Un calculator de limită online pe site pentru consolidarea completă a materialului acoperit de elevi și școlari și formarea abilităților practice ale acestora. Cum să folosiți calculatorul de limită online pe resursa noastră? Acest lucru se face chiar și foarte ușor, trebuie doar să introduceți funcția inițială în câmpul existent, să selectați valoarea limită necesară pentru variabilă din selector și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Dacă la un moment dat trebuie să calculați valoarea limită, atunci trebuie să introduceți chiar valoarea acestui punct - fie numerică, fie simbolică. Calculatorul de limită online vă va ajuta să găsiți valoarea limită la un punct dat, limita în intervalul de definire a funcției, iar această valoare, unde valoarea funcției studiate se grăbește atunci când argumentul său tinde către un anumit punct, este soluția pentru limita. Conform calculatorului de limită online de pe site-ul nostru, putem spune următoarele - există un număr mare de analogi pe Internet, îi puteți găsi pe cei demni, trebuie să-l căutați cu dificultate. Dar aici vei întâlni faptul că un site la altul este diferit. Multe dintre ele nu oferă deloc un calculator de limită online, spre deosebire de noi. Dacă într-un motor de căutare cunoscut, fie că este vorba de Yandex sau Google, căutați site-uri folosind expresia „Calcul de limită online”, atunci site-ul va fi pe primele rânduri în rezultatele căutării. Aceasta înseamnă că aceste motoare de căutare au încredere în noi, iar pe site-ul nostru există doar conținut de înaltă calitate și, cel mai important, util pentru studenții de la școală și universitate! Să continuăm să vorbim despre calculatoarele de limită și, în general, despre teoria trecerii la limită. Foarte des, în definirea limitei unei funcții se formulează conceptul de vecinătăți. Aici, limitele functiilor, precum si rezolvarea acestor limite, sunt studiate numai la punctele care sunt limitative pentru domeniul de definire a functiilor, stiind ca in fiecare vecinatate a unui astfel de punct exista puncte din domeniul definirii această funcție. Acest lucru ne permite să vorbim despre tendința unei funcții variabile la un punct dat. Dacă există o limită într-un anumit punct al domeniului funcției și calculatorul de limită online oferă o soluție detaliată a limită a funcției la un punct dat, atunci funcția este continuă în acel punct. Lăsați calculatorul nostru online de limită cu o soluție să dea un rezultat pozitiv și îl vom verifica pe alte site-uri. Acest lucru poate dovedi calitatea resursei noastre și, după cum mulți știu deja, este la cel mai bun grad și merită cele mai mari laude. Alături de aceasta, există și posibilitatea limitărilor de calculator online cu o soluție detaliată pentru a studia și în mod independent, dar sub atenta supraveghere a unui profesor profesionist. Adesea, această acțiune va duce la rezultatele așteptate. Toți studenții visează doar că calculatorul de limită online cu soluția ar descrie în detaliu sarcina lor dificilă, dată de profesor la începutul semestrului. Dar nu este atât de simplu. Mai întâi trebuie să studiezi teoria și apoi să folosești calculatorul gratuit. La fel ca și limitele online, calculatorul vă va oferi detaliile înregistrărilor de care aveți nevoie și veți fi mulțumit de rezultat. Dar punctul limită al domeniului definiției poate să nu aparțină chiar acestui domeniu al definiției, iar acest lucru este dovedit printr-un calcul detaliat de către calculatorul de limită online. Exemplu: putem considera limita unei funcții la capetele unui segment deschis pe care este definită funcția noastră. În acest caz, limitele segmentului în sine nu sunt incluse în domeniul definiției. În acest sens, sistemul de vecinătăți din acest punct este un caz special al unei astfel de baze de submulțimi. Calculatorul de limită online cu o soluție detaliată este produs în timp real și i se aplică formule într-o formă analitică explicită dată. Limita unei funcții folosind calculatorul de limită online cu o soluție detaliată este o generalizare a conceptului de limită a unei secvențe: inițial, limita unei funcții într-un punct a fost înțeleasă ca limita a unei secvențe de elemente din interval. a unei funcții compuse din imagini ale punctelor unei secvențe de elemente din domeniul unei funcții convergente către un punct dat (limita la care se consideră) ; dacă o astfel de limită există, atunci se spune că funcția converge către valoarea specificată; dacă o astfel de limită nu există, atunci se spune că funcția diverge. În general, teoria trecerii la limită este conceptul de bază al oricărei analize matematice. Totul se bazează tocmai pe tranziții de limită, adică o soluție detaliată a limitelor stă la baza științei analizei matematice, iar calculatorul de limite online pune bazele învățării elevilor. Calculatorul online de limită cu o soluție detaliată pe site este un serviciu unic pentru obținerea unui răspuns precis și instantaneu în timp real. Nu de puține ori, sau mai degrabă foarte des, elevii întâmpină imediat dificultăți în rezolvarea limitelor în timpul studiului inițial al analizei matematice. Vă garantăm că rezolvarea calculatorului de limită online pe serviciul nostru este o garanție de acuratețe și obținerea unui răspuns de înaltă calitate.Veți primi un răspuns la o soluție detaliată a limitei cu ajutorul unui calculator în câteva secunde, puteți chiar să spuneți instantaneu . Dacă specificați date incorecte, adică caractere care nu sunt permise de sistem, este în regulă, serviciul vă va informa automat despre o eroare. Corectați funcția introdusă anterior (sau punctul limită) și obțineți soluția corectă detaliată cu calculatorul de limită online. Aveți încredere în noi și nu vă vom dezamăgi niciodată. Puteți utiliza cu ușurință site-ul și calculatorul de limită online cu soluția va descrie în detaliu pașii pas cu pas pentru calcularea problemei. Trebuie doar să așteptați câteva secunde și să obțineți răspunsul râvnit. Pentru a rezolva limitele cu un calculator online cu o soluție detaliată, se folosesc toate tehnicile posibile, în special metoda L'Hospital este folosită foarte des, deoarece este universală și duce la un răspuns mai rapid decât alte metode de calcul a limitei unei funcții . Adesea, pentru a calcula suma unei secvențe de numere, este necesară o soluție online detaliată de către un calculator de limită. După cum știți, pentru a găsi suma unei secvențe numerice, trebuie doar să exprimați corect suma parțială a acestei secvențe, iar apoi totul este simplu folosind serviciul nostru gratuit de pe site, deoarece calcularea limitei folosind calculatorul nostru online de limită din suma parțială va fi suma finală a secvenței numerice. O soluție detaliată cu un calculator de limite online folosind serviciul site-ului oferă studenților o modalitate de a vedea progresul rezolvării problemelor, ceea ce face înțelegerea teoriei limitelor ușoară și accesibilă aproape tuturor. Rămâneți concentrat și nu lăsați acțiunile greșite să vă facă probleme cu notele proaste. Ca orice soluție detaliată cu un calculator de limită de serviciu online, problema va fi prezentată într-o formă convenabilă și de înțeles, cu o soluție detaliată, cu respectarea tuturor regulilor și reglementărilor pentru obținerea unei soluții.. În același timp, puteți economisi timp și bani, deoarece nu cerem absolut nimic pentru asta. Pe site-ul nostru, o soluție detaliată de calculatoare de limite online este întotdeauna disponibilă 24 de ore pe zi. De fapt, este posibil ca toate calculatoarele de limită online cu o soluție să nu ofere în detaliu progresul unei soluții pas cu pas, nu ar trebui să uitați de acest lucru și să urmăriți pe toată lumea. De îndată ce limitele calculatorului online cu o soluție detaliată vă solicită să faceți clic pe butonul „Soluție”, atunci vă rugăm mai întâi să verificați totul. adică verificați funcția introdusă, și valoarea limită și abia apoi continuați cu acțiunea. Acest lucru vă va scuti de experiențe dureroase pentru calcule nereușite. Și atunci limitele calculatorului online cu o lege detaliată vor oferi reprezentarea factorială corectă a acțiunii pas cu pas. Dacă calculatorul de limită online nu a oferit brusc o soluție detaliată, atunci pot exista mai multe motive pentru aceasta. În primul rând, verificați expresia funcției scrise. Trebuie să conțină variabila „x”, altfel întreaga funcție va fi tratată de sistem ca o constantă. Apoi, verificați valoarea limită dacă ați specificat un anumit punct sau o valoare simbolică. De asemenea, ar trebui să conțină numai litere latine - acest lucru este important! Apoi puteți încerca din nou să găsiți o soluție detaliată a limitelor online pe serviciul nostru excelent și să utilizați rezultatul. De îndată ce ei spun că limitele soluției online în detaliu sunt foarte dificile - nu credeți și, cel mai important, nu intrați în panică, totul este permis în cadrul cursului de formare. Vă recomandăm să vă dedicați, fără panică, doar câteva minute serviciului nostru și să verificați exercițiul dat. Dacă, totuși, limitele soluției online nu pot fi rezolvate în detaliu, atunci ai greșit de scriere, pentru că altfel site-ul rezolvă aproape orice problemă fără prea multe dificultăți. Dar nu este nevoie să te gândești că poți obține imediat rezultatul dorit fără muncă și efort. Pe orice nevoie de a dedica suficient timp pentru a studia materialul. Este posibil ca fiecare calculator de limită online cu o soluție să iasă în evidență în detaliu în etapa de construire a soluției expuse și să presupună contrariul. Dar nu contează cum să-l exprimăm, deoarece ne preocupă însuși procesul de abordare științifică. Ca urmare, vom arăta cum calculatorul de limită a soluției online se bazează în detaliu pe aspectul fundamental al matematicii ca știință. Identificați cinci principii de bază și începeți să mergeți mai departe. Veți fi întrebat dacă soluția calculatorului limită este disponibilă online cu o soluție detaliată pentru toată lumea și veți răspunde - da, este! Poate că în acest sens nu se pune un accent deosebit pe rezultate, dar limita online are un sens ușor diferit în detaliu decât poate părea la începutul studierii disciplinei. Cu o abordare echilibrată, cu alinierea corectă a forțelor, puteți deduce rapid și detaliat limita online.! În realitate, se va întâmpla ca calculatorul de limită online cu soluția în detaliu să înceapă să reprezinte proporțional mai rapid toți pașii unui calcul pas cu pas.

Concepte de limite de secvențe și funcții. Când se cere găsirea limitei unei secvențe, se scrie astfel: lim xn=a. Într-o astfel de succesiune de secvențe, xn tinde spre a, iar n tinde spre infinit. O secvență este de obicei reprezentată ca o serie, de exemplu:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Secvențele sunt împărțite în crescător și descendent. De exemplu:
xn=n^2 - succesiune crescătoare
yn=1/n - succesiune
Deci, de exemplu, limita șirului xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

x→∞
Această limită este zero deoarece n→∞ și secvența 1/n^2 tinde spre zero.

De obicei variabila x tinde spre o limită finită a, în plus, x se apropie constant de a, iar valoarea lui a este constantă. Aceasta este scrisă după cum urmează: limx = a, în timp ce n poate tinde și spre zero și infinit. Există infinite funcții, pentru ele limita tinde spre infinit. În alte cazuri, când, de exemplu, funcția de încetinire a trenului, este posibilă o limită care tinde spre zero.
Limitele au o serie de proprietăți. De regulă, orice funcție are o singură limită. Aceasta este proprietatea principală a limitei. Altele sunt enumerate mai jos:
* Limita sumei este egală cu suma limitelor:
lim(x+y)=limx+limy
* Limita produsului este egală cu produsul limitelor:
lim(xy)=limx*limy
* Limita coeficientului este egală cu câtul limitelor:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Factorul constant este scos din semnul limită:
lim(Cx)=C lim x
Având în vedere o funcție 1 /x unde x →∞, limita sa este zero. Dacă x→0, atunci limita unei astfel de funcții este egală cu ∞.
Pentru funcțiile trigonometrice există aceste reguli. Deoarece funcția sin x tinde întotdeauna spre unu pe măsură ce se apropie de zero, identitatea este valabilă pentru ea:
lim sin x/x=1

Într-o serie de funcții, atunci când se calculează limitele cărora apare incertitudinea - o situație în care limita nu poate fi calculată. Singura cale de ieșire din această situație este L'Hopital. Există două tipuri de incertitudini:
* incertitudinea formei 0/0
* incertitudinea formei ∞/∞
De exemplu, dată fiind o limită de următoarea formă: lim f(x)/l(x), în plus, f(x0)=l(x0)=0. În acest caz, există o incertitudine de forma 0/0. Pentru a rezolva o astfel de problemă se diferențiază ambele funcții, după care se găsește limita rezultatului. Pentru incertitudinile de forma 0/0, limita este:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (ca x→0)
Aceeași regulă este valabilă pentru incertitudinile de tip ∞/∞. Dar în acest caz, următoarea egalitate este adevărată: f(x)=l(x)=∞
Cu ajutorul regulii lui L'Hopital, se pot găsi valorile oricăror limite în care apar incertitudini. Condiție obligatorie pentru

volum - absența erorilor în găsirea derivatelor. Deci, de exemplu, derivata funcției (x^2)" este egală cu 2x. Din aceasta putem concluziona că:
f"(x)=nx^(n-1)

Limita functiei- număr A va fi limita unei valori variabile, dacă în procesul schimbării acesteia această valoare variabilă se apropie la nesfârșit A.

Sau cu alte cuvinte, numărul A este limita funcției y=f(x) la punct x0, dacă pentru orice succesiune de puncte din domeniul de definire a funcției , nu este egală cu x0, și care converge spre punct x 0 (lim x n = x0), succesiunea valorilor corespunzătoare ale funcției converge către număr A.

Graficul unei funcții a cărei limită cu un argument care tinde spre infinit este L:

Sens DAR este o limita (valoarea limită) a funcției f(x) la punct x0 dacă pentru orice succesiune de puncte , care converge spre x0, dar care nu conține x0 ca unul dintre elementele sale (adică în cartierul perforat x0), succesiunea valorilor funcției converge spre A.

Limita unei funcții după Cauchy.

Sens A va fi limita functiei f(x) la punct x0 dacă pentru orice număr nenegativ luat înainte ε se va găsi un număr corespunzător nenegativ δ = δ(ε) astfel încât pentru fiecare argument X, îndeplinind condiția 0 < | x - x0 | < δ , inegalitatea | f(x) A |< ε .

Va fi foarte simplu dacă înțelegeți esența limitei și regulile de bază pentru găsirea acesteia. Că limita funcției f(X) la X aspirând la A egală A, este scris astfel:

Mai mult, valoarea la care tinde variabila X, poate fi nu numai un număr, ci și infinit (∞), uneori +∞ sau -∞, sau poate să nu existe nicio limită.

Pentru a înțelege cum afla limitele unei functii, cel mai bine este să vedeți exemple de soluții.

Trebuie să găsim limitele funcției f(x) = 1/X la:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Să găsim soluția primei limite. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu să înlocuiți X numărul la care aspiră, i.e. 2, obținem:

Găsiți a doua limită a funcției. Aici, înlocuiți în formă pură 0 în loc de X este imposibil, pentru că nu poate fi împărțit la 0. Dar putem lua valori apropiate de zero, de exemplu, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 și așa mai departe, cu valoarea funcției f(X) va crește: 100; 1000; 10000; 100000 și așa mai departe. Astfel, se poate înțelege că atunci când X→ 0 valoarea funcției care se află sub semnul limită va crește pe termen nelimitat, i.e. tinde spre infinit. Care înseamnă:

Referitor la a treia limită. Aceeași situație ca și în cazul precedent, este imposibil de înlocuit ∞ în forma sa cea mai pură. Trebuie să luăm în considerare cazul creșterii nelimitate X. Înlocuim alternativ 1000; 10000; 100000 și așa mai departe, avem că valoarea funcției f(x) = 1/X va scadea: 0,001; 0,0001; 0,00001; și așa mai departe, tinzând spre zero. Asa de:

Este necesar să se calculeze limita funcției

Începând să rezolvăm al doilea exemplu, vedem incertitudinea. De aici găsim cel mai înalt grad al numărătorului și numitorului - acesta este x 3, îl scoatem din paranteze în numărător și numitor și apoi îl reducem cu el:

Răspuns

Primul pas în găsirea acestei limite, înlocuiți valoarea 1 în loc de X, rezultând incertitudinea . Pentru a o rezolva, descompunem numărătorul în factori, vom face acest lucru găsind rădăcinile ecuației pătratice x 2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Deci numărătorul ar fi:

Răspuns

Aceasta este definiția valorii sale specifice sau a unei zone specifice în care se încadrează funcția, care este limitată de limită.

Pentru a decide limitele, urmați regulile:

După ce am înțeles esența și principalul regulile de decizie limită, veți obține o înțelegere de bază despre cum să le rezolvați.

Limitele le dau tuturor studenților la matematică multe probleme. Pentru a rezolva limita, uneori trebuie să folosiți o mulțime de trucuri și să alegeți dintr-o varietate de soluții exact pe cea potrivită pentru un anumit exemplu.

În acest articol, nu vă vom ajuta să înțelegeți limitele abilităților dvs. sau să înțelegeți limitele controlului, dar vom încerca să răspundem la întrebarea: cum să înțelegeți limitele în matematica superioară? Înțelegerea vine cu experiența, așa că în același timp vom oferi câteva exemple detaliate de rezolvare a limitelor cu explicații.

Conceptul de limită în matematică

Prima întrebare este: care este limita și limita a ce? Putem vorbi despre limitele secvențelor numerice și ale funcțiilor. Suntem interesați de conceptul de limită a unei funcții, deoarece cu ele se întâlnesc cel mai des elevii. Dar mai întâi, cea mai generală definiție a unei limite:

Să presupunem că există o variabilă. Dacă această valoare în procesul de schimbare se apropie la infinit de un anumit număr A , apoi A este limita acestei valori.

Pentru o funcție definită într-un anumit interval f(x)=y limita este numărul A , spre care funcţia tinde când X tinzând la un anumit punct A . Punct A aparține intervalului pe care este definită funcția.

Sună greoi, dar este scris foarte simplu:

Lim- din engleza limită- limita.

Există și o explicație geometrică pentru definirea limitei, dar aici nu vom intra în teorie, deoarece ne interesează mai mult latura practică decât teoretică a problemei. Când spunem asta X tinde spre o anumită valoare, ceea ce înseamnă că variabila nu preia valoarea unui număr, ci se apropie de el la infinit.

Să luăm un exemplu concret. Provocarea este să găsești limita.

Pentru a rezolva acest exemplu, înlocuim valoarea x=3 într-o funcție. Primim:

Apropo, dacă sunteți interesat, citiți un articol separat pe acest subiect.

În exemple X poate tinde spre orice valoare. Poate fi orice număr sau infinit. Iată un exemplu când X tinde spre infinit:

Este clar intuitiv că cu cât numărul din numitor este mai mare, cu atât valoarea va fi luată de funcție mai mică. Deci, cu o creștere nelimitată X sens 1/x va scădea și se va apropia de zero.

După cum puteți vedea, pentru a rezolva limita, trebuie doar să înlocuiți valoarea pentru care să încercați în funcție X . Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz. Adesea, găsirea limitei nu este atât de evidentă. În limite există incertitudini de tip 0/0 sau infinit/infinit . Ce să faci în astfel de cazuri? Folosește trucuri!

Incertitudini în interior

Incertitudinea formei infinit/infinit

Să existe o limită:

Dacă încercăm să substituim infinitul în funcție, vom obține infinit atât la numărător, cât și la numitor. În general, merită să spunem că există un anumit element de artă în rezolvarea unor astfel de incertitudini: trebuie să observați cum puteți transforma funcția în așa fel încât incertitudinea să dispară. În cazul nostru, împărțim numărătorul și numitorul cu X în grad superior. Ce se va intampla?

Din exemplul deja considerat mai sus, știm că termenii care conțin x în numitor vor tinde spre zero. Atunci soluția la limită este:

Pentru a descoperi ambiguitățile de tip infinit/infinitîmpărțiți numărătorul și numitorul la X la cel mai înalt grad.

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Un alt tip de incertitudine: 0/0

Ca întotdeauna, înlocuirea în funcția de valoare x=-1 dă 0 la numărător și numitor. Privește puțin mai atent și vei observa că avem o ecuație pătratică la numărător. Să găsim rădăcinile și să scriem:

Să reducem și să obținem:

Deci, dacă întâmpinați ambiguitate de tip 0/0 - factorizați numărătorul și numitorul.

Pentru a vă facilita rezolvarea exemplelor, iată un tabel cu limitele unor funcții:

Regula lui L'Hopital în interior

Un alt mod puternic de a elimina ambele tipuri de incertitudini. Care este esența metodei?

Dacă există incertitudine în limită, luăm derivata numărătorului și numitorului până când incertitudinea dispare.

Din punct de vedere vizual, regula lui L'Hopital arată astfel:

Punct important : trebuie să existe limita, în care derivatele numărătorului și numitorului sunt în locul numărătorului și numitorului.

Și acum un exemplu real:

Există o incertitudine tipică 0/0 . Luați derivatele numărătorului și numitorului:

Voila, incertitudinea este eliminată rapid și elegant.

Sperăm că veți putea folosi aceste informații în practică și veți găsi răspunsul la întrebarea „cum se rezolvă limite la matematica superioară”. Dacă trebuie să calculați limita unei secvențe sau limita unei funcții la un punct și nu există timp pentru această lucrare din cuvântul „absolut”, contactați un serviciu pentru studenți profesioniști pentru o soluție rapidă și detaliată.

Prima limită remarcabilă se numește următoarea egalitate:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Deoarece pentru $\alpha\to(0)$ avem $\sin\alpha\to(0)$, spunem că prima limită remarcabilă relevă o nedeterminare a formei $\frac(0)(0)$. În general, în formula (1), în locul variabilei $\alpha$, sub semnul sinus și la numitor, orice expresie poate fi localizată, atâta timp cât sunt îndeplinite două condiții:

1. Expresiile de sub semnul sinus și din numitor tind simultan spre zero, adică. există o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$.
2. Expresiile de sub semnul sinus și la numitor sunt aceleași.

Corolarele din prima limită remarcabilă sunt, de asemenea, adesea folosite:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuație)

Unsprezece exemple sunt rezolvate pe această pagină. Exemplul nr. 1 este dedicat demonstrarii formulelor (2)-(4). Exemplele #2, #3, #4 și #5 conțin soluții cu comentarii detaliate. Exemplele 6-10 conțin soluții cu puține comentarii sau fără comentarii, deoarece explicațiile detaliate au fost date în exemplele anterioare. La rezolvare se folosesc câteva formule trigonometrice, care pot fi găsite.

Observ că prezența funcțiilor trigonometrice, cuplată cu incertitudinea $\frac (0) (0)$, nu înseamnă că trebuie aplicată prima limită remarcabilă. Uneori sunt suficiente transformări trigonometrice simple - de exemplu, vezi.

Exemplul #1

Demonstrați că $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Deoarece $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, atunci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Deoarece $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ și $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, apoi:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Să facem înlocuirea $\alpha=\sin(y)$. Deoarece $\sin(0)=0$, atunci din condiția $\alpha\to(0)$ avem $y\to(0)$. În plus, există o vecinătate de zero unde $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, deci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Este demonstrată egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$.

c) Să facem înlocuirea $\alpha=\tg(y)$. Deoarece $\tg(0)=0$, condițiile $\alpha\to(0)$ și $y\to(0)$ sunt echivalente. În plus, există o vecinătate de zero unde $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, prin urmare, bazându-ne pe rezultatele punctului a), vom avea:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\la(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\la(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Este demonstrată egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

Egalitățile a), b), c) sunt adesea folosite împreună cu prima limită remarcabilă.

Exemplul #2

Calculați limita $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Deoarece $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ și $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. iar numaratorul si numitorul fractiei tind simultan spre zero, atunci aici avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$, i.e. Terminat. În plus, se poate observa că expresiile de sub semnul sinus și din numitor sunt aceleași (adică și sunt satisfăcute):

Deci, ambele condiții enumerate la începutul paginii sunt îndeplinite. De aici rezultă că formula este aplicabilă, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Răspuns: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Exemplul #3

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ și $\lim_(x\to(0))x=0$, avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac( 0 )(0)$, adică Terminat. Cu toate acestea, expresiile de sub semnul sinus și din numitor nu se potrivesc. Aici este necesară ajustarea expresiei din numitor la forma dorită. Avem nevoie ca expresia $9x$ să fie la numitor - atunci va deveni adevărată. Practic, ne lipsește factorul $9$ din numitor, care nu este atât de greu de introdus, doar înmulțiți expresia din numitor cu $9$. Desigur, pentru a compensa înmulțirea cu $9$, va trebui să împărțiți imediat cu $9$ și să împărțiți:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Acum expresiile din numitor și sub semnul sinus sunt aceleași. Ambele condiții pentru limita $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sunt îndeplinite. Prin urmare, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Și asta înseamnă că:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Exemplul #4

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ și $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aici avem de-a face cu o nedeterminare a forma $\frac(0)(0)$. Cu toate acestea, forma primei limite remarcabile este ruptă. Un numărător care conține $\sin(5x)$ necesită $5x$ în numitor. În această situație, cel mai simplu mod este să împărțiți numărătorul cu $5x$ și să înmulțiți imediat cu $5x$. În plus, vom efectua o operație similară cu numitorul, înmulțind și împărțind $\tg(8x)$ la $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Reducând cu $x$ și luând constanta $\frac(5)(8)$ din semnul limită, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Rețineți că $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ satisface pe deplin cerințele pentru prima limită remarcabilă. Pentru a găsi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ se aplică următoarea formulă:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Exemplul #5

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (reamintim că $\cos(0)=1$) și $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, atunci avem de-a face cu o nedeterminare de forma $\frac(0)(0)$. Totuși, pentru a aplica prima limită minunată, ar trebui să scapi de cosinusul din numărător mergând la sinusuri (pentru a aplica apoi formula) sau tangente (pentru a aplica apoi formula). Puteți face acest lucru cu următoarea transformare:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Să revenim la limită:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ este deja apropiată de forma necesară pentru prima limită remarcabilă. Să lucrăm puțin cu fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustând-o la prima limită remarcabilă (rețineți că expresiile din numărător și sub sinus trebuie să se potrivească):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Să revenim la limita considerată:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Exemplul #6

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ și $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Să-l deschidem cu ajutorul primei limite remarcabile. Pentru a face acest lucru, să trecem de la cosinus la sinusuri. Deoarece $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, atunci:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Trecând în limita dată la sinusuri, vom avea:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) = 9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Exemplul #7

Calculați limita $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ dat $\alpha\neq\ beta $.

Explicații detaliate au fost date mai devreme, dar aici pur și simplu observăm că din nou există o nedeterminare a $\frac(0)(0)$. Să trecem de la cosinus la sinus folosind formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Folosind formula de mai sus, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\dreapta| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Exemplul #8

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (amintim că $\sin(0)=\tg(0)=0$) și $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, atunci aici avem de-a face cu o nedeterminare de forma $\frac(0)(0)$. Să o descompunem astfel:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Exemplul #9

Găsiți limita $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Deoarece $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ și $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, atunci există o nedeterminare de forma $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să schimbați variabila în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (rețineți că variabila $\alpha \to 0$ în formule). Cel mai simplu mod este introducerea variabilei $t=x-3$. Cu toate acestea, pentru comoditatea transformărilor ulterioare (acest beneficiu poate fi văzut în cursul soluției de mai jos), merită să faceți următoarea înlocuire: $t=\frac(x-3)(2)$. Observ că ambele înlocuiri sunt aplicabile în acest caz, doar a doua înlocuire vă va permite să lucrați mai puțin cu fracțiile. Din moment ce $x\la(3)$, atunci $t\la(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Exemplul #10

Găsiți limita $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Din nou avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să schimbați variabila în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (rețineți că variabila este $\alpha\to(0)$ în formule). Cel mai simplu mod este să introduceți variabila $t=\frac(\pi)(2)-x$. Deoarece $x\la\frac(\pi)(2)$, atunci $t\la(0)$:

$$ \lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\stânga|\frac(0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Exemplul #11

Găsiți limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

În acest caz, nu trebuie să folosim prima limită minunată. Vă rugăm să rețineți: atât în ​​prima cât și în a doua limită, există doar funcții și numere trigonometrice. Adesea, în exemple de acest fel, este posibil să se simplifice expresia situată sub semnul limită. În acest caz, după simplificarea și reducerea menționată a unor factori, incertitudinea dispare. Am dat acest exemplu cu un singur scop: să arăt că prezența funcțiilor trigonometrice sub semnul limită nu înseamnă neapărat aplicarea primei limite remarcabile.

Deoarece $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (amintim că $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) și $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (amintim că $\cos\frac(\pi)(2)=0$), atunci avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Totuși, acest lucru nu înseamnă deloc că trebuie să folosim prima limită remarcabilă. Pentru a dezvălui incertitudinea, este suficient să luăm în considerare faptul că $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Există o soluție similară în cartea de soluții a lui Demidovich (nr. 475). În ceea ce privește a doua limită, ca și în exemplele anterioare ale acestei secțiuni, avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. De ce apare? Apare deoarece $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ și $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Folosim aceste valori pentru a transforma expresii în numărător și numitor. Scopul acțiunilor noastre: scrieți suma în numărător și numitor ca produs. Apropo, este adesea convenabil să înlocuiți o variabilă într-o formă similară, astfel încât noua variabilă să tinde spre zero (vezi, de exemplu, exemplele nr. 9 sau nr. 10 de pe această pagină). Totuși, în acest exemplu, nu are rost să înlocuiești variabila, deși este ușor să implementezi înlocuirea variabilei $t=x-\frac(2\pi)(3)$ dacă se dorește.

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\dreapta)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

După cum puteți vedea, nu a trebuit să aplicăm prima limită minunată. Desigur, acest lucru se poate face dacă se dorește (vezi nota de mai jos), dar nu este necesar.

Care ar fi soluția folosind prima limită remarcabilă? arată ascunde

Folosind prima limită remarcabilă, obținem:

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ dreapta))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Răspuns: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.