Exemple de aplicare a teoremei lui Pitagora. Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora

Pitagora este un om de știință grec care a trăit în urmă cu aproximativ 2500 de ani (564-473 î.Hr.).

Să fie dat un triunghi dreptunghic ale cărui laturi A, bși cu(Fig. 267).

Să construim pătrate pe laturile sale. Suprafețele acestor pătrate sunt, respectiv A 2 , b 2 și cu 2. Să demonstrăm asta cu 2 = a 2 +b 2 .

Să construim două pătrate MKOR și M'K'O'R' (Fig. 268, 269), luând pentru latura fiecăruia dintre ele un segment egal cu suma catetelor triunghiului dreptunghic ABC.

După finalizarea construcțiilor prezentate în figurile 268 și 269 în aceste pătrate, vom vedea că pătratul MKOR este împărțit în două pătrate cu zone. A 2 și b 2 și patru triunghiuri dreptunghiulare egale, fiecare dintre ele egal cu triunghiul dreptunghic ABC. Pătratul M'K'O'R' este împărțit într-un patrulater (este umbrit în Figura 269) și patru triunghiuri dreptunghiulare, fiecare dintre ele fiind, de asemenea, egal cu triunghiul ABC. Patrulaterul umbrit este un pătrat, deoarece laturile sale sunt egale (fiecare este egală cu ipotenuza triunghiului ABC, adică. cu), iar unghiurile sunt drepte ∠1 + ∠2 = 90°, de unde ∠3 = 90°).

Astfel, suma ariilor pătratelor construite pe picioare (în Figura 268 aceste pătrate sunt umbrite) este egală cu aria pătratului MKOR fără suma ariilor a patru triunghiuri egale și aria lui pătratul construit pe ipotenuză (în Figura 269 acest pătrat este și umbrit) este egal cu aria pătratului M'K'O'R', egal cu pătratul lui MKOR, fără suma ariilor lui patru triunghiuri asemănătoare. Prin urmare, aria pătratului construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete.

Primim formula cu 2 = a 2 +b 2, unde cu- ipotenuza, Ași b- catetele unui triunghi dreptunghic.

Teorema lui Pitagora poate fi rezumată după cum urmează:

Pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor.

Din formula cu 2 = a 2 +b 2 puteți obține următoarele formule:

A 2 = cu 2 - b 2 ;

b 2 = cu 2 - A 2 .

Aceste formule pot fi folosite pentru a găsi latura necunoscută a unui triunghi dreptunghic având în vedere două dintre laturile sale.

De exemplu:

a) dacă sunt date picioare A= 4 cm, b\u003d 3 cm, atunci puteți găsi ipotenuza ( cu):

cu 2 = a 2 +b 2, adică cu 2 = 4 2 + 3 2 ; cu 2 = 25, de unde cu= √25 = 5(cm);

b) dacă este dată ipotenuza cu= 17 cm și picior A= 8 cm, apoi puteți găsi un alt picior ( b):

b 2 = cu 2 - A 2, adică b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, de unde b= √225 = 15 (cm).

Corolar: Dacă în două triunghiuri dreptunghice ABC și A 1 B 1 C 1 ipotenuza cuși cu 1 sunt egale, iar piciorul b triunghiul ABC este mai mare decât catetul b 1 triunghi A 1 B 1 C 1,

apoi piciorul A triunghiul ABC este mai mic decât catetul A 1 triunghi A 1 B 1 C 1 .

Într-adevăr, pe baza teoremei lui Pitagora, obținem:

A 2 = cu 2 - b 2 ,

A 1 2 = cu 1 2 - b 1 2

În formulele scrise, minuendurile sunt egale, iar subtraendul din prima formulă este mai mare decât subtrahendul din a doua formulă, prin urmare, prima diferență este mai mică decât a doua,

adică A 2 a 1 2 . Unde A a 1 .

Cu toate acestea, numele este primit în onoarea omului de știință doar pentru motivul că el este prima și chiar singura persoană care a putut demonstra teorema.

Istoricul german al matematicii Kantor a susținut că teorema era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e. El credea că unghiurile drepte erau construite datorită triunghiurilor dreptunghiulare cu laturile 3, 4 și 5.

Celebrul om de știință Kepler a spus că geometria are o comoară de neînlocuit - aceasta este teorema lui Pitagora, datorită căreia este posibil să derivăm majoritatea teoremelor din geometrie.

Anterior, teorema lui Pitagora era numită „teorema miresei” sau „teorema nimfei”. Și chestia este că desenul ei semăna foarte mult cu un fluture sau cu o nimfă. Arabii, când au tradus textul teoremei, au decis că nimfa înseamnă mireasa. Așa a apărut denumirea interesantă a teoremei.

Teorema lui Pitagora, formula

Teorema

- într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor () este egală cu pătratul ipotenuzei (). Aceasta este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene.

Formulă:

După cum sa menționat deja, există multe dovezi diferite ale teoremei cu abordări matematice versatile. Cu toate acestea, teoremele ariei sunt mai frecvent utilizate.

Construiți pătrate pe triunghi ( albastru, verde, roșu)

Adică, suma ariilor pătratelor construite pe picioare este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză. În consecință, ariile acestor pătrate sunt egale -. Aceasta este explicația geometrică a lui Pitagora.

Demonstrarea teoremei prin metoda ariei: 1 cale

Să demonstrăm că.

Considerăm același triunghi cu catetele a, b și ipotenuza c.

Completam triunghiul dreptunghic pana la un patrat. De la piciorul „a” continuăm linia până la distanța piciorului „b” (linia roșie).
Apoi, desenăm linia noului picior „a” la dreapta (linia verde).
Conectăm două catete cu ipotenuza „c”.

Se dovedește același triunghi, doar inversat.

În mod similar, construim pe cealaltă parte: de la piciorul „a” trasăm linia piciorului „b” și în jos „a” și „b” Și de la partea de jos a piciorului „b” trasăm linia piciorului „b”. piciorul „a”. În centrul fiecărui catete, a fost desenată o ipotenuză „c”. Astfel, ipotenuzele au format un pătrat în centru.

Acest pătrat este format din 4 triunghiuri identice. Și aria fiecărui triunghi dreptunghic = jumătate din produsul catetelor sale. Respectiv, . Și aria pătratului din centru = , deoarece toate cele 4 ipotenuze au laturi. Laturile unui patrulater sunt egale, iar unghiurile sunt drepte. Cum putem demonstra că unghiurile sunt corecte? Foarte simplu. Să luăm același pătrat:

Știm că cele două unghiuri prezentate în figură sunt de 90 de grade. Deoarece triunghiurile sunt egale, atunci următorul unghi al catetei „b” este egal cu piciorul anterior „b”:

Suma acestor două unghiuri = 90 de grade. În consecință, unghiul anterior este, de asemenea, de 90 de grade. Desigur, același lucru este valabil și pe cealaltă parte. În consecință, avem într-adevăr un pătrat cu unghiuri drepte.

Deoarece unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt în total 90 de grade, unghiul patrulaterului va fi și el de 90 de grade, deoarece 3 unghiuri în total = 180 de grade.

În consecință, aria unui pătrat este formată din patru zone de triunghiuri dreptunghiulare identice și aria pătratului, care este formată din ipotenuze.

Astfel, avem un pătrat cu latura . Știm că aria unui pătrat cu o latură este pătratul laturii sale. i.e . Acest pătrat este format din patru triunghiuri identice.

Și asta înseamnă că am demonstrat teorema lui Pitagora.

IMPORTANT!!! Dacă găsim ipotenuza, atunci adăugăm două catete și apoi obținem răspunsul de la rădăcină. Când găsiți unul dintre catete: din pătratul lungimii celui de-al doilea catete, scădeți pătratul lungimii ipotenuzei și găsiți rădăcina pătrată.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1

Sarcină

Dat: un triunghi dreptunghic cu catetele 4 și 5.

Aflați ipotenuza. Atâta timp cât îl notăm cu

Decizie

Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. În cazul nostru - .

Să folosim teorema lui Pitagora:

Deci, a. Picioarele însumează 41.

Apoi . Deci pătratul ipotenuzei este 41.

Pătratul numărului 41 = 6,4.

Am găsit ipotenuza.

Răspuns

Hipotenuza = 6,4

Potențialul de creativitate este de obicei atribuit științelor umaniste, lăsând analiza științifică naturală, abordarea practică și limbajul sec al formulelor și numerelor. Matematica nu poate fi clasificată ca materie umaniste. Dar fără creativitate în „regina tuturor științelor” nu vei ajunge departe - oamenii știu despre asta de mult timp. De pe vremea lui Pitagora, de exemplu.

Manualele școlare, din păcate, de obicei nu explică faptul că în matematică este important nu numai să înghesuim teoreme, axiome și formule. Este important să înțelegeți și să simțiți principiile sale fundamentale. Și, în același timp, încearcă să-ți eliberezi mintea de clișee și adevăruri elementare - doar în astfel de condiții se nasc toate marile descoperiri.

Astfel de descoperiri o includ pe cea pe care astăzi o cunoaștem ca teorema lui Pitagora. Cu ajutorul ei, vom încerca să arătăm că matematica nu numai că poate, dar ar trebui să fie distractivă. Și că această aventură este potrivită nu numai pentru tocilari cu pahare groase, ci pentru toți cei care sunt puternici la minte și puternici la spirit.

Din istoria problemei

Strict vorbind, deși teorema este numită „teorema lui Pitagora”, Pitagora însuși nu a descoperit-o. Triunghiul dreptunghic și proprietățile sale speciale au fost studiate cu mult înaintea lui. Există două puncte de vedere polare asupra acestei probleme. Potrivit unei versiuni, Pitagora a fost primul care a găsit o demonstrație completă a teoremei. Potrivit altuia, dovada nu ține de paternitatea lui Pitagora.

Astăzi nu mai poți verifica cine are dreptate și cine greșește. Se știe doar că dovada lui Pitagora, dacă a existat vreodată, nu a supraviețuit. Cu toate acestea, există sugestii că faimoasa dovadă din Elementele lui Euclid ar putea aparține lui Pitagora, iar Euclid a înregistrat-o doar.

De asemenea, se știe astăzi că probleme legate de un triunghi dreptunghic se găsesc în sursele egiptene din vremea faraonului Amenemhet I, pe tăblițele de lut babiloniene din timpul domniei regelui Hammurabi, în vechiul tratat indian Sulva Sutra și în lucrarea antică chineză Zhou. -bi suan jin.

După cum puteți vedea, teorema lui Pitagora a ocupat mințile matematicienilor din cele mai vechi timpuri. Aproximativ 367 de dovezi diferite care există astăzi servesc drept confirmare. Nicio altă teoremă nu poate concura cu ea în acest sens. Printre autori de dovezi se numără Leonardo da Vinci și al 20-lea președinte al Statelor Unite, James Garfield. Toate acestea vorbesc despre importanța extremă a acestei teoreme pentru matematică: majoritatea teoremelor de geometrie sunt derivate din ea sau, într-un fel sau altul, sunt legate de ea.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora

Manualele școlare oferă în mare parte dovezi algebrice. Dar esența teoremei este în geometrie, așa că să luăm în considerare în primul rând acele dovezi ale celebrei teoreme care se bazează pe această știință.

Dovada 1

Pentru cea mai simplă demonstrație a teoremei lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic, trebuie să stabiliți condiții ideale: triunghiul să fie nu numai dreptunghic, ci și isoscel. Există motive să credem că a fost un astfel de triunghi care a fost considerat inițial de matematicienii antici.

Afirmație „un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catetele sale” poate fi ilustrat cu următorul desen:

Priviți triunghiul dreptunghic isoscel ABC: pe ipotenuza AC, puteți construi un pătrat format din patru triunghiuri egale cu ABC original. Și pe picioarele AB și BC construite pe un pătrat, fiecare dintre ele conține două triunghiuri similare.

Apropo, acest desen a stat la baza a numeroase anecdote și desene animate dedicate teoremei lui Pitagora. Poate cel mai faimos este „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”:

Dovada 2

Această metodă combină algebra și geometria și poate fi văzută ca o variantă a vechii dovezi indiene a matematicianului Bhaskari.

Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile a, b și c(Fig. 1). Apoi construiți două pătrate cu laturile egale cu suma lungimilor celor două picioare - (a+b). În fiecare dintre pătrate, faceți construcții, ca în figurile 2 și 3.

În primul pătrat, construiți patru din aceleași triunghiuri ca în figura 1. Ca rezultat, se obțin două pătrate: unul cu latura a, al doilea cu latura b.

În al doilea pătrat, patru triunghiuri similare construite formează un pătrat cu latura egală cu ipotenuza c.

Suma ariilor pătratelor construite din Fig. 2 este egală cu aria pătratului pe care l-am construit cu latura c în Fig. 3. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință prin calcularea ariilor pătratelor din Fig. 2 conform formulei. Și aria pătratului înscris în figura 3. scăzând ariile a patru triunghiuri dreptunghiulare egale înscrise în pătrat din aria unui pătrat mare cu o latură (a+b).

Punând toate acestea jos, avem: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Extindeți parantezele, faceți toate calculele algebrice necesare și obțineți asta a 2 + b 2 = a 2 + b 2. În același timp, aria celor înscrise în Fig.3. pătratul poate fi calculat și folosind formula tradițională S=c2. Acestea. a2+b2=c2 Ai demonstrat teorema lui Pitagora.

Dovada 3

Aceeași dovadă indiană veche este descrisă în secolul al XII-lea în tratatul „Coroana Cunoașterii” („Siddhanta Shiromani”), iar ca argument principal autorul folosește un apel adresat talentelor matematice și puterilor de observație ale studenților și urmași: „Uite!”.

Dar vom analiza această dovadă mai detaliat:

În interiorul pătratului, construiți patru triunghiuri dreptunghiulare așa cum este indicat în desen. Se notează latura pătratului mare, care este și ipotenuza cu. Să numim catetele triunghiului Ași b. Conform desenului, latura pătratului interior este (a-b).

Utilizați formula ariei pătrate S=c2 pentru a calcula aria pătratului exterior. Și, în același timp, calculați aceeași valoare adunând aria pătratului interior și aria a patru triunghiuri dreptunghiulare: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puteți folosi ambele opțiuni pentru a calcula aria unui pătrat pentru a vă asigura că dau același rezultat. Și asta îți dă dreptul să scrii asta c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ca rezultat al soluției, veți obține formula teoremei lui Pitagora c2=a2+b2. Teorema a fost demonstrată.

Dovada 4

Această curioasă dovadă chineză antică a fost numită „Scaunul miresei” - din cauza figurii asemănătoare unui scaun care rezultă din toate construcțiile:

Folosește desenul pe care l-am văzut deja în Figura 3 în a doua demonstrație. Și pătratul interior cu latura c este construit în același mod ca în vechea demonstrație indiană dată mai sus.

Dacă tăiați mental două triunghiuri dreptunghiulare verzi din desenul din fig. 1, transferați-le în laturile opuse ale pătratului cu latura c și atașați ipotenuzele la ipotenuzele triunghiurilor liliac, veți obține o figură numită „mireasa”. scaun” (Fig. 2). Pentru claritate, puteți face același lucru cu pătratele și triunghiurile din hârtie. Vei vedea că „scaunul miresei” este format din două pătrate: mici cu o latură bși mare cu o latură A.

Aceste construcţii le-au permis matematicienilor chinezi antici şi nouă, care le urmăm, să ajungem la concluzia că c2=a2+b2.

Dovada 5

Aceasta este o altă modalitate de a găsi o soluție la teorema lui Pitagora bazată pe geometrie. Se numește Metoda Garfield.

Construiți un triunghi dreptunghic ABC. Trebuie să dovedim asta BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Pentru a face acest lucru, continuați piciorul ACși construiți un segment CD, care este egal cu piciorul AB. Perpendiculară inferioară ANUNȚ segment de linie ED. Segmente EDși AC sunt egale. uneste punctele Eși LA, precum și Eși Cuși obțineți un desen ca în imaginea de mai jos:

Pentru a demonstra turnul, recurgem din nou la metoda pe care am testat-o deja: găsim aria figurii rezultate în două moduri și echivalăm expresiile una cu cealaltă.

Găsiți aria unui poligon UN PAT se poate realiza prin adăugarea ariilor celor trei triunghiuri care o formează. Și unul dintre ei ERU, nu este doar dreptunghiular, ci și isoscel. Să nu uităm nici asta AB=CD, AC=EDși BC=CE- acest lucru ne va permite să simplificăm înregistrarea și să nu o supraîncărcăm. Asa de, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

În același timp, este evident că UN PAT este un trapez. Prin urmare, calculăm aria sa folosind formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Pentru calculele noastre, este mai convenabil și mai clar să reprezentăm segmentul ANUNȚ ca suma segmentelor ACși CD.

Să scriem ambele moduri de a calcula aria unei figuri punând un semn egal între ele: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Folosim egalitatea segmentelor deja cunoscută nouă și descrisă mai sus pentru a simplifica partea dreaptă a notației: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Și acum deschidem parantezele și transformăm egalitatea: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. După ce am terminat toate transformările, obținem exact ceea ce ne trebuie: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Am demonstrat teorema.

Desigur, această listă de dovezi este departe de a fi completă. Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată și folosind vectori, numere complexe, ecuații diferențiale, stereometrie etc. Și chiar și fizicienii: dacă, de exemplu, lichidul este turnat în volume pătrate și triunghiulare similare cu cele prezentate în desene. Prin turnarea lichidului, este posibil să se demonstreze egalitatea ariilor și ca rezultat teorema în sine.

Câteva cuvinte despre tripleții pitagoreici

Această problemă este puțin sau nu studiată în programa școlară. Între timp, este foarte interesant și are o mare importanță în geometrie. Triplele pitagoreene sunt folosite pentru a rezolva multe probleme matematice. Ideea acestora vă poate fi utilă în educația ulterioară.

Deci, ce sunt tripleții pitagoreici? Așa-numitele numere naturale, adunate în trei, suma pătratelor a două dintre ele este egală cu al treilea număr la pătrat.

Triplele pitagorice pot fi:

primitive (toate cele trei numere sunt relativ prime);
non-primitiv (dacă fiecare număr al unui triplu este înmulțit cu același număr, obțineți un nou triplu care nu este primitiv).

Chiar înainte de epoca noastră, egiptenii antici erau fascinați de mania pentru numerele triplelor pitagoreice: în sarcini considerau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3,4 și 5 unități. Apropo, orice triunghi ale cărui laturi sunt egale cu numerele din triplul lui Pitagora este implicit dreptunghiular.

Exemple de triple pitagorice: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) etc.

Aplicarea practică a teoremei

Teorema lui Pitagora își găsește aplicație nu numai în matematică, ci și în arhitectură și construcții, astronomie și chiar literatură.

În primul rând, despre construcție: teorema lui Pitagora este utilizată pe scară largă în ea în probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, uitați-vă la fereastra romanică:

Să notăm lățimea ferestrei ca b, atunci raza semicercului mare poate fi notată ca Rși exprimați prin b: R=b/2. Raza semicercurilor mai mici poate fi exprimată și în termeni de b: r=b/4. În această problemă, ne interesează raza cercului interior al ferestrei (să-i spunem p).

Teorema lui Pitagora este utilă de calculat R. Pentru a face acest lucru, folosim un triunghi dreptunghic, care este indicat de o linie punctată în figură. Ipotenuza unui triunghi este formată din două raze: b/4+p. Un picior este o rază b/4, o alta b/2-p. Folosind teorema lui Pitagora, scriem: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Apoi, deschidem parantezele și obținem b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Să transformăm această expresie în bp/2=b2/4-bp. Și apoi împărțim toți termenii în b, noi dam altele asemanatoare pentru a obtine 3/2*p=b/4. Și până la urmă găsim asta p=b/6- care este ceea ce aveam nevoie.

Folosind teorema, puteți calcula lungimea căpriorii pentru un acoperiș cu două versale. Determinați cât de înalt este necesar un turn mobil pentru ca semnalul să ajungă la o anumită așezare. Și chiar și instalați în mod constant un brad de Crăciun în piața orașului. După cum puteți vedea, această teoremă trăiește nu numai pe paginile manualelor, ci este adesea utilă în viața reală.

În ceea ce privește literatura, teorema lui Pitagora a inspirat scriitori încă din antichitate și continuă să o facă și astăzi. De exemplu, scriitorul german din secolul al XIX-lea Adelbert von Chamisso a fost inspirat de ea să scrie un sonet:

Lumina adevărului nu se va risipi curând,
Dar, după ce a strălucit, este puțin probabil să se risipească
Și, ca acum mii de ani,
Nu va provoca îndoieli și dispute.

Cel mai înțelept când atinge ochiul
Lumină a adevărului, mulțumesc zeilor;
Și o sută de tauri, înjunghiați, mint -
Darul de întoarcere al norocosului Pitagora.

De atunci, taurii urlă disperați:
A trezit pentru totdeauna tribul taurului
eveniment menționat aici.

Ei cred că e timpul
Și din nou vor fi sacrificați
O teoremă grozavă.

(traducere de Viktor Toporov)

Și în secolul al XX-lea, scriitorul sovietic Yevgheni Veltistov în cartea sa „Aventurile electronice” a dedicat un întreg capitol dovezilor teoremei lui Pitagora. Și o jumătate de capitol din povestea despre lumea bidimensională care ar putea exista dacă teorema lui Pitagora ar deveni legea fundamentală și chiar religia pentru o singură lume. Ar fi mult mai ușor să trăiești în el, dar și mult mai plictisitor: de exemplu, nimeni acolo nu înțelege sensul cuvintelor „rotund” și „pufos”.

Iar în cartea „Aventurile electronicii”, autorul, prin gura profesorului de matematică Taratara, spune: „Principalul lucru în matematică este mișcarea gândirii, ideile noi”. Acest zbor creativ al gândirii este cel care generează teorema lui Pitagora - nu degeaba are atât de multe dovezi diverse. Ajută să depășești ceea ce este obișnuit și să privești lucrurile familiare într-un mod nou.

Concluzie

Acest articol a fost creat astfel încât să puteți privi dincolo de programa școlară în matematică și să învățați nu numai acele dovezi ale teoremei lui Pitagora care sunt date în manualele „Geometrie 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) și „Geometrie 7 -11”. ” (A.V. Pogorelov), dar și alte modalități curioase de a demonstra celebra teoremă. Și vezi, de asemenea, exemple despre cum teorema lui Pitagora poate fi aplicată în viața de zi cu zi.

În primul rând, aceste informații vă vor permite să obțineți scoruri mai mari la cursurile de matematică - informațiile despre subiect din surse suplimentare sunt întotdeauna foarte apreciate.

În al doilea rând, am vrut să vă ajutăm să vă simțiți cât de interesantă este matematica. Să te convingi prin exemple concrete că există întotdeauna un loc pentru creativitate în ea. Sperăm că teorema lui Pitagora și acest articol vă vor inspira să faceți propriile cercetări și descoperiri interesante în matematică și alte științe.

Spune-ne în comentarii dacă ai găsit interesante dovezile prezentate în articol. Ți s-au părut utile aceste informații în studiile tale? Spune-ne ce părere ai despre teorema lui Pitagora și despre acest articol - vom fi bucuroși să discutăm despre toate acestea cu tine.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

teorema lui Pitagora: Suma ariilor pătratelor susținute de picioare ( Ași b), este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză ( c).

Formulare geometrică:

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică indicând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c, iar lungimile picioarelor prin Ași b :

A 2 + b 2 = c 2

Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dovada de

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil, teorema lui Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de demonstrații. O astfel de varietate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, din punct de vedere conceptual, toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai cunoscute dintre ele: dovezi prin metoda zonei, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a figurii.

Lasa ABC există un triunghi dreptunghic C. Să desenăm o înălțime de la Cși notează-i baza prin H. Triunghi ACH asemănător cu un triunghi ABC la două colţuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC. Introducerea notației

primim

Ce este echivalent

Adăugând, primim

Dovezi de zonă

Următoarele dovezi, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toate folosesc proprietățile zonei, a cărei demonstrație este mai complicată decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada prin echivalență

Aranjați patru triunghiuri dreptunghiulare egale așa cum se arată în figura 1.
Cadrilater cu laturi c este un pătrat deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90°, iar unghiul drept este de 180°.
Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu o latură (a + b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și două interioare pătrate.

Q.E.D.

Dovezi prin echivalență

O dovadă elegantă a permutării

Un exemplu de una dintre aceste dovezi este prezentat în desenul din dreapta, unde pătratul construit pe ipotenuză este convertit prin permutare în două pătrate construite pe catete.

Dovada lui Euclid

Desen pentru demonstrația lui Euclid

Ilustrație pentru demonstrația lui Euclid

Ideea demonstrației lui Euclid este următoarea: să încercăm să demonstrăm că jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe catete, iar apoi ariile de pătratele mari și cele două pătrate mici sunt egale.

Luați în considerare desenul din stânga. Am construit pe el pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic și am desenat o rază s din vârful unghiului drept C perpendicular pe ipotenuza AB, ea taie pătratul ABIK, construit pe ipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și HAKJ , respectiv. Se pare că ariile acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu ariile pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare.

Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK Pentru a face acest lucru, folosim o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca și cea dată. dreptunghiul este egal cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și al înălțimii. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (neprezentată), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK.

Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să dovediți egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului de proprietatea de mai sus). Această egalitate este evidentă, triunghiurile sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK,AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: să rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare celor două triunghiuri considerate va coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°).

Argumentul despre egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet analog.

Astfel, am demonstrat că aria pătratului construit pe ipotenuză este suma ariilor pătratelor construite pe catete. Ideea din spatele acestei dovezi este ilustrată în continuare cu animația de mai sus.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea.

Luați în considerare desenul, așa cum se poate vedea din simetrie, segmentul Ceu disecă pătratul ABHJ în două părți identice (deoarece triunghiuri ABCși JHeu sunt egale în construcție). Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic, vedem egalitatea figurilor umbrite CAJeu și GDAB . Acum este clar că aria figurii umbrite de noi este egală cu suma a jumătate din suprafețele pătratelor construite pe picioare și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză, plus aria triunghiului original. Ultimul pas în demonstrație este lăsat cititorului.

Dovada prin metoda infinitezimală

Următoarea demonstrație folosind ecuații diferențiale este adesea atribuită celebrului matematician englez Hardy, care a trăit în prima jumătate a secolului al XX-lea.

Luând în considerare desenul prezentat în figură și observând schimbarea laturii A, putem scrie următoarea relație pentru incremente infinitezimale cuși A(folosind triunghiuri similare):

Dovada prin metoda infinitezimală

Folosind metoda separării variabilelor, găsim

O expresie mai generală pentru schimbarea ipotenuzei în cazul creșterilor ambelor catete

Integrând această ecuație și folosind condițiile inițiale, obținem

c 2 = A 2 + b 2 + constantă.

Astfel, ajungem la răspunsul dorit

c 2 = A 2 + b 2 .

După cum este ușor de observat, dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma se datorează contribuțiilor independente din incrementul diferitelor catete.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere (în acest caz, piciorul b). Apoi pentru constanta de integrare obținem

Variații și generalizări

Dacă, în loc de pătrate, alte figuri similare sunt construite pe picioare, atunci următoarea generalizare a teoremei lui Pitagora este adevărată: Într-un triunghi dreptunghic, suma ariilor figurilor similare construite pe catete este egală cu aria figurii construite pe ipotenuză.În special:
- Suma ariilor triunghiurilor regulate construite pe catete este egală cu aria unui triunghi regulat construit pe ipotenuză.
- Suma ariilor semicercurilor construite pe picioare (ca și pe diametru) este egală cu aria semicercului construit pe ipotenuză. Acest exemplu este folosit pentru a demonstra proprietățile figurilor delimitate de arce de două cercuri și care poartă numele de lunula hipocratică.

Poveste

Chu-pei 500–200 î.Hr. În stânga este inscripția: suma pătratelor lungimilor înălțimii și baza este pătratul lungimii ipotenuzei.

Cartea antică chineză Chu-pei vorbește despre un triunghi pitagoreic cu laturile 3, 4 și 5: În aceeași carte, este propus un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Baskhara.

Kantor (cel mai mare istoric german al matematicii) crede că egalitatea 3² + 4² = 5² era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e., pe vremea regelui Amenemhet I (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Potrivit lui Cantor, harpedonapții, sau „stringers”, construiau unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile 3, 4 și 5.

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Luați o frânghie de 12 m lungime și legați-o de ea de-a lungul unei benzi colorate la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt. Un unghi drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime. S-ar putea obiecta la Harpedonapts că metoda lor de construcție devine redundantă dacă se folosește, de exemplu, pătratul de lemn folosit de toți dulgherii. Într-adevăr, se cunosc desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene înfățișând un atelier de tâmplărie.

Se cunosc ceva mai multe despre teorema lui Pitagora la babilonieni. Într-un text datând din timpul lui Hammurabi, adică din anul 2000 î.Hr. e., se dă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic. Din aceasta putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri. Bazându-se, pe de o parte, pe nivelul actual de cunoștințe despre matematica egipteană și babiloniană, iar pe de altă parte, pe un studiu critic al surselor grecești, Van der Waerden (un matematician olandez) a concluzionat următoarele:

Literatură

In rusa

Skopets Z. A. Miniaturi geometrice. M., 1990
Yelensky Sh. Pe urmele lui Pitagora. M., 1961
Van der Waerden B.L. Trezirea Științei. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei. M., 1959
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. M., 1982
W. Litzman, „Teorema lui Pitagora” M., 1960.
- Un site despre teorema lui Pitagora cu un număr mare de dovezi, materialul este preluat din cartea lui W. Litzman, un număr mare de desene sunt prezentate ca fișiere grafice separate.
Teorema lui Pitagora și capitolul triplelor lui Pitagora din cartea lui D. V. Anosov „O privire asupra matematicii și ceva din ea”
Despre teorema lui Pitagora și metodele demonstrației sale G. Glaser, Academician al Academiei Ruse de Educație, Moscova

În limba engleză

Teorema lui Pitagora la WolframMathWorld
Cut-The-Knot, secțiune despre teorema lui Pitagora, aproximativ 70 de dovezi și informații suplimentare extinse (ing.)

Fundația Wikimedia. 2010 .

Potrivit lui van der Waerden, este foarte probabil ca raportul în formă generală să fi fost deja cunoscut în Babilon în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.

Aproximativ 400 î.Hr. e., conform lui Proclu, Platon a dat o metodă de găsire a triplelor pitagoreice, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. în „Elementele” lui Euclid a apărut cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora.

Cuvântare

Formularea principală conține operații algebrice - într-un triunghi dreptunghic, ale căror lungimi ale catetelor sunt egale a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b), iar lungimea ipotenuzei este c (\displaystyle c), relația este îndeplinită:

Este posibilă și o formulare geometrică echivalentă, recurgând la conceptul de zonă figura: într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. În această formă, teorema este formulată în Principia lui Euclid.

Teorema inversă a lui Pitagora- afirmația despre dreptunghiularea oricărui triunghi, ale cărui lungimi ale laturilor sunt legate prin relație a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). În consecință, pentru orice triplu de numere pozitive a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)și c (\displaystyle c), astfel încât a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), există un triunghi dreptunghic cu catete a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c).

Dovada de

În literatura științifică au fost înregistrate cel puțin 400 de dovezi ale teoremei lui Pitagora, ceea ce se explică atât prin valoarea fundamentală pentru geometrie, cât și prin elementaritatea rezultatului. Principalele direcții ale demonstrațiilor sunt: utilizarea algebrică a rapoartelor elementelor triunghi (cum ar fi, de exemplu, metoda similară populară), metoda zonei, există și diverse dovezi exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).