Teorema. Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte.

Luați niște triunghi ABC (Fig. 208). Să notăm unghiurile sale interioare cu 1, 2 și 3. Să demonstrăm că

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Să desenăm printr-un vârf al triunghiului, de exemplu B, dreapta MN paralelă cu AC.

La vârful B, avem trei unghiuri: ∠4, ∠2 și ∠5. Suma lor este un unghi drept, prin urmare, este egală cu 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Dar ∠4 \u003d ∠1 sunt unghiuri interioare încrucișate cu drepte paralele MN și AC și o secanta AB.

∠5 = ∠3 sunt unghiuri interioare încrucișate cu drepte paralele MN și AC și secante BC.

Prin urmare, ∠4 și ∠5 pot fi înlocuite cu egalii lor ∠1 și ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema a fost demonstrată.

2. Proprietatea unghiului extern al unui triunghi.

Teorema. Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

Într-adevăr, în triunghiul ABC (Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, dar și ∠BCD, unghiul extern al acestui triunghi, neadiacent cu ∠1 și ∠2, este de asemenea egal cu 180° - ∠3 .

Prin urmare:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Proprietatea derivată a unghiului extern al unui triunghi rafinează conținutul teoremei demonstrate anterior asupra unghiului extern al unui triunghi, în care s-a afirmat doar că unghiul extern al unui triunghi este mai mare decât fiecare unghi intern al triunghiului care este nu este adiacent cu acesta; acum se stabilește că unghiul exterior este egal cu suma ambelor unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia.

3. Proprietatea unui triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°.

Teorema. catetul unui triunghi dreptunghic opus unui unghi de 30° este egal cu jumătate din ipotenuză.

Fie unghiul B egal cu 30° într-un triunghi dreptunghic ACB (Fig. 210). Apoi, celălalt unghi ascuțit al său va fi de 60°.

Să demonstrăm că catetul AC este egal cu jumătate din ipotenuza AB. Continuăm catetul AC dincolo de vârful unghiului drept C și lăsăm deoparte segmentul CM, egal cu segmentul AC. Conectăm punctul M cu punctul B. Triunghiul rezultat BCM este egal cu triunghiul DIA. Vedem că fiecare unghi al triunghiului AVM este egal cu 60°, prin urmare, acest triunghi este echilateral.

Catemul AC este egal cu jumătate din AM și, deoarece AM este egal cu AB, catetul AC va fi egal cu jumătate din ipotenuza AB.

1) Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Dovada

Fie ABC" un triunghi arbitrar. Să tragem o linie prin vârful B paralelă cu dreapta AC (o astfel de linie se numește linie euclidiană). Marcați punctul D pe ea astfel încât punctele A și D să se afle pe laturi opuse a dreptei BC. Unghiurile DBC și ACB sunt egale ca interioare aflate peste, formate din secantele BC cu drepte paralele AC și BD. Prin urmare, suma unghiurilor triunghiului la vârfurile B și C este egală cu unghiul ABD . Suma tuturor celor trei unghiuri ale triunghiului este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC. Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilaterale pentru paralele AC și BD la secante AB, atunci suma lor este egală cu 180° Teorema este demonstrat.
2) Unghiul extern al unui triunghi la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului triunghiului la acel vârf.

Teoremă: Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri ale unui triunghi care nu sunt adiacente lui

Dovada. Fie ABC triunghiul dat. Conform teoremei despre suma unghiurilor dintr-un triunghi
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180º.
asta implică
∠ ABC + ∠ CAB = 180º - ∠ BCA = ∠ BCD
Teorema a fost demonstrată.

Din teorema rezulta:
Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi al triunghiului care nu este adiacent acestuia.
3) Suma unghiurilor unui triunghi = 180 de grade. Dacă unul dintre unghiuri este o linie dreaptă (90 de grade), celelalte două au și 90, ceea ce înseamnă că fiecare dintre ele este mai mic de 90, adică sunt ascuțite. dacă unul dintre unghiuri este obtuz, atunci celelalte două sunt mai mici de 90, adică sunt clar ascuțite.
4) obtuz - mai mare de 90 de grade
acut - mai puțin de 90 de grade
5) a. Un triunghi cu unul dintre unghiuri egal cu 90 de grade.
b. Picioare și ipotenuză
6) 6°. În fiecare triunghi, un unghi mai mare se află opus laturii mai mari și invers: latura mai mare se află opusă unghiului mai mare. Orice segment are unul și un singur punct de mijloc.
7) Conform teoremei lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, ceea ce înseamnă că ipotenuza este mai mare decât fiecare catete.
8) --- la fel ca 7
9) Suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. iar dacă fiecare latură a triunghiului ar fi mai mare decât suma celorlalte două laturi, atunci suma unghiurilor ar fi mai mare decât 180, ceea ce este imposibil. prin urmare - fiecare latură a triunghiului este mai mică decât suma celorlalte două laturi.
10) Suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180 de grade.
Deoarece acest triunghi este dreptunghic, atunci unul dintre unghiurile sale este drept, adică este egal cu 90 de grade.
Prin urmare, suma celorlalte două unghiuri ascuțite este 180-90=90 de grade.
11) 1. Luați în considerare un triunghi dreptunghic ABC în care unghiul A este un unghi drept, unghiul B \u003d 30 de grade și unghiul C \u003d 60. Să aplicăm triunghiului ABD egal cu acesta triunghiului ABC. Obținem triunghiuri BCD în care unghiul B = unghiul D = 60 de grade, deci DC = BC. Dar prin construirea AC 1/2 î.Hr., ceea ce urma să fie demonstrat.2. Dacă catetul unui triunghi dreptunghic este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul situat opus acestui catet este de 30 de grade. Să aplicăm triunghiului ABC triunghiul său egal ABD. Obțineți un triunghi echilateral BCD. Unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale între ele (deoarece unghiurile egale se află pe laturi egale), deci fiecare dintre ele = 60 de grade. Dar unghiul DBC = 2 unghiuri ABC, de unde unghiul ABC = 30 de grade, care trebuia să se dovedească.

>>Geometrie: suma unghiurilor unui triunghi. Lecții complete

TEMA LECȚIEI: Suma unghiurilor unui triunghi.

Obiectivele lecției:

• Consolidarea și testarea cunoștințelor elevilor pe tema: „Suma unghiurilor unui triunghi”;
• Dovada proprietăților unghiurilor unui triunghi;
• Utilizarea acestei proprietăți în rezolvarea celor mai simple probleme;
• Utilizarea materialului istoric pentru dezvoltarea activității cognitive a elevilor;
• Insuflarea abilității de precizie în construcția desenelor.

Obiectivele lecției:

• Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.

Planul lecției:

1. Triunghi;
2. Teoremă asupra sumei unghiurilor unui triunghi;
3. Exemplu de sarcină.

Triunghi.

Fișier:O.gif Triunghi- cel mai simplu poligon având 3 vârfuri (colțuri) și 3 laturi; o parte a unui plan mărginită de trei puncte și trei segmente de dreaptă care leagă aceste puncte în perechi.
Trei puncte din spațiu care nu se află pe o singură dreaptă corespund unui singur plan.
Orice poligon poate fi împărțit în triunghiuri - acest proces se numește triangulaţie.
Există o secțiune de matematică dedicată în întregime studiului modelelor de triunghiuri - Trigonometrie.

Teorema despre suma unghiurilor unui triunghi.

Fișier:T.gif Teorema sumei unghiurilor triunghiulare este o teoremă clasică în geometria euclidiană care afirmă că suma unghiurilor unui triunghi este de 180°.

dovada" :

Fie dat Δ ABC. Să trasăm o dreaptă paralelă cu (AC) prin vârful B și să marchem punctul D pe acesta, astfel încât punctele A și D să se afle pe părțile opuse ale dreptei BC. Atunci unghiul (DBC) și unghiul (ACB) sunt egale ca cruci interne situate la liniile paralele BD și AC și secanta (BC). Atunci suma unghiurilor triunghiului de la vârfurile B și C este egală cu unghiul (ABD). Dar unghiul (ABD) și unghiul (BAC) la vârful A al triunghiului ABC sunt interioare unilaterale cu drepte paralele BD și AC și secante (AB), iar suma lor este de 180°. Prin urmare, suma unghiurilor unui triunghi este 180°. Teorema a fost demonstrată.

Consecințe.

Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia.

Dovada:

Fie dat Δ ABC. Punctul D se află pe dreapta AC, astfel încât A se află între C și D. Atunci BAD este extern unghiului triunghiului la vârful A și A + BAD = 180°. Dar A + B + C = 180°, și deci B + C = 180° – A. Prin urmare BAD = B + C. Corolarul este demonstrat.

Consecințe.

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi al triunghiului care nu este adiacent acestuia.

Sarcină.

Unghiul exterior al unui triunghi este unghiul adiacent oricărui unghi al acestui triunghi. Demonstrați că un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia.
(Fig.1)

Decizie:

Fie în Δ ABC ∠DAC extern (Fig.1). Atunci ∠DAC=180°-∠BAC (după proprietatea unghiurilor adiacente), conform teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi ∠B+∠C =180°-∠BAC. Din aceste egalități obținem ∠DAC=∠B+∠C

Fapt interesant:

Suma unghiurilor unui triunghi :

În geometria lui Lobaciovski, suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mică de 180. În geometria lui Euclid, este întotdeauna egală cu 180. În geometria riemanniană, suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mare decât 180.

Din istoria matematicii:

Euclid (sec. III î.Hr.) în lucrarea „Începuturi” dă următoarea definiție: „Paralele sunt linii drepte care se află în același plan și, fiind prelungite la infinit în ambele direcții, nu se întâlnesc una cu cealaltă de nicio parte”.
Posidonius (secolul I î.Hr.) „Două linii drepte situate în același plan, echidistante una de cealaltă”
Omul de știință grec antic Pappus (sec. III î.Hr.) a introdus simbolul liniilor paralele - semnul =. Ulterior, economistul englez Ricardo (1720-1823) a folosit acest simbol ca semn egal.
Abia în secolul al XVIII-lea au început să folosească simbolul liniilor paralele - semnul ||.
Legătura vie dintre generații nu se întrerupe nicio clipă, în fiecare zi învățăm experiența acumulată de strămoșii noștri. Grecii antici, pe baza observațiilor și a experienței practice, au tras concluzii, au exprimat ipoteze, iar apoi, la întâlnirile oamenilor de știință - simpozioane (literalmente „sărbătoare”) - au încercat să fundamenteze și să demonstreze aceste ipoteze. La acea vreme s-a format afirmația: „Adevărul se naște într-o dispută”.

Întrebări:

1. Ce este un triunghi?
2. Ce spune teorema sumei triunghiului?
3. Care este unghiul exterior al triunghiului?

Faptul că „Suma unghiurilor oricărui triunghi din geometria euclidiană este de 180 de grade” poate fi reținut cu ușurință. Dacă amintirea nu este ușoară, puteți efectua câteva experimente pentru o memorare mai bună.

Experimentul unu

Desenați câteva triunghiuri arbitrare pe o bucată de hârtie, de exemplu:

• cu laturi arbitrare;
• triunghi isoscel;
• triunghi dreptunghic.

Asigurați-vă că utilizați linia. Acum trebuie să tăiați triunghiurile rezultate, făcând-o exact de-a lungul liniilor desenate. Colorează colțurile fiecărui triunghi cu creion colorat sau creion. De exemplu, în primul triunghi, toate colțurile vor fi roșii, în al doilea - albastru, al treilea - verde. http://bit.ly/2gY4Yfz

Din primul triunghi, tăiați toate cele 3 colțuri și conectați-le într-un punct cu vârfurile, astfel încât cele mai apropiate laturi ale fiecărui colț să fie conectate. După cum puteți vedea, cele trei unghiuri ale triunghiului au format un unghi drept, care este egal cu 180 de grade. Faceți același lucru cu celelalte două triunghiuri - rezultatul va fi același. http://bit.ly/2zurCrd

Experimentul doi

Desenăm un triunghi arbitrar ABC. Selectăm orice vârf (de exemplu, C) și tragem o linie dreaptă DE prin el, paralelă cu latura opusă (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Obținem următoarele:

1. Unghiurile BAC și ACD sunt egale, deoarece se încrucișează intern față de AC;
2. Unghiurile ABC și BCE sunt egale, deoarece se încrucișează intern față de BC;
3. Vedem că unghiurile 1, 2 și 3 - unghiurile triunghiului, conectate într-un punct, au format un unghi dezvoltat DCE, care este egal cu 180 de grade.

Teorema sumei triunghiului afirmă că suma tuturor unghiurilor interioare ale oricărui triunghi este de 180°.

Fie unghiurile interioare ale triunghiului a, b și c, atunci:

a + b + c = 180°.

Din această teorie, putem concluziona că suma tuturor unghiurilor externe ale oricărui triunghi este de 360 ​​°. Deoarece unghiul exterior este adiacent unghiului interior, suma lor este de 180°. Fie unghiurile interioare ale unui triunghi a, b și c, apoi unghiurile exterioare la aceste unghiuri sunt 180° - a, 180° - b și 180° - c.

Aflați suma unghiurilor exterioare ale triunghiului:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Răspuns: suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180°; suma unghiurilor externe ale unui triunghi este 360°.

„Spune-mi și voi uita
Arată-mi și îmi voi aminti
Implică-mă și voi învăța”
proverb oriental

Scop: Demonstrarea teoremei asupra sumei unghiurilor unui triunghi, exercitarea de rezolvare a problemelor folosind această teoremă, dezvoltarea activității cognitive a elevilor folosind material suplimentar din diverse surse, dezvoltarea capacității de a-i asculta pe ceilalți.

Echipament: Raportor, riglă, modele de triunghi, bandă de dispoziție.

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric.

Marcați pe banda de dispoziție starea dvs. la începutul lecției.

2. Repetarea.

Repetați conceptele care vor fi folosite în demonstrarea teoremei: proprietățile unghiurilor cu drepte paralele, definiția unui unghi drept, gradul de măsură a unui unghi drept.

3. Material nou.

3.1. Munca practica.

Fiecare elev are trei modele de triunghi: acut, dreptunghiular și obtuz. Se propune măsurarea unghiurilor unui triunghi și găsirea sumei acestora. Analizați rezultatul. Puteți obține valori 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 de grade. Calculați media aritmetică (= 180 °) Se propune să ne amintim când unghiurile au măsura în grade de 180 de grade. Elevii își amintesc că acesta este un unghi drept și suma unghiurilor unilaterale.

Să încercăm să obținem suma unghiurilor unui triunghi folosind origami.

Referință istorică

Origami (în japoneză, lit.: „hârtie împăturită”) este arta străveche de a împături figurile din hârtie. Arta origami își are rădăcinile în China antică, unde a fost descoperită hârtia.

3.2. Dovada teoremei din manualul lui L.S. Atanasyan.

Teorema despre suma unghiurilor unui triunghi.

Să demonstrăm una dintre cele mai importante teoreme ale geometriei - teorema despre suma unghiurilor unui triunghi.

Teorema. Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Dovada. Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC și demonstrați că A + B + C= 180°.

Să trasăm o dreaptă a prin vârful B, paralelă cu latura AC. Unghiurile 1 și 4 sunt unghiuri transversale situate la intersecția dreptelor paralele a și AC cu secanta AB, iar unghiurile 3 și 5 sunt unghiuri transversale situate la intersecția acelorași drepte paralele cu secanta BC. Deci unghiul 4 este egal cu unghiul 1, unghiul 5 este egal cu unghiul 3.

Evident, suma unghiurilor 4, 2 și 5 este egală cu unghiul cu vârful B, adică unghiul 4+unghiul 2+unghiul 5=180°. De aici, ținând cont de egalitățile anterioare, obținem: unghiul 1 + unghiul 2+ unghiul 3= 180°, sau A + B+ C=180°. Teorema a fost demonstrată.

3.3. Dovada teoremei din manualul lui A. V. Pogorelov

Demonstrați: A + B + C = 180°

Dovada:

1. Desenați prin vârful B linia BD // AC

2. DBC=ACB, ca fiind situat în cruce la AC//BD și secant BC.

3.ABD=ACB+CBD

Prin urmare, A + B + C = ABD + BAC

4. ABD și BAC sunt unilaterale cu BD // AC și secante AB, deci suma lor este egală cu 180 °, i.e. А+B + C=180 ° , ceea ce urma să fie demonstrat.

3. 4. Dovada teoremei din manualul Kiselev A.N., Rybkina N.A.

Dat: ABC

Dovedi: A+B+C=180°

Dovada:

1. Continuăm partea AC. Vom efectua CE//AB

2. A \u003d ESD, așa cum corespunde cu AB / / CE și AD - secante

3. B \u003d ALL, ca și cum s-ar afla în cruce cu AB / / CE și BC - secante.

4. ESD + ALL + C \u003d 180 °, deci A + B + C \u003d 180 °, care trebuia să fie demonstrat.

3.5. Corolare 1. În orice triunghi, toate unghiurile sunt acute, sau două unghiuri sunt acute, iar al treilea este obtuz sau drept.

Consecința 2.

Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma celorlalte două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia.

3.6. Teorema ne permite să clasificăm triunghiurile nu numai după laturi, ci și după unghiuri.

Vedere triunghiulară	Isoscel	Echilateral	Versatil
dreptunghiular
obtuz
unghiular acut

4. Fixare.

4.1. Rezolvarea problemelor conform desenelor gata făcute.

Găsiți unghiuri necunoscute ale unui triunghi.

4.2. Verificarea cunoștințelor.

1. La sfârșitul lecției noastre, răspundeți la întrebările:

Există triunghiuri cu colțuri:

a) 30, 60, 90 de grade,

b) 46, 4, 140 de grade,

c) 56, 46, 72 de grade?

2. Poate fi într-un triunghi:

a) două unghiuri obtuze

b) unghiuri obtuze și drepte,

c) două unghiuri drepte?

3. Determinați tipul de triunghi dacă un unghi are 45 de grade, celălalt este de 90 de grade.

4. În ce triunghi este suma unghiurilor mai mare: într-un triunghi acut, obtuz sau dreptunghic?

5. Este posibil să se măsoare unghiurile oricărui triunghi?

Aceasta este o întrebare de glumă, pentru că există Triunghiul Bermudelor, situat în Oceanul Atlantic între Bermuda, statul Puerto Rico și peninsula Florida, pentru care este imposibil să se măsoare unghiuri. (Anexa 1)

5. Rezultatul lecției.

Marcați pe banda de dispoziție starea dvs. la sfârșitul lecției.

Teme pentru acasă.

P. 30–31; nr. 223 a, b; nr. 227 a; caietul de lucru nr. 116, 118.