Pentru a rezolva exemple cu fracții, trebuie să puteți găsi cel mai mic numitor comun. Mai jos este o instrucțiune detaliată.

Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - concept

Cel mai mic numitor comun (LCD) în cuvinte simple este numărul minim care este divizibil cu numitorii tuturor fracțiilor dintr-un exemplu dat. Cu alte cuvinte, se numește cel mai mic multiplu comun (LCM). NOZ este folosit numai dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți.

Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - exemple

Să luăm în considerare exemple de găsire a NOZ.

Calculați: 3/5 + 2/15.

Soluție (secvență de acțiuni):

• Ne uităm la numitorii fracțiilor, ne asigurăm că sunt diferiți și expresiile sunt reduse cât mai mult posibil.
• Găsim cel mai mic număr care este divizibil atât cu 5, cât și cu 15. Acest număr va fi 15. Astfel, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Ne-am dat seama de numitorul. Ce va fi la numărător? Un multiplicator suplimentar ne va ajuta să înțelegem acest lucru. Un factor suplimentar este numărul obținut prin împărțirea NOZ la numitorul unei anumite fracții. Pentru 3/5, factorul suplimentar este 3, deoarece 15/5 = 3. Pentru a doua fracție, factorul suplimentar este 1, deoarece 15/15 = 1.
• După ce am aflat factorul suplimentar, îl înmulțim cu numărătorii fracțiilor și adunăm valorile rezultate. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Răspuns: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Dacă în exemplu se adună sau se scad nu 2, ci 3 sau mai multe fracții, atunci NOZ trebuie căutat atâtea fracții câte sunt date.

Calculați: 1/2 - 5/12 + 3/6

Soluție (secvență de acțiuni):

• Găsirea celui mai mic numitor comun. Numărul minim divizibil cu 2, 12 și 6 este 12.
• Se obține: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Căutăm multiplicatori suplimentari. Pentru 1/2 - 6; pentru 5/12 - 1; pentru 3/6 - 2.
• Înmulțim cu numărători și atribuim semnele corespunzătoare: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Raspuns: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Când se adună și se scad fracții algebrice cu numitori diferiți, fracțiile duc mai întâi la numitor comun. Aceasta înseamnă că ei găsesc un astfel de numitor unic, care este împărțit la numitorul original al fiecărei fracții algebrice care face parte din această expresie.

După cum știți, dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (sau împărțite) cu același număr, altul decât zero, atunci valoarea fracției nu se va modifica. Aceasta este proprietatea principală a unei fracții. Prin urmare, atunci când fracțiile conduc la un numitor comun, de fapt, numitorul inițial al fiecărei fracții este înmulțit cu factorul lipsă la un numitor comun. În acest caz, este necesar să se înmulțească cu acest factor și cu numărătorul fracției (este diferit pentru fiecare fracție).

De exemplu, având în vedere următoarea sumă de fracții algebrice:

Este necesar să simplificați expresia, adică să adăugați două fracții algebrice. Pentru a face acest lucru, în primul rând, este necesar să reduceți termenii-fracții la un numitor comun. Primul pas este să găsiți un monom care este divizibil cu 3x și 2y. În acest caz, este de dorit ca acesta să fie cel mai mic, adică să găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) pentru 3x și 2y.

Pentru coeficienți numerici și variabile, LCM este căutat separat. LCM(3, 2) = 6 și LCM(x, y) = xy. În plus, valorile găsite sunt înmulțite: 6xy.

Acum trebuie să determinăm cu ce factor trebuie să înmulțim 3x pentru a obține 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Aceasta înseamnă că atunci când se reduce prima fracție algebrică la un numitor comun, numărătorul ei trebuie înmulțit cu 2y (numitorul a fost deja înmulțit când a fost redus la un numitor comun). Factorul pentru numărătorul celei de-a doua fracții este căutat în mod similar. Va fi egal cu 3x.

Astfel, obținem:

În plus, este deja posibil să acționați ca și cu fracții cu aceiași numitori: numărătorii se adună și unul comun este scris în numitor:

După transformări, se obține o expresie simplificată, care este o fracție algebrică, care este suma a două fracțiuni originale:

Fracțiile algebrice din expresia originală pot conține numitori care sunt mai degrabă polinoame decât monomii (ca în exemplul de mai sus). În acest caz, înainte de a găsi un numitor comun, factorizați numitorii (dacă este posibil). În plus, numitorul comun este colectat din diferiți factori. Dacă factorul este în mai mulți numitori inițiali, atunci este luat o dată. Dacă factorul are grade diferite în numitorii originali, atunci este luat cu unul mai mare. De exemplu:

Aici polinomul a 2 - b 2 poate fi reprezentat ca produs (a - b)(a + b). Factorul 2a – 2b este extins ca 2(a – b). Astfel, numitorul comun va fi egal cu 2(a - b)(a + b).

Pentru a aduce fracțiile la cel mai mic numitor comun, trebuie: 1) să găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții, acesta va fi cel mai mic numitor comun. 2) găsiți un factor suplimentar pentru fiecare dintre fracții, pentru care împărțim noul numitor la numitorul fiecărei fracții. 3) înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.

Exemple. Reduceți următoarele fracții la cel mai mic numitor comun.

Găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor: LCM(5; 4) = 20, deoarece 20 este cel mai mic număr care este divizibil atât cu 5, cât și cu 4. Găsim pentru prima fracție un factor suplimentar 4 (20). : 5=4). Pentru a doua fracție, multiplicatorul suplimentar este 5 (20 : 4=5). Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 4, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 5. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 20 ).

Cel mai mic numitor comun al acestor fracții este 8, deoarece 8 este divizibil cu 4 și cu el însuși. Nu va exista un multiplicator suplimentar pentru prima fracție (sau putem spune că este egal cu unu), pentru a doua fracție multiplicatorul suplimentar este 2 (8 : 4=2). Înmulțim numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 2. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 8 ).

Aceste fracții nu sunt ireductibile.

Reducem prima fracție cu 4 și reducem a doua fracție cu 2. ( vezi exemple despre reducerea fracțiilor obișnuite: Harta site-ului → 5.4.2. Exemple de reducere a fracțiilor obișnuite). Găsiți LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Multiplicatorul suplimentar pentru prima fracție este 5 (80 : 16=5). Multiplicatorul suplimentar pentru a doua fracție este 4 (80 : 20=4). Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 5, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 4. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 80 ).

Găsiți cel mai mic numitor comun al NOC(5 ; 6 și 15) = LCM(5 ; 6 și 15)=30. Multiplicatorul suplimentar pentru prima fracție este 6 (30 : 5=6), multiplicatorul suplimentar pentru a doua fracție este 5 (30 : 6=5), multiplicatorul suplimentar pentru a treia fracție este 2 (30 : 15=2). Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 6, numărătorul și numitorul celei de-a 2-a fracții cu 5, numărătorul și numitorul celei de-a 3-a fracții cu 2. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 30 ).

Pagina 1 din 1 1

Numitorul unei fracții aritmetice a/b este numărul b, care arată dimensiunea fracțiilor unei unități care alcătuiesc fracția. Numitorul unei fracții algebrice A / B este o expresie algebrică B. Pentru a efectua operații aritmetice cu fracții, acestea trebuie reduse la cel mai mic numitor comun.

Vei avea nevoie

• Pentru a lucra cu fracții algebrice atunci când găsiți cel mai mic numitor comun, trebuie să cunoașteți metodele de factorizare a polinoamelor.

Instruire

Luați în considerare reducerea la cel mai mic numitor comun a două fracții aritmetice n/m și s/t, unde n, m, s, t sunt numere întregi. Este clar că aceste două fracții pot fi reduse la orice numitor divizibil cu m și t. Dar încearcă să aducă la cel mai mic numitor comun. Este egal cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor m și t ai fracțiilor date. Cel mai mic multiplu (LCM) de numere este cel mai mic care este divizibil cu toate numerele date în același timp. Acestea. în cazul nostru, este necesar să găsim cel mai mic multiplu comun al numerelor m și t. Notat ca LCM (m, t). În plus, fracțiile sunt înmulțite cu cele corespunzătoare: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Să găsim cel mai mic numitor comun al trei fracții: 4/5, 7/8, 11/14. Mai întâi, extindem numitorii 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Apoi, calculăm LCM (5, 8, 14), înmulțirea tuturor numerelor incluse în cel puțin una dintre expansiuni. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Rețineți că dacă factorul apare în expansiunea mai multor numere (factorul 2 în extinderea numitorilor 8 și 14), atunci luăm factorul la un grad mai mare (2^3 în cazul nostru).

Deci, generalul este primit. Este egal cu 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Aici obținem numerele cu care trebuie înmulțite fracțiile cu numitorii corespunzători pentru a le aduce la cel mai mic numitor comun. Obținem 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Reducerea la cel mai mic numitor comun al fracțiilor algebrice se realizează prin analogie cu aritmetica. Pentru claritate, luați în considerare problema pe un exemplu. Să fie date două fracții (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) și (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Să factorizăm ambii numitori. Rețineți că numitorul primei fracții este un pătrat perfect: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Pentru

În această lecție, ne vom uita la reducerea fracțiilor la un numitor comun și vom rezolva probleme pe această temă. Să dăm o definiție a conceptului de numitor comun și a unui factor suplimentar, amintiți-vă despre numerele coprime. Să definim conceptul de cel mai mic numitor comun (LCD) și să rezolvăm o serie de probleme pentru a-l găsi.

Subiect: Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Lecția: Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Repetiţie. Proprietatea de bază a fracției.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, atunci se va obține o fracție egală cu acesta.

De exemplu, numărătorul și numitorul unei fracții pot fi împărțite la 2. Obținem o fracție. Această operație se numește reducerea fracției. De asemenea, puteți efectua transformarea inversă prin înmulțirea numărătorului și numitorului fracției cu 2. În acest caz, spunem că am redus fracția la un nou numitor. Numărul 2 se numește factor suplimentar.

Concluzie. O fracție poate fi redusă la orice numitor care este un multiplu al numitorului fracției date. Pentru a aduce o fracție la un nou numitor, numărătorul și numitorul acesteia sunt înmulțite cu un factor suplimentar.

1. Aduceți fracția la numitorul 35.

Numărul 35 este un multiplu al lui 7, adică 35 e divizibil cu 7 fără rest. Deci această transformare este posibilă. Să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, împărțim 35 la 7. Obținem 5. Înmulțim numărătorul și numitorul fracției inițiale cu 5.

2. Aduceți fracția la numitorul 18.

Să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, împărțim noul numitor la cel original. Obținem 3. Înmulțim numărătorul și numitorul acestei fracții cu 3.

3. Aduceți fracția la numitorul 60.

Împărțind 60 la 15, obținem un multiplicator suplimentar. Este egal cu 4. Să înmulțim numărătorul și numitorul cu 4.

4. Aduceți fracția la numitorul 24

În cazuri simple, reducerea la un nou numitor se realizează în minte. Se obișnuiește să se indice doar un factor suplimentar în spatele parantezei puțin la dreapta și deasupra fracției inițiale.

O fracție poate fi redusă la un numitor de 15 și o fracție poate fi redusă la un numitor de 15. Fracțiile au un numitor comun de 15.

Numitorul comun al fracțiilor poate fi orice multiplu comun al numitorilor acestora. Pentru simplitate, fracțiile sunt reduse la cel mai mic numitor comun. Este egal cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor date.

Exemplu. Reduceți la cel mai mic numitor comun al fracției și .

Mai întâi, găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții. Acest număr este 12. Să găsim un factor suplimentar pentru prima și a doua fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim 12 la 4 și la 6. Trei este un factor suplimentar pentru prima fracție și doi pentru a doua. Aducem fracțiile la numitorul 12.

Am redus fracțiile la un numitor comun, adică am găsit fracții care sunt egale cu ele și au același numitor.

Regulă. Pentru a aduce fracțiile la cel mai mic numitor comun,

Mai întâi, găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții, care va fi cel mai mic numitor comun al acestora;

În al doilea rând, împărțiți cel mai mic numitor comun la numitorii acestor fracții, adică găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție.

În al treilea rând, înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.

a) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Cel mai mic numitor comun este 12. Factorul suplimentar pentru prima fracție este 4, pentru a doua - 3. Aducem fracțiile la numitorul 24.

b) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Cel mai mic numitor comun este 45. Împărțind 45 la 9 la 15, obținem 5 și, respectiv, 3. Aducem fracțiile la numitorul 45.

c) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Numitorul comun este 24. Factorii suplimentari sunt 2, respectiv 3.

Uneori este dificil să găsiți verbal cel mai mic multiplu comun pentru numitorii fracțiilor date. Apoi numitorul comun și factorii suplimentari se găsesc prin factorizarea în factori primi.

Reduceți la un numitor comun al fracției și .

Să descompunem numerele 60 și 168 în factori primi. Să scriem expansiunea numărului 60 și să adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din a doua expansiune. Înmulțiți 60 cu 14 și obțineți un numitor comun de 840. Factorul suplimentar pentru prima fracție este 14. Factorul suplimentar pentru a doua fracție este 5. Să reducem fracțiile la un numitor comun de 840.

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. si altele.Matematica 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Sarcini pentru cursul de matematică clasa 5-6. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii clasei a VI-a ai școlii de corespondență MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. si altele.Matematica: Un manual-interlocutor pentru clasele 5-6 de liceu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.

Puteți descărca cărțile specificate în clauza 1.2. această lecție.

Teme pentru acasă

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. si altele.Matematica 6. - M .: Mnemozina, 2012. (vezi link 1.2)

Teme: Nr. 297, Nr. 298, Nr. 300.

Alte sarcini: #270, #290