Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse

instituție de învățământ autonomă a statului federal

studii profesionale superioare

Universitatea Federală de Nord (Arctic) numită după M.V. Lomonosov"

Departamentul de Matematică

LUCRARE DE CURS

După disciplina Matematică

Pyatysheva Anastasia Andreevna

supraveghetor

Artă. profesor

Borodkina T. A.

Arhanghelsk 2014

SARCINA PENTRU LUCRARE DE CURS

Aplicații ale integralei definite

DATE INIȚIALE:

21. y=x 3 , y= ; 22.

INTRODUCERE

În această lucrare de curs am următoarele sarcini: să calculez ariile figurilor mărginite de grafice de funcții, mărginite de drepte date prin ecuații, de asemenea mărginite de linii date de ecuații în coordonate polare, să calculez lungimile arcurilor de curbe date de ecuații într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, date de ecuații parametrice date de ecuații în coordonate polare, precum și calcularea volumelor corpurilor mărginite de suprafețe, mărginite de grafice de funcții și formate prin rotația figurilor mărginite de grafice ale funcțiilor în jurul axa polară. Am ales o lucrare de termen pe tema „Integrală definită. În acest sens, am decis să aflu cât de ușor și rapid poți folosi calculele integrale și cât de exact poți calcula sarcinile care mi-au fost atribuite.

INTEGRAL este unul dintre cele mai importante concepte de matematică care a apărut în legătură cu necesitatea, pe de o parte, de a găsi funcții prin derivatele lor (de exemplu, de a găsi o funcție care exprimă drumul parcurs de un punct în mișcare, conform viteza acestui punct), iar pe de altă parte, să măsoare suprafețe, volume, lungimi arce, lucrul forțelor pentru o anumită perioadă de timp etc.

Dezvăluirea temei lucrării de curs, am cheltuit pe următorul plan: definirea unei integrale definite și proprietățile acesteia; lungimea arcului curbei; aria unui trapez curbiliniu; suprafata de rotatie.

Pentru orice funcție f(x) continuă pe segmentul , există o antiderivată pe acest segment, ceea ce înseamnă că există o integrală nedefinită.

Dacă funcția F(x) este orice antiderivată a unei funcții continue f(x), atunci această expresie este cunoscută ca formula Newton-Leibniz:

Principalele proprietăți ale integralei definite:

Dacă limitele inferioare și superioare ale integrării sunt egale (a=b), atunci integrala este egală cu zero:

Dacă f(x)=1, atunci:

La rearanjarea limitelor de integrare, integrala definită schimbă semnul opus:

Factorul constant poate fi scos din semnul unei integrale definite:

Dacă funcțiile sunt integrabile, atunci suma lor este integrabilă și integrala sumei este egală cu suma integralelor:

Există, de asemenea, metode de integrare de bază, cum ar fi schimbarea variabilei,:

Remediere diferențială:

Formula de integrare pe părți face posibilă reducerea calculului integralei la calculul integralei, care se poate dovedi a fi mai simplu:

Sensul geometric al unei integrale definite este că, pentru o funcție continuă și nenegativă, este în sens geometric aria trapezului curbiliniu corespunzător.

În plus, folosind o integrală definită, puteți găsi aria regiunii delimitată de curbe, linii drepte și, unde

Dacă un trapez curbiliniu este mărginit de o curbă dată parametric de liniile drepte x = a și x = b și de axa Ox, atunci aria lui se găsește prin formula, unde acestea sunt determinate din egalitate:

. (12)

Zona principală, zona care se găsește folosind o anumită integrală, este un sector curbiliniu. Aceasta este aria delimitată de două raze și o curbă, unde r și sunt coordonate polare:

Dacă curba este un grafic al funcției unde, iar funcția derivatei sale este continuă pe acest segment, atunci aria suprafeței figurii formate prin rotația curbei în jurul axei Ox poate fi calculată prin formula:

. (14)

Dacă o funcție și derivata ei sunt continue pe un segment, atunci curba are lungimea egală cu:

Dacă ecuația curbei este dată în formă parametrică

unde x(t) și y(t) sunt funcții continue cu derivate continue și atunci lungimea curbei se găsește prin formula:

Dacă curba este dată de o ecuație în coordonate polare, unde și sunt continue pe segment, atunci lungimea arcului poate fi calculată după cum urmează:

Dacă un trapez curbiliniu se rotește în jurul axei Ox, delimitat de un segment de linie continuă și linii drepte x \u003d a și x \u003d b, atunci volumul corpului format prin rotația acestui trapez în jurul axei Ox va fi egal cu :

Dacă un trapez curbiliniu este mărginit de un grafic al unei funcții continue și drepte x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Dacă figura este mărginită de curbe și (este „mai mare” decât de linii drepte x = a, x = b, atunci volumul corpului de revoluție în jurul axei Ox va fi egal cu:

și în jurul axei y (:

Dacă sectorul curbiliniu este rotit în jurul axei polare, atunci aria corpului rezultat poate fi găsită prin formula:

2. REZOLVAREA PROBLEMELOR

Sarcina 14: Calculați ariile figurilor mărginite de grafice cu funcții:

1) Soluție:

Figura 1 - Graficul funcțiilor

X se schimbă de la 0 la

x 1 = -1 și x 2 = 2 - limite de integrare (acest lucru poate fi văzut în Figura 1).

3) Calculați aria figurii folosind formula (10).

Răspuns: S = .

Sarcina 15: Calculați ariile figurilor delimitate de dreptele date de ecuațiile:

1) Soluție:

Figura 2 - Graficul funcțiilor

Luați în considerare o funcție pe intervalul .

Figura 3 - Tabel de variabile pentru funcție

Din moment ce, atunci 1 arc se va potrivi în această perioadă. Acest arc este format dintr-o parte centrală (S 1) și părți laterale. Partea centrală este formată din partea dorită și un dreptunghi (S pr):. Să calculăm aria unei părți centrale a arcului.

2) Găsiți limitele integrării.

și y = 6, prin urmare

Pentru un interval, limitele integrării.

3) Găsiți aria figurii folosind formula (12).

trapez integral curbiliniu

Problema 16: Calculați ariile figurilor mărginite de drepte date prin ecuații în coordonate polare:

1) Soluție:

Figura 4 - Graficul funcțiilor,

Figura 5 - Tabelul funcțiilor variabile,

2) Găsiți limitele integrării.

deci -

3) Găsiți aria figurii folosind formula (13).

Răspuns: S=.

Sarcina 17: Calculați lungimile arcurilor de curbe date de ecuații într-un sistem de coordonate dreptunghiular:

1) Soluție:

Figura 6 - Graficul funcției

Figura 7 - Tabelul variabilelor funcției

2) Găsiți limitele integrării.

variază de la ln la ln, acest lucru este evident din condiție.

3) Găsiți lungimea arcului folosind formula (15).

Răspuns: l =

Sarcina 18: Calculați lungimile arcurilor de curbe date prin ecuații parametrice: 1)

1) Soluție:

Figura 8- Graficul funcției

Figura 11 - Tabelul variabilelor funcției

2) Găsiți limitele integrării.

ts variază de la, acest lucru este evident din condiție.

Să găsim lungimea arcului folosind formula (17).

Sarcina 20: Calculați volumele corpurilor delimitate de suprafețe:

1) Soluție:

Figura 12 - Graficul funcțiilor:

2) Găsiți limitele integrării.

Z se schimbă de la 0 la 3.

3) Aflați volumul figurii folosind formula (18)

Sarcina 21: Calculați volumele corpurilor delimitate de grafice de funcții, axa de rotație Ox: 1)

1) Soluție:

Figura 13 - Graficul funcțiilor

Figura 15 - Tabelul grafic al funcției

2) Găsiți limitele integrării.

Punctele (0;0) și (1;1) sunt comune pentru ambele grafice, prin urmare acestea sunt limitele integrării, ceea ce este evident în figură.

3) Aflați volumul figurii folosind formula (20).

Sarcina 22: Calculați aria corpurilor formate prin rotația figurilor delimitate de grafice de funcție în jurul axei polare:

1) Soluție:

Figura 16 - Graficul funcției

Figura 17 - Tabel de variabile pentru graficul funcției

2) Găsiți limitele integrării.

c se schimbă din

3) Găsiți aria figurii folosind formula (22).

Răspuns: 3,68

CONCLUZIE

În procesul de finalizare a cursului pe tema „Integrală definită”, am învățat cum să calculez ariile diferitelor corpuri, să găsesc lungimile diferitelor arce de curbe și, de asemenea, să calculez volume. Această idee de a lucra cu integrale mă va ajuta în viitoarele mele activități profesionale, cum să realizez rapid și eficient diverse acțiuni. La urma urmei, integrala în sine este unul dintre cele mai importante concepte ale matematicii, care a apărut în legătură cu necesitatea, pe de o parte, de a găsi funcții prin derivatele lor (de exemplu, de a găsi o funcție care exprimă calea parcursă de un punct de mișcare, în funcție de viteza acestui punct), iar pe de altă parte, să măsoare suprafețe, volume, lungimile arcului, lucrul forțelor pentru o anumită perioadă de timp etc.

LISTA SURSELOR UTILIZATE

1. Scris, D.T. Note de curs de matematică superioară: Partea 1 - ed. a 9-a. - M.: Iris-press, 2008. - 288 p.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Matematică superioară. Calcul diferenţial şi integral: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 p.

3. V. A. Zorich, Analiza matematică. Partea I. - Ed. a IV-a - M.: MTSNMO, 2002. - 664 p.

4. Kuznetsov D.A. „Colecție de probleme de matematică superioară” Moscova, 1983

5. Nikolsky S. N. „Elemente de analiză matematică”. - M.: Nauka, 1981.

Documente similare

Calculul ariilor figurilor plane. Găsirea unei integrale definite a unei funcții. Determinarea ariei de sub curbă, a aria figurii cuprinse între curbe. Calculul volumelor corpurilor de revoluție. Limita sumei integrale a unei funcții. Determinarea volumului unui cilindru.

prezentare, adaugat 18.09.2013


Caracteristici de calcul a volumelor corpurilor delimitate de suprafețe folosind sensul geometric al integralei duble. Determinarea ariilor figurilor plane delimitate de drepte folosind metoda integrarii in cursul analizei matematice.

prezentare, adaugat 17.09.2013


Derivată a unei integrale definite în raport cu o limită superioară variabilă. Calculul unei integrale definite ca limită a sumei integrale prin formula Newton–Leibniz, modificarea variabilei și integrarea pe părți. Lungimea arcului în coordonate polare.

lucrare de control, adaugat 22.08.2009


Momentele și centrele de masă ale curbelor plane. teorema lui Gulden. Suprafața formată prin rotirea unui arc a unei curbe plane în jurul unei axe care se află în planul arcului și nu o intersectează este egală cu produsul dintre lungimea arcului și lungimea cercului.

prelegere, adăugată 09/04/2003


Tehnica și principalele etape de găsire a parametrilor: aria unui trapez curbiliniu și a unui sector, lungimea arcului de curbă, volumul corpurilor, aria suprafeței corpurilor de revoluție, munca unui forță variabilă. Ordinea și mecanismul de calcul al integralelor folosind pachetul MathCAD.

lucrare de control, adaugat 21.11.2010


O condiție necesară și suficientă pentru existența unei integrale definite. Egalitatea unei integrale definite a sumei (diferența) algebrică a două funcții. Teorema valorii medii – corolar și demonstrație. Sensul geometric al unei integrale definite.

prezentare, adaugat 18.09.2013


Problema integrării numerice a funcţiilor. Calculul valorii aproximative a unei integrale definite. Găsirea unei integrale definite folosind metodele dreptunghiurilor, dreptunghiurilor mijlocii, trapezelor. Eroarea formulelor și compararea metodelor în ceea ce privește acuratețea.

manual de instruire, adăugat 07/01/2009


Metode de calcul a integralelor. Formule și verificarea integralei nedefinite. Aria unui trapez curbiliniu. Integrală nedefinită, definită și complexă. Aplicații de bază ale integralelor. Sensul geometric al integralelor definite și nedefinite.

prezentare, adaugat 15.01.2014


Calculul ariei unei figuri delimitate de linii date folosind o integrală dublă. Calculul integralei duble mergând la coordonatele polare. O tehnică pentru determinarea unei integrale curbilinii de al doilea fel de-a lungul unei linii date și a fluxului unui câmp vectorial.

lucrare de control, adaugat 14.12.2012


Conceptul de integrală definită, calculul ariei, volumului corpului și lungimii arcului, momentul static și centrul de greutate al curbei. Calculul ariei în cazul unei regiuni curbilinii dreptunghiulare. Aplicarea integralelor curbilinii, de suprafață și triple.

Acasă > Prelegere

Cursul 18. Aplicații ale unei integrale definite.

18.1. Calculul ariilor figurilor plane.

Se știe că integrala definită pe un segment este aria unui trapez curbiliniu mărginită de graficul funcției f(x). Dacă graficul este situat sub axa x, i.e. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, atunci zona are semnul „+”.

Formula este folosită pentru a găsi suprafața totală.

Aria unei figuri delimitate de unele drepte poate fi găsită folosind anumite integrale dacă ecuațiile acestor drepte sunt cunoscute.

Exemplu. Găsiți aria figurii delimitată de liniile y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2.

Zona dorită (umbrită în figură) poate fi găsită prin formula:

18.2. Găsirea ariei unui sector curbiliniu.

Pentru a găsi aria unui sector curbiliniu, introducem un sistem de coordonate polare. Ecuația curbei care delimitează sectorul în acest sistem de coordonate are forma  = f(), unde  este lungimea vectorului rază care leagă polul de un punct arbitrar al curbei și  este unghiul de înclinare a acestui vector rază la axa polară.

Aria unui sector curbat poate fi găsită prin formula

18.3. Calculul lungimii arcului unei curbe.

y y = f(x)

S i y i

Lungimea poliliniei care corespunde arcului poate fi găsită ca
.

Atunci lungimea arcului este
.

Din motive geometrice:

În același timp

Atunci se poate arăta că

Acestea.

Dacă ecuația curbei este dată parametric, atunci, ținând cont de regulile de calcul a derivatei celei date parametric, obținem

,

unde x = (t) și y = (t).

Dacă este setat curba spatialași x = (t), y = (t) și z = Z(t), atunci

Dacă curba este setată la coordonate polare, apoi

,  = f().

Exemplu: Aflați circumferința dată de ecuația x 2 + y 2 = r 2 .

1 cale. Să exprimăm variabila y din ecuație.

Să găsim derivata

Atunci S = 2r. Am obținut formula binecunoscută pentru circumferința unui cerc.

2 sensuri. Dacă reprezentăm ecuația dată într-un sistem de coordonate polar, obținem: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, adică. funcția  = f() = r,
apoi

18.4. Calculul volumelor corpurilor.

Calculul volumului unui corp din zonele cunoscute ale secțiunilor sale paralele.

Să existe un corp de volum V. Aria oricărei secțiuni transversale a corpului, Q, este cunoscută ca o funcție continuă Q = Q(x). Să împărțim corpul în „straturi” prin secțiuni transversale care trec prin punctele x i ale diviziunii segmentului. pentru că funcția Q(x) este continuă pe un segment intermediar al partiției, apoi își ia valorile maxime și minime. Să le desemnăm în mod corespunzător M i și m i .

Dacă pe aceste secțiuni mai mari și mai mici se construiesc cilindri cu generatoare paralele cu axa x, atunci volumele acestor cilindri vor fi, respectiv, egale cu M i x i și m i x i aici x i = x i - x i -1 .

După ce am realizat astfel de construcții pentru toate segmentele despărțitorului, obținem cilindri ale căror volume sunt, respectiv,
și
.

Deoarece pasul de partiție  tinde spre zero, aceste sume au o limită comună:

Astfel, volumul corpului poate fi găsit prin formula:

Dezavantajul acestei formule este că pentru a afla volumul este necesară cunoașterea funcției Q(x), care este foarte problematică pentru corpurile complexe.

Exemplu: Aflați volumul unei sfere cu raza R.

În secțiunile transversale ale mingii se obțin cercuri cu raza variabilă y. În funcție de coordonata x curentă, această rază este exprimată prin formula
.

Atunci funcția aria secțiunii transversale are forma: Q(x) = .

Obținem volumul mingii:

Exemplu: Aflați volumul unei piramide arbitrare cu înălțimea H și aria bazei S.

Când traversăm piramida cu planuri perpendiculare pe înălțime, în secțiune obținem figuri asemănătoare bazei. Coeficientul de similitudine al acestor cifre este egal cu raportul x / H, unde x este distanța de la planul de secțiune până la vârful piramidei.

Din geometrie se știe că raportul ariilor figurilor similare este egal cu coeficientul de similitudine la pătrat, adică.

De aici obținem funcția zonelor de secțiune transversală:

Aflarea volumului piramidei:

18.5. Volumul corpurilor de revoluție.

Se consideră curba dată de ecuația y = f(x). Să presupunem că funcția f(x) este continuă pe segmentul . Dacă trapezul curbiliniu corespunzător acestuia cu bazele a și b este rotit în jurul axei Ox, atunci obținem așa-numitul corpul revoluției.

pentru că fiecare secțiune a corpului după planul x = const este un cerc de rază, atunci volumul corpului de revoluție poate fi găsit cu ușurință folosind formula obținută mai sus:

18.6. Suprafața unui corp de revoluție.

M i B

Definiție: Suprafața de rotație curba AB în jurul unei axe date se numește limita până la care tind spre zero ariile suprafețelor de revoluție ale liniilor întrerupte înscrise în curba AB, când cea mai mare dintre lungimile legăturilor acestor linii întrerupte tind spre zero.

Să împărțim arcul AB în n părți prin punctele M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Vârfurile poliliniei rezultate au coordonatele x i și y i . La rotirea liniei întrerupte în jurul axei, obținem o suprafață formată din suprafețe laterale de conuri trunchiate, a cărei zonă este egală cu P i . Această zonă poate fi găsită folosind formula:

Aici S i este lungimea fiecărei coarde.

Aplicam teorema lui Lagrange (cf. teorema lui Lagrange) la relaţia
.

Să prezentăm câteva aplicații ale integralei definite.

Calcularea ariei unei figuri plate

Aria unui trapez curbiliniu delimitată de o curbă (unde
), Drept
,
și segment
topoare
, se calculează prin formula

.

Aria unei figuri delimitată de curbe
și
(Unde
) Drept
și
calculate prin formula

.

Dacă curba este dată de ecuaţii parametrice
, apoi aria trapezului curbiliniu delimitată de această curbă, linii drepte
,
și segment
topoare
, se calculează prin formula

,

Unde și sunt determinate din ecuații
,
, A
la
.

Aria unui sector curbat delimitat de o curbă dată în coordonate polare de ecuație
și două raze polare
,
(
), se găsește prin formula

.

Exemplul 1.27. Calculați aria unei figuri delimitate de o parabolă
si direct
(Figura 1.1).

	Decizie. Să găsim punctele de intersecție ale dreptei și ale parabolei. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația , . Unde , . Atunci prin formula (1.6) avem .

Calcularea lungimii arcului unei curbe plane

Dacă curba
pe segment
- neted (adică derivatul
este continuă), atunci lungimea arcului corespunzător acestei curbe se găsește prin formula

.

Când se specifică o curbă în mod parametric
(
- funcții diferențiabile continuu) lungimea arcului curbei corespunzătoare unei modificări monotone a parametrului din inainte de , se calculează prin formula

Exemplul 1.28. Calculați lungimea arcului unei curbe
,
,
.

Decizie. Să găsim derivatele în raport cu parametrul :
,
. Apoi prin formula (1.7) obținem

.

2. Calcul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile

Fie fiecare pereche ordonată de numere
dintr-o zonă oarecare
corespunde unui anumit număr
. Apoi numit funcţia a două variabile și ,
-variabile independente sau argumente ,
-domeniul definirii funcții, dar setul toate valorile funcției - raza sa si denota
.

Din punct de vedere geometric, domeniul unei funcții este de obicei o parte a planului
delimitate de linii care pot aparține sau nu acestei zone.

Exemplul 2.1. Găsiți domeniul
funcții
.

Decizie. Această funcție este definită în acele puncte ale planului , in care , sau . Puncte ale avionului pentru care , formează limita regiunii . Ecuația definește o parabolă (Fig. 2.1; întrucât parabola nu aparține zonei , este afișat ca o linie punctată). În plus, este ușor să verificați direct dacă punctele pentru care , situat deasupra parabolei. Regiune este deschis și poate fi specificat folosind sistemul de inegalități:

Dacă variabil da un impuls
, A lăsați-o constantă, apoi funcția
va primi un spor
numit funcție de creștere privată după variabilă :

În mod similar, dacă variabila primește o creștere
, A rămâne constantă, apoi funcția
va primi un spor
numit funcție de creștere privată după variabilă :

Dacă există limite:

,

,

se numesc derivate parțiale ale unei funcții
prin variabile și respectiv.

Observație 2.1. Derivatele parțiale ale funcțiilor oricărui număr de variabile independente sunt definite în mod similar.

Observația 2.2. Deoarece derivata parțială față de orice variabilă este o derivată față de această variabilă, cu condiția ca celelalte variabile să fie constante, atunci toate regulile de diferențiere a funcțiilor unei variabile sunt aplicabile pentru găsirea derivatelor parțiale ale funcțiilor oricărui număr de variabile.

Exemplul 2.2.
.

Decizie. Găsim:

,

.

Exemplul 2.3. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
.

Decizie. Găsim:

,

,

.

Creștere completă a funcției
se numeste diferenta

Partea principală a creșterii totale a funcției
, dependent liniar de incrementele variabilelor independente
și
,se numește diferența totală a funcției și notat
. Dacă o funcție are derivate parțiale continue, atunci diferența totală există și este egală cu

,

Unde
,
- incremente arbitrare ale variabilelor independente, numite diferențiale ale acestora.

În mod similar, pentru o funcție de trei variabile
diferenţialul total este dat de

.

Lasă funcția
are la punct
derivate parțiale de ordinul întâi cu privire la toate variabilele. Atunci vectorul este numit gradient funcții
la punct
și notat
sau
.

Observația 2.3. Simbol
se numește operatorul Hamilton și se pronunță „numbla”.

Exemplul 2.4. Găsiți gradientul unei funcții într-un punct
.

Decizie. Să găsim derivate parțiale:

,
,

și calculați-le valorile la punct
:

,
,
.

Prin urmare,
.

derivat funcții
la punct
în direcția vectorului
numită limita raportului
la
:

, Unde
.

Dacă funcţia
este diferențiabilă, atunci derivata în această direcție se calculează cu formula:

,

Unde ,- unghiuri, care vector forme cu axe
și
respectiv.

În cazul unei funcţii de trei variabile
derivata direcțională este definită în mod similar. Formula corespunzătoare are forma

,

Unde
- cosinusurile de direcție ale vectorului .

Exemplul 2.5. Aflați derivata unei funcții
la punct
în direcția vectorului
, Unde
.

Decizie. Să găsim vectorul
și cosinusurile sale de direcție:

,
,
,
.

Calculați valorile derivatelor parțiale la punct
:

,
,
;
,
,
.

Înlocuind în (2.1), obținem

.

Derivate parțiale de ordinul doi numite derivate parțiale luate din derivate parțiale de ordinul întâi:

,

,

,

Derivate parțiale
,
numit amestecat . Valorile derivatelor mixte sunt egale în acele puncte în care aceste derivate sunt continue.

Exemplul 2.6. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții
.

Decizie. Calculați derivatele parțiale prime de ordinul întâi:

,
.

Diferențiându-le din nou, obținem:

,
,

,
.

Comparând ultimele expresii, vedem că
.

Exemplul 2.7. Demonstrați că funcția
satisface ecuația Laplace

.

Decizie. Găsim:

,
.

,
.

.

Punct
numit punct maxim local (minim ) funcții
, dacă pentru toate punctele
, în afară de
și aparținând unui cartier suficient de mic al acestuia, inegalitatea

(
).

Maximul sau minimul unei funcții se numește ei extremum . Se numește punctul în care se atinge extremul funcției punctul extremum al funcției .

Teorema 2.1 (Condiții necesare pentru un extremum ). Dacă punct
este punctul extremum al funcției
, atunci cel puțin unul dintre aceste derivate nu există.

Sunt numite punctele pentru care sunt îndeplinite aceste condiții staționar sau critic . Punctele extreme sunt întotdeauna staționare, dar un punct staționar poate să nu fie un punct extrem. Pentru ca un punct staționar să fie un punct extrem, trebuie îndeplinite suficiente condiții extreme.

Să introducem mai întâi următoarea notație :

,
,
,
.

Teorema 2.2 (Condiții suficiente pentru un extremum ). Lasă funcția
este de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a unui punct
și punct
este staționar pentru funcție
. Apoi:

1.În cazul în care un
, apoi punctul
este extremul funcției și
va fi punctul maxim la
(
)iar punctul minim la
(
).

2.În cazul în care un
, apoi la punct

nu există extremum.

3.În cazul în care un
, atunci poate exista sau nu un extremum.

Exemplul 2.8. Investigați o funcție pentru un extremum
.

Decizie. Deoarece în acest caz există întotdeauna derivate parțiale de ordinul întâi, pentru a găsi punctele staționare (critice), rezolvăm sistemul:

,
,

Unde
,
,
,
. Astfel, avem două puncte staționare:
,
.

,
,
.

Pentru punct
obținem:, adică nu există niciun extremum în acest moment. Pentru punct
obținem: și
, prin urmare

în acest moment, această funcție atinge un minim local: .

Aria unui trapez curbiliniu delimitată de sus de graficul unei funcții y=f(x), stânga și dreapta - drept x=ași x=b respectiv, de jos – axa Bou, se calculează prin formula

Aria unui trapez curbiliniu delimitată în dreapta de graficul unei funcții x=φ(y), sus și jos - drept y=dși y=c respectiv, în stânga - axa Oi:

Aria unei figuri curbilinii delimitată de sus de un grafic al unei funcții y 2 \u003d f 2 (x), dedesubt - graficul funcției y 1 \u003d f 1 (x), stânga și dreapta - drept x=ași x=b:

Aria unei figuri curbilinii delimitată la stânga și la dreapta de grafice de funcție x 1 \u003d φ 1 (y)și x 2 \u003d φ 2 (y), sus și jos - drept y=dși y=c respectiv:

Luați în considerare cazul în care linia care limitează trapezul curbiliniu de sus este dată de ecuațiile parametrice x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), Unde α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Aceste ecuații definesc o anumită funcție y=f(x) pe segmentul [ a, b]. Aria unui trapez curbiliniu se calculează prin formula

Să trecem la o nouă variabilă x = φ 1 (t), apoi dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), prin urmare \begin(displaymath)

Zona în coordonate polare

Luați în considerare un sector curbiliniu OAB, mărginită de linia dată de ecuație ρ=ρ(φ) în coordonate polare, două fascicule OAși OB, pentru care φ=α , φ=β .

Împărțim sectorul în sectoare elementare OM k-1 M k ( k=1, …, n, M0 =A, Mn=B). Notează prin Δφ k unghiul dintre grinzi OM k-1și OM k formând unghiuri cu axa polară φk-1și φk respectiv. Fiecare dintre sectoarele elementare OM k-1 M kînlocuiți cu un sector circular cu rază ρ k \u003d ρ (φ "k), Unde φ" k- valoarea unghiului φ din intervalul [ φk-1, φk] și unghiul central Δφ k. Aria ultimului sector este exprimată prin formula .

exprimă aria sectorului „în trepte”, care înlocuiește aproximativ sectorul dat OAB.

Zona sectorului OAB se numește limita zonei sectorului „în trepte” la n→∞și λ=max Δφ k → 0:

La fel de , apoi

Lungimea arcului curbei

Fie pe intervalul [ a, b] este dată o funcție diferențiabilă y=f(x), al cărui grafic este arcul . Segment de linie [ a,b] împărțit în n părți puncte x 1, x2, …, xn-1. Aceste puncte vor corespunde punctelor M1, M2, …, Mn-1 arce, conectați-le cu o linie întreruptă, care se numește linie întreruptă înscrisă într-un arc. Perimetrul acestei linii întrerupte este notat cu s n, adică

Definiție. Lungimea arcului liniei este limita perimetrului poliliniei înscrise în ea, când numărul de legături M k-1 M k crește la nesfârșit, iar lungimea celui mai mare dintre ele tinde spre zero:

unde λ este lungimea celei mai mari legături.

Vom număra lungimea arcului din unele dintre punctele sale, de exemplu, A. Lasă la punct M(x,y) lungimea arcului este s, iar la punct M"(x+Δx,y+Δy) lungimea arcului este s+Δs, unde, i>Δs - lungimea arcului. Dintr-un triunghi MNM" afla lungimea coardei: .

Din considerente geometrice rezultă că

adică arcul infinit de mic al liniei și coarda care o subtinde sunt echivalente.

Să transformăm formula care exprimă lungimea coardei:

Trecând la limita în această egalitate, obținem o formulă pentru derivata funcției s=s(x):

din care găsim

Această formulă exprimă diferența arcului unei curbe plane și are un simplu sens geometric: exprimă teorema lui Pitagora pentru un triunghi infinitezimal MTN (ds=MT, ).

Diferenţialul arcului curbei spaţiului este dat de

Se consideră un arc al unei linii spațiale dat de ecuațiile parametrice

Unde α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) sunt funcții diferențiabile ale argumentului t, apoi

Integrarea acestei egalități pe intervalul [ α, β ], obținem o formulă pentru calcularea lungimii acestui arc de linie

Dacă linia se află într-un plan Oxy, apoi z=0 pentru toți t∈[α, β], De aceea

În cazul în care linia plată este dată de ecuație y=f(x) (a≤x≤b), Unde f(x) este o funcție diferențiabilă, ultima formulă ia forma

Fie linia plată dată de ecuație ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) în coordonate polare. În acest caz, avem ecuațiile parametrice ale dreptei x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, unde unghiul polar este luat ca parametru φ . În măsura în care

apoi formula care exprimă lungimea arcului liniei ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) în coordonate polare are forma

volumul corpului

Să găsim volumul unui corp dacă se cunoaște aria oricărei secțiuni transversale a acestui corp perpendiculară pe o anumită direcție.

Să împărțim acest corp în straturi elementare prin planuri perpendiculare pe axă Bouși definit de ecuații x=const. Pentru orice fix x∈ zonă cunoscută S=S(x) secțiunea transversală a acestui corp.

Stratul elementar tăiat de avioane x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, xn=b), îl înlocuim cu un cilindru cu înălțime ∆x k =x k -x k-1 si zona de baza S(ξk), ξ k ∈.

Volumul cilindrului elementar specificat este exprimat prin formula Δvk =E(ξk)Δxk. Să rezumam toate astfel de produse

care este suma integrală pentru funcția dată S=S(x) pe segmentul [ a, b]. Exprimă volumul unui corp în trepte, format din cilindri elementari și înlocuind aproximativ corpul dat.

Volumul unui corp dat este limita volumului corpului în trepte specificat la λ→0 , Unde λ - lungimea celui mai mare dintre segmentele elementare ∆x k. Notează prin V volumul corpului dat, apoi prin definiție

Pe de alta parte,

Prin urmare, volumul corpului pentru secțiuni transversale date este calculat prin formula

Dacă corpul este format prin rotaţie în jurul unei axe Bou trapez curbiliniu delimitat de sus de un arc de linie continuă y=f(x), Unde a≤x≤b, apoi S(x)=πf 2 (x) iar ultima formula devine:

cometariu. Volumul unui corp obținut prin rotirea unui trapez curbiliniu delimitat la dreapta de un grafic al funcției x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), în jurul axei Oi calculate prin formula

Suprafața de rotație

Luați în considerare suprafața obținută prin rotirea arcului liniei y=f(x) (a≤x≤b) în jurul axei Bou(presupunem că funcția y=f(x) are o derivată continuă). Fixăm valoarea x∈, argumentul funcției va fi incrementat dx, care corespunde „inelului elementar” obţinut prin rotirea arcului elementar Δl. Acest „inel” este înlocuit cu un inel cilindric - suprafața laterală a corpului formată prin rotirea unui dreptunghi cu o bază egală cu diferența arcului. dl, și înălțimea h=f(x). Tăiind ultimul inel și desfăcându-l, obținem o bandă cu o lățime dl si lungime 2πy, Unde y=f(x).

Prin urmare, diferența de suprafață este exprimată prin formula

Această formulă exprimă suprafața obținută prin rotirea arcului unei linii y=f(x) (a≤x≤b) în jurul axei Bou.