Piramidă se numește poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale tetraedru .
Coastă laterală piramida se numeste latura fetei laterale care nu apartine bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotemă . secțiune diagonală O secțiune a unei piramide se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.
Suprafata laterala piramida se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata intreaga este suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.
Teoreme
1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.
2. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.
3. Dacă în piramidă toate fețele sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în bază.
Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula este corectă:
Unde V- volum;
S principal- suprafata de baza;
H este înălțimea piramidei.
Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt adevărate:
Unde p- perimetrul bazei;
h a- apotema;
H- inaltime;
S plin
partea S
S principal- suprafata de baza;
V este volumul unei piramide regulate.
trunchi de piramidă numită porțiunea piramidei cuprinsă între bază și planul de tăiere paralelă cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată corectă numită parte a unei piramide regulate, închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.
Fundamente trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale - trapez. Înălţime piramida trunchiată se numește distanța dintre bazele sale. Diagonală O piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. secțiune diagonală O secțiune a unei piramide trunchiate se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.
Pentru o piramidă trunchiată, formulele sunt valabile:
(4)
Unde S 1 , S 2 - zone ale bazelor superioare și inferioare;
S plin este suprafața totală;
partea S este aria suprafeței laterale;
H- inaltime;
V este volumul piramidei trunchiate.
Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, următoarea formulă este adevărată:
Unde p 1 , p 2 - perimetre de bază;
h a- apotema unei piramide trunchiate regulate.
Exemplul 1Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul diedrul de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.
Decizie. Să facem un desen (Fig. 18).
 |
Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că baza este un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedrul de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar va fi unghiul Aîntre două perpendiculare: i.e. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumscris și cercul înscris în triunghi ABC). Unghiul de înclinare al nervurii laterale (de exemplu SB) este unghiul dintre muchia însăși și proiecția acesteia pe planul de bază. Pentru coastă SB acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEși OB. Fie lungimea segmentului BD este 3 A. punct O segment de linie BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: 
Din găsim: 
Răspuns:
Exemplul 2 Găsiți volumul unei piramide patrulatere trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt cm și cm și înălțimea este de 4 cm.
Decizie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi zonele bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt de 2 cm, respectiv 8 cm. Aceasta înseamnă ariile bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:
Răspuns: 112 cmc.
Exemplul 3 Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.
Decizie. Să facem un desen (Fig. 19).
Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți bazele și înălțimea. Bazele sunt date după condiție, doar înălțimea rămâne necunoscută. Găsește-l de unde DAR 1 E perpendicular de la un punct DAR 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D- perpendicular de la DAR 1 pe AC. DAR 1 E\u003d 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. Pentru găsire DE vom realiza un desen suplimentar, în care vom reprezenta o vedere de sus (Fig. 20). Punct O- proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine este raza cercului înscris și 
OM este raza cercului înscris:
MK=DE.
Conform teoremei lui Pitagora din
Zona feței laterale: 
Răspuns:
Exemplul 4 La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze Ași b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.
Decizie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD este egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.
Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct O- proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul de bază. Conform teoremei privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plate, obținem:
În mod similar, înseamnă 
Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Desenați un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct O este centrul unui cerc înscris într-un trapez.
Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Prin teorema lui Pitagora avem
Luați în considerare proprietățile piramidelor în care fețele laterale sunt perpendiculare pe bază.
În cazul în care un două fețe laterale adiacente ale unei piramide sunt perpendiculare pe bază, apoi marginea laterală comună a acestor fețe este înălțimea piramidei. Dacă sarcina spune asta marginea piramidei este înălțimea acesteia, atunci vorbim despre acest tip de piramide.
Fețele piramidei perpendiculare pe bază sunt triunghiuri dreptunghiulare.
Dacă baza piramidei este un triunghi
Suprafața laterală a unei astfel de piramide este în general căutată ca suma ariilor tuturor fețelor laterale.
Baza piramidei este o proiecție ortogonală a unei fețe care nu este perpendiculară pe bază (în acest caz, SBC). Deci, conform teoremei ariei de proiecție ortogonală, aria bazei este egală cu produsul dintre suprafața acestei fețe de cosinusul unghiului dintre ea și planul de bază.
Dacă baza piramidei este un triunghi dreptunghic
În acest caz toate fețele piramidei sunt triunghiuri dreptunghiulare.
Triunghiurile SAB și SAC sunt dreptunghiulare, deoarece SA este înălțimea piramidei. Triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic.
Faptul că triunghiul SBC este dreptunghic rezultă din teorema pe trei perpendiculare (AB este proiecția oblicului SB pe planul bazei. Deoarece AB este perpendicular pe BC prin condiție, atunci SB este și perpendicular pe BC ).
Unghiul dintre fața laterală SBC și bază în acest caz este unghiul ABS.
Aria suprafeței laterale este egală cu suma ariilor triunghiurilor dreptunghiulare:
Întrucât în acest caz
Dacă baza piramidei este un triunghi isoscel
În acest caz, unghiul dintre planul feței laterale BCS și planul bazei este unghiul AFS, unde AF este altitudinea, mediana și bisectoarea triunghiului isoscel ABC.
În mod similar - dacă la baza piramidei se află un triunghi echilateral ABC.
Dacă baza piramidei este un paralelogram
În acest caz, baza piramidei este o proiecție ortogonală a fețelor laterale care nu sunt perpendiculare pe bază.
Dacă împărțim baza în două triunghiuri, atunci
unde α și β sunt, respectiv, unghiurile dintre planurile ADS și CDS și planul de bază.
Dacă BF și BK sunt înălțimile paralelogramului, atunci unghiul BFS este unghiul de înclinare al feței laterale CDS față de planul de bază, iar unghiul BKS este unghiul de înclinare al feței ADS.
(desenul este realizat pentru cazul când B este un unghi obtuz).
Dacă baza piramidei este rombul ABCD, atunci unghiurile BFS și BKS sunt egale. Triunghiurile ABS și CBS, precum și ADS și CDS sunt de asemenea egale în acest caz.
Dacă baza piramidei este un dreptunghi
În acest caz, unghiul dintre planul feței laterale SAD și planul bazei este unghiul SAB,
iar unghiul dintre planul feței laterale SCD și planul bazei este unghiul SCB
(prin teorema celor trei perpendiculare).
Amintiți-vă: apotema este înălțimea feței laterale a piramidei, desenată de la vârf până la marginea bazei.
Teorema 5
. Dacă toate fețele laterale ale piramidei sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci un cerc poate fi înscris la baza unei astfel de piramide, iar înălțimea coborâtă de la vârf la bază cade în centrul cercul înscris în bază.
Această teoremă poate fi formulată și după cum urmează:
Teorema 5.1
. Dacă toate apotemele unei piramide sunt egale, atunci un cerc poate fi înscris la baza unei astfel de piramide, iar înălțimea coborâtă de la vârf la bază se încadrează în centrul cercului înscris în bază.
Să demonstrăm teorema folosind exemplul unei piramide patrulatere. Să fie dată piramida KABCD, K este vârful, ABCD este baza. Desenați înălțimea KO a piramidei. În fiecare față laterală, desenăm o înălțime de la vârful piramidei până la lateralul bazei. În planul bazei, conectăm punctul O (baza înălțimii) cu punctul bazelor acestor înălțimi - apotema. OP, OT, OM și OE sunt, respectiv, perpendiculare pe AB, BC, CD și AD (teorema celor trei perpendiculare). Prin definiție, unghiurile KRO, KTO, KMO, KEO sunt unghiurile liniare ale unghiurilor diedrice dintre fețele laterale corespunzătoare și baza ABCD. Înălțimea lui KO este perpendiculară pe bază, prin urmare este perpendiculară pe orice linie dreaptă din acest plan, adică perpendicular pe liniile drepte OR, OT, OM și OE. Aceasta spune că triunghiurile KRO, KTO, KMO, KEO sunt dreptunghiulare.
După condiție (Teorema 5), unghiurile KRO, KTO, KMO, KEO sunt egale. Luați în considerare triunghiurile KRO, KTO, KMO, KEO, acestea sunt dreptunghiulare și egale (de-a lungul catetei și unghiului ascuțit, KO este comun și unghiurile KRO, KTO, KMO, KEO sunt egale după condiție).
Prin condiție (teorema 5.1) KR, KT, KM și KE sunt egale, prin urmare triunghiurile KRO, KTO, KMO, KEO sunt dreptunghiulare și egale ca catete și ipotenuză.
Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că laturile lor respective OR, OT, OM și OE sunt egale, ceea ce înseamnă că există un punct în patrulaterul ABCD care este echidistant de laturile sale, adică un cerc poate fi înscris în el. .
Teorema 6
. Dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci un cerc poate fi descris lângă baza unei astfel de piramide, iar înălțimea coborâtă de la vârf la bază cade în centrul cercul descris lângă bază.
Această teoremă poate fi formulată și după cum urmează:
Teorema 6.1
. Dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale, atunci un cerc poate fi circumscris lângă baza unei astfel de piramide, iar înălțimea coborâtă de la vârf la bază cade în centrul cercului circumscris lângă bază. 
Să demonstrăm teorema folosind exemplul unei piramide patrulatere. Să fie dată piramida KABCD, K este vârful, ABCD este baza. Desenați înălțimea KO a piramidei. În planul bazei, conectați punctul O (baza înălțimii) cu toate vârfurile bazei A, B, C și D. Unghiul KBO este unghiul dintre muchia KB și planul bazei ( unghiul dintre linie și plan este unghiul dintre această dreaptă și proiecția ei pe acest plan) . În același mod, demonstrăm că unghiurile KSO, KAO și KDO sunt unghiurile formate de muchiile corespunzătoare KS, KA și KD cu planul de bază. Înălțimea lui KO este perpendiculară pe bază, prin urmare este perpendiculară pe orice linie dreaptă din acest plan, adică perpendicular pe liniile OA, OB, OC și OD. Aceasta spune că triunghiurile KAO, KBO, KCO, KDO sunt dreptunghiulare.
Unghiurile KVO, KSO, KAO și KDO sunt egale (în condițiile teoremei 6). Luați în considerare triunghiurile KAO, KBO, KSO, KDO, acestea sunt dreptunghiulare și egale (de-a lungul catetei și unghiului ascuțit, KO este comun și unghiurile KAO, KVO, KSO, KDO sunt egale prin condiție).
Demonstrând teorema 6.1, luăm în considerare și triunghiurile KAO, KBO, KCO, KDO, ele sunt dreptunghiulare și egale ca catete și ipotenuză (KO - comun, KA=KV=KS=KD după condiția teoremei).
Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că laturile lor respective OA, OB, OS și OD sunt egale, ceea ce înseamnă că există un punct la bază care este echidistant de vârfurile patrulaterului ABCD, adică un cerc poate fi circumscris. în jurul lui.
