Lasă funcția y=f(X) continuu pe segmentul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime pe acest segment. Funcția poate lua aceste valori fie într-un punct interior al segmentului [ a, b], sau la limita segmentului.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe segment [ a, b] necesar:

1) găsiți punctele critice ale funcției în intervalul ( a, b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică pt X=Ași x = b;

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, alegeți cea mai mare și cea mai mică.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

pe segment.

Găsirea punctelor critice:

Aceste puncte se află în interiorul segmentului; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

la punct X= 3 și la punct X= 0.

Investigarea unei funcții pentru convexitate și un punct de inflexiune.

Funcţie y = f (X) numit convexă intre (A, b) , dacă graficul său se află sub o tangentă desenată în orice punct al acestui interval și se numește convex în jos (concav) dacă graficul său se află deasupra tangentei.

Se numește punctul de tranziție prin care convexitatea este înlocuită cu concavitate sau invers punct de inflexiune.

Algoritm pentru studiul convexității și punctului de inflexiune:

1. Aflați punctele critice de al doilea fel, adică punctele în care derivata a doua este egală cu zero sau nu există.

2. Pune punctele critice pe dreapta numerică, împărțind-o în intervale. Aflați semnul derivatei a doua pe fiecare interval; dacă , atunci funcția este convexă în sus, dacă, atunci funcția este convexă în jos.

3. Dacă, la trecerea printr-un punct critic de al doilea fel, acesta își schimbă semnul și în acest punct derivata a doua este egală cu zero, atunci acest punct este abscisa punctului de inflexiune. Găsiți-i ordonata.

Asimptotele graficului unei funcții. Investigarea unei funcții în asimptote.

Definiție. Asimptota graficului unei funcții se numește Drept, care are proprietatea că distanța de la orice punct al graficului până la această linie tinde spre zero cu o îndepărtare nelimitată a punctului grafic de la origine.

Există trei tipuri de asimptote: vertical, orizontal și înclinat.

Definiție. Apelat direct asimptotă verticală graficul funcției y = f(x), dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în acest punct este egală cu infinit, adică

unde este punctul de discontinuitate al funcției, adică nu aparține domeniului definiției.

Exemplu.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - punctul de rupere.

Definiție. Drept y=A numit asimptotă orizontală graficul funcției y = f(x) la , dacă

Exemplu.

X
y

Definiție. Drept y=kx +b (k≠ 0) se numește asimptotă oblică graficul funcției y = f(x) unde

Schemă generală pentru studiul funcțiilor și a graficului.

Algoritm de cercetare a funcțieiy = f(x) :

1. Găsiți domeniul funcției D (y).

2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (cu X= 0 și la y = 0).

3. Investigați funcțiile pare și impare ( y (‒ X) = y (X) ‒ paritate; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ ciudat).

4. Găsiți asimptotele graficului funcției.

5. Găsiți intervale de monotonitate ale funcției.

6. Aflați extremele funcției.

7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.

Exemplu. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

1) D (y) =

X= 4 - punctul de rupere.

2) Când X = 0,

(0; – 5) – punctul de intersecție cu oi.

La y = 0,

3) y(‒ X)= funcţie generală (nici par, nici impar).

4) Investigam pentru asimptote.

a) verticală

b) orizontală

c) găsi asimptote oblice unde

‒ecuația asimptotă oblică

5) În această ecuație, nu este necesară găsirea intervalelor de monotonitate ale funcției.

6)

Aceste puncte critice împart întregul domeniu al funcției pe intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel.

Procesul de găsire a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (un grafic al unei funcții) pe un elicopter cu tragere dintr-un tun cu rază lungă de acțiune în anumite puncte și alegând dintre aceste puncte puncte foarte speciale pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(X) continuu pe segmentul [ A, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin și cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin și cele mai mari valori ale funcției , continuu pe segmentul [ A, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

Să fie, de exemplu, este necesar să se determine valoarea maximă a funcției f(X) pe segmentul [ A, b] . Pentru a face acest lucru, găsiți toate punctele sale critice situate pe [ A, b] .

punct critic se numeste punctul in care functie definita, si ea derivat fie este zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(A) și f(b) ). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției pe interval [A, b] .

Problema găsirii cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Decizie. Găsim derivata acestei funcții. Echivalează derivata cu zero () și obține două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să calculați valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul , deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2] . Aceste valori ale funcției sunt următoarele: , , . Rezultă că cea mai mică valoare a funcției(marcat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este atins la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic .

Dacă funcția este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (ci este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția descrisă în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), este valabilă următoarea proprietate a funcțiilor continue.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Decizie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține intervalului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple mai complicate decât cele luate în considerare, adică acelea în care funcția este un polinom sau o fracție, numărătorul. iar numitorul cărora sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt iubitori de a-i face pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi logaritmul și funcția trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Decizie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, într-un punct și într-un punct și cea mai mare valoare egal cu e² , la punctul .

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Decizie. Găsim derivata acestei funcții:

Echivalează derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal cu , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (mai mari) valori ale funcției, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci valorile argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - compilarea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8 Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului pentru a-l acoperi cu cea mai mică cantitate de material?

Decizie. Lasa X- partea de bază h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula , adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție pentru un extremum. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, la , derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, - singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . Pentru că asta minim - singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie egală cu 2 m și înălțimea acestuia.

Exemplul 9 Din paragraf A, situat pe linia de cale ferata, pana la punct Cu, la distanță de el l, mărfurile trebuie transportate. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linia de cale ferată ar trebui să fie ținută pe autostradă pentru a transporta mărfuri de la DARîn Cu a fost cel mai economic AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

În acest articol voi vorbi despre algoritm pentru găsirea celei mai mici și mai mari valori funcția, punctele minime și maxime.

Din teorie, cu siguranță vom avea nevoie tabel de derivateși reguli de diferențiere. Totul este pe această placă:

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori.

Mi se pare mai usor de explicat cu un exemplu concret. Considera:

Exemplu: Găsiți cea mai mare valoare a funcției y=x^5+20x^3–65x pe segmentul [–4;0].

Pasul 1. Luăm derivata.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Pasul 2 Găsirea punctelor extreme.

punctul extremum numim astfel de puncte in care functia isi atinge valoarea maxima sau minima.

Pentru a găsi punctele extreme, este necesar să echivalăm derivata funcției cu zero (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Acum rezolvăm această ecuație biquadratică și rădăcinile găsite sunt punctele noastre extreme.

Rezolv astfel de ecuații prin înlocuirea t = x^2, apoi 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Reduceți ecuația cu 5, obținem: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Facem substituția inversă x^2 = t:

X_(1 și 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 și 4) = ±sqrt(-13) (excludem, nu pot exista numere negative sub rădăcină, decât dacă, desigur, vorbim despre numere complexe)

Total: x_(1) = 1 și x_(2) = -1 - acestea sunt punctele noastre extreme.

Pasul 3 Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare.

Metoda de substituire.

În condiție, ni s-a dat segmentul [b][–4;0]. Punctul x=1 nu este inclus în acest segment. Deci nu luăm în considerare. Dar, pe lângă punctul x=-1, trebuie să luăm în considerare și marginile din stânga și din dreapta ale segmentului nostru, adică punctele -4 și 0. Pentru a face acest lucru, înlocuim toate aceste trei puncte în funcția originală. Rețineți că originalul este cel dat în condiția (y=x^5+20x^3–65x), unii încep să înlocuiască în derivată...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Aceasta înseamnă că valoarea maximă a funcției este [b]44 și se atinge în punctele [b]-1, care se numește punctul maxim al funcției pe segmentul [-4; 0].

Ne-am hotărât și am primit un răspuns, suntem grozavi, te poți relaxa. Dar oprește-te! Nu crezi că numărarea y(-4) este oarecum prea complicată? În condiții de timp limitat, este mai bine să folosiți o altă metodă, o numesc astfel:

Prin intervale de constanţă.

Aceste intervale se găsesc pentru derivata funcției, adică pentru ecuația noastră biquadratică.

O fac in felul urmator. Trag o linie de direcție. Am stabilit punctele: -4, -1, 0, 1. În ciuda faptului că 1 nu este inclus în segmentul dat, ar trebui totuși notat pentru a determina corect intervalele de constanță. Să luăm un număr de multe ori mai mare decât 1, să spunem 100, să îl înlocuim mental în ecuația noastră biquadratică 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Chiar și fără să numărăm nimic, devine evident că la punctul 100 funcția are semnul plus. Aceasta înseamnă că pentru intervalele de la 1 la 100 are un semn plus. Când trecem prin 1 (mergem de la dreapta la stânga), funcția va schimba semnul în minus. Când trece prin punctul 0, funcția își va păstra semnul, deoarece aceasta este doar limita segmentului și nu rădăcina ecuației. Când trece prin -1, funcția va schimba din nou semnul în plus.

Din teorie, știm că unde este derivata funcției (și am desenat aceasta pentru aceasta) schimbă semnul de la plus la minus (punctul -1 în cazul nostru) funcția ajunge maximul său local (y(-1)=44 așa cum a fost calculat mai devreme) pe acest segment (acest lucru este logic foarte clar, funcția a încetat să crească, deoarece a atins maximul și a început să scadă).

În consecință, unde derivata funcției schimbă semnul din minus în plus, realizat minim local al unei funcții. Da, da, am găsit și punctul minim local, care este 1, iar y(1) este valoarea minimă a funcției pe interval, să spunem de la -1 la +∞. Vă rugăm să rețineți că acesta este doar un MINIM LOCAL, adică un minim pe un anumit segment. Deoarece funcția minimă reală (globală) va ajunge undeva acolo, în -∞.

După părerea mea, prima metodă este mai simplă teoretic, iar a doua este mai simplă din punct de vedere al operațiilor aritmetice, dar mult mai dificilă din punct de vedere teoretic. La urma urmei, uneori există cazuri în care funcția nu își schimbă semnul când trece prin rădăcina ecuației și într-adevăr te poți confunda cu aceste maxime și minime locale, globale, deși va trebui să stăpânești bine acest lucru oricum dacă plănuiești. pentru a intra într-o universitate tehnică (și de ce altceva dați examenul de profil și rezolvați această sarcină). Dar practica și numai practica te va învăța cum să rezolvi astfel de probleme odată pentru totdeauna. Și te poți antrena pe site-ul nostru. Aici .

Dacă aveți întrebări sau ceva nu este clar, asigurați-vă că întrebați. Voi fi bucuros să vă răspund și să fac modificări, completări la articol. Amintiți-vă că facem acest site împreună!

Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?

Pentru asta urmam binecunoscutul algoritm:

1 . Găsim funcții ODZ.

2 . Găsirea derivatei unei funcții

3 . Echivalează derivata cu zero

4 . Găsim intervalele la care derivata își păstrează semnul, iar din ele determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:

Dacă pe intervalul I derivata funcției 0" title="(!LANG:f^(prim)(x)>0">, то функция !} crește în acest interval.

Dacă pe intervalul I derivata funcției , atunci funcția scade în acest interval.

5 . Găsim punctele maxime și minime ale funcției.

LA funcția punct maxim, derivata își schimbă semnul din „+” în „-”.

LA punctul minim al funcțieiderivata schimbă semnul de la „-” la „+”.

6 . Găsim valoarea funcției la capetele segmentului,

• apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mare valoare a funcției
• sau comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cel mai mic dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mică valoare a funcției

Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe interval, acest algoritm poate fi redus semnificativ.

Luați în considerare funcția . Graficul acestei funcții arată astfel:

Să luăm în considerare câteva exemple de rezolvare a problemelor din Open Task Bank pentru

unu . Sarcina B15 (#26695)

Pe tăietură.

1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x

Evident, această ecuație nu are soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. Prin urmare, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x=0.

Raspuns: 5.

2 . Sarcina B15 (nr. 26702)

Găsiți cea mai mare valoare a unei funcții pe segment.

1.Funcția ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivata este zero la , cu toate acestea, în aceste puncte nu își schimbă semnul:

Prin urmare, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la .

Pentru a clarifica de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:

Title="(!LANG:y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Raspuns: 5.

3 . Sarcina B15 (#26708)

Găsiți cea mai mică valoare a funcției pe intervalul .

1. Funcții ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Să plasăm rădăcinile acestei ecuații pe un cerc trigonometric.

Intervalul conține două numere: și

Să punem semnele. Pentru a face acest lucru, determinăm semnul derivatei în punctul x=0: . La trecerea prin puncte și derivata își schimbă semnul.

Să descriem schimbarea semnelor derivatei funcției pe linia de coordonate:

Evident, punctul este un punct minim (unde derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punct minim și la capătul din stânga segmentului, .

Din punct de vedere practic, cea mai interesantă este utilizarea derivatei pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții. Cu ce ​​este legat? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcăturii optime a echipamentelor... Cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții, trebuie rezolvată problema optimizării unor parametri. Și aceasta este problema găsirii celor mai mari și mai mici valori ale funcției.

Trebuie remarcat faptul că cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții este de obicei căutată pe un interval X , care este fie întregul domeniu al funcției, fie o parte a domeniului. Intervalul X însuși poate fi un segment de linie, un interval deschis , un interval infinit .

În acest articol, vom vorbi despre găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții date explicit a unei variabile y=f(x) .

Navigare în pagină.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții - definiții, ilustrații.

Să ne oprim pe scurt asupra principalelor definiții.

Cea mai mare valoare a funcției , care pentru orice inegalitatea este adevărată.

Cea mai mică valoare a funcției y=f(x) pe intervalul X se numește o astfel de valoare , care pentru orice inegalitatea este adevărată.

Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată pe intervalul luat în considerare cu abscisa.

Puncte staționare sunt valorile argumentului la care derivata funcției dispare.

De ce avem nevoie de puncte staționare când găsim cele mai mari și cele mai mici valori? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema lui Fermat. Din această teoremă rezultă că, dacă o funcție diferențiabilă are un extremum (minimum local sau maxim local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția își ia adesea valoarea maximă (cea mai mică) pe intervalul X la unul dintre punctele staționare din acest interval.

De asemenea, o funcție poate lua adesea cele mai mari și cele mai mici valori în punctele în care prima derivată a acestei funcții nu există, iar funcția în sine este definită.

Să răspundem imediat la una dintre cele mai frecvente întrebări pe această temă: „Este întotdeauna posibil să se determine cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții”? Nu, nu întotdeauna. Uneori, limitele intervalului X coincid cu limitele domeniului funcției, sau intervalul X este infinit. Iar unele funcții la infinit și la limitele domeniului de definiție pot lua atât valori infinit de mari, cât și infinit de mici. În aceste cazuri, nu se poate spune nimic despre valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției.

Pentru claritate, oferim o ilustrare grafică. Priviți imaginile - și multe vor deveni clare.

Pe segment

În prima figură, funcția ia cele mai mari (max y ) și cele mai mici (min y ) valori în punctele staționare din interiorul segmentului [-6;6] .

Luați în considerare cazul prezentat în a doua figură. Schimbați segmentul în . În acest exemplu, cea mai mică valoare a funcției este obținută într-un punct staționar, iar cea mai mare - într-un punct cu o abscisă corespunzătoare limitei drepte a intervalului.

În figura nr. 3, punctele limită ale segmentului [-3; 2] sunt abscisele punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori a funcției.

În domeniul deschis

În a patra figură, funcția ia cele mai mari (max y ) și cele mai mici (min y ) valori în punctele staționare din intervalul deschis (-6;6).

Pe intervalul , nu se pot trage concluzii despre cea mai mare valoare.

La infinit

În exemplul prezentat în figura a șaptea, funcția ia cea mai mare valoare (max y ) într-un punct staționar cu abscisa x=1 , iar cea mai mică valoare (min y ) este atinsă la limita dreaptă a intervalului. La minus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3.

Pe interval, funcția nu atinge nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Deoarece x=2 tinde spre dreapta, valorile funcției tind spre minus infinit (linia dreaptă x=2 este o asimptotă verticală), iar pe măsură ce abscisa tinde spre plus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3 . O ilustrare grafică a acestui exemplu este prezentată în Figura 8.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue pe segment.

Scriem un algoritm care ne permite să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment.

1. Găsim domeniul funcției și verificăm dacă conține întregul segment.
2. Găsim toate punctele în care derivata întâi nu există și care sunt cuprinse în segment (de obicei astfel de puncte apar în funcțiile cu argument sub semnul modulului și în funcțiile de putere cu exponent fracțional-rațional). Dacă nu există astfel de puncte, atunci treceți la punctul următor.
3. Determinăm toate punctele staționare care se încadrează în segment. Pentru a face acest lucru, îl echivalăm cu zero, rezolvăm ecuația rezultată și alegem rădăcinile potrivite. Dacă nu există puncte staționare sau niciunul dintre ele nu intră în segment, atunci treceți la pasul următor.
4. Calculăm valorile funcției în punctele staționare selectate (dacă există), în punctele în care derivata întâi nu există (dacă există) și, de asemenea, la x=a și x=b.
5. Din valorile obținute ale funcției, selectăm cele mai mari și cele mai mici - acestea vor fi valorile maxime și, respectiv, cele mai mici dorite ale funcției.

Să analizăm algoritmul atunci când rezolvăm un exemplu pentru găsirea valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții pe un segment.

Exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

• pe segment;
• pe intervalul [-4;-1] .

Decizie.

Domeniul funcției este întregul set de numere reale, cu excepția zero, adică . Ambele segmente se încadrează în domeniul definiției.

Găsim derivata funcției în raport cu:

În mod evident, derivata funcției există în toate punctele segmentelor și [-4;-1] .

Punctele staționare sunt determinate din ecuație. Singura rădăcină reală este x=2. Acest punct staționar se încadrează în primul segment.

Pentru primul caz, calculăm valorile funcției la capetele segmentului și într-un punct staționar, adică pentru x=1, x=2 și x=4:

Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției este atins la x=1 , iar cea mai mică valoare – la x=2 .

Pentru al doilea caz, calculăm valorile funcției numai la capetele segmentului [-4;-1] (deoarece nu conține un singur punct staționar):