Linii de ordinul doi.
Elipsa și ecuația ei canonică. Cerc

După un studiu amănunțit linii drepte pe plan continuăm să studiem geometria lumii bidimensionale. Miza este dublată și vă invit să vizitați pitoreasca galerie de elipse, hiperbole, parabole, care sunt reprezentanți tipici ai linii de ordinul doi. Turul a început deja și, mai întâi, o scurtă informare despre întreaga expoziție de la diferite etaje ale muzeului:

Conceptul de dreptă algebrică și ordinea acesteia

O linie pe un plan se numește algebric, dacă în sistem de coordonate afine ecuația sa are forma , unde este un polinom format din termeni de forma ( este un număr real, sunt numere întregi nenegative).

După cum puteți vedea, ecuația unei linii algebrice nu conține sinusuri, cosinusuri, logaritmi și alte frumoase monde funcționale. Doar „x” și „y” în întreg nenegativ grade.

Ordine de linie este egală cu valoarea maximă a termenilor incluși în acesta.

Conform teoremei corespunzătoare, conceptul de dreptă algebrică, precum și ordinea acesteia, nu depind de alegere sistem de coordonate afine, prin urmare, pentru ușurința de a fi, considerăm că toate calculele ulterioare au loc în coordonate carteziene.

Ecuația generală linia de ordinul doi are forma , unde sunt numere reale arbitrare (se obișnuiește să scrieți cu un multiplicator - „două”), iar coeficienții nu sunt simultan egali cu zero.

Dacă , atunci ecuația se simplifică la , iar dacă coeficienții nu sunt simultan egali cu zero, atunci acesta este exact ecuația generală a unei linii drepte „plate”., care reprezintă prima linie de comandă.

Mulți au înțeles sensul noilor termeni, dar, cu toate acestea, pentru a asimila materialul 100%, băgăm degetele în priză. Pentru a determina ordinea liniilor, repetați toți termenii ecuațiile sale și pentru fiecare dintre ele găsiți suma puterilor variabilele de intrare.

De exemplu:

termenul conține „x” până la gradul I;
termenul conține „Y” la puterea 1;
nu există variabile în termen, deci suma puterilor lor este zero.

Acum să ne dăm seama de ce ecuația stabilește linia al doilea Ordin:

termenul conține „x” în gradul II;
termenul are suma gradelor variabilelor: 1 + 1 = 2;
termenul conține „y” în gradul II;
toți ceilalți termeni - mai puțin grad.

Valoarea maximă: 2

Dacă adăugăm în plus la ecuația noastră, să spunem, , atunci va determina deja linia de ordine a treia. Este evident că forma generală a ecuației liniei de ordinul 3 conține un „mult complet” de termeni, suma gradelor de variabile în care este egală cu trei:
, unde coeficienții nu sunt simultan egali cu zero.

În cazul în care se adaugă unul sau mai mulți termeni potriviți care conțin , atunci vom vorbi despre linii de ordinul 4, etc.

Va trebui să ne ocupăm de linii algebrice de ordinul 3, 4 și superior de mai multe ori, în special, atunci când ne familiarizăm cu sistem de coordonate polare.

Cu toate acestea, să revenim la ecuația generală și să ne amintim cele mai simple variații școlare ale acesteia. Exemple sunt parabola, a cărei ecuație poate fi ușor redusă la o formă generală, și hiperbola cu o ecuație echivalentă. Cu toate acestea, nu totul este atât de lin ....

Un dezavantaj semnificativ al ecuației generale este că aproape întotdeauna nu este clar ce linie definește. Chiar și în cel mai simplu caz, nu îți vei da seama imediat că aceasta este o hiperbolă. Astfel de amenajări sunt bune numai la o mascarada, prin urmare, în cursul geometriei analitice, este considerată o problemă tipică reducerea ecuației liniei de ordinul 2 la forma canonică.

Care este forma canonică a unei ecuații?

Aceasta este forma standard acceptată în general a ecuației, când în câteva secunde devine clar ce obiect geometric definește. În plus, forma canonică este foarte convenabilă pentru rezolvarea multor sarcini practice. Deci, de exemplu, conform ecuației canonice „plat” drept, în primul rând, este imediat clar că aceasta este o linie dreaptă, iar în al doilea rând, punctul care îi aparține și vectorul de direcție sunt pur și simplu vizibile.

Evident, oricare Prima linie de comandă reprezintă o linie dreaptă. La etajul doi, nu ne mai așteaptă un portar, ci o companie mult mai diversă de nouă statui:

Clasificarea liniilor de ordinul doi

Cu ajutorul unui set special de acțiuni, orice ecuație de linie de ordinul doi este redusă la unul dintre următoarele tipuri:

(și sunt numere reale pozitive)

1) este ecuația canonică a elipsei;

2) este ecuația canonică a hiperbolei;

3) este ecuația canonică a parabolei;

4) – imaginar elipsă;

5) - o pereche de drepte care se intersectează;

6) - cuplu imaginar linii de intersectare (cu singurul punct real de intersecție la origine);

7) - o pereche de drepte paralele;

8) - cuplu imaginar linii paralele;

9) este o pereche de linii care coincid.

Unii cititori pot avea impresia că lista este incompletă. De exemplu, în paragraful numărul 7, ecuația stabilește perechea direct, paralel cu axa, și se pune întrebarea: unde este ecuația care determină dreptele paralele cu axa y? Raspunde nu este considerat canon. Liniile drepte reprezintă același caz standard rotit cu 90 de grade, iar o intrare suplimentară în clasificare este redundantă, deoarece nu conține nimic fundamental nou.

Astfel, există nouă și doar nouă tipuri diferite de linii de ordinul 2, dar în practică cele mai comune sunt elipsa, hiperbola si parabola.

Să ne uităm mai întâi la elipsă. Ca de obicei, mă concentrez asupra acelor puncte care sunt de mare importanță pentru rezolvarea problemelor, iar dacă aveți nevoie de o derivare detaliată a formulelor, demonstrații de teoreme, vă rugăm să consultați, de exemplu, manualul lui Bazylev / Atanasyan sau Aleksandrov.

Elipsa și ecuația ei canonică

Ortografie ... vă rugăm să nu repetați greșelile unor utilizatori Yandex care sunt interesați de „cum să construiți o elipsă”, „diferența dintre o elipsă și un oval” și „excentricitatea elbs”.

Ecuația canonică a unei elipse are forma , unde sunt numere reale pozitive și . Voi formula mai târziu definiția unei elipse, dar deocamdată este timpul să luăm o pauză de la vorbire și să rezolvăm o problemă comună:

Cum se construiește o elipsă?

Da, ia-l și desenează-l. Sarcina este obișnuită, iar o parte semnificativă a studenților nu se descurcă destul de competent cu desenul:

Exemplul 1

Construiți o elipsă dată de ecuație

Decizie: mai întâi aducem ecuația la forma canonică:

De ce să aduci? Unul dintre avantajele ecuației canonice este că vă permite să determinați instantaneu vârfuri de elipsă, care sunt la punctele . Este ușor de observat că coordonatele fiecăruia dintre aceste puncte satisfac ecuația .

În acest caz :


Segment de linie numit axa mare elipsă;
segment de linie – axa minoră;
număr numit semi-axa mare elipsă;
număr – semi-axă minoră.
în exemplul nostru: .

Pentru a vă imagina rapid cum arată aceasta sau acea elipsă, priviți doar valorile „a” și „fi” ale ecuației sale canonice.

Totul este bine, îngrijit și frumos, dar există o avertizare: am finalizat desenul folosind programul. Și poți desena cu orice aplicație. Cu toate acestea, în realitate dură, o bucată de hârtie în carouri stă pe masă, iar șoarecii dansează în jurul mâinilor noastre. Oamenii cu talent artistic, desigur, se pot certa, dar ai și șoareci (deși mai mici). Nu degeaba omenirea a inventat o riglă, o busolă, un raportor și alte dispozitive simple pentru desen.

Din acest motiv, este puțin probabil să reușim să desenăm cu precizie o elipsă, cunoscând doar vârfurile. Totuși, în regulă, dacă elipsa este mică, de exemplu, cu semiaxele. Alternativ, puteți reduce scara și, în consecință, dimensiunile desenului. Dar, în cazul general, este foarte de dorit să găsiți puncte suplimentare.

Există două abordări pentru construirea unei elipse - geometrică și algebrică. Nu îmi place să construiesc cu o busolă și o riglă din cauza algoritmului scurt și a dezordinei semnificative a desenului. În caz de urgență, vă rugăm să consultați manualul, dar în realitate este mult mai rațional să folosiți instrumentele algebrei. Din ecuația elipsei de pe schiță, exprimăm rapid:

Ecuația este apoi împărțită în două funcții:
– definește arcul superior al elipsei;
– definește arcul inferior al elipsei.

Elipsa dată de ecuația canonică este simetrică față de axele de coordonate, precum și față de origine. Și asta este grozav - simetria este aproape întotdeauna un prevestitor al unui om gratuit. Evident, este suficient să ne ocupăm de primul trimestru de coordonate, așa că avem nevoie de o funcție . Sugerează găsirea de puncte suplimentare cu abscise . Am lovit trei SMS-uri pe calculator:

Desigur, este și plăcut că, dacă se face o eroare gravă în calcule, aceasta va deveni imediat clară în timpul construcției.

Marcați puncte pe desen (culoare roșie), puncte simetrice pe celelalte arce (culoare albastră) și conectați cu atenție întreaga companie cu o linie:


Este mai bine să desenați schița inițială subțire și subțire și abia apoi să aplicați presiune pe creion. Rezultatul ar trebui să fie o elipsă destul de decentă. Apropo, ai vrea să știi ce este această curbă?

Definiţia an elipse. Focare de elipsă și excentricitate de elipsă

O elipsă este un caz special al unui oval. Cuvântul „oval” nu trebuie înțeles în sensul filistean („copilul a desenat un oval”, etc.). Acesta este un termen matematic cu o formulare detaliată. Scopul acestei lecții nu este de a lua în considerare teoria ovalelor și diferitele lor tipuri, cărora practic nu li se acordă atenție în cursul standard de geometrie analitică. Și, în conformitate cu nevoile mai actuale, trecem imediat la definiția strictă a unei elipse:

Elipsă- aceasta este multimea tuturor punctelor planului, suma distantelor pana la fiecare dintre care de la doua puncte date, numite trucuri elipsa, este o valoare constanta, numeric egala cu lungimea axei majore a acestei elipse: .
În acest caz, distanța dintre focare este mai mică decât această valoare: .

Acum va deveni mai clar:

Imaginează-ți că punctul albastru „călărește” pe o elipsă. Deci, indiferent de ce punct al elipsei luăm, suma lungimilor segmentelor va fi întotdeauna aceeași:

Să ne asigurăm că în exemplul nostru valoarea sumei este într-adevăr egală cu opt. Puneți mental punctul „em” în vârful din dreapta al elipsei, apoi: , care trebuia verificat.

O altă modalitate de a desena o elipsă se bazează pe definiția unei elipse. Matematica superioară, uneori, este cauza tensiunii și a stresului, așa că este timpul să mai avem o sesiune de descărcare. Vă rugăm să luați o bucată de hârtie sau o coală mare de carton și fixați-o pe masă cu două cuie. Acestea vor fi trucuri. Legați un fir verde de capetele proeminente ale unghiilor și trageți-l până la capăt cu un creion. Gâtul creionului va fi la un moment dat, care aparține elipsei. Acum începeți să ghidați creionul pe foaia de hârtie, păstrând firul verde foarte întins. Continuați procesul până reveniți la punctul de plecare... excelent... desenul poate fi depus spre verificare de către medic profesorului =)

Cum să găsești focalizarea unei elipse?

În exemplul de mai sus, am descris punctele de focalizare „gata”, iar acum vom învăța cum să le extragem din adâncimea geometriei.

Dacă elipsa este dată de ecuația canonică , atunci focarele sale au coordonate , unde este distanța de la fiecare focar până la centrul de simetrie al elipsei.

Calculele sunt mai ușoare decât napii aburiți:

! Cu sensul „ce” este imposibil de identificat coordonatele specifice trucurilor! Repet, asta este DISTANTA de la fiecare focalizare la centru(care în cazul general nu trebuie să fie situat exact la origine).
Și, prin urmare, distanța dintre focare nu poate fi legată nici de poziția canonică a elipsei. Cu alte cuvinte, elipsa poate fi mutată în alt loc și valoarea va rămâne neschimbată, în timp ce trucurile, desigur, își vor schimba coordonatele. Vă rugăm să țineți cont de acest lucru pe măsură ce explorați subiectul în continuare.

Excentricitatea unei elipse și semnificația ei geometrică

Excentricitatea unei elipse este un raport care poate lua valori în interiorul .

În cazul nostru:

Să aflăm cum forma unei elipse depinde de excentricitatea acesteia. Pentru asta fixați vârfurile stânga și dreapta a elipsei luate în considerare, adică valoarea semiaxei majore va rămâne constantă. Atunci formula excentricității va lua forma: .

Să începem să aproximăm valoarea excentricității la unitate. Acest lucru este posibil doar dacă . Ce înseamnă? ...amintind trucuri . Aceasta înseamnă că focarele elipsei se vor „dispersa” de-a lungul axei absciselor către vârfurile laterale. Și, deoarece „segmentele verzi nu sunt din cauciuc”, elipsa va începe inevitabil să se aplatizeze, transformându-se într-un cârnați din ce în ce mai subțiri înșirat pe axă.

Prin urmare, cu cât excentricitatea elipsei este mai aproape de unul, cu atât elipsa este mai alungită.

Acum să simulăm procesul opus: focarele elipsei s-au îndreptat unul spre celălalt, apropiindu-se de centru. Aceasta înseamnă că valoarea lui „ce” este din ce în ce mai mică și, în consecință, excentricitatea tinde spre zero: .
În acest caz, „segmentele verzi”, dimpotrivă, vor „deveni aglomerate” și vor începe să „împingă” linia elipsei în sus și în jos.

Prin urmare, cu cât valoarea excentricității este mai aproape de zero, cu atât elipsa arată mai mult... uitați-vă la cazul limitativ, când focarele sunt reunite cu succes la origine:

Un cerc este un caz special al unei elipse

Într-adevăr, în cazul egalității semiaxelor, ecuația canonică a elipsei ia forma, care se transformă reflexiv în binecunoscuta ecuație a cercului din școala cu centrul la originea razei „a”.

În practică, notația cu litera „vorbitoare” „er” este mai des folosită:. Raza se numește lungimea segmentului, în timp ce fiecare punct al cercului este îndepărtat din centru cu distanța razei.

Rețineți că definiția unei elipse rămâne complet corectă: focarele s-au potrivit, iar suma lungimilor segmentelor potrivite pentru fiecare punct de pe cerc este o valoare constantă. Deoarece distanța dintre focare este excentricitatea oricărui cerc este zero.

Un cerc se construiește ușor și rapid, este suficient să te înarmezi cu o busolă. Cu toate acestea, uneori este necesar să aflăm coordonatele unora dintre punctele sale, în acest caz mergem pe calea familiară - aducem ecuația la forma unui Matan vesel:

este funcția semicercului superior;
este funcția semicercului inferior.

Apoi găsim valorile dorite, diferentiabil, integrași să faci alte lucruri bune.

Articolul, desigur, este doar pentru referință, dar cum se poate trăi fără iubire în lume? Sarcină creativă pentru soluție independentă

Exemplul 2

Alcătuiți ecuația canonică a unei elipse dacă unul dintre focarele sale și semiaxa mică sunt cunoscute (centrul este la origine). Găsiți vârfuri, puncte suplimentare și trageți o linie pe desen. Calculați excentricitatea.

Rezolvare și desen la sfârșitul lecției

Să adăugăm o acțiune:

Rotiți și traduceți o elipsă

Să revenim la ecuația canonică a elipsei, și anume la condiția, a cărei ghicitoare chinuie mințile iscoditoare încă de la prima mențiune a acestei curbe. Aici am considerat o elipsă , dar în practică nu poate ecuația ? La urma urmei, aici, însă, pare a fi ca o elipsă!

O astfel de ecuație este rară, dar apare. Și definește o elipsă. Să risipim misticul:

În urma construcției, se obține elipsa noastră nativă, rotită cu 90 de grade. adica - Acest intrare necanonică elipsă . Record!- ecuația nu specifică nicio altă elipsă, deoarece nu există puncte (focare) pe axă care să satisfacă definiția unei elipse.

Să stabilim un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și să considerăm ecuația generală de gradul doi

în care
.

Se numește mulțimea tuturor punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația (8.4.1). strâmb (linia) a doua comanda.

Pentru orice curbă de ordinul doi, există un sistem de coordonate dreptunghiular, numit canonic, în care ecuația acestei curbe are una dintre următoarele forme:

1)
(elipsă);

2)
(elipsa imaginara);

3)
(o pereche de linii imaginare care se intersectează);

4)
(hiperbolă);

5)
(o pereche de linii care se intersectează);

6)
(parabolă);

7)
(pereche de linii paralele);

8)
(o pereche de linii paralele imaginare);

9)
(o pereche de linii care coincid).

Se numesc ecuațiile 1)–9). ecuații canonice ale curbelor de ordinul doi.

Rezolvarea problemei de reducere a ecuației unei curbe de ordinul doi la forma canonică include găsirea ecuației canonice a curbei și a sistemului de coordonate canonic. Reducerea la forma canonică vă permite să calculați parametrii curbei și să determinați locația acesteia în raport cu sistemul de coordonate original. Tranziție de la sistemul de coordonate dreptunghiular original
la canonic
se realizează prin rotirea axelor sistemului de coordonate original în jurul punctului O la un anumit unghi  și transferul paralel paralel al sistemului de coordonate.

Invarianți de curbă de ordinul doi(8.4.1) se numesc astfel de funcții ale coeficienților ecuației sale, ale căror valori nu se modifică la trecerea de la un sistem de coordonate dreptunghiular la altul din același sistem.

Pentru o curbă de ordinul doi (8.4.1), suma coeficienților la coordonatele pătrate

,

determinant compus din coeficienţii termenilor conducători

și determinant de ordinul trei

sunt invariante.

Valoarea invarianților s, ,  poate fi utilizată pentru a determina tipul și a compune ecuația canonică a unei curbe de ordinul doi (Tabelul 8.1).

Tabelul 8.1

Clasificarea curbelor de ordinul doi pe baza invarianților

Să aruncăm o privire mai atentă asupra elipsei, hiperbolei și parabolei.

Elipsă(Fig. 8.1) este locul punctelor din plan pentru care suma distanțelor până la două puncte fixe
acest avion, numit trucuri de elipsă, este o valoare constantă (mai mare decât distanța dintre focare). Acest lucru nu exclude coincidența focarelor elipsei. Dacă focarele sunt aceleași, atunci elipsa este un cerc.

Semănunitatea distanțelor de la un punct al unei elipse la focarele sale este notă cu A, jumătate din distanța dintre focare - cu. Dacă sistemul de coordonate dreptunghiular de pe plan este ales astfel încât elipsa să se concentreze pe axă OX simetric fata de origine, atunci in acest sistem de coordonate elipsa este data de ecuatie

, (8.4.2)

numit ecuația canonică a elipsei, Unde
.

Orez. 8.1

Cu alegerea specificată a unui sistem de coordonate dreptunghiular, elipsa este simetrică față de axele de coordonate și de origine. Axele de simetrie ale unei elipse o numesc topoare, iar centrul de simetrie este centrul elipsei. În același timp, numerele 2 sunt adesea numite axele elipsei. Ași 2 b, și numerele Ași b – mareși semi-axă minoră respectiv.

Se numesc punctele de intersecție ale unei elipse cu axele sale vârfurile elipsei. Vârfurile elipsei au coordonatele ( A, 0), (–A, 0), (0, b), (0, –b).

Excentricitatea elipsei numit un număr

. (8.4.3)

Deoarece 0  c < A, excentricitatea elipsei 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Aceasta arată că excentricitatea caracterizează forma elipsei: cu cât  mai aproape de zero, cu atât elipsa arată mai mult ca un cerc; pe măsură ce  crește, elipsa devine mai alungită.

Lasa
este un punct arbitrar al elipsei,
și
- distanta fata de punct Mînainte de trucuri F 1 și F 2 respectiv. Numerele r 1 și r 2 sunt numite raze focale punctuale M elipsăși sunt calculate prin formule

Directoare altul decât cerc elipsă cu ecuația canonică (8.4.2) se numesc două drepte

.

Directricele elipsei sunt situate în afara elipsei (Fig. 8.1).

Raportul razei focale puncteMelipsa la distanta  a acestei elipse (focalizarea și directriza sunt considerate a corespunde dacă sunt situate pe aceeași parte a centrului elipsei).

Hiperbolă(Fig. 8.2) este locul punctelor planului pentru care modulul diferenței de distanțe la două puncte fixe și acest avion, numit focare de hiperbolă, este o valoare constantă (nu egală cu zero și mai mică decât distanța dintre focare).

Fie distanța dintre focare 2 cu, iar modulul specificat al diferenței de distanță este 2 A. Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular în același mod ca pentru o elipsă. În acest sistem de coordonate, hiperbola este dată de ecuație

, (8.4.4)

numit ecuația canonică a hiperbolei, Unde
.

Orez. 8.2

Cu această alegere a unui sistem de coordonate dreptunghiular, axele de coordonate sunt axele de simetrie ale hiperbolei, iar originea coordonatelor este centrul său de simetrie. Axele de simetrie ale unei hiperbole se numesc topoare, iar centrul de simetrie este centrul hiperbolei. Dreptunghi cu 2 laturi Ași 2 b, situat așa cum se arată în fig. 8.2, numit dreptunghiul principal al unei hiperbole. Numerele 2 Ași 2 b sunt axele hiperbolei și numerele Ași b- a ei arbori de osie. Se formează linii drepte, care sunt o continuare a diagonalelor dreptunghiului principal asimptote hiperbole

.

Punctele de intersecție ale hiperbolei cu axa Bou numit vârfurile hiperbolei. Vârfurile hiperbolei au coordonatele ( A, 0), (–A, 0).

Excentricitatea unei hiperbole numit un număr

. (8.4.5)

În măsura în care cu > A, excentricitatea hiperbolei  > 1. Să rescriem egalitatea (8.4.5) ca

.

Aceasta arată că excentricitatea caracterizează forma dreptunghiului principal și, în consecință, forma hiperbolei în sine: cu cât  este mai mic, cu atât dreptunghiul principal este mai extins, iar după el hiperbola însăși de-a lungul axei. Bou.

Lasa
este un punct arbitrar al hiperbolei,
și
- distanta fata de punct Mînainte de trucuri F 1 și F 2 respectiv. Numerele r 1 și r 2 sunt numite raze focale punctuale M hiperbolăși sunt calculate prin formule

Directoare hiperbolă cu ecuația canonică (8.4.4) se numesc două drepte

.

Directricele hiperbolei intersectează dreptunghiul principal și trec între centrul și vârful corespondent al hiperbolei (Fig. 8.2).

O raportul razei focale puncteM hiperbole la distanță din acest punct până la focalizarea corespunzătoare directrice este egală cu excentricitatea această hiperbolă (focusul și directriza sunt considerate a fi corespunzătoare dacă sunt situate pe aceeași parte a centrului hiperbolei).

parabolă(Fig. 8.3) este locul punctelor din plan pentru care distanța până la un punct fix F (focalizarea parabolei) din acest plan este egală cu distanța până la o linie fixă ​​( directrice de parabolă), situat tot în planul considerat.

Să alegem începutul O sistem de coordonate dreptunghiular în mijlocul segmentului [ FD], care este o perpendiculară scăzută din focalizare F la directrice (se presupune că focalizarea nu aparține directricei) și axele Bouși Oi direct așa cum se arată în fig. 8.3. Fie lungimea segmentului [ FD] este egal cu p. Apoi în sistemul de coordonate ales
și ecuația parabolei canonice are forma

. (8.4.6)

Valoare p numit parametrul parabolei.

O parabolă are o axă de simetrie numită axa parabolei. Se numește punctul de intersecție al unei parabole cu axa ei vârful parabolei. Dacă parabola este dată de ecuația sa canonică (8.4.6), atunci axa parabolei este axa Bou. Evident, vârful parabolei este originea.

Exemplul 1 Punct DAR= (2, –1) aparține elipsei, punctului F= (1, 0) este focalizarea acestuia, corespunzător F directriza este dată de ecuație
. Scrieți o ecuație pentru această elipsă.

Decizie. Vom presupune că sistemul de coordonate este dreptunghiular. Apoi distanta din punct de vedere DAR la directoare
în conformitate cu relația (8.1.8), în care


, egal

.

Distanţă din punct de vedere DAR a se concentra F egală

,

care vă permite să determinați excentricitatea elipsei

.

Lasa M = (X, y) este un punct arbitrar al elipsei. Apoi distanta
din punct de vedere M la directoare
conform formulei (8.1.8) este egal cu

si distanta din punct de vedere M a se concentra F egală

.

Deoarece pentru orice punct al elipsei relaţia este o valoare constantă egală cu excentricitatea elipsei, deci avem

,

Exemplul 2 Curba este dată de ecuație

într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Găsiți sistemul de coordonate canonic și ecuația canonică a acestei curbe. Definiți tipul curbei.

Decizie. formă pătratică
are o matrice

.

Polinomul său caracteristic

are rădăcini  1 = 4 și  2 = 9. Prin urmare, într-o bază ortonormală de vectori proprii matrici DAR forma pătratică considerată are forma canonică

.

Să trecem la construcția matricei transformării ortogonale a variabilelor, care reduce forma pătratică considerată la forma canonică specificată. Pentru a face acest lucru, vom construi sisteme fundamentale de soluții ale sistemelor omogene de ecuații
și ortonormalizați-le.

La
acest sistem arata ca

Soluția sa generală este
. Există o variabilă liberă aici. Prin urmare, sistemul fundamental de soluții constă dintr-un vector, de exemplu, vectorul
. Normalizându-l, obținem vectorul

.

La
vom construi de asemenea un vector

.

Vectori și sunt deja ortogonale, deoarece se referă la diferite valori proprii ale matricei simetrice DAR. Ele constituie baza canonică ortonormală a formei pătratice date. Din coloanele coordonatelor acestora se construiește matricea ortogonală dorită (matricea de rotație).

.

Verificați corectitudinea găsirii matricei R conform formulei
, Unde
este o matrice de formă pătratică în bază
:

Matrice R găsit corect.

Să efectuăm transformarea variabilelor

și scrieți ecuația acestei curbe în noul sistem de coordonate dreptunghiulare cu vechii vectori de centru și direcție
:

Unde
.

Am obținut ecuația canonică a elipsei

.

Datorită faptului că transformarea rezultată a coordonatelor dreptunghiulare este determinată de formule

,

,

sistemul de coordonate canonic
are un început
și vectori de direcție
.

Exemplul 3 Folosind teoria invariante, determinați tipul și scrieți ecuația canonică a curbei

Decizie.În măsura în care

,

conform tabelului. 8.1 concluzionăm că aceasta este o hiperbolă.

Deoarece s = 0, polinomul caracteristic al matricei formei pătratice

rădăcinile sale
și
ne permit să scriem ecuația canonică a curbei

Unde Cu se constată din starea

,

.

Ecuația canonică dorită a curbei

.

În problemele acestei secțiuni, coordonateleX, ypresupus a fi dreptunghiular.

8.4.1. Pentru elipse
și
găsi:

a) semiarbori;

b) trucuri;

c) excentricitatea;

d) ecuaţii directrice.

8.4.2. Scrieți ecuațiile unei elipse, cunoscând focalizarea acesteia
corespunzând directricei X= 8 și excentricitatea . Găsiți al doilea focar și a doua directrice a elipsei.

8.4.3. Scrieți o ecuație pentru o elipsă ale cărei focare sunt (1, 0) și (0, 1) și a cărei axă majoră este două.

8.4.4. Dana hiperbolă
. Găsi:

a) osii Ași b;

b) trucuri;

c) excentricitatea;

d) ecuații de asimptotă;

e) ecuaţii directrice.

8.4.5. Dana hiperbolă
. Găsi:

a) osii Ași b;

b) trucuri;

c) excentricitatea;

d) ecuații de asimptotă;

e) ecuaţii directrice.

8.4.6. Punct
aparține unei hiperbole al cărei focar este
, iar directriza corespunzătoare este dată de ecuație
. Scrieți o ecuație pentru această hiperbolă.

8.4.7. Scrieți o ecuație pentru o parabolă având în vedere focalizarea acesteia
și directoare
.

8.4.8. Având în vedere vârful unei parabole
și ecuația directricei
. Scrieți o ecuație pentru această parabolă.

8.4.9. Scrieți o ecuație pentru o parabolă al cărei focar este într-un punct

iar directriza este dată de ecuație
.

8.4.10. Scrieți o ecuație pentru o curbă de ordinul doi, cunoscând excentricitatea acesteia
, concentrează-te
și directorul corespunzător
.

8.4.11. Determinați tipul curbei de ordinul doi, scrieți ecuația canonică a acesteia și găsiți sistemul de coordonate canonic:

G)
;

8.4.12.

este o elipsă. Aflați lungimile semiaxelor și excentricitatea acestei elipse, coordonatele centrului și focarelor, scrieți ecuațiile axelor și directricelor.

8.4.13. Demonstrați că curba de ordinul doi dată de ecuație

este o hiperbolă. Aflați lungimile semiaxelor și excentricitatea acestei hiperbole, coordonatele centrului și focarelor, scrieți ecuațiile pentru axe, directrice și asimptote.

8.4.14. Demonstrați că curba de ordinul doi dată de ecuație

,

este o parabolă. Găsiți parametrul acestei parabole, coordonatele vârfurilor și focalizarea, scrieți ecuațiile pentru axă și directrice.

8.4.15. Aduceți fiecare dintre următoarele ecuații la forma canonică. Desenați în desen curba de ordinul doi corespunzătoare în raport cu sistemul de coordonate dreptunghiular original:

8.4.16. Folosind teoria invariante, determinați tipul și scrieți ecuația canonică a curbei.

11.1. Noțiuni de bază

Luați în considerare liniile definite prin ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente

Coeficienții ecuației sunt numere reale, dar cel puțin unul dintre numerele A, B sau C este diferit de zero. Astfel de linii se numesc linii (curbe) de ordinul doi. Se va stabili mai jos că ecuația (11.1) definește un cerc, elipsă, hiperbolă sau parabolă în plan. Înainte de a trece la această afirmație, să studiem proprietățile curbelor enumerate.

11.2. Cerc

Cea mai simplă curbă de ordinul doi este un cerc. Reamintim că un cerc de rază R centrat într-un punct este mulțimea tuturor punctelor Μ ale planului care îndeplinesc condiția . Fie ca un punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular să aibă coordonatele x 0, y 0 a - un punct arbitrar al cercului (vezi Fig. 48).

Apoi din condiție obținem ecuația

(11.2)

Ecuația (11.2) este satisfăcută de coordonatele oricărui punct din cercul dat și nu este satisfăcută de coordonatele niciunui punct care nu se află pe cerc.

Ecuația (11.2) se numește ecuația canonică a cercului

În special, presupunând și , obținem ecuația unui cerc centrat la origine .

Ecuația cercului (11.2) după transformări simple va lua forma . Când comparăm această ecuație cu ecuația generală (11.1) a unei curbe de ordinul doi, este ușor de observat că sunt îndeplinite două condiții pentru ecuația unui cerc:

1) coeficienții la x 2 și y 2 sunt egali între ei;

2) nu există niciun membru care să conţină produsul xy al coordonatelor curente.

Să luăm în considerare problema inversă. Punând în ecuația (11.1) valorile și , obținem

Să transformăm această ecuație:

(11.4)

Rezultă că ecuația (11.3) definește un cerc sub condiția . Centrul său este în punct , și raza

.

Dacă , atunci ecuația (11.3) are forma

.

Este satisfăcut de coordonatele unui singur punct . În acest caz, ei spun: „cercul a degenerat într-un punct” (are rază zero).

În cazul în care un , atunci ecuația (11.4) și, prin urmare, ecuația echivalentă (11.3), nu va determina nicio dreaptă, deoarece partea dreaptă a ecuației (11.4) este negativă, iar partea stângă nu este negativă (să spunem: „cerc imaginar”).

11.3. Elipsă

Ecuația canonică a unei elipse

Elipsă este mulțimea tuturor punctelor planului, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date ale acestui plan, numite trucuri , este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare.

Notează focarele prin F1și F2, distanța dintre ele în 2 c, și suma distanțelor de la un punct arbitrar al elipsei la focare - prin 2 A(vezi fig. 49). Prin definiție 2 A > 2c, adică A > c.

Pentru a deriva ecuația unei elipse, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F1și F2 se află pe axa , iar originea coincide cu punctul de mijloc al segmentului F 1 F 2. Atunci focarele vor avea următoarele coordonate: și .

Fie un punct arbitrar al elipsei. Apoi, conform definiției unei elipse, i.e.

Aceasta, de fapt, este ecuația unei elipse.

Transformăm ecuația (11.5) într-o formă mai simplă după cum urmează:

La fel de A>cu, apoi . Sa punem

(11.6)

Apoi ultima ecuație ia forma sau

(11.7)

Se poate demonstra că ecuația (11.7) este echivalentă cu ecuația inițială. Se numeste ecuația canonică a elipsei .

Elipsa este o curbă de ordinul doi.

Studiul formei unei elipse conform ecuației sale

Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică.

1. Ecuația (11.7) conține x și y numai în puteri pare, deci dacă un punct aparține unei elipse, atunci îi aparțin și punctele ,,. Rezultă că elipsa este simetrică față de axele și , precum și față de punctul , care se numește centrul elipsei.

2. Aflați punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate. Punând , găsim două puncte și , la care axa intersectează elipsa (vezi Fig. 50). Punând în ecuația (11.7), găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa: și . puncte A 1 , A2 , B1, B2 numit vârfurile elipsei. Segmente A 1 A2și B1 B2, precum și lungimile acestora 2 Ași 2 b sunt numite respectiv axele majore și minore elipsă. Numerele Ași b sunt numite mari și, respectiv, mici. arbori de osie elipsă.

3. Din ecuația (11.7) rezultă că fiecare termen din partea stângă nu depășește unul, i.e. există inegalităţi şi sau şi . Prin urmare, toate punctele elipsei se află în interiorul dreptunghiului format din liniile drepte.

4. În ecuația (11.7), suma termenilor nenegativi și este egală cu unu. În consecință, pe măsură ce un termen crește, celălalt va scădea, adică dacă crește, atunci scade și invers.

Din cele spuse, rezultă că elipsa are forma prezentată în Fig. 50 (curbă ovală închisă).

Mai multe despre elipsă

Forma elipsei depinde de raport. Când elipsa se transformă într-un cerc, ecuația elipsei (11.7) ia forma . Ca o caracteristică a formei unei elipse, raportul este mai des folosit. Raportul dintre jumătate din distanța dintre focare și semiaxa majoră a elipsei se numește excentricitatea elipsei și o6o este notat cu litera ε ("epsilon"):

cu 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Aceasta arată că cu cât excentricitatea elipsei este mai mică, cu atât elipsa va fi mai puțin oblata; dacă punem ε = 0, atunci elipsa se transformă într-un cerc.

Fie M(x; y) un punct arbitrar al elipsei cu focare F 1 și F 2 (vezi Fig. 51). Lungimile segmentelor F 1 M=r 1 și F 2 M = r 2 se numesc razele focale ale punctului M. Evident,

Există formule

Se numesc linii drepte

Teorema 11.1. Dacă este distanța de la un punct arbitrar al elipsei la un focar, d este distanța de la același punct la directrixa corespunzătoare acestui focar, atunci raportul este o valoare constantă egală cu excentricitatea elipsei:

Din egalitatea (11.6) rezultă că . Dacă , atunci ecuația (11.7) definește o elipsă, a cărei axă majoră se află pe axa Oy, iar axa minoră se află pe axa Ox (vezi Fig. 52). Focarele unei astfel de elipse sunt în punctele și , unde .

11.4. Hiperbolă

Ecuația canonică a unei hiperbole

Hiperbolă se numește mulțimea tuturor punctelor planului, modulul diferenței de distanțe de la fiecare dintre ele la două puncte date ale acestui plan, numit trucuri , este o valoare constantă, mai mică decât distanța dintre focare.

Notează focarele prin F1și F2 distanța dintre ele prin 2s, și modulul diferenței de distanțe de la fiecare punct al hiperbolei la focare prin 2a. A-prioriu 2a < 2s, adică A < c.

Pentru a deriva ecuația hiperbolei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F1și F2 se află pe axa , iar originea a coincis cu punctul de mijloc al segmentului F 1 F 2(vezi fig. 53). Apoi focarele vor avea coordonate și

Fie un punct arbitrar al hiperbolei. Apoi, conform definiției unei hiperbole sau , adică După simplificări, așa cum s-a făcut la derivarea ecuației elipsei, obținem ecuația canonică a unei hiperbole

(11.9)

(11.10)

O hiperbola este o linie de ordinul doi.

Investigarea formei unei hiperbole conform ecuației sale

Să stabilim forma hiperbolei folosind ecuația sa caconică.

1. Ecuația (11.9) conține x și y numai la puteri pare. Prin urmare, hiperbola este simetrică față de axele și , precum și față de punctul , care se numește centrul hiperbolei.

2. Aflați punctele de intersecție ale hiperbolei cu axele de coordonate. Punând în ecuația (11.9), găsim două puncte de intersecție ale hiperbolei cu axa : și . Punând în (11.9), obținem , care nu poate fi. Prin urmare, hiperbola nu intersectează axa y.

Punctele și sunt numite culmi hiperbole și segmentul

axa reală , segment de linie - semiaxa reală hiperbolă.

Segmentul de dreaptă care leagă punctele se numește axa imaginară , numărul b - axa imaginară . Dreptunghi cu laturi 2ași 2b numit dreptunghiul principal al unei hiperbole .

3. Din ecuația (11.9) rezultă că minuendul nu este mai mic de unu, adică că sau . Aceasta înseamnă că punctele hiperbolei sunt situate la dreapta liniei (ramura dreaptă a hiperbolei) și la stânga liniei (ramura stângă a hiperbolei).

4. Din ecuația (11.9) a hiperbolei se poate observa că atunci când crește, atunci crește și ea. Aceasta rezultă din faptul că diferența păstrează o valoare constantă egală cu unu.

Din cele spuse rezultă că hiperbola are forma prezentată în Figura 54 (o curbă formată din două ramuri nemărginite).

Asimptotele unei hiperbole

Linia L se numește asimptotă a unei curbe nemărginite K dacă distanța d de la punctul M al curbei K la această dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul M se deplasează de-a lungul curbei K la nesfârșit de la origine. Figura 55 ilustrează conceptul de asimptotă: linia L este o asimptotă pentru curba K.

Să arătăm că hiperbola are două asimptote:

(11.11)

Deoarece liniile (11.11) și hiperbola (11.9) sunt simetrice față de axele de coordonate, este suficient să luăm în considerare doar acele puncte ale dreptelor indicate care sunt situate în primul cadran.

Luați pe o dreaptă un punct N având aceeași abscisă x ca un punct de pe o hiperbolă (vezi Fig. 56) și găsiți diferența ΜN dintre ordonatele dreptei și ramura hiperbolei:

După cum puteți vedea, pe măsură ce x crește, numitorul fracției crește; numărătorul este o valoare constantă. Prin urmare, lungimea segmentului ΜN tinde spre zero. Deoarece ΜN este mai mare decât distanța d de la punctul Μ la linie, atunci d cu atât mai mult tinde spre zero. Astfel, liniile sunt asimptote ale hiperbolei (11.9).

Când construiți o hiperbolă (11.9), este recomandabil să construiți mai întâi dreptunghiul principal al hiperbolei (vezi Fig. 57), să trasați linii care trec prin vârfurile opuse ale acestui dreptunghi - asimptotele hiperbolei și să marcați vârfurile și , hiperbola .

Ecuația unei hiperbole echilaterale.

ale căror asimptote sunt axele de coordonate

Hiperbola (11.9) se numește echilaterală dacă semiaxele sale sunt egale (). Ecuația sa canonică

(11.12)

Asimptotele unei hiperbole echilaterale au ecuații și, prin urmare, sunt bisectoare ale unghiurilor de coordonate.

Considerăm ecuația acestei hiperbole într-un nou sistem de coordonate (vezi Fig. 58), obținut din cel vechi prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi. Folosim formulele de rotație a axelor de coordonate:

Inlocuim valorile lui x si y in ecuatia (11.12):

Ecuația unei hiperbole echilaterale, pentru care axele Ox și Oy sunt asimptote, va avea forma .

Mai multe despre hiperbolă

excentricitate hiperbola (11.9) este raportul dintre distanța dintre focare și valoarea axei reale a hiperbolei, notat cu ε:

Deoarece pentru o hiperbolă , excentricitatea hiperbolei este mai mare decât unu: . Excentricitatea caracterizează forma unei hiperbole. Într-adevăr, din egalitate (11.10) rezultă că i.e. și .

Acest lucru arată că cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mică, cu atât raportul dintre semi-axele sale este mai mic, ceea ce înseamnă că cu cât dreptunghiul său principal este mai extins.

Excentricitatea unei hiperbole echilaterale este . Într-adevăr,

Raze focale și pentru punctele ramului drept al hiperbolei au forma și , iar pentru stânga - și .

Liniile drepte se numesc directrice ale unei hiperbole. Deoarece pentru hiperbola ε > 1, atunci . Aceasta înseamnă că directricea dreaptă este situată între centrul și vârful drept al hiperbolei, directricea stângă este între centru și vârful stâng.

Direcricele unei hiperbole au aceeași proprietate ca și directricele unei elipse.

Curba definită de ecuație este, de asemenea, o hiperbolă, a cărei axă reală 2b este situată pe axa Oy, iar axa imaginară 2 A- pe axa Bou. În Figura 59, este prezentat ca o linie punctată.

Evident, hiperbolele și au asimptote comune. Astfel de hiperbole se numesc conjugate.

11.5. Parabolă

Ecuația parabolei canonice

O parabolă este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan, fiecare dintre ele fiind la fel de îndepărtat de un punct dat, numit focar, și de o linie dată, numită directrice. Distanța de la focarul F la directrice se numește parametrul parabolei și se notează cu p (p > 0).

Pentru a deriva ecuația parabolei, alegem sistemul de coordonate Oxy astfel încât axa Oxy să treacă prin focarul F perpendicular pe directrice în direcția de la directrice la F, iar originea O să fie situată la mijloc între focar și directrice (vezi Fig. 60). În sistemul selectat, focusul F are coordonatele , iar ecuația directrice are forma , sau .

1. În ecuația (11.13), variabila y este inclusă într-un grad par, ceea ce înseamnă că parabola este simetrică față de axa Ox; axa x este axa de simetrie a parabolei.

2. Deoarece ρ > 0, din (11.13) rezultă că . Prin urmare, parabola este situată în dreapta axei y.

3. Când avem y \u003d 0. Prin urmare, parabola trece prin origine.

4. Cu o creștere nelimitată a x, și modulul y crește la nesfârșit. Parabola are forma (forma) prezentată în figura 61. Punctul O (0; 0) se numește vârful parabolei, segmentul FM \u003d r se numește raza focală a punctului M.

Ecuații , , ( p>0) definesc de asemenea parabole, acestea fiind prezentate în Figura 62

Este ușor de arătat că graficul unui trinom pătrat, unde , B și C sunt numere reale, este o parabolă în sensul definiției sale de mai sus.

11.6. Ecuația generală a liniilor de ordinul doi

Ecuații de curbe de ordinul doi cu axe de simetrie paralele cu axele de coordonate

Să găsim mai întâi ecuația unei elipse centrate într-un punct ale cărui axe de simetrie sunt paralele cu axele de coordonate Ox și Oy, iar semiaxele sunt, respectiv, egale cu Ași b. Să plasăm în centrul elipsei O 1 originea noului sistem de coordonate , ale cărui axe și semiaxe Ași b(vezi fig. 64):

Și în sfârșit, parabolele prezentate în Figura 65 au ecuații corespunzătoare.

Ecuația

Ecuațiile unei elipse, hiperbole, parabole și ecuația unui cerc după transformări (deschideți paranteze, mutați toți termenii ecuației într-o direcție, aduceți termeni similari, introduceți o nouă notație pentru coeficienți) pot fi scrise folosind o singură ecuație de forma

unde coeficienții A și C nu sunt egali cu zero în același timp.

Se pune întrebarea: vreo ecuație de forma (11.14) determină una dintre curbele (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă) de ordinul doi? Răspunsul este dat de următoarea teoremă.

Teorema 11.2. Ecuația (11.14) definește întotdeauna: fie un cerc (pentru A = C), fie o elipsă (pentru A C > 0), fie o hiperbolă (pentru A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Ecuație generală de ordinul doi

Luați în considerare acum ecuația generală de gradul doi cu două necunoscute:

Diferă de ecuația (11.14) prin prezența unui termen cu produsul coordonatelor (B¹ 0). Este posibil, prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi a, să se transforme această ecuație astfel încât termenul cu produsul coordonatelor să fie absent în ea.

Folosirea formulelor pentru rotirea axelor

Să exprimăm coordonatele vechi în termenii celor noi:

Alegem unghiul a astfel încât coeficientul de la x „y” să dispară, adică astfel încât egalitatea

Astfel, atunci când axele sunt rotite printr-un unghi a care îndeplinește condiția (11.17), ecuația (11.15) se reduce la ecuația (11.14).

Concluzie: ecuaţia generală de ordinul doi (11.15) defineşte pe plan (cu excepţia cazurilor de degenerare şi dezintegrare) următoarele curbe: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă.

Notă: Dacă A = C, atunci ecuația (11.17) își pierde sensul. În acest caz cos2α = 0 (vezi (11.16)), apoi 2α = 90°, adică α = 45°. Deci, la A = C, sistemul de coordonate ar trebui rotit cu 45 °.

1. Drepte de ordinul doi pe planul euclidian.

2. Invarianții ecuațiilor de drepte de ordinul doi.

3. Determinarea tipului de drepte de ordinul doi din invarianții ecuației sale.

4. Linii de ordinul doi pe planul afin. Teorema unicității.

5. Centrele liniilor de ordinul doi.

6. Asimptote și diametre ale liniilor de ordinul doi.

7. Reducerea ecuațiilor dreptelor de ordinul doi la cele mai simple.

8. Direcții principale și diametre ale liniilor de ordinul doi.

BIBLIOGRAFIE

1. Drepte de ordinul doi în planul euclidian.

Definiție:

plan euclidian este un spațiu de dimensiunea 2,

(spațiu real bidimensional).

Liniile de ordinul doi sunt linii de intersecție ale unui con circular cu plane care nu trec prin vârful acestuia.

Aceste rânduri se găsesc adesea în diverse întrebări ale științelor naturale. De exemplu, mișcarea unui punct material sub influența câmpului gravitațional central are loc de-a lungul uneia dintre aceste linii.

Dacă planul de tăiere intersectează toate generatricele rectilinie ale unei cavități a conului, atunci în secțiune se va obține o linie numită elipsă(Fig. 1.1, a). Dacă planul de tăiere intersectează generatoarele ambelor cavități ale conului, atunci în secțiune se va obține o linie numită hiperbolă(Fig. 1.1.6). Și în sfârșit, dacă planul secant este paralel cu unul dintre generatorii conului (cu 1.1, în- acesta este generatorul AB), apoi în secțiune veți primi o linie numită parabolă. Orez. 1.1 oferă o reprezentare vizuală a formei liniilor luate în considerare.

Figura 1.1

Ecuația generală a liniei de ordinul doi are următoarea formă:

(1)

(1*)

Elipsă este mulțimea punctelor din plan pentru care suma distanțelor la doi puncte fixe F 1 și F 2 acest plan, numit focare, este o valoare constantă.

Acest lucru nu exclude coincidența focarelor elipsei. Evident dacă focarele sunt aceleași, atunci elipsa este un cerc.

Pentru a deriva ecuația canonică a elipsei, alegem originea O a sistemului de coordonate carteziene din mijlocul segmentului. F 1 F 2 , topoare Ohși OU direct așa cum se arată în fig. 1.2 (dacă trucuri F 1 și F 2 coincide, atunci O coincide cu F 1 și F 2, iar pentru axă Oh se poate lua orice axă care trece prin O).

Fie lungimea segmentului F 1 F 2 F 1 și F 2 respectiv au coordonatele (-c, 0) și (c, 0). Notează prin 2a constanta la care se face referire în definiția unei elipse. Evident, 2a > 2c, i.e. a > c (În cazul în care un M- punctul elipsei (vezi Fig. 1.2), apoi | MF ] |+ | MF 2 | = 2 A , si din moment ce suma a doua laturi MF 1 și MF 2 triunghi MF 1 F 2 mai mult decât un terț F 1 F 2 = 2c, apoi 2a ​​> 2c. Este firesc să excludem cazul 2a = 2c, de atunci punctul M situat pe segment F 1 F 2 iar elipsa degenerează într-un segment. ).

Lasa M- punctul planului cu coordonate (X y)(Fig. 1.2). Notați cu r 1 și r 2 distanțele de la punct M la puncte F 1 și F 2 respectiv. Conform definiției unei elipse egalitate

r 1 + r 2 = 2a (1.1)

este o condiție necesară și suficientă pentru localizarea punctului M(x, y) pe elipsa dată.

Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, obținem

(1.2)

Din (1.1) și (1.2) rezultă că raport

(1.3)

reprezintă o condiție necesară și suficientă pentru localizarea unui punct M cu coordonatele x și y pe o elipsă dată. Prin urmare, relația (1.3) poate fi considerată ca ecuația elipsei. Folosind metoda standard de „distrugere a radicalilor”, această ecuație este redusă la forma

(1.4) (1.5)

Deoarece ecuația (1.4) este consecință algebrică ecuația elipsei (1.3), apoi coordonatele x și y orice punct M elipsa va satisface și ecuația (1.4). Deoarece „rădăcini suplimentare” ar putea apărea în timpul transformărilor algebrice asociate cu eliminarea radicalilor, trebuie să ne asigurăm că orice punct M, ale cărui coordonate satisfac ecuația (1.4) se află pe elipsa dată. Pentru aceasta, este evident suficient să se demonstreze că mărimile r 1 și r 2 pentru fiecare punct satisface relația (1.1). Deci, lasă coordonatele Xși la puncte M satisface ecuația (1.4). Înlocuirea valorii la 2 de la (1.4) în partea dreaptă a expresiei (1.2) pentru r 1 după transformări simple constatăm că

, apoi .

Exact în același mod, găsim că

. Astfel, pentru punctul luat în considerare M , (1.6)

adică r 1 + r 2 = 2a,și deci punctul M este situat pe o elipsă. Ecuația (1.4) se numește ecuația canonică a elipsei. Cantitati Ași b sunt numite respectiv semiaxele majore și minore ale unei elipse(Numele „mare” și „mic” se explică prin faptul că a > b).

cometariu. Dacă semiaxele elipsei Ași b sunt egale, atunci elipsa este un cerc a cărui rază este egală cu R = A = b, iar centrul coincide cu originea.

Hiperbolă este mulțimea de puncte din plan pentru care valoarea absolută a diferenței de distanțe până la două puncte fixe, F 1 și F 2 acest plan, numit focare, este o valoare constantă ( Se concentrează F 1 și F 2 este firesc să considerăm hiperbolele diferite, deoarece dacă constanta indicată în definiția unei hiperbole nu este egală cu zero, atunci nu există un singur punct al planului când F 1 și F 2 , care ar satisface cerinţele definiţiei unei hiperbole. Dacă această constantă este zero și F 1 coincide cu F 2 , atunci orice punct al planului satisface cerințele definiției unei hiperbole. ).

Pentru a deriva ecuația canonică a hiperbolei, alegem originea coordonatelor din mijlocul segmentului F 1 F 2 , topoare Ohși OU direct așa cum se arată în fig. 1.2. Fie lungimea segmentului F 1 F 2 este egal cu 2s. Apoi în sistemul de coordonate ales punctele F 1 și F 2 respectiv au coordonatele (-с, 0) și (с, 0) Se notează cu 2 A constanta la care se face referire în definiția unei hiperbole. Evident 2a< 2с, т. е. A < с. Trebuie să ne asigurăm că ecuația (1.9), obținută prin transformări algebrice ale ecuației (1.8), nu a dobândit rădăcini noi. Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrați că pentru fiecare punct M, coordonate Xși la care satisfac ecuația (1.9), mărimile r 1 și r 2 satisfac relația (1.7). Efectuând argumente similare celor formulate la derivarea formulelor (1.6), găsim următoarele expresii pentru mărimile r 1 și r 2 care ne interesează:

(1.11)

Astfel, pentru punctul luat în considerare M noi avem

, și de aceea este situat pe o hiperbolă.

Ecuația (1.9) se numește ecuația canonică a unei hiperbole. Cantitati Ași b sunt numite reale și, respectiv, imaginare. semiaxele hiperbolei.

parabolă este mulțimea de puncte din plan pentru care distanța până la un punct fix F acest plan este egal cu distanta pana la o linie fixa, situata tot in planul considerat.

Ecuații curbele sunt abundente la citirea literaturii economice.Să subliniem câteva dintre aceste curbe.

curba de indiferență - o curbă care arată diferite combinații de două produse care au aceeași valoare de consum, sau utilitate, pentru consumator.

Curba bugetului de consum este o curbă care arată diferitele combinații de cantități a două bunuri pe care un consumator le poate cumpăra la un anumit nivel al venitului său monetar.

Curba posibilităților de producție - o curbă care arată diferitele combinații de două bunuri sau servicii care pot fi produse în condiții de ocupare a forței de muncă deplină și producție deplină într-o economie cu stocuri constante de resurse și tehnologie neschimbată.

Curba cererii de investiții - o curbă care arată dinamica ratei dobânzii și volumul investițiilor la diferite rate ale dobânzii.

curba Phillips- o curbă care arată existența unei relații stabile între rata șomajului și rata inflației.

curba Laffer- o curbă care arată relația dintre cotele de impozitare și veniturile fiscale, relevând o astfel de cotă de impozitare la care veniturile fiscale ating un maxim.

Deja o simplă enumerare a termenilor arată cât de important este pentru economiști să poată construi grafice și să analizeze ecuațiile curbelor, care sunt linii drepte și curbe de ordinul doi - un cerc, o elipsă, o hiperbolă, o parabolă. În plus, la rezolvarea unei clase mari de probleme, este necesară selectarea unei zone pe plan mărginită de niște curbe ale căror ecuații sunt date.De cele mai multe ori aceste probleme sunt formulate astfel: găsiți cel mai bun plan de producție pentru resursele date. Alocarea resurselor ia de obicei forma unor inegalități, ale căror ecuații sunt date. Prin urmare, trebuie să căutați cele mai mari sau mai mici valori luate de o funcție în regiunea specificată de ecuațiile sistemului de inegalități.

În geometria analitică linie în avion este definită ca mulțimea de puncte ale căror coordonate satisfac ecuația F(x,y)=0. În acest caz, trebuie impuse restricții asupra funcției F astfel încât, pe de o parte, această ecuație să aibă o mulțime infinită de soluții și, pe de altă parte, astfel încât această mulțime de soluții să nu umple o „piesă a planului”. ”. O clasă importantă de drepte sunt acelea pentru care funcția F(x,y) este un polinom în două variabile, caz în care linia definită de ecuația F(x,y)=0 se numește algebric. Dreptele algebrice date de ecuația de gradul I sunt drepte. O ecuație de gradul doi, care are un număr infinit de soluții, definește o elipsă, o hiperbolă, o parabolă sau o linie care se împarte în două drepte.

Fie dat un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan. O linie dreaptă pe un plan poate fi dată de una dintre ecuațiile:

zece . Ecuația generală a unei drepte

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vector n(А,В) este ortogonală cu o linie dreaptă, numerele A și B nu sunt egale cu zero în același timp.

20 . Ecuația dreptei cu panta

y - y o = k (x - x o), (2.2)

unde k este panta dreptei, adică k = tg a , unde a - valoarea unghiului format de dreapta cu axa Оx, M (x o , y o) - un punct aparținând dreptei.

Ecuația (2.2) ia forma y = kx + b dacă M (0, b) este punctul de intersecție al dreptei cu axa Oy.

treizeci . Ecuația unei drepte în segmente

x/a + y/b = 1, (2.3)

unde a și b sunt valorile segmentelor tăiate de o linie dreaptă pe axele de coordonate.

40 . Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date este A(x 1 , y 1) și B(x 2 , y 2):

. (2.4)

cincizeci . Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(x 1 , y 1) paralel cu un vector dat A(m, n)

. (2.5)

60 . Ecuația normală a unei linii drepte

rn o - p = 0, (2,6)

Unde r este raza unui punct arbitrar M(x, y) al acestei drepte, n o este un vector unitar ortogonal pe această linie și direcționat de la origine la linie; p este distanța de la origine la linia dreaptă.

Normal sub formă de coordonate are forma:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

unde un - valoarea unghiului format dintr-o linie dreaptă cu axa x.

Ecuația unui creion de linii centrate în punctul A (x 1, y 1) are forma:

y-y 1 = l (x-x 1),

unde l este parametrul fasciculului. Dacă fasciculul este dat de două drepte care se intersectează A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, atunci ecuația sa are forma:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

unde l și m sunt parametrii fasciculului care nu se întorc la 0 în același timp.

Unghiul dintre liniile y \u003d kx + b și y \u003d k 1 x + b 1 este dat de formula:

tg j = .

Egalitatea 1 + k 1 k = 0 este o condiție necesară și suficientă pentru ca dreptele să fie perpendiculare.

Pentru a face două ecuații

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

stabiliți aceeași linie dreaptă, este necesar și suficient ca coeficienții lor să fie proporționali:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Ecuațiile (2.7), (2.8) definesc două drepte paralele diferite dacă A 1 /A 2 = B 1 /B 2 și B 1 /B 2¹ C1/C2; liniile se intersectează dacă A 1 /A 2¹B1/B2.

Distanța d de la punctul M o (x o, y o) la linie dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la punctul M o la dreapta. Dacă linia este dată de o ecuație normală, atunci d =ê r despre n o - r ê , Unde r o este vectorul rază al punctului M o sau, sub formă de coordonate, d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Ecuația generală a curbei de ordinul doi are forma

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Se presupune că printre coeficienții ecuației a 11 , a 12 , a 22 există alții decât zero.

Ecuația unui cerc centrat în punctul C(a, b) și cu raza egală cu R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R2. (2,9)

Elipsăse numește locul punctelor, suma distanțelor cărora de la două puncte date F 1 și F 2 (focurile) este o valoare constantă egală cu 2a.

Ecuația canonică (cea mai simplă) a unei elipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Elipsa dată de ecuația (2.10) este simetrică față de axele de coordonate. Opțiuni Ași b numit arbori de osie elipsă.

Fie a>b, atunci focarele F 1 și F 2 sunt pe axa Ox la distanță
c= de la origine. Raportul c/a = e < 1 называется excentricitate elipsă. Distanțele de la punctul M(x, y) al elipsei până la focarele acesteia (vectori cu rază focală) sunt determinate de formulele:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

În cazul în care un< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Dacă a = b, atunci elipsa este un cerc centrat la originea razei A.

Hiperbolăse numește locul punctelor, a căror diferență de distanțe de la două puncte date F 1 și F 2 (focare) este egală în valoare absolută cu numărul dat 2a.

Ecuația canonică a unei hiperbole

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hiperbola dată de ecuația (2.11) este simetrică față de axele de coordonate. Intersectează axa Ox în punctele A (a,0) și A (-a,0) - vârfurile hiperbolei și nu intersectează axa Oy. Parametru A numit semiaxa reală, b -axa imaginară. Parametrul c= este distanța de la focar la origine. Raportul c/a = e >1 este numit excentricitate hiperbolă. drepte ale căror ecuații y =± b/a x sunt numite asimptote hiperbolă. Distanțele de la punctul M(x,y) al hiperbolei până la focarele sale (vectori cu rază focală) sunt determinate de formulele:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

O hiperbolă cu a = b se numește echilateral, ecuația sa x 2 - y 2 \u003d a 2 și ecuația asimptotelor y \u003d± X. Hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 și
se numesc y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 conjugat.

parabolăeste locul punctelor echidistante de un punct dat (focalizare) și de o linie dată (directrice).

Ecuația canonică a unei parabole are două forme:

1) y 2 \u003d 2px - parabola este simetrică față de axa Ox.

2) x 2 \u003d 2py - parabola este simetrică față de axa Oy.

În ambele cazuri, p>0 și vârful parabolei, adică punctul situat pe axa de simetrie, este situat la origine.

O parabolă a cărei ecuație y 2 = 2рx are focarul F(р/2,0) și directricea x = - р/2, vector cu raza focală a punctului M(x, y) pe ea r = x+ р/2.

Parabola a cărei ecuație x 2 =2py are focus F(0, p/2) și directrice y = - p/2; vectorul rază focală a punctului M(x, y) al parabolei este r = y + p/2.

Ecuația F(x, y) = 0 definește o dreaptă care împarte planul în două sau mai multe părți. Într-una dintre aceste părți, inegalitatea F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Cu alte cuvinte, linia
F(x, y)=0 separă partea planului în care F(x, y)>0 de partea planului în care F(x, y)<0.

Linia dreaptă, a cărei ecuație este Ax+By+C = 0, împarte planul în două semiplane. În practică, pentru a afla în ce semiplan avem Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, aplicați metoda punctului de întrerupere. Pentru a face acest lucru, luați un punct de control (desigur, nu situat pe o linie dreaptă, a cărui ecuație este Ax + By + C = 0) și verificați ce semn are expresia Ax + By + C în acest punct. Același semn are expresia indicată în întregul semiplan în care se află punctul de control. În al doilea semiplan Ax+By+C are semnul opus.

Inegalitățile neliniare cu două necunoscute sunt rezolvate în același mod.

De exemplu, să rezolvăm inegalitatea x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Poate fi rescrisă ca (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Ecuația (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definește un cerc cu un centru în punctul C(2,-3) și o rază de 5. Cercul împarte planul în două părți - interior și exterior. Pentru a afla în care dintre ele are loc această inegalitate, luăm un punct de control în regiunea interioară, de exemplu, centrul C(2,-3) al cercului nostru. Înlocuind coordonatele punctului C în partea stângă a inegalității, obținem un număr negativ -25. Prin urmare, în toate punctele aflate în interiorul cercului, inegalitatea
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Exemplul 1.5.Compuneți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul A(3,1) și înclinate față de dreapta 2x+3y-1 = 0 la un unghi de 45 o .

Decizie.Vom căuta sub forma y=kx+b. Deoarece linia trece prin punctul A, coordonatele ei satisfac ecuația dreptei, adică. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Unghiul dintre linii
y= k 1 x+b 1 și y= kx+b este definit prin formula tg j = . Deoarece panta k 1 a dreptei inițiale 2x+3y-1=0 este - 2/3, iar unghiul j = 45 o , atunci avem o ecuație pentru determinarea k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 sau (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Avem două valori ale lui k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Găsind valorile corespunzătoare ale lui b cu formula b=1-3k, obținem două linii dorite, ale căror ecuații sunt: ​​x - 5y + 2 = 0 și
5x + y - 16 = 0.

Exemplul 1.6. La ce valoare a parametrului t drepte ale căror ecuații 3tx-8y+1 = 0 și (1+t)x-2ty = 0 sunt paralele?

Decizie.Dreptele date prin ecuații generale sunt paralele dacă coeficienții la Xși y proporțional, adică 3t/(1+t) = -8/(-2t). Rezolvând ecuația rezultată, găsim t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Exemplul 1.7. Găsiți ecuația coardei comune a două cercuri:
x 2 +y 2 =10 și x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Decizie.Găsiți punctele de intersecție ale cercurilor, pentru aceasta rezolvăm sistemul de ecuații:

Rezolvând prima ecuație, găsim valorile x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Din a doua ecuație - valorile corespunzătoare y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Acum obținem ecuația unei coarde comune, cunoscând două puncte A (3,1) și B (1,3) aparținând acestei linii: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3) sau y+ x - 4 = 0.

Exemplul 1.8. Cum sunt situate punctele pe plan, ale căror coordonate îndeplinesc condițiile (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Decizie.Prima inegalitate a sistemului definește interiorul cercului, fără a include granița, i.e. cerc cu centrul în punctul (3,3) și raza . A doua inegalitate definește un semiplan definit de o dreaptă a cărei ecuație este x = y și, deoarece inegalitatea este strictă, punctele dreptei în sine nu aparțin semiplanului și toate punctele de sub această dreaptă linia aparține semiplanului. Deoarece căutăm puncte care satisfac ambele inegalități, atunci aria dorită este interiorul semicercului.

Exemplul 1.9.Calculați lungimea laturii unui pătrat înscris într-o elipsă a cărui ecuație este x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Decizie.Lasa M(s, s)- vârful pătratului, situat în primul sfert. Atunci latura pătratului va fi 2 cu. pentru că punct M aparține elipsei, coordonatele acesteia satisfac ecuația elipsei c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, de unde
c = ab/ ; deci latura pătratului este 2ab/ .

Exemplul 1.10.Cunoscând ecuația asimptotelor hiperbolei y =± 0,5 x și unul dintre punctele sale M (12, 3), întocmește ecuația unei hiperbole.

Decizie.Scriem ecuația canonică a hiperbolei: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asimptotele hiperbolei sunt date de ecuațiile y =± 0,5 x, deci b/a = 1/2, deci a=2b. În măsura în care M- punctul hiperbolei, atunci coordonatele acesteia satisfac ecuatia hiperbolei, i.e. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Având în vedere că a = 2b, găsim b: b 2 =9Þ b=3 și a=6. Atunci ecuația hiperbolei este x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Exemplul 1.11.Calculați lungimea laturii unui triunghi regulat ABC înscris într-o parabolă cu parametru R, presupunând că punctul A coincide cu vârful parabolei.

Decizie.Ecuația canonică a unei parabole cu un parametru R are forma y 2 = 2рx, vârful său coincide cu originea, iar parabola este simetrică față de axa x. Deoarece dreapta AB formează un unghi de 30 o cu axa Ox, ecuația dreptei este: y = x. o mulțime de diagrame

Prin urmare, putem găsi coordonatele punctului B rezolvând sistemul de ecuații y 2 =2px, y = x, de unde x = 6p, y = 2p. Prin urmare, distanța dintre punctele A(0,0) și B(6p,2p) este 4p.