Regula pentru rezolvarea celor mai simple ecuații exponențiale. ecuații exponențiale

Prelegere: „Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale”.

1 . ecuații exponențiale.

Ecuațiile care conțin necunoscute în exponent se numesc ecuații exponențiale. Cea mai simplă dintre acestea este ecuația ax = b, unde a > 0 și a ≠ 1.

1) Pentru b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Pentru b > 0, folosind monotonitatea funcției și teorema rădăcinii, ecuația are o singură rădăcină. Pentru a-l găsi, b trebuie reprezentat ca b = aс, ax = bс ó x = c sau x = logab.

Ecuațiile exponențiale, prin transformări algebrice, conduc la ecuații standard, care se rezolvă prin următoarele metode:

1) metoda de reducere la o bază;

2) metoda de evaluare;

3) metoda grafica;

4) metoda introducerii de noi variabile;

5) metoda factorizării;

6) exponenţial - ecuaţii de putere;

7) exponențial cu un parametru.

2 . Metoda de reducere la o singură bază.

Metoda se bazează pe următoarea proprietate a gradelor: dacă două grade sunt egale și bazele lor sunt egale, atunci exponenții lor sunt egali, adică, ecuația ar trebui încercată să fie redusă la forma

Exemple. Rezolvați ecuația:

1 . 3x=81;

Să reprezentăm partea dreaptă a ecuației sub forma 81 = 34 și să scriem ecuația echivalentă cu originalul 3 x = 34; x = 4. Răspuns: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> și mergeți la ecuația pentru exponenți 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Răspuns: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Rețineți că numerele 0,2, 0,04, √5 și 25 sunt puteri ale lui 5. Să profităm de acest lucru și să transformăm ecuația inițială după cum urmează:

, de unde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, din care găsim soluția x = -1. Raspunsul 1.

5. 3x = 5. Prin definiția logaritmului, x = log35. Răspuns: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Să rescriem ecuația ca 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, adică..png" width="181" height="49 src="> Prin urmare, x - 4 =0, x = 4. Răspuns: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Folosind proprietățile puterilor, scriem ecuația sub forma e. x+1 = 2, x =1. Raspunsul 1.

Banca de sarcini nr 1.

Rezolvați ecuația:

Testul numărul 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) fără rădăcini
	1) 7;1 2) fără rădăcini 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Testul #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) fără rădăcini 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda de evaluare.

Teorema rădăcinii: dacă funcția f (x) crește (descrește) pe intervalul I, numărul a este orice valoare luată de f pe acest interval, atunci ecuația f (x) = a are o singură rădăcină pe intervalul I.

La rezolvarea ecuațiilor prin metoda estimării se utilizează această teoremă și proprietățile de monotonitate ale funcției.

Exemple. Rezolvarea ecuațiilor: 1. 4x = 5 - x.

Decizie. Să rescriem ecuația ca 4x + x = 5.

1. dacă x \u003d 1, atunci 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 este adevărat, atunci 1 este rădăcina ecuației.

Funcția f(x) = 4x crește pe R și g(x) = x crește pe R => h(x)= f(x)+g(x) crește pe R ca suma funcțiilor crescătoare, deci x = 1 este singura rădăcină a ecuației 4x = 5 – x. Raspunsul 1.

Decizie. Rescriem ecuația sub forma .

1. dacă x = -1, atunci , 3 = 3-adevărat, deci x = -1 este rădăcina ecuației.

2. dovedesc că este unic.

3. Funcția f(x) = - scade pe R, iar g(x) = - x - scade pe R => h(x) = f(x) + g(x) - scade pe R, pe măsură ce suma a funcţiilor descrescătoare . Deci, după teorema rădăcinii, x = -1 este singura rădăcină a ecuației. Raspunsul 1.

Banca de sarcini nr 2. rezolva ecuatia

a) 4x + 1 = 6 - x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda de introducere a noilor variabile.

Metoda este descrisă în secțiunea 2.1. Introducerea unei noi variabile (substituție) se realizează de obicei după transformări (simplificare) termenilor ecuației. Luați în considerare exemple.

Exemple. R Ecuația de mâncare: 1. .

Să rescriem altfel ecuația: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = „45”>

Decizie. Să rescriem altfel ecuația:

Indicați https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nu este potrivit.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> este o ecuație irațională. Rețineți că

Soluția ecuației este x = 2,5 ≤ 4, deci 2,5 este rădăcina ecuației. Răspuns: 2.5.

Decizie. Să rescriem ecuația sub forma și să împărțim ambele părți la 56x+6 ≠ 0. Obținem ecuația

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, deci..png" width="118" height="56">

Rădăcinile ecuației pătratice - t1 = 1 și t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Decizie . Rescriem ecuația sub forma

și rețineți că este o ecuație omogenă de gradul doi.

Împărțim ecuația la 42x, obținem

Înlocuiește https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Răspuns: 0; 0,5.

Task Bank #3. rezolva ecuatia

Testul #3 cu o alegere de răspunsuri. Nivel minim.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) fără rădăcini 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) fără rădăcini 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Testul #4 cu o alegere de răspunsuri. Nivel general.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) fără rădăcini

5. Metoda de factorizare.

1. Rezolvați ecuația: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Soluție..png" width="169" height="69"> , de unde

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Decizie. Să scoatem 6x din partea stângă a ecuației și 2x din partea dreaptă. Obținem ecuația 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Deoarece 2x >0 pentru tot x, putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la 2x fără teama de a pierde soluțiile. Obținem 3x = 1ó x = 0.

Decizie. Rezolvăm ecuația prin factorizare.

Selectăm pătratul binomului

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 este rădăcina ecuației.

Ecuația x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Testul #6 Nivel general.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponenţial - ecuaţii de putere.

Ecuațiile exponențiale sunt alăturate de așa-numitele ecuații de putere exponențială, adică ecuații de forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Dacă se știe că f(x)>0 și f(x) ≠ 1, atunci ecuația, ca și cea exponențială, se rezolvă prin egalarea exponenților g(x) = f(x).

Dacă condiția nu exclude posibilitatea f(x)=0 și f(x)=1, atunci trebuie să luăm în considerare aceste cazuri atunci când rezolvăm ecuația puterii exponențiale.

1..png" width="182" height="116 src=">

Decizie. x2 +2x-8 - are sens pentru orice x, deoarece un polinom, deci ecuația este echivalentă cu mulțimea

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Ecuații exponențiale cu parametri.

1. Pentru ce valori ale parametrului p are o soluție unică ecuația 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1)?

Decizie. Să introducem modificarea 2x = t, t > 0, atunci ecuația (1) va lua forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminantul ecuației (2) este D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ecuația (1) are o soluție unică dacă ecuația (2) are o rădăcină pozitivă. Acest lucru este posibil în următoarele cazuri.

1. Dacă D = 0, adică p = 1, atunci ecuația (2) va lua forma t2 – 2t + 1 = 0, deci t = 1, prin urmare, ecuația (1) are o soluție unică x = 0.

2. Dacă p1, atunci 9(p – 1)2 > 0, atunci ecuația (2) are două rădăcini diferite t1 = p, t2 = 4p – 3. Mulțimea sistemelor satisface condiția problemei

Înlocuind t1 și t2 în sisteme, avem

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Decizie. Lasa atunci ecuația (3) va lua forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Să găsim valorile parametrului a pentru care cel puțin o rădăcină a ecuației (4) satisface condiția t > 0.

Să introducem funcția f(t) = t2 – 6t – a. Următoarele cazuri sunt posibile.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Cazul 2. Ecuația (4) are o soluție pozitivă unică dacă

D = 0, dacă a = – 9, atunci ecuația (4) va lua forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Cazul 3. Ecuația (4) are două rădăcini, dar una dintre ele nu satisface inegalitatea t > 0. Acest lucru este posibil dacă

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Astfel, la a 0 ecuația (4) are o singură rădăcină pozitivă . Atunci ecuația (3) are o soluție unică

Pentru o< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

în cazul în care un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
dacă a = – 9, atunci x = – 1;

dacă a  0, atunci

Să comparăm metodele de rezolvare a ecuațiilor (1) și (3). Rețineți că atunci când rezolvarea ecuației (1) a fost redusă la o ecuație pătratică, al cărei discriminant este un pătrat complet; astfel, rădăcinile ecuației (2) au fost imediat calculate prin formula rădăcinilor ecuației pătratice, iar apoi s-au tras concluzii cu privire la aceste rădăcini. Ecuația (3) a fost redusă la o ecuație pătratică (4), al cărei discriminant nu este un pătrat perfect, prin urmare, la rezolvarea ecuației (3), este recomandabil să folosiți teoreme privind locația rădăcinilor unui trinom pătrat și un model grafic. Rețineți că ecuația (4) poate fi rezolvată folosind teorema Vieta.

Să rezolvăm ecuații mai complexe.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația

Decizie. ODZ: x1, x2.

Să introducem un înlocuitor. Fie 2x = t, t > 0, apoi, ca urmare a transformărilor, ecuația va lua forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Aflați valorile lui a pentru care cel puțin o rădăcină a lui ecuația (*) îndeplinește condiția t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Răspuns: dacă a > - 13, a  11, a  5, atunci dacă a - 13,

a = 11, a = 5, atunci nu există rădăcini.

Bibliografie.

1. Fundamentele Guzeev ale tehnologiei educaționale.

2. Tehnologia Guzeev: de la recepție la filozofie.

M. „Director” nr. 4, 1996

3. Guzeev și forme organizaționale de educație.

4. Guzeev și practica tehnologiei educaționale integrale.

M. „Educația oamenilor”, 2001

5. Guzeev din formele lecției - seminar.

Matematica la scoala nr 2, 1987, p. 9 - 11.

6. Tehnologii educaționale Selevko.

M. „Educația oamenilor”, 1998

7. Scolarii Episheva invata matematica.

M. „Iluminismul”, 1990

8. Ivanov să pregătească lecții - ateliere.

Matematica la Scoala Nr.6, 1990, p. 37-40.

9. Modelul Smirnov de predare a matematicii.

Matematica la Scoala Nr.1, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko moduri de organizare a lucrărilor practice.

Matematica la Scoala Nr.1, 1993, p. 27 - 28.

11. Despre unul dintre tipurile de muncă individuală.

Matematica la Scoala Nr 2, 1994, p. 63 - 64.

12. Khazankin abilitățile creative ale școlarilor.

Matematica la Scoala Nr.2, 1989, p. zece.

13. Scanavi. Editura, 1997

14. et al.Algebra şi începuturile analizei. Materiale didactice pt

15. Sarcini Krivonogov în matematică.

M. „Primul septembrie”, 2002

16. Cerkasov. Manual pentru elevii de liceu și

intrarea la universitati. „A S T – școala de presă”, 2002

17. Zhevnyak pentru solicitanții la universități.

Minsk și RF „Review”, 1996

18. Scris D. Pregătirea pentru examenul la matematică. M. Rolf, 1999

19. şi altele.Învăţarea rezolvării ecuaţiilor şi inegalităţilor.

M. „Intelectul – Centru”, 2003

20. şi altele.Materiale educaţionale şi de instruire pentru pregătirea pentru E G E.

M. „Intelect – Centru”, 2003 și 2004

21 și altele.Variante ale CMM. Centrul de testare al Ministerului Apărării al Federației Ruse, 2002, 2003

22. Ecuații Goldberg. „Quantum” nr. 3, 1971

23. Volovich M. Cum se preda cu succes matematica.

Matematică, 1997 Nr. 3.

24 Okunev pentru lecție, copii! M. Iluminismul, 1988

25. Yakimanskaya - educație orientată la școală.

26. Liimets lucreaza la lectie. M. Cunoașterea, 1975

În etapa de pregătire pentru proba finală, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „Ecuații exponențiale”. Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească cu atenție teoria, să memoreze formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de sarcini, absolvenții vor putea conta pe scoruri mari la promovarea examenului la matematică.

Pregătește-te pentru examenul împreună cu Shkolkovo!

La repetarea materialelor parcurse, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare rezolvării ecuațiilor. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână, iar selectarea informațiilor necesare pe o temă de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm o metodă complet nouă de pregătire pentru testul final. Studiind pe site-ul nostru, vei putea identifica lacunele în cunoștințe și vei fi atent tocmai acelor sarcini care provoacă cele mai mari dificultăți.

Profesorii de la „Șkolkovo” au colectat, sistematizat și prezentat tot materialul necesar pentru promovarea cu succes a examenului în cea mai simplă și accesibilă formă.

Principalele definiții și formule sunt prezentate în secțiunea „Referință teoretică”.

Pentru o mai bună asimilare a materialului, vă recomandăm să exersați temele. Revizuiți cu atenție exemplele de ecuații exponențiale cu soluții prezentate pe această pagină pentru a înțelege algoritmul de calcul. După aceea, continuați cu sarcinile din secțiunea „Cataloguri”. Puteți începe cu cele mai ușoare sarcini sau puteți merge direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care ți-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. Așa că le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul.

Pentru a trece cu succes examenul, studiați pe portalul Shkolkovo în fiecare zi!

Universitatea de Stat din Belgorod

SCAUN algebră, teoria numerelor și geometrie

Tema de lucru: Ecuații și inegalități exponențiale-putere.

Munca de absolvent student al Facultății de Fizică și Matematică

supraveghetor:

______________________________

Revizor: ________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introducere			3
*Subiect* *eu.*	Analiza literaturii de specialitate pe tema de cercetare.
*Subiect* *II.*	Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților de putere exponențială.
	*I.1.*	Funcția de putere și proprietățile acesteia.
	*I.2.*	Funcția exponențială și proprietățile ei.
*Subiect* *III.*	Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.
*Subiect* *IV.*	Rezolvarea inegalităților exponențiale-putere, plan de soluții și exemple.
*Subiect* v.	Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere”.
v. 1.	Material didactic.
v. 2.	Sarcini pentru soluție independentă.
*Concluzie.*	Concluzii si oferte.
*Bibliografie.*
*Aplicații*

Introducere.

„... bucuria de a vedea și înțelege...”

A. Einstein.

În această lucrare, am încercat să transmit experiența mea de profesor de matematică, să transmit, cel puțin într-o oarecare măsură, atitudinea mea față de predarea ei - o chestiune umană în care știința matematică, pedagogia, didactica, psihologia și chiar filosofia sunt surprinzător. împletite.

Am avut ocazia să lucrez cu copii și absolvenți, cu copii care stau la polii dezvoltării intelectuale: cei care erau înscriși la psihiatru și care erau cu adevărat interesați de matematică.

A trebuit să rezolv multe probleme metodologice. Voi încerca să vorbesc despre cele pe care am reușit să le rezolv. Dar și mai mult - nu a fost posibil, iar în cele care par a fi rezolvate apar noi întrebări.

Dar și mai importante decât experiența în sine sunt reflecțiile și îndoielile profesorului: de ce este exact așa, această experiență?

Iar vara este diferită acum, iar rândul educației a devenit mai interesant. „Sub Jupiteri” astăzi nu este căutarea unui sistem optim mitic de predare „toată lumea și totul”, ci copilul însuși. Dar apoi – cu necesitate – și profesorul.

La cursul școlar de algebră și începutul analizei, clasele 10 - 11, la promovarea examenului pentru un curs de liceu și la examenele de admitere la universități, există ecuații și inegalități care conțin o necunoscută la bază și exponenți - aceștia sunt exponențiali -ecuaţii de putere şi inegalităţi.

Li se acordă puțină atenție la școală, practic nu există sarcini pe această temă în manuale. Totuși, stăpânirea metodologiei de rezolvare a acestora, mi se pare, este foarte utilă: crește abilitățile mentale și creative ale elevilor, ni se deschid orizonturi complet noi. La rezolvarea problemelor, studenții dobândesc primele abilități ale muncii de cercetare, cultura lor matematică este îmbogățită, iar capacitatea de a gândi logic se dezvoltă. Elevii dezvoltă astfel de trăsături de personalitate precum intenția, stabilirea de obiective, independența, care le vor fi utile în viața ulterioară. Și, de asemenea, există o repetare, extindere și asimilare profundă a materialului educațional.

Am început să lucrez la acest subiect din cercetarea tezei mele cu scrierea unei lucrări de termen. În cursul căreia am studiat și analizat mai aprofundat literatura de specialitate pe această temă, am identificat cea mai potrivită metodă de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere.

Constă în faptul că, pe lângă abordarea general acceptată la rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială (baza se ia mai mare decât 0) și la rezolvarea acelorași inegalități (baza se consideră mai mare decât 1 sau mai mare decât 0, dar mai mică decât 1), sunt luate în considerare și cazurile când bazele sunt negative, sunt 0 și 1.

O analiză a lucrărilor scrise ale elevilor arată că lipsa de acoperire a problemei valorii negative a argumentului funcției exponențial-putere din manualele școlare le provoacă o serie de dificultăți și duce la erori. Și, de asemenea, au probleme la etapa de sistematizare a rezultatelor obținute, unde, din cauza trecerii la ecuație - o consecință sau inegalitate - o consecință, pot apărea rădăcini străine. Pentru a elimina erorile, folosim o verificare a ecuației sau inegalității inițiale și un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială sau un plan pentru rezolvarea inegalităților de putere exponențială.

Pentru ca studenții să promoveze cu succes examenele finale și de admitere, cred că este necesar să se acorde mai multă atenție rezolvării ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere în clasă, sau suplimentar la opțiuni și cercuri.

Prin urmare subiect , teza mea este definită astfel: „Ecuații și inegalități exponențiale-putere”.

Goluri din această lucrare sunt:

1. Analizați literatura pe această temă.

2. Oferiți o analiză completă a soluției ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere.

3. Dați un număr suficient de exemple pe această temă de diferite tipuri.

4. Verifică în clase, opțional și cerc cum vor fi percepute metodele propuse pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere. Oferiți recomandări adecvate pentru studiul acestui subiect.

Subiect cercetarea noastră este de a dezvolta o tehnică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale de putere.

Scopul și subiectul studiului au necesitat rezolvarea următoarelor sarcini:

1. Studiați literatura de specialitate pe tema: „Ecuații și inegalități exponențiale-putere”.

2. Stăpânește metodele de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere.

3. Selectați materialul de instruire și dezvoltați un sistem de exerciții la diferite niveluri pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere”.

Pe parcursul cercetării tezei au fost analizate peste 20 de lucrări dedicate aplicării diferitelor metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere. De aici ajungem.

Planul tezei:

Introducere.

Capitolul I. Analiza literaturii de specialitate pe tema de cercetare.

Capitolul II. Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților de putere exponențială.

II.1. Funcția de putere și proprietățile acesteia.

II.2. Funcția exponențială și proprietățile ei.

Capitolul III. Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.

Capitolul IV. Rezolvarea inegalităților exponențiale-putere, plan de soluții și exemple.

Capitolul V. Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe această temă.

1. Material educativ.

2. Sarcini pentru soluție independentă.

Concluzie. Concluzii si oferte.

Lista literaturii folosite.

Literatura analizată în capitolul I

Această lecție este destinată celor care abia încep să învețe ecuațiile exponențiale. Ca întotdeauna, să începem cu o definiție și exemple simple.

Dacă citiți această lecție, atunci bănuiesc că aveți deja o înțelegere minimă a celor mai simple ecuații - liniare și pătrate: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. Pentru a putea rezolva astfel de construcții este absolut necesar pentru a nu „atârna” subiectul care va fi discutat acum.

Deci, ecuații exponențiale. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Unele dintre ele ți se pot părea mai complicate, unele dintre ele, dimpotrivă, sunt prea simple. Dar toate sunt unite printr-o caracteristică importantă: conțin o funcție exponențială $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Astfel, introducem definitia:

O ecuație exponențială este orice ecuație care conține o funcție exponențială, adică. o expresie de forma $((a)^(x))$. Pe lângă funcția specificată, astfel de ecuații pot conține orice alte construcții algebrice - polinoame, rădăcini, trigonometrie, logaritmi etc.

Bine atunci. A înțeles definiția. Acum întrebarea este: cum să rezolvi toate prostiile astea? Răspunsul este atât simplu, cât și complex în același timp.

Să începem cu vestea bună: din experiența mea cu mulți studenți, pot spune că pentru cei mai mulți dintre ei, ecuațiile exponențiale sunt mult mai ușoare decât aceleași logaritmi, și cu atât mai mult trigonometria.

Dar există și vești proaste: uneori, compilatorii de probleme pentru tot felul de manuale și examene sunt vizitați de „inspirație”, iar creierul lor inflamat de droguri începe să producă ecuații atât de brutale încât devine problematic nu numai pentru studenți să le rezolve - chiar și mulți profesori rămân blocați în astfel de probleme.

Cu toate acestea, să nu vorbim despre lucruri triste. Și să revenim la acele trei ecuații care au fost date chiar la începutul poveștii. Să încercăm să le rezolvăm pe fiecare dintre ele.

Prima ecuație: $((2)^(x))=4$. Ei bine, la ce putere trebuie ridicat numărul 2 pentru a obține numărul 4? Poate al doilea? La urma urmei, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — și am obținut egalitatea numerică corectă, adică. într-adevăr $x=2$. Ei bine, mulțumesc, cap, dar această ecuație a fost atât de simplă încât până și pisica mea a putut să o rezolve. :)

Să ne uităm la următoarea ecuație:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Dar aici este puțin mai dificil. Mulți elevi știu că $((5)^(2))=25$ este tabla înmulțirii. Unii bănuiesc, de asemenea, că $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ este în esență definiția exponenților negativi (similar cu formula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

În cele din urmă, doar câțiva bănuiesc că aceste fapte pot fi combinate și rezultatul este următorul rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Astfel, ecuația noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Și acum acest lucru este deja complet rezolvat! În partea stângă a ecuației există o funcție exponențială, în partea dreaptă a ecuației este o funcție exponențială, nu există nimic altceva decât ei în altă parte. Prin urmare, este posibil să „renunți” bazele și să echivalezi prostesc indicatorii:

Avem cea mai simplă ecuație liniară pe care orice student o poate rezolva în doar câteva linii. Bine, în patru rânduri:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Dacă nu înțelegeți ce sa întâmplat în ultimele patru rânduri, asigurați-vă că reveniți la subiectul „ecuații liniare” și repetați-l. Pentru că, fără o asimilare clară a acestui subiect, este prea devreme să vă asumați ecuații exponențiale.

\[((9)^(x))=-3\]

Ei bine, cum te decizi? Primul gând: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, deci ecuația originală poate fi rescrisă astfel:

\[((\stanga(((3)^(2)) \dreapta))^(x))=-3\]

Apoi ne amintim că atunci când creșteți un grad la o putere, indicatorii sunt înmulțiți:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Iar pentru o astfel de decizie, primim un duu sincer meritat. Căci noi, cu equanimitatea unui Pokemon, am trimis semnul minus în fața celor trei la puterea tocmai acestor trei. Și nu poți face asta. Si de aceea. Aruncă o privire la diferitele puteri ale triplei:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Compilând această tabletă, nu am pervertit imediat ce am făcut-o: am luat în considerare grade pozitive și negative și chiar fracționale ... ei bine, unde este cel puțin un număr negativ aici? El nu este! Și nu poate fi, deoarece funcția exponențială $y=((a)^(x))$, în primul rând, ia întotdeauna numai valori pozitive (indiferent cât de mult ați înmulți unul sau împărțiți cu doi, va fi totuși un număr pozitiv), iar în al doilea rând, baza unei astfel de funcții, numărul $a$, este prin definiție un număr pozitiv!

Ei bine, atunci cum se rezolvă ecuația $((9)^(x))=-3$? Nu, nu există rădăcini. Și în acest sens, ecuațiile exponențiale sunt foarte asemănătoare cu cele pătratice - poate să nu existe și rădăcini. Dar dacă în ecuațiile pătratice numărul de rădăcini este determinat de discriminant (discriminantul este pozitiv - 2 rădăcini, negativ - fără rădăcini), atunci în ecuațiile exponențiale totul depinde de ceea ce se află în dreapta semnului egal.

Astfel, formulăm concluzia cheie: cea mai simplă ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$ are rădăcină dacă și numai dacă $b>0$. Cunoscând acest simplu fapt, poți determina cu ușurință dacă ecuația care ți se propune are rădăcini sau nu. Acestea. merită să o rezolvi deloc sau notează imediat că nu există rădăcini.

Aceste cunoștințe ne vor ajuta de multe ori atunci când trebuie să rezolvăm probleme mai complexe. Între timp, destule versuri - este timpul să studiem algoritmul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Cum se rezolvă ecuații exponențiale

Deci, să formulăm problema. Este necesar să se rezolve ecuația exponențială:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Conform algoritmului „naiv” pe care l-am folosit mai devreme, este necesar să reprezentăm numărul $b$ ca putere a numărului $a$:

În plus, dacă există o expresie în locul variabilei $x$, vom obține o nouă ecuație care poate fi deja rezolvată. De exemplu:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Și, în mod ciudat, această schemă funcționează în aproximativ 90% din cazuri. Dar ceilalți 10% atunci? Restul de 10% sunt ecuații exponențiale ușor „schizofrenice” de forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

La ce putere trebuie să ridici 2 pentru a obține 3? In primul? Dar nu: $((2)^(1))=2$ nu este suficient. In secunda? Nici: $((2)^(2))=4$ nu este prea mult. Ce atunci?

Studenții cunoscători probabil au ghicit deja: în astfel de cazuri, când este imposibil să rezolvi „frumos”, „artileria grea” este conectată la caz - logaritmi. Permiteți-mi să vă reamintesc că folosind logaritmi, orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca o putere a oricărui alt număr pozitiv (cu excepția unuia):

Îți amintești această formulă? Când le spun elevilor mei despre logaritmi, vă avertizez mereu: această formulă (este și identitatea logaritmică de bază sau, dacă doriți, definiția logaritmului) vă va bântui foarte mult timp și va „emerge” în cel mai mult locuri neașteptate. Ei bine, ea a ieșit la suprafață. Să ne uităm la ecuația noastră și la această formulă:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Dacă presupunem că $a=3$ este numărul nostru original din dreapta și $b=2$ este însăși baza funcției exponențiale la care dorim să reducem partea dreaptă, obținem următoarele:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Am primit un răspuns ușor ciudat: $x=((\log )_(2))3$. Într-o altă sarcină, cu un astfel de răspuns, mulți s-ar îndoi și ar începe să-și verifice soluția: ce se întâmplă dacă ar fi o greșeală undeva? Mă grăbesc să vă mulțumesc: nu există nicio eroare aici, iar logaritmii din rădăcinile ecuațiilor exponențiale sunt o situație destul de tipică. Așa că obișnuiește-te. :)

Acum rezolvăm prin analogie celelalte două ecuații:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Asta e tot! Apropo, ultimul răspuns poate fi scris diferit:

Noi am fost cei care am introdus multiplicatorul în argumentul logaritmului. Dar nimeni nu ne împiedică să adăugăm acest factor la bază:

În plus, toate cele trei opțiuni sunt corecte - sunt doar forme diferite de a scrie același număr. Pe care să-l alegi și să-l notezi în această decizie depinde de tine.

Astfel, am învățat să rezolvăm orice ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$, unde numerele $a$ și $b$ sunt strict pozitive. Cu toate acestea, realitatea dură a lumii noastre este că astfel de sarcini simple te vor întâlni foarte, foarte rar. Mai des vei întâlni ceva de genul acesta:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Ei bine, cum te decizi? Se poate rezolva deloc acest lucru? Și dacă da, cum?

Fara panica. Toate aceste ecuații sunt rapid și simplu reduse la acele formule simple pe care le-am luat deja în considerare. Trebuie doar să știi să-ți amintești câteva trucuri de la cursul de algebră. Și, desigur, nu există reguli pentru a lucra cu diplome aici. Voi vorbi despre toate acestea acum. :)

Transformarea ecuațiilor exponențiale

Primul lucru de reținut este că orice ecuație exponențială, oricât de complexă ar fi, într-un fel sau altul trebuie redusă la cele mai simple ecuații - tocmai acelea pe care le-am luat în considerare deja și pe care știm să le rezolvăm. Cu alte cuvinte, schema de rezolvare a oricărei ecuații exponențiale arată astfel:

Notați ecuația inițială. De exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Fă niște prostii. Sau chiar niște prostii numite „transform the ecuation”;
La ieșire, obțineți cele mai simple expresii precum $((4)^(x))=4$ sau altceva de genul acesta. Mai mult, o ecuație inițială poate da mai multe astfel de expresii simultan.

Cu primul punct, totul este clar - chiar și pisica mea poate scrie ecuația pe o frunză. Și cu al treilea punct, se pare, este mai mult sau mai puțin clar - am rezolvat deja o grămadă de astfel de ecuații mai sus.

Dar ce zici de al doilea punct? Care sunt transformările? Ce să convertești în ce? Si cum?

Ei bine, hai să ne dăm seama. În primul rând, aș dori să subliniez următoarele. Toate ecuațiile exponențiale sunt împărțite în două tipuri:

Ecuația este compusă din funcții exponențiale cu aceeași bază. Exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Formula conține funcții exponențiale cu baze diferite. Exemple: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ și $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Să începem cu ecuațiile de primul tip - sunt cele mai ușor de rezolvat. Și în soluția lor vom fi ajutați de o astfel de tehnică precum selecția expresiilor stabile.

Evidențierea unei expresii stabile

Să ne uităm din nou la această ecuație:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ce vedem? Cei patru sunt crescuți în grade diferite. Dar toate aceste puteri sunt simple sume ale variabilei $x$ cu alte numere. Prin urmare, este necesar să ne amintim regulile de lucru cu grade:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Mai simplu spus, adăugarea exponenților poate fi convertită într-un produs de puteri, iar scăderea este ușor convertită în diviziune. Să încercăm să aplicăm aceste formule la puterile din ecuația noastră:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac((((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Rescriem ecuația originală ținând cont de acest fapt și apoi colectăm toți termenii din stânga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -unsprezece; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Primii patru termeni conțin elementul $((4)^(x))$ — să-l scoatem din paranteză:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Rămâne să împărțim ambele părți ale ecuației la fracția $-\frac(11)(4)$, adică. în esență înmulțiți cu fracția inversată - $-\frac(4)(11)$. Primim:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Asta e tot! Am redus ecuația inițială la cea mai simplă și am obținut răspunsul final.

În același timp, în procesul de rezolvare, am descoperit (și chiar am scos din paranteză) factorul comun $((4)^(x))$ - aceasta este expresia stabilă. Poate fi desemnată ca o nouă variabilă sau pur și simplu o puteți exprima cu acuratețe și obține un răspuns. În orice caz, principiul cheie al soluției este următorul:

Găsiți în ecuația originală o expresie stabilă care conține o variabilă care este ușor de distins de toate funcțiile exponențiale.

Vestea bună este că aproape fiecare ecuație exponențială admite o expresie atât de stabilă.

Dar există și vești proaste: astfel de expresii pot fi foarte complicate și poate fi destul de dificil să le distingem. Deci, să ne uităm la o altă problemă:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Poate că cineva va avea acum o întrebare: „Pașa, ești lapidat? Iată diferite baze - 5 și 0.2. Dar să încercăm să convertim o putere cu baza 0.2. De exemplu, să scăpăm de fracția zecimală, aducând-o la obișnuit:

\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

După cum puteți vedea, numărul 5 a apărut în continuare, deși la numitor. În același timp, indicatorul a fost rescris ca negativ. Și acum ne amintim una dintre cele mai importante reguli pentru lucrul cu grade:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Aici, bineînțeles, am înșelat puțin. Deoarece pentru o înțelegere completă, formula pentru a scăpa de indicatorii negativi a trebuit să fie scrisă după cum urmează:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ dreapta))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Pe de altă parte, nimic nu ne-a împiedicat să lucrăm cu o singură fracție:

\[((\left(\frac(1)(5) \right)))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Dar, în acest caz, trebuie să poți ridica un grad la un alt grad (vă reamintesc: în acest caz, indicatorii sunt adunați). Dar nu a trebuit să „întorc” fracțiile - poate pentru cineva va fi mai ușor. :)

În orice caz, ecuația exponențială inițială va fi rescrisă ca:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Deci, se dovedește că ecuația inițială este chiar mai ușor de rezolvat decât cea considerată anterior: aici nici măcar nu trebuie să evidențiați o expresie stabilă - totul a fost redus de la sine. Rămâne doar să ne amintim că $1=((5)^(0))$, de unde obținem:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Asta e toata solutia! Am primit răspunsul final: $x=-2$. În același timp, aș dori să remarc un truc care a simplificat foarte mult toate calculele pentru noi:

În ecuațiile exponențiale, asigurați-vă că scăpați de fracțiile zecimale, traduceți-le în cele obișnuite. Acest lucru vă va permite să vedeți aceleași baze ale gradelor și să simplificați foarte mult soluția.

Acum să trecem la ecuații mai complexe în care există baze diferite, care în general nu sunt reductibile între ele folosind puteri.

Folosind proprietatea exponentului

Permiteți-mi să vă reamintesc că avem două ecuații mai deosebit de dure:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Principala dificultate aici este că nu este clar ce și pe ce bază să conducă. Unde sunt expresiile fixe? Unde sunt temeiurile comune? Nu există nimic din toate acestea.

Dar să încercăm să mergem în altă direcție. Dacă nu există baze identice gata făcute, puteți încerca să le găsiți prin factorizarea bazelor disponibile.

Să începem cu prima ecuație:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Dar puteți face opusul - alcătuiți numărul 21 din numerele 7 și 3. Este deosebit de ușor să faceți acest lucru în stânga, deoarece indicatorii ambelor grade sunt aceiași:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Asta e tot! Ai scos exponentul din produs și ai obținut imediat o ecuație frumoasă care poate fi rezolvată în câteva rânduri.

Acum să ne ocupăm de a doua ecuație. Aici totul este mult mai complicat:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

În acest caz, fracțiile s-au dovedit a fi ireductibile, dar dacă ceva ar putea fi redus, asigurați-vă că îl reduceți. Acest lucru va duce adesea la motive interesante cu care puteți lucra deja.

Din păcate, nu am venit cu nimic. Dar vedem că exponenții din stânga în produs sunt opuși:

Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a scăpa de semnul minus din exponent, trebuie doar să „întoarceți” fracția. Deci, să rescriem ecuația inițială:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

În a doua linie, doar am încadrat totalul din produs conform regulii $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, iar în acesta din urmă au înmulțit pur și simplu numărul 100 cu o fracție.

Acum rețineți că numerele din stânga (la bază) și din dreapta sunt oarecum similare. Cum? Da, evident: sunt puteri de același număr! Noi avem:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \dreapta))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dreapta))^(2)). \\\end(align)\]

Astfel, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \dreapta))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

În același timp, în dreapta, puteți obține și o diplomă cu aceeași bază, pentru care este suficient doar să „întoarceți” fracția:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

În cele din urmă, ecuația noastră va lua forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Asta e toata solutia. Ideea sa principală se rezumă la faptul că, chiar și din motive diferite, încercăm prin cârlig sau prin escroc să reducem aceste motive la același. În aceasta ne ajută transformările elementare ale ecuațiilor și regulile de lucru cu puteri.

Dar ce reguli și când să folosiți? Cum să înțelegeți că într-o ecuație trebuie să împărțiți ambele părți cu ceva, iar în alta - să factorizați baza funcției exponențiale?

Răspunsul la această întrebare va veni odată cu experiența. Încearcă-ți mai întâi ecuații simple, apoi complică treptat sarcinile - și foarte curând abilitățile tale vor fi suficiente pentru a rezolva orice ecuație exponențială din aceeași UTILIZARE sau orice muncă independentă / de testare.

Și pentru a vă ajuta în această sarcină dificilă, vă sugerez să descărcați un set de ecuații pe site-ul meu pentru o soluție independentă. Toate ecuațiile au răspunsuri, așa că vă puteți verifica întotdeauna.

În această lecție, vom lua în considerare soluția unor ecuații exponențiale mai complexe, amintim principalele prevederi teoretice referitoare la funcția exponențială.

1. Definiția și proprietățile unei funcții exponențiale, o tehnică de rezolvare a celor mai simple ecuații exponențiale

Amintiți-vă definiția și principalele proprietăți ale unei funcții exponențiale. Soluția tuturor ecuațiilor și inegalităților exponențiale se bazează pe proprietăți.

Functie exponentiala este o funcție de forma , unde baza este gradul și Aici x este o variabilă independentă, un argument; y - variabilă dependentă, funcție.

Orez. 1. Graficul funcției exponențiale

Graficul prezintă un exponent crescător și descrescător, ilustrând funcția exponențială la o bază mai mare decât unu și mai mică decât unu, dar mai mare decât zero, respectiv.

Ambele curbe trec prin punctul (0;1)

Proprietățile funcției exponențiale:

Domeniu: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă, crește cu , scade cu .

O funcție monotonă ia fiecare dintre valorile sale cu o singură valoare a argumentului.

Când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția crește de la zero, inclusiv, la plus infinit. Dimpotrivă, când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția scade de la infinit la zero, inclusiv.

2. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale tipice

Amintiți-vă cum să rezolvați cele mai simple ecuații exponențiale. Soluția lor se bazează pe monotonitatea funcției exponențiale. Aproape toate ecuațiile exponențiale complexe sunt reduse la astfel de ecuații.

Egalitatea exponenților cu baze egale se datorează proprietății funcției exponențiale și anume monotonitatea acesteia.

Metoda de rezolvare:

Echivalează bazele gradelor;

Echivalează exponenții.

Să trecem la ecuații exponențiale mai complexe, scopul nostru este să reducem fiecare dintre ele la cele mai simple.

Să scăpăm de rădăcina din partea stângă și să reducem gradele la aceeași bază:

Pentru a reduce o ecuație exponențială complexă la una simplă, este adesea folosită o schimbare de variabile.

Să folosim proprietatea gradului:

Introducem un înlocuitor. Lasă atunci

Înmulțim ecuația rezultată cu doi și transferăm toți termenii în partea stângă:

Prima rădăcină nu satisface intervalul de valori y, o aruncăm. Primim:

Să aducem gradele la același indicator:

Introducem un înlocuitor:

Lasă atunci . Cu această înlocuire, este evident că y ia valori strict pozitive. Primim:

Știm cum să rezolvăm ecuații pătratice similare, scriem răspunsul:

Pentru a vă asigura că rădăcinile sunt găsite corect, puteți verifica conform teoremei Vieta, adică găsiți suma rădăcinilor și produsul lor și verificați cu coeficienții corespunzători ai ecuației.

Primim:

3. Tehnica de rezolvare a ecuaţiilor exponenţiale omogene de gradul II

Să studiem următorul tip important de ecuații exponențiale:

Ecuațiile de acest tip se numesc omogene de gradul doi în raport cu funcțiile f și g. Pe partea stângă se află un trinom pătrat față de f cu parametrul g sau un trinom pătrat față de g cu parametrul f.

Metoda de rezolvare:

Această ecuație poate fi rezolvată ca una pătratică, dar este mai ușor să o faci invers. Trebuie luate în considerare două cazuri:

În primul caz, obținem

În al doilea caz, avem dreptul de a împărți cu cel mai înalt grad și obținem: