Lecția video „Simplificarea expresiilor trigonometrice” este concepută pentru a forma abilitățile elevilor în rezolvarea problemelor trigonometrice folosind identitățile trigonometrice de bază. În timpul lecției video sunt luate în considerare tipuri de identități trigonometrice, exemple de rezolvare a problemelor folosindu-le. Folosind mijloace vizuale, profesorului îi este mai ușor să atingă obiectivele lecției. O prezentare vie a materialului contribuie la memorarea punctelor importante. Utilizarea efectelor de animație și interpretarea vocală vă permit să înlocuiți complet profesorul în etapa de explicare a materialului. Astfel, folosind acest ajutor vizual în lecțiile de matematică, profesorul poate crește eficiența predării.

La începutul lecției video se anunță subiectul acesteia. Apoi se reamintesc identitățile trigonometrice studiate mai devreme. Ecranul afișează egalitățile sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, unde t≠π/2+πk pentru kϵZ, ctg t=cos t/sin t, adevărat pentru t≠πk, unde kϵZ, tan t · ctg t=1, la t≠πk/2, unde kϵZ, numite identități trigonometrice de bază. Se remarcă faptul că aceste identități sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor în care este necesară demonstrarea egalității sau simplificarea expresiei.

În plus, sunt luate în considerare exemple de aplicare a acestor identități în rezolvarea problemelor. În primul rând, se propune să se ia în considerare rezolvarea problemelor de simplificare a expresiilor. În exemplul 1, este necesară simplificarea expresiei cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Pentru a rezolva exemplul, factorul comun cos 2 t este mai întâi parantezat. Ca urmare a unei astfel de transformări în paranteze, se obține expresia 1-cos 2 t, a cărei valoare din identitatea de bază a trigonometriei este egală cu sin 2 t. După transformarea expresiei, este evidentă posibilitatea de a deriva încă un factor comun sin 2 t din paranteze, după care expresia ia forma sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Din aceeași identitate de bază, deducem valoarea expresiei dintre paranteze egală cu 1. Ca urmare a simplificării, obținem cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

În exemplul 2, expresia cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) trebuie de asemenea simplificată. Deoarece costul expresiei este în numărătorii ambelor fracții, acesta poate fi inclus ca un factor comun. Apoi fracțiile dintre paranteze sunt reduse la un numitor comun prin înmulțirea (1- sint)(1+ sint). După reducerea termenilor similari, 2 rămâne la numărător și 1 - sin 2 t la numitor. În partea dreaptă a ecranului, este reamintită identitatea trigonometrică de bază sin 2 t+cos 2 t=1. Folosind-o găsim numitorul fracției cos 2 t. După reducerea fracției, obținem o formă simplificată a expresiei cost / (1- sint) + cost / (1 + sint) \u003d 2 / cost.

În continuare, luăm în considerare exemple de demonstrare a identităților în care se aplică cunoștințele dobândite despre identitățile de bază ale trigonometriei. În Exemplul 3, este necesar să se dovedească identitatea (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Partea dreaptă a ecranului afișează trei identități care vor fi necesare pentru demonstrație - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t și tg t=sin t/cos t cu restricții. Pentru a demonstra identitatea, se deschid mai întâi parantezele, după care se formează un produs care reflectă expresia identității trigonometrice principale tg t·ctg t=1. Apoi, conform identității din definiția cotangentei, se transformă ctg 2 t. Ca urmare a transformărilor se obţine expresia 1-cos 2 t. Folosind identitatea de bază, găsim valoarea expresiei. Astfel, se demonstrează că (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

În exemplul 4, trebuie să găsiți valoarea expresiei tg 2 t+ctg 2 t dacă tg t+ctg t=6. Pentru a evalua expresia, laturile dreapta și stânga ale ecuației (tg t+ctg t) 2 =6 2 sunt mai întâi la pătrat. Formula de înmulțire abreviată este afișată în partea dreaptă a ecranului. După deschiderea parantezelor din partea stângă a expresiei se formează suma tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, pentru transformarea căreia se poate aplica una dintre identitățile trigonometrice tg t ctg t=1, a cărui formă este amintită în partea dreaptă a ecranului. După transformare se obţine egalitatea tg 2 t+ctg 2 t=34. Partea stângă a egalității coincide cu condiția problemei, deci răspunsul este 34. Problema este rezolvată.

Lecția video „Simplificarea expresiilor trigonometrice” este recomandată pentru utilizare într-o lecție de matematică școlară tradițională. De asemenea, materialul va fi util unui profesor care oferă învățământ la distanță. Pentru a forma o deprindere de rezolvare a problemelor trigonometrice.

INTERPRETAREA TEXTULUI:

„Simplificarea expresiilor trigonometrice”.

Egalitate

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus pătrat te plus cosinus pătrat te este egal cu unu)

2) tgt =, la t ≠ + πk, kϵZ (tangenta lui te este egală cu raportul dintre sinusul lui te și cosinusul lui te când te nu este egal cu pi cu doi plus pi ka, ka aparține lui zet)

3) ctgt = , la t ≠ πk, kϵZ (cotangenta lui te este egală cu raportul dintre cosinusul lui te și sinusul lui te când te nu este egal cu vârful lui ka, care aparține lui z).

4) tgt ∙ ctgt = 1 pentru t ≠ , kϵZ

se numesc identități trigonometrice de bază.

Adesea sunt folosite pentru simplificarea și demonstrarea expresiilor trigonometrice.

Luați în considerare exemple de utilizare a acestor formule atunci când simplificați expresiile trigonometrice.

EXEMPLU 1. Simplificați expresia: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expresie a cosinus la pătrat te minus cosinus al patrulea grad al lui te plus sinus al patrulea grad al lui te).

Decizie. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(se scoate factorul comun cosinus te pătrat, între paranteze avem diferența dintre unitate și pătratul cosinus te, care este egal cu pătratul sinusului te prin prima identitate. Obținem suma sinusului celei de-a patra gradul te al produsului cosinus pătrat te și sinus pătrat te. Factorul comun sinus pătrat te va fi scos în afara parantezei, între paranteze obținem suma pătratelor cosinusului și sinusului, care, conform trigonometricului de bază identitate, este egal cu 1. Ca rezultat, obținem pătratul sine te).

EXEMPLU 2. Simplificați expresia: + .

(expresia să fie suma a două fracții la numărătorul primului cosinus te la numitorul unu minus sine te, la numărătorul celui de-al doilea cosinus te la numitorul celui de-al doilea plus sinus te).

(Să scoatem factorul comun cosinus te din paranteze, iar între paranteze să-l aducem la un numitor comun, care este produsul dintre unu minus sine te cu unu plus sinus te.

La numărător obținem: unu plus sine te plus unu minus sine te, dăm similare, numărătorul este egal cu doi după ce aducem altele asemănătoare.

La numitor, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate) și puteți obține diferența dintre unitatea și pătratul sine te, care, conform identității trigonometrice de bază

este egal cu pătratul cosinusului te. După reducerea cu cosinus te, obținem răspunsul final: doi împărțiți la cosinus te).

Luați în considerare exemple de utilizare a acestor formule în demonstrarea expresiilor trigonometrice.

EXEMPLU 3. Demonstrați identitatea (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (produsul diferenței dintre pătratele tangentei lui te și sinusul lui te și pătratul cotangentei lui te este egal cu pătratul sinusului lui te).

Dovada.

Să transformăm partea stângă a egalității:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Să deschidem parantezele, din relația obținută anterior se știe că produsul dintre pătratele tangentei lui te cu cotangentei lui te este egal cu unu. Reamintim că cotangentei lui te este egală cu raportul cosinusului lui te la sinusul lui te, ceea ce înseamnă că pătratul cotangentei este raportul dintre pătratul cosinusului lui te și pătratul sinusului lui te.

După reducerea cu pătratul sinus al lui te, obținem diferența dintre unitate și cosinusul pătratului lui te, care este egal cu sinusul pătratului lui te). Q.E.D.

EXEMPLU 4. Aflați valoarea expresiei tg 2 t + ctg 2 t dacă tgt + ctgt = 6.

(suma pătratelor tangentei lui te și cotangentei lui te, dacă suma tangentei și cotangentei este șase).

Decizie. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Să punem la pătrat ambele părți ale egalității inițiale:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (pătratul sumei tangentei lui te și cotangentei lui te este șase pătrat). Reamintim formula de înmulțire prescurtată: Pătratul sumei a două cantități este egal cu pătratul primei plus de două ori produsul primei și al doilea plus pătratul celei de-a doua. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Se obține tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Deoarece produsul tangentei lui te și cotangentei lui te este egal cu unu, atunci tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (suma pătratelor tangentei lui te și cotangentei lui te și doi este treizeci și șase),

Lectia 1

Subiect: Nota a 11-a (pregatire pentru examen)

Simplificarea expresiilor trigonometrice.

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. (2 ore)

Obiective:

• Sistematizați, generalizați, extindeți cunoștințele și deprinderile elevilor legate de utilizarea formulelor de trigonometrie și de rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Echipament pentru lecție:

Structura lecției:

1. Orgmoment
2. Testare pe laptopuri. Discuția rezultatelor.
3. Simplificarea expresiilor trigonometrice
4. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice
5. Muncă independentă.
6. Rezumatul lecției. Explicația temelor pentru acasă.

1. Moment organizatoric. (2 minute.)

Profesorul salută publicul, anunță tema lecției, reamintește că sarcina a fost dată anterior de a repeta formulele de trigonometrie și îi pregătește pe elevi pentru testare.

2. Testare. (15min + 3min discuție)

Scopul este de a testa cunoștințele formulelor trigonometrice și capacitatea de a le aplica. Fiecare elev are pe birou un laptop în care există o variantă de testare.

Pot exista orice număr de opțiuni, voi da un exemplu al uneia dintre ele:

eu optiunea.

Simplificați expresiile:

a) identități trigonometrice de bază

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule de adunare

3. sin5x - sin3x;

c) transformarea unui produs într-o sumă

6. 2sin8y cos3y;

d) formule cu unghi dublu

7.2sin5x cos5x;

e) formule de jumătate de unghi

f) formule cu unghiuri triple

g) substituţie universală

h) scăderea gradului

16. cos 2 (3x/7);

Elevii pe un laptop în fața fiecărei formule își văd răspunsurile.

Lucrarea este verificată instantaneu de computer. Rezultatele sunt afișate pe un ecran mare pentru ca toată lumea să le vadă.

De asemenea, după terminarea lucrării, răspunsurile corecte sunt afișate pe laptopurile elevilor. Fiecare elev vede unde a fost greșeala și ce formule trebuie să repete.

3. Simplificarea expresiilor trigonometrice. (25 min.)

Scopul este de a repeta, de a elabora și de a consolida aplicarea formulelor de bază ale trigonometriei. Rezolvarea problemelor B7 de la examen.

În această etapă, este recomandabil să se împartă clasa în grupuri de elevi puternici (lucrează independent cu verificarea ulterioară) și elevi slabi care lucrează cu profesorul.

Temă pentru studenți puternici (pregătită în prealabil pe o bază tipărită). Accentul principal este pus pe formulele de reducere și unghi dublu, conform USE 2011.

Simplificați expresiile (pentru cursanții puternici):

În paralel, profesorul lucrează cu elevi slabi, discutând și rezolvând sarcini pe ecran sub dictarea elevilor.

Calculati:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Simplifica:

A venit rândul să discutăm rezultatele muncii grupului puternic.

Pe ecran apar răspunsuri și, de asemenea, cu ajutorul unei camere video, este afișată munca a 5 elevi diferiți (câte o sarcină pentru fiecare).

Grupul slab vede starea și metoda soluției. Există discuții și analize. Cu ajutorul mijloacelor tehnice, acest lucru se întâmplă rapid.

4. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. (30 minute.)

Scopul este de a repeta, sistematiza și generaliza soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, înregistrându-le rădăcinile. Rezolvarea problemei B3.

Orice ecuație trigonometrică, indiferent cum o rezolvăm, duce la cea mai simplă.

La finalizarea temei, elevii ar trebui să acorde atenție scrierii rădăcinilor ecuațiilor din cazuri particulare și formei generale și selectării rădăcinilor din ultima ecuație.

Rezolvarea ecuațiilor:

Notează cea mai mică rădăcină pozitivă a răspunsului.

5. Munca independentă (10 min.)

Scopul este de a testa abilitățile dobândite, de a identifica probleme, erori și modalități de a le elimina.

O varietate de lucrări este oferită la alegerea studentului.

Opțiune pentru „3”

1) Aflați valoarea expresiei

2) Simplificați expresia 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rezolvați ecuația

Opțiune pentru „4”

1) Aflați valoarea expresiei

2) Rezolvați ecuația Notează cea mai mică rădăcină pozitivă a răspunsului tău.

Opțiune pentru „5”

1) Aflați tgα dacă

2) Găsiți rădăcina ecuației Notează cea mai mică rădăcină pozitivă a răspunsului tău.

6. Rezumatul lecției (5 min.)

Profesorul rezumă faptul că lecția a repetat și consolidat formulele trigonometrice, soluția celor mai simple ecuații trigonometrice.

Temele sunt alocate (pregătite pe o bază tipărită în prealabil) cu o verificare la fața locului în lecția următoare.

Rezolvarea ecuațiilor:

9)

10) Dați răspunsul dvs. ca cea mai mică rădăcină pozitivă.

Lectia 2

Subiect: Nota a 11-a (pregatire pentru examen)

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Selectarea rădăcinilor. (2 ore)

Obiective:

• Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor privind rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de diferite tipuri.
• Pentru a promova dezvoltarea gândirii matematice a elevilor, capacitatea de a observa, compara, generaliza, clasifica.
• Încurajează elevii să depășească dificultățile în procesul de activitate mentală, la autocontrol, introspecția activităților lor.

Echipament pentru lecție: KRMu, laptopuri pentru fiecare student.

Structura lecției:

1. Orgmoment
2. Discuție d/s și samot. lucrarea ultimei lecţii
3. Repetarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice
5. Selectarea rădăcinilor în ecuații trigonometrice.
6. Muncă independentă.
7. Rezumatul lecției. Teme pentru acasă.

1. Moment de organizare (2 min.)

Profesorul salută publicul, anunță tema lecției și planul de lucru.

2. a) Analiza temei (5 min.)

Scopul este de a verifica performanța. O lucrare cu ajutorul unei camere video este afișată pe ecran, restul sunt colectate selectiv pentru ca profesorul să le verifice.

b) Analiza muncii independente (3 min.)

Scopul este de a rezolva greșelile, de a indica modalități de a le depăși.

Pe ecran sunt răspunsurile și soluțiile, studenții și-au pre-editat lucrarea. Analiza merge rapid.

3. Repetarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice (5 min.)

Scopul este de a reaminti metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Întrebați elevii ce metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice cunosc. Subliniați că există așa-numitele metode de bază (utilizate frecvent):

• substituție variabilă,
• factorizare,
• ecuații omogene,

și există metode aplicate:

• conform formulelor de conversie a unei sume într-un produs și a unui produs într-o sumă,
• prin formulele de reducere,
• substituție trigonometrică universală
• introducerea unui unghi auxiliar,
• înmulțirea cu o funcție trigonometrică.

De asemenea, trebuie amintit că o ecuație poate fi rezolvată în moduri diferite.

4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice (30 min.)

Scopul este generalizarea și consolidarea cunoștințelor și abilităților pe această temă, pregătirea pentru rezolvarea C1 din USE.

Consider că este oportun să rezolvăm ecuații pentru fiecare metodă împreună cu studenții.

Elevul dictează soluția, profesorul notează pe tabletă, întregul proces este afișat pe ecran. Acest lucru vă va permite să restaurați rapid și eficient materialul acoperit anterior din memorie.

Rezolvarea ecuațiilor:

1) modificarea variabilei 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorizare 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ecuații omogene sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertirea sumei în produsul cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertirea produsului la suma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) scăderea gradului de sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substituție trigonometrică universală sinx + 5cosx + 5 = 0.

La rezolvarea acestei ecuații, trebuie remarcat faptul că utilizarea acestei metode duce la o îngustare a domeniului de definiție, deoarece sinusul și cosinusul sunt înlocuite cu tg(x/2). Prin urmare, înainte de a scrie răspunsul, trebuie să verificați dacă numerele din mulțimea π + 2πn, n Z sunt cai ai acestei ecuații.

8) introducerea unui unghi auxiliar √3sinx + cosx - √2 = 0

9) înmulțirea cu o funcție trigonometrică cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Selectarea rădăcinilor ecuațiilor trigonometrice (20 min.)

Întrucât în ​​condițiile unei concurențe acerbe la intrarea în universități, soluția unei prime părți a examenului nu este suficientă, majoritatea studenților ar trebui să acorde atenție sarcinilor din partea a doua (C1, C2, C3).

Prin urmare, scopul acestei etape a lecției este acela de a reaminti materialul studiat anterior, de pregătire pentru rezolvarea problemei C1 de la USE din 2011.

Există ecuații trigonometrice în care trebuie să selectați rădăcinile atunci când scrieți răspunsul. Acest lucru se datorează unor restricții, de exemplu: numitorul unei fracții nu este egal cu zero, expresia de sub rădăcina unui grad par este nenegativă, expresia de sub semnul logaritmului este pozitivă etc.

Astfel de ecuații sunt considerate a fi ecuații de complexitate crescută, iar în versiunea USE se află în partea a doua și anume C1.

Rezolvați ecuația:

Fracția este zero dacă atunci folosind cercul unitar, vom selecta rădăcinile (vezi Figura 1)

Poza 1.

obținem x = π + 2πn, n Z

Răspuns: π + 2πn, n Z

Pe ecran, selecția rădăcinilor este afișată pe un cerc într-o imagine color.

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar arcul, în același timp, nu își pierde sensul. Apoi

Folosind cercul unității, selectați rădăcinile (vezi Figura 2)