Instruire

Alegeți un număr radical un astfel de factor, a cărui eliminare de sub rădăcină expresie validă - altfel operația va pierde. De exemplu, dacă se află sub semnul rădăcină cu un exponent egal cu trei (rădăcină cubă) valorează număr 128, apoi de sub semnul poate fi scos, de exemplu, număr 5. În același timp, rădăcina număr 128 va trebui împărțit la 5 cuburi: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Dacă prezența unui număr fracționar sub semn rădăcină nu contrazice condițiile problemei, este posibil în această formă. Dacă aveți nevoie de o opțiune mai simplă, atunci mai întâi împărțiți expresia radicală în astfel de factori întregi, rădăcina cubă a unuia dintre care va fi un întreg număr m. De exemplu: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Utilizați pentru a selecta factorii numărului rădăcină, dacă nu este posibil să calculați gradul numărului în mintea dvs. Acest lucru este valabil mai ales pentru rădăcină m cu un exponent mai mare de doi. Dacă aveți acces la Internet, atunci puteți face calcule folosind calculatoare încorporate în motoarele de căutare Google și Nigma. De exemplu, dacă trebuie să găsiți cel mai mare factor întreg care poate fi scos din semnul cubicului rădăcină pentru numărul 250, apoi accesați site-ul Google și introduceți interogarea „6 ^ 3” pentru a verifica dacă este posibil să scoateți de sub semn rădăcinăşase. Motorul de căutare va afișa un rezultat egal cu 216. Din păcate, 250 nu poate fi împărțit fără un rest la aceasta număr. Apoi introduceți interogarea 5^3. Rezultatul va fi 125, iar acest lucru vă permite să împărțiți 250 în factori de 125 și 2, ceea ce înseamnă să-l scoateți din semn. rădăcină număr 5 plecând de acolo număr 2.

Surse:

• cum să-l scoți de sub rădăcină
• Rădăcina pătrată a produsului

Scoate de dedesubt rădăcină unul dintre factori este necesar în situațiile în care trebuie să simplificați o expresie matematică. Există cazuri când este imposibil să efectuați calculele necesare folosind un calculator. De exemplu, dacă sunt folosite litere ale variabilelor în loc de numere.

Instruire

Descompuneți expresia radicală în factori simpli. Vedeți care dintre factori se repetă de același număr de ori, indicat în indicatori rădăcină, sau mai mult. De exemplu, trebuie să luați rădăcina numărului a la a patra putere. În acest caz, numărul poate fi reprezentat ca a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indicator rădăcinăîn acest caz va corespunde factor a3. Trebuie scos din semn.

Extrageți separat rădăcina radicalilor rezultați, acolo unde este posibil. extracţie rădăcină este operația algebrică inversă exponențiației. extracţie rădăcină o putere arbitrară dintr-un număr, găsiți un număr care, atunci când este ridicat la această putere arbitrară, va avea ca rezultat un număr dat. Dacă extragerea rădăcină nu poate fi produs, lăsați expresia radicală sub semn rădăcină felul în care este. Ca urmare a acțiunilor de mai sus, veți face o eliminare de dedesubt semn rădăcină.

Videoclipuri asemănătoare

Notă

Aveți grijă când scrieți expresia radicală ca factori - o eroare în această etapă va duce la rezultate incorecte.

Sfaturi utile

La extragerea rădăcinilor, este convenabil să folosiți tabele speciale sau tabele de rădăcini logaritmice - acest lucru va reduce semnificativ timpul de găsire a soluției corecte.

Surse:

• semn de extracție a rădăcinii în 2019

Simplificarea expresiilor algebrice este necesară în multe domenii ale matematicii, inclusiv rezolvarea ecuațiilor de grade superioare, diferențierea și integrarea. Aceasta utilizează mai multe metode, inclusiv factorizarea. Pentru a aplica această metodă, trebuie să găsiți și să scoateți un comun factor in spate parantezele.

Instruire

Scotând factorul comun pentru parantezele- una dintre cele mai comune metode de descompunere. Această tehnică este utilizată pentru a simplifica structura expresiilor algebrice lungi, adică polinomiale. Generalul poate fi un număr, monom sau binom, iar pentru a-l găsi se folosește proprietatea distributivă a înmulțirii.

Număr. Priviți cu atenție coeficienții fiecărui polinom pentru a vedea dacă pot fi împărțiți la același număr. De exemplu, în expresia 12 z³ + 16 z² - 4, evident este factor 4. După conversie, obțineți 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Cu alte cuvinte, acest număr este cel mai puțin comun divizor întreg al tuturor coeficienților.

Mononom.Determină dacă aceeași variabilă se află în fiecare dintre termenii polinomului. Să presupunem că acesta este cazul, acum uită-te la coeficienți, ca în cazul precedent. Exemplu: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Fiecare element al acestui polinom conține variabila z. În plus, toți coeficienții sunt multipli ai lui 3. Prin urmare, factorul comun va fi monomiul 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binom.Pentru parantezele general factor din doi , o variabilă și un număr, care este un polinom general. Prin urmare, dacă factor-binomul nu este evident, atunci trebuie să găsiți cel puțin o rădăcină. Evidențiați termenul liber al polinomului, acesta este coeficientul fără variabilă. Acum aplicați metoda substituției la expresia comună a tuturor divizorilor întregi ai termenului liber.

Luați în considerare: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Verificați dacă vreunul dintre divizorii întregi ai 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Aflați z1 prin substituție simplă = 1 și z2 = 2, deci parantezele binoamele (z - 1) și (z - 2) pot fi scoase. Pentru a găsi expresia rămasă, utilizați împărțirea secvențială într-o coloană.

Pe cerc, ea a arătat cum pot fi extrase rădăcini pătrate într-o coloană. Puteți calcula rădăcina cu o precizie arbitrară, găsiți câte cifre doriți în notația sa zecimală, chiar dacă se dovedește a fi irațională. Algoritmul a fost reținut, dar au rămas întrebări. Nu era clar de unde a venit metoda și de ce dă rezultatul corect. Acest lucru nu era în cărți, sau poate că căutam doar în cărțile greșite. Drept urmare, la fel ca multe din ceea ce știu și pot face astăzi, l-am scos la iveală. Îmi împărtășesc cunoștințele aici. Apropo, încă nu știu unde este dat rațiunea algoritmului)))

Deci, mai întâi, cu un exemplu, vă spun „cum funcționează sistemul”, apoi vă explic de ce funcționează de fapt.

Să luăm un număr (numărul este luat „din tavan”, tocmai mi-a venit în minte).

1. Împărțim numerele sale în perechi: cele care sunt în stânga virgulei zecimale, grupăm două de la dreapta la stânga, iar cele din dreapta - două de la stânga la dreapta. Primim .

2. Extragem rădăcina pătrată din primul grup de cifre din stânga - în cazul nostru este (este clar că rădăcina exactă nu poate fi extrasă, luăm numărul al cărui pătrat este cât mai aproape de numărul nostru format de primul grup de cifre, dar nu îl depășește). În cazul nostru, acesta va fi un număr. Scriem ca răspuns - aceasta este cea mai mare cifră a rădăcinii.

3. Creștem numărul care este deja în răspuns - acesta este - la pătrat și scadem din primul grup de numere din stânga - din număr. În cazul nostru, rămâne

4. Atribuim următoarea grupă de două numere la dreapta: . Numărul aflat deja în răspuns este înmulțit cu , obținem .

5. Acum urmăriți cu atenție. Trebuie să adăugăm o cifră la numărul din dreapta și să înmulțim numărul cu , adică cu aceeași cifră atribuită. Rezultatul ar trebui să fie cât mai aproape de , dar din nou nu mai mult decât acest număr. În cazul nostru, acesta va fi un număr, îl scriem ca răspuns lângă, în dreapta. Aceasta este următoarea cifră din notația zecimală pentru rădăcina noastră pătrată.

6. Scăzând produsul din , obținem .

7. În continuare, repetăm ​​operațiile familiare: atribuim următorul grup de cifre la dreapta, înmulțim cu, numărului rezultat > atribuim o cifră la dreapta, astfel încât atunci când înmulțim cu ea, obținem un număr mai mic, dar cel mai apropiat de acesta - aceasta este cifra - următoarea cifră în notația zecimală a rădăcinii.

Calculele vor fi scrise astfel:

Și acum explicația promisă. Algoritmul se bazează pe formulă

Comentarii: 50

1. 2 Anton:

   Prea dezordonat și confuz. Defalcă totul și numerotează-le. Plus: explicați unde în fiecare acțiune înlocuim valorile necesare. Nu am mai calculat niciodată rădăcina într-o coloană - mi-am dat seama cu greu.

2. 5 Iulia:

3. 6 :

   Julia, 23 este în prezent scris în dreapta, acestea sunt primele două cifre (stânga) deja primite ale rădăcinii care sunt în răspuns. Înmulțim cu 2 conform algoritmului. Repetăm ​​pașii descriși în paragraful 4.

4. 7zzz:

   eroare în „6. Din 167 scadem produsul 43 * 3 = 123 (129 nada), obținem 38.”
   nu este clar cum după virgulă a ieșit 08 ...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Și chiar și în era pre-calculator, am fost învățați la școală nu numai pătratul, ci și rădăcina cubului într-o coloană pentru a extrage, dar aceasta este o muncă mai obositoare și mai migăloasă. Era mai ușor să folosești mesele Bradis sau rigula, pe care le studiam deja în liceu.

6. 10 :

   Alexandru, ai dreptate, poți extrage într-o coloană și rădăcini de grade mari. O să scriu despre cum să găsesc rădăcina cubă.

7. 12 Serghei Valentinovici:

   Dragă Elisabeta Alexandrovna! La sfârșitul anilor 70, am dezvoltat o schemă de calcul automat (adică, nu prin selecție) a pătratelor. root pe mașina de adăugare Felix. Dacă sunteți interesat, vă pot trimite o descriere.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Extragerea rădăcinii pătrate într-o coloană)))
   Algoritmul este simplificat dacă folosești sistemul numeric al 2-lea, care este studiat în informatică, dar este util și în matematică. UN. Kolmogorov a citat acest algoritm în prelegerile populare pentru școlari. Articolul său poate fi găsit în „Colecția Chebyshev” (Jurnal de matematică, căutați un link către acesta pe Internet)
   Pentru ocazie, spune:
   G. Leibniz s-a grăbit la un moment dat cu ideea de a trece de la al 10-lea sistem de numere la binar datorită simplității și accesibilității sale pentru începători (scolari juniori). Dar a rupe tradițiile consacrate este ca și cum ai sparge cu fruntea porțile cetății: se poate, dar este inutil. Așa se dovedește, după cum spune filozoful cu barbă cel mai citat în vremuri: tradițiile tuturor generațiilor moarte suprimă conștiința celor vii.

   Ne vedem data viitoare.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Serghei Valentinovich, da, sunt interesat ... ((

   Pun pariu că aceasta este o variantă Felix a metodei babiloniene de extragere a calului pătrat prin aproximări succesive. Acest algoritm a fost înlocuit de metoda lui Newton (metoda tangentei)

   Mă întreb dacă am făcut vreo greșeală în prognoză?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Da, algoritmul în binar ar trebui să fie mai simplu, asta este destul de evident.

    Despre metoda lui Newton. Poate că este, dar este încă interesant

11. 20 Chiril:

    Mulțumesc foarte mult. Dar algoritmul încă nu există, nu se știe de unde a venit, dar rezultatul este corect. MULȚUMESC MULT! Caut asta de mult timp

12. 21 Alexandru:

    Și cum va merge extragerea rădăcinii din număr, unde al doilea grup de la stânga la dreapta este foarte mic? de exemplu, numărul preferat al tuturor este 4 398 046 511 104. după prima scădere, este imposibil să continui totul conform algoritmului. Explica te rog.

13. 22 Alexey:

    Da, știu așa. Îmi amintesc că am citit-o în cartea „Algebra” a unei ediții vechi. Apoi, prin analogie, el însuși a dedus cum să extragă rădăcina cubă din aceeași coloană. Dar este deja mai complicat acolo: fiecare cifră nu mai este determinată într-una singură (ca pentru un pătrat), ci în două scăderi și chiar și acolo de fiecare dată trebuie să înmulțiți numere lungi.

14. 23 Artem:

    Există greșeli de tipar în exemplul de luare a rădăcinii pătrate a lui 56789,321. Grupul de numere 32 este atribuit de două ori numerelor 145 și 243, în numărul 2388025 al doilea 8 trebuie înlocuit cu 3. Apoi ultima scădere trebuie scrisă astfel: 2431000 - 2383025 = 47975.
    În plus, când împărțim restul la valoarea dublată a răspunsului (excluzând virgula), obținem un număr suplimentar de cifre semnificative (47975/(2*238305) = 0,100658819…), care ar trebui adăugat la răspuns (√56789,321). = 238,305... = 238,305100659).

15. 24 Serghei:

    Se pare că algoritmul a venit din cartea lui Isaac Newton „Aritmetică generală sau o carte despre sinteza și analiza aritmetică”. Iată un extras din el:

    DESPRE RĂDĂCINI

    Pentru a extrage rădăcina pătrată dintr-un număr, în primul rând, ar trebui să puneți un punct peste numerele sale prin unu, începând de la unități. Apoi este necesar să scrieți în câtul sau la rădăcină numărul al cărui pătrat este egal sau cel mai apropiat în defect de numerele sau cifra care precedă primul punct. După scăderea acestui pătrat, cifrele rămase ale rădăcinii vor fi găsite succesiv, împărțind restul la de două ori valoarea părții deja extrase a rădăcinii și scăzând de fiecare dată din restul pătratului ultima cifră găsită și produsul ei de zece ori cu numitul divizor.

16. 25 Serghei:

    Corectați titlul cărții „Aritmetică generală sau o carte despre sinteza și analiza aritmetică”

17. 26 Alexandru:

    Mulțumesc pentru conținutul interesant. Dar această metodă mi se pare ceva mai complicată decât este necesar, de exemplu, pentru un școlar. Folosesc o metodă mai simplă bazată pe extinderea unei funcții pătratice folosind primele două derivate. Formula sa este:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 unde
    A1 este un număr întreg al cărui pătrat este cel mai apropiat de x;
    A2 este o fracție, la numărătorul x-A1, la numitorul 2*A1.
    Pentru majoritatea numerelor întâlnite la cursul școlar, acest lucru este suficient pentru a obține un rezultat precis până la sutimea.
    Dacă aveți nevoie de un rezultat mai precis, luați
    A3 este o fracție, la numărătorul A2 la pătrat, la numitorul 2 * A1 + 1.
    Desigur, aveți nevoie de un tabel de pătrate de numere întregi pentru a aplica, dar aceasta nu este o problemă la școală. Amintirea acestei formule este destul de simplă.
    Cu toate acestea, mă încurcă faptul că am obținut A3 empiric ca urmare a experimentelor cu o foaie de calcul și nu prea înțeleg de ce acest termen are o astfel de formă. Poate poți să sfătuiești?

18. 27 Alexandru:

    Da, am luat în considerare și aceste considerente, dar diavolul este în detalii. Tu scrii:
    „pentru că a2 și b diferă deja destul de mult.” Întrebarea este exact cât de puțin.
    Această formulă funcționează bine pe numerele din al doilea zece și mult mai rău (nu până la sutimi, doar până la zecimi) pe numerele primelor zece. De ce se întâmplă acest lucru este deja dificil de înțeles fără a implica derivate.

19. 28 Alexandru:

    O sa clarific unde vad avantajul formulei pe care am propus-o. Nu necesită împărțirea nu tocmai naturală a numerelor în perechi de cifre, care, după cum arată experiența, este adesea efectuată cu erori. Semnificația sa este evidentă, dar pentru o persoană familiarizată cu analiza, este banal. Funcționează bine pe numerele de la 100 la 1000, cele mai comune în școală.

20. 29 Alexandru:

    Apropo, am făcut câteva săpături și am găsit expresia exactă pentru A3 în formula mea:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    În timpul nostru, utilizarea pe scară largă a tehnologiei informatice, problema extragerii unui cal pătrat dintr-un număr din punct de vedere practic nu merită. Dar pentru iubitorii de matematică, desigur, sunt de interes diverse opțiuni pentru rezolvarea acestei probleme. În programa școlară, metoda acestui calcul fără atragerea de fonduri suplimentare ar trebui să aibă loc la egalitate cu înmulțirea și împărțirea într-o coloană. Algoritmul de calcul ar trebui să fie nu numai memorat, ci și ușor de înțeles. Metoda clasică furnizată în acest material pentru discuții cu dezvăluirea esenței respectă pe deplin criteriile de mai sus.
    Un dezavantaj semnificativ al metodei propuse de Alexander este utilizarea unui tabel de pătrate de numere întregi. La cât de mare parte a numărului întâlnit în cursul școlar este limitat, autorul tace. În ceea ce privește formula, în ansamblu mă impresionează prin prisma preciziei relativ ridicate a calculului.

22. 31 Alexandru:

    pentru 30 vasil stryzhak
    Nu mi-a scăpat nimic. Se presupune că tabelul cu pătrate este de până la 1000. Pe vremea când am fost la școală, pur și simplu îl memorau la școală și era în toate manualele de matematică. Am numit în mod explicit acest interval.
    În ceea ce privește tehnologia computerelor, aceasta nu este folosită în principal la lecțiile de matematică, cu excepția cazului în care există un subiect special de utilizare a calculatorului. Calculatoarele sunt acum încorporate în dispozitive care sunt interzise pentru utilizare la examen.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexandru, mulțumesc pentru clarificare! M-am gândit că pentru metoda propusă este teoretic necesar să ne amintim sau să folosiți tabelul de pătrate al tuturor numerelor de două cifre. Apoi, pentru numerele radicale care nu sunt incluse în intervalul de la 100 la 10000, puteți utiliza metoda de crestere sau scadere a acestora cu numarul necesar de ordine prin mutarea virgulei.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDRU:

    PRIMUL MEU PROGRAM ÎN LIMBA „YAMB” PE MAȘINA SOVIETICĂ „ISKRA 555” A FOST SCRIS PENTRU A EXTRAGE RADĂDINA PĂTRATĂ DIN UN NUMĂR DUPĂ EXTRACȚIA LA UN ALGORITM DE COLANĂ! și acum am uitat cum să-l extrag manual!

Să luăm în considerare acest algoritm cu un exemplu. Sa gasim

primul pas. Împărțim numărul de sub rădăcină în două cifre (de la dreapta la stânga):

al 2-lea pas. Extragem rădăcina pătrată din prima față, adică din numărul 65, obținem numărul 8. Sub prima față scriem pătratul numărului 8 și scădem. Atribuim a doua față (59) restului:

(numărul 159 este primul rest).

al 3-lea pas. Dublam rădăcina găsită și scriem rezultatul în stânga:

al 4-lea pas. Separăm în restul (159) o cifră în dreapta, în stânga obținem numărul de zeci (este egal cu 15). Apoi împărțim 15 la prima cifră dublată a rădăcinii, adică la 16, deoarece 15 nu este divizibil cu 16, apoi în coeficient obținem zero, pe care îl scriem ca a doua cifră a rădăcinii. Deci, în coeficient am primit numărul 80, pe care îl dublem din nou și demolăm următoarea față

(numărul 15901 este al doilea rest).

al 5-lea pas. Separăm o cifră de dreapta în al doilea rest și împărțim numărul rezultat 1590 la 160. Rezultatul (numărul 9) se scrie ca a treia cifră a rădăcinii și se atribuie numărului 160. Numărul rezultat 1609 este înmulțit cu 9 și găsim următorul rest (1420):

Alte acțiuni sunt efectuate în secvența indicată în algoritm (rădăcina poate fi extrasă cu gradul de precizie necesar).

Cometariu. Dacă expresia rădăcină este o fracție zecimală, atunci partea sa întreagă este împărțită în două cifre de la dreapta la stânga, partea fracțională este împărțită în două cifre de la stânga la dreapta, iar rădăcina este extrasă conform algoritmului specificat.

MATERIAL DIDACTIC

1. Se ia rădăcina pătrată a numărului: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Ce este o rădăcină pătrată?

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest concept este foarte simplu. Natural, as spune. Matematicienii încearcă să găsească o reacție pentru fiecare acțiune. Există adunare și există scădere. Există înmulțire și există împărțire. Există pătrat... Așa că există și extragerea rădăcinii pătrate! Asta e tot. Această acțiune ( luând rădăcina pătrată) în matematică este notat cu această pictogramă:

Icoana în sine este numită cuvântul frumos " radical".

Cum se extrage rădăcina? Este mai bine să luați în considerare exemple.

Care este rădăcina pătrată a lui 9? Și ce număr pătrat ne va da 9? 3 pătrat ne dă 9! Acestea:

Care este rădăcina pătrată a lui zero? Nici o problema! Ce număr la pătrat oferă zero? Da, el însuși dă zero! Mijloace:

Prins ce este o rădăcină pătrată? Atunci luăm în considerare exemple:

Răspunsuri (în dezordine): 6; unu; 4; nouă; 5.

Hotărât? Într-adevăr, este mult mai ușor!

Dar... Ce face o persoană când vede o sarcină cu rădăcini?

O persoană începe să tânjească ... Nu crede în simplitatea și ușurința rădăcinilor. Deși pare să știe ce este rădăcina pătrată...

Acest lucru se datorează faptului că o persoană a ignorat mai multe puncte importante atunci când studiază rădăcinile. Apoi aceste mofturi se răzbune brutal pe teste și examene...

Punctul unu. Rădăcinile trebuie recunoscute din vedere!

Care este rădăcina pătrată a lui 49? Șapte? Dreapta! De unde ai știut că sunt șapte? A pătrat șapte și a primit 49? Corect! Vă rugăm să rețineți că extrage rădăcina din 49, a trebuit să facem operația inversă - pătratul 7! Și asigură-te că nu ratam. Sau ar putea rata...

Aici constă dificultatea extragerea rădăcinilor. Pătrare orice număr este posibil fără probleme. Înmulțiți numărul cu el însuși într-o coloană - și asta este tot. Dar pentru extragerea rădăcinilor nu există o tehnologie atât de simplă și fără probleme. cont pentru ridica răspunde și verifică dacă este lovit de pătrat.

Acest proces creativ complex - alegerea unui răspuns - este mult simplificat dacă dvs tine minte pătratele numerelor populare. Ca o masă de înmulțire. Dacă, să zicem, trebuie să înmulțiți 4 cu 6 - nu le adunați de 6 ori, nu-i așa? Răspunsul apare imediat 24. Deși, nu toată lumea îl are, da...

Pentru a lucra gratuit și de succes cu rădăcini, este suficient să cunoașteți pătratele numerelor de la 1 la 20. Mai mult, Acoloși înapoi. Acestea. ar trebui să puteți numi cu ușurință atât, de exemplu, 11 pătrat, cât și rădăcina pătrată a lui 121. Pentru a realiza această memorare, există două moduri. Primul este să înveți tabelul pătratelor. Acest lucru va ajuta foarte mult cu exemple. Al doilea este de a rezolva mai multe exemple. Este grozav să ne amintim de tabelul pătratelor.

Și fără calculatoare! Doar pentru verificare. În caz contrar, vei încetini fără milă în timpul examenului...

Asa de, ce este rădăcina pătrată Si cum extrage rădăcinile- Cred că este de înțeles. Acum haideți să aflăm DIN CE le puteți extrage.

Punctul doi. Root, nu te cunosc!

Din ce numere poți lua rădăcini pătrate? Da, aproape orice. E mai ușor de înțeles ce este interzis extrage-le.

Să încercăm să calculăm această rădăcină:

Pentru a face acest lucru, trebuie să ridicați un număr care pătratul ne va da -4. Selectam.

Ce nu este selectat? 2 2 dă +4. (-2) 2 dă din nou +4! Gata... Nu există numere care, la pătrat, să ne dea un număr negativ! Chiar dacă știu cifrele. Dar nu vă spun.) Du-te la facultate și află singur.

Aceeași poveste va fi cu orice număr negativ. De aici concluzia:

O expresie în care un număr negativ se află sub semnul rădăcinii pătrate - nu are sens! Aceasta este o operațiune interzisă. La fel de interzis ca împărțirea la zero. Tine cont de acest fapt! Sau, cu alte cuvinte:

Nu poți extrage rădăcini pătrate din numere negative!

Dar din restul - poți. De exemplu, este posibil să se calculeze

La prima vedere, acest lucru este foarte dificil. Ridică fracții, dar pătrați... Nu vă faceți griji. Când ne ocupăm de proprietățile rădăcinilor, astfel de exemple se vor reduce la același tabel de pătrate. Viața va deveni mai ușoară!

Bine fracții. Dar încă întâlnim expresii precum:

E bine. Tot la fel. Rădăcina pătrată a lui doi este numărul care, la pătrat, ne va da un deuce. Doar numărul este complet inegal... Iată-l:

Interesant este că această fracție nu se termină niciodată... Astfel de numere se numesc iraționale. În rădăcini pătrate, acesta este cel mai comun lucru. Apropo, de aceea se numesc expresiile cu rădăcini iraţional. Este clar că a scrie o astfel de fracție infinită tot timpul este incomod. Prin urmare, în loc de o fracție infinită, o lasă așa:

Dacă, atunci când rezolvați exemplul, obțineți ceva care nu poate fi extras, cum ar fi:

apoi o lasam asa. Acesta va fi răspunsul.

Trebuie să înțelegeți clar ce se află sub pictograme

Desigur, dacă se ia rădăcina numărului neted, trebuie să faci asta. Răspunsul sarcinii în formular, de exemplu

un raspuns destul de complet.

Și, desigur, trebuie să cunoașteți valorile aproximative din memorie:

Aceste cunoștințe ajută foarte mult la evaluarea situației în sarcini complexe.

Punctul trei. Cel mai viclean.

Principala confuzie în munca cu rădăcinile este adusă tocmai de acest moft. El este cel care dă îndoială de sine... Să ne descurcăm corect cu acest moft!

Pentru început, extragem din nou rădăcina pătrată a celor patru. Ce, te-am prins deja cu această rădăcină?) Nimic, acum va fi interesant!

Ce număr va da în pătratul lui 4? Ei bine, doi, doi - aud răspunsuri nemulțumite...

Dreapta. Două. Dar de asemenea minus doi va da 4 pătrat... Între timp, răspunsul

corect si raspunsul

cea mai grosolană greșeală. Ca aceasta.

Deci care e treaba?

Într-adevăr, (-2) 2 = 4. Și sub definiția rădăcinii pătrate a lui patru minus doi destul de potrivit... Aceasta este și rădăcina pătrată a lui patru.

Dar! În cursul școlar de matematică, se obișnuiește să se ia în considerare rădăcinile pătrate doar numere nenegative! Adică zero și toate pozitive. Chiar și un termen special a fost inventat: din număr A- Acest nenegativ număr al cărui pătrat este A. Rezultatele negative la extragerea rădăcinii pătrate aritmetice sunt pur și simplu aruncate. La școală, toate rădăcinile pătrate - aritmetic. Deși nu este menționat în mod specific.

Bine, e de înțeles. Este și mai bine să nu te încurci cu rezultate negative... Încă nu e confuzie.

Confuzia începe la rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație.

Ecuația este simplă, scriem răspunsul (cum este predat):

Acest răspuns (destul de corect, de altfel) este doar o notație prescurtată Două raspunsuri:

Opreste opreste! Puțin mai sus am scris că rădăcina pătrată este un număr mereu nenegativ! Și iată unul dintre răspunsuri - negativ! Tulburare. Aceasta este prima (dar nu ultima) problemă care provoacă neîncredere în rădăcini... Să rezolvăm această problemă. Să notăm răspunsurile (doar pentru înțelegere!) astfel:

Parantezele nu schimbă esența răspunsului. Tocmai am separat cu paranteze semne din rădăcină. Acum se vede clar că rădăcina în sine (în paranteze) este încă un număr nenegativ! Și semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației. La urma urmei, atunci când rezolvăm orice ecuație, trebuie să scriem toate x, care, atunci când este înlocuită în ecuația originală, va da rezultatul corect. Rădăcina lui cinci (pozitivă!) este potrivită pentru ecuația noastră atât cu plus, cât și cu minus.

Ca aceasta. daca tu luați doar rădăcina pătrată din orice tu mereu obține unul nenegativ rezultat. De exemplu:

Pentru ca - rădăcină pătrată aritmetică.

Dar dacă rezolvați o ecuație pătratică precum:

apoi mereu se dovedește Două raspuns (cu plus si minus):

Pentru că este soluția unei ecuații.

Speranţă, ce este rădăcina pătrată ai inteles corect cu punctele tale. Acum rămâne să aflăm ce se poate face cu rădăcinile, care sunt proprietățile lor. Și care sunt mofturile și cutiile subacvatice... scuzați-mă, pietre!)

Toate acestea - în lecțiile următoare.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Faptul 1.
\(\bullet\) Luați un număr nenegativ \(a\) (adică \(a\geqslant 0\) ). Apoi (aritmetică) rădăcină pătrată din numărul \(a\) se numește un astfel de număr nenegativ \(b\), la pătrat obținem numărul \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(la fel ca )\quad a=b^2\] Din definiţie rezultă că \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Aceste restricții sunt o condiție importantă pentru existența unei rădăcini pătrate și trebuie reținute!
Amintiți-vă că orice număr la pătrat dă un rezultat nenegativ. Adică \(100^2=10000\geqslant 0\) și \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ce este \(\sqrt(25)\)? Știm că \(5^2=25\) și \((-5)^2=25\) . Deoarece prin definiție trebuie să găsim un număr nenegativ, \(-5\) nu este potrivit, deci \(\sqrt(25)=5\) (deoarece \(25=5^2\) ).
Găsirea valorii \(\sqrt a\) se numește luarea rădăcinii pătrate a numărului \(a\) , iar numărul \(a\) se numește expresie rădăcină.
\(\bullet\) Pe baza definiției, expresiile \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. nu au sens.

Faptul 2.
Pentru calcule rapide, va fi util să înveți tabelul de pătrate ale numerelor naturale de la \(1\) la \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(matrice)\]

Faptul 3.
Ce se poate face cu rădăcini pătrate?
\(\glonţ\) Suma sau diferența rădăcinilor pătrate NU este EGALĂ cu rădăcina pătrată a sumei sau diferenței, adică \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Astfel, dacă trebuie să calculați, de exemplu, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , atunci inițial trebuie să găsiți valorile \(\sqrt(25)\) și \(\sqrt (49)\ ) și apoi adună-le. Prin urmare, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Dacă valorile \(\sqrt a\) sau \(\sqrt b\) nu pot fi găsite la adăugarea \(\sqrt a+\sqrt b\), atunci o astfel de expresie nu este convertită și rămâne așa cum este. De exemplu, în suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) putem găsi \(\sqrt(49)\) - aceasta este \(7\) , dar \(\sqrt 2\) nu poate fi convertit în orice fel, De aceea \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). În plus, această expresie, din păcate, nu poate fi simplificată în niciun fel.\(\bullet\) Produsul/coeficientul rădăcinilor pătrate este egal cu rădăcina pătrată a produsului/coeficientului, adică. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (cu condiția ca ambele părți ale egalităților să aibă sens)
Exemplu: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Folosind aceste proprietăți, este convenabil să găsiți rădăcinile pătrate ale numerelor mari prin factorizarea acestora.
Luați în considerare un exemplu. Găsiți \(\sqrt(44100)\) . Deoarece \(44100:100=441\) , atunci \(44100=100\cdot 441\) . Conform criteriului divizibilității, numărul \(441\) este divizibil cu \(9\) (deoarece suma cifrelor sale este 9 și este divizibil cu 9), prin urmare, \(441:9=49\) , adică \(441=9\ cdot 49\) .
Astfel, avem: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Să ne uităm la un alt exemplu: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Să arătăm cum să introduceți numere sub semnul rădăcinii pătrate folosind exemplul expresiei \(5\sqrt2\) (prescurtarea expresiei \(5\cdot \sqrt2\) ). Deoarece \(5=\sqrt(25)\) , atunci \ De asemenea, rețineți că, de exemplu,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

De ce este asta? Să explicăm cu exemplul 1). După cum ați înțeles deja, nu putem converti cumva numărul \(\sqrt2\) . Imaginează-ți că \(\sqrt2\) este un număr \(a\) . În consecință, expresia \(\sqrt2+3\sqrt2\) nu este altceva decât \(a+3a\) (un număr \(a\) plus încă trei numere identice \(a\) ). Și știm că acesta este egal cu patru astfel de numere \(a\) , adică \(4\sqrt2\) .

Faptul 4.
\(\bullet\) Se spune adesea „nu se poate extrage rădăcina” atunci când nu se poate scăpa de semnul \(\sqrt () \ \) al rădăcinii (radicalului) atunci când se află valoarea unui număr. De exemplu, puteți înrădăcina numărul \(16\) deoarece \(16=4^2\) , deci \(\sqrt(16)=4\) . Dar să extragi rădăcina din numărul \(3\) , adică să găsești \(\sqrt3\) , este imposibil, deoarece nu există un astfel de număr care la pătrat să dea \(3\) .
Astfel de numere (sau expresii cu astfel de numere) sunt iraționale. De exemplu, numerele \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. sunt iraționale.
De asemenea, sunt iraționale numerele \(\pi\) (numărul „pi”, aproximativ egal cu \(3,14\) ), \(e\) (acest număr se numește numărul Euler, aproximativ egal cu \(2). ,7\) ) etc.
\(\bullet\) Vă rugăm să rețineți că orice număr va fi rațional sau irațional. Și împreună toate numerele raționale și toate numerele iraționale formează o mulțime numită set de numere reale (reale). Această mulțime este notă cu litera \(\mathbb(R)\) .
Aceasta înseamnă că toate numerele pe care le cunoaștem în prezent se numesc numere reale.

Faptul 5.
\(\bullet\) Modulul unui număr real \(a\) este un număr nenegativ \(|a|\) egal cu distanța de la punctul \(a\) la \(0\) pe real linia. De exemplu, \(|3|\) și \(|-3|\) sunt egale cu 3, deoarece distanțele de la punctele \(3\) și \(-3\) la \(0\) sunt același și egal cu \(3 \) .
\(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr nenegativ, atunci \(|a|=a\) .
Exemplu: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr negativ, atunci \(|a|=-a\) .
Exemplu: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ei spun că pentru numerele negative, modulul „mâncă” minusul, iar numerele pozitive, precum și numărul \(0\) , modulul lasă neschimbat.
DAR această regulă se aplică numai numerelor. Dacă aveți o necunoscută \(x\) (sau o altă necunoscută) sub semnul modulului, de exemplu, \(|x|\) , despre care nu știm dacă este pozitiv, egal cu zero sau negativ, atunci scăpam de modulul nu putem. În acest caz, această expresie rămâne astfel: \(|x|\) . \(\bullet\) Următoarele formule sunt valabile: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( furnizat ) a\geqslant 0\] Se face adesea următoarea greșeală: se spune că \(\sqrt(a^2)\) și \((\sqrt a)^2\) sunt același lucru. Acest lucru este adevărat numai atunci când \(a\) este un număr pozitiv sau zero. Dar dacă \(a\) este un număr negativ, atunci acest lucru nu este adevărat. Este suficient să luăm în considerare un astfel de exemplu. Să luăm numărul \(-1\) în loc de \(a\). Atunci \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , dar expresia \((\sqrt (-1))^2\) nu există deloc (pentru că este imposibil sub semnul rădăcină pune numere negative!).
Prin urmare, vă atragem atenția asupra faptului că \(\sqrt(a^2)\) nu este egal cu \((\sqrt a)^2\) ! Exemplu: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), deoarece \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Deoarece \(\sqrt(a^2)=|a|\) , atunci \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (expresia \(2n\) denotă un număr par)
Adică, atunci când extrageți rădăcina dintr-un număr care este într-o anumită măsură, acest grad este înjumătățit.
Exemplu:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (rețineți că, dacă modulul nu este setat, atunci se dovedește că rădăcina numărului este egală cu \(-25) \) ; dar ne amintim, care, prin definiția rădăcinii, aceasta nu poate fi: atunci când extragem rădăcina, ar trebui să obținem întotdeauna un număr pozitiv sau zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (deoarece orice număr la o putere pară este nenegativ)

Faptul 6.
Cum se compară două rădăcini pătrate?
\(\bullet\) Adevărat pentru rădăcini pătrate: dacă \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemplu:
1) comparați \(\sqrt(50)\) și \(6\sqrt2\) . În primul rând, transformăm a doua expresie în \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Astfel, deoarece \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Între care numere întregi se află \(\sqrt(50)\) ?
Deoarece \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) și \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Comparați \(\sqrt 2-1\) și \(0,5\) . Să presupunem că \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((adăugați unul pe ambele părți))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((pătrat ambele părți))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vedem că am obținut o inegalitate incorectă. Prin urmare, presupunerea noastră a fost greșită și \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Rețineți că adăugarea unui anumit număr de ambele părți ale inegalității nu afectează semnul acestuia. Înmulțirea/împărțirea ambelor părți ale inegalității cu un număr pozitiv, de asemenea, nu afectează semnul acestuia, dar înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ inversează semnul inegalității!
Ambele părți ale unei ecuații/inegalități pot fi la pătrat NUMAI DACĂ ambele părți sunt nenegative. De exemplu, în inegalitatea din exemplul anterior, puteți pătra ambele părți, în inegalitatea \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Rețineți că \[\begin(aliniat) &\sqrt 2\aproximativ 1,4\\ &\sqrt 3\aproximativ 1,7 \end(aliniat)\] Cunoașterea semnificației aproximative a acestor numere vă va ajuta atunci când comparați numere! \(\bullet\) Pentru a extrage rădăcina (dacă este extrasă) dintr-un număr mare care nu se află în tabelul de pătrate, trebuie mai întâi să determinați între ce „sute” este, apoi între care „zeci”, și apoi determinați ultima cifră a acestui număr. Să arătăm cum funcționează cu un exemplu.
Luați \(\sqrt(28224)\) . Știm că \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) și așa mai departe. Rețineți că \(28224\) este între \(10\,000\) și \(40\,000\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) este între \(100\) și \(200\) .
Acum să stabilim între care „zeci” este numărul nostru (adică, de exemplu, între \(120\) și \(130\) ). De asemenea, știm din tabelul pătratelor că \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., apoi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Deci vedem că \(28224\) este între \(160^2\) și \(170^2\) . Prin urmare, numărul \(\sqrt(28224)\) este între \(160\) și \(170\) .
Să încercăm să determinăm ultima cifră. Să ne amintim ce numere cu o singură cifră dau la pătrat la sfârșitul \ (4 \) ? Acestea sunt \(2^2\) și \(8^2\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) se va termina fie cu 2, fie cu 8. Să verificăm acest lucru. Găsiți \(162^2\) și \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prin urmare \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Pentru rezolvarea adecvată a examenului de matematică, în primul rând, este necesară studierea materialului teoretic, care introduce numeroase teoreme, formule, algoritmi etc. La prima vedere, poate părea că acest lucru este destul de simplu. Totuși, găsirea unei surse în care teoria pentru examenul unificat de stat la matematică să fie prezentată ușor și înțeles pentru studenții cu orice nivel de pregătire este, de fapt, o sarcină destul de dificilă. Manualele școlare nu pot fi ținute întotdeauna la îndemână. Iar găsirea formulelor de bază pentru examenul la matematică poate fi dificilă chiar și pe Internet.

De ce este atât de important să studiezi teoria la matematică, nu doar pentru cei care susțin examenul?

1. Pentru că îți lărgește orizonturile. Studiul materialului teoretic în matematică este util pentru oricine dorește să obțină răspunsuri la o gamă largă de întrebări legate de cunoașterea lumii. Totul în natură este ordonat și are o logică clară. Acesta este exact ceea ce se reflectă în știință, prin care este posibil să înțelegem lumea.
2. Pentru că dezvoltă intelectul. Studiind materialele de referință pentru examenul de matematică, precum și rezolvarea diferitelor probleme, o persoană învață să gândească și să raționeze logic, să formuleze gândurile corect și clar. Își dezvoltă capacitatea de a analiza, generaliza, trage concluzii.

Vă invităm să evaluați personal toate avantajele abordării noastre de sistematizare și prezentare a materialelor educaționale.