voi fi scurt. Unghiul dintre două linii este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție. Astfel, dacă reușiți să găsiți coordonatele vectorilor de direcție a \u003d (x 1; y 1; z 1) și b \u003d (x 2; y 2; z 2), puteți găsi unghiul. Mai precis, cosinusul unghiului conform formulei:

Să vedem cum funcționează această formulă pe exemple specifice:

Sarcină. Punctele E și F sunt marcate în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și, respectiv, B 1 C 1. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Deoarece muchia cubului nu este specificată, setăm AB = 1. Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, iar axele x, y, z sunt direcționate de-a lungul AB, AD și, respectiv, AA 1. . Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Acum să găsim coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile noastre.

Aflați coordonatele vectorului AE. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de punctele A = (0; 0; 0) și E = (0,5; 0; 1). Deoarece punctul E este mijlocul segmentului A 1 B 1 , coordonatele acestuia sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Rețineți că originea vectorului AE coincide cu originea, deci AE = (0,5; 0; 1).

Acum să ne ocupăm de vectorul BF. În mod similar, analizăm punctele B = (1; 0; 0) și F = (1; 0,5; 1), deoarece F - mijlocul segmentului B 1 C 1 . Noi avem:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Deci, vectorii de direcție sunt gata. Cosinusul unghiului dintre linii este cosinusul unghiului dintre vectorii de direcție, deci avem:

Sarcină. Într-o prismă triedră regulată ABCA 1 B 1 C 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele D și E sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și, respectiv, B 1 C 1. Aflați unghiul dintre dreptele AD și BE.

Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axa x este îndreptată de-a lungul AB, z - de-a lungul AA 1 . Îndreptăm axa y astfel încât planul OXY să coincidă cu planul ABC. Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Aflați coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile dorite.

Mai întâi, să găsim coordonatele vectorului AD. Luați în considerare punctele: A = (0; 0; 0) și D = (0,5; 0; 1), deoarece D - mijlocul segmentului A 1 B 1 . Deoarece începutul vectorului AD coincide cu originea, obținem AD = (0,5; 0; 1).

Acum să găsim coordonatele vectorului BE. Punctul B = (1; 0; 0) este ușor de calculat. Cu punctul E - mijlocul segmentului C 1 B 1 - puțin mai complicat. Noi avem:

Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

Sarcină. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele K și L sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și B 1 C 1, respectiv. Aflați unghiul dintre liniile AK și BL.

Introducem un sistem de coordonate standard pentru o prismă: plasăm originea coordonatelor în centrul bazei inferioare, direcționăm axa x de-a lungul FC, axa y prin punctele medii ale segmentelor AB și DE și axa z. vertical în sus. Segmentul unitar este din nou egal cu AB = 1. Să scriem coordonatele punctelor de interes pentru noi:

Punctele K și L sunt punctele mijlocii ale segmentelor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1, deci coordonatele lor se găsesc prin media aritmetică. Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AK și BL:

Acum să găsim cosinusul unghiului:

Sarcină. Într-o piramidă pătrangulară obișnuită SABCD, ale căror margini sunt egale cu 1, punctele E și F sunt marcate - punctele de mijloc ale laturilor SB și, respectiv, SC. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axele x și y sunt direcționate de-a lungul AB și, respectiv, AD, iar axa z este îndreptată vertical în sus. Segmentul unitar este egal cu AB = 1.

Punctele E și F sunt punctele mijlocii ale segmentelor SB și SC, deci coordonatele lor se găsesc ca medie aritmetică a capetelor. Notăm coordonatele punctelor de interes pentru noi:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AE și BF:

Coordonatele vectorului AE coincid cu coordonatele punctului E, deoarece punctul A este originea. Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

Utilizarea metodei coordonatelor la calcularea unui unghi

între avioane

Cea mai generală metodă de a găsi un unghiîntre planuri – metoda coordonatelor (uneori – cu implicarea vectorilor). Poate fi folosit atunci când toate celelalte au fost încercate. Dar există situații în care are sens să se aplice imediat metoda coordonatelor, și anume, atunci când sistemul de coordonate este în mod natural legat de poliedrul specificat în enunțul problemei, i.e. sunt clar vizibile trei linii perpendiculare pe perechi, pe care pot fi setate axele de coordonate. Astfel de poliedre sunt un paralelipiped dreptunghiular și o piramidă patruunghiulară regulată. În primul caz, sistemul de coordonate poate fi setat de marginile care ies dintr-un vârf (Fig. 1), în al doilea - de înălțimea și diagonalele bazei (Fig. 2)

Aplicarea metodei coordonatelor este următoarea.

Un sistem de coordonate dreptunghiular este introdus în spațiu. Este de dorit să-l introduceți într-un mod „natural” - „atașați-l” la un trio de linii perpendiculare în perechi care au un punct comun.

Pentru fiecare dintre planele, unghiul dintre care se caută, se întocmește o ecuație. Cel mai simplu mod de a scrie o astfel de ecuație este de a cunoaște coordonatele a trei puncte din plan care nu se află pe o singură dreaptă.

Ecuația plană în formă generală are forma Ax + By + Cz + D = 0.

Coeficienții A, B, C în această ecuație sunt coordonatele vectorului normal al planului (vectorul perpendicular pe plan). Determinăm apoi lungimile și produsul scalar al vectorilor normali față de planele, unghiul între care se caută. Dacă coordonatele acestor vectori(A 1, B 1; C 1) și (A 2; B 2; C 2 ), apoi unghiul doritcalculate prin formula

Cometariu. Trebuie amintit că unghiul dintre vectori (spre deosebire de unghiul dintre plane) poate fi obtuz, iar pentru a evita eventualele incertitudini, modulul se află în numărătorul din dreapta formulei.

Rezolvați următoarea problemă folosind metoda coordonatelor.

Problema 1. Se dă un cub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Punctul K este punctul de mijloc al muchiei AD, punctul L este punctul de mijloc al muchiei CD. Care este unghiul dintre planele A 1 KL și A 1 AD?

Decizie . Fie ca originea sistemului de coordonate să fie în punct DAR, iar axele de coordonate merg de-a lungul razelor AD, AB, AA 1 (Fig. 3). Luăm marginea cubului egală cu 2 (este convenabil să se împartă în jumătate). Apoi coordonatele punctelor A1, K, L sunt: ​​A1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Orez. 3

Scriem ecuația planului A 1 K L în general. Apoi înlocuim coordonatele punctelor selectate ale acestui plan în el. Obținem un sistem de trei ecuații cu patru necunoscute:

Exprimăm coeficienții A, B, C până la D și venim la ecuație

Împărțirea ambelor părți în D (de ce D= 0?) și apoi înmulțind cu -2, obținem ecuația planului A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Atunci vectorul normal la acest plan are coordonatele (2: -2; 1) . Ecuația plană A 1 AD este: y=0, și coordonatele vectorului normal la acesta, de exemplu, (0; 2: 0) . Conform formulei de mai sus pentru cosinusul unghiului dintre plane, obținem:

Acest articol este despre unghiul dintre avioane și despre cum să-l găsiți. În primul rând, este dată definiția unghiului dintre două plane și este dată o ilustrare grafică. După aceea, s-a analizat principiul găsirii unghiului dintre două plane care se intersectează prin metoda coordonatelor, s-a obținut o formulă care permite calcularea unghiului dintre planele care se intersectează folosind coordonatele cunoscute ale vectorilor normali ai acestor plane. În concluzie, sunt prezentate soluții detaliate ale problemelor tipice.

Navigare în pagină.

Unghiul dintre planuri - definiție.

Să oferim argumente care ne vor permite să ne apropiem treptat de definiția unghiului dintre două plane care se intersectează.

Să ni se dea două plane care se intersectează și . Aceste planuri se intersectează într-o linie dreaptă, pe care o notăm cu litera c. Să construim un plan care trece prin punctul M al dreptei c și perpendicular pe dreapta c. În acest caz, planul va intersecta planele și . Notați drepta de-a lungul căreia planele se intersectează și ca a și linia de-a lungul căreia se intersectează planele și ca b. Evident, liniile a și b se intersectează în punctul M.

Este ușor de arătat că unghiul dintre liniile care se intersectează a și b nu depinde de locația punctului M pe dreapta c prin care trece planul.

Să construim un plan perpendicular pe dreapta c și diferit de planul . Planul este intersectat de plane și de-a lungul unor drepte, pe care le notăm cu a 1 și, respectiv, b 1.

Din metoda de construire a planurilor rezultă că dreptele a și b sunt perpendiculare pe dreapta c, iar dreptele a 1 și b 1 sunt perpendiculare pe dreapta c. Deoarece dreptele a și a 1 se află în același plan și sunt perpendiculare pe dreapta c, ele sunt paralele. În mod similar, dreptele b și b 1 se află în același plan și sunt perpendiculare pe dreapta c, prin urmare sunt paralele. Astfel, este posibil să se efectueze un transfer paralel al planului în plan, în care linia a 1 coincide cu linia a, iar linia b cu linia b 1. Prin urmare, unghiul dintre două drepte care se intersectează a 1 și b 1 este egal cu unghiul dintre liniile care se intersectează a și b .

Aceasta dovedește că unghiul dintre liniile de intersectare a și b aflate în planurile de intersectare și nu depinde de alegerea punctului M prin care trece planul. Prin urmare, este logic să luăm acest unghi ca unghi între două plane care se intersectează.

Acum puteți exprima definiția unghiului dintre două plane care se intersectează și .

Definiție.

Unghiul dintre două plane care se intersectează în linie dreaptă și este unghiul dintre două drepte care se intersectează a și b, de-a lungul cărora planele și se intersectează cu planul perpendicular pe dreapta c.

Definiția unghiului dintre două plane poate fi dată puțin diferit. Dacă pe dreapta c, de-a lungul căreia se intersectează planele, marcați punctul M și trasați prin el drepte a și b, perpendiculare pe dreapta c și situate în planuri și, respectiv, atunci unghiul dintre liniile a și b este unghiul dintre plane şi. De obicei, în practică, astfel de construcții se realizează pentru a obține unghiul dintre plane.

Deoarece unghiul dintre liniile care se intersectează nu depășește, din definiția vocală rezultă că gradul de măsură a unghiului dintre două plane care se intersectează este exprimat printr-un număr real din interval. În acest caz, se numesc planuri care se intersectează perpendicular dacă unghiul dintre ele este de nouăzeci de grade. Unghiul dintre planele paralele fie nu este determinat deloc, fie este considerat egal cu zero.

Aflarea unghiului dintre două plane care se intersectează.

De obicei, atunci când găsiți unghiul dintre două plane care se intersectează, mai întâi trebuie să efectuați construcții suplimentare pentru a vedea liniile care se intersectează, unghiul dintre care este egal cu unghiul dorit, apoi conectați acest unghi cu datele originale folosind semne egale, semne de asemănare, teorema cosinusului sau definițiile sinusului, cosinusului și tangentei unghiului. La cursul de geometrie din liceu sunt probleme similare.

De exemplu, să dăm o soluție problemei C2 de la examenul unificat de stat la matematică pentru 2012 (condiția este schimbată intenționat, dar acest lucru nu afectează principiul soluției). În ea, era doar necesar să se găsească unghiul dintre două plane care se intersectează.

Exemplu.

Decizie.

Mai întâi, să facem un desen.

Să realizăm construcții suplimentare pentru a „vedea” unghiul dintre avioane.

Mai întâi, să definim o dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planele ABC și BED 1. Punctul B este unul dintre punctele lor comune. Găsiți al doilea punct comun al acestor planuri. Dreptele DA și D 1 E se află în același plan ADD 1 și nu sunt paralele și, prin urmare, se intersectează. Pe de altă parte, linia DA se află în planul ABC, iar linia D 1 E se află în planul BED 1, prin urmare, punctul de intersecție al dreptelor DA și D 1 E va fi un punct comun al planurilor ABC și PATUL 1. Deci, continuăm liniile DA și D 1 E până când se intersectează, notăm punctul de intersecție cu litera F. Atunci BF este linia dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planele ABC și BED 1.

Rămâne să construim două drepte situate în planurile ABC și respectiv BED 1, care trec printr-un punct de pe dreapta BF și perpendicular pe dreapta BF - unghiul dintre aceste linii, prin definiție, va fi egal cu unghiul dorit între avioane ABC şi BED 1 . S-o facem.

Punct A este proiecția punctului E pe planul ABC. Desenați o dreaptă care intersectează în unghi drept dreapta BF în punctul M. Atunci linia AM este proiecția dreptei EM pe planul ABC și după teorema celor trei perpendiculare.

Astfel, unghiul dorit între planele ABC și BED 1 este .

Putem determina sinusul, cosinusul sau tangenta acestui unghi (și, prin urmare, unghiul însuși) dintr-un triunghi dreptunghic AEM dacă știm lungimile celor două laturi ale sale. Din condiție este ușor de găsit lungimea AE: deoarece punctul E împarte latura AA 1 în raport cu 4 la 3, numărând din punctul A, iar lungimea laturii AA 1 este 7, atunci AE \u003d 4. Să aflăm lungimea AM.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi dreptunghic ABF cu unghi drept A, unde AM este înălțimea. Prin condiția AB=2. Putem afla lungimea laturii AF din asemanarea triunghiurilor dreptunghic DD 1 F si AEF :

După teorema lui Pitagora, din triunghiul ABF găsim . Găsim lungimea AM prin aria triunghiului ABF: pe o parte, aria triunghiului ABF este egală cu , pe cealaltă parte , Unde .

Astfel, din triunghiul dreptunghic AEM avem .

Atunci unghiul dorit dintre planurile ABC și BED 1 este (rețineți că ).

Răspuns:

În unele cazuri, pentru a găsi unghiul dintre două plane care se intersectează, este convenabil să specificați Oxyz și să utilizați metoda coordonatelor. Să ne oprim asupra ei.

Să stabilim sarcina: să găsim unghiul dintre două plane care se intersectează și . Să notăm unghiul dorit ca .

Presupunem că într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat Oxyz cunoaștem coordonatele vectorilor normali ai planurilor care se intersectează și sau este posibil să le găsim. Lasa este vectorul normal al planului și este vectorul normal al planului. Să arătăm cum să găsim unghiul dintre planele care se intersectează și prin coordonatele vectorilor normali ai acestor plane.

Să notăm dreapta de-a lungul căreia planele se intersectează și ca c . Prin punctul M de pe dreapta c trasăm un plan perpendicular pe dreapta c. Planul intersectează planele și de-a lungul dreptelor a și, respectiv, b, liniile a și b se intersectează în punctul M. Prin definiție, unghiul dintre planele care se intersectează și este egal cu unghiul dintre liniile care se intersectează a și b.

Să lăsăm deoparte din punctul M din plan vectorii normali și ai planurilor și . În acest caz, vectorul se află pe o dreaptă perpendiculară pe linia a, iar vectorul se află pe o dreaptă perpendiculară pe linia b. Astfel, în plan, vectorul este vectorul normal al dreptei a, este vectorul normal al dreptei b.

În articolul Găsirea unghiului dintre liniile care se intersectează, am obținut o formulă care vă permite să calculați cosinusul unghiului dintre liniile care se intersectează folosind coordonatele vectorilor normali. Astfel, cosinusul unghiului dintre liniile a și b și, în consecință, și cosinusul unghiului dintre planele care se intersecteazăși se găsește prin formula , unde și sunt vectorii normali ai planelor și, respectiv. Apoi se calculează ca .

Să rezolvăm exemplul anterior folosind metoda coordonatelor.

Exemplu.

Este dat un paralelipiped dreptunghic ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, în care AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 și punctul E împarte latura AA 1 într-un raport de 4 la 3, numărând din punctul A . Aflați unghiul dintre planele ABC și BED 1.

Decizie.

Deoarece laturile unui paralelipiped dreptunghiular la un vârf sunt perpendiculare pe perechi, este convenabil să se introducă un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz astfel: începutul este aliniat cu vârful C, iar axele de coordonate Ox, Oy și Oz sunt direcționate de-a lungul laturilor. CD, CB și respectiv CC 1.

Unghiul dintre planele ABC și BED 1 poate fi găsit prin coordonatele vectorilor normali ai acestor plane folosind formula , unde și sunt vectorii normali ai planurilor ABC și respectiv BED 1. Să determinăm coordonatele vectorilor normali.

Problema 1. Baza unei prisme dreptunghiulare ABCDА 1 В 1 С 1 D 1 este un dreptunghi ABCD, în care AB \u003d 5, AD \u003d 11. Aflați tangenta unghiului dintre planul bazei prismei iar planul care trece prin mijlocul muchiei AD perpendicular pe dreapta BD 1, dacă distanța dintre drepte AC și B 1 D 1 este 12. Rezolvare. Introducem un sistem de coordonate. В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) Coordonatele normalei la planul secțiunii: Coordonatele normalei către planul de bază: – unghi ascuțit, apoi D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 x y z N Unghiul dintre planuri Răspuns: 0,5. Nenasheva N.G. profesor de matematică liceu GBOU 985

Problema 2. La baza piramidei triunghiulare SABC se află un triunghi dreptunghic ABC. Unghiul A este drept. AC \u003d 8, BC \u003d 219. Înălțimea piramidei SA este 6. Un punct M este luat pe muchia AC astfel încât AM \u003d 2. Un plan α este trasat prin punctul M, vârful B și punctul N - mijlocul muchiei SC. Aflați unghiul diedric format de planul α și planul bazei piramidei. A S x B C M N y z Soluție. Introducem un sistem de coordonate. Apoi A (0;0;0), C (0;8;0), M (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), Normal la plan ( ABC) vector Normal la plan (BMN) Unghiul dintre planuri Răspuns: 60°. Ecuația planului (ВМN): N.G. Nenasheva profesor de matematică liceu GBOU 985

Problema 3. Baza unei piramide patruunghiulare PABCD este un pătrat cu latura egală cu 6, muchia laterală PD este perpendiculară pe planul bazei și este egală cu 6. Aflați unghiul dintre plane (BDP) și (BCP). Decizie. 1. Desenați mediana DF a unui triunghi isoscel CDP (BC = PD = 6) Deci DF PC. Și din faptul că BC (CDP), rezultă că DF BC înseamnă DF (PCB) A D C B P F 2. Deoarece AC DB și AC DP, atunci AC (BDP) 3. Astfel, unghiul dintre plane (BDP) și (BCP) ) se găsește din condiția: Unghiul dintre planele Nenașeva N.G. profesor de matematică liceu GBOU 985

Problema 3. Baza unei piramide patruunghiulare PABCD este un pătrat cu latura egală cu 6, muchia laterală PD este perpendiculară pe planul bazei și este egală cu 6. Aflați unghiul dintre plane (BDP) și (BCP). Rezolvare.4. Să alegem un sistem de coordonate. Coordonatele punctelor: 5. Atunci vectorii vor avea următoarele coordonate: 6. Calculând valorile, aflăm:, apoi A D C B P F z x y Unghiul dintre plane Răspuns: Nenașeva N.G. profesor de matematică liceu GBOU 985

Sarcina 4. În cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, găsiți unghiul dintre planele (AD 1 E) și (D 1 FC), unde punctele E și F sunt punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și B 1 C 1, respectiv. Rezolvare: 1. Introduceți un sistem de coordonate dreptunghiular și determinați coordonatele punctelor: 2. Compuneți ecuația planului (AD 1 E): 3. Compuneți ecuația planului (D 1 FC): - vectorul normal al avionul (AD 1 E). - vector normal al planului (D 1 FС). Unghiul dintre planuri x y z Nenasheva N.G. profesor de matematică liceu GBOU 985

Sarcina 4. În cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, găsiți unghiul dintre planele (AD 1 E) și (D 1 FC), unde punctele E și F sunt punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și B 1 C 1, respectiv. Rezolvare: 4. Aflați cosinusul unghiului dintre plane folosind formula Răspuns: Unghiul dintre plane x y z Nenasheva N.G. profesor de matematică liceu GBOU 985

Problema 5. Segmentul care leagă centrul bazei unei piramide triunghiulare regulate cu mijlocul muchiei laterale este egal cu latura bazei. Găsiți unghiul dintre fețele laterale adiacente ale piramidei. Rezolvare: x y z 1. Să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular și să determinăm coordonatele punctelor A, B, C: K Fie latura bazei 1. Pentru certitudine, luăm în considerare fețele SAC și SBC 2. Aflați coordonatele punctului S: E Unghiul dintre planele Nenasheva N.G . profesor de matematică liceu GBOU 985

Problema 5. Segmentul care leagă centrul bazei unei piramide triunghiulare regulate cu mijlocul muchiei laterale este egal cu latura bazei. Găsiți unghiul dintre fețele laterale adiacente ale piramidei. Rezolvare: x y z K E SO găsim din OSB: Unghiul dintre planele Nenasheva N.G. profesor de matematică liceu GBOU 985

Problema 5. Segmentul care leagă centrul bazei unei piramide triunghiulare regulate cu mijlocul muchiei laterale este egal cu latura bazei. Găsiți unghiul dintre fețele laterale adiacente ale piramidei. Rezolvare: x y z K E 3. Ecuaţia planului (SAC): - vector normal al planului (SAC). 4. Ecuația planului (SBC): - vector normal al planului (SBC). Unghiul dintre planuri Nenasheva N.G. profesor de matematică liceu GBOU 985

Problema 5. Segmentul care leagă centrul bazei unei piramide triunghiulare regulate cu mijlocul muchiei laterale este egal cu latura bazei. Găsiți unghiul dintre fețele laterale adiacente ale piramidei. Rezolvare: x y z K E 5. Aflați cosinusul unghiului dintre plane după formula Răspuns: Unghiul dintre plane Nenasheva N.G. profesor de matematică liceu GBOU 985