Lecție pe tema „Inegalități numerice”

Obiective:

• Educațional: introduceți definiția conceptelor „mai mult” și „mai puțin”, inegalitate numerică, învățați cum să le aplicați la demonstrarea inegalităților;
• Dezvoltarea: dezvoltarea capacității de utilizare a cunoștințelor teoretice în rezolvarea problemelor practice, capacitatea de analiză și generalizare a datelor obținute; dezvoltarea interesului cognitiv pentru matematică, lărgirea orizontului;
• Educațional: pentru a forma o motivație pozitivă pentru învățare.

În timpul orelor:

1. Pregătire și motivare.

Astăzi începem să studiem subiectul important și relevant „Inegalitățile numerice”. Dacă schimbăm puțin cuvintele marelui profesor chinez Confucius (a trăit acum mai bine de 2400 de ani), putem formula sarcina lecției noastre: „Aud și uit. Văd și îmi amintesc. Fac și înțeleg.”Să formulăm împreună scopul lecției. (Elevii formulează scopul, profesorul completează).

Să studieze inegalitățile numerice și definirea lor și să învețe cum să le aplice în practică.

În practică, de multe ori trebuie să comparăm cantitățile. De exemplu, zona teritoriului Rusiei ( 17 098 242 ) și zona teritoriului francez ( 547 030 ) , lungimea râului Oka (1500 km) și lungimea râului Don (1870 km).

2.Actualizarea cunoștințelor de bază.

Băieți, să ne amintim tot ce știm despre inegalități.

Băieți, uitați-vă la tablă, comparați:

3,6748 și 3,675 36.5810 și 36.581

și 0,45 5.5 și

15 și -23 115 și -127

Ce este inegalitatea?

Inegalitatea - o relație între numere (sau orice expresie matematică capabilă să ia o valoare numerică) care indică care dintre ele este mai mare sau mai mică decât alta.

Semnele de inegalitate (> ; ‹) au apărut pentru prima dată în 1631, dar conceptul de inegalitate, ca și conceptul de egalitate, a apărut în antichitate. În dezvoltarea gândirii matematice, fără a compara cantități, fără conceptele de „mai mult” și „mai puțin”, a fost imposibil să se ajungă la conceptul de egalitate, identitate, ecuație.

Ce reguli sunt folosite pentru a compara numerele?

a) din două numere pozitive, cel al cărui modul este mai mare este mai mare;

b) dintre două numere negative, cu atât mai mare este cel al cărui modul este mai mic;

c) orice număr negativ este mai mic decât pozitiv;

d) orice număr pozitiv mai mare decât zero;

e) orice număr negativ mai mic decât zero.

Ce regulă este folosită pentru a compara numerele situate pe o linie de coordonate?

(Pe o linie de coordonate, un număr mai mare este reprezentat de un punct situat la dreapta, iar un număr mai mic de un punct situat la stânga.)

Rețineți că, în funcție de tipul specific de numere, am folosit una sau alta metodă de comparație. Nu este confortabil. Ne-ar fi mai ușor să avem un mod universal de comparare a numerelor care să acopere toate cazurile.

3. Învățarea de noi materiale.

Aranjați în ordine crescătoare numerele: 8; 0; -3; -1,5.

Care este cel mai mic număr? Care este cel mai mare număr?

Ce numere pot fi înlocuite cu a și b?

a-b=8

a - b \u003d -3

a - b \u003d -8

a - b \u003d 1,5

a - b = 0

Rețineți că scăderea unui număr mai mic dintr-un număr mai mare are ca rezultat un număr pozitiv; Scăderea unui număr mai mare dintr-un număr mai mic are ca rezultat un număr negativ.

Modul universal de comparare a numerelor se bazează pe definirea inegalităților numerice: Numărul a este mai mare decât numărul b, dacă diferența a - b este un număr pozitiv; numărul a este mai mic decât numărul b dacă diferența a - b este un număr negativ. Rețineți că dacă diferența a – b = 0, atunci numerele a și b sunt egale.

4. Consolidarea materialului nou.

Comparați numerele a și b dacă:

A) a - b \u003d - 0,8 (a este mai mic decât b, deoarece diferența este un număr negativ)

B) a - b \u003d 0 (a \u003d b)

C) a - b = 5, 903 (a este mai mare decât b, deoarece diferența este un număr pozitiv).

Rezolvați cu explicație la tablă nr. 724, 725 (oral), 727 (dacă timpul ne permite), 728 (a, d), 729 (c, d), 730, 732.

5. Rezultatele lecției. D/s.învăța. def. Nr. 726, 728 (a, d), 729 (c, d), 731.

Băieți, astăzi la lecție am repetat materialul studiat anterior despre inegalități și am învățat multe despre inegalități.

1) Ce este „inegalitatea”?

2) Cum se compară două numere?

3) Băieți, ridicați mâna, cine a avut dificultăți la lecție?

Previzualizare:

a) din două numere pozitive, cel al cărui modul este mai mare este mai mare; b) dintre două numere negative, cu atât mai mare este cel al cărui modul este mai mic; c) orice număr negativ este mai mic decât pozitiv; d) orice număr pozitiv mai mare decât zero; e) orice număr negativ mai mic decât zero.

Ce numere pot fi înlocuite cu a și b? a – b = 8 a – b =-3 a – b =- 8 a – b =1,5 a – b = 0 Aranjați în ordine crescătoare: 8; 0; -3; -1,5.

Numărul a este mai mare decât numărul b, dacă diferența a - b este un număr pozitiv; numărul a este mai mic decât numărul b, dacă diferența a - b este un număr negativ. Rețineți că dacă diferența a - b este egală cu 0, atunci numerele a și b sunt egale.

Comparați numerele a și b dacă: A) a - b = - 0,8 B) a - b = 0 C) a - b = 5, 903

Inegalitățile în matematică joacă un rol semnificativ. La școală ne ocupăm în principal de inegalități numerice, cu definiția căreia vom începe acest articol. Și apoi enumerăm și justificăm proprietățile inegalităților numerice, pe care se bazează toate principiile lucrului cu inegalitățile.

Observăm imediat că multe proprietăți ale inegalităților numerice sunt similare. Prin urmare, vom prezenta materialul după aceeași schemă: formulăm proprietatea, dăm justificarea și exemplele acesteia, apoi trecem la următoarea proprietate.

Navigare în pagină.

Inegalități numerice: definiție, exemple

Când am introdus conceptul de inegalitate, am observat că inegalitățile sunt adesea definite prin modul în care sunt scrise. Deci am numit inegalități expresii algebrice semnificative care conțin semne diferite de ≠, mai mici decât<, больше >, mai mic sau egal cu ≤ sau mai mare sau egal cu ≥. Pe baza definiției de mai sus, este convenabil să definiți inegalitatea numerică:

Întâlnirea cu inegalitățile numerice are loc la lecțiile de matematică din clasa I imediat după familiarizarea cu primele numere naturale de la 1 la 9 și familiarizarea cu operația de comparare. Adevărat, acolo ele sunt numite pur și simplu inegalități, omițând definiția de „numeric”. Pentru claritate, nu strica să oferim câteva exemple de cele mai simple inegalități numerice din acea etapă a studiului lor: 1<2 , 5+2>3 .

Și mai departe de numerele naturale, cunoașterea se extinde și la alte tipuri de numere (numere întregi, raționale, reale), se studiază regulile de comparare a acestora, iar acest lucru extinde semnificativ diversitatea de specii a inegalităților numerice: −5> −72, 3> − 0,275 (7−5, 6) , .

Proprietățile inegalităților numerice

În practică, lucrul cu inegalități permite un număr de proprietățile inegalităților numerice. Ele decurg din conceptul de inegalitate introdus de noi. În ceea ce privește numerele, acest concept este dat de următoarea afirmație, care poate fi considerată definiția relațiilor „mai puțin decât” și „mai mare decât” pe mulțimea numerelor (este adesea numită definiția diferenței a inegalității):

Definiție.

• număr a este mai mare decât b dacă și numai dacă diferența a−b este un număr pozitiv;
• numărul a este mai mic decât numărul b dacă și numai dacă diferența a−b este un număr negativ;
• numărul a este egal cu numărul b dacă și numai dacă diferența a−b este egală cu zero.

Această definiție poate fi transformată în definiția mai mic sau egal cu și mai mare decât sau egal cu. Iată formularea acestuia:

Definiție.

• număr a este mai mare sau egal cu b dacă și numai dacă a−b este un număr nenegativ;
• numărul a este mai mic sau egal cu numărul b dacă și numai dacă a − b este un număr nepozitiv.

Vom folosi aceste definiții pentru a demonstra proprietățile inegalităților numerice, pe care acum le vom revizui.

Proprietăți de bază

Începem revizuirea noastră cu trei proprietăți de bază ale inegalităților. De ce sunt esențiale? Pentru că sunt o reflectare a proprietăților inegalităților în sensul cel mai general, și nu doar în raport cu inegalitățile numerice.

Inegalitățile numerice scrise folosind semne< и >, caracteristic:

În ceea ce privește inegalitățile numerice scrise folosind semnele inegalităților nestricte ≤ și ≥, acestea au proprietatea de reflexivitate (mai degrabă decât antireflexivitate), întrucât inegalitățile a≤a și a≥a includ cazul egalității a=a . De asemenea, se caracterizează prin antisimetrie și tranzitivitate.

Deci, inegalitățile numerice scrise cu semnele ≤ și ≥ au următoarele proprietăți:

• reflexivitatea a≥a și a≤a sunt inegalități adevărate;
• antisimetrie, dacă a≤b , atunci b≥a , iar dacă a≥b , atunci b≤a .
• tranzitivitatea, dacă a≤b și b≤c , atunci a≤c , și de asemenea, dacă a≥b și b≥c , atunci a≥c .

Dovada lor este foarte asemănătoare cu cele date deja, așa că nu ne vom opri asupra lor, ci trecem la alte proprietăți importante ale inegalităților numerice.

Alte proprietăți importante ale inegalităților numerice

Să completăm principalele proprietăți ale inegalităților numerice cu o serie de rezultate de mare importanță practică. Metodele de evaluare a valorilor expresiilor se bazează pe acestea, principiile rezolvarea inegalităților etc. Prin urmare, este indicat să te descurci bine cu ei.

În această subsecțiune, vom formula proprietățile inegalităților doar pentru un semn de inegalitate strictă, dar trebuie avut în vedere că proprietăți similare vor fi valabile și pentru semnul opus, precum și pentru semnele de inegalități nestrictive. Să explicăm acest lucru cu un exemplu. Mai jos formulăm și demonstrăm următoarea proprietate a inegalităților: dacă a

• dacă a>b, atunci a+c>b+c;
• dacă a≤b, atunci a+c≤b+c;
• dacă a≥b, atunci a+c≥b+c.

Pentru comoditate, prezentăm proprietățile inegalităților numerice sub forma unei liste, dând în același timp declarația corespunzătoare, scriind-o formal folosind litere, dând o dovadă și apoi arătând exemple de utilizare. Și la sfârșitul articolului vom rezuma toate proprietățile inegalităților numerice într-un tabel. Merge!

Adăugarea (sau scăderea) oricărui număr de ambele părți ale unei inegalități numerice adevărate dă o inegalitate numerică adevărată. Cu alte cuvinte, dacă numerele a și b sunt astfel încât a

Pentru a demonstra acest lucru, să compunem diferența dintre părțile din stânga și din dreapta ultimei inegalități numerice și să arătăm că este negativă în condiția a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Deoarece prin condiția a

Nu ne oprim pe demonstrarea acestei proprietăți a inegalităților numerice pentru scăderea numărului c, întrucât pe mulțimea numerelor reale scăderea poate fi înlocuită prin adăugarea −c .

De exemplu, dacă adăugați numărul 15 la ambele părți ale inegalității numerice corecte 7>3, atunci obțineți inegalitatea numerică corectă 7+15>3+15, care este aceeași, 22>18.

Dacă ambele părți ale inegalității numerice corecte sunt înmulțite (sau împărțite) cu același număr pozitiv c, atunci se va obține inegalitatea numerică corectă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite (sau împărțite) cu un număr negativ c, iar semnul inegalității este inversat, atunci se va obține inegalitatea corectă. În formă literală: dacă numerele a și b satisfac inegalitatea a bc.

Dovada. Să începem cu cazul când c>0 . Alcătuiți diferența dintre părțile din stânga și din dreapta inegalității numerice care se dovedește: a·c−b·c=(a−b)·c . Deoarece prin condiția a 0 , atunci produsul (a−b) c va fi un număr negativ ca produsul dintre un număr negativ a−b și un număr pozitiv c (care decurge din ). Prin urmare, a c−b c<0 , откуда a·c

Nu ne oprim asupra demonstrației proprietății considerate pentru împărțirea ambelor părți ale unei inegalități numerice adevărate la același număr c, deoarece împărțirea poate fi întotdeauna înlocuită cu înmulțirea cu 1/c.

Să arătăm un exemplu de aplicare a proprietății analizate la numere concrete. De exemplu, puteți ambele părți ale inegalității numerice corecte 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Din proprietatea tocmai examinată de a înmulți ambele părți ale unei egalități numerice cu un număr, urmează două rezultate practic valoroase. Așa că le formulăm sub formă de corolare.

Toate proprietățile discutate mai sus în acest paragraf sunt unite de faptul că la început se dă o inegalitate numerică corectă, iar din aceasta, prin unele manipulări cu părțile inegalității și semnului, se obține o altă inegalitate numerică corectă. Acum vom da un bloc de proprietăți în care nu sunt date inițial una, ci mai multe inegalități numerice corecte și se obține un nou rezultat din utilizarea lor comună după adăugarea sau înmulțirea părților lor.

Dacă pentru numerele a , b , c și d inegalitățile a

Să demonstrăm că (a+c)−(b+d) este un număr negativ, aceasta va demonstra că a+c

Prin inducție, această proprietate se extinde la adăugarea termen cu termen a trei, patru și, în general, la orice număr finit de inegalități numerice. Deci, dacă pentru numere a 1 , a 2 , …, a n și b 1 , b 2 , …, b n inegalități a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

De exemplu, ni se dau trei inegalități numerice corecte de același semn −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Puteți înmulți inegalitățile numerice termen cu termen de același semn, ambele părți ale cărora sunt reprezentate prin numere pozitive. În special, pentru două inegalități a

Pentru a demonstra acest lucru, putem înmulți ambele părți ale inegalității a

Această proprietate este valabilă și pentru înmulțirea oricărui număr finit de inegalități numerice valide cu părți pozitive. Adică dacă a 1 , a 2 , …, a n și b 1 , b 2 , …, b n sunt numere pozitive și a 1 a 1 a 2 ... a n .

Separat, este de remarcat faptul că, dacă notația inegalităților numerice conține numere nepozitive, atunci înmulțirea lor termen cu termen poate duce la inegalități numerice incorecte. De exemplu, inegalitățile numerice 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• Consecinţă. Înmulțirea termen cu termen a inegalităților adevărate identice de forma a

În încheierea articolului, așa cum am promis, vom colecta toate proprietățile studiate în tabelul de proprietăți al inegalităților numerice:

Bibliografie.

• Moro M.I.. Matematică. Proc. pentru 1 cl. din timp şcoală La 2 p. Partea 1. (Primul semestru) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova.- ed. a VI-a. - M.: Iluminismul, 2006. - 112 p.: ill. + Ap. (2 separate l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematică: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Subiectul lecției:

Inegalități numerice.

Algebră clasa a 8-a

Obiective:

• repetați regulile pentru compararea diferitelor numere;
• să consolideze conceptele de „mai puțin” și „mai mult”;
• familiarizați-vă cu metoda de comparare a oricăror numere și expresii literale;
• învață cum să folosești metoda comparației atunci când faci exerciții

Comparați numerele:

11 și -13 7 și 2

munca orală

, =

17 -3 -17-(-3) 0

11,5 13,6 11,5-13,6 0

Concluzie: Dacă a b, apoi a - b 0.

• Și invers, dacă a - b 0, apoi a 0.

b, atunci a - b 0. În schimb, dacă a - b 0, atunci a b "width="640"

munca orală

Compara numerele. Comparați valoarea diferenței acestor numere cu zero. , =

0,7 0,03 0,7-0,03 0

• Concluzie: dacă a b, atunci a - b 0.
• Și, invers, dacă a - b 0, atunci a b

munca orală

Compara numerele. Comparați valoarea diferenței acestor numere cu zero. , =

Concluzie: Dacă a = b, apoi a - b = 0.

Și invers, dacă a - b = 0, apoi a = b.

Comparați numerele a și b dacă:

a - b \u003d - 0,07, apoi a b

a – b = 0, apoi a b

a - b \u003d 11,5, apoi a b

Se știe că a b.

Diferența a - b poate fi exprimată prin numărul 7,15? -12? 0?

O modalitate de a compara orice numere

Număr a mai mult b dacă diferența a - b este un număr pozitiv

Număr a mai mic decât b dacă diferența a - b - un număr negativ

Metoda de comparare a numărului

Pentru a compara două numere, aveți nevoie de:

• găsiți diferența lor;
• comparați diferența cu zero;
• trage o concluzie.

Lucrul cu manualul

№ 726,

№ 730,

№ 731.

Reflecţie

Când este primul număr mai mic decât al doilea?

Când este primul număr mai mare decât al doilea?

Când este primul număr egal cu al doilea?

Formulați o modalitate de a compara numerele (expresii cu litere).

• Sunt multumit de lectie, mi-a placut foarte mult.

• Mi-a plăcut lecția, dar există lacune în cunoștințele mele.

• Nu sunt multumit de lectie, nu am inteles nimic si nu stiu sa rezolv exemple.

Teme pentru acasă

punctul 28. definit; nr. 728,

Inegalitate este o notație în care numerele, variabilele sau expresiile sunt legate printr-un semn<, >, sau . Adică, inegalitatea poate fi numită o comparație de numere, variabile sau expresii. Semne < , > , ⩽ și ⩾ numit semne de inegalitate.

Tipuri de inegalități și modul în care sunt citite:

După cum se poate observa din exemple, toate inegalitățile constau din două părți: stânga și dreapta, conectate prin unul dintre semnele de inegalitate. În funcție de semnul care leagă părțile inegalităților, acestea sunt împărțite în stricte și nestrictive.

Inegalități stricte- inegalități ale căror părți sunt legate printr-un semn< или >. Inegalități nestricte- inegalități ale căror părți sunt legate prin semn sau .

Luați în considerare regulile de bază ale comparației în algebră:

• Orice număr pozitiv mai mare decât zero.
• Orice număr negativ este mai mic decât zero.
• Dintre două numere negative, cel cu valoarea absolută mai mică este mai mare. De exemplu, -1 > -7.
• Ași b pozitiv:

  A - b > 0,

  Acea A Mai mult b (A > b).

• Dacă diferenţa a două numere inegale Ași b negativ:

  A - b < 0,

  Acea A mai mici b (A < b).

• Dacă numărul este mai mare decât zero, atunci este pozitiv:

  A> 0 înseamnă A este un număr pozitiv.

• Dacă numărul este mai mic decât zero, atunci este negativ:

  A < 0, значит A- un număr negativ.

Inegalități echivalente- inegalități care sunt o consecință a unei alte inegalități. De exemplu, dacă A mai mici b, apoi b Mai mult A:

A < bși b > A- inegalități echivalente

Proprietățile inegalităților

1. Dacă se adaugă același număr la ambele părți ale inegalității sau se scade același număr din ambele părți, atunci se va obține o inegalitate echivalentă, adică

   dacă A > b, apoi A + c > b + c și A - c > b - c

   De aici rezultă că este posibil să se transfere termenii inegalității dintr-o parte în alta cu semnul opus. De exemplu, adăugarea la ambele părți ale inegalității A - b > c - d pe d, primim:

   A - b > c - d

   A - b + d > c - d + d

   A - b + d > c

2. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv, atunci se va obține o inegalitate echivalentă, adică
3. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr negativ, atunci se va obține inegalitatea opusă celui dat, adică la înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale inegalității cu un număr negativ, semnul inegalității. trebuie schimbat la invers.

   Această proprietate poate fi folosită pentru a schimba semnele tuturor termenilor unei inegalități prin înmulțirea ambelor părți cu -1 și inversând semnul inegalității:

   -A + b > -c

   (-A + b) · -unu< (-c) · -unu

   A - b < c

   Inegalitate -A + b > -c este echivalent cu inegalitatea A - b < c