor amortizate numit interval de timp minim pentru care sistemul parcurge de două ori poziţia de echilibru în aceeaşi direcţie.

Pentru sistemul mecanic al pendulului cu arc avem:

, .

Amplitudinea oscilațiilor amortizate :

Pentru pendul de primăvară.

Amplitudinea oscilațiilor amortizate nu este o valoare constantă, ci se modifică în timp cu cât mai repede, cu atât coeficientul β este mai mare. Prin urmare, definiția pentru amplitudine, dată mai devreme pentru oscilațiile libere neamortizate, trebuie schimbată pentru oscilațiile amortizate.

Pentru atenuări mici amplitudinea oscilațiilor amortizate numită cea mai mare abatere de la poziția de echilibru pentru perioada respectivă.

Grafice curbele offset față de timp și amplitudine față de timp sunt prezentate în figurile 21.1 și 21.2.

Figura 21.1 - Dependența deplasării în timp pentru oscilațiile amortizate.

Figura 21.2 - Dependenţe ale amplitudinii în timp pentru oscilaţiile amortizate

Caracteristicile oscilațiilor amortizate.

1. Factorul de atenuare β .

Modificarea amplitudinii oscilațiilor amortizate are loc conform legii exponențiale:

Fie ca amplitudinea oscilației să scadă de „e” ori în timp τ („e” este baza logaritmului natural, e ≈ 2,718). Apoi, pe de o parte, , iar pe de altă parte, având pictat amplitudinile A zat. (t) și A la. (t+τ), avem . Aceste relații implică βτ = 1, deci .

Interval de timp τ , pentru care amplitudinea scade cu „e” ori, se numește timp de relaxare.

Factorul de atenuare β este o valoare invers proporţională cu timpul de relaxare.

2. Scădere logaritmică de amortizare δ - o mărime fizică egală numeric cu logaritmul natural al raportului a două amplitudini succesive separate în timp printr-o perioadă.

Dacă atenuarea este mică, adică valoarea lui β este mică, apoi amplitudinea se modifică ușor pe parcursul perioadei, iar scăderea logaritmică poate fi definită după cum urmează:

,

unde A la. (t) și A la. (t + NT) - amplitudini de oscilație la momentul e și după N perioade, adică la timp (t + NT).

3. Factorul de calitate Q sistem oscilator este o mărime fizică adimensională egală cu produsul valorii (2π) νa raportul dintre energia W(t) a sistemului la un moment arbitrar de timp și pierderea de energie într-o perioadă de oscilații amortizate:

.

Deoarece energia este proporțională cu pătratul amplitudinii, atunci

Pentru valori mici ale decrementului logaritmic δ, factorul de calitate al sistemului oscilator este egal cu

,

unde N e este numărul de oscilații, în timpul cărora amplitudinea scade de „e” ori.

Deci, factorul de calitate al unui pendul cu arc este -. Cu cât factorul de calitate al unui sistem oscilator este mai mare, cu atât mai puțină atenuare, cu atât va dura mai mult procesul periodic într-un astfel de sistem. Factorul de calitate al sistemului oscilator - mărime adimensională care caracterizează disiparea energiei în timp.

4. Odată cu creșterea coeficientului β, frecvența oscilațiilor amortizate scade, iar perioada crește. La ω 0 = β, frecvența oscilațiilor amortizate devine egală cu zero ω zat. = 0, iar T zat. = ∞. În acest caz, oscilațiile își pierd caracterul periodic și sunt numite aperiodic.

La ω 0 = β, parametrii sistemului responsabili pentru scăderea energiei vibraționale iau valori numite critic . Pentru un pendul elastic, condiția ω 0 = β se va scrie astfel:, de unde găsim valoarea coeficient de rezistență critică:

.

Orez. 21.3. Dependența amplitudinii oscilațiilor aperiodice de timp

Vibrații forțate.

Toate oscilațiile reale sunt amortizate. Pentru ca oscilațiile reale să apară pentru un timp suficient de lung, este necesar să se reînnoiască periodic energia sistemului oscilator acționând asupra acestuia cu o forță externă care se schimbă periodic.

Luați în considerare fenomenul de oscilații dacă este extern (forțare) forţa variază în timp conform legii armonice. În acest caz, în sisteme vor apărea oscilații, a căror natură, într-o măsură sau alta, va repeta natura forței motrice. Se numesc astfel de fluctuații forţat .

Semne generale ale oscilațiilor mecanice forțate.

1. Să luăm în considerare oscilațiile mecanice forțate ale unui pendul cu arc, asupra căruia este acționat un (convingătoare ) forta periodica . Forțele care acționează asupra unui pendul, odată scoase din echilibru, se dezvoltă în sistemul oscilator însuși. Acestea sunt forța elastică și forța de tracțiune.

Legea mișcării (a doua lege a lui Newton) se scrie astfel:

(21.6)

Împărțiți ambele părți ale ecuației la m, luați în considerare faptul că , și obțineți ecuație diferențială vibratii fortate:

Indicați ( β – factorul de amortizare ), (ω 0 este frecvența oscilațiilor libere neamortizate), forța care acționează pe unitatea de masă. În aceste notaţii ecuație diferențială oscilațiile forțate vor lua forma:

(21.7)

Aceasta este o ecuație diferențială de ordinul doi cu o parte dreaptă diferită de zero. Soluția unei astfel de ecuații este suma a două soluții

.

este soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene, i.e. ecuație diferențială fără partea dreaptă când este egală cu zero. Cunoaștem o astfel de soluție - aceasta este ecuația oscilațiilor amortizate, scrisă până la o constantă, a cărei valoare este determinată de condițiile inițiale ale sistemului oscilator:

Unde .

Am discutat mai devreme că soluția poate fi scrisă în termeni de funcții sinus.

Dacă luăm în considerare procesul oscilațiilor pendulului după o perioadă de timp suficient de lungă Δt după pornirea forței de antrenare (Figura 21.2), atunci oscilațiile amortizate din sistem se vor opri practic. Și atunci soluția ecuației diferențiale cu partea dreaptă va fi soluția .

O soluție este o soluție particulară a unei ecuații diferențiale neomogene, adică ecuații cu partea dreaptă. Din teoria ecuațiilor diferențiale se știe că, cu latura dreaptă schimbându-se conform legii armonice, soluția va fi o funcție armonică (sin sau cos) cu o frecvență de modificare corespunzătoare frecvenței de modificare Ω a părții drepte:

unde A amp. – amplitudinea oscilațiilor forțate, φ 0 – schimbare de fază , acestea. diferența de fază între faza forței motrice și faza oscilațiilor forțate. Și amplitudinea A amp. , iar defazarea φ 0 depinde de parametrii sistemului (β, ω 0) și de frecvența forței motrice Ω.

Perioada de oscilație forțată egală (21.9)

Schema oscilațiilor forțate din Figura 4.1.

Fig.21.3. Programul oscilațiilor forțate

Oscilațiile forțate constante sunt și ele armonice.

Dependența amplitudinii oscilațiilor forțate și a defazajului de frecvența acțiunii externe. Rezonanţă.

1. Să revenim la sistemul mecanic al unui pendul cu arc, care este afectat de o forță exterioară care se modifică după o lege armonică. Pentru un astfel de sistem, ecuația diferențială și respectiv soluția sa au forma:

, .

Să analizăm dependența amplitudinii oscilației și a defazajului de frecvența forței motrice externe, pentru aceasta găsim derivatele întâi și a doua ale lui x și le substituim în ecuația diferențială.

Să folosim metoda diagramei vectoriale. Din ecuație se poate observa că suma celor trei leagăne din partea stângă a ecuației (Figura 4.1) ar trebui să fie egală cu leagănul din partea dreaptă. Diagrama vectorială este realizată pentru un timp arbitrar t. Se poate determina din ea.

Figura 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Având în vedere valoarea , ,, obținem formule pentru φ 0 și A ampl. sistem mecanic:

,

.

2. Investigăm dependența amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice și mărimea forței de rezistență într-un sistem mecanic oscilant, folosind aceste date construim un grafic . Rezultatele studiului sunt prezentate în Figura 21.5, ele arată că la o anumită frecvență a forței motrice amplitudinea oscilaţiilor creşte brusc. Și această creștere este cu atât mai mare, cu atât coeficientul de atenuare β este mai mic. La , amplitudinea oscilației devine infinit de mare.

Fenomenul de creștere bruscă a amplitudinii oscilaţii forţate la o frecvenţă a forţei motrice egală cu se numește rezonanță.

(21.12)

Curbele din Figura 21.5 reflectă relația și sunt chemați curbe de rezonanță de amplitudine .

Figura 21.5 - Grafice ale dependenței amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice.

Amplitudinea oscilațiilor rezonante va lua forma:

Vibrațiile forțate sunt neamortizat fluctuatii. Pierderile inevitabile de energie datorate frecării sunt compensate prin furnizarea de energie dintr-o sursă externă a unei forțe care acționează periodic. Există sisteme în care oscilațiile neamortizate apar nu datorită influențelor externe periodice, ci ca urmare a capacității unor astfel de sisteme de a regla fluxul de energie dintr-o sursă constantă. Astfel de sisteme sunt numite autooscilante, iar procesul de oscilații neamortizate în astfel de sisteme este autooscilații.

Într-un sistem auto-oscilator, se pot distinge trei elemente caracteristice - un sistem oscilator, o sursă de energie și un dispozitiv de feedback între sistemul oscilator și sursă. Ca sistem oscilator, poate fi utilizat orice sistem mecanic capabil să efectueze propriile oscilații amortizate (de exemplu, un pendul al unui ceas de perete).

Sursa de energie poate fi energia de deformare a arcului sau energia potențială a sarcinii în câmpul gravitațional. Dispozitivul de feedback este un mecanism prin care sistemul auto-oscilator reglează fluxul de energie de la sursă. Pe fig. 21.6 prezintă o diagramă a interacțiunii diferitelor elemente ale unui sistem auto-oscilant.

Un exemplu de sistem mecanic auto-oscilant este un mecanism cu ceas ancoră muta (Fig. 21.7.). O roată de rulare cu dinți oblici este fixată rigid de un tambur dințat, prin care este aruncat un lanț cu o greutate. La capătul superior al pendulului, o ancoră (ancoră) este fixată cu două plăci de material dur îndoite de-a lungul unui arc de cerc centrat pe axa pendulului. Într-un ceas de mână, greutatea este înlocuită cu un arc, iar pendulul este înlocuit cu un balansier - o roată de mână fixată pe un arc spiralat.

Figura 21.7. Mecanism de ceas cu pendul.

Echilibratorul efectuează vibrații de torsiune în jurul axei sale. Sistemul oscilator din ceas este un pendul sau echilibrator. Sursa de energie este o greutate ridicată sau un arc rănit. Dispozitivul de feedback este o ancoră care permite roții de rulare să rotească un dinte într-o jumătate de ciclu.

Feedback-ul este oferit de interacțiunea ancorei cu roata de rulare. La fiecare oscilație a pendulului, dintele roții de deplasare împinge furca de ancorare în direcția mișcării pendulului, transferând acesteia o anumită porțiune de energie, care compensează pierderile de energie datorate frecării. Astfel, energia potențială a greutății (sau a arcului răsucit) este treptat, în porțiuni separate, transferată pendulului.

Sistemele mecanice auto-oscilante sunt larg răspândite în viața din jurul nostru și în tehnologie. Autooscilațiile sunt realizate de motoarele cu abur, motoarele cu ardere internă, clopotele electrice, șirurile de instrumente muzicale arcuite, coloanele de aer în țevile instrumentelor de suflat, corzile vocale când se vorbește sau se cântă etc.

În sistemele oscilatorii reale, pe lângă forțele cvasi-elastice, există și forțe de rezistență ale mediului. Prezența forțelor de frecare duce la disiparea (disiparea) energiei și la scăderea amplitudinii oscilației. Prin încetinirea mișcării, forțele de frecare măresc perioada, adică. reduce frecvența oscilațiilor. Astfel de oscilații nu vor fi armonice.

Se numesc oscilații cu amplitudinea în scădere continuă în timp datorită disipării energiei decolorare . La viteze suficient de mici, forța de frecare este proporțională cu viteza corpului și este îndreptată împotriva mișcării

unde r este coeficientul de frecare, care depinde de proprietățile mediului, de forma și dimensiunea corpului în mișcare. Ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate în prezența forțelor de frecare va avea forma:

sau
(21)

Unde
- coeficient de atenuare,

- frecventa circulara naturala a oscilatiilor libere in absenta fortelor de frecare.

Soluția generală a ecuației (21) în cazul amortizarii scăzute (
) este un:

Diferă de armonica (8) prin faptul că amplitudinea oscilației:

(23)

este o funcție descrescătoare a timpului și a frecvenței circulare legate de frecvența naturală și factorul de amortizare raport:

. (24)

Perioada oscilațiilor amortizate este egală cu:

. (25)

Dependența deplasării X de t oscilații amortizate este prezentată în Fig.4.

C gradul de scădere a amplitudinii este determinat de coeficientul de atenuare .

Pe parcursul
amplitudinea (23) scade cu un factor de e ≈ 2,72. De data asta se numește degradare naturală timp de relaxare. Prin urmare, factorul de amortizare este reciproca timpului de relaxare:

.(26)

Rata de scădere a amplitudinii oscilațiilor se caracterizează prin scădere logaritmică de amortizare. Fie A(t) și A(t+T) amplitudinile a două oscilații succesive corespunzătoare punctelor de timp care diferă cu o perioadă. Apoi relatia:

(27)

numit scădere de amortizare, care arată de câte ori scade amplitudinea oscilațiilor într-un timp egal cu perioada. Logaritmul natural al acestui raport este:

(28)

se numește factor de amortizare logaritmică. Aici, N e este numărul de oscilații efectuate în timpul în care amplitudinea scade cu un factor de e, adică. în timpul perioadei de relaxare.

Astfel, decrementul de amortizare logaritmică este inversul numărului de oscilații, după care amplitudinea oscilației scade cu un factor de e.

Rata de scădere a energiei sistemului oscilator este caracterizată de factorul de calitate Q. Factorul de calitate al sistemului oscilator- o valoare proporțională cu raportul dintre energia totală E(t) a sistemului oscilator și energia (- E) pierdut în perioada T:

(29)

Energia totală a sistemului oscilator la un moment arbitrar de timp și pentru orice valoare a lui X are forma:

(30)

Deoarece energia este proporțională cu pătratul amplitudinii, energia oscilațiilor amortizate scade proporțional cu valoarea
, poti sa scrii:

. (31)

Apoi, conform definiției, expresia factorului de calitate al sistemului oscilator va arăta astfel:

Aici se ține cont că la atenuări mici (1): 1-a -2   ​​​​2.

Prin urmare, factorul de calitate este proporțional cu numărul de oscilații N e efectuate de sistem în timpul de relaxare.

Factorul de calitate al sistemelor oscilatoare poate varia foarte mult, de exemplu, factorul de calitate al unui pendul fizic este Q~ 10 2 , în timp ce factorul de calitate al unui atom, care este tot un sistem oscilator, ajunge la Q~ 10 8 .

În concluzie, observăm că atunci când coeficientul de amortizare β=ω 0, perioada devine infinită T =∞ (amortizare critică). Cu o creștere suplimentară a β, perioada T devine imaginară, iar atenuarea mișcării are loc fără oscilații, după cum se spune, aperiodic. Acest caz de mișcare este prezentat în Fig.5. Amortizarea critică (calmarea) are loc într-un timp minim și este importantă în instrumentele de măsură, de exemplu, în galvanometrele balistice .

LA FORŢAT VASCULAREA ȘI REZONAnță

Dacă o forță elastică F y \u003d -kX acționează asupra unui corp cu masa m, forța de frecare
și forța periodică externă
, apoi efectuează oscilații forțate. În acest caz, ecuația diferențială a mișcării are forma:

Unde
,
- coeficient de atenuare,
- frecvența naturală a vibrațiilor libere neamortizate ale corpului, F 0 - amplitudine, ω - frecvența forței periodice.

În momentul inițial de timp, munca forței externe depășește energia care este cheltuită la frecare (Fig. 6). Energia și amplitudinea oscilațiilor corpului vor crește până când toată energia transmisă de forța externă este cheltuită complet pentru a depăși frecarea, care este proporțională cu viteza. Prin urmare, se stabilește un echilibru în care suma energiei cinetice și potențiale este constantă. Această condiție caracterizează starea staționară a sistemului.

În această stare, mișcarea corpului va fi armonică cu o frecvență egală cu frecvența excitației externe, dar din cauza inerției corpului, oscilațiile acestuia vor fi deplasate în fază față de valoarea instantanee a periodicului extern. forta:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Spre deosebire de oscilațiile libere, amplitudinea A și faza  a oscilațiilor forțate nu depind de condițiile inițiale de mișcare, ci vor fi determinate doar de proprietățile sistemului oscilant, de amplitudinea și frecvența forței motrice:

, (35)

. (36)

Se poate observa că amplitudinea și defazarea depind de frecvența forței motrice (Fig. 7, 8).

O trăsătură caracteristică a oscilațiilor forțate este prezența rezonanței. Fenomen o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate atunci când frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a oscilațiilor libere neamortizate ale corpului ω 0 se numește rezonanță mecanică . Amplitudinea vibrației corpului la frecvența de rezonanță
atinge valoarea maxima:

(37)

În ceea ce privește curbele de rezonanță (vezi Fig. 7), să facem următoarele observații. Dacă ω → 0, atunci toate curbele (vezi și (35)) ajung la aceeași valoare limită diferită de zero
, asa numitul abatere statistică. Dacă ω→ ∞, atunci toate curbele tind asimptotic spre zero.

În condiția de amortizare scăzută (β 2 ‹‹ω 0 2), amplitudinea rezonanței (vezi (37))

(37a)

În această condiție, luăm raportul dintre deplasarea rezonantă și deviația statică:

din care se poate observa că creșterea relativă a amplitudinii oscilațiilor la rezonanță este determinată de factorul de calitate al sistemului oscilator. Aici, factorul de calitate este, de fapt, câștigul răspunsului
sistem și la atenuare scăzută poate atinge valori mari.

Această împrejurare determină marea importanță a fenomenului de rezonanță în fizică și tehnologie. Este folosit dacă doresc să amplifice vibrațiile, de exemplu, în acustică - pentru a îmbunătăți sunetul instrumentelor muzicale, în ingineria radio - pentru a izola semnalul dorit de multe altele care diferă ca frecvență. Dacă rezonanța poate duce la o creștere nedorită a oscilațiilor, se folosește un sistem cu un factor de calitate scăzut.

VIBRAȚII CONEXE

Al doilea sistem oscilator, legat elastic de primul, poate servi ca sursă de forță periodică externă. Ambele sisteme oscilatorii pot acționa unul pe celălalt. Deci, de exemplu, cazul a două penduluri cuplate (Fig. 9).

Sistemul poate efectua atât oscilații în fază (Fig. 9b) cât și antifază (Fig. 9c). Astfel de oscilații se numesc tip normal sau mod normal de oscilație și sunt caracterizate de propria lor frecvență normală. Cu oscilații în fază, deplasarea pendulelor în orice moment X 1 \u003d X 2, iar frecvența ω 1 este exact aceeași cu frecvența unui singur pendul
. Acest lucru se datorează faptului că arcul ușor este în stare liberă și nu are niciun efect asupra mișcării. Cu oscilații antifază în orice moment - X 1 \u003d X 2. Frecvența unor astfel de oscilații este mai mare și egală cu
, întrucât arcul, care are rigiditatea k și realizează legătura, este întotdeauna în stare întinsă, apoi în stare comprimată.

L
Orice stare a sistemului nostru cuplat, inclusiv deplasarea inițială X (Fig. 9a), poate fi reprezentată ca o suprapunere a două moduri normale:

Dacă punem sistemul în mișcare din starea inițială X 1 = 0,
, X 2 \u003d 2A,
,

atunci deplasările pendulilor vor fi descrise prin expresiile:

Pe fig. 10 arată modificarea deplasării pendulelor individuale în timp.

Frecvența de oscilație a pendulelor este egală cu frecvența medie a două moduri normale:

, (39)

iar amplitudinea lor se modifică conform legii sinusului sau conului cu o frecvență mai mică egală cu jumătate din diferența de frecvență a modurilor normale:

. (40)

O modificare lentă a amplitudinii cu o frecvență egală cu jumătate din diferența dintre frecvențele modurilor normale se numește “ bate ” două vibrații cu aproape aceeași frecvență. Frecvența „bătăilor” este egală cu diferența de frecvențe ω 1 – ω 2, (și nu jumătate din această diferență), deoarece amplitudinea maximă 2A este atinsă de două ori într-o perioadă corespunzătoare frecvenței.

Prin urmare, perioada de bătaie este egală cu:

(41)

Când pendulele bat, se face schimb de energie. Totuși, un schimb de energie complet este posibil numai atunci când ambele mase sunt aceleași și raportul (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) este egal cu un număr întreg. Un punct important de remarcat este că, în timp ce pendulele individuale pot face schimb de energie, nu există nici un schimb de energie între modurile normale.

Prezența unor astfel de sisteme oscilante care interacționează între ele și sunt capabile să-și transfere energia unul altuia, formează baza mișcării undei.

Un corp de material oscilant plasat într-un mediu elastic antrenează și pune în mișcare oscilativă particulele mediului adiacent acestuia. Datorită prezenței legăturilor elastice între particule, vibrațiile se propagă cu o viteză caracteristică unui mediu dat pe întregul mediu.

Procesul de propagare a vibrațiilor într-un mediu elastic se numește val .

Există două tipuri principale de unde: longitudinale și transversale. În unde longitudinale particulele de mediu oscilează de-a lungul direcției de propagare a undei și în transversal este perpendiculară pe direcția de propagare a undei. Nu orice mediu elastic poate propaga o undă transversală. O undă elastică transversală este posibilă numai în astfel de medii în care are loc deformarea elastică prin forfecare. De exemplu, numai undele elastice longitudinale (sunetul) se propagă în gaze și lichide.

Se numește locul punctelor mediului, la care oscilația a atins un anumit moment în timp front de val . Frontul de undă separă partea din spațiu deja implicată în procesul undelor de zona în care oscilațiile nu au apărut încă. În funcție de forma frontului, undele sunt plane, sferice, cilindrice etc.

Ecuația pentru o undă plană care se propagă fără pierderi într-un mediu omogen este:
, (42)

unde ξ(X,t) este deplasarea particulelor mediului cu coordonatele X din poziția de echilibru la momentul t, A este amplitudinea,
- faza undei,
- frecvența circulară de oscilație a particulelor mediului, v - viteza de propagare a undelor.

Lungime de undă λ distanța dintre punctele care oscilează cu o diferență de fază de 2π se numește, cu alte cuvinte, lungimea de undă este calea parcursă de orice fază a undei într-o perioadă de oscilație:

viteza de fază, adică viteza de propagare a acestei faze:

λ / T (44)

numărul de undă este numărul de lungimi de undă care se potrivesc pe o lungime de 2π unități:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Înlocuind aceste notații în (42), ecuația de undă monocromatică care călătorește plană poate fi reprezentat ca:

(46)

Rețineți că ecuația de undă (46) prezintă o periodicitate dublă în coordonate și timp. Într-adevăr, fazele oscilațiilor coincid atunci când coordonatele se schimbă cu λ și când timpul se schimbă cu o perioadă T. Prin urmare, este imposibil să descrii grafic o undă pe un plan. Timpul t este adesea fix și dependența deplasării ξ de coordonatele X este prezentată pe grafic, i.e. distribuția instantanee a deplasărilor particulelor de mediu de-a lungul direcției de propagare a undei (Fig. 11). Diferența de fază Δφ a oscilațiilor punctelor mediului depinde de distanța ΔX \u003d X 2 - X 1 dintre aceste puncte:

(47)

Dacă unda se propagă opus direcției X, atunci ecuația de undă inversă se va scrie astfel:

ξ (X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

UNDELE STAȚIONARE sunt rezultatul unui tip special de interferență a undelor. Ele se formează atunci când două unde care călătoresc se propagă una spre alta cu aceleași frecvențe și amplitudini.

Ecuațiile a două unde plane care se propagă de-a lungul axei X în direcții opuse sunt:

ξ 1 \u003d ACos (ωt - kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Adunând aceste ecuații folosind formula sumei cosinusurilor și ținând cont de faptul că k = 2π / λ, obținem ecuația undei staționare:

. (50)

Multiplicatorul Cos ωt arată că oscilațiile de aceeași frecvență ω apar în punctele mediului cu amplitudine
, în funcție de coordonata X a punctului considerat. În punctele din mediu în care:
, (51)

amplitudinea oscilatiei atinge o valoare maxima de 2A. Aceste puncte sunt numite antinoduri.

Din expresia (51) se pot găsi coordonatele antinodului:
(52)

În punctele în care
(53) amplitudinea oscilației dispare. Aceste puncte sunt numite noduri.

Coordonatele nodului:
. (54)

R distanțele dintre antinodurile vecine și nodurile vecine sunt aceleași și egale cu λ/2. Distanța dintre nod și antinodul vecin este egală cu λ / 4. La trecerea prin nod, multiplicatorul
își schimbă semnul, deci fazele oscilațiilor de pe părțile opuse ale nodului diferă prin π, i.e. punctele situate pe laturile opuse ale nodului oscileaza in antifaza. Punctele închise între două noduri învecinate oscilează cu amplitudini diferite, dar cu aceleași faze.

Distribuția nodurilor și antinodurilor într-o undă staționară depinde de condițiile care au loc la interfața dintre două medii, din care are loc reflexia. Dacă reflectarea undei are loc dintr-un mediu mai dens, atunci faza oscilațiilor la locul de reflectare a undei se schimbă în opus sau, după cum se spune, jumătate din undă se pierde. Prin urmare, ca urmare a adunării oscilațiilor de direcții opuse, deplasarea la limită este zero, adică. există un nod (fig. 12). Când o undă este reflectată de la limita unui mediu mai puțin dens, faza oscilațiilor la locul de reflexie rămâne neschimbată și se adaugă oscilații cu aceleași faze în apropierea graniței - se obține un antinod.

Într-o undă staționară, nu există mișcare de fază, nici propagare a undelor, nici transfer de energie, ceea ce este motivul pentru denumirea acestui tip de undă.

O scădere a energiei sistemului oscilator duce la o scădere treptată a amplitudinii oscilațiilor, deoarece

În acest caz, ei spun că fluctuațiile sunt amortizate .

O situație similară se dezvoltă în circuitul oscilator. Bobina reală, care face parte din circuit, are întotdeauna rezistență activă. Când curentul trece prin rezistența activă a bobinei, căldura Joule va fi eliberată. În acest caz, energia circuitului va scădea, ceea ce va duce la o scădere a amplitudinii oscilațiilor de sarcină, tensiune și curent.

Sarcina noastră- să se afle după ce lege are loc scăderea amplitudinii oscilațiilor, după care lege se modifică însăși valoarea oscilației, cu ce frecvență apar oscilațiile amortizate, cât timp oscilațiile „se estompează”.

§1 Amortizarea vibraţiilor în sistemele cu frecare vâscoasă

Să considerăm un sistem oscilator în care acționează forța de frecare vâscoasă. Un exemplu de astfel de sistem oscilator este un pendul matematic care oscilează în aer.

În acest caz, când sistemul este scos din echilibru de

asupra pendulului vor acţiona două forţe: o forţă cvasi-elastică şi o forţă de rezistenţă (forţa de frecare vâscoasă).

A doua lege a lui Newton este scrisă după cum urmează:

(1)

Știm că la viteze mici, forța de frecare vâscoasă este proporțională cu viteza de mișcare:

Luăm în considerare că proiecția vitezei este derivata întâi a coordonatei corpului, iar proiecția accelerației este derivata a doua a coordonatei:

Atunci ecuația (2) va lua forma:

obținem ecuația mișcării sub următoarea formă:

(3)

unde d este coeficientul de amortizare, acesta depinde de coeficientul de frecare r,

w 0 - frecvența ciclică a oscilațiilor ideale (în absența frecării).

Înainte de a rezolva ecuația (3), luați în considerare circuitul oscilator. Rezistența activă a bobinei este conectată în serie cu capacitatea C și inductanța L.

Să scriem a doua lege a lui Kirchhoff

Să luăm în calcul că, , .

Atunci a doua lege a lui Kirchhoff ia forma:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la:

Să introducem notația

În sfârșit, obținem

Atenție la identitatea matematică a ecuațiilor diferențiale (3) și (3’). Nu este nimic surprinzător. Am arătat deja identitatea matematică absolută a procesului de oscilație a pendulului și a oscilațiilor electromagnetice din circuit. În mod evident, procesele de amortizare a oscilațiilor în circuit și în sistemele cu frecare vâscoasă au loc și ele.

Rezolvând ecuația (3), vom obține răspunsuri la toate întrebările de mai sus.

Cunoaștem soluția acestei ecuații

Apoi pentru ecuația dorită (3) obținem rezultatul final

Este ușor de observat că sarcina unui condensator într-un circuit oscilator real se va schimba conform legii

Analiza rezultatului:

1 Ca urmare a acțiunii comune a forței cvasielastice și a forței de rezistență, sistemul poate face o mișcare de oscilație. Pentru aceasta trebuie îndeplinită condiția w 0 2 - d 2 > 0. Cu alte cuvinte, frecarea în sistem trebuie să fie mică.

2 Frecvența oscilațiilor amortizate w nu coincide cu frecvența de oscilație a sistemului în absența frecării w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . De-a lungul timpului, frecvența oscilațiilor amortizate rămâne neschimbată.

Dacă coeficientul de amortizare d este mic, atunci frecvența oscilațiilor amortizate este apropiată de frecvența naturală w 0 .

Această scădere a amplitudinii are loc exponențial.

4 Dacă w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

Unde .

Prin substituție directă, este ușor de verificat că funcția (4) este într-adevăr o soluție a ecuației (3). În mod evident, suma a două funcții exponențiale nu este o funcție periodică. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că nu vor exista oscilații în sistem. După îndepărtarea sistemului din poziția de echilibru, acesta se va întoarce încet la el. Un astfel de proces se numește aperiodic .

§2 Cât de repede se degradează oscilațiile în sistemele cu frecare vâscoasă?

Scăderea amortizarii

valoarea cantitativă. Se poate observa că valoarea lui d caracterizează rata de amortizare a oscilațiilor. Din acest motiv, d se numește factor de amortizare.

Pentru oscilațiile electrice din circuit, coeficientul de atenuare depinde de parametrii bobinei: cu cât rezistența activă a bobinei este mai mare, cu atât amplitudinea sarcinii pe condensator, tensiunea și curentul scad mai repede.

Funcția este produsul dintre o funcție exponențială descrescătoare și o funcție armonică, deci functia nu este armonica. Dar are un anumit grad de „repetabilitate”, care constă în faptul că maximele, minimele, zerourile funcției apar la intervale regulate. Graficul funcției este o sinusoidă mărginită de doi exponenți.

Să găsim raportul a două amplitudini succesive separate printr-un interval de timp de o perioadă. Această relație se numește scădere de amortizare

Vă rugăm să rețineți că rezultatul nu depinde dacă luați în considerare două perioade consecutive - la începutul mișcării oscilatorii sau după ce a trecut ceva timp. Pentru fiecare perioadă, amplitudinea oscilațiilor se modifică nu aceeași dimensiune, dar acelasi numar de ori !!

Este ușor să vezi asta pentru orice intervale de timp diferite, amplitudinea oscilațiilor amortizate scade de același număr de ori.

Timp de relaxare

Se numește timpul de relaxare timpul în care amplitudinea oscilațiilor amortizate scade de e ori:

Apoi .

De aici nu este greu de stabilit sensul fizic al coeficientului de atenuare:

Astfel, factorul de amortizare este reciproca timpului de relaxare. Fie, de exemplu, în circuitul oscilator, coeficientul de amortizare este egal cu . Aceasta înseamnă că după un timp s amplitudinea oscilației va scădea cu e o singura data.

Scădere logaritmică de amortizare

Adesea, rata de amortizare a oscilațiilor este caracterizată de o scădere logaritmică a amortizarii. Pentru a face acest lucru, luați logaritmul natural al raportului amplitudinilor separate de o perioadă de timp.

Să aflăm semnificația fizică a decrementului de amortizare logaritmică.

Fie N numărul de oscilații efectuate de sistem în timpul de relaxare, adică numărul de oscilații în timpul cărora amplitudinea oscilației scade în e o singura data. Evident, .

Se poate observa că decrementul de amortizare logaritmică este inversul numărului de oscilații, după care amplitudinea scade în e o singura data.

Să presupunem, , aceasta înseamnă că după 100 de oscilații, amplitudinea va scădea cu e o singura data.

Factorul de calitate al sistemului oscilator

Pe lângă scăderea amortizarii logaritmice și timpul de relaxare, rata de amortizare a oscilațiilor poate fi caracterizată printr-o astfel de valoare ca factorul de calitate al sistemului oscilant . Sub factorul de calitate

Se poate arăta că pentru oscilații slab amortizate

Energia sistemului oscilator într-un moment arbitrar în timp este egală cu . Pierderea de energie într-o perioadă poate fi găsită ca diferența dintre energia la un moment dat și energia după un timp egal cu perioada:

Apoi

Funcția exponențială poate fi extinsă într-o serie la<< 1. после подстановки получаем .

La retragere, am impus o restricție<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Formulele obtinute de noi pentru factorul de calitate al sistemului nu spun inca nimic. Să presupunem că calculele dau o valoare a factorului de calitate Q = 10. Ce înseamnă asta? Cât de repede se diminuează vibrațiile? Este bine sau rău?

De obicei, se consideră condiționat că oscilațiile au încetat practic dacă energia lor a scăzut de 100 de ori (amplitudine - cu 10). Să aflăm câte oscilații a făcut sistemul până în acest moment:

Putem răspunde la întrebarea pusă mai devreme: N = 8.

Ce sistem oscilator este mai bun - cu un factor de calitate mare sau mic? Răspunsul la această întrebare depinde de ceea ce doriți să obțineți de la sistemul oscilator.

Dacă doriți ca sistemul să facă cât mai multe oscilații înainte de a se opri, factorul de calitate al sistemului trebuie crescut. Cum? Deoarece factorul de calitate este determinat de parametrii sistemului oscilator însuși, este necesar să alegeți corect acești parametri.

De exemplu, pendulul lui Foucault, instalat în Catedrala Sf. Isaac, trebuia să efectueze oscilații slab amortizate. Apoi

Cel mai simplu mod de a crește factorul de calitate al unui pendul este să-l faci mai greu.

În practică, adesea apar probleme inverse: este necesară stingerea oscilațiilor care au apărut cât mai curând posibil (de exemplu, vibrația săgeții unui instrument de măsurare, vibrațiile caroseriei mașinii, vibrațiile navei etc.) Dispozitivele care permit creșterea atenuării în sistem se numesc amortizoare (sau amortizoare). De exemplu, un amortizor auto în prima aproximare este un cilindru umplut cu ulei (lichid vâscos), în care se poate mișca un piston cu un număr de găuri mici. Tija pistonului este conectată la caroserie, iar cilindrul este conectat la axa roții. Vibrațiile rezultate ale corpului se estompează rapid, deoarece pistonul în mișcare întâmpină multă rezistență în drumul său din fluidul vâscos care umple cilindrul.

§ 3 Amortizarea vibrațiilor în sistemele cu frecare uscată

Amortizarea oscilațiilor are loc fundamental diferit dacă forța de frecare de alunecare acționează în sistem. Ea este motivul opririi pendulului cu arc, care oscilează de-a lungul oricărei suprafețe.

Să presupunem că un pendul cu arc, situat pe o suprafață orizontală, a fost adus în mișcare oscilativă prin comprimarea arcului și eliberarea sarcinii, adică din poziția extremă. În procesul de mutare a unei sarcini dintr-o poziție extremă în alta, aceasta este afectată de forța gravitațională și forța de reacție a suportului (vertical), forța de elasticitate și forța de frecare de alunecare (de-a lungul suprafeței).

Rețineți că în procesul de deplasare de la stânga la dreapta, forța de frecare este neschimbată în direcție și modul.

Acest lucru ne permite să afirmăm că în prima jumătate a perioadei pendulul cu arc se află într-un câmp de forță constant.

Deplasarea poziției de echilibru poate fi calculată din condiția ca rezultatul să fie egal cu zero în poziția de echilibru:
Este important ca în prima jumătate a perioadei de oscilație a pendulului armonic !

Când se deplasează în direcția opusă - de la dreapta la stânga - forța de frecare își va schimba direcția, dar pe parcursul întregii tranziții va rămâne constantă ca mărime și direcție. Această situație corespunde din nou oscilațiilor unui pendul într-un câmp de forță constant. Abia acum acest domeniu este diferit! S-a schimbat direcția. În consecință, poziția de echilibru la deplasarea de la dreapta la stânga sa schimbat și ea. Acum s-a deplasat la dreapta cu suma D l 0 .

Să descriem dependența coordonatei corpului de timp. Deoarece pentru fiecare jumătate a perioadei mișcarea este o oscilație armonică, graficul va fi jumătăți de sinusoide, fiecare dintre acestea fiind construită în raport cu poziția sa de echilibru. Vom efectua operația de „soluții de cusut”.

Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu specific.

Fie ca masa sarcinii atașate arcului să fie de 200 g, rigiditatea arcului să fie de 20 N/m, iar coeficientul de frecare dintre sarcină și suprafața mesei să fie 0,1. Pendulul a fost adus în mișcare oscilatorie prin întinderea arcului

6,5 cm.

Spre deosebire de sistemele oscilatoare cu frecare vâscoasă, în sistemele cu frecare uscată, amplitudinea oscilațiilor scade în timp după o lege liniară - pentru fiecare perioadă scade cu două lățimi ale zonei de stagnare.

O altă trăsătură distinctivă este că oscilațiile în sistemele cu frecare uscată, chiar și teoretic, nu pot apărea la infinit. Ele se opresc de îndată ce corpul se oprește în „zona de stagnare”.

§4 Exemple de rezolvare a problemelor

Problema 1 Natura modificării amplitudinii oscilațiilor amortizate în sistemele cu frecare vâscoasă

Amplitudinea oscilaţiilor amortizate ale pendulului în timpul t 1 = 5 min a scăzut de 2 ori. În ce timp t 2 amplitudinea oscilației va scădea de 8 ori? După ce timp t 3 putem considera că oscilaţiile pendulului s-au oprit?

Decizie:

Amplitudinea oscilațiilor în sistemele cu frecare vâscoasă în timp

scade exponențial, unde este amplitudinea oscilației în momentul inițial de timp, este factorul de amortizare.

1 Să notăm legea modificării amplitudinii de două ori

2 Rezolvăm ecuații împreună. Luând logaritmul fiecărei ecuații, obținem

Împărțim a doua ecuație, nu prima și găsim timpul t 2

4

După transformări, obținem

Împărțiți ultima ecuație la ecuație (*)

Sarcina 2 Perioada de oscilații amortizate în sistemele cu frecare vâscoasă

Determinați perioada oscilațiilor amortizate ale sistemului T, dacă perioada oscilațiilor naturale T 0 \u003d 1 s și scăderea amortizarii logaritmice. Câte oscilații va face acest sistem înainte de a se opri complet?

Decizie:

1 Perioada oscilațiilor amortizate într-un sistem cu frecare vâscoasă este mai mare decât perioada oscilațiilor naturale (în absența frecării în sistem). Frecvența oscilațiilor amortizate, dimpotrivă, este mai mică decât frecvența naturală și este egală cu , unde este coeficientul de atenuare.

2 Exprimați frecvența ciclică de-a lungul perioadei. și luați în considerare că decrementul de amortizare logaritmică este egal cu:

3 După transformări, obținem .

Energia sistemului este egală cu energia potențială maximă a pendulului

După transformări, obținem

5 Exprimăm coeficientul de atenuare în termeni de decrement logaritmic, obținem

Numărul de oscilații pe care sistemul le va face înainte de oprire este egal cu

Problema 3 Numărul de oscilații făcute de pendul până la înjumătățirea amplitudinii

Decrementul de amortizare logaritmic al pendulului este egal cu q = 3×10 -3 . Determinați numărul de oscilații complete pe care trebuie să le facă pendulul pentru ca amplitudinea oscilațiilor sale să scadă de 2 ori.

Decizie:

3 Este ușor de observat că este decrementul logaritmic de amortizare. Primim

Aflarea numărului de vibrații

Sarcina 4 Factorul de calitate al sistemului oscilator

Determinați factorul de calitate al pendulului, dacă în timpul în care s-au făcut 10 oscilații, amplitudinea a scăzut de 2 ori. Cât durează până când pendulul se oprește?

Decizie:

1 Amplitudinea oscilațiilor în sistemele cu frecare vâscoasă scade exponențial cu timpul, unde este amplitudinea oscilațiilor în momentul inițial de timp, este coeficientul de amortizare.

Deoarece amplitudinea oscilației scade de 2 ori, obținem

2 Timpul de oscilație poate fi reprezentat ca produsul perioadei oscilațiilor prin numărul lor:

Înlocuiți valoarea de timp rezultată în expresia (*)

3 Este ușor de observat că este decrementul logaritmic de amortizare. Obținem decrementul de amortizare logaritmic egal cu

4 Factorul de calitate al sistemului oscilator

Energia sistemului este egală cu energia potențială maximă a pendulului

După transformări, obținem

Găsiți timpul după care se vor opri oscilațiile .

Sarcina 5 Vibrațiile unui magnet

Vasya Lisichkin, un experimentator cunoscut în întreaga școală, a decis să facă figurina magnetică a eroului său literar favorit, Kolobok, să vibreze de-a lungul peretelui frigiderului. A atașat figurina de un arc cu rigiditatea k = 10 N/m, a întins-o cu 10 cm și a lăsat-o să plece. Câte oscilații va face omul de turtă dulce dacă masa figurinei este m = 10 g, coeficientul de frecare dintre figurină și perete este μ = 0,4 și poate fi smuls de perete cu forța F = 0,5 N .

Decizie:

1 La trecerea de la poziția extremă inferioară la poziția extremă superioară, când viteza sarcinii este îndreptată în sus, forța de frecare de alunecare este îndreptată în jos și este numeric egală cu . Astfel, pendulul cu arc se află într-un câmp de forță constant creat de forțele gravitaționale și de frecare. Într-un câmp de forță constant, pendulul își schimbă poziția de echilibru:

unde este întinderea arcului în noua „poziție de echilibru”.

2 La trecerea de la poziția extremă superioară la cea extremă inferioară, când viteza sarcinii este îndreptată în jos, forța de frecare de alunecare este îndreptată în sus și este numeric egală cu . Astfel, pendulul cu arc se află din nou într-un câmp de forță constant creat de forțele gravitaționale și de frecare. Într-un câmp de forță constant, pendulul își schimbă poziția de echilibru:

unde este deformarea arcului în noua „poziție de echilibru”, semnul „-” spune că în această poziție arcul este comprimat.

3 Zona de stagnare este limitată de deformații arcului de la -1 cm la 3 cm și este de 4 cm.Mijlocul zonei de stagnare, în care deformarea arcului este de 1 cm, corespunde poziției sarcinii în care nu există frecare. forta. În zona de stagnare, forța elastică a arcului este mai mică în modul decât rezultanta forța maximă de frecare staticăși gravitația. Dacă pendulul se oprește în zona de stagnare, oscilațiile se opresc.

4 Pentru fiecare perioadă, deformarea arcului este redusă cu două lățimi ale zonei de stagnare, adică. cu 8 cm.După o oscilație, deformarea arcului va deveni egală cu 10 cm - 8 cm = 2 cm.Aceasta înseamnă că după o oscilație figura Kolobok intră în zona de stagnare și oscilațiile sale se opresc.

§5 Sarcini pentru soluție independentă

Testul „Vibrații amortizate”

1 Amortizarea vibrațiilor este înțeleasă ca...

A) scăderea frecvenței oscilațiilor; B) scăderea perioadei de oscilații;

C) scăderea amplitudinii oscilaţiilor; D) scăderea fazei de oscilaţii.

2 Motivul pentru amortizarea vibrațiilor libere este

A) efectul asupra sistemului de factori aleatori care inhibă oscilaţiile;

B) acţiunea unei forţe externe în schimbare periodică;

C) prezenţa unei forţe de frecare în sistem;

D) o scădere treptată a forței cvasielastice, care tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru.

?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm;

D) Nu se poate da un răspuns, deoarece ora este necunoscută.

6 Două pendule identice, aflate în medii vâscoase diferite, oscilează. Amplitudinea acestor oscilații se modifică în timp, așa cum se arată în figură. Care mediu are mai multă frecare?

7 Două pendule, aflându-se în același mediu, oscilează. Amplitudinea acestor oscilații se modifică în timp, așa cum se arată în figură. Care pendul are masa cea mai mare?

C) Este imposibil să dai un răspuns, deoarece scara nu este stabilită de-a lungul axelor de coordonate și este imposibil să se efectueze calcule.

8 Care figură arată corect dependența coordonatei oscilațiilor amortizate într-un sistem cu frecare vâscoasă în timp?

A) 1; B) 2; IN 3; D) Toate graficele sunt corecte.

9 Stabiliți o corespondență între mărimile fizice care caracterizează amortizarea oscilațiilor în sistemele cu frecare vâscoasă, și definirea și semnificația lor fizică. Umple tabelul

A) Acesta este raportul amplitudinilor oscilațiilor după un timp egal cu perioada;

B) Acesta este logaritmul natural al raportului amplitudinilor de oscilație după un timp egal cu perioada;

C) Acesta este timpul în care amplitudinea oscilațiilor scade în e o singura data;

G) D) E)

G) Această valoare este reciproca numărului de oscilații, pentru care amplitudinea oscilațiilor scade în e o singura data;

H) Această valoare arată de câte ori scade amplitudinea oscilațiilor într-un timp egal cu perioada oscilațiilor.

10 Faceți o afirmație corectă.

Bunătatea înseamnă...

A) raportul dintre energia totală a sistemului E crescută cu un factor de 2p la energia W disipată într-o perioadă;

B) raportul amplitudinilor după o perioadă de timp egală cu perioada;

C) numărul de oscilații pe care le face sistemul în momentul în care amplitudinea scade de e ori.

Factorul de calitate este calculat conform formulei...

DAR) B) C)

Factorul de calitate al unui sistem oscilator depinde de...

A) energia sistemului;

B) pierderi de energie pentru perioada;

C) parametrii sistemului oscilator și frecarea în acesta.

Cu cât factorul de calitate al sistemului oscilator este mai mare, cu atât...

A) oscilaţiile se diminuează mai lent;

B) fluctuațiile se degradează mai repede.

11 Pendulul matematic este pus în mișcare oscilativă, deviând suspensia de la poziția de echilibru în primul caz cu 15°, în al doilea - cu 10°. În ce caz pendulul va face mai multe oscilații înainte de a se opri?

A) Când umerașul este deviat cu 15°;

B) Când umerașul este deviat cu 10°;

C) În ambele cazuri, pendulul va face același număr de oscilații.

12 bile cu aceeași rază sunt atașate la două fire de aceeași lungime - aluminiu și cupru. Pendulele sunt puse în mișcare oscilatoare, deviandu-le în aceleași unghiuri. Care dintre pendule va face cel mai mare număr de oscilații înainte de a se opri?

A) aluminiu; B) Cupru;

C) Ambele penduluri vor face același număr de oscilații.

13 Un pendul cu arc, situat pe o suprafață orizontală, a fost adus în oscilație prin întinderea arcului cu 9 cm.După efectuarea a trei oscilații complete, pendulul se afla la o distanță de 6 cm de poziția arcului neformat. Cât de departe de poziția arcului neformat va fi pendulul după următoarele trei oscilații?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm.

vibrații amortizate

Oscilații amortizate ale unui pendul cu arc

vibrații amortizate- fluctuații, a căror energie scade cu timpul. Un proces infinit continuu al speciilor este imposibil în natură. Oscilațiile libere ale oricărui oscilator se estompează mai devreme sau mai târziu și se opresc. Prin urmare, în practică, de obicei se ocupă de oscilații amortizate. Ele se caracterizează prin faptul că amplitudinea oscilațiilor A este o funcție descrescătoare. De obicei, amortizarea are loc sub acțiunea forțelor de rezistență ale mediului, cel mai adesea exprimată ca o dependență liniară de viteza oscilațiilor sau pătratul acesteia.

În acustică: atenuare - reducerea nivelului semnalului până la inaudibilitate completă.

Oscilații amortizate ale unui pendul cu arc

Să existe un sistem format dintr-un arc (respectând legea lui Hooke), al cărui capăt este fixat rigid, iar pe celălalt există un corp de masă m. Oscilațiile apar într-un mediu în care forța de rezistență este proporțională cu viteza cu un coeficient c(vezi frecare vâscoasă).

Ale căror rădăcini se calculează prin următoarea formulă

Soluții

În funcție de valoarea coeficientului de atenuare, soluția este împărțită în trei opțiuni posibile.

• aperiodicitatea

Dacă , atunci există două rădăcini reale, iar soluția ecuației diferențiale ia forma:

În acest caz, oscilațiile scad exponențial de la bun început.

• Limită de aperiodicitate

Dacă , cele două rădăcini reale sunt aceleași, iar soluția ecuației este:

În acest caz, poate exista o creștere temporară, dar apoi o decădere exponențială.

• Atenuare slabă

Dacă , atunci soluția ecuației caracteristice sunt două rădăcini complexe conjugate

Atunci soluția ecuației diferențiale inițiale este

Unde este frecvența naturală a oscilațiilor amortizate.

Constantele și în fiecare dintre cazuri sunt determinate din condițiile inițiale:

Vezi si

• Scăderea amortizarii

Literatură

Lit.: Saveliev I. V., Curs de fizică generală: mecanică, 2001.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce înseamnă „oscilații amortizate” în alte dicționare:

vibrații amortizate- Vibrații amortizate. OSCILAȚII DE DAMA, vibrații a căror amplitudine A scade în timp din cauza pierderilor de energie: conversia energiei de vibrație în căldură ca urmare a frecării în sistemele mecanice (de exemplu, la un punct de suspensie ... ... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

Oscilații naturale, a căror amplitudine A scade odată cu timpul t conform legii exponențiale А(t) = Аоexp (?t) (? indicele de amortizare datorat disipării de energie datorată forțelor de frecare vâscoase pentru oscilații mecanice amortizate și ohmice ... . .. Dicţionar enciclopedic mare

Fluctuații, a căror amplitudine scade treptat, de exemplu. oscilații ale unui pendul care experimentează rezistența aerului și frecarea în suspensie. Toate vibrațiile libere care apar în natură sunt, într-o măsură mai mare sau mai mică, Z. K. Electric Z. K. ... ... Dicționar marin

oscilații amortizate- Vibrații mecanice cu valori ale intervalului coordonatei generalizate sau derivatei acesteia în timp descrescătoare în timp. [Culegere de termeni recomandați. Problema 106. Vibrații mecanice. Academia de Științe a URSS. Comitetul științific și tehnic ...... Manualul Traducătorului Tehnic

vibrații amortizate- (VIBRAȚII) fluctuații (vibrații) cu valori în scădere de la vârf la vârf... Enciclopedia rusă a protecției muncii

Oscilații naturale ale sistemului, a căror amplitudine A scade cu timpul t conform legii exponențiale A(t) = A0exp(?α t) (indicele de amortizare α) datorită disipării de energie datorată forțelor de frecare vâscoase pentru oscilații mecanice amortizate și ohmic ...... Dicţionar enciclopedic

vibrații amortizate- 31. Oscilații amortizate Oscilații cu valori de amplitudine descrescătoare Sursa... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Oscilații naturale ale sistemului, amplitudinea A k ryh scade cu timpul t conform legii exponențiale A (t) = Aoeexp (at) (un indice de amortizare) datorită disipării de energie datorată forțelor de frecare vâscoase pentru mecanic. 3. la și rezistența ohmică pentru el ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

oscilații amortizate- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. oscilație amortizată vok. gedämpfte Schwingung, f rus. oscilaţii amortizate, n pranc. amortizări de oscilații, f; oscilații décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

oscilații amortizate- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. oscilații amortizate; vibrații amortizate; oscilații muritoare vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. oscilaţii amortizate, n pranc. amortizări de oscilații, f … Fizikos terminų žodynas