(pi / 4) în trei moduri.

Primul.
Această metodă este folosită cel mai adesea la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice în școală. Constă în folosirea , care conține valorile a patru funcții trigonometrice din cele mai comune argumente.

Astfel de tabele există în mai multe versiuni. Ele diferă prin faptul că valorile unghiurilor sunt prezentate în grade, în radiani sau ambele în grade și radiani (ceea ce este cel mai convenabil).
În tabel găsim unghiul (în acest caz pi / 4) și funcția dorită (avem nevoie de funcția cosinus), iar la intersecția acestor valori obținem rădăcina lui 2 / 2.
Matematic se scrie asa:

Al doilea.
De asemenea, o modalitate obișnuită care poate fi folosită întotdeauna dacă nu există masă. Constă în folosirea (sau a unui cerc trigonometric).


Pe un astfel de cerc trigonometric, valorile cosinusului sunt situate pe axa orizontală - axa absciselor, iar argumentele - pe curba cercului însuși.
În cazul nostru, argumentul cosinusului este pi / 4. Să determinăm unde se află această valoare pe cerc. Apoi, coborâm perpendiculara pe axa x. Valoarea în care se va afla capătul acestei perpendiculare va fi valoarea cosinusului dat. Prin urmare, cosinusul lui pi / 4 este rădăcina pătrată a lui 2 / 2.

Al treilea.
De asemenea, este convenabil să folosiți graficul funcției corespunzătoare - . Este ușor să-ți amintești cum arată.


Când folosiți un grafic, sunt necesare anumite cunoștințe pentru a determina valoarea cosinusului pi / 4, care este . În acest caz, trebuie să înțelegeți că valoarea fracției este mai mare de 0,5 și mai mică de 1.
Există, desigur, mai multe alte moduri. De exemplu, calcularea valorii cosinusului folosind un calculator. Dar pentru aceasta trebuie mai întâi să convertiți unghiul pi / 4 în grade. Tabelele Bradis pot fi de asemenea utile.

Măsura gradului unui unghi. Măsura radianilor unui unghi. Convertiți grade în radiani și invers.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară, am stăpânit numărarea unghiurilor pe un cerc trigonometric. Învățați cum să numărați unghiurile pozitive și negative. Am realizat cum să desenezi un unghi mai mare de 360 ​​de grade. Este timpul să ne ocupăm de măsurarea unghiurilor. Mai ales cu numărul „Pi”, care se străduiește să ne încurce în sarcini dificile, da...

Sarcinile standard în trigonometrie cu numărul „Pi” sunt rezolvate destul de bine. Memoria vizuală ajută. Dar orice abatere de la șablon - dă jos pe loc! Pentru a nu cădea - a intelege necesar. Ceea ce vom face acum cu succes. Într-un fel - înțelegem totul!

Asa de, ce unghiurile conteaza? În cursul școlar de trigonometrie, sunt utilizate două măsuri: gradul de măsură a unui unghiși măsura în radian a unui unghi. Să aruncăm o privire asupra acestor măsuri. Fără asta, în trigonometrie - nicăieri.

Măsura gradului unui unghi.

Suntem cumva obișnuiți cu grade. Geometria, cel puțin, a trecut prin ... Da, și în viață ne întâlnim adesea cu expresia „întors la 180 de grade”, de exemplu. Gradul, pe scurt, un lucru simplu...

Da? Răspunde-mi atunci ce este o diploma? Ce nu funcționează imediat? Ceva...

Gradele au fost inventate în Babilonul antic. A fost cu mult timp în urmă... 40 de secole în urmă... Și tocmai au venit cu asta. Au luat și au rupt cercul în 360 de părți egale. 1 grad este 1/360 dintr-un cerc. Si asta e. Poate fi rupt în 100 de bucăți. Sau până la 1000. Dar l-au spart în 360. Apropo, de ce exact cu 360? De ce 360 ​​este mai bun decât 100? 100 pare să fie cumva mai egal... Încercați să răspundeți la această întrebare. Sau slab împotriva Babilonului antic?

Undeva în același timp, în Egiptul antic, erau chinuiți de o altă problemă. De câte ori este mai mare circumferința unui cerc decât lungimea diametrului său? Și așa au măsurat, și așa... Totul s-a dovedit puțin mai mult de trei. Dar cumva s-a dovedit umplut, neuniform... Dar ei, egiptenii, nu sunt de vină. După ei, au suferit încă 35 de secole. Până când au demonstrat în sfârșit că oricât de fin tăiați cercul în bucăți egale, din astfel de bucăți de făcut neted lungimea diametrului este imposibilă... În principiu, este imposibil. Ei bine, de câte ori circumferința este mai mare decât diametrul, desigur. Despre. 3.1415926... ori.

Acesta este numărul „Pi”. Asta e zguduit, atât de zdruncinat. După virgulă zecimală - un număr infinit de cifre fără nicio ordine ... Astfel de numere sunt numite iraționale. Acest lucru, apropo, înseamnă că din bucăți egale ale unui cerc, diametrul neted nu pliați. Nu.

Pentru utilizare practică, se obișnuiește să se rețină doar două cifre după virgulă zecimală. Tine minte:

Deoarece înțelegem că circumferința unui cerc este mai mare decât diametrul de ori "Pi", este logic să ne amintim formula pentru circumferința unui cerc:

Unde L este circumferința și d este diametrul acestuia.

Util în geometrie.

Pentru învățământul general, voi adăuga că numărul „Pi” se află nu numai în geometrie... În diverse secțiuni de matematică, și mai ales în teoria probabilităților, acest număr apare constant! De la sine. Dincolo de dorințele noastre. Ca aceasta.

Dar înapoi la grade. V-ați dat seama de ce în Babilonul antic cercul era împărțit în 360 de părți egale? Dar nu 100, de exemplu? Nu? BINE. Îți dau o versiune. Nu-i poți întreba pe vechii babilonieni... Pentru construcție, sau, să zicem, astronomie, este convenabil să împarți un cerc în părți egale. Acum află cu ce numere sunt divizibile complet 100, și care - 360? Și în ce versiune a acestor separatoare complet- Mai mult? Această diviziune este foarte convenabilă pentru oameni. Dar...

După cum sa dovedit mult mai târziu decât Babilonul Antic, nu tuturor le plac diplomele. Matematicii superioare nu-i plac... Matematica superioară este o doamnă serioasă, aranjată după legile naturii. Și această doamnă declară: "Astăzi ai rupt cercul în 360 de părți, mâine îl vei despărți în 100 de părți, poimâine în 245... Și ce să fac? Nu chiar..." A trebuit să mă supun. Nu poți păcăli natura...

A trebuit să introduc o măsură a unghiului care nu depinde de noțiunile umane. Întâlni - radian!

Măsura radianilor unui unghi.

Ce este un radian? Definiția radianului se bazează oricum pe un cerc. Un unghi de 1 radian este unghiul care taie un arc dintr-un cerc a cărui lungime este ( L) este egală cu lungimea razei ( R). Ne uităm la poze.

Un unghi atât de mic, aproape că nu există... Mutăm cursorul peste imagine (sau atingem poza de pe tabletă) și vedem aproximativ unul radian. L=R

Simte diferenta?

Un radian este mult mai mare decât un grad. De câte ori?

Să ne uităm la următoarea poză. Pe care am desenat un semicerc. Unghiul extins este, desigur, de 180 °.

Și acum voi tăia acest semicerc în radiani! Trecem cu mouse-ul peste imagine și vedem că 3 radiani cu o coadă se potrivesc la 180 °.

Cine poate ghici ce este această coadă de cal!?

Da! Această coadă este 0,1415926.... Bună Pi, încă nu te-am uitat!

Într-adevăr, sunt 3,1415926 ... radiani în 180 de grade. După cum vă puteți imagina, a scrie 3.1415926 tot timpul... este incomod. Prin urmare, în loc de acest număr infinit, ei scriu întotdeauna simplu:

Și iată numărul de pe internet

este incomod să scrii... Prin urmare, în text îl scriu pe nume - „Pi”. Nu te confunda...

Acum, este destul de semnificativ să scriem o egalitate aproximativă:

Sau egalitate exactă:

Determinați câte grade sunt într-un radian. Cum? Uşor! Dacă sunt 180 de grade în 3,14 radiani, atunci 1 radian este de 3,14 ori mai puțin! Adică împărțim prima ecuație (formula este, de asemenea, o ecuație!) La 3.14:

Acest raport este util de reținut. Există aproximativ 60° într-un radian. În trigonometrie, de multe ori trebuie să-ți dai seama, să evaluezi situația. Aici cunoștințele ajută foarte mult.

Dar principala abilitate a acestui subiect este transformarea gradelor în radiani și invers.

Dacă unghiul este dat în radiani cu numărul „pi”, totul este foarte simplu. Știm că „pi” radiani = 180°. Deci, înlocuim radianii „Pi” - 180 °. Obținem unghiul în grade. Reducem ceea ce este redus, iar răspunsul este gata. De exemplu, trebuie să aflăm cât gradeîn colțul „Pi”/2 radian? Aici scriem:

Sau, expresie mai exotică:

Ușor, nu?

Traducerea inversă este puțin mai complicată. Dar nu mult. Dacă unghiul este dat în grade, trebuie să ne dăm seama ce grad este în radiani și să înmulțim acel număr cu numărul de grade. Cât este 1° în radiani?

Ne uităm la formulă și realizăm că dacă 180° = „Pi” radiani, atunci 1° este de 180 de ori mai mic. Sau, cu alte cuvinte, împărțim ecuația (formula este și o ecuație!) La 180. Nu este nevoie să reprezentăm „Pi” ca 3.14, oricum se scrie întotdeauna cu o literă. Obținem că un grad este egal cu:

Asta e tot. Înmulțiți numărul de grade cu această valoare pentru a obține unghiul în radiani. De exemplu:

Sau, similar:

După cum puteți vedea, într-o conversație pe îndelete cu digresiuni lirice, s-a dovedit că radianii sunt foarte simpli. Da, iar traducerea este fără probleme... Și „Pi” este un lucru complet tolerabil... Deci de unde confuzia !?

Voi dezvălui secretul. Cert este că în funcțiile trigonometrice este scrisă pictograma grade. Mereu. De exemplu, sin35°. Acesta este sinusul 35 grade . Și pictograma radianilor ( bucuros) nu este scris! El este subînțeles. Fie lenea matematicienilor confiscate, fie altceva... Dar au decis să nu scrie. Dacă nu există pictograme în interiorul sinusului - cotangent, atunci unghiul - în radiani ! De exemplu, cos3 este cosinusul lui trei radiani .

Acest lucru duce la neînțelegeri ... O persoană vede „Pi” și crede că este de 180 °. Oricând și oriunde. Apropo, asta funcționează. Deocamdată, în timp ce exemplele sunt standard. Dar Pi este un număr! Cifra 3.14 nu este grade! Adică „Pi” radiani = 180°!

Încă o dată: „Pi” este un număr! 3.14. Irațional, dar un număr. La fel ca 5 sau 8. Puteți, de exemplu, să faceți aproximativ pași „Pi”. Trei pași și încă puțin. Sau cumpărați „Pi” kilograme de dulciuri. Dacă un vânzător educat este prins...

„Pi” este un număr! Ce, te-am prins cu fraza asta? Ai înțeles deja totul? BINE. Sa verificam. Imi puteti spune care numar este mai mare?

Sau ce este mai putin?

Aceasta este dintr-o serie de întrebări ușor nestandardizate care pot duce la stupoare...

Dacă și tu ai căzut în stupoare, amintește-ți vraja: „Pi” este un număr! 3.14. În primul sinus, se indică clar că unghiul - în grade! Prin urmare, este imposibil să înlocuiți „Pi” cu 180 °! Gradele „Pi” sunt de aproximativ 3,14 grade. Prin urmare, putem scrie:

Nu există simboluri în al doilea sinus. Deci acolo - radiani! Aici, înlocuirea „Pi” cu 180 ° va funcționa destul de bine. Convertind radiani în grade, așa cum este scris mai sus, obținem:

Rămâne să comparăm aceste două sinuri. Ce. ai uitat cum? Cu ajutorul unui cerc trigonometric, desigur! Desenăm un cerc, desenăm unghiuri aproximative de 60° și 1,05°. Ne uităm la sinusurile acestor unghiuri. Pe scurt, totul, ca la sfârșitul subiectului despre cercul trigonometric, este pictat. Pe un cerc (chiar și cel strâmb!) se va vedea clar că păcat60° semnificativ mai mult decât sin1.05°.

Vom face exact același lucru cu cosinus. Pe cerc desenăm unghiuri de aproximativ 4 gradeși 4 radian(Ține minte, cât este aproximativ 1 radian?). Cercul va spune totul! Desigur, cos4 este mai mic decât cos4°.

Să exersăm manipularea măsurilor de unghi.

Convertiți aceste unghiuri din grade în radiani:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Ar trebui să ajungeți cu aceste valori în radiani (în altă ordine!)

0

Apropo, am marcat special răspunsurile în două rânduri. Ei bine, să ne dăm seama care sunt colțurile din prima linie? Fie în grade sau în radiani?

Da! Acestea sunt axele sistemului de coordonate! Dacă te uiți la cercul trigonometric, atunci latura în mișcare a unghiului la aceste valori se potriveste chiar pe axa. Aceste valori trebuie cunoscute în mod ironic. Și am notat unghiul de 0 grade (0 radiani) nu degeaba. Și apoi unii nu pot găsi în niciun fel acest unghi pe cerc ... Și, în consecință, se confundă în funcțiile trigonometrice de zero ... Un alt lucru este că poziția laturii în mișcare la zero grade coincide cu poziția la 360 °, deci coincidențele pe cerc sunt tot timpul aproape.

În a doua linie sunt și unghiuri speciale... Acestea sunt 30°, 45° și 60°. Și ce este atât de special la ei? Nimic special. Singura diferență dintre aceste colțuri și toate celelalte este că ar trebui să știți despre aceste colțuri. toate. Și unde sunt situate și care sunt funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri. Să spunem valoarea sin100° nu trebuie sa stii. DAR păcat45°- te rog fii amabil! Acestea sunt cunoștințe obligatorii, fără de care nu există nimic de făcut în trigonometrie... Dar mai multe despre asta în lecția următoare.

Până atunci, să continuăm să exersăm. Convertiți aceste unghiuri din radiani în grade:

Ar trebui să obțineți rezultate ca acestea (într-o mizerie):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

S-a întâmplat? Atunci putem presupune că transformarea gradelor în radiani și invers- nu mai e problema ta.) Dar translatarea unghiurilor este primul pas către înțelegerea trigonometriei. În același loc, mai trebuie să lucrați cu sinus-cosinus. Da, și cu tangente, și cotangente...

Al doilea pas puternic este capacitatea de a determina poziția oricărui unghi pe un cerc trigonometric. Atât în ​​grade, cât și în radiani. Chiar despre această abilitate, vă voi sugera plictisitor în toată trigonometria, da ...) Dacă știți totul (sau credeți că știți totul) despre cercul trigonometric și numărarea unghiurilor pe cercul trigonometric, îl puteți verifica afară. Rezolvați aceste sarcini simple:

1. În ce sferturi se încadrează colțurile:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Uşor? Noi continuăm:

2. În ce sfert cad colțurile:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

De asemenea, nicio problemă? Ei bine, uite...)

3. Puteți plasa colțuri în sferturi:

Ai fost capabil? Ei bine, dai..)

4. Pe ce axe va cădea colțul:

si colt:

Este si usor? Hm...)

5. În ce sferturi se încadrează colțurile:

Și a funcționat!? Ei bine, atunci chiar nu știu...)

6. Stabiliți în ce sfert se încadrează colțurile:

1, 2, 3 și 20 de radiani.

Voi da răspunsul doar la ultima întrebare (este puțin complicată) a ultimei sarcini. Un unghi de 20 de radiani va cădea în primul sfert.

Nu voi da restul răspunsurilor din lăcomie.) Just if you nu a decis ceva îndoială ca rezultat, sau cheltuită pentru sarcina nr. 4 mai mult de 10 secunde esti prost orientat intr-un cerc. Aceasta va fi problema ta în toată trigonometria. Este mai bine să scapi de el (o problemă, nu trigonometrie!) imediat. Acest lucru se poate face în subiectul: Lucrări practice cu un cerc trigonometric în secțiunea 555.

Spune cum să rezolvi astfel de sarcini simplu și corect. Ei bine, aceste sarcini sunt rezolvate, desigur. Și a patra sarcină a fost rezolvată în 10 secunde. Da, așa am decis că oricine poate!

Dacă sunteți absolut sigur de răspunsurile dvs. și nu sunteți interesat de modalități simple și fără probleme de a lucra cu radiani, nu puteți vizita 555. Nu insist.)

O bună înțelegere este un motiv suficient de bun pentru a merge mai departe!)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice

Notă. Acest tabel de valori pentru funcțiile trigonometrice folosește semnul √ pentru a desemna rădăcina pătrată. Pentru a desemna o fracție - simbolul „/”.

Vezi si materiale utile:

Pentru determinarea valorii unei funcţii trigonometrice, găsiți-l la intersecția dreptei care indică funcția trigonometrică. De exemplu, un sinus de 30 de grade - căutăm o coloană cu titlul sin (sinus) și găsim intersecția acestei coloane a tabelului cu linia „30 de grade”, la intersecția lor citim rezultatul - unul al doilea. În mod similar, găsim cosinus 60 grade, sinus 60 grade (din nou, la intersecția coloanei sin (sinus) și rândul de 60 de grade, găsim valoarea sin 60 = √3/2), etc. În același mod, se găsesc valorile sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor altor unghiuri „populare”.

Sinusul lui pi, cosinusul lui pi, tangenta lui pi și alte unghiuri în radiani

Tabelul de cosinus, sinusuri și tangente de mai jos este, de asemenea, potrivit pentru a afla valoarea funcțiilor trigonometrice al căror argument este dat în radiani. Pentru a face acest lucru, utilizați a doua coloană de valori unghiulare. Datorită acestui fapt, puteți converti valoarea unghiurilor populare de la grade la radiani. De exemplu, să găsim unghiul de 60 de grade în prima linie și să citim valoarea lui în radiani sub el. 60 de grade este egal cu π/3 radiani.

Numărul pi exprimă în mod unic dependența circumferinței unui cerc de măsura gradului unghiului. Deci pi radiani este egal cu 180 de grade.

Orice număr exprimat în termeni de pi (radian) poate fi ușor convertit în grade prin înlocuirea numărului pi (π) cu 180.

Exemple:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
astfel, sinusul lui pi este același cu sinusul de 180 de grade și este egal cu zero.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
astfel, cosinusul lui pi este același cu cosinusul de 180 de grade și este egal cu minus unu.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
astfel, tangenta lui pi este aceeași cu tangenta de 180 de grade și este egală cu zero.

Tabelul valorilor sinus, cosinus, tangente pentru unghiuri 0 - 360 de grade (valori frecvente)

unghiul α (grade)	unghiul α în radiani (prin pi)	păcat (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangentă)	ctg (cotangentă)	sec (secantă)	cauză (cosecant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Dacă în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, în loc de valoarea funcției, este indicată o liniuță (tangentă (tg) 90 de grade, cotangentă (ctg) 180 de grade), atunci pentru o anumită valoare a gradului de măsură a unghiul, funcția nu are o valoare definită. Dacă nu există liniuță, celula este goală, așa că nu am introdus încă valoarea dorită. Suntem interesați de ce solicitări vin utilizatorii la noi și completăm tabelul cu noi valori, în ciuda faptului că datele actuale privind valorile cosinusurilor, sinusurilor și tangentelor celor mai comune valori unghiulare sunt suficiente pentru a rezolva cele mai multe Probleme.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg pentru cele mai populare unghiuri
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 de grade
(valori numerice „conform tabelelor Bradis”)

valoarea unghiului α (grade)	valoarea unghiului α în radiani	păcat (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangent)	ctg (cotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18