Expresii matematice (formule) înmulțire prescurtată(pătratul sumei și diferenței, cubul sumei și diferenței, diferența de pătrate, suma și diferența de cuburi) sunt extrem de de neînlocuit în multe domenii ale științelor exacte. Aceste 7 intrări de caractere sunt de neînlocuit atunci când simplificați expresii, rezolvați ecuații, înmulțiți polinoame, reduceți fracții, rezolvați integrale și multe altele. Așa că va fi foarte util să ne dăm seama cum sunt obținute, pentru ce sunt și, cel mai important, cum să le amintim și apoi să le aplicați. Apoi aplicand formule de înmulțire prescurtateîn practică, cel mai dificil lucru va fi să vezi ce este X si ce au. Evident, nu există restricții Ași b nu, ceea ce înseamnă că poate fi orice expresie numerică sau literală.

Și așa iată-le:

Primul x 2 - la 2 = (x - y) (x + y).A calcula diferența de pătrate două expresii, este necesar să se înmulțească diferențele acestor expresii cu sumele lor.

Al doilea (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. A găsi suma pătratului două expresii, trebuie să adăugați la pătratul primei expresii de două ori produsul primei expresii cu a doua plus pătratul celei de-a doua expresii.

Al treilea (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. A calcula diferența la pătrat două expresii, trebuie să scădeți din pătratul primei expresii de două ori produsul primei expresii cu a doua plus pătratul celei de-a doua expresii.

Al patrulea (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + la 3. A calcula cub suma două expresii, trebuie să adăugați la cubul primei expresii de trei ori produsul pătratului primei expresii și al doilea, plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua, plus cubul a doua expresie.

a cincea (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3x 2 - la 3. A calcula cub de diferență două expresii, este necesar să se scadă din cubul primei expresii de trei ori produsul pătratului primei expresii cu a doua plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua. expresie.

şaselea x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) A calcula suma de cuburi două expresii, trebuie să înmulțiți sumele primei și celei de-a doua expresii cu pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.

al șaptelea x 3 - la 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Pentru a face un calcul diferențe de cuburi două expresii, este necesar să înmulțim diferența primei și celei de-a doua expresii cu pătratul incomplet al sumei acestor expresii.

Nu este greu de reținut că toate formulele sunt folosite pentru a face calcule în direcția opusă (de la dreapta la stânga).

Existența acestor regularități era cunoscută cu aproximativ 4 mii de ani în urmă. Au fost utilizate pe scară largă de către locuitorii Babilonului și Egiptului antic. Dar în acele ere erau exprimate verbal sau geometric și nu foloseau litere în calcule.

Să analizăm dovada sumei pătrate(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Acest regularitate matematică a dovedit omul de știință grec antic Euclid, care a lucrat în Alexandria în secolul al III-lea î.Hr., a folosit metoda geometrică pentru a demonstra formula pentru aceasta, deoarece oamenii de știință din Grecia antică nu foloseau litere pentru a desemna numere. Peste tot au folosit nu „a 2”, ci „un pătrat pe segmentul a”, nu „ab”, ci „dreptunghi închis între segmentele a și b”.

Formulele de multiplicare abreviate (FSU) sunt folosite pentru a exponenția și înmulți numerele și expresiile. Adesea, aceste formule vă permit să faceți calcule mai compact și mai rapid.

În acest articol, vom enumera principalele formule pentru înmulțirea abreviată, le vom grupa într-un tabel, vom lua în considerare exemple de utilizare a acestor formule și, de asemenea, vom insista asupra principiilor de a demonstra formulele de înmulțire abreviată.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru prima dată, tema FSU este luată în considerare în cadrul cursului „Algebră” pentru clasa a VII-a. Mai jos sunt 7 formule de bază.

Formule de înmulțire prescurtate

1. formula sumei pătrate: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. Formula pătrată a diferenței: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. formula cubului sumei: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. Formula cubului de diferență: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. formula diferenței de pătrate: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. formula pentru suma cuburilor: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. Formula diferenței cubului: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Literele a, b, c din aceste expresii pot fi orice numere, variabile sau expresii. Pentru ușurință în utilizare, este mai bine să învățați pe de rost cele șapte formule de bază. Le rezumăm într-un tabel și le dăm mai jos, încercuindu-le cu o cutie.

Primele patru formule vă permit să calculați, respectiv, pătratul sau cubul sumei sau diferenței a două expresii.

A cincea formulă calculează diferența de pătrate de expresii înmulțind suma și diferența acestora.

A șasea și a șaptea formule sunt, respectiv, înmulțirea sumei și diferenței de expresii cu pătratul incomplet al diferenței și pătratul incomplet al sumei.

Formula de înmulțire abreviată este uneori numită și identități de înmulțire abreviată. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece fiecare egalitate este o identitate.

Când rezolvați exemple practice, formulele de înmulțire abreviate sunt adesea folosite cu părți din stânga și din dreapta rearanjate. Acest lucru este deosebit de convenabil atunci când factorizarea unui polinom.

Formule de înmulțire abreviate suplimentare

Nu ne vom limita la cursul de algebră de clasa a VII-a și vom adăuga câteva formule în tabelul nostru FSU.

În primul rând, luați în considerare formula binomială a lui Newton.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Aici C n k sunt coeficienții binomi care sunt în numărul de linie n în triunghiul lui Pascal. Coeficienții binomi se calculează cu formula:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

După cum puteți vedea, FSU pentru pătratul și cubul diferenței și a sumei este un caz special al formulei binomiale a lui Newton pentru n=2 și, respectiv, n=3.

Dar ce se întâmplă dacă există mai mult de doi termeni în suma care trebuie ridicată la o putere? Va fi utilă formula pentru pătratul sumei a trei, patru sau mai mulți termeni.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

O altă formulă care poate fi utilă este formula pentru diferența dintre puterile a n-a a doi termeni.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Această formulă este de obicei împărțită în două formule - respectiv pentru grade pare și impare.

Pentru exponenți pari 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Pentru exponenți impari 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Formulele pentru diferența de pătrate și diferența de cuburi, ați ghicit, sunt cazuri speciale ale acestei formule pentru n = 2 și, respectiv, n = 3. Pentru diferența de cuburi, b se înlocuiește și cu - b .

Cum se citesc formulele de înmulțire prescurtate?

Vom da formulările adecvate pentru fiecare formulă, dar mai întâi ne vom ocupa de principiul citirii formulelor. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este cu un exemplu. Să luăm chiar prima formulă pentru pătratul sumei a două numere.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Ei spun: pătratul sumei a două expresii a și b este egal cu suma pătratului primei expresii, de două ori produsul expresiilor și pătratul celei de-a doua expresii.

Toate celelalte formule sunt citite în mod similar. Pentru diferența pătrată a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 scriem:

pătratul diferenței a două expresii a și b este egal cu suma pătratelor acestor expresii minus de două ori produsul primei și celei de-a doua expresii.

Să citim formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Cubul sumei a două expresii a și b este egal cu suma cuburilor acestor expresii, de trei ori produsul pătratului primei expresii și a celei de-a doua și de trei ori produsul pătratului celei de-a doua expresii iar prima expresie.

Continuăm să citim formula pentru diferența de cuburi a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Cubul diferenței a două expresii a și b este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori pătratul primei expresii și a doua, plus de trei ori pătratul celei de-a doua expresii și prima expresie, minus cubul a celei de-a doua expresii.

A cincea formulă a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (diferența de pătrate) arată după cum urmează: diferența pătratelor a două expresii este egală cu produsul diferenței și suma celor două expresii.

Expresii precum a 2 + a b + b 2 și a 2 - a b + b 2 pentru comoditate se numesc, respectiv, pătratul incomplet al sumei și, respectiv, pătratul incomplet al diferenței.

Având în vedere acest lucru, formulele pentru suma și diferența de cuburi se citesc după cum urmează:

Suma cuburilor a două expresii este egală cu produsul dintre suma acestor expresii și pătratul incomplet al diferenței lor.

Diferența cuburilor a două expresii este egală cu produsul diferenței acestor expresii cu pătratul incomplet al sumei lor.

Dovada FSU

Demonstrarea FSU este destul de simplă. Pe baza proprietăților înmulțirii, vom efectua înmulțirea părților formulelor din paranteze.

De exemplu, luați în considerare formula pentru pătratul diferenței.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Pentru a ridica o expresie la a doua putere, expresia trebuie înmulțită cu ea însăși.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Să extindem parantezele:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formula a fost dovedită. Celelalte OSF sunt dovedite în mod similar.

Exemple de aplicare a FSO

Scopul utilizării formulelor scurte de înmulțire este de a multiplica și exponenția expresii rapid și concis. Cu toate acestea, acesta nu este întregul domeniu de aplicare al OSF. Sunt utilizate pe scară largă în reducerea expresiilor, reducerea fracțiilor, factorizarea polinoamelor. Să dăm exemple.

Exemplul 1. FSO

Să simplificăm expresia 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Aplicați formula sumei pătratelor și obțineți:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Exemplul 2. FSO

Reduceți fracția 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Observăm că expresia din numărător este diferența de cuburi, iar la numitor - diferența de pătrate.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Reducem și obținem:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-urile ajută, de asemenea, la calcularea valorilor expresiilor. Principalul lucru este să puteți observa unde să aplicați formula. Să arătăm asta cu un exemplu.

Să punem la pătrat numărul 79. În loc de calcule greoaie, scriem:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

S-ar părea că un calcul complex a fost efectuat rapid folosind doar formule de înmulțire abreviate și o tabelă de înmulțire.

O alta punct important- selectarea pătratului binomului. Expresia 4 x 2 + 4 x - 3 poate fi convertită în 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Astfel de transformări sunt utilizate pe scară largă în integrare.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Când calculăm polinoame algebrice, pentru a simplifica calculele, folosim formule de înmulțire prescurtate . Există șapte astfel de formule în total. Toate trebuie cunoscute pe de rost.

De asemenea, trebuie amintit că în loc de a și b în formule, pot exista atât numere, cât și orice alte polinoame algebrice.

Diferența de pătrate

Diferența pătratelor a două numere este egală cu produsul dintre diferența acestor numere și suma lor.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

suma pătratului

Pătratul sumei a două numere este egal cu pătratul primului număr plus de două ori produsul primului număr și al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.

(A + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Rețineți că, cu această formulă de înmulțire redusă, este ușor găsiți pătratele numerelor mari fără a folosi un calculator sau o înmulțire lungă. Să explicăm cu un exemplu:

Aflați 112 2 .

Să descompunăm 112 în suma numerelor ale căror pătrate le amintim bine.2
112 = 100 + 1

Scriem suma numerelor între paranteze și punem un pătrat peste paranteze.
112 2 = (100 + 12) 2

Să folosim formula sumei pătrate:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Rețineți că formula sumei pătrate este valabilă și pentru orice polinoame algebrice.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Avertizare!!!

(a + b) 2 nu este egal cu a 2 + b 2

Pătratul diferenței

Pătratul diferenței dintre două numere este egal cu pătratul primului număr minus de două ori produsul primului și celui de-al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.

(A - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

De asemenea, merită să ne amintim o transformare foarte utilă:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Formula de mai sus este dovedită prin simpla extindere a parantezelor:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

cub suma

Cubul sumei a două numere este egal cu cubul primului număr plus de trei ori pătratul primului număr ori al doilea plus de trei ori produsul primelor ori pătratul celui de-al doilea plus cubul celui de-al doilea.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

A-ți aminti această formulă cu aspect „teribil” este destul de simplu.

Aflați că un 3 este primul.

Cele două polinoame din mijloc au coeficienți de 3.

LAamintiți-vă că orice număr până la puterea zero este 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Este ușor de observat că în formulă există o scădere a gradului a și o creștere a gradului b. Puteți verifica acest lucru:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Avertizare!!!

(a + b) 3 nu este egal cu a 3 + b 3

cub de diferență

Cubul diferenței dintre două numere este egal cu cubul primului număr minus de trei ori pătratul primului număr și al doilea plus de trei ori produsul primului număr și pătratul celui de-al doilea minus cubul celui de-al doilea. .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Această formulă este reținută ca fiind cea anterioară, dar ținând cont doar de alternanța semnelor „+” și „-”. Primul membru al unui 3 este precedat de un „+” (după regulile matematicii, noi nu îl scriem). Aceasta înseamnă că următorul membru va fi precedat de „-”, apoi din nou „+”, etc.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Suma cuburilor ( A nu se confunda cu cubul sumă!)

Suma cuburilor este egală cu produsul dintre suma a două numere și pătratul incomplet al diferenței.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Suma cuburilor este produsul dintre două paranteze.

Prima paranteză este suma a două numere.

A doua paranteză este pătratul incomplet al diferenței de numere. Pătratul incomplet al diferenței se numește expresie:

A 2 - ab + b 2
Acest pătrat este incomplet, deoarece în mijloc, în loc de un produs dublu, există un produs obișnuit al numerelor.

Cube Difference (A nu se confunda cu Difference Cube!!!)

Diferența de cuburi este egală cu produsul dintre diferența a două numere cu pătratul incomplet al sumei.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Aveți grijă când scrieți caractere.Trebuie amintit că toate formulele de mai sus sunt folosite și de la dreapta la stânga.

O modalitate ușoară de a vă aminti formulele de înmulțire abreviate sau... Triunghiul lui Pascal.

Este greu de reținut formulele de înmulțire prescurtată? Cazul este ușor de ajutat. Trebuie doar să vă amintiți cum este descris un lucru atât de simplu precum triunghiul lui Pascal. Atunci vă veți aminti aceste formule întotdeauna și peste tot, sau mai degrabă, nu vă amintiți, ci restaurați.

Ce este triunghiul lui Pascal? Acest triunghi este format din coeficienții care intră în expansiunea oricărei puteri a unui binom de formă într-un polinom.

Să o descompunem, de exemplu:

În această înregistrare, este ușor să ne amintim că la început există un cub al primului număr, iar la sfârșit - cubul al doilea număr. Dar ceea ce este la mijloc este greu de reținut. Și chiar și faptul că în fiecare termen următor gradul unui factor scade tot timpul, iar al doilea crește - este ușor de observat și de reținut, este mai greu de reținut coeficienții și semnele (plus sau minus?).

Deci, în primul rând, șansele. Nu trebuie să le memorați! Pe marginile caietului, desenăm rapid triunghiul lui Pascal și iată-i - coeficienții, deja în fața noastră. Începem să desenăm cu trei, unul deasupra, două dedesubt, la dreapta și la stânga - da, deja se obține un triunghi:

Prima linie, cu unu unu, este zero. Apoi urmează primul, al doilea, al treilea și așa mai departe. Pentru a obține a doua linie, trebuie să adăugați din nou unele de-a lungul marginilor, iar în centru scrieți numărul obținut prin adăugarea celor două numere deasupra acestuia:

Scriem a treia linie: din nou de-a lungul marginilor unității și din nou, pentru a obține următorul număr într-o linie nouă, adăugați numerele de deasupra acestuia în cea anterioară:

După cum probabil ați ghicit, obținem în fiecare linie coeficienții din expansiunea unui binom într-un polinom:

Ei bine, este și mai ușor să ne amintim semnele: primul este același ca în binomul extins (așezăm suma, ceea ce înseamnă plus, diferența, ceea ce înseamnă minus), iar apoi semnele se alternează!

Acesta este un lucru atât de util - triunghiul lui Pascal. Bucurați-vă!

Ele sunt folosite pentru a simplifica calculele, precum și pentru descompunerea polinoamelor în factori, înmulțirea rapidă a polinoamelor. Cele mai multe dintre formulele de înmulțire abreviate pot fi obținute din binomul lui Newton - veți vedea în curând acest lucru.

Formule pentru pătrate adesea folosit în calcule. Încep să fie studiate în programa școlară din clasa a VII-a până la sfârșitul pregătirii, formulele pentru pătrate și cuburi, elevii ar trebui să le cunoască pe de rost.

Formule cub nu foarte complexe și trebuie să fie cunoscute atunci când se reduc polinoamele la o formă standard, pentru a simplifica creșterea sumei sau diferenței unei variabile și a unui număr la un cub.

Formulele marcate cu roșu sunt obținute din gruparea anterioară de termeni similari.

Formule pentru a patra și a cincea putere la cursul școlar, puține vor fi utile, totuși, există sarcini în studiul matematicii superioare în care trebuie să calculezi coeficienții la grade.

Formule de grade n sunt pictate în termeni de coeficienți binomi folosind factoriali, după cum urmează

Exemple de aplicare a formulelor de înmulțire prescurtate

Exemplul 1. Calculați 51^2.

Decizie. Dacă aveți un calculator, îl puteți găsi cu ușurință

Glumeam - toată lumea este înțeleaptă cu un calculator, fără el... (să nu vorbim despre lucruri triste).

Fără calculator și cunoscând regulile de mai sus, găsim pătratul numărului după regulă

Exemplul 2 Găsiți 99^2.

Decizie. Aplicați a doua formulă

Exemplul 3: Pătratarea unei expresii
(x+y-3).

Decizie. Considerăm mental suma primilor doi termeni ca un singur termen și, conform celei de-a doua formule de înmulțire prescurtată, avem

Exemplul 4. Aflați diferența de pătrate
11^2-9^2.

Decizie. Deoarece numerele sunt mici, puteți pur și simplu înlocui valorile pătratelor

Dar scopul nostru este complet diferit - să învățăm cum să folosim formule de înmulțire abreviate pentru a simplifica calculele. Pentru acest exemplu, aplicați a treia formulă

Exemplul 5. Aflați diferența de pătrate
17^2-3^2 .

Decizie. În acest exemplu, veți dori deja să învățați regulile pentru a reduce calculele la o singură linie

După cum puteți vedea, nu am făcut nimic uimitor.

Exemplul 6: Simplificați o expresie
(x-y)^2-(x+y)^2.

Decizie. Puteți aranja pătratele și, ulterior, puteți grupa termeni similari. Cu toate acestea, se poate aplica direct diferența de pătrate

Simplu și fără soluții lungi.

Exemplul 7. Cub un polinom
x^3-4.

Decizia . Să aplicăm formula de înmulțire prescurtată cu 5

Exemplul 8. Scrieți ca diferență de pătrate sau suma lor
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29

Decizie. a) Rearanjați termenii

b) Simplificați pe baza raționamentului anterior

Exemplul 9. Extindeți o fracție rațională

Decizie. Aplicați formula diferenței pătratelor

Compunem un sistem de ecuații pentru determinarea constantelor

Adăugăm a doua ecuație la prima ecuație triplă. Inlocuim valoarea gasita in prima ecuatie

În cele din urmă, expansiunea ia forma

Este adesea necesară extinderea unei fracții raționale înainte de integrare pentru a reduce puterea numitorului.

Exemplul 10. Folosind binomul lui Newton, pictați
expresia (x-a)^7.

Decizie. Probabil că știți deja care este binomul lui Newton. Dacă nu, atunci mai jos sunt coeficienții binomi

Ele sunt formate după cum urmează: există unități de-a lungul marginii, coeficienții dintre ele în linia de jos sunt formați prin însumarea celor superioare învecinate. Dacă căutăm o diferență într-o oarecare măsură, atunci semnele din program alternează de la plus la minus. Astfel, pentru al șaptelea ordin, obținem următoarea aliniere

Priviți cu atenție și cum se modifică indicatorii - pentru prima variabilă scad cu câte una în fiecare termen următor, respectiv, pentru al doilea - cresc cu câte unul. În concluzie, indicatorii ar trebui să fie întotdeauna egali cu gradul de descompunere (= 7).

Cred că pe baza materialului de mai sus veți putea rezolva probleme cu binomul lui Newton. Învață formule de înmulțire abreviate și aplică oriunde poate simplifica calculele și economisi timp la sarcină.

În lecția anterioară, ne-am ocupat de factorizare. Am stăpânit două metode: scoaterea factorului comun din paranteze și gruparea. În acest tutorial, următoarea metodă puternică: formule de înmulțire prescurtate. Într-o notă scurtă - FSU.

Formulele de înmulțire prescurtate (pătratul sumei și diferenței, cubul sumei și diferenței, diferența pătratelor, suma și diferența cuburilor) sunt esențiale în toate ramurile matematicii. Sunt folosite în simplificarea expresiilor, rezolvarea ecuațiilor, înmulțirea polinoamelor, reducerea fracțiilor, rezolvarea integralelor etc. etc. Pe scurt, există toate motivele să ne ocupăm de ei. Înțelegeți de unde provin, de ce sunt necesare, cum să le amintiți și cum să le aplicați.

intelegem?)

De unde provin formulele de înmulțire prescurtate?

Egalitățile 6 și 7 nu sunt scrise într-un mod foarte obișnuit. Ca opusul. Acest lucru este intenționat.) Orice egalitate funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Într-o astfel de înregistrare, este mai clar de unde provine FSO.

Sunt luate din înmulțire.) De exemplu:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Asta e, fără trucuri științifice. Doar înmulțim parantezele și dăm altele similare. Așa se dovedește toate formulele de înmulțire prescurtate. abreviatînmulțirea se datorează faptului că în formulele în sine nu există înmulțirea parantezelor și reducerea celor similare. Redus.) Rezultatul este dat imediat.

FSU trebuie să știe pe de rost. Fără primele trei, nu poți visa la un triplu, fără restul - aproximativ un patru cu un cinci.)

De ce avem nevoie de formule de înmulțire prescurtate?

Există două motive pentru a învăța, chiar și a memora aceste formule. Primul - un răspuns gata făcut pe mașină reduce dramatic numărul de erori. Dar nu acesta este motivul principal. Și iată-l pe al doilea...

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.