Se spune că două triunghiuri sunt congruente dacă se pot suprapune. Figura 1 prezintă triunghiuri egale ABC și A 1 B 1 C 1. Fiecare dintre aceste triunghiuri poate fi suprapus peste altul, astfel încât să fie complet compatibile, adică vârfurile și laturile lor sunt împerecheate. Este clar că în acest caz unghiurile acestor triunghiuri vor fi combinate în perechi.

Astfel, dacă două triunghiuri sunt egale, atunci elementele (adică, laturile și unghiurile) unui triunghi sunt, respectiv, egale cu elementele celuilalt triunghi. Rețineți că în triunghiuri egale faţă de laturile respectiv egale(adică se suprapun atunci când este suprapus) se află unghiuri egale si inapoi: opuse unghiuri egale în mod corespunzător se află laturi egale.

Deci, de exemplu, în triunghiuri egale ABC și A 1 B 1 C 1, prezentate în figura 1, unghiurile egale C și C 1 se află pe laturile AB și A 1 B 1, respectiv, egale. Egalitatea triunghiurilor ABC și A 1 B 1 C 1 se va nota astfel: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Rezultă că egalitatea a două triunghiuri poate fi stabilită prin compararea unora dintre elementele lor.

Teorema 1. Primul semn al egalității triunghiurilor. Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale (Fig. 2).

Dovada. Luați în considerare triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1, în care AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (vezi Fig. 2). Să demonstrăm că Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Deoarece ∠ A \u003d ∠ A 1, atunci triunghiul ABC poate fi suprapus pe triunghiul A 1 B 1 C 1 astfel încât vârful A să fie aliniat cu vârful A 1, iar laturile AB și AC sunt suprapuse, respectiv, pe razele A 1 B 1 şi A 1 C una . Deoarece AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, atunci latura AB va fi combinată cu latura A 1 B 1 și latura AC - cu latura A 1 C 1; în special, punctele B şi B 1 , C şi C 1 vor coincide. Prin urmare, laturile BC și B 1 C 1 vor fi aliniate. Deci, triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 sunt complet compatibile, ceea ce înseamnă că sunt egale.

Teorema 2 este demonstrată în mod similar prin metoda suprapunerii.

Teorema 2. Al doilea semn al egalității triunghiurilor. Dacă latura și două unghiuri adiacente acesteia ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri adiacente acesteia ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale (Fig. 34).

Cometariu. Pe baza teoremei 2, se stabilește teorema 3.

Teorema 3. Suma oricăror două unghiuri interioare ale unui triunghi este mai mică de 180°.

Teorema 4 rezultă din ultima teoremă.

Teorema 4. Un unghi extern al unui triunghi este mai mare decât orice unghi intern care nu este adiacent acestuia.

Teorema 5. Al treilea semn al egalității triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale ().

Exemplul 1În triunghiuri ABC și DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Comparați triunghiurile ABC și DEF. Ce unghi din triunghiul DEF este egal cu unghiul B?

Decizie. Aceste triunghiuri sunt egale în primul semn. Unghiul F al triunghiului DEF este egal cu unghiul B al triunghiului ABC, deoarece aceste unghiuri sunt opuse laturilor egale corespunzătoare DE și AC.

Exemplul 2 Segmentele AB și CD (Fig. 5) se intersectează în punctul O, care este punctul de mijloc al fiecăruia dintre ele. Cu ce ​​este egal segmentul BD dacă segmentul AC are 6 m?

Decizie. Triunghiurile AOC și BOD sunt egale (după primul criteriu): ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (după condiție).
Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă egalitatea laturilor lor, adică AC = BD. Dar din moment ce, conform condiției, AC = 6 m, atunci BD = 6 m.

Dovada: impunem ABC pe A 1 B 1 C 1 astfel încât punctul A 1 să coincidă cu A. Deoarece AC \u003d A 1 C 1, atunci, conform axiomei amânării segmentelor, punctul C 1 va coincide cu C. Deoarece A \u003d A 1 , atunci, conform axiomei unghiurilor de așezare, fasciculul A 1 B 1 va coincide cu fasciculul AB. Deoarece AB \u003d A 1 B 1, atunci, conform axiomei de amânare a segmentelor, punctul B 1 va coincide cu punctul B. Triunghiurile A 1 B 1 C 1 și ABC au coincis, ceea ce înseamnă ABC \u003d A 1 B 1 C 1 Ch.T.D .

Dovada: impunem ABC pe A 1 B 1 C 1 astfel încât punctul A 1 să coincidă cu A. Deoarece AC \u003d A 1 C 1, atunci, conform axiomei amânării segmentelor, punctul C 1 va coincide cu C. Deoarece A \u003d A 1 , atunci, conform axiomei unghiurilor de așezare, fasciculul A 1 B 1 va coincide cu fasciculul AB. Deoarece C \u003d C 1, atunci, conform axiomei unghiurilor de amânare, raza C 1 IN 1 va coincide cu raza CB. Punctul B 1 va coincide cu punctul B. Triunghiurile A 1 B 1 C 1 și ABC au coincis, ceea ce înseamnă ABC \u003d A 1 B 1 C 1 FTD

Mediana Un segment al bisectoarei unghiului unui triunghi care leagă vârful triunghiului cu un punct de pe latura opusă se numește bisectoarea triunghiului. medianabisector 1 ÎNĂLȚIE Perpendiculara trasată de la vârful triunghiului la dreapta care conține latura opusă se numește înălțimea triunghiului. Segmentul de linie care leagă vârful unui triunghi cu punctul de mijloc al laturii opuse se numește mediana triunghiului. înălţime

A B C K M O T Înălțimile unui triunghi dreptunghic se intersectează la vârful C. Înălțimile unui triunghi dreptunghic se intersectează în punctul O, care se află în interiorul triunghiului. O A B C Punctul de intersecție al înălțimilor se numește ortocentru.

Segmentul bisectoarei unghiului unui triunghi care leagă vârful triunghiului cu un punct de pe latura opusă se numește bisectoarea triunghiului. Acest punct este de asemenea remarcabil - punctul de intersecție al bisectoarelor este centrul cercului înscris. O b i s s e c t r i c a

1 Perpendiculara trasată de la vârful unui triunghi pe linia care conține latura opusă se numește înălțimea triunghiului. ÎNĂLȚIE O înălțime într-un triunghi dreptunghic, trasată de la vârful unui unghi ascuțit, coincide cu cateta. Înălțimea într-un triunghi obtuz, trasă de la vârful unui unghi ascuțit, trece în regiunea exterioară a triunghiului. Înălțimea 11

Concluzie 1. Într-un triunghi isoscel, înălțimea trasată la bază este mediana și bisectoarea. 2. Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este înălțimea și bisectoarea. 3. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și înălțimea.

Care dintre aceste afirmații sunt corecte? Notează-le numerele.
1) Dacă două laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
2) Dacă diagonalele dintr-un patrulater sunt perpendiculare, atunci acest patrulater este un romb.
3) Aria unui cerc este mai mică decât pătratul lungimii diametrului său.

Rezolvarea problemei:

Să luăm în considerare fiecare afirmație.
1) „Dacă două laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente”, aceasta afirmația este falsă, deoarece nu corespunde cu niciunul dintre criteriile de egalitate a triunghiurilor.
2) „Dacă diagonalele dintr-un patrulater sunt perpendiculare, atunci acest patrulater este un romb”, aceasta afirmația este falsă, deoarece nu corespunde în totalitate nici unei proprietăți a rombului. De exemplu, patrulaterul prezentat în figură, diagonalele sale sunt perpendiculare, dar este evident că acesta nu este un romb.
3) „Aria unui cerc este mai mică decât pătratul lungimii diametrului său”. Aria cercului este ΠR 2 sau ΠD 2 /4. Numărul Π (Pi) este aproximativ 3,14. Apoi cerc S \u003d 0,785D 2. Și aceasta, desigur, este mai mică decât D 2 . Afirmația este adevărată

Alăturaţi-ne...

Puteți mulțumi autorului, scrieți afirmațiile sau sugestiile dvs. pe pagină

Alte sarcini din această secțiune

Sarcina #03A3EF

Aria unui triunghi dreptunghic este 722 √ 3 . Unul dintre unghiurile ascuțite este de 30°. Găsiți lungimea piciorului opus acestui unghi.

Problema #9FCAB9

În triunghiul ABC, bisectoarea BE și mediana AD sunt perpendiculare și au aceeași lungime egală cu 96. Aflați laturile triunghiului ABC.

Semne de egalitate a triunghiurilor

Triunghiurile egale sunt acelea ale căror laturi corespunzătoare sunt egale.

Teorema (primul criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).
Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema (al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).
Dacă o latură și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu o latură și, respectiv, două unghiuri adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema (al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).
Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Semne de asemănare ale triunghiurilor

Triunghiurile se numesc similare dacă unghiurile sunt egale și laturile similare sunt proporționale: , unde este coeficientul de similitudine.

Semn de asemănare a triunghiurilor. Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altuia, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

II semn al asemănării triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

III semnul asemănării triunghiurilor. Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi, iar unghiurile incluse între aceste laturi sunt egale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Teorema 1.1. Dacă o dreaptă care nu trece prin niciunul dintre vârfurile unui triunghi intersectează una dintre laturile sale, atunci ea intersectează doar una dintre celelalte două laturi.

Teorema 2.1. Suma unghiurilor adiacente este 180 despre .
Consecințe:
Dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt egale.
Dacă unghiul nu este dezvoltat, atunci măsura gradului său este mai mică de 180 despre .
Un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.

Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.

Teorema 2.3. Prin fiecare punct al unei linii, se poate trage o linie perpendiculară pe acesta și numai una.

Teorema 3.1 (Primul criteriu pentru egalitatea triunghiurilor). Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 3.2 (Al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor). Dacă o latură și unghiurile adiacente ei ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu latura și unghiurile adiacente acesteia ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 3.3 (Proprietatea unghiurilor unui triunghi isoscel). Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Teorema 3.4 (Semnul unui triunghi isoscel). Dacă două unghiuri sunt egale într-un triunghi, atunci acesta este isoscel.

Teorema 3.5 (Proprietatea medianei unui triunghi isoscel). Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este bisectoarea și înălțimea.

Teorema 3.6 (Al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor). Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Teorema 4.1. Două drepte paralele cu o a treia sunt paralele.

Teorema 4.2 (Un criteriu pentru drepte paralele). Dacă unghiurile interioare încrucișate sunt egale sau suma unghiurilor interioare unilaterale este 180 despre , atunci liniile sunt paralele.

Teorema 4.3 (Conversați cu Teorema 4.2). Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o a treia linie, atunci unghiurile interioare încrucișate sunt egale, iar suma unghiurilor interioare unilaterale este 180 despre .

Teorema 4.4. Suma unghiurilor unui triunghi este 180 despre .
Consecinţă: Fiecare triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite.

Teorema 4.5. Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.
Consecinţă: Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi interior care nu este adiacent acestuia.

Teorema 4.6. Din orice punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate lăsa o perpendiculară pe această dreaptă și doar una.

Teorema 5.1. Centrul cercului circumscris triunghiului este punctul de intersecție al perpendicularelor pe laturile triunghiului, trasate prin mijlocul acestor laturi.

Teorema 5.2. Centrul unui cerc înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor acestuia.

Teorema 5.3. Locul punctelor echidistant de două puncte date este o dreaptă perpendiculară pe segmentul de dreaptă care leagă aceste puncte și care trece prin punctul său de mijloc.

Teorema 6.1. Dacă diagonalele unui patrulater se intersectează și punctul de intersecție este bisectat, atunci patrulaterul este un paralelogram.

Teorema 6.2 (Conversați cu Teorema 6.1). Diagonalele unui paralelogram se intersectează, iar punctul de intersecție este bisectat.

Teorema 6.3. Un paralelogram are laturile opuse egale și unghiurile opuse egale.

Teorema 6.4. Diagonalele unui dreptunghi sunt egale.

Teorema 6.5. Diagonalele rombului se intersectează în unghi drept. Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale.

Teorema 6.6 (teorema lui Thales). Dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe una dintre laturile acestuia, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte a acestuia.

Teorema 6.7. Linia mediană a unui triunghi care leagă punctele de mijloc ale celor două laturi date este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.

Teorema 6.8. Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora.

Teorema 6.9. Liniile paralele care intersectează laturile unghiului decupează segmentele proporționale din laturile unghiului.

Teorema 7.1. Cosinusul unui unghi depinde numai de gradul de măsură a unghiului și nu depinde de locația și dimensiunea triunghiului.

Teorema 7.2 (teorema lui Pitagora). Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.
Consecințe:
-Într-un triunghi dreptunghic, oricare catete este mai mic decât ipotenuza.
- cosA
-Dacă o perpendiculară și o oblică sunt trasate pe o dreaptă dintr-un punct, atunci orice oblic este mai mare decât perpendiculara, oblicii egali au proiecții egale, a două oblice, cel cu cea mai mare proiecție este mai mare.

Teorema 7.3 (Inegalitatea triunghiului). Oricare ar fi cele trei puncte, distanța dintre oricare dintre aceste puncte nu este mai mare decât suma distanțelor lor până la al treilea punct.
Consecinţă: În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.

Teorema 7.4. Pentru orice unghi ascuțit A.
păcatul (90 o -A) = cosA, cos(90 o -A) = sinA.

Teorema 7.5. Pe măsură ce unghiul ascuțit creștesinAșitgAsunt în creștere șicosAscade.

Teorema 9.1. Punctele situate pe o linie dreaptă, atunci când se deplasează, trec în puncte situate pe o linie dreaptă, iar ordinea aranjamentului lor reciproc este păstrată.
Consecinţă: La mișcare, liniile drepte se transformă în linii drepte, semiliniile în semilinii, segmentele în segmente.

Teorema 9.2. O transformare de simetrie în jurul unui punct este o mișcare.

Teorema 9.3. O transformare de simetrie în jurul unei linii este o mișcare.

Teorema 9.4. Oricare ar fi cele două puncteDAR șiDAR ', există o singură traducere paralelă în care punctulDAR merge la obiectDAR ’.

Teorema 10.1. Oricare ar fi puncteleDAR , LA , Cu , egalitatea vectorială

Teorema 10.2. Valoarea absolută a vectorului este egal cu . direcția vectorială la coincide cu direcția vectorului , dacăl > 0 și opus direcției vectorului , dacăl

Teorema 10.3. Produsul scalar al vectorilor este egal cu produsul valorilor lor absolute și cosinusul unghiului dintre ei.
Consecințe:
Dacă vectorii sunt perpendiculari, atunci produsul lor punctual este 0.
Dacă produsul scalar al vectorilor non-0 este 0, atunci vectorii sunt perpendiculari.

Teorema 11.1. Omotezia este o transformare a asemănării.

Teorema 11.2 (Un test pentru asemănarea triunghiurilor în două unghiuri). Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Teorema 11.3 (Un test pentru asemănarea triunghiurilor pe două laturi și unghiul dintre ele). Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi și unghiurile formate de aceste laturi sunt egale, atunci triunghiurile sunt similare.

Teorema 11.4 (Criteriul de similitudine a triunghiurilor pe trei laturi). Dacă laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile altui triunghi, atunci triunghiurile sunt similare.

Teorema 11.5. Un unghi înscris într-un cerc este jumătate din unghiul central corespunzător.
Consecințe:
-Unghiurile înscrise ale căror laturi trec prin punctele A și B ale cercului și ale căror vârfuri se află pe aceeași latură a dreptei AB, sunt egale.
-Unghiurile înscrise în funcție de diametru sunt drepte.

Teorema 12.1 (Teorema cosinusului). Pătratul oricărei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi fără a dubla produsul acelor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele.

Teorema 12.2 (Teorema sinusului). Laturile unui triunghi sunt proportionale cu sinusurile unghiurilor opuse.

Teorema 13.1. Lungimea poliliniei nu este mai mică decât lungimea segmentului care îi leagă capetele.

Teorema 13.2. Suma unghiurilor unui convexn-gon este 180 0 (n – 2).

Teorema 13.3. Un poligon convex regulat este înscris într-un cerc și circumscris cercului.

Teorema 13.4. Convex regulatn-goniile sunt asemănătoare. În special, dacă laturile lor sunt aceleași, atunci sunt egale.

Teorema 13.5. Raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia nu depinde de cerc, adică. la fel pentru oricare două cercuri.

Teorema 15.1.

Teorema 15.2.
Consecinţă:

Teorema 15.3.

Teorema 15.4. XșiYX YXșiYX Ytraversează avionul.

Teorema 16.1.

Teorema 16.2.

Teorema 16.5.

Teorema 17.3.

Teorema 17.4.

Teorema 17.6.

Teorema 15.1. Printr-o linie și un punct care nu se află pe ea, se poate desena un plan și, în plus, doar unul.

Teorema 15.2. Dacă două puncte ale unei linii aparțin unui plan, atunci întreaga linie aparține acelui plan.
Consecinţă: Un plan și o linie care nu se află pe el fie nu se intersectează, fie se intersectează într-un punct.

Teorema 15.3. Prin trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă, este posibil să se deseneze un avion și, în plus, doar unul.

Teorema 15.4. Avionul împarte spațiul în două semi-spații. Dacă puncteleXșiYaparțin aceluiași semi-spațiu, apoi segmentulX Ynu traversează avionul. Dacă puncteleXșiYaparțin unor semi-spații diferite, apoi segmentuluiX Ytraversează avionul.

Teorema 16.1. Printr-un punct din afara unei drepte date, se poate trasa o dreaptă paralelă cu această dreaptă și, în plus, doar una.

Teorema 16.2. Două drepte paralele cu o a treia dreaptă sunt paralele.

Teorema 16.3. Dacă o linie care nu aparține unui plan este paralelă cu orice dreaptă din acel plan, atunci este și paralelă cu planul însuși.

Teorema 16.4. Dacă două drepte care se intersectează dintr-un plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele.

Teorema 16.5. Printr-un punct din afara unui plan dat, se poate trasa un plan paralel cu cel dat și, în plus, doar unul.

Teorema 17.1. Dacă două drepte care se intersectează sunt paralele, respectiv, cu două drepte perpendiculare, atunci ele sunt și perpendiculare.

Teorema 17.2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe planul dat.

Teorema 17.3. Dacă un plan este perpendicular pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendicular pe cealaltă.

Teorema 17.4. Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele.

Teorema 17.5. Dacă o dreaptă trasată într-un plan prin baza unei linii oblice este perpendiculară pe proiecția sa, atunci este perpendiculară pe linia oblică. Si inapoi: dacă o dreaptă într-un plan este perpendiculară pe una oblică, atunci este și perpendiculară pe proiecția celei oblice.

Teorema 17.6. Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.

Teorema 18.1. Aria unei proiecții ortogonale a unui poligon pe un plan este egală cu produsul ariei sale și cosinusul unghiului dintre planul poligonului și planul de proiecție.