Un paralelipiped dreptunghiular (PP) nu este altceva decât o prismă, a cărei bază este un dreptunghi. În PP, toate diagonalele sunt egale, ceea ce înseamnă că oricare dintre diagonalele sale este calculată prin formula:

• a, spre baza PP;

  cu înălțimea lui.

O altă definiție poate fi dată, având în vedere sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian:

Diagonala PP este vectorul rază al oricărui punct din spațiu dat de coordonatele x, y și z în sistemul de coordonate carteziene. Acest vector rază până la punct este desenat de la origine. Și coordonatele punctului vor fi proiecțiile vectorului rază (diagonala PP) pe axele de coordonate. Proiecțiile coincid cu vârfurile paralelipipedului dat.



Un cuboid este un tip de poliedru format din 6 fețe, la baza cărora se află un dreptunghi. O diagonală este un segment de dreaptă care leagă vârfuri opuse ale unui paralelogram.

Formula pentru găsirea lungimii unei diagonale este aceea că pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale paralelogramului.



Am găsit un tabel de schemă bun pe Internet cu o listă completă a tot ceea ce este în paralelipiped. Există o formulă pentru a găsi diagonala care se notează cu d.

Există o imagine a unei fețe, un vârf și alte lucruri importante pentru cutie.



Dacă lungimea, înălțimea și lățimea (a,b,c) ale unui cuboid sunt cunoscute, atunci formula de calcul a diagonalei va arăta astfel:



De obicei, profesorii nu oferă elevilor lor naked formula, dar depune eforturi astfel încât să o poată deriva în mod independent punând întrebări principale:

• ce trebuie să știm, ce date avem?
• Care sunt proprietățile unui paralelipiped dreptunghiular?
• Teorema lui Pitagora se aplică aici? Cum?
• Există suficiente date pentru a aplica teorema lui Pitagora sau avem nevoie de mai multe calcule?

De obicei, după ce răspund la întrebările puse, elevii obțin ușor această formulă singuri.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale. La fel și diagonalele fețelor sale opuse. Lungimea diagonalei poate fi calculată cunoscând lungimea muchiilor paralelogramului care emană dintr-un vârf. Această lungime este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor lungimilor nervurilor sale.



Un cuboid este unul dintre așa-numitele poliedre, care constă din 6 fețe, fiecare fiind dreptunghi. O diagonală este un segment de dreaptă care leagă vârfuri opuse ale unui paralelogram. Dacă lungimea, lățimea și înălțimea unei casete dreptunghiulare sunt luate ca a, b, respectiv c, atunci formula pentru diagonala sa (D) va arăta astfel: D^2=a^2+b^2+c^2 .



Diagonala unui cuboid este un segment de dreaptă care leagă vârfurile sale opuse. Deci avem cuboid cu diagonala d și laturile a, b, c. Una dintre proprietățile unui paralelipiped este că un pătrat lungimea diagonalei d este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni a, b, c. De aici concluzia că lungimea diagonalei poate fi calculat cu ușurință folosind următoarea formulă:



De asemenea:

Cum se află înălțimea unui paralelipiped?

• Pătrat în diagonală, un cuboid pătrat (vezi proprietățile unui cuboid pătrat) este egal cu suma pătratelor celor trei laturi ale sale diferite (lățime, înălțime, grosime) și, în consecință, diagonala unui cuboid pătrat este egală cu rădăcina lui această sumă.

  Îmi amintesc de programa școlară în geometrie, puteți spune așa: diagonala unui paralelipiped este egală cu rădăcina pătrată obținută din suma celor trei laturi ale sale (se notează cu litere mici a, b, c).

  Lungimea diagonalei unei prisme dreptunghiulare este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor laturilor sale.

  Din câte știu din programa școlară, clasa a 9-a, dacă nu mă înșel, și dacă memoria servește, atunci diagonala unui paralelipiped dreptunghiular este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor celor trei laturi ale sale.

  pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor lățimii, înălțimii și lungimii, pe baza acestei formule obținem răspunsul, diagonala este egală cu rădăcina pătrată a sumei celor trei dimensiuni diferite ale sale, ele notează cu literele nсz abc

Instruire

Metoda 2 Să presupunem că cuboidul este un cub. Un cub este un paralelipiped dreptunghic cu fiecare față reprezentată de un pătrat. Prin urmare, toate laturile sale sunt egale. Apoi, pentru a calcula lungimea diagonalei sale, aceasta va fi exprimată după cum urmează:

Surse:

• formula diagonală dreptunghi

Un paralelipiped este un caz special al unei prisme în care toate cele șase fețe sunt paralelograme sau dreptunghiuri. Un paralelipiped cu fețe dreptunghiulare este numit și dreptunghiular. Un paralelipiped are patru diagonale care se intersectează. Dacă sunt date trei muchii a, b, c, puteți găsi toate diagonalele unui paralelipiped dreptunghic realizând construcții suplimentare.

Instruire

Aflați diagonala paralelipipedului m. Pentru a face acest lucru, în a, n, m, găsiți ipotenuza necunoscută: m² = n² + a². Introduceți valorile cunoscute, apoi calculați rădăcina pătrată. Rezultatul obținut va fi prima diagonală a paralelipipedului m.

În mod similar, desenați succesiv toate celelalte trei diagonale ale paralelipipedului. De asemenea, pentru fiecare dintre ele, efectuați construcția suplimentară a diagonalelor fețelor adiacente. Luând în considerare triunghiurile dreptunghice formate și aplicând teorema lui Pitagora, găsiți valorile diagonalelor rămase.

Videoclipuri asemănătoare

Surse:

• găsirea unui paralelipiped

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept. Picioarele sunt laturile unui triunghi adiacente unui unghi drept. În ceea ce privește triunghiurile ABC și ACD: AB și BC, AD și DC–, AC este ipotenuza comună pentru ambele triunghiuri (cel dorit diagonală). Prin urmare, AC = AB pătrat + BC pătrat, sau AC B = AD pătrat + DC pătrat. Conectați lungimile părților laterale dreptunghiîn formula de mai sus și calculați lungimea ipotenuzei (diagonală dreptunghi).

De exemplu, laturi dreptunghi ABCD sunt egale cu următoarele valori: AB = 5 cm și BC = 7 cm. Pătratul diagonalei AC a unui dat dreptunghi conform teoremei lui Pitagora: AC pătrat \u003d AB pătrat + BC pătrat \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 sq. cm. Folosește un calculator pentru a calcula rădăcina pătrată a lui 74. Ar trebui să ajungi cu 8,6 cm (rotunjit în sus). Rețineți că una dintre proprietăți dreptunghi, diagonalele sale sunt egale. Deci lungimea celei de-a doua diagonale BD dreptunghi ABCD este egală cu lungimea diagonalei AC. Pentru exemplul de mai sus, această valoare

În geometrie se disting următoarele tipuri de paralelipiped: paralelipiped dreptunghiular (dreptunghiurile acționează ca fețe ale paralelipipedului); un paralelipiped drept (fețele sale laterale acționează ca dreptunghiuri); paralelipiped înclinat (fețele sale laterale acționează ca perpendiculare); cubul este un paralelipiped cu exact aceleași dimensiuni, iar fețele cubului sunt pătrate. Paralelepipedele pot fi fie oblice, fie drepte.

Elementele de bază ale unui paralelipiped sunt că două fețe ale unei figuri geometrice date care nu au o muchie comună sunt opuse, iar cele care o au sunt adiacente. Vârfurile cutiei care nu aparțin aceleiași fețe sunt opuse unul altuia. Paralepipedul are o dimensiune - acestea sunt trei muchii care au un vârf comun.

Un segment de linie care leagă vârfuri opuse se numește diagonală. Cele patru diagonale ale paralelipipedului, care se intersectează într-un punct, sunt simultan împărțite în jumătate.

Pentru a determina diagonala unui paralelipiped, este necesar să se determine laturile și marginile, care sunt cunoscute din starea problemei. Cu trei margini cunoscute DAR , LA , Cu trageți o diagonală în paralelipiped. După proprietatea unui paralelipiped, care spune că toate unghiurile sale sunt drepte, se determină o diagonală. Construiți o diagonală de la una dintre fețele paralelipipedului. Diagonalele trebuie trasate în așa fel încât diagonala feței, diagonala dorită a paralelipipedului și muchia cunoscută, să creeze un triunghi. După ce se formează triunghiul, găsiți lungimea acestei diagonale. Diagonala dintr-un alt triunghi rezultat acționează ca o ipotenuză, deci poate fi găsită folosind teorema lui Pitagora, care trebuie luată sub rădăcina pătrată. Astfel, învățăm valoarea celei de-a doua diagonale. Pentru a găsi prima diagonală a paralelipipedului din triunghiul dreptunghic format, este necesar să găsim și ipotenuza necunoscută (în spatele teoremei lui Pitagora). Folosind același exemplu, găsiți succesiv cele trei diagonale rămase existente în paralelipiped realizând construcții suplimentare de diagonale care formează triunghiuri dreptunghiulare și rezolvați folosind teorema lui Pitagora.

Un paralelipiped dreptunghiular (PP) nu este altceva decât o prismă, a cărei bază este un dreptunghi. În PP, toate diagonalele sunt egale, ceea ce înseamnă că oricare dintre diagonalele sale este calculată prin formula:

a, c - laturile bazei PP;

c este înălțimea sa.

O altă definiție poate fi dată, având în vedere sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian:

Diagonala PP este vectorul rază al oricărui punct din spațiu dat de coordonatele x, y și z în sistemul de coordonate carteziene. Acest vector rază până la punct este desenat de la origine. Și coordonatele punctului vor fi proiecțiile vectorului rază (diagonala PP) pe axele de coordonate. Proiecțiile coincid cu vârfurile paralelipipedului dat.

Paralelepiped și tipurile sale

Dacă traducem literal numele său din greaca veche, se dovedește că aceasta este o figură constând din planuri paralele. Există astfel de definiții echivalente ale unui paralelipiped:

• o prismă cu o bază sub formă de paralelogram;
• poliedru, fiecare față fiind un paralelogram.

Tipurile sale se disting în funcție de figura care se află la baza sa și de modul în care sunt direcționate coastele laterale. În general, se vorbește despre paralelipiped oblic a cărui bază și toate fețele sunt paralelograme. Dacă fețele laterale ale vederii anterioare devin dreptunghiuri, atunci va trebui să fie apelată deja direct. Și la dreptunghiular iar baza are și unghiuri de 90º.

Mai mult, în geometrie ei încearcă să-l înfățișeze pe acesta din urmă în așa fel încât să se observe că toate marginile sunt paralele. Aici, de altfel, se observă principala diferență dintre matematicieni și artiști. Este important ca acesta din urmă să transmită corpul în conformitate cu legea perspectivei. Și în acest caz, paralelismul marginilor este complet invizibil.

Despre notația introdusă

În formulele de mai jos sunt valabile denumirile indicate în tabel.

Formule pentru o cutie oblică

Prima și a doua pentru zone:

Al treilea este pentru calcularea volumului cutiei:

Deoarece baza este un paralelogram, pentru a-și calcula aria, va trebui să utilizați expresiile corespunzătoare.

Formule pentru un cuboid

Similar cu primul paragraf - două formule pentru zone:

Și încă unul pentru volum:

Prima sarcină

Condiție. Având în vedere un paralelipiped dreptunghiular al cărui volum este de găsit. Se cunoaște diagonala - 18 cm - și faptul că formează unghiuri de 30 și 45 de grade cu planul feței laterale și respectiv al marginii laterale.

Decizie. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să aflați toate laturile din trei triunghiuri dreptunghiulare. Ei vor da valorile de margine necesare pentru care trebuie să calculați volumul.

Mai întâi trebuie să vă dați seama unde este unghiul de 30 de grade. Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o diagonală a feței laterale din același vârf din care a fost desenată diagonala principală a paralelogramului. Unghiul dintre ele va fi ceea ce aveți nevoie.

Primul triunghi, care va da una dintre laturile bazei, va fi următorul. Conține latura dorită și două diagonale desenate. Este dreptunghiular. Acum trebuie să utilizați raportul dintre piciorul opus (partea de bază) și ipotenuza (diagonală). Este egal cu sinusul de 30º. Adică, latura necunoscută a bazei va fi determinată ca diagonală înmulțită cu sinusul de 30º sau ½. Să fie marcat cu litera „a”.

Al doilea va fi un triunghi care conține o diagonală cunoscută și o muchie cu care formează 45º. De asemenea, este dreptunghiulară și puteți utiliza din nou raportul catetei la ipotenuză. Cu alte cuvinte, marginea laterală spre diagonală. Este egal cu cosinusul de 45º. Adică, „c” se calculează ca produsul dintre diagonală și cosinusul de 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

În același triunghi, trebuie să găsiți un alt picior. Acest lucru este necesar pentru a calcula apoi a treia necunoscută - „în”. Să fie marcat cu litera „x”. Este ușor de calculat folosind teorema lui Pitagora:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Acum trebuie să luăm în considerare un alt triunghi dreptunghic. Conține laturile deja cunoscute „c”, „x” și cea care trebuie numărată, „c”:

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Toate cele trei cantități sunt cunoscute. Puteți folosi formula pentru volum și o puteți calcula:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Răspuns: volumul paralelipipedului este de 729√2 cm 3 .

A doua sarcină

Condiție. Aflați volumul paralelipipedului. Cunoaște laturile paralelogramului care se află la bază, 3 și 6 cm, precum și unghiul său ascuțit - 45º. Nerva laterală are o înclinare până la bază de 30º și este egală cu 4 cm.

Decizie. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să luați formula care a fost scrisă pentru volumul unui paralelipiped înclinat. Dar ambele cantități sunt necunoscute în el.

Aria bazei, adică paralelogramul, va fi determinată de formula în care trebuie să înmulțiți laturile cunoscute și sinusul unghiului acut dintre ele.

So \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

A doua necunoscută este înălțimea. Poate fi desenat din oricare dintre cele patru vârfuri de deasupra bazei. Poate fi găsit dintr-un triunghi dreptunghic, în care înălțimea este catetul, iar marginea laterală este ipotenuza. În acest caz, un unghi de 30º se află opus înălțimii necunoscute. Deci, puteți utiliza raportul dintre catete și ipotenuză.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Acum toate valorile sunt cunoscute și puteți calcula volumul:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Răspuns: volumul este de 18 √2 cm 3 .

A treia sarcină

Condiție. Aflați volumul paralelipipedului dacă se știe că este o linie dreaptă. Laturile bazei formează un paralelogram și sunt egale cu 2 și 3 cm. Unghiul ascuțit dintre ele este de 60º. Diagonala mai mică a paralelipipedului este egală cu diagonala mai mare a bazei.

Decizie. Pentru a afla volumul unui paralelipiped folosim formula cu aria bazei si inaltimea. Ambele cantități sunt necunoscute, dar sunt ușor de calculat. Prima este înălțimea.

Deoarece diagonala mai mică a paralelipipedului are aceeași dimensiune ca și baza mai mare, acestea pot fi notate cu aceeași literă d. Cel mai mare unghi al unui paralelogram este de 120º, deoarece formează 180º cu unul acut. Fie ca a doua diagonală a bazei să fie notată cu litera „x”. Acum, pentru cele două diagonale ale bazei, putem scrie teoremele cosinusului:

d 2 \u003d a 2 + în 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + în 2 - 2av cos 60º.

Găsirea valorilor fără pătrate nu are sens, deoarece atunci acestea vor fi ridicate din nou la a doua putere. După înlocuirea datelor, rezultă:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + în 2 - 2av cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Acum, înălțimea, care este și marginea laterală a paralelipipedului, va fi piciorul din triunghi. Ipotenuza va fi diagonala cunoscută a corpului, iar al doilea catet va fi „x”. Puteți scrie teorema lui Pitagora:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Prin urmare: n = √12 = 2√3 (cm).

Acum, a doua cantitate necunoscută este aria bazei. Poate fi calculat folosind formula menționată în a doua problemă.

Deci \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Combinând totul într-o formulă de volum, obținem:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Răspuns: V \u003d 18 cm 3.

A patra sarcină

Condiție. Este necesar să se afle volumul unui paralelipiped care îndeplinește următoarele condiții: baza este un pătrat cu latura de 5 cm; fețele laterale sunt romburi; unul dintre vârfurile de deasupra bazei este echidistant de toate vârfurile aflate la bază.

Decizie. Mai întâi trebuie să te ocupi de afecțiune. Nu există întrebări cu primul paragraf despre pătrat. Al doilea, despre romburi, arată clar că paralelipipedul este înclinat. În plus, toate marginile sale sunt egale cu 5 cm, deoarece laturile rombului sunt aceleași. Și din a treia devine clar că cele trei diagonale trase din ea sunt egale. Acestea sunt două care se află pe fețele laterale, iar ultima este în interiorul paralelipipedului. Și aceste diagonale sunt egale cu marginea, adică au și o lungime de 5 cm.

Pentru a determina volumul, veți avea nevoie de o formulă scrisă pentru un paralelipiped înclinat. Din nou, nu există cantități cunoscute în el. Cu toate acestea, aria bazei este ușor de calculat, deoarece este un pătrat.

So \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Puțin mai dificil este cazul înălțimii. Acesta va fi astfel în trei figuri: un paralelipiped, o piramidă patruunghiulară și un triunghi isoscel. Ar trebui folosită ultima împrejurare.

Deoarece este o înălțime, este un picior într-un triunghi dreptunghic. Ipotenuza din ea va fi o muchie cunoscută, iar al doilea catet este egal cu jumătate din diagonala pătratului (înălțimea este și mediana). Și diagonala bazei este ușor de găsit:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Răspuns: 62,5 √2 (cm 3).

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Definiție

poliedru vom numi o suprafață închisă compusă din poligoane și care mărginește o parte a spațiului.

Segmentele care sunt laturile acestor poligoane se numesc coaste poliedrul și poligoanele în sine - chipuri. Vârfurile poligoanelor se numesc vârfuri ale poliedrului.

Vom lua în considerare numai poliedre convexe (acesta este un poliedru care se află pe o parte a fiecărui plan care conține fața sa).

Poligoanele care alcătuiesc un poliedru formează suprafața acestuia. Partea de spațiu delimitată de un poliedru dat se numește interiorul său.

Definiție: prismă

Luați în considerare două poligoane egale \(A_1A_2A_3...A_n\) și \(B_1B_2B_3...B_n\) situate în plane paralele astfel încât segmentele \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) sunt paralele. Poliedru format din poligoane \(A_1A_2A_3...A_n\) și \(B_1B_2B_3...B_n\) , precum și paralelograme \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se numește (\(n\)-cărbune) prismă.

Poligoanele \(A_1A_2A_3...A_n\) și \(B_1B_2B_3...B_n\) se numesc bazele prismei, paralelogram. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– fețe laterale, segmente \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- coaste laterale.
Astfel, marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale între ele.

Luați în considerare un exemplu - o prismă \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), a cărui bază este un pentagon convex.

Înălţime O prismă este o perpendiculară din orice punct de pe o bază pe planul altei baze.

Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe bază, atunci se numește o astfel de prismă oblic(Fig. 1), în caz contrar - Drept. Pentru o prismă dreaptă, marginile laterale sunt înălțimi, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.

Dacă un poligon regulat se află la baza unei prisme drepte, atunci prisma se numește corect.

Definiție: conceptul de volum

Unitatea de volum este o unitate cub (cub cu dimensiuni \(1\times1\times1\) units\(^3\) , unde unitatea este o unitate de măsură).

Putem spune că volumul unui poliedru este cantitatea de spațiu pe care o limitează acest poliedru. În caz contrar: este o valoare a cărei valoare numerică indică de câte ori se încadrează un cub unitar și părțile sale într-un poliedru dat.

Volumul are aceleași proprietăți ca și suprafața:

1. Volumele cifrelor egale sunt egale.

2. Dacă un poliedru este compus din mai multe poliedre care nu se intersectează, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor poliedre.

3. Volumul este o valoare nenegativă.

4. Volumul se măsoară în cm\(^3\) (centimetri cubi), m\(^3\) (metri cubi), etc.

Teorema

1. Aria suprafeței laterale a prismei este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.
Suprafața laterală este suma suprafețelor fețelor laterale ale prismei.

2. Volumul prismei este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea prismei: \

Definiție: cutie

Paralelipiped Este o prismă a cărei bază este un paralelogram.

Toate fețele paralelipipedului (fețele lor laterale \(6\) : \(4\) și bazele \(2\)) sunt paralelograme, iar fețele opuse (paralele între ele) sunt paralelograme egale (Fig. 2).

Diagonala cutiei este un segment care leagă două vârfuri ale unui paralelipiped care nu se află în aceeași față (\(8\) lor : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) etc.).

cuboid este un paralelipiped drept cu un dreptunghi la bază.
pentru că este un paralelipiped drept, atunci fețele laterale sunt dreptunghiuri. Deci, în general, toate fețele unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri.

Toate diagonalele unui cuboid sunt egale (acest lucru rezultă din egalitatea triunghiurilor \(\triunghi ACC_1=\triunghi AA_1C=\triunghi BDD_1=\triunghi BB_1D\) etc.).

cometariu

Astfel, paralelipipedul are toate proprietățile unei prisme.

Teorema

Aria suprafeței laterale a unui paralelipiped dreptunghiular este egală cu \

Suprafața totală a unui paralelipiped dreptunghiular este \

Teorema

Volumul unui cuboid este egal cu produsul celor trei muchii ale sale care ies dintr-un vârf (trei dimensiuni ale unui cuboid): \

Dovada

pentru că pentru un paralelipiped dreptunghic, marginile laterale sunt perpendiculare pe bază, apoi sunt și înălțimile acestuia, adică \(h=AA_1=c\) baza este un dreptunghi \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). De aici vine formula.

Teorema

Diagonala \(d\) a unui cuboid este căutată prin formula (unde \(a,b,c\) sunt dimensiunile cuboidului)\

Dovada

Luați în considerare fig. 3. Pentru că baza este dreptunghi, atunci \(\triunghi ABD\) este dreptunghiular, prin urmare, după teorema lui Pitagora \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

pentru că toate marginile laterale sunt perpendiculare pe baze, atunci \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendicular pe orice dreptă din acest plan, adică \(BB_1\perp BD\) . Deci \(\triunghiul BB_1D\) este dreptunghiular. Apoi după teorema lui Pitagora \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definiție: cub

cub este un paralelipiped dreptunghiular, ale cărui laturi sunt pătrate egale.

Astfel, cele trei dimensiuni sunt egale între ele: \(a=b=c\) . Deci următoarele sunt adevărate

Teoreme

1. Volumul unui cub cu muchia \(a\) este \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Diagonala cubului se caută prin formula \(d=a\sqrt3\) .

3. Suprafața totală a unui cub \(S_(\text(iterații complete de cub))=6a^2\).