Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.
de exemplu:
Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;
Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.
Numerele cu care numărul este divizibil (pentru 12 este 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural A este numărul natural care împarte numărul dat A fără urmă. Se numește un număr natural care are mai mult de doi factori compozit .
Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun al acestor două numere Ași b este numărul cu care ambele numere date sunt divizibile fără rest Ași b.
multiplu comun mai multe numere se numește numărul care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. de exemplu, numerele 9, 18 și 45 au un multiplu comun al lui 180. Dar 90 și 360 sunt și multiplii lor comuni. Dintre toți multiplii comuni, există întotdeauna cel mai mic, în acest caz este 90. Acest număr se numește cel mai puţinmultiplu comun (LCM).
LCM este întotdeauna un număr natural, care trebuie să fie mai mare decât cel mai mare dintre numerele pentru care este definit.
Cel mai mic multiplu comun (LCM). Proprietăți.
Comutativitate:
Asociativitate:
În special, dacă și sunt numere coprime, atunci:
Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi mși n este un divizor al tuturor celorlalți multipli comuni mși n. Mai mult, setul multiplilor comuni m,n coincide cu setul de multipli pentru LCM( m,n).
Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor.
Asa de, Funcția Cebyshev. Precum și:
Aceasta rezultă din definiția și proprietățile funcției Landau g(n).
Ce rezultă din legea distribuției numerelor prime.
Găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).
NOC( a, b) poate fi calculată în mai multe moduri:
1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun, puteți folosi relația acestuia cu LCM:
2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi:
Unde p 1,...,p k sunt diverse numere prime și d 1 ,...,dkși e 1 ,...,ek sunt numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune).
Apoi LCM ( A,b) se calculează prin formula:
Cu alte cuvinte, expansiunea LCM conține toți factorii primi care sunt incluși în cel puțin una dintre expansiunile numerice a, b, iar cel mai mare dintre cei doi exponenți ai acestui factor este luat.
Exemplu:
Calculul celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi redus la mai multe calcule succesive ale LCM a două numere:
Regulă. Pentru a găsi LCM a unei serii de numere, aveți nevoie de:
- descompune numerele în factori primi;
- transferați cea mai mare expansiune la factorii produsului dorit (produsul factorilor celui mai mare număr dintre cei dați), apoi adăugați factori din expansiunea altor numere care nu apar în primul număr sau sunt în el un număr mai mic de ori;
- produsul rezultat al factorilor primi va fi LCM al numerelor date.
Orice două sau mai multe numere naturale au propriul lor LCM. Dacă numerele nu sunt multipli unul celuilalt sau nu au aceiași factori în expansiune, atunci LCM lor este egal cu produsul acestor numere.
Factorii primi ai numărului 28 (2, 2, 7) au fost completați cu un factor de 3 (numărul 21), produsul rezultat (84) va fi cel mai mic număr care este divizibil cu 21 și 28.
Factorii primi ai celui mai mare număr 30 au fost completați cu un factor de 5 al numărului 25, produsul rezultat 150 este mai mare decât cel mai mare număr 30 și este divizibil cu toate numerele date fără rest. Acesta este cel mai mic produs posibil (150, 250, 300...) al cărui multipli sunt toate numerele date.
Numerele 2,3,11,37 sunt prime, deci LCM lor este egal cu produsul numerelor date.
regulă. Pentru a calcula LCM a numerelor prime, trebuie să înmulțiți toate aceste numere împreună.
Altă opțiune:
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere aveți nevoie de:
1) reprezentați fiecare număr ca produs al factorilor primi, de exemplu:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7,
2) notează puterile tuturor factorilor primi:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,
3) notează toți divizorii primi (multiplicatorii) fiecăruia dintre aceste numere;
4) alege cel mai mare grad al fiecăreia dintre ele, găsit în toate expansiunile acestor numere;
5) înmulțiți aceste puteri.
Exemplu. Găsiți LCM al numerelor: 168, 180 și 3024.
Decizie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,
180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .
Scriem cele mai mari puteri ale tuturor divizorilor primi și le înmulțim:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Cum să găsiți LCM (cel mai mic multiplu comun)
Un multiplu comun a două numere întregi este un număr întreg care este divizibil egal cu ambele numere date fără rest.Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi este cel mai mic dintre toate numerele întregi care este egal și fără rest divizibil cu ambele numere date.
Metoda 1. Puteți găsi LCM, pe rând, pentru fiecare dintre numerele date, notând în ordine crescătoare toate numerele care se obțin prin înmulțirea lor cu 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Exemplu pentru numerele 6 și 9.
Înmulțim numărul 6, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 6, 12, 18
, 24, 30
Înmulțim numărul 9, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 9, 18
, 27, 36, 45
După cum puteți vedea, LCM pentru numerele 6 și 9 va fi 18.
Această metodă este convenabilă atunci când ambele numere sunt mici și este ușor să le înmulțiți cu o succesiune de numere întregi. Cu toate acestea, există cazuri în care trebuie să găsiți LCM pentru numere cu două sau trei cifre și, de asemenea, când există trei sau chiar mai multe numere inițiale.
Metoda 2. Puteți găsi LCM prin descompunerea numerelor originale în factori primi.
După descompunere, este necesar să tăiați aceleași numere din seria rezultată de factori primi. Numerele rămase ale primului număr vor fi factorul pentru al doilea, iar numerele rămase ale celui de-al doilea număr vor fi factorul pentru primul.
Exemplu pentru numărul 75 și 60.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori primi:
75 = 3
* 5
* 5 și
60 = 2 * 2 * 3
* 5
.
După cum puteți vedea, factorii 3 și 5 apar în ambele rânduri. Din punct de vedere mental îi „tașăm”.
Să notăm factorii rămași incluși în extinderea fiecăruia dintre aceste numere. La descompunerea numărului 75, am lăsat numărul 5, iar la descompunerea numărului 60, am lăsat 2 * 2
Deci, pentru a determina LCM pentru numerele 75 și 60, trebuie să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 75 (acesta este 5) cu 60 și numerele rămase din extinderea numărului 60 (acesta este 2 * 2). ) înmulțim cu 75. Adică, pentru ușurință de înțelegere, spunem că înmulțim „în cruce”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Așa am găsit LCM pentru numerele 60 și 75. Acesta este numărul 300.
Exemplu. Determinați LCM pentru numerele 12, 16, 24
În acest caz, acțiunile noastre vor fi ceva mai complicate. Dar, mai întâi, ca întotdeauna, descompunem toate numerele în factori primi
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pentru a determina corect LCM, selectăm cel mai mic dintre toate numerele (acesta este numărul 12) și parcurgem succesiv factorii săi, tăindu-i dacă cel puțin unul dintre celelalte rânduri de numere are același factor care nu a fost încă încrucișat. afară.
Pasul 1 . Vedem că 2 * 2 apare în toate seriile de numere. Le tăiem.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Pasul 2. În factorii primi ai numărului 12 rămâne doar numărul 3. Dar este prezent în factorii primi ai numărului 24. Tăiem numărul 3 de pe ambele rânduri, în timp ce nu se așteaptă nicio acțiune pentru numărul 16 .
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
După cum puteți vedea, la descompunerea numărului 12, am „barat” toate numerele. Deci constatarea NOC este finalizată. Rămâne doar să-i calculăm valoarea.
Pentru numărul 12, luăm factorii rămași din numărul 16 (cel mai apropiat în ordine crescătoare)
12 * 2 * 2 = 48
Acesta este NOC
După cum puteți vedea, în acest caz, găsirea LCM-ului a fost oarecum mai dificilă, dar atunci când trebuie să-l găsiți pentru trei sau mai multe numere, această metodă vă permite să o faceți mai rapid. Cu toate acestea, ambele moduri de a găsi LCM sunt corecte.
Definiție. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun (mcd) aceste numere.
Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 vor fi numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 vor fi numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc coprime.
Definiție. Se numesc numerele naturale coprime dacă cel mai mare divizor comun al lor (mcd) este 1.
Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.
Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi ștergem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică, doi doi).
Rămân factorii 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.
A găsi cel mai mare divizor comun
2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.
Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al lui 15, 45, 75 și 180 este 15, deoarece împarte toate celelalte numere: 45, 75 și 180.
Cel mai mic multiplu comun (LCM)
Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori simpli: 75 \u003d 3 * 5 * 5 și 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Să scriem factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică, combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.
Găsiți, de asemenea, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.
La găsiți cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) descompuneți-le în factori primi;
2) scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.
Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al lui 12, 15, 20 și 60 ar fi 60, deoarece este divizibil cu toate numerele date.
Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine), ei au numit număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoreicii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33 550 336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar până acum, oamenii de știință nu știu dacă există numere perfecte impare, dacă există cel mai mare număr perfect.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai rare. Se pune întrebarea: există ultimul (cel mai mare) număr prim? Vechiul matematician grec Euclid (sec. III î.Hr.), în cartea sa „Începuturi”, care timp de două mii de ani a fost principalul manual de matematică, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un par număr prim mai mare.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratostene, a venit cu o astfel de metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unitatea, care nu este nici un număr prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele de după 2 (numerele care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele de după 3 au fost tăiate (numerele care sunt multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.). în cele din urmă, doar numerele prime au rămas nebarite.
Elevii primesc o mulțime de teme de matematică. Printre acestea, de foarte multe ori există sarcini cu următoarea formulare: există două valori. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor date? Este necesar să puteți îndeplini astfel de sarcini, deoarece abilitățile dobândite sunt folosite pentru a lucra cu fracții cu numitori diferiți. În articol, vom analiza cum să găsim LCM și conceptele de bază.
Înainte de a găsi răspunsul la întrebarea cum să găsiți LCM, trebuie să definiți termenul multiplu. Cel mai adesea, formularea acestui concept este următoarea: un multiplu al unei valori A este un număr natural care va fi divizibil cu A fără rest. Deci, pentru 4, 8, 12, 16, 20 și așa mai departe, până la limita necesară.
În acest caz, numărul de divizori pentru o anumită valoare poate fi limitat și există infiniti multipli. Există, de asemenea, aceeași valoare pentru valorile naturale. Acesta este un indicator care este împărțit de ei fără rest. După ce ne-am ocupat de conceptul de cea mai mică valoare pentru anumiți indicatori, să trecem la cum să o găsim.
Găsirea NOC
Cel mai mic multiplu de doi sau mai mulți exponenți este cel mai mic număr natural care este complet divizibil cu toate numerele date.
Există mai multe modalități de a găsi o astfel de valoare. Să luăm în considerare următoarele metode:
- Dacă numerele sunt mici, atunci scrieți în linie toate divizibile cu ea. Continuați să faceți asta până când găsiți ceva în comun între ei. În înregistrare, ele sunt notate cu litera K. De exemplu, pentru 4 și 3, cel mai mic multiplu este 12.
- Dacă acestea sunt mari sau trebuie să găsiți un multiplu pentru 3 sau mai multe valori, atunci ar trebui să utilizați o tehnică diferită aici, care implică descompunerea numerelor în factori primi. Mai întâi, așezați cel mai mare dintre cei indicați, apoi toate celelalte. Fiecare dintre ele are propriul său număr de multiplicatori. De exemplu, să descompunăm 20 (2*2*5) și 50 (5*5*2). Pentru cei mai mici dintre ei, subliniază factorii și adaugă la cei mai mari. Rezultatul va fi 100, care va fi cel mai mic multiplu comun al numerelor de mai sus.
- La găsirea a 3 numere (16, 24 și 36) principiile sunt aceleași ca și pentru celelalte două. Să extindem fiecare dintre ele: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Doar doi doi din extinderea numărului 16 nu au fost incluse în descompunerea celor mai mari.Le adunăm și obținem 144, care este cel mai mic rezultat pentru valorile numerice indicate anterior.
Acum știm care este tehnica generală pentru găsirea celei mai mici valori pentru două, trei sau mai multe valori. Cu toate acestea, există și metode private, ajutând la căutarea NOC-urilor, dacă cele anterioare nu ajută.
Cum să găsiți GCD și NOC.
Modalități private de a găsi
Ca și în cazul oricărei secțiuni matematice, există cazuri speciale de găsire a LCM-urilor care ajută în situații specifice:
- dacă unul dintre numere este divizibil cu celelalte fără rest, atunci cel mai mic multiplu al acestor numere este egal cu acesta (NOC 60 și 15 este egal cu 15);
- Numerele coprime nu au divizori primi comuni. Cea mai mică valoare a acestora este egală cu produsul acestor numere. Astfel, pentru numerele 7 și 8, acesta va fi 56;
- aceeași regulă funcționează și pentru alte cazuri, inclusiv cele speciale, despre care se poate citi în literatura de specialitate. Aceasta ar trebui să includă și cazurile de descompunere a numerelor compuse, care fac obiectul unor articole separate și chiar al lucrărilor de doctorat.
Cazurile speciale sunt mai puțin frecvente decât exemplele standard. Dar datorită lor, puteți învăța cum să lucrați cu fracții de diferite grade de complexitate. Acest lucru este valabil mai ales pentru fracții., unde există numitori diferiți.
Cateva exemple
Să ne uităm la câteva exemple, datorită cărora puteți înțelege principiul găsirii celui mai mic multiplu:
- Găsim LCM (35; 40). Așezăm mai întâi 35 = 5*7, apoi 40 = 5*8. Adăugăm 8 la cel mai mic număr și obținem NOC 280.
- NOC (45; 54). Așezăm fiecare dintre ele: 45 = 3*3*5 și 54 = 3*3*6. Adăugăm numărul 6 la 45. Obținem NOC egal cu 270.
- Ei bine, ultimul exemplu. Există 5 și 4. Nu există multipli simpli pentru ei, așa că cel mai mic multiplu comun în acest caz va fi produsul lor, egal cu 20.
Datorită exemplelor, puteți înțelege cum este localizat NOC, care sunt nuanțele și care este sensul unor astfel de manipulări.
Găsirea NOC este mult mai ușoară decât ar părea la început. Pentru aceasta, se folosesc atât o descompunere simplă, cât și multiplicarea valorilor simple una cu cealaltă.. Capacitatea de a lucra cu această secțiune a matematicii ajută la studiul ulterioar al subiectelor matematice, în special al fracțiunilor de diferite grade de complexitate.
Nu uitați să rezolvați periodic exemple cu diferite metode, acest lucru dezvoltă aparatul logic și vă permite să vă amintiți numeroși termeni. Învață metode pentru a găsi un astfel de indicator și vei putea lucra bine cu restul secțiunilor matematice. Învățare fericită la matematică!
Video
Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți și să vă amintiți cum să găsiți cel mai mic multiplu comun.
Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și acordați o atenție deosebită rezolvării exemplelor. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculului LCM a numerelor negative.
Navigare în pagină.
Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd
O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă dintre LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: MCM(a, b) . Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.
Exemplu.
Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.
Decizie.
În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim relația dintre LCM și GCD exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere după formula scrisă.
Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .
Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126; 70)=126 70: MCM(126; 70)= 126 70:14=630.
Răspuns:
LCM(126, 70)=630.
Exemplu.
Ce este LCM(68, 34)?
Decizie.
La fel de 68 este divizibil egal cu 34 , apoi mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.
Răspuns:
LCM(68, 34)=68 .
Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.
Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi
O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
Din egalitate rezultă regula anunțată pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, mcd(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descrisă în secțiunea despre găsirea mcd folosind descompunerea numerelor în factori primi). ).
Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 210, adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Exemplu.
După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
Decizie.
Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:
Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .
Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Prin urmare, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Răspuns:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din descompunerea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..
De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din descompunerea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din descompunerea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).
Exemplu.
Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 și 648.
Decizie.
Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din descompunerea numărului 84 adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din descompunerea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.
Răspuns:
LCM(84, 648)=4 536 .
Găsirea LCM a trei sau mai multe numere
Cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.
Teorema.
Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește în calculul secvenţial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a). 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.
Exemplu.
Aflați LCM a celor patru numere 140, 9, 54 și 250.
Decizie.
În acest exemplu a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Mai întâi găsim m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1260. Adică m2 =1 260 .
Acum găsim m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.
Rămas de găsit m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, de unde mcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.
Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.
Răspuns:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, trebuie respectată următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.
Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.
Exemplu.
Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Decizie.
Mai întâi, obținem expansiunile acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 factori primi) și 143=11 13 .
Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7 ) trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . În plus față de factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .
