În acest articol, vom arăta cum definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului și numărului în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notație, vom da exemple de înregistrări, vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să urmăm cum se formează conceptul de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă la cursul de matematică din școală. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care se referă la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și a numărului. Dăm toate aceste definiții, dăm exemple și dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul geometriei se cunosc definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Vă prezentăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.

Definiție.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.

Acolo este introdusă și notația sinus, cosinus, tangente și cotangente - sin, cos, tg și respectiv ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul catetului opus BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinusului, tangentă, cotangentă și lungimea uneia dintre laturi, găsiți lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este 3 și ipotenuza AB este 7 , atunci am putea calcula cosinusul unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Unghiul de rotație

În trigonometrie, încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Unghiul de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitat la cadre de la 0 la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei nu mai sunt un unghi ascuțit, ci un unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1 , în care trece așa-numitul punct inițial A(1, 0) după ce se rotește printr-un unghi α în jurul punctului O - începutul unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1 , adică sinα=y .

Definiție.

cosinus al unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1 , adică cosα=x .

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tgα=y/x .

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y .

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata punctului, care se obține prin rotirea punctului de plecare cu unghiul α. Și tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul inițial merge într-un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1) , iar aceasta are loc la unghiurile 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul de plecare merge la un punct cu ordonată zero (1, 0) sau (−1, 0) și acesta este cazul unghiurilor 180° k , k ∈Z (π k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), iar cotangenta este pentru toate unghiurile cu excepția 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notațiile deja cunoscute nouă apar în definițiile sin, cos, tg și ctg, ele sunt folosite și pentru a desemna sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentele unghiului de rotație (uneori puteți găsi notația tan și cot corespunzătoare tangentei și cotangentă). Deci sinusul unghiului de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, înregistrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, notația „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rads este de obicei notat cos3 π .

În încheierea acestui paragraf, este de remarcat faptul că, vorbind despre sinus, cosinus, tangentă și cotangente ale unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, ei folosesc de obicei sintagma „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurt - „sinus al unghiului alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus și tangente și cotangente.

Să spunem, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90. grade. Vom fundamenta acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul lui 8 π este, prin definiție, un număr egal cu cosinusul unui unghi de 8 π rad. Și cosinusul unghiului în 8 π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8 π este egal cu 1.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se atribuie un punct al cercului unitar centrat la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește corespondența dintre numerele reale și punctele cercului:

• numărul 0 este atribuit punctului de plecare A(1, 0) ;
• un număr pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului din punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• un număr negativ t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum să trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct al cercului A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1) ).

Definiție.

Sinusul unui număr t este ordonata punctului cerc unitar corespunzător numărului t , adică sint=y .

Definiție.

Cosinusul unui număr t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t , adică cost=x .

Definiție.

Tangenta unui număr t este raportul dintre ordonata și abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta numărului t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost .

Definiție.

Cotangente a unui număr t este raportul dintre abscisă și ordonata punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică ctgt=x/y. O altă formulare este următoarea: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t : ctgt=cost/sint .

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în acord cu definiția dată la începutul acestei subsecțiuni. Într-adevăr, punctul cercului unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare printr-un unghi de t radiani.

De asemenea, merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem o intrare sin3. Cum să înțelegeți dacă sinusul numărului 3 sau sinusul unghiului de rotație de 3 radiani este în discuție? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu contează.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definițiilor date în paragraful anterior, fiecărui unghi de rotație α îi corespunde o valoare bine definită a lui sinα, precum și valoarea lui cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) corespund valorilor tgα și altele decât 180° k, k∈Z (π k rad) sunt valorile ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tgα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori bine definite a sint , precum și costului . În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k , k∈Z corespund valorilor tgt , iar numerele π·k , k∈Z corespund valorilor ctgt .

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, din context, este clar că avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau unui argument numeric. În caz contrar, putem considera variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argumentul unghiului), cât și ca argument numeric.

Totuși, școala studiază în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbim de funcții, atunci este indicat să considerăm funcțiile trigonometrice drept funcții ale argumentelor numerice.

Legarea definițiilor din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α de la 0 la 90 de grade, atunci datele din contextul trigonometriei definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație sunt pe deplin în concordanță cu definițiile sinusului, cosinusului , tangente și cotangente ale unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul geometriei. Să argumentăm acest lucru.

Desenați un cerc unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Observați punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y) . Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opus unghiului este egala cu ordonata punctului A 1 , adica |A 1 H|=y , iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egala cu unu. , deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α pentru α de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: studii. pentru invatamantul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev și alții]. - Ed. a 20-a. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: Proc. pentru 7-9 celule. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - Ed. a II-a - M.: Iluminismul, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Manual pentru elevii clasei a 9-a de liceu / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. Moscova: Educație, 1969.
4. Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. La ora 14:00 Partea 1: un manual pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adaos. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I .: Educaţie, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Una dintre ramurile matematicii cu care școlarii fac față celor mai mari dificultăți este trigonometria. Nu e de mirare: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, abilitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente folosind formule, simplifica expresii și puteți utiliza numărul pi în calcule. În plus, trebuie să fiți capabil să aplicați trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deduce lanțuri logice complexe.

Originile trigonometriei

Cunoașterea acestei științe ar trebui să înceapă cu definirea sinusului, cosinusului și tangentei unghiului, dar mai întâi trebuie să vă dați seama ce face trigonometria în general.

Din punct de vedere istoric, triunghiurile dreptunghiulare au fost principalul obiect de studiu în această secțiune a științei matematice. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii luate în considerare folosind două laturi și un unghi sau două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească în mod activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar artă.

Primul stagiu

Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în viața de zi cu zi a acestei secțiuni de matematică.

Studiul trigonometriei la școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care cunoștințele dobândite sunt folosite de elevii la fizică și rezolvarea ecuațiilor trigonometrice abstracte, lucru cu care începe în liceu.

Trigonometrie sferică

Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică reguli diferite, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să știm despre existența ei, cel puțin pentru că suprafața pământului, precum și suprafața oricărei alte planete, este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj de suprafață va fi „în formă de arc” în spatiu tridimensional.

Luați globul și ata. Atașați firul la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Atenție - a căpătat forma unui arc. Cu astfel de forme se ocupă geometria sferică, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.

Triunghi dreptunghic

După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinus, cosinus, tangentă, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți.

Primul pas este să înțelegem conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Ea este cea mai lungă. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.

De exemplu, dacă două laturi au 3 și respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei va fi de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta acum aproximativ patru mii și jumătate de ani.

Cele două laturi rămase care formează un unghi drept se numesc picioare. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor dintr-un triunghi dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular este de 180 de grade.

Definiție

În cele din urmă, cu o înțelegere solidă a bazei geometrice, ne putem întoarce la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (adică, latura opusă unghiului dorit) și ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă. Indiferent cât de lung este catetul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă obțineți un sinus sau cosinus cu o valoare mai mare decât 1 în răspunsul la problemă, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este clar greșit.

În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Același rezultat va da împărțirea sinusului la cosinus. Uite: după formula împărțim lungimea laturii la ipotenuză, după care împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem același raport ca în definiția tangentei.

Cotangenta, respectiv, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unitatea la tangentă.

Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și ne putem ocupa de formule.

Cele mai simple formule

În trigonometrie, nu se poate face fără formule - cum să găsești sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Și exact acest lucru este necesar atunci când rezolvați probleme.

Prima formulă pe care trebuie să o știți când începeți să studiați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă vrei să cunoști valoarea unghiului, nu a laturii.

Mulți elevi nu își pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: la urma urmei, aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, regulile de conversie și câteva formule de bază, puteți oricând să obțineți în mod independent formulele mai complexe necesare pe o foaie de hârtie.

Formule cu unghi dublu și adăugare de argumente

Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinus și cosinus ale sumei și diferenței unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțite de ambele ori, iar în al doilea caz, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus se adaugă.

Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca practică, încercați să le obțineți singur, luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.

În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi convertite pentru a scădea gradul de sinus, cosinus, tangentă alfa.

Teoreme

Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și dimensiunea fiecărei laturi etc.

Teorema sinusului afirmă că, în urma împărțirii lungimii fiecăreia dintre laturile triunghiului la valoarea unghiului opus, obținem același număr. Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele triunghiului dat.

Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectând-o pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor, înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent acestora - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.

Greșeli din cauza neatenției

Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să facem cunoștință cu cele mai populare dintre ele.

În primul rând, nu trebuie să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale până când nu se obține rezultatul final - puteți lăsa răspunsul ca o fracție obișnuită, cu excepția cazului în care condiția indică altfel. O astfel de transformare nu poate fi numită o greșeală, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a sarcinii pot apărea noi rădăcini, care, după ideea autorului, ar trebui reduse. În acest caz, veți pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau doi, deoarece acestea apar în sarcini la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.

Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți de două ori produsul laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o neînțelegere completă a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.

În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le amesteci, în urma căruia vei obține inevitabil un rezultat eronat.

Aplicație

Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul aplicat al acesteia. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte datorită cărora puteți calcula distanța până la stelele îndepărtate, puteți prezice căderea unui meteorit, puteți trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.

In cele din urma

Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.

Întreaga esență a trigonometriei se rezumă la faptul că parametrii necunoscuți trebuie să fie calculați din parametrii cunoscuți ai triunghiului. Există șase parametri în total: lungimile a trei laturi și mărimile a trei unghiuri. Întreaga diferență a sarcinilor constă în faptul că sunt date diferite date de intrare.

Cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangenta pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei, acum știți. Deoarece acești termeni nu înseamnă nimic mai mult decât un raport, iar un raport este o fracție, scopul principal al problemei trigonometrice este de a găsi rădăcinile unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici vei fi ajutat de matematica școlară obișnuită.

Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în zilele Greciei antice. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus o contribuție importantă la dezvoltarea acestei științe.

Acest articol este dedicat conceptelor și definițiilor de bază ale trigonometriei. Se discută definițiile principalelor funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Se explică și se ilustrează semnificația lor în contextul geometriei.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice, al căror argument este un unghi, au fost exprimate prin raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.

Definiții ale funcțiilor trigonometrice

Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.

Cosinusul unghiului (cos α) este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Tangenta unghiului (t g α) este raportul catetului opus față de cel alăturat.

Cotangenta unghiului (c t g α) este raportul dintre catetul adiacent și cel opus.

Aceste definiții sunt date pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic!

Să dăm o ilustrare.

În triunghiul ABC cu unghi drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul dintre catetul BC și ipotenuza AB.

Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei fac posibilă calcularea valorilor acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi.

Important de reținut!

Gama de valori sinus și cosinus: de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinus și cosinus iau valori de la -1 la 1. Gama de valori tangente și cotangente este întreaga linie numerică, adică acestea funcțiile pot lua orice valoare.

Definițiile date mai sus se referă la unghiuri ascuțite. În trigonometrie este introdus conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată de cadre de la grade 0 la 90. Unghiul de rotație în grade sau radiani este exprimat prin orice număr real din - ∞ la + ∞.

În acest context, se poate defini sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de mărime arbitrară. Imaginează-ți un cerc unitar centrat la originea sistemului de coordonate carteziene.

Punctul de pornire A cu coordonatele (1 , 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar cu un anumit unghi α și merge la punctul A 1 . Definiția este dată prin coordonatele punctului A 1 (x, y).

Sinus (sin) al unghiului de rotație

Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) al unghiului de rotație

Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) unghiului de rotație

Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x

Cotangente (ctg) a unghiului de rotație

Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata punctului după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta nu este definită atunci când punctul de după rotație merge la punctul cu abscisă zero (0 , 1) și (0 , - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangenta. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata punctului dispare.

Important de reținut!

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.

Tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Când rezolvați exemple practice, nu spuneți „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că din context este deja clar ce este în joc.

Numerele

Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr și nu unghiului de rotație?

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t se numește un număr, care este, respectiv, egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta în t radian.

De exemplu, sinusul lui 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să o luăm în considerare mai detaliat.

Orice număr real t un punct de pe cercul unitar este pus în corespondență cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt definite în funcție de coordonatele acestui punct.

Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).

număr pozitiv t

Număr negativ t corespunde punctului în care se va deplasa punctul de plecare dacă se deplasează în sens invers acelor de ceasornic în jurul cercului și trece pe calea t .

Acum că s-a stabilit legătura dintre număr și punctul de pe cerc, trecem la definirea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Sinusul (păcatul) al numărului t

Sinusul unui număr t- ordonata punctului cercului unitar corespunzatoare numarului t. sin t = y

Cosinus (cos) al lui t

Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x

Tangenta (tg) a lui t

Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t

Aceste din urmă definiții sunt în concordanță cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestei secțiuni. Punct pe un cerc corespunzător unui număr t, coincide cu punctul la care trece punctul de plecare după întoarcerea prin unghi t radian.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corespunde unei anumite valori a tangentei. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Putem spune că sin α , cos α , t g α , c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, se poate vorbi de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei valori specifice a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k , k ∈ Z, corespund valorii tangentei. Cotangenta este definită în mod similar pentru toate numerele, cu excepția π · k , k ∈ Z.

Funcții de bază ale trigonometriei

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.

De obicei, din context este clar cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.

Să revenim la datele de la începutul definițiilor și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt în deplin acord cu definițiile geometrice date de rapoartele laturilor unui triunghi dreptunghic. Să o arătăm.

Luați un cerc unitar centrat pe un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Să rotim punctul de pornire A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să tragem din punctul rezultat A 1 (x, y) perpendicular pe axa x. În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y) . Lungimea catetului opus colțului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.

În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Aceasta înseamnă că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Profesorii cred că fiecare elev ar trebui să poată efectua calcule, să cunoască formule trigonometrice, dar nu fiecare profesor explică ce sunt sinusul și cosinusul. Care este semnificația lor, unde sunt folosite? De ce vorbim despre triunghiuri, dar în manual este desenat un cerc? Să încercăm să conectăm toate faptele împreună.

Materia școlară

Studiul trigonometriei începe de obicei în clasa a VII-a sau a VIII-a de liceu. În acest moment, elevilor li se explică ce sunt sinusul și cosinusul, li se oferă să rezolve probleme geometrice folosind aceste funcții. Mai târziu, apar formule și expresii mai complexe care trebuie convertite într-un mod algebric (formule cu dublu și jumătate de unghi, funcții de putere), se lucrează cu un cerc trigonometric.

Cu toate acestea, profesorii nu sunt întotdeauna capabili să explice clar sensul conceptelor utilizate și aplicabilitatea formulelor. Prin urmare, elevul adesea nu vede rostul acestui subiect, iar informațiile memorate sunt rapid uitate. Cu toate acestea, merită să explici o dată unui elev de liceu, de exemplu, legătura dintre o funcție și o mișcare oscilativă, iar legătura logică va fi amintită de mulți ani, iar glumele despre inutilitatea subiectului vor deveni un lucru de trecutul.

Utilizare

De dragul curiozității, să ne uităm la diferite ramuri ale fizicii. Doriți să determinați raza de acțiune a unui proiectil? Sau calculezi forța de frecare dintre un obiect și o anumită suprafață? Balanțând un pendul, urmărind razele care trec prin sticlă, calculând inducția? Conceptele trigonometrice apar în aproape orice formulă. Deci, ce sunt sinusul și cosinusul?

Definiții

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus și ipotenuză, cosinusul catetei adiacente la aceeași ipotenuză. Nu este absolut nimic complicat aici. Poate că studenții sunt de obicei confuzi de valorile pe care le văd în tabelul trigonometric, deoarece acolo apar rădăcini pătrate. Da, a obține fracții zecimale din ele nu este foarte convenabil, dar cine a spus că toate numerele din matematică ar trebui să fie pare?

De fapt, puteți găsi un indiciu amuzant în cărțile cu probleme de trigonometrie: majoritatea răspunsurilor de aici sunt pare și, în cel mai rău caz, conțin rădăcina a doi sau trei. Concluzia este simplă: dacă primiți o fracțiune „cu mai multe etaje” în răspunsul dvs., verificați soluția pentru erori în calcule sau raționament. Și cel mai probabil le vei găsi.

Ce să-ți amintești

Ca în orice știință, în trigonometrie există date care trebuie învățate.

În primul rând, ar trebui să vă amintiți valorile numerice pentru sinusuri, cosinusuri ale unui triunghi dreptunghic 0 și 90, precum și 30, 45 și 60 de grade. Acești indicatori se regăsesc în nouă din zece sarcini școlare. Privind aceste valori în manual, veți pierde mult timp și nu va fi unde să priviți controlul sau examenul.

Trebuie reținut că valoarea ambelor funcții nu poate depăși una. Dacă oriunde în calcul obțineți o valoare în afara intervalului 0-1, opriți-vă și rezolvați din nou problema.

Suma pătratelor sinusului și cosinusului este egală cu unu. Dacă ați găsit deja una dintre valori, utilizați această formulă pentru a găsi restul.

Teoreme

Există două teoreme principale în trigonometrie de bază: sinusuri și cosinusuri.

Primul spune că raportul dintre fiecare latură a unui triunghi și sinusul unghiului opus este același. Al doilea este că pătratul oricărei laturi poate fi obținut adunând pătratele celor două laturi rămase și scăzând de două ori produsul lor, înmulțit cu cosinusul unghiului aflat între ele.

Astfel, dacă înlocuim valoarea unghiului de 90 de grade în teorema cosinusului, obținem ... teorema lui Pitagora. Acum, dacă trebuie să calculați aria unei figuri care nu este un triunghi dreptunghic, nu vă mai puteți face griji - cele două teoreme luate în considerare vor simplifica foarte mult soluția problemei.

Teluri si obiective

Învățarea trigonometriei va fi mult mai ușoară când îți dai seama de un fapt simplu: toate acțiunile pe care le faci au ca scop atingerea unui singur obiectiv. Orice parametri ai unui triunghi pot fi găsiți dacă cunoașteți minimum de informații despre acesta - poate fi valoarea unui unghi și lungimea a două laturi sau, de exemplu, trei laturi.

Pentru a determina sinusul, cosinusul, tangenta oricărui unghi, aceste date sunt suficiente; cu ajutorul lor, puteți calcula cu ușurință aria figurii. Aproape întotdeauna, una dintre valorile menționate este necesară ca răspuns și le puteți găsi folosind aceleași formule.

Inconcordanțe în studiul trigonometriei

Una dintre întrebările obscure pe care elevii preferă să le evite este descoperirea conexiunii dintre diferitele concepte din trigonometrie. S-ar părea că triunghiurile sunt folosite pentru a studia sinusurile și cosinusurile unghiurilor, dar din anumite motive simbolurile se găsesc adesea în figura cu un cerc. În plus, există un grafic sub formă de undă complet de neînțeles numit sinusoid, care nu are nicio asemănare externă nici cu un cerc, nici cu triunghiuri.

Mai mult, unghiurile se măsoară fie în grade, fie în radiani, iar numărul Pi, scris simplu ca 3,14 (fără unități), din anumite motive apare în formule, corespunzător la 180 de grade. Cum este totul conectat?

Unități

De ce pi este exact 3.14? Vă amintiți care este această valoare? Acesta este numărul de raze care se potrivesc în arcul de pe jumătatea cercului. Dacă diametrul cercului este de 2 centimetri, circumferința va fi 3,14 * 2 sau 6,28.

Al doilea punct: poate ați observat asemănarea cuvintelor „radian” și „rază”. Faptul este că un radian este numeric egal cu valoarea unghiului așezat de la centrul cercului la un arc cu o lungime de o rază.

Acum combinăm cunoștințele acumulate și înțelegem de ce „Pi în jumătate” este scris în partea de sus a axei de coordonate în trigonometrie, iar „Pi” este scris în stânga. Aceasta este o valoare unghiulară măsurată în radiani, deoarece un semicerc are 180 de grade sau 3,14 radiani. Și acolo unde sunt grade, sunt sinusuri și cosinusuri. Triunghiul este ușor de desenat din punctul dorit, amânând segmentele spre centru și spre axa de coordonate.

Să privim în viitor

Trigonometria, studiată la școală, se ocupă de un sistem de coordonate rectiliniu, unde, oricât de ciudat ar suna, o linie este o linie.

Dar există modalități mai complexe de a lucra cu spațiul: suma unghiurilor triunghiului de aici va fi mai mare de 180 de grade, iar linia dreaptă din punctul nostru de vedere va arăta ca un arc real.

Să trecem de la vorbe la fapte! Luați un măr. Faceți trei tăieturi cu un cuțit, astfel încât, privit de sus, să obțineți un triunghi. Scoateți bucata de măr rezultată și priviți „coastele” unde se termină coaja. Nu sunt drepte deloc. Fructul din mâinile tale poate fi numit în mod condiționat rotund și acum imaginați-vă cât de complexe trebuie să fie formulele, cu ajutorul cărora puteți găsi zona piesei tăiate. Dar unii experți rezolvă astfel de probleme zilnic.

Funcții trigonometrice în viața reală

Ați observat că cea mai scurtă rută a aeronavei de la punctul A la punctul B de pe suprafața planetei noastre are o formă de arc pronunțată? Motivul este simplu: Pământul este sferic, ceea ce înseamnă că nu poți calcula prea mult folosind triunghiuri - aici trebuie să folosești formule mai complexe.

Nu te poți descurca fără sinusul/cosinusul unui unghi ascuțit în orice chestiune legată de spațiu. Interesant este că aici converg o serie de factori: funcțiile trigonometrice sunt necesare atunci când se calculează mișcarea planetelor în cercuri, elipse și diferite traiectorii de forme mai complexe; procesul de lansare de rachete, sateliți, navete, dezaocare vehicule de cercetare; observând stelele îndepărtate și studiind galaxii pe care oamenii nu le vor putea ajunge în viitorul apropiat.

În general, domeniul de activitate al unei persoane care deține trigonometrie este foarte larg și, aparent, se va extinde doar cu timpul.

Concluzie

Astăzi am învățat sau, în orice caz, am repetat ce sunt sinusul și cosinusul. Acestea sunt concepte de care nu trebuie să vă fie frică - doriți doar și le veți înțelege semnificația. Amintiți-vă că trigonometria nu este un scop, ci doar un instrument care poate fi folosit pentru a răspunde nevoilor umane reale: construiți case, asigurați siguranța traficului, chiar stăpâniți întinderile universului.

Într-adevăr, știința în sine poate părea plictisitoare, dar de îndată ce vei găsi în ea o modalitate de a-ți atinge propriile obiective, autorealizarea, procesul de învățare va deveni interesant, iar motivația ta personală va crește.

Pentru teme, încercați să găsiți modalități de a aplica funcții trigonometrice într-un domeniu care vă interesează personal. Visează, pornește-ți imaginația și atunci cu siguranță se va dovedi că noile cunoștințe îți vor fi utile în viitor. Și în plus, matematica este utilă pentru dezvoltarea generală a gândirii.

Acolo unde s-au luat în considerare sarcinile pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic, am promis să prezint o tehnică de memorare a definițiilor sinusului și cosinusului. Folosind-o, îți vei aminti întotdeauna rapid ce catete aparține ipotenuzei (adiacent sau opus). Am decis să nu o amân la infinit, materialul necesar este mai jos, vă rog să îl citiți 😉

Cert este că am observat în mod repetat cum elevii din clasele 10-11 au dificultăți în a-și aminti aceste definiții. Ei își amintesc foarte bine că piciorul se referă la ipotenuză, dar care- uita si confuz. Prețul unei greșeli, după cum știți la examen, este un punctaj pierdut.

Informațiile pe care le voi prezenta direct la matematică nu au nicio legătură. Este asociat cu gândirea figurativă și cu metodele de conectare verbal-logică. Așa e, eu însumi mi-am amintit odată pentru totdeaunadate de definiție. Dacă tot le uitați, atunci cu ajutorul tehnicilor prezentate este întotdeauna ușor de reținut.

Permiteți-mi să vă reamintesc definițiile sinusului și cosinusului într-un triunghi dreptunghic:

Cosinus Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:

Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:

Deci, ce asocieri evocă cuvântul cosinus în tine?

Probabil fiecare are a luiAmintiți-vă linkul:

Astfel, vei avea imediat o expresie în memoria ta -

«… raportul catetei ADJACENT la ipotenuză».

Problema cu definiția cosinusului este rezolvată.

Dacă trebuie să vă amintiți definiția sinusului într-un triunghi dreptunghic, apoi amintindu-vă definiția cosinusului, puteți stabili cu ușurință că sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. La urma urmei, există doar două picioare, dacă piciorul adiacent este „ocupat” de cosinus, atunci rămâne doar partea opusă pentru sinus.

Dar tangenta si cotangenta? Aceeași confuzie. Elevii știu că acesta este raportul dintre picioare, dar problema este să ne amintim care dintre ele se referă la care - fie opus cu adiacent, fie invers.

Definitii:

Tangentă un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel alăturat:

Cotangentă Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:

Cum să-ți amintești? Există două moduri. Unul folosește și o conexiune verbal-logică, celălalt - una matematică.

METODĂ MATEMATICĂ

Există o astfel de definiție - tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:

* Ținând minte formula, puteți determina întotdeauna că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel adiacent.

De asemenea.Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cosinusul unui unghi și sinusul său:

Asa de! Amintindu-ți aceste formule, poți oricând să stabilești că:

- tangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus fata de cel adiacent

- cotangenta unui unghi ascutit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la cel opus.

METODĂ VERBAL-LOGICĂ

Despre tangenta. Amintiți-vă linkul:

Adică, dacă trebuie să vă amintiți definiția tangentei, folosind această conexiune logică, vă puteți aminti cu ușurință ce este

„... raportul dintre piciorul opus și cel adiacent”

Dacă vine vorba de cotangente, atunci amintindu-ți definiția tangentei, poți exprima cu ușurință definiția cotangentei -

„... raportul dintre piciorul adiacent și opusul”

Există o tehnică interesantă de memorare a tangentei și cotangentei pe site " Tandem matematic " , uite.

METODA UNIVERSALA

Puteți pur și simplu să măcinați.Dar, așa cum arată practica, datorită conexiunilor verbale-logice, o persoană își amintește informațiile mult timp, și nu numai matematice.

Sper că materialul ți-a fost de folos.

Cu stimă, Alexander Krutitskikh

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.