Vrei să știi care sunt șansele matematice ca pariul tău să aibă succes? Atunci avem două vești bune pentru tine. În primul rând: pentru a calcula permeabilitatea, nu trebuie să efectuați calcule complexe și să petreceți mult timp. Este suficient să folosiți formule simple, care va dura câteva minute pentru a lucra. În al doilea rând, după ce ai citit acest articol, vei putea calcula cu ușurință probabilitatea de a trece oricare dintre tranzacțiile tale.
Pentru a determina corect permeabilitatea, trebuie să faceți trei pași:
- Calculați procentul de probabilitate a rezultatului unui eveniment în funcție de biroul casei de pariuri;
- Calculați singur probabilitatea din datele statistice;
- Aflați valoarea unui pariu având în vedere ambele probabilități.
Să luăm în considerare în detaliu fiecare dintre pași, folosind nu numai formule, ci și exemple.
Trecere rapidă
Calculul probabilității încorporate în cotele de pariere
Primul pas este să aflați cu ce probabilitate evaluează casa de pariuri șansele unui anumit rezultat. La urma urmei, este clar că casele de pariuri nu pariază cote doar așa. Pentru aceasta folosim următoarea formulă:
PB=(1/K)*100%,
unde P B este probabilitatea rezultatului conform biroului casei de pariuri;
K - cota caselor de pariuri pentru rezultat.
Să presupunem că șansele sunt 4 pentru victoria Arsenalului din Londra într-un duel împotriva lui Bayern, ceea ce înseamnă că probabilitatea victoriei sale de către BC este considerată ca (1/4) * 100% = 25%. Sau Djokovic joacă împotriva lui South. Multiplicatorul pentru victoria lui Novak este 1,2, șansele lui sunt egale cu (1/1,2)*100%=83%.
Așa evaluează însăși casa de pariuri șansele de succes pentru fiecare jucător și echipă. După ce am terminat primul pas, trecem la al doilea.
Calculul probabilității unui eveniment de către jucător
Al doilea punct al planului nostru este propria noastră evaluare a probabilității evenimentului. Deoarece nu putem lua în considerare matematic astfel de parametri precum motivația, tonul de joc, vom folosi un model simplificat și vom folosi doar statisticile întâlnirilor anterioare. Pentru a calcula probabilitatea statistică a unui rezultat, folosim formula:
PȘi\u003d (UM / M) * 100%,
UndePȘi- probabilitatea evenimentului în funcție de jucător;
UM - numărul de meciuri reușite în care a avut loc un astfel de eveniment;
M este numărul total de potriviri.
Pentru a fi mai clar, haideți să dăm exemple. Andy Murray și Rafael Nadal au jucat 14 meciuri. În 6 dintre ele s-au înregistrat total sub 21 de jocuri, în 8 - total peste. Este necesar să se afle probabilitatea ca următorul meci să se joace pentru un total peste: (8/14)*100=57%. Valencia a jucat 74 de meciuri la Mestalla împotriva lui Atlético, în care a obținut 29 de victorii. Probabilitatea de a câștiga Valencia: (29/74)*100%=39%.
Și știm cu toții acest lucru doar datorită statisticilor jocurilor anterioare! Desigur, o astfel de probabilitate nu poate fi calculată pentru o echipă sau un jucător nou, așa că această strategie de pariere este potrivită doar pentru meciurile în care adversarii se întâlnesc nu pentru prima dată. Acum știm cum să determinăm pariurile și propriile probabilități de rezultate și avem toate cunoștințele pentru a trece la ultimul pas.
Determinarea valorii unui pariu
Valoarea (valoritatea) pariului și gradul de acceptare sunt direct legate: cu cât evaluarea este mai mare, cu atât șansa de trecere este mai mare. Valoarea se calculează după cum urmează:
V=PȘi*K-100%,
unde V este valoarea;
P I - probabilitatea unui rezultat în funcție de cel mai bun;
K - cota caselor de pariuri pentru rezultat.
Să zicem că vrem să pariem pe Milan pentru a câștiga meciul cu Roma și am calculat că probabilitatea ca roș-negrii să câștige este de 45%. Casa de pariuri ne oferă un coeficient de 2,5 pentru acest rezultat. Ar fi valoros un astfel de pariu? Efectuăm calcule: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Grozav, avem un pariu valoros cu șanse mari de a trece.
Să luăm un alt caz. Maria Sharapova joacă împotriva Petrei Kvitova. Vrem să facem o afacere ca Maria să câștige, care, după calculele noastre, are o probabilitate de 60%. Casele de pariuri oferă un multiplicator de 1,5 pentru acest rezultat. Determinați valoarea: V=60%*1,5-100=-10%. După cum puteți vedea, acest pariu nu are valoare și ar trebui să fie abținut.
ca categorie ontologică reflectă măsura posibilităţii apariţiei oricărei entităţi în orice condiţii. Spre deosebire de interpretările matematice și logice ale acestui concept, V. ontologică nu se asociază cu necesitatea unei expresii cantitative. Valoarea lui V. se relevă în contextul înțelegerii determinismului și a naturii dezvoltării în general.
Mare Definitie
Definiție incompletă ↓
PROBABILITATE
un concept care caracterizează cantitățile. o măsură a posibilității apariției unui anumit eveniment la un anumit moment. conditii. În științific cunoașterea există trei interpretări ale lui V. Conceptul clasic al lui V., care a apărut din matematică. analiza jocurilor de noroc și cel mai pe deplin dezvoltată de B. Pascal, J. Bernoulli și P. Laplace, consideră V. ca raportul dintre numărul de cazuri favorabile și numărul total al tuturor la fel de posibile. De exemplu, atunci când aruncați un zar care are 6 părți, se poate aștepta ca fiecare dintre ele să vină cu un V egal cu 1/6, deoarece niciuna dintre părți nu are avantaje față de cealaltă. O astfel de simetrie a rezultatelor experienței este luată în considerare în mod special la organizarea jocurilor, dar este relativ rară în studiul evenimentelor obiective în știință și practică. Clasic Interpretarea lui V. a făcut loc statisticii. Conceptele lui V., în miezul cărora sunt valabile. observarea apariţiei unui anumit eveniment pe durata duratei. experiență în condiții precis stabilite. Practica confirmă că, cu cât un eveniment are loc mai des, cu atât este mai mare gradul de posibilitate obiectivă de apariție a acestuia, sau V. Prin urmare, statistica. Interpretarea lui V. se bazează pe conceptul de relatează. frecvențe, o tăietură poate fi determinată empiric. V. ca teoretic. conceptul nu coincide niciodată cu o frecvență determinată empiric, totuși, în multe feluri. cazuri, practic diferă puțin de rudă. frecvența găsită ca urmare a duratei. observatii. Mulți statisticieni îl consideră pe V. ca pe o „dublă” se referă. frecvența, marginea este determinată de statistici. studiul rezultatelor observaționale
sau experimente. Mai puțin realistă a fost definiția lui V. în ceea ce privește limita. frecvențele evenimentelor de masă, sau colective, propuse de R. Mises. Ca o dezvoltare ulterioară a abordării frecvenței la V., este propusă o interpretare dispozițională sau înclinată a lui V. (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Conform acestei interpretări, V. caracterizează proprietatea de a genera condiţii, de exemplu. experiment. instalare, pentru a obține o secvență de evenimente aleatoare masive. Această atitudine este cea care dă naștere fizicului dispoziţii, sau predispoziţii, V. to-rykh pot fi verificate prin intermediul relativei. frecvente.
Statistic Interpretarea lui V. domină științificul. cunoștințe, deoarece reflectă specificul. natura tiparelor inerente fenomenelor de masă de natură aleatorie. În multe fizice, biologice, economice, demografice și alte procese sociale, este necesar să se țină cont de acțiunea multor factori aleatori, to-secara se caracterizează printr-o frecvență stabilă. Identificarea acestei frecvențe și cantități stabile. evaluarea ei cu ajutorul lui V. face posibilă relevarea necesității, care își croiește drum prin acțiunea cumulativă a multor accidente. Aici își găsește manifestarea dialectica transformării întâmplării în necesitate (vezi F. Engels, în cartea: K. Marx și F. Engels, Soch., vol. 20, pp. 535-36).
Raționamentul logic sau inductiv caracterizează relația dintre premise și concluzia raționamentului nedemonstrativ și, în special, inductiv. Spre deosebire de deducție, premisele inducției nu garantează adevărul concluziei, ci doar o fac mai mult sau mai puțin plauzibilă. Această credibilitate, cu premise precis formulate, poate fi uneori estimată cu ajutorul lui V. Valoarea acestui V. se determină cel mai adesea prin comparare. concepte (mai mare decât, mai mică sau egală cu) și uneori într-un mod numeric. Logică interpretarea este adesea folosită pentru a analiza raționamentul inductiv și pentru a construi diverse sisteme de logici probabilistice (R. Carnap, R. Jeffrey). În semantică concepte logice. V. este adesea definită ca gradul de confirmare a unei afirmații de către altele (de exemplu, ipoteza datelor sale empirice).
În legătură cu dezvoltarea teoriilor de luare a deciziilor și a jocurilor, așa-numitele. interpretarea personalistă a lui V. Deși V. în acest caz exprimă gradul de credință al subiectului și apariția unui anumit eveniment, V. ele însele trebuie alese în așa fel încât axiomele calculului lui V. să fie satisfăcute. , V. cu o asemenea interpretare exprimă nu atât gradul de credință subiectivă, ci mai degrabă rezonabilă . În consecință, deciziile luate pe baza unui astfel de V. vor fi raționale, deoarece nu țin cont de cel psihologic. caracteristicile și înclinațiile subiectului.
Din epistemologic t. sp. diferență între statistic., logic. iar interpretările personaliste ale lui V. constă în faptul că, dacă primul caracterizează proprietățile și relațiile obiective ale fenomenelor de masă de natură aleatorie, atunci ultimele două analizează trăsăturile subiectivului, cunoașterii. activităţile umane în condiţii de incertitudine.
PROBABILITATE
unul dintre cele mai importante concepte ale științei, care caracterizează o viziune sistemică deosebită asupra lumii, a structurii, evoluției și cunoașterii acesteia. Specificul viziunii probabiliste asupra lumii este relevat prin includerea conceptelor de hazard, independență și ierarhie (idei de niveluri în structura și determinarea sistemelor) printre conceptele de bază ale ființei.
Ideile despre probabilitate își au originea în antichitate și erau legate de caracteristicile cunoștințelor noastre, în timp ce a fost recunoscută prezența cunoștințelor probabilistice, care diferă de cunoștințele de încredere și de false. Impactul ideii de probabilitate asupra gândirii științifice, asupra dezvoltării cunoștințelor este direct legat de dezvoltarea teoriei probabilității ca disciplină matematică. Originea doctrinei matematice a probabilității datează din secolul al XVII-lea, când s-a dezvoltat nucleul de concepte care permit. caracteristici cantitative (numerice) și exprimarea unei idei probabilistice.
Aplicațiile intensive ale probabilității la dezvoltarea cunoștințelor se încadrează la etajul 2. 19 - etajul 1. Secolului 20 Probabilitatea a intrat în structurile unor științe fundamentale ale naturii precum fizica statistică clasică, genetica, teoria cuantică, cibernetica (teoria informației). În consecință, probabilitatea personifică acea etapă în dezvoltarea științei, care este acum definită ca știință non-clasică. Pentru a dezvălui noutatea, trăsăturile modului probabilistic de gândire, este necesar să pornim de la analiza subiectului teoriei probabilităților și fundamentele numeroaselor sale aplicații. Teoria probabilității este de obicei definită ca o disciplină matematică care studiază legile fenomenelor aleatorii de masă în anumite condiții. Aleatorie înseamnă că, în cadrul caracterului de masă, existența fiecărui fenomen elementar nu depinde și nu este determinată de existența altor fenomene. În același timp, însăși natura de masă a fenomenelor are o structură stabilă, conține anumite regularități. Un fenomen de masă este împărțit destul de strict în subsisteme, iar numărul relativ de fenomene elementare din fiecare dintre subsisteme (frecvența relativă) este foarte stabil. Această stabilitate este comparată cu probabilitatea. Un fenomen de masă în ansamblu este caracterizat printr-o distribuție a probabilităților, adică prin stabilirea subsistemelor și a probabilităților corespunzătoare. Limbajul teoriei probabilităților este limbajul distribuțiilor probabilităților. În consecință, teoria probabilității este definită ca știința abstractă a operațiunii cu distribuții.
Probabilitatea a dat naștere în știință la idei despre regularități statistice și sisteme statistice. Acestea din urmă sunt sisteme formate din entități independente sau cvasi-independente, structura lor fiind caracterizată de distribuții de probabilitate. Dar cum este posibil să se formeze sisteme din entități independente? De obicei se presupune că pentru a forma sisteme care au caracteristici integrale, este necesar ca între elementele lor să existe legături suficient de stabile care cimentează sistemele. Stabilitatea sistemelor statistice este dată de prezența condițiilor externe, a mediului extern, mai degrabă forțe externe decât interne. Însăși definiția probabilității se bazează întotdeauna pe stabilirea condițiilor de formare a fenomenului de masă inițial. O altă idee importantă care caracterizează paradigma probabilistică este ideea de ierarhie (subordonare). Această idee exprimă relația dintre caracteristicile elementelor individuale și caracteristicile integrale ale sistemelor: acestea din urmă, așa cum ar fi, sunt construite peste primele.
Semnificația metodelor probabiliste în cunoaștere constă în faptul că ele ne permit să explorăm și să exprimăm teoretic tiparele de structură și comportament ale obiectelor și sistemelor care au o structură ierarhică, „cu două niveluri”.
Analiza naturii probabilității se bazează pe frecvența acesteia, pe interpretarea statistică. În același timp, pentru o perioadă foarte lungă de timp, o astfel de înțelegere a probabilității a dominat în știință, care a fost numită probabilitate logică sau inductivă. Probabilitatea logică este interesată de chestiunile privind validitatea unei judecăți separate, individuale, în anumite condiții. Este posibil să se aprecieze gradul de confirmare (securitate, adevăr) a unei concluzii inductive (concluzie ipotetică) într-o formă cantitativă? În cursul formării teoriei probabilității, astfel de întrebări au fost discutate în mod repetat și au început să vorbească despre gradele de confirmare a concluziilor ipotetice. Această măsură a probabilității este determinată de informațiile de care dispune o anumită persoană, de experiența sa, de opiniile despre lume și de mentalitatea psihologică. În toate astfel de cazuri, mărimea probabilității nu este susceptibilă de măsurători stricte și practic se află în afara competenței teoriei probabilităților ca disciplină matematică consistentă.
O interpretare obiectivă, de frecvență, a probabilității a fost stabilită în știință cu o dificultate considerabilă. Inițial, înțelegerea naturii probabilității a fost puternic influențată de acele opinii filozofice și metodologice care erau caracteristice științei clasice. Din punct de vedere istoric, formarea metodelor probabiliste în fizică s-a produs sub influența decisivă a ideilor mecanicii: sistemele statistice erau tratate pur și simplu ca pe cele mecanice. Întrucât problemele corespunzătoare nu au fost rezolvate prin metode stricte de mecanică, au apărut afirmații conform cărora apelul la metode probabilistice și regularități statistice este rezultatul incompletității cunoștințelor noastre. În istoria dezvoltării fizicii statistice clasice s-au făcut numeroase încercări de fundamentare a acesteia pe baza mecanicii clasice, dar toate au eșuat. Baza probabilității este că exprimă trăsăturile structurii unei anumite clase de sisteme, altele decât sistemele mecanice: starea elementelor acestor sisteme se caracterizează prin instabilitate și o natură specială (nereductibilă la mecanică) a interacțiunilor. .
Intrarea probabilității în cunoaștere duce la negarea conceptului de determinism rigid, la negarea modelului de bază al ființei și cunoașterii dezvoltate în procesul de formare a științei clasice. Modelele de bază reprezentate de teoriile statistice sunt de natură diferită, mai generală: includ ideile de aleatorie și independență. Ideea de probabilitate este legată de dezvăluirea dinamicii interne a obiectelor și sistemelor, care nu poate fi determinată complet de condiții și circumstanțe externe.
Conceptul unei viziuni probabiliste a lumii, bazată pe absolutizarea ideilor despre independență (ca și până acum, paradigma determinării rigide), și-a dezvăluit acum limitările, care afectează cel mai puternic trecerea științei moderne la metodele analitice de studiu complex. sistemele organizate și fundamentele fizice și matematice ale fenomenelor de autoorganizare.
Mare Definitie
Definiție incompletă ↓
Necesitatea acțiunilor asupra probabilităților apare atunci când probabilitățile unor evenimente sunt cunoscute și probabilitățile altor evenimente care sunt asociate cu aceste evenimente trebuie calculate.
Adunarea probabilității este utilizată atunci când este necesar să se calculeze probabilitatea unei combinații sau a unei sume logice de evenimente aleatoare.
Suma evenimentelor Ași B desemna A + B sau A ∪ B. Suma a două evenimente este un eveniment care are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre evenimente. Înseamnă că A + B- un eveniment care are loc dacă și numai dacă un eveniment are loc în timpul observării A sau eveniment B, sau în același timp Ași B.
Dacă evenimentele Ași B sunt reciproc inconsecvente și probabilitățile lor sunt date, atunci probabilitatea ca unul dintre aceste evenimente să se producă ca urmare a unei încercări este calculată folosind adunarea probabilităților.
Teorema adunării probabilităților. Probabilitatea ca unul dintre cele două evenimente incompatibile reciproc să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
De exemplu, s-au tras două focuri de armă în timpul vânătorii. Eveniment DAR– lovirea unei rațe de la prima lovitură, eveniment LA– lovitură din a doua lovitură, eveniment ( DAR+ LA) - lovitura din prima sau a doua lovitura sau din doua lovituri. Deci dacă două evenimente DARși LA sunt evenimente incompatibile, deci DAR+ LA- apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente sau a două evenimente.
Exemplul 1 O cutie conține 30 de bile de aceeași dimensiune: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Calculați probabilitatea ca o minge colorată (nu albă) să fie luată fără să se uite.
Decizie. Să presupunem că evenimentul DAR– „s-a luat mingea roșie”, și evenimentul LA- „Mingea albastră este luată”. Apoi evenimentul este „se ia o minge colorată (nu albă)”. Găsiți probabilitatea unui eveniment DAR:
si evenimente LA:
Evenimente DARși LA- incompatibile reciproc, deoarece dacă se ia o minge, atunci nu pot fi luate bile de culori diferite. Prin urmare, folosim adunarea probabilităților:
Teorema adunării probabilităților pentru mai multe evenimente incompatibile. Dacă evenimentele alcătuiesc setul complet de evenimente, atunci suma probabilităților lor este egală cu 1:
Suma probabilităților de evenimente opuse este, de asemenea, egală cu 1:
Evenimentele opuse formează un set complet de evenimente, iar probabilitatea unui set complet de evenimente este 1.
Probabilitățile de evenimente opuse sunt de obicei notate cu litere mici. pși q. În special,
din care rezultă următoarele formule pentru probabilitatea evenimentelor opuse:
Exemplul 2Ținta din liniuță este împărțită în 3 zone. Probabilitatea ca un anumit trăgător să tragă la o țintă din prima zonă este de 0,15, în a doua zonă - 0,23, în a treia zonă - 0,17. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta și probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta.
Soluție: Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta:
Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta:
Sarcini mai dificile în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse sarcini pentru adunare și înmulțire a probabilităților” .
Adăugarea probabilităților de evenimente comune
Se spune că două evenimente aleatoare sunt comune dacă apariția unui eveniment nu exclude apariția unui al doilea eveniment în aceeași observație. De exemplu, la aruncarea unui zar, evenimentul DAR este considerat a fi apariția numărului 4 și evenimentul LA- eliminarea unui număr par. Deoarece numărul 4 este un număr par, cele două evenimente sunt compatibile. În practică, există sarcini pentru calcularea probabilităților de apariție a unuia dintre evenimentele comune.
Teorema adunării probabilităților pentru evenimente comune. Probabilitatea ca unul dintre evenimentele comune să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, din care se scade probabilitatea apariției comune a ambelor evenimente, adică produsul probabilităților. Formula pentru probabilitățile evenimentelor comune este următoarea:
Pentru că evenimentele DARși LA compatibil, eveniment DAR+ LA are loc dacă are loc unul dintre cele trei evenimente posibile: sau AB. Conform teoremei adunării evenimentelor incompatibile, calculăm după cum urmează:
Eveniment DAR apare dacă are loc unul dintre cele două evenimente incompatibile: sau AB. Cu toate acestea, probabilitatea de apariție a unui eveniment din mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților tuturor acestor evenimente:
În mod similar:
Înlocuind expresiile (6) și (7) în expresia (5), obținem formula probabilității pentru evenimente comune:
Atunci când se utilizează formula (8), trebuie luat în considerare faptul că evenimentele DARși LA poate fi:
- independent reciproc;
- dependente reciproc.
Formula probabilității pentru evenimente independente reciproc:
Formula probabilității pentru evenimente dependente reciproc:
Dacă evenimentele DARși LA sunt inconsecvente, atunci coincidența lor este un caz imposibil și, astfel, P(AB) = 0. A patra formulă de probabilitate pentru evenimente incompatibile este următoarea:
Exemplul 3În cursele auto, atunci când conduceți cu prima mașină, probabilitatea de a câștiga, când conduceți cu a doua mașină. A găsi:
- probabilitatea ca ambele mașini să câștige;
- probabilitatea ca cel puțin o mașină să câștige;
1) Probabilitatea ca prima mașină să câștige nu depinde de rezultatul celei de-a doua mașini, deci evenimentele DAR(prima mașină câștigă) și LA(a doua mașină câștigă) - evenimente independente. Găsiți probabilitatea ca ambele mașini să câștige:
2) Găsiți probabilitatea ca una dintre cele două mașini să câștige:
Sarcini mai dificile în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse sarcini pentru adunare și înmulțire a probabilităților” .
Rezolvați singur problema adunării probabilităților și apoi uitați-vă la soluție
Exemplul 4 Se aruncă două monede. Eveniment A- pierderea stemei de pe prima monedă. Eveniment B- pierderea stemei de pe a doua monedă. Găsiți probabilitatea unui eveniment C = A + B .
Înmulțirea probabilității
Înmulțirea probabilităților este utilizată atunci când se calculează probabilitatea unui produs logic al evenimentelor.
În acest caz, evenimentele aleatoare trebuie să fie independente. Se spune că două evenimente sunt reciproc independente dacă apariția unui eveniment nu afectează probabilitatea apariției celui de-al doilea eveniment.
Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente. Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente DARși LA este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente și se calculează prin formula:
Exemplul 5 Moneda este aruncată de trei ori la rând. Găsiți probabilitatea ca stema să cadă de trei ori.
Decizie. Probabilitatea ca stema să cadă la prima aruncare a unei monede, a doua oară și a treia oară. Găsiți probabilitatea ca stema să cadă de trei ori:
Rezolvați singur problemele de înmulțire a probabilităților și apoi uitați-vă la soluție
Exemplul 6 Există o cutie cu nouă mingi de tenis noi. Se iau trei mingi pentru joc, după care se pun înapoi. Atunci când aleg mingi, acestea nu fac distincție între mingile jucate și cele nejucate. Care este probabilitatea ca după trei jocuri să nu mai fie mingi nejucate în careu?
Exemplul 7 32 de litere ale alfabetului rus sunt scrise pe carduri cu alfabet tăiat. Cinci cărți sunt extrase la întâmplare, una după alta, și așezate pe masă în ordinea în care apar. Găsiți probabilitatea ca literele să formeze cuvântul „sfârșit”.
Exemplul 8 Dintr-un pachet complet de cărți (52 de coli), patru cărți sunt scoase simultan. Găsiți probabilitatea ca toate cele patru cărți să fie de aceeași culoare.
Exemplul 9 Aceeași problemă ca în exemplul 8, dar fiecare carte este returnată în pachet după ce a fost extrasă.
Sarcini mai complexe, în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, precum și să calculați produsul mai multor evenimente - pe pagina „Diverse sarcini pentru adunare și înmulțire a probabilităților” .
Probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimentele reciproc independente să se producă poate fi calculată scăzând produsul probabilităților de evenimente opuse din 1, adică prin formula:
Exemplul 10 Mărfurile sunt livrate prin trei moduri de transport: fluvial, feroviar și rutier. Probabilitatea ca marfa să fie livrată prin transport fluvial este de 0,82, pe calea ferată 0,87, pe drum de 0,90. Găsiți probabilitatea ca mărfurile să fie livrate de cel puțin unul dintre cele trei moduri de transport.
- Probabilitate - gradul (măsură relativă, evaluare cantitativă) al posibilității apariției unui eveniment. Atunci când motivele pentru care un eveniment posibil să apară efectiv depășesc motivele opuse, atunci acest eveniment se numește probabil, în caz contrar - improbabil sau improbabil. Preponderența motivelor pozitive față de cele negative și invers, poate fi în grade diferite, drept urmare probabilitatea (și improbabilitatea) este mai mare sau mai mică. Prin urmare, probabilitatea este adesea estimată la nivel calitativ, mai ales în cazurile în care o evaluare cantitativă mai mult sau mai puțin precisă este imposibilă sau extrem de dificilă. Sunt posibile diferite gradații de „niveluri” de probabilitate.
Studiul probabilității din punct de vedere matematic este o disciplină specială - teoria probabilității. În teoria probabilității și statistica matematică, conceptul de probabilitate este formalizat ca o caracteristică numerică a unui eveniment - o măsură a probabilității (sau valoarea acesteia) - o măsură a unui set de evenimente (subseturi ale unui set de evenimente elementare), luând valori de la
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Sens
(\displaystyle 1)
Corespunde unui eveniment valid. Un eveniment imposibil are o probabilitate de 0 (reversul, în general, nu este întotdeauna adevărat). Dacă probabilitatea ca un eveniment să se producă este
(\displaystyle p)
Atunci probabilitatea neapariției sale este egală cu
(\displaystyle 1-p)
În special, probabilitatea
(\displaystyle 1/2)
Înseamnă probabilitate egală de apariție și neapariție a evenimentului.
Definiția clasică a probabilității se bazează pe conceptul de equiprobabilitate a rezultatelor. Probabilitatea este raportul dintre numărul de rezultate care favorizează un anumit eveniment și numărul total de rezultate la fel de probabile. De exemplu, probabilitatea de a obține „capete” sau „cozi” la o aruncare aleatorie de monede este de 1/2, dacă se presupune că apar doar aceste două posibilități și sunt la fel de probabile. Această „definiție” clasică a probabilității poate fi generalizată la cazul unui număr infinit de valori posibile - de exemplu, dacă un eveniment poate avea loc cu probabilitate egală în orice punct (numărul de puncte este infinit) al unei arii limitate a spațiu (plan), atunci probabilitatea ca aceasta să apară într-o anumită parte a acestei zone permise este egală cu raportul dintre volumul (aria) acestei părți și volumul (aria) ariei tuturor punctelor posibile .
„Definiția” empirică a probabilității este legată de frecvența apariției unui eveniment, pe baza faptului că, cu un număr suficient de mare de încercări, frecvența ar trebui să tindă spre gradul obiectiv de posibilitate a acestui eveniment. În prezentarea modernă a teoriei probabilității, probabilitatea este definită axiomatic, ca un caz special al teoriei abstracte a măsurii unei mulțimi. Cu toate acestea, legătura dintre măsura abstractă și probabilitate, care exprimă gradul de posibilitate al unui eveniment, este tocmai frecvența observării acestuia.
Descrierea probabilistică a anumitor fenomene a devenit larg răspândită în știința modernă, în special în econometrie, fizica statistică a sistemelor macroscopice (termodinamice), unde chiar și în cazul unei descrieri deterministe clasice a mișcării particulelor, o descriere deterministă a întregului sistem. de particule nu este practic posibil și adecvat. În fizica cuantică, procesele descrise în sine sunt de natură probabilistică.
Dacă evenimentele H 1 , H 2 , …, H n formează un grup complet, atunci pentru a calcula probabilitatea unui eveniment arbitrar, puteți utiliza formula probabilității totale:
P (A) \u003d P (A / H 1) P (H 1) + P (A / H 2) P (H 2)
În conformitate cu care probabilitatea producerii evenimentului A poate fi reprezentată ca suma produselor probabilităților condiționate ale evenimentului A în condiția producerii evenimentelor H i de probabilitățile necondiționate ale acestor evenimente H i . Aceste evenimente H i se numesc ipoteze.
Formula Bayes rezultă din formula probabilității totale:
Probabilitățile P(H i) ale ipotezelor H i se numesc probabilități a priori - probabilitățile dinaintea experimentelor.
Probabilitățile P(A/H i) se numesc probabilități a posteriori - probabilitățile ipotezelor H i rafinate ca urmare a experimentului.
Atribuirea serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a calcula probabilitatea totală cu proiectarea întregului curs al soluției în format Word (vezi exemple de rezolvare a problemelor).
Exemplul #1. Magazinul primește becuri de la două fabrici, ponderea primei fabrici fiind de 25%. Se știe că ponderea defectelor din aceste fabrici este de 5%, respectiv 10% din toate produsele fabricate. Vânzătorul ia la întâmplare un bec. Care este probabilitatea ca acesta să fie defect?
Decizie: Notați cu A evenimentul - „becul va fi defect”. Sunt posibile următoarele ipoteze despre originea acestui bec: H1- „Becul a venit de la prima fabrică”. H2- „Becul a venit din a doua fabrică”. Deoarece ponderea primei plante este de 25%, probabilitățile acestor ipoteze sunt, respectiv 
; 
.
Probabilitatea condiționată ca un bec defect să fi fost produs de prima fabrică este 
, a doua plantă - p(A/H2)=
probabilitatea dorită ca vânzătorul să fi luat un bec defect, o găsim prin formula probabilității totale
0,25 0,05+0,75 0,10=0,0125+0,075=0,0875
Răspuns: p(A)= 0,0875.
Exemplul #2. Magazinul a primit două loturi din același produs cu același nume, egale ca cantitate. Se știe că 25% din primul lot și 40% din cel de-al doilea lot sunt mărfurile de clasa I. Care este probabilitatea ca o unitate de marfă aleasă aleatoriu să nu fie de clasa întâi?
Decizie:
Notați cu A evenimentul - „produsul va fi de clasa întâi”. Sunt posibile următoarele ipoteze despre originea acestui produs: H1- "marfa din primul lot." H2- „mărfuri din al doilea lot”. Deoarece ponderea primei părți este de 25%, atunci probabilitățile acestor ipoteze sunt egale, respectiv ; 
.
Probabilitatea condiționată ca articolul din primul lot să fie 
, din al doilea lot - 
probabilitatea dorită ca o unitate de mărfuri aleasă aleatoriu să fie de gradul întâi
p(A) \u003d P (H 1) p (A / H 1) + P (H 2) (A / H 2) \u003d 0,25 0,5+0,4 0,5=0,125+0,2=0,325
Apoi, probabilitatea ca o unitate de mărfuri aleasă aleatoriu să nu fie primul grad va fi egală cu: 1- 0,325 = 0,675
Răspuns:
.
Exemplul #3. Se știe că 5% dintre bărbați și 1% dintre femei sunt daltonici. O persoană aleasă aleatoriu nu era daltonism. Care este probabilitatea ca acesta să fie bărbat (să presupunem că bărbații și femeile sunt împărțiți în mod egal).
Decizie.
Evenimentul A - o persoană aleasă aleatoriu nu era daltonică.
Găsiți probabilitatea ca acest eveniment să se producă.
P(A) = P(A|H=masculin) + P(A|H=femeie) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Atunci probabilitatea ca acesta să fie bărbat va fi: p = P(A|H=bărbat) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897
Exemplul #4. La olimpiada sportivă participă 4 elevi din anul I, din anul II - 6, din III - 5. Probabilitățile ca un elev din anul I, II, III să câștige olimpiada sunt egale cu 0,9, respectiv; 0,7 și 0,8.
a) Găsiți probabilitatea ca un participant ales aleatoriu să câștige.
b) În condițiile acestei probleme, un elev a câștigat olimpiada. Cărui grup aparține cel mai probabil?
Decizie.
Evenimentul A - câștigă la un participant selectat aleatoriu.
Aici P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
b) Soluția poate fi obținută folosind acest calculator.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Din p1, p2, p3 alegeți maximul.
Exemplul numărul 5. Compania are trei utilaje de același tip. Unul dintre ele oferă 20% din producția totală, al doilea - 30%, al treilea - 50%. În același timp, prima mașină produce 5% din rebuturi, a doua 4%, a treia - 2%. Găsiți probabilitatea ca un produs inutilizabil selectat aleatoriu să fie produs de prima mașină.
