Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele, adică. se află pe linii paralele

Proprietățile paralelogramului:
Teorema 22. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
Dovada. Desenați o diagonală AC într-un paralelogram ABCD. Triunghiurile ACD și ACB sunt congruente ca având o latură comună AC și două perechi de unghiuri egale. adiacent acestuia: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (ca unghiuri încrucișate cu drepte paralele AD și BC). Prin urmare, AB=CD și BC=AD ca laturi corespunzătoare ale triunghiurilor egale etc. Egalitatea acestor triunghiuri implică și egalitatea unghiurilor corespunzătoare ale triunghiurilor:
Teorema 23. Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt: ​​∠ A=∠ C și ∠ B=∠ D.
Egalitatea primei perechi provine din egalitatea triunghiurilor ABD și CBD, iar a doua - ABC și ACD.
Teorema 24. Colțurile învecinate ale unui paralelogram, de ex. unghiurile adiacente unei laturi se adaugă până la 180 de grade.
Acest lucru se datorează faptului că sunt colțuri interioare unilaterale.
Teorema 25. Diagonalele unui paralelogram se bisectează în punctul de intersecție.
Dovada. Luați în considerare triunghiurile BOC și AOD. Conform primei proprietăți, AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV și ∠ ОDA=∠ ОВС ca fiind situate peste drepte paralele AD și BC. Prin urmare, triunghiurile BOC și AOD sunt egale ca latură și unghiuri adiacente acestuia. Prin urmare, BO=OD și AO=OC, ca laturile corespunzătoare ale triunghiurilor egale etc.

Caracteristicile paralelogramului
Teorema 26. Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acesta este un paralelogram.
Dovada. Fie patrulaterul ABCD să aibă laturile AD și BC, AB și, respectiv, CD, egale (Fig. 2). Să desenăm diagonala AC. Triunghiul ABC și ACD au trei laturi egale. Atunci unghiurile BAC și DCA sunt egale și, prin urmare, AB este paralel cu CD. Paralelismul laturilor BC și AD rezultă din egalitatea unghiurilor CAD și DIA.
Teorema 27. Dacă unghiurile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acesta este un paralelogram.
Fie ∠ A=∠ C și ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, atunci ∠ A+∠ B=180 o iar laturile AD și BC sunt paralele (pe baza dreptelor paralele). De asemenea, dovedim paralelismul laturilor AB și CD și concluzionăm că ABCD este un paralelogram prin definiție.
Teorema 28. Dacă colțurile adiacente ale patrulaterului, i.e. unghiurile adiacente unei laturi se adaugă până la 180 de grade, atunci este un paralelogram.
Dacă unghiurile interioare unilaterale se adună până la 180 de grade, atunci liniile sunt paralele. Aceasta înseamnă că AB este o pereche de CD și BC este o pereche de AD. Un patrulater se dovedește a fi un paralelogram prin definiție.
Teorema 29. Dacă diagonalele unui patrulater sunt împărțite reciproc în punctul de intersecție în jumătate, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Dovada. Dacă AO=OC, BO=OD, atunci triunghiurile AOD și BOC sunt egale, ca având unghiuri egale (verticale) la vârful O, închise între perechi de laturi egale. Din egalitatea triunghiurilor concluzionăm că AD și BC sunt egale. Laturile AB și CD sunt, de asemenea, egale, iar patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform caracteristicii 1.
Teorema 30. Dacă un patrulater are o pereche de laturi egale, paralele, atunci este un paralelogram.
Fie laturile AB și CD paralele și egale în patrulaterul ABCD. Desenați diagonalele AC și BD. Din paralelismul acestor drepte rezultă egalitatea unghiurilor încrucișate ABO=CDO și BAO=OCD. Triunghiurile ABO și CDO sunt egale în laturi și unghiuri adiacente. Prin urmare, AO=OC, BO=OD, i.e. diagonalele punctului de intersecție sunt împărțite în jumătate și patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform caracteristicii 4.

În geometrie, sunt luate în considerare cazuri speciale de paralelogram.

Sarcina 1. Unul dintre unghiurile paralelogramului este de 65°. Aflați unghiurile rămase ale paralelogramului.

∠C = ∠A = 65° ca unghiuri opuse ale paralelogramului.

∠A + ∠B = 180° ca unghiuri adiacente unei laturi a paralelogramului.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D = ∠B = 115° ca unghiuri opuse ale paralelogramului.

Răspuns: ∠A = ∠C = 65°; ∠B = ∠D = 115°.

Sarcina 2. Suma a două unghiuri ale unui paralelogram este de 220°. Aflați unghiurile paralelogramului.

Deoarece paralelogramul are 2 unghiuri ascuțite egale și 2 unghiuri obtuze egale, ni se dă suma a două unghiuri obtuze, adică. ∠B +∠D = 220°. Atunci ∠В =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° ca unghiuri adiacente unei laturi a paralelogramului, deci ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Atunci ∠C =∠A = 70°.

Răspuns: ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°.

Sarcina 3. Unul dintre unghiurile paralelogramului este de 3 ori celălalt. Aflați unghiurile paralelogramului.

Fie ∠A =x. Atunci ∠B = 3x. Știind că suma unghiurilor unui paralelogram adiacent uneia dintre laturile sale este egală cu 180 °, compunem o ecuație.

x = 180 : 4;

Obținem: ∠A \u003d x \u003d 45 ° și ∠ B \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °.

Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale, deci

∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.

Răspuns: ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.

Sarcina 4. Demonstrați că dacă două laturi ale unui patrulater sunt paralele și egale, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Dovada.

Desenați diagonala BD și luați în considerare Δ ADB și Δ CBD.

AD = BC după condiție. Partea BD este comună. ∠1 = ∠2 ca încrucișare internă sub drepte paralele (prin presupunere) AD și BC și secante BD. Prin urmare, Δ ADB = Δ CBD pe două laturi și unghiul dintre ele (primul criteriu pentru egalitatea triunghiurilor). În triunghiuri congruente, unghiurile corespunzătoare sunt egale, deci ∠3 = ∠4. Și aceste unghiuri sunt transversale interne situate la liniile AB și CD și secante BD. Aceasta implică paralelismul dreptelor AB și CD. Astfel, în patrulaterul ABCD dat, laturile opuse sunt paralele pe perechi, prin urmare, prin definiție, ABCD este un paralelogram, ceea ce trebuia demonstrat.

Sarcina 5. Cele două laturi ale unui paralelogram sunt legate ca 2 : 5, iar perimetrul este de 3,5 m. Aflați laturile paralelogramului.

∙ (AB+AD).

Să notăm o parte cu x. atunci AB = 2x, AD = 5x metri. Știind că perimetrul paralelogramului este de 3,5 m, scriem ecuația:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x=3,5;

x=3,5 : 14;

O parte are 0,25 m. Atunci AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD=5 ∙ 0,25 = 1,25 m.

Examinare.

Perimetrul paralelogramului P ABCD = 2 ∙ (AB+AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Deoarece laturile opuse ale paralelogramului sunt egale, atunci CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Răspuns: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi. Această definiție este deja suficientă, deoarece proprietățile rămase ale unui paralelogram decurg din ea și sunt demonstrate sub formă de teoreme.

Principalele proprietăți ale paralelogramului sunt:

• un paralelogram este un patrulater convex;
• un paralelogram are laturile opuse egale în perechi;
• un paralelogram are unghiuri opuse care sunt egale în perechi;
• diagonalele unui paralelogram sunt bisectate de punctul de intersecție.

Paralelogram - un patrulater convex

Să demonstrăm mai întâi teorema că un paralelogram este un patrulater convex. Un poligon este convex atunci când orice parte a lui este extinsă la o linie dreaptă, toate celelalte laturi ale poligonului vor fi pe aceeași parte a acestei linii drepte.

Să fie dat un paralelogram ABCD, în care AB este latura opusă pentru CD și BC este latura opusă pentru AD. Apoi, din definiția unui paralelogram rezultă că AB || CD, BC || ANUNȚ.

Segmentele paralele nu au puncte comune, nu se intersectează. Aceasta înseamnă că CD se află pe o parte a lui AB. Deoarece segmentul BC conectează punctul B al segmentului AB cu punctul C al segmentului CD, iar segmentul AD conectează alte puncte AB și CD, segmentele BC și AD se află, de asemenea, pe aceeași parte a dreptei AB, unde se află CD. Astfel, toate cele trei laturi - CD, BC, AD - se află pe aceeași parte a lui AB.

În mod similar, se demonstrează că în raport cu celelalte laturi ale paralelogramului, celelalte trei laturi se află pe aceeași parte.

Laturile și unghiurile opuse sunt egale

Una dintre proprietățile unui paralelogram este aceea că într-un paralelogram laturile opuse și unghiurile opuse sunt egale. De exemplu, dacă este dat un paralelogram ABCD, atunci acesta are AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Această teoremă se demonstrează după cum urmează.

Un paralelogram este un patrulater. Deci are două diagonale. Deoarece un paralelogram este un patrulater convex, oricare dintre ele îl împarte în două triunghiuri. Se consideră triunghiurile ABC și ADC în paralelogramul ABCD, obținut prin trasarea diagonalei AC.

Aceste triunghiuri au o latură în comun - AC. Unghiul BCA este egal cu unghiul CAD, la fel ca și verticalele cu paralele BC și AD. Unghiurile BAC și ACD sunt de asemenea egale, la fel ca și unghiurile verticale când AB și CD sunt paralele. Prin urmare, ∆ABC = ∆ADC peste două unghiuri și latura dintre ele.

În aceste triunghiuri, latura AB corespunde laturii CD, iar latura BC corespunde AD. Prin urmare, AB = CD și BC = AD.

Unghiul B corespunde unghiului D, adică ∠B = ∠D. Unghiul A al unui paralelogram este suma a două unghiuri - ∠BAC și ∠CAD. Unghiul C egal este format din ∠BCA și ∠ACD. Deoarece perechile de unghiuri sunt egale între ele, atunci ∠A = ∠C.

Astfel, se demonstrează că într-un paralelogram laturile și unghiurile opuse sunt egale.

Diagonalele tăiate în jumătate

Deoarece un paralelogram este un patrulater convex, are două două diagonale și se intersectează. Să fie dat un paralelogram ABCD, diagonalele sale AC și BD se intersectează într-un punct E. Să considerăm triunghiurile ABE și CDE formate de ele.

Aceste triunghiuri au laturile AB și CD egale cu laturile opuse ale unui paralelogram. Unghiul ABE este egal cu unghiul CDE, deoarece se află pe liniile paralele AB și CD. Din același motiv, ∠BAE = ∠DCE. Prin urmare, ∆ABE = ∆CDE peste două unghiuri și latura dintre ele.

De asemenea, puteți observa că unghiurile AEB și CED sunt verticale și, prin urmare, egale între ele.

Deoarece triunghiurile ABE și CDE sunt egale între ele, la fel și toate elementele lor corespunzătoare. Latura AE a primului triunghi corespunde laturii CE a celui de-al doilea, deci AE = CE. În mod similar, BE = DE. Fiecare pereche de segmente egale formează diagonala paralelogramului. Astfel, se dovedește că diagonalele unui paralelogram sunt bisectate de punctul de intersecție.

Nivel mijlociu

Paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat (2019)

1. Paralelogram

Cuvânt compus „paralelogram”? Și în spatele ei se află o figură foarte simplă.

Ei bine, adică am luat două linii paralele:

Traversat de inca doi:

Și înăuntru - un paralelogram!

Care sunt proprietățile unui paralelogram?

Proprietățile paralelogramului.

Adică, ce poate fi folosit dacă în problemă este dat un paralelogram?

La această întrebare se răspunde prin următoarea teoremă:

Să desenăm totul în detaliu.

Ce face primul punct al teoremei? Și faptul că, dacă AI un paralelogram, atunci neapărat

Al doilea paragraf înseamnă că, dacă există un paralelogram, atunci, din nou, prin toate mijloacele:

Ei bine, și în sfârșit, al treilea punct înseamnă că, dacă AI un paralelogram, atunci fii sigur:

Vedeți ce bogăție de alegere? Ce să folosești în sarcină? Încercați să vă concentrați pe întrebarea sarcinii sau pur și simplu încercați totul pe rând - un fel de „cheie” va fi bine.

Și acum să ne punem o altă întrebare: cum să recunoaștem un paralelogram „în față”? Ce trebuie să se întâmple cu un patrulater pentru ca noi să avem dreptul să-i dăm „titlul” unui paralelogram?

La această întrebare se răspunde prin mai multe semne ale unui paralelogram.

Caracteristicile unui paralelogram.

Atenţie! ÎNCEPE.

Paralelogram.

Atenție: dacă ați găsit cel puțin un semn în problema dvs., atunci aveți exact un paralelogram și puteți folosi toate proprietățile unui paralelogram.

2. Dreptunghi

Nu cred că va fi deloc noutate pentru tine.

Prima întrebare este: este un dreptunghi un paralelogram?

Desigur ca este! La urma urmei, el are - îți amintești, semnul nostru 3?

Și de aici, desigur, rezultă că pentru un dreptunghi, ca pentru orice paralelogram, și, iar diagonalele sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

Dar există un dreptunghi și o proprietate distinctivă.

Proprietate dreptunghi

De ce este această proprietate distinctivă? Pentru că niciun alt paralelogram nu are diagonale egale. Să o formulăm mai clar.

Atenție: pentru a deveni dreptunghi, un patrulater trebuie să devină mai întâi paralelogram, iar apoi să prezinte egalitatea diagonalelor.

3. Diamant

Și din nou întrebarea este: un romb este un paralelogram sau nu?

Cu dreapta completă - un paralelogram, pentru că are și (amintiți-vă semnul nostru 2).

Și din nou, deoarece un romb este un paralelogram, atunci trebuie să aibă toate proprietățile unui paralelogram. Aceasta înseamnă că un romb are unghiuri opuse egale, laturile opuse sunt paralele, iar diagonalele sunt tăiate în două de punctul de intersecție.

Proprietăți romb

Uitate la imagine:

Ca și în cazul unui dreptunghi, aceste proprietăți sunt distinctive, adică pentru fiecare dintre aceste proprietăți, putem concluziona că nu avem doar un paralelogram, ci un romb.

Semne ale unui romb

Și fiți atenți din nou: nu ar trebui să existe doar un patrulater cu diagonale perpendiculare, ci un paralelogram. Asigurați-vă că:

Nu, desigur că nu, deși diagonalele și sunt perpendiculare, iar diagonala este bisectoarea unghiurilor u. Dar ... diagonalele nu se împart, punctul de intersecție la jumătate, prin urmare - NU un paralelogram și, prin urmare, NU un romb.

Adică un pătrat este un dreptunghi și un romb în același timp. Să vedem ce iese din asta.

Este clar de ce? - romb - bisectoarea unghiului A, care este egal cu. Deci se împarte (și de asemenea) în două unghiuri de-a lungul.

Ei bine, este destul de clar: diagonalele dreptunghiului sunt egale; Diagonalele rombului sunt perpendiculare și, în general, diagonalele paralelogramelor sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

NIVEL MIJLOCIU

Proprietățile patrulaterelor. Paralelogram

Proprietățile paralelogramului

Atenţie! Cuvintele " proprietățile paralelogramului» înseamnă că dacă ai o sarcină există paralelogram, atunci pot fi folosite toate următoarele.

Teoremă asupra proprietăților unui paralelogram.

În orice paralelogram:

Să vedem de ce este adevărat, cu alte cuvinte VOM DOVEDĂ teorema.

Deci, de ce este 1) adevărat?

Deoarece este un paralelogram, atunci:

• ca minciuna în cruce
• ca întins peste.

Prin urmare, (pe baza II: și - general.)

Ei bine, o dată, atunci - asta este! - demonstrat.

Dar apropo! Am demonstrat și noi 2)!

De ce? Dar la urma urmei (uita-te la poza), adica si anume pentru ca.

Au mai rămas doar 3).

Pentru a face acest lucru, mai trebuie să desenați o a doua diagonală.

Și acum vedem că - conform semnului II (unghiul și latura „dintre” ele).

Proprietăți dovedite! Să trecem la semne.

Caracteristicile paralelogramului

Amintiți-vă că semnul unui paralelogram răspunde la întrebarea „cum să aflați?” Că figura este un paralelogram.

În pictograme este așa:

De ce? Ar fi bine să înțelegem de ce - este suficient. Dar uite:

Ei bine, ne-am dat seama de ce semnul 1 este adevărat.

Ei bine, asta e și mai ușor! Să desenăm din nou o diagonală.

Care înseamnă:

Și este, de asemenea, ușor. Dar... diferit!

Mijloace, . Wow! Dar, de asemenea - intern unilateral la o secanta!

Prin urmare faptul că înseamnă că.

Și dacă te uiți din cealaltă parte, atunci sunt interne unilaterale la o secantă! Prin urmare.

Vezi ce grozav este?!

Și din nou pur și simplu:

Exact la fel, și.

Fiţi atenți: dacă ai găsit macar un semn de paralelogram în problema ta, atunci ai exact paralelogram și puteți folosi toata lumea proprietățile paralelogramului.

Pentru o claritate completă, priviți diagrama:

Proprietățile patrulaterelor. Dreptunghi.

Proprietăți dreptunghiulare:

Punctul 1) este destul de evident - la urma urmei, semnul 3 () este pur și simplu îndeplinit

Și punctul 2) - foarte important. Deci haideți să dovedim asta

Deci, pe două picioare (și - general).

Ei bine, deoarece triunghiurile sunt egale, atunci și ipotenuzele lor sunt egale.

A demonstrat asta!

Și imaginați-vă, egalitatea diagonalelor este o proprietate distinctivă a unui dreptunghi printre toate paralelogramele. Adică, următoarea afirmație este adevărată

Să vedem de ce?

Deci, (adică unghiurile paralelogramului). Dar încă o dată, amintiți-vă că - un paralelogram și, prin urmare.

Mijloace, . Și, desigur, de aici rezultă că fiecare dintre ele La urma urmei, în suma pe care ar trebui să o dea!

Aici am demonstrat că dacă paralelogram brusc (!) vor fi diagonale egale, atunci aceasta exact un dreptunghi.

Dar! Fiţi atenți! Este vorba despre paralelograme! Nu orice un patrulater cu diagonale egale este un dreptunghi și numai paralelogram!

Proprietățile patrulaterelor. Romb

Și din nou întrebarea este: un romb este un paralelogram sau nu?

Cu dreapta completă - un paralelogram, pentru că are și (Amintiți-vă semnul nostru 2).

Și din nou, deoarece un romb este un paralelogram, trebuie să aibă toate proprietățile unui paralelogram. Aceasta înseamnă că un romb are unghiuri opuse egale, laturile opuse sunt paralele, iar diagonalele sunt tăiate în două de punctul de intersecție.

Dar există și proprietăți speciale. Noi formulăm.

Proprietăți romb

De ce? Ei bine, deoarece un romb este un paralelogram, atunci diagonalele sale sunt împărțite în jumătate.

De ce? Da, de aceea!

Cu alte cuvinte, diagonalele și s-au dovedit a fi bisectoare ale colțurilor rombului.

Ca și în cazul unui dreptunghi, aceste proprietăți sunt distinctiv, fiecare dintre ele este și semnul unui romb.

Semne romb.

De ce este asta? Și uite

Prin urmare, și ambii aceste triunghiuri sunt isoscele.

Pentru a fi un romb, un patrulater trebuie mai întâi să „devină” un paralelogram și apoi să demonstreze deja caracteristica 1 sau caracteristica 2.

Proprietățile patrulaterelor. Pătrat

Adică un pătrat este un dreptunghi și un romb în același timp. Să vedem ce iese din asta.

Este clar de ce? Pătrat - romb - bisectoarea unghiului, care este egală cu. Deci se împarte (și de asemenea) în două unghiuri de-a lungul.

Ei bine, este destul de clar: diagonalele dreptunghiului sunt egale; Diagonalele rombului sunt perpendiculare și, în general, diagonalele paralelogramelor sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

De ce? Ei bine, aplicați teorema lui Pitagora la.

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Proprietățile paralelogramului:

1. Laturile opuse sunt egale: , .
2. Unghiurile opuse sunt: ​​, .
3. Unghiurile dintr-o parte se aduna la: , .
4. Diagonalele sunt împărțite la punctul de intersecție în jumătate: .

Proprietăți dreptunghiulare:

1. Diagonalele unui dreptunghi sunt: ​​.
2. Dreptunghiul este un paralelogram (toate proprietățile unui paralelogram sunt îndeplinite pentru un dreptunghi).

Proprietățile rombului:

1. Diagonalele rombului sunt perpendiculare: .
2. Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale: ; ; ; .
3. Un romb este un paralelogram (toate proprietățile unui paralelogram sunt îndeplinite pentru un romb).

Proprietăți pătrate:

Un pătrat este un romb și un dreptunghi în același timp, prin urmare, pentru un pătrat, toate proprietățile unui dreptunghi și ale unui romb sunt îndeplinite. Precum și.