Cerc- o figură geometrică formată din toate punctele planului situate la o distanţă dată de un punct dat.
Acest punct (O) se numește centrul cercului.
Raza cercului este un segment de dreaptă care leagă centrul de un punct al cercului. Toate razele au aceeași lungime (prin definiție).
Coardă Un segment de linie care leagă două puncte dintr-un cerc. Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru. Centrul unui cerc este punctul de mijloc al oricărui diametru.
Oricare două puncte de pe cerc îl împart în două părți. Fiecare dintre aceste părți este numită arc de cerc. Arcul se numește semicerc dacă segmentul care îi leagă capetele are un diametru.
Lungimea unui semicerc unitar se notează cu π
.
Suma gradelor a două arce de cerc cu capete comune este 360º.
Se numește partea de plan mărginită de un cerc în jurul.
sector circular- o parte de cerc delimitată de un arc și două raze care leagă capetele arcului de centrul cercului. Arcul care delimitează sectorul se numește arc sectorial.
Se numesc două cercuri care au un centru comun concentric.
Două cercuri care se intersectează în unghi drept sunt numite ortogonală.
Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc
- Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza cercului ( d), atunci linia și cercul au două puncte comune. În acest caz, linia este numită secantăîn raport cu cercul.
- Dacă distanța de la centrul cercului la linie este egală cu raza cercului, atunci linia și cercul au un singur punct comun. O astfel de linie se numește tangentă la cerc, iar punctul lor comun se numește punct de contact între o linie și un cerc.
- Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mare decât raza cercului, atunci linia și cercul nu au puncte comune .
Unghiuri centrale și înscrise
Colț central este unghiul cu vârful în centrul cercului.
Unghiul înscris Un unghi al cărui vârf se află pe cerc și ale cărui laturi intersectează cercul.
Teorema unghiului înscris
Un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl interceptează.
- Consecința 1.
Unghiurile înscrise care subtind același arc sunt egale. - Consecința 2.
Un unghi înscris care intersectează un semicerc este un unghi drept.
Teoremă asupra produsului segmentelor de coarde care se intersectează.
Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde.
Formule de bază
- Circumferinţă:
- Lungimea arcului:
- Diametru:
- Lungimea arcului:
Unde α - măsura în grade a lungimii unui arc de cerc)
- Aria unui cerc:
- Zona sectorului circular:
Ecuația cercului
- Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, ecuația pentru un cerc cu rază r centrat pe un punct C(x o; y o) are forma:
- Ecuația pentru un cerc cu raza r centrat la origine este:
fisa de studiu
pe tema „Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc. Aranjamentul reciproc a două cercuri "
(3 ore)
A FI CAPABIL SĂ:Condiții pentru poziția relativă a unei drepte și a unui cerc;
Definiția secantei și tangentei la un cerc;
Proprietățile unei tangente la un cerc;
Teoremă despre perpendicularitatea diametrului și a coardei și inversul acestuia;
Condiții pentru poziția relativă a două cercuri;
Definiţia concentric circles.
Desenați o tangentă la un cerc;
Utilizați proprietățile unei tangente atunci când rezolvați probleme;
Rezolvați probleme de aplicare a teoremei asupra perpendicularității diametrului și coardei;
Rezolvați probleme privind condițiile poziției relative a unei drepte și a unui cerc și a două cercuri.
Ca urmare a studierii subiectului, aveți nevoie de:Literatură:
1. Geometrie. clasa a 7-a. Zh. Kaidasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. Almaty „Mektep”. 2012
2. Geometrie. clasa a 7-a. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. AlmatyAtamura". 2012
3. Geometrie. clasa a 7-a. Ghid metodologic. K.O. Bukubaeva. AlmatyAtamura". 2012
4. Geometrie. clasa a 7-a. material didactic. A.N.Shynybekov. AlmatyAtamura". 2012
5. Geometrie. clasa a 7-a. Culegere de sarcini și exerciții. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. AlmatyAtamura". 2012
A dobândi cunoștințe este curaj,
A le înmulți este înțelepciune,
Și aplicarea lor cu pricepere este o artă grozavă.
Amintiți-vă că trebuie să lucrați conform algoritmului.
Nu uitați să treceți testul, să faceți notițe în margini, să completați fișa de calificare a subiectului.
Vă rugăm să nu lăsați întrebări la care ați avut fără răspuns.
Fii obiectiv în timpul evaluării inter pares, aceasta te va ajuta atât pe tine, cât și pe persoana pe care o verifici.
Vă doresc succes!
EXERCITIUL 1
1) Luați în considerare aranjarea reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc și completați tabelul (3b):
Cazul 1: O linie dreaptă nu are un punct comun cu un cerc.(nu se intersecteaza)
A d
reste raza cercului
d > r ,
Cazul 2 : O linie și un cerc au un singur punct comun (îngrijorare)
d- distanta de la un punct (centrul cercului) la o linie dreapta
reste raza cercului
A - tangentă
d = r ,
Cazul 3: O linie are două puncte în comun cu un cerc.(intersectare)
d- distanta de la un punct (centrul cercului) la o linie dreapta
reste raza cercului
AB - secanta acordurilor
d < r ,
Condiții de interacțiune (distanța până la linia dreaptă și raza (d șir))Numărul de puncte comune
2) Citiți definiții, teoreme, corolare și învățați-le (5b):
Definiție: Se numește o dreaptă care are două puncte în comun cu un cerc secantă.
Definiție : Se numește o dreaptă care are un singur punct comun cu un cerc și este perpendiculară pe rază tangentă la cerc.
Teorema 1:
Diametrul unui cerc care împarte o coardă în jumătate este perpendicular pe acea coardă.
Teorema 2 (opusul teoremei 1):
Dacă diametrul cercului este perpendicular pe coardă, atunci coarda va împărți în două părți egale.
Corolarul 1 : Dacă distanța de la centrul cercului la linia secantă este mai mică decât lungimea razei cercului, atunci linia intersectează cercul în două puncte.
Consecința 2: Coardele unui cerc care sunt la aceeași distanță de centru sunt egale.
Teorema 3: Tangenta este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.
Corolarul 3 : Dacă distanța de la centrul cercului la linie este egală cu raza cercului, atunci linia este tangentă.
Cu 
consecinta 4
:
Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mare decât raza cercului, atunci linia nu intersectează cercul.
Teorema 4:
Segmentele tangentelor la cerc, trasate dintr-un punct, sunt egale și formează unghiuri egale cu dreapta care trece prin acest punct și centrul cercului.
3) Răspundeți la întrebările (3b):
1) Cum pot fi situate pe un plan o linie dreaptă și un cerc?
2) Poate o dreaptă să aibă trei puncte în comun cu un cerc?
3) Cum ar trebui trasată o tangentă la un cerc printr-un punct situat pe cerc?
4) Câte tangente pot fi trase la un cerc printr-un punct:
a) culcat pe un cerc;
b) culcat în interiorul cercului;
c) culcat în afara cercului?
5) Având în vedere un cerc ω (O; r) și un punct A situat în interiorul cercului. Câte puncte de intersecție vor avea: a) dreaptă OA; b) grinda OA; c) segmentul OA?
6) Cum se împarte coarda unui cerc în jumătate?
Trece testul #1
SARCINA 2
1) Citiți textul și priviți imaginile. Faceți desene în caiet, notați concluziile și învățați-le (3b):
Luați în considerare cazuri posibile de aranjare reciprocă a două cercuri. Poziția relativă a două cercuri este legată de distanța dintre centrele lor.
P 
cercuri care se intersectează:
două cercurise intersectează,
dacă audouă puncte comune.
LasaR
1
șiR
2
- razele cercurilorω
1
șiω
2
,
d
este distanța dintre centrele lor. cercuriω
1
șiω
2
se intersectează dacă și numai dacă numereleR
1
,
R
2
,
d
sunt lungimile laturilor unui triunghi, adică satisfac toate inegalitățile triunghiului:
R 1 + R 2 > d , R 1 + d > R 2 , R 2 + d > R 1 .
Concluzie: În cazul în care un R 1 + R 2 > d sau | R 1 − R 2 | < d, apoi cercurile se intersectează în două puncte.
Cercul de atingere: două cercuriîngrijorare, dacă auun punct comun. Au o tangentă comunăA . LasaR 1 șiR 2 - razele cercurilorω 1 șiω 2 , d
Cercurile se atingîn exterior dacă sunt localizateîn 
nu unul pe altul. Cu tangența externă, centrele cercurilor se află pe părțile opuse ale tangentei lor comune. cercuriω
1
șiω
2
atingeți extern dacă și numai dacăR
1
+
R
2
=
d
.
O 
cercurile se atingintern
dacă unul dintre ei este în interiorul celuilalt. Când se ating în exterior, centrele cercurilor se află pe aceeași parte a tangentei lor comune. cercuriω
1
șiω
2
atingeți intern dacă și numai dacă|
R
1
−
R
2
|=
d
.
Concluzie: În cazul în care un R 1 + R 2 = d sau | R 1 − R 2 |= d , apoi cercurile se ating într-un punct comun situat pe o linie dreaptă care trece prin centrele cercurilor.
H 
cercuri care se intersectează:
două cercurinu se intersectează
, dacă einu au puncte comune
. În acest caz, unul dintre ei se află în interiorul celuilalt, sau se află unul în afara celuilalt.
P 
gurăR
1
șiR
2
- razele cercurilorω
1
șiω
2
,
d
este distanța dintre centrele lor.
Cerc ω 1 și ω 2 situate unul în afara celuilalt dacă și numai dacă R 1 + R 2 < d . Cerc ω 1 se află înăuntru ω 2 dacă și numai dacă | R 1 − R 2 | > d .
Concluzie:În cazul în care unR 1 + R 2 < d sau | R 1 − R 2 | > d, atunci cercurile nu se intersectează.
2
) Scrieți definiția și învățați-o (1b):
Definiție: Cercurile care au un centru comun se numesc concentrice ( d = 0).
3) Răspundeți la întrebările (3 b):
1) Cum pot fi situate două cercuri pe un plan?
2) Ce determină locația cercurilor?
3) Este adevărat că două cercuri se pot intersecta în trei puncte?
4) Cum sunt aranjate cercurile dacă:
a) distanța dintre centrele cercurilor este egală cu suma razelor acestora;
b) distanța dintre centrele cercurilor este mai mică decât suma razelor acestora;
c) distanța dintre centre este mai mare decât suma a două raze;
d) distanța dintre centrele cercurilor este zero.
5) Căruia dintre următoarele trei cazuri de aranjare reciprocă a două cercuri aparțin cercurilor concentrice?
6) Cum se numește dreapta care trece prin punctul de tangență al cercurilor?
Treceți testul #2
SARCINA 3
Foarte bine! Tu poți să începilucrare de verificare numarul 1.
SARCINA 4
1) Rezolvați alegerea problemelor pare sau impare (2b.):
1. Specificați numărul de puncte comune ale dreptei și cercului dacă:
a) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 6 cm, iar raza cercului este de 7 cm;
b) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 7 cm, iar raza cercului este de 6 cm;
c) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 8 cm, iar raza cercului este de 8 cm.
2. Determinați poziția relativă a dreptei și a cercului dacă:
1. R=16cm, d=12cm; 2. R=8 cm, d=1,2 dm; 3. R=5cm, d=50mm
3. Care este poziția relativă a cercurilor dacă:
d= 1dm, R 1 = 0,8 dm, R 2 = 0,2 dm
d = 4 0 cm, R 1 = 110 cm, R 2 = 70 cm
d= 12 cm, R 1 = 5 cm, R 2 = 3 cm
d= 15 dm, R 1 = 10dm, R 2 = 22 cm
4. Specificați numărul de puncte de interacțiune a două cercuri de-a lungul razelor și distanța dintre centre:
A)R= 4 cm,r= 3 cm, OO 1 = 9 cm; b)R= 10 cm,r= 5 cm, OO 1 = 4 cm
în)R= 4 cm,r= 3 cm, OO 1 = 6 cm; G)R= 9 cm,r= 7 cm, OO 1 = 4 cm.
2) Rezolvați o problemă la alegere (2b.):
1. Aflați lungimile a două segmente ale coardei, în care diametrul cercului îl împarte, dacă lungimea coardei este de 16 cm, iar diametrul este perpendicular pe acesta.
2. Aflați lungimea coardei dacă diametrul este perpendicular pe acesta, iar unul dintre segmentele tăiate de diametrul din acesta este de 2 cm.
3) Finalizați alegerea sarcinilor de construcție pare sau impare (2b):
1. Construiți două cercuri cu raze de 2 cm și 4 cm, distanța dintre centrele cărora este egală cu zero.
2. Desenați două cercuri cu raze diferite (3 cm și 2 cm) astfel încât să se atingă. Marcați distanța dintre centrele lor cu o linie. Luați în considerare opțiunile dvs.
3. Construiți un cerc cu raza de 3 cm și o linie dreaptă situată la o distanță de 4 cm de centrul cercului.
4. Construiți un cerc cu raza de 4 cm și o linie dreaptă situată la o distanță de 2 cm de centrul cercului.
Treceți testul #4
SARCINA 5
Foarte bine! Tu poți să începilucrare de verificare numarul 2.
SARCINA 6
1) Găsiți o eroare în enunț și corectați-o prin fundamentarea părerii dvs. Alegeți oricare două afirmații (4b.):
A) Două cercuri se ating în exterior. Razele lor sunt R = 8 cm și r = 2 cm, distanța dintre centre este d = 6.
B) Două cercuri au cel puțin trei puncte în comun.
C) R = 4, r = 3, d = 5. Cercurile nu au puncte comune.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Cercul mai mic este situat în interiorul celui mai mare.
E) Două cercuri nu pot fi localizate astfel încât unul să fie în interiorul celuilalt.
2) Rezolvați alegerea problemelor pare sau impare (66.):
1. Două cercuri se ating. Raza cercului mai mare este de 19 cm, iar raza cercului mic este cu 4 cm mai mică.Aflați distanța dintre centrele cercurilor.
2. Două cercuri se ating. Raza cercului mai mare este de 26 cm, iar raza cercului mic este de 2 ori mai mică. Aflați distanța dintre centrele cercurilor.
3. Luați două puncteD șiF astfel încâtDF = 6 cm . Desenați două cercuri(D, 2 cm) și(F, 3 cm). Cum sunt situate aceste două cercuri? Faceți o concluzie.
4. Distanța dintre puncteDAR șiLA egală7 cm Desenați cercuri centrate în puncteDAR șiLA , cu raze egale cu3 cm și4 cm . Cum sunt aranjate cercurile? Faceți o concluzie.
5. Între două cercuri concentrice cu raze de 4 cm și 8 cm se află un al treilea cerc astfel încât să atingă primele două cercuri. Care este raza acestui cerc?
6. Se intersectează cercuri ale căror raze sunt de 6 cm și 2 cm. Mai mult, cercul mai mare trece prin centrul cercului mai mic. Aflați distanța dintre centrele cercurilor.
Treceți testul #6
Lucrare de verificare nr 1
Alegeți una dintre opțiunile de testare și rezolvați (10 întrebări, câte 1 punct pentru fiecare):
1. O dreaptă care are două puncte în comun cu un cerc se numește...A) o coardă B) diametrul
C) secante; D) tangentă.
2. Printr-un punct situat pe un cerc se pot desena ...... .. tangente
Unul; B) doi
3. Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât lungimea razei cercului, atunci linia dreaptă ...
D) nu există un răspuns corect.
4. Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza cercului, atunci linia dreaptă ...
A) atinge cercul într-un punct; C) intersectează cercul în două puncte;
C) nu se intersectează cu un cerc;
D) nu există un răspuns corect.
5. Cercurile nu se intersectează și nu se ating dacă...
DAR)R 1 + R 2 = d ; LA)R 1 + R 2 < d ;
CU)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .
6. Tangenta și raza trasate la punctul de contact...
A) sunt paralele B) sunt perpendiculare
C) potrivire D) nu există un răspuns corect.
7. Cercurile se ating în exterior. Raza cercului mai mic este de 3 cm, raza celui mai mare este de 5 cm.Care este distanta dintre centre?
8. Care este poziția relativă a două cercuri dacă distanța dintre centre este 4 și razele sunt 11 și 7:
9. Ce se poate spune despre poziția relativă a liniei și a cercului, dacă diametrul cercului este de 7,2 cm, iar distanța de la centrul cercului la linie este de 0,4 dm:
10. Dat un cerc cu centrul O și punctul A. Unde este situat punctul A dacă raza cercului este de 7 cm, iar lungimea segmentului OA este de 70 mm?
A) în interiorul unui cerc B) pe un cerc.
C) în afara cercului; D) nu există un răspuns corect.
Opțiunea 2
1. O dreaptă care are un singur punct comun cu un cerc și este perpendiculară pe rază se numește...
A) o coardă B) diametrul
C) secante; D) tangentă.
2. Dintr-un punct care nu se află pe cerc, puteți desena la cerc …….. tangente
Unul; B) doi
C) niciunul D) nu există un răspuns corect.
3. Dacă distanța de la centrul cercului la linie este egală cu raza cercului, atunci linia
A) atinge cercul într-un punct; C) intersectează cercul în două puncte;
C) nu se intersectează cu un cerc;
D) nu există un răspuns corect.
4. Cercurile se intersectează în două puncte dacă...
DAR)R 1 + R 2 = d ; LA)R 1 + R 2 < d ;
CU)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .
5. Cercurile se ating la un moment dat dacă...
DAR)R 1 + R 2 = d ; LA)R 1 + R 2 < d ;
CU)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .
6. Cercurile se numesc concentrice dacă...
DAR)R 1 + R 2 = d ; LA)R 1 + R 2 < d ;
CU)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .
7. Cercurile se ating în interior. Raza cercului mai mic este de 3 cm.Raza cercului mai mare este de 5 cm.Care este distanta dintre centrele cercurilor?
A) 8 cm; C) 2 s m; C) 15 cm; D) 3 cm.
8. Care este poziția relativă a două cercuri dacă distanța dintre centre este 10 și razele sunt 8 și 2:
A) atingere externă; B) atingere internă;
C) se intersectează D) nu se intersectează.
9. Ce se poate spune despre poziția relativă a liniei și a cercului, dacă diametrul cercului este de 7,2 cm, iar distanța de la centrul cercului la linie este de 3,25 cm:
O atingere B) nu se intersectează.
C) se intersectează D) nu există un răspuns corect.
10. Dat un cerc cu centrul O și punctul A. Unde este punctul A dacă raza cercului este de 7 cm, iar lungimea segmentului OA este de 4 cm?
A) în interiorul unui cerc
B) pe un cerc.
C) în afara cercului;
D) nu există un răspuns corect.
Evaluare: 10 b. - „5”, 9 - 8 b. - „4”, 7 - 6 b. - „3”, 5 b. și mai jos - „2”
Lucrare de verificare nr 2
1) Completați tabelul. Alegeți una dintre opțiuni (6b):
A)aranjarea reciprocă a două cercuri:
1. Aflați lungimile a două segmente ale coardei, în care diametrul cercului îl împarte, dacă lungimea coardei este de 0,8 dm, iar diametrul este perpendicular pe acesta.2. Aflați lungimea coardei dacă diametrul este perpendicular pe acesta, iar unul dintre segmentele tăiate de diametrul din acesta este de 0,4 dm.
3) Rezolvați o problemă din care să alegeți (2b):
1. Construiți cercuri ale căror centre sunt mai mici decât diferența dintre razele lor. Marcați distanța dintre centrele cercului. Faceți o concluzie.
2. Construiți cercuri, distanța dintre centrele cărora este egală cu diferența dintre razele acestor cercuri. Marcați distanța dintre centrele cercului. Faceți o concluzie.
Evaluare: 10 - 9 b. - „5”, 8 - 7 b. - „4”, 6 - 5 b. - „3”, 4 b. și mai jos - „2”
LISTA DE Evaluări
Scopul didactic: formarea de noi cunoștințe.
Obiectivele lecției.
Tutoriale:
- pentru a forma concepte matematice: o tangentă la un cerc, poziția relativă a unei drepte și a unui cerc, pentru a realiza înțelegerea și reproducerea de către studenți a acestor concepte prin implementarea lucrărilor de cercetare practică.
Salvarea sănătății:
- crearea unui climat psihologic favorabil în sala de clasă;
În curs de dezvoltare:
- de a dezvolta interesul cognitiv al elevilor, capacitatea de a explica, generaliza rezultatele, compara, contrasta, trage concluzii.
Educational:
- educaţia prin intermediul matematicii culturii personalităţii.
Forme de studiu:
- continut - conversatie, munca practica;
- privind organizarea activităților - individuale, frontale.
Planul lecției
| Blocuri | Etapele lecției |
| 1 bloc | Organizarea timpului. Pregătirea pentru studiul de material nou prin repetarea și actualizarea cunoștințelor de bază. |
| 2 bloc | Stabilirea obiectivelor. |
| 3 bloc | Introducere în material nou. Lucrări practice de cercetare. |
| 4 bloc | Consolidarea materialului nou prin rezolvarea problemelor |
| 5 bloc | Reflecţie. Executarea lucrarilor conform desenului finit. |
| 6 bloc | Rezumând lecția. Stabilirea temelor. |
Echipament:
- computer, ecran, proiector;
- Înmânează.
Resurse educaționale:
1. Matematică. Manual pentru instituțiile de învățământ clasa a VI-a; / G.V. Dorofeev, M., Iluminismul, 2009
2. Markova V.I. Caracteristicile predării geometriei în contextul implementării standardului educațional de stat: linii directoare, Kirov, 2010
3. Atanasyan L.S. Manual „Geometrie 7-9”.
În timpul orelor
| 1. Moment organizatoric. Pregătirea pentru studiul de material nou prin repetarea și actualizarea cunoștințelor de bază. |
Salutarea elevilor. Indică subiectul lecției. Află ce asocieri apar cu cuvântul „cerc” |
Scrieți data și subiectul lecției în caiet. Răspunde la întrebarea profesorului. |
| 2. Stabilirea scopului lecției | Rezumă scopurile formulate de elevi, stabilește obiectivele lecției | Formulați obiectivele lecției. |
| 3. Cunoașterea materialului nou. | Organizează o conversație, solicită modelelor să arate cum pot fi localizate un cerc și o linie dreaptă. Organizați lucrări practice. Organizează munca cu manualul. |
Răspunde la întrebările profesorului. Efectuați lucrări practice, trageți o concluzie. Ei lucrează cu manualul, găsesc o concluzie și o compară cu a lor. |
| 4. Înțelegerea primară, consolidarea prin rezolvarea problemelor. | Organizează munca în funcție de desene gata făcute. Lucrați cu manualul: p. 103 Nr. 498, Nr. 499. Rezolvarea problemelor |
Rezolvați oral problemele și comentați soluția. Efectuați rezolvarea problemelor și comentați. |
| 5. Reflecție. Executarea lucrarilor conform desenului finit | Instruiește munca de făcut. | Finalizează sarcina pe cont propriu. Autotestare. Rezumând. |
| 6. Rezumând. Stabilirea temelor | Elevii sunt invitați să analizeze clusterul alcătuit la începutul lecției, pentru a-l rafina ținând cont de cunoștințele acumulate. | Rezumând. Elevii apelează la obiectivele stabilite, analizează rezultatele: ce au învățat nou, ce au învățat în lecție |
1. Moment organizatoric. Actualizare de cunoștințe.
Profesorul spune tema lecției. Află ce asocieri apar cu cuvântul „cerc”.
Care este diametrul cercului dacă raza este de 2,4 cm?
Care este raza dacă diametrul este de 6,8 cm?
2. Stabilirea obiectivelor.
Elevii își stabilesc obiectivele pentru lecție, profesorul le rezumă și stabilește obiectivele lecției.
Se întocmește un program de activități în cadrul lecției.
3. Cunoașterea materialului nou.
1) Lucrul cu modele: „Arătați pe modele cum pot fi amplasate o linie dreaptă și un cerc pe un plan.”
Câte puncte au în comun?
2) Implementarea lucrărilor de cercetare practică.
Ţintă. Setați proprietatea poziției relative a liniei și a cercului.
Echipament: un cerc desenat pe o bucată de hârtie și un băț ca linie dreaptă, o riglă.
- În figură (pe o foaie de hârtie), setați poziția relativă a cercului și a liniei drepte.
- Măsurați raza cercului R și distanța de la centrul cercului la dreapta d.
- Înregistrați rezultatele studiului într-un tabel.
| Imagine | Aranjament reciproc | Numărul de puncte comune | Raza cercului R | Distanța de la centrul cercului la linia d | Comparați R și d |
4. Faceți o concluzie despre poziția relativă a dreptei și a cercului, în funcție de raportul dintre R și d.
Concluzie: Dacă distanța de la centrul cercului la linie este egală cu raza, atunci linia atinge cercul și are un punct comun cu cercul. Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mare decât raza, atunci cercul și linia nu au puncte comune. Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mică decât raza, linia intersectează cercul și are două puncte comune cu acesta.
5. Înțelegerea primară, consolidarea prin rezolvarea problemelor.
1) Teme de manuale: Nr. 498, Nr. 499.
2) Determinați poziția relativă a dreptei și a cercului dacă:
- 1. R=16cm, d=12cm
- 2. R=5cm, d=4,2cm
- 3. R=7,2 dm, d=3,7 dm
- 4. R=8 cm, d=1,2dm
- 5. R=5cm, d=50mm
a) o dreaptă și un cerc nu au puncte comune;
b) linia este tangentă la cerc;
c) o linie intersectează un cerc.
- d este distanța de la centrul cercului la linia dreaptă, R este raza cercului.
3) Ce se poate spune despre poziția relativă a dreptei și a cercului, dacă diametrul cercului este de 10,3 cm, iar distanța de la centrul cercului la linie este de 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.
4) Dat un cerc cu centrul O si punctul A. Unde este punctul A daca raza cercului este de 7 cm, iar lungimea segmentului OA este: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.
6. Reflecție
Ce ai învățat la lecție?
Ce regula a fost stabilita?
Finalizați următoarele sarcini de pe cărți:
Desenați o linie prin fiecare două puncte. Câte puncte comune are fiecare dintre linii cu cercul.
Linia ______ și cercul nu au puncte comune.
Linia ______ și cercul au un singur punct ___________.
Dreptele ______, _______, ________, _______ și cercul au două puncte comune.
7. Rezumând. Stabilirea temelor:
1) analizați clusterul alcătuit la începutul lecției, perfecționați-l ținând cont de cunoștințele acumulate;
2) manual: Nr. 500;
3) completați tabelul (pe cartonașe).
| Raza cercului | 4 cm | 6,2 cm | 3,5 cm | 1,8 cm | ||
| Distanța de la centrul cercului la linie | 7 cm | 5,12 cm | 3,5 cm | 9,3 cm | 8,25 m | |
| Concluzie despre poziția relativă a cercului și a dreptei | Drept traversează cercul |
Drept atinge cercul |
Drept nu traversează cercul |
Amintiți-vă o definiție importantă - definiția unui cerc]
Definiție:
Un cerc centrat în punctul O și raza R este mulțimea tuturor punctelor din plan care se află la o distanță R de punctul O.
Să fim atenți la faptul că mulțimea se numește cerc. toate puncte care satisfac condiția descrisă. Luați în considerare un exemplu:
Punctele A, B, C, D ale pătratului sunt echidistante de punctul E, dar nu sunt un cerc (Fig. 1).
Orez. 1. Ilustrație de exemplu
În acest caz, figura este un cerc, deoarece este tot un set de puncte echidistante de centru.
Dacă conectăm oricare două puncte ale cercului, obținem o coardă. Coarda care trece prin centru se numește diametru.
MB - acord; AB - diametru; MnB - arc, este contractat de coarda MB;
Colțul se numește central.
Punctul O este centrul cercului.
Orez. 2. Ilustrație de exemplu
Astfel, ne-am amintit ce este un cerc și elementele sale principale. Acum să trecem la luarea în considerare a poziției relative a cercului și a liniei.
Dat un cerc cu centrul O și raza r. Linia P, distanța de la centru la linie, adică perpendiculara OM, este egală cu d.
Presupunem că punctul O nu se află pe dreapta P.
Având în vedere un cerc și o linie dreaptă, trebuie să găsim numărul de puncte comune.
Cazul 1 - distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza cercului:
În primul caz, când distanța d este mai mică decât raza cercului r, punctul M se află în interiorul cercului. Din acest punct vom pune deoparte două segmente - MA și MB, a căror lungime va fi. Cunoaștem valorile lui r și d, d este mai mică decât r, ceea ce înseamnă că expresia există și punctele A și B există. Aceste două puncte se află pe o linie dreaptă prin construcție. Să verificăm dacă se întind pe un cerc. Calculați distanța dintre OA și OB folosind teorema lui Pitagora:
Orez. 3. Ilustrația cazului 1
Distanța de la centru la două puncte este egală cu raza cercului, așa că am demonstrat că punctele A și B aparțin cercului.
Deci, punctele A și B aparțin dreptei prin construcție, aparțin cercului prin ceea ce s-a dovedit - cercul și dreapta au două puncte comune. Să demonstrăm că nu există alte puncte (Fig. 4).
Orez. 4. Ilustrație pentru dovadă
Pentru a face acest lucru, luați un punct arbitrar C pe o linie dreaptă și presupuneți că se află pe un cerc - distanța OS = r. În acest caz, triunghiul este isoscel și mediana sa ON, care nu coincide cu segmentul OM, este înălțimea. Am obținut o contradicție: două perpendiculare sunt coborâte din punctul O către dreaptă.
Astfel, pe dreapta P nu există alte puncte comune cu cercul. Am demonstrat că în cazul în care distanța d este mai mică decât raza r a cercului, linia și cercul au doar două puncte comune.
Cazul doi - distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este egală cu raza cercului (Fig. 5):
Orez. 5. Ilustrația cazului 2
Amintiți-vă că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, în acest caz OH este perpendiculara. Deoarece, prin condiție, lungimea OH este egală cu raza cercului, atunci punctul H aparține cercului, deci punctul H este comun dreptei și cercului.
Să demonstrăm că nu există alte puncte comune. Dimpotrivă: să presupunem că punctul C de pe dreaptă aparține cercului. În acest caz, distanța OC este r, iar apoi OC este OH. Dar într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza OS este mai mare decât catetul OH. Avem o contradicție. Astfel, presupunerea este greșită și nu există alt punct decât H care să fie comun dreptei și cercului. Am demonstrat că în acest caz punctul comun este unic.
Cazul 3 - distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza cercului:
Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Tragem o perpendiculară de la punctul O la dreapta P, obținem punctul H, care nu se află pe cerc, deoarece OH este, prin condiție, mai mare decât raza cercului. Să demonstrăm că orice alt punct al dreptei nu se află pe cerc. Acest lucru se vede clar din triunghiul dreptunghic, a cărui ipotenuză OM este mai mare decât catetul OH și, prin urmare, mai mare decât raza cercului, deci punctul M nu aparține cercului, ca orice alt punct de pe linie. Am demonstrat că în acest caz cercul și dreapta nu au puncte comune (Fig. 6).
Orez. 6. Ilustrația cazului 3
Considera teorema . Să presupunem că linia AB are două puncte în comun cu cercul (Fig. 7).
Orez. 7. Ilustrație pentru teoremă
Avem un acord AB. Punctul H, conform condiției, este mijlocul coardei AB și se află pe diametrul CD.
Se cere să se demonstreze că în acest caz dimetrul este perpendicular pe coardă.
Dovada:
Considerăm un triunghi isoscel OAB, acesta este isoscel, deoarece .
Punctul H, prin condiție, este mijlocul coardei, ceea ce înseamnă mijlocul medianei AB a unui triunghi isoscel. Știm că mediana unui triunghi isoscel este perpendiculară pe baza acestuia, ceea ce înseamnă că este înălțimea: deci, astfel, se demonstrează că diametrul care trece prin mijlocul coardei este perpendicular pe acesta.
corect şi teorema inversă : dacă diametrul este perpendicular pe coardă, atunci trece prin punctul său de mijloc.
Având în vedere un cerc cu centrul O, diametrul său CD și coarda AB. Se știe că diametrul este perpendicular pe coardă, este necesar să se demonstreze că trece prin mijlocul acesteia (Fig. 8).
Orez. 8. Ilustrație pentru teoremă
Dovada:
Considerăm un triunghi isoscel OAB, acesta este isoscel, deoarece . OH, prin condiție, este înălțimea triunghiului, deoarece diametrul este perpendicular pe coardă. Înălțimea într-un triunghi isoscel este și o mediană, deci AH = HB, ceea ce înseamnă că punctul H este mijlocul coardei AB, ceea ce înseamnă că s-a dovedit că diametrul perpendicular pe coardă trece prin mijlocul acesteia.
Teorema directă și inversă poate fi generalizată după cum urmează.
Teorema:
Un diametru este perpendicular pe o coardă dacă și numai dacă trece prin punctul său de mijloc.
Deci, am luat în considerare toate cazurile de aranjare reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc. În lecția următoare, vom lua în considerare tangenta la un cerc.
Bibliografie
- Aleksandrov A.D. etc Geometrie Clasa 8. - M.: Educație, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie 8. - M.: Iluminismul, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie nota 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Teme pentru acasă
Sarcina 1. Aflați lungimile a două segmente ale coardei, în care diametrul cercului îl împarte, dacă lungimea coardei este de 16 cm, iar diametrul este perpendicular pe acesta.
Sarcina 2. Indicați numărul de puncte comune ale unei linii drepte și ale unui cerc dacă:
a) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 6 cm, iar raza cercului este de 6,05 cm;
b) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 6,05 cm, iar raza cercului este de 6 cm;
c) distanța de la linia dreaptă până la centrul cercului este de 8 cm, iar raza cercului este de 16 cm.
Sarcina 3. Aflați lungimea coardei dacă diametrul este perpendicular pe acesta, iar unul dintre segmentele tăiate de diametrul acesteia este de 2 cm.
