Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este opusul diferențierii și anume refacerea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția restabilită în acest fel F(X) se numește primitiv pentru functie f(X).

Definiție 1. Funcție F(X f(X) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile X din acest interval egalitatea F "(X)=f(X), adică această funcție f(X) este derivata funcției antiderivative F(X). .

De exemplu, funcția F(X) = păcat X este antiderivată pentru funcție f(X) = cos X pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat X)" = (cos X) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(X) este colecția tuturor antiderivatelor sale. Aceasta folosește notația

∫

f(X)dx

,

unde este semnul ∫ se numește semn integral, funcție f(X) este un integrand și f(X)dx este integrantul.

Astfel, dacă F(X) este un antiderivat pentru f(X) , apoi

∫

f(X)dx = F(X) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să fie o ușă (o ușă tradițională de lemn). Funcția sa este „a fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Dintr-un copac. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate desemna, pt. de exemplu, o specie de copac. La fel cum o uşă este făcută din lemn cu unele unelte, derivata unei funcţii este „facut” din funcţia antiderivată cu formula pe care am învățat-o studiind derivata .

Apoi tabelul de funcții ale obiectelor comune și primitivele lor corespunzătoare ("a fi o ușă" - "a fi un copac", "a fi o lingură" - "a fi un metal", etc.) este similar cu tabelul de integrale nedefinite de bază, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune, indicând antiderivatele din care sunt „alcătuite” aceste funcții. Ca parte a sarcinilor de găsire a integralei nedefinite, sunt date astfel de integranți care pot fi integrați direct fără eforturi deosebite, adică conform tabelului de integrale nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat, astfel încât integralele tabelare să poată fi utilizate.

Faptul 2. Restabilind o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară C, iar pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diverse constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, astfel: 5 X³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 X³+4 sau 5 X³+3 și la diferențierea 4 sau 3 sau orice altă constantă dispare.

Punem problema de integrare: pentru o functie data f(X) găsiți o astfel de funcție F(X), al cărui derivat este egal cu f(X).

Exemplul 1 Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Decizie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(X) se numește antiderivată pentru funcție f(X) dacă derivata F(X) este egal cu f(X), sau, ceea ce este același lucru, diferența F(X) este egal cu f(X) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este antiderivată pentru funcția . Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Sunt și funcții

Unde Cu este o constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un set infinit de antiderivate care diferă printr-un sumand constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2).În cazul în care un F(X) este antiderivată pentru funcție f(X) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(X) pe același interval poate fi reprezentat ca F(X) + C, Unde Cu este o constantă arbitrară.

În exemplul următor, trecem deja la tabelul de integrale, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a ne familiariza cu întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime la integrare.

Exemplul 2 Găsiți seturi de antiderivate:

Decizie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată, acceptați doar că există astfel de formule și vom studia tabelul integralelor nedefinite în întregime puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pentru n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) la n= -1/4 găsi

Sub semnul integral, ei nu scriu funcția în sine f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica ce variabilă este căutată antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile luate în considerare se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a unei variabile X, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să fie necesar să se găsească o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta pantei tangentei în fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangentei pantei tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci, trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este derivat din f(x). Condiția problemei este satisfăcută nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre aceste curbe și orice altă curbă pot fi obținute din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. În cazul în care un F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) este o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la origine este determinată de o constantă (constant) arbitrară de integrare C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(X) este egală cu funcția f(X) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

În calculul diferenţial, problema se rezolvă: sub funcția dată ƒ(x) găsiți derivata acesteia(sau diferential). Calculul integral rezolvă problema inversă: pentru a găsi funcția F (x), cunoscând derivata ei F "(x) \u003d ƒ (x) (sau diferențială). Funcția dorită F (x) se numește antiderivată a funcției ƒ (x).

Se numește funcția F(x). primitiv funcția ƒ(x) pe intervalul (a; b), dacă pentru orice x є (a; b) egalitatea

F " (x)=ƒ(x) (sau dF(x)=ƒ(x)dx).

de exemplu, funcția antiderivată y \u003d x 2, x є R, este o funcție, deoarece

Evident, antiderivatele vor fi, de asemenea, orice funcție

unde C este o constantă, deoarece

Teorema 29. 1. Dacă funcția F(x) este antiderivată a funcției ƒ(x) pe (a;b), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor pentru ƒ(x) este dată de formula F(x)+ C, unde C este un număr constant.

▲ Funcția F(x)+C este antiderivată a lui ƒ(x).

Într-adevăr, (F(x)+C) „=F” (x)=ƒ(x).

Fie F(x) o altă funcție, diferită de F(x), antiderivată ƒ(x), adică Ф "(x)=ƒ(x). Atunci pentru orice x є (a; b) avem

Și aceasta înseamnă (vezi Corolarul 25.1) că

unde C este un număr constant. Prin urmare, Ф(х)=F(x)+С.▼

Se numește mulțimea tuturor funcțiilor primitive F(x)+C pentru ƒ(x). integrală nedefinită a funcției ƒ(x)și se notează prin simbolul ∫ ƒ(x) dx.

Deci prin definiție

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Aici se numește ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - variabila de integrare, ∫ -semn integral nedefinit.

Operația de găsire a unei integrale nedefinite a unei funcții se numește integrarea acestei funcții.

Integrala nedefinită geometric este o familie de curbe „paralele” y \u003d F (x) + C (fiecare valoare numerică a lui C corespunde unei anumite curbe a familiei) (vezi Fig. 166). Graficul fiecărei antiderivate (curbe) se numește curba integrala.

Fiecare funcție are o integrală nedefinită?

Există o teoremă care spune că „fiecare funcție continuă pe (a;b) are o antiderivată pe acest interval”, și, în consecință, o integrală nedefinită.

Remarcăm o serie de proprietăți ale integralei nedefinite care decurg din definiția ei.

1. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul, iar derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) „=ƒ(x).

Într-adevăr, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Datorită acestei proprietăți, corectitudinea integrării este verificată prin diferențiere. De exemplu, egalitatea

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

adevărat, deoarece (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

∫dF(x)=F(x)+C.

Într-adevăr,

3. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

α ≠ 0 este o constantă.

Într-adevăr,

(puneți C 1 / a \u003d C.)

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții continue este egală cu suma algebrică a integralelor termenilor funcțiilor:

Fie F"(x)=ƒ(x) și G"(x)=g(x). Apoi

unde C 1 ±C 2 \u003d C.

5. (Invarianța formulei de integrare).

În cazul în care un , unde u=φ(x) este o funcție arbitrară care are o derivată continuă.

▲ Fie x o variabilă independentă, ƒ(x) o funcție continuă și F(x) antiderivată. Apoi

Să setăm acum u=φ(x), unde φ(x) este o funcție diferențiabilă continuu. Se consideră o funcție complexă F(u)=F(φ(x)). Datorită invarianţei formei primei diferenţiale a funcţiei (vezi p. 160), avem

De aici▼

Astfel, formula pentru integrala nedefinită rămâne valabilă indiferent dacă variabila de integrare este o variabilă independentă sau orice funcție a acesteia care are o derivată continuă.

Deci, din formula prin înlocuirea x cu u (u=φ(x)) obținem

În special,

Exemplul 29.1. Găsiți integrala

unde C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Exemplul 29.2. Găsiți soluția integrală:

• 29.3. Tabelul integralelor nedefinite de bază

Profitând de faptul că integrarea este inversul diferențierii, se poate obține un tabel de integrale de bază inversând formulele corespunzătoare ale calculului diferențial (tabelul diferențialelor) și folosind proprietățile integralei nedefinite.

de exemplu, la fel de

d(sin u)=cos u . du,

Derivarea unui număr de formule de tabel va fi dată în considerarea principalelor metode de integrare.

Integralele din tabelul de mai jos se numesc integrale tabulare. Ele trebuie cunoscute pe de rost. În calculul integral nu există reguli simple și universale pentru a găsi antiderivate din funcții elementare, ca în calculul diferențial. Metodele pentru găsirea antiderivatelor (adică integrarea unei funcții) sunt reduse la indicarea metodelor care aduc o integrală dată (dorită) la una tabelară. Prin urmare, este necesar să cunoașteți integralele tabelare și să le puteți recunoaște.

Rețineți că în tabelul integralelor de bază, variabila de integrare și poate desemna atât o variabilă independentă, cât și o funcție a unei variabile independente (conform proprietății de invarianță a formulei de integrare).

Valabilitatea formulelor de mai jos poate fi verificată luând diferența din partea dreaptă, care va fi egală cu integrandul din partea stângă a formulei.

Să demonstrăm, de exemplu, validitatea formulei 2. Funcția 1/u este definită și continuă pentru toate valorile nenule ale lui u.

Dacă u > 0, atunci ln|u|=lnu, atunci Asa de

Daca tu<0, то ln|u|=ln(-u). НоMijloace

Deci formula 2 este corectă. În mod similar, să verificăm formula 15:

Tabelul integralelor de bază

Prieteni! Vă invităm să discutați. Dacă aveți o părere, scrieți-ne în comentarii.

Sarcina principală a calculului diferențial este de a găsi derivata f'(X) sau diferential df=f'(X)dx funcții f(X).În calculul integral se rezolvă problema inversă. Conform funcției date f(X) este necesar să se găsească o astfel de funcție F(X), ce F'(x)=f(X) sau dF(x)=F'(X)dx=f(X)dx.

Prin urmare, sarcina principală a calculului integral este o funcție de recuperare F(X) prin derivata (diferenţialul) cunoscută a acestei funcţii. Calculul integral are numeroase aplicații în geometrie, mecanică, fizică și tehnologie. Oferă o metodă generală de găsire a zonelor, volumelor, centrelor de greutate etc.

Definiție. FuncţieF(x), , se numește antiderivată pentru funcțief(x) pe multimea X daca este diferentiabila pentru oricare siF'(x)=f(x) saudF(x)=f(X)dx.

Teorema. Orice continuă pe intervalul [A;b] funcţiaf(x) are o antiderivată pe acest segmentF(x).

Teorema. În cazul în care unF 1 (x) șiF 2 (x) sunt două antiderivate diferite cu aceeași funcțief(x) pe mulțimea x, atunci se deosebesc între ele printr-un termen constant, adică.F 2 (x)=F1x)+C, unde C este o constantă.

Integrală nedefinită, proprietățile sale.

Definiție. AgregatF(x)+C a tuturor antiderivatelorf(x) pe mulțimea X se numește integrală nedefinită și se notează:

- (1)

În formula (1) f(X)dx numit integrand,f(x) este integrandul, x este variabila de integrare, A C este constanta integrării.

Luați în considerare proprietățile integralei nedefinite care decurg din definiția ei.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, diferentiala integralei nedefinite este egala cu integrandul:

și .

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

3. Factorul constant a (a≠0) poate fi scos din semnul integralei nedefinite:

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții:

5. În cazul în care unF(x) este antiderivată a funcțieif(x), atunci:

6 (invarianța formulelor de integrare). Orice formulă de integrare își păstrează forma dacă variabila de integrare este înlocuită cu orice funcție diferențiabilă a acestei variabile:

Undeu este o funcție diferențiabilă.

Tabelul integralelor nedefinite.

Să aducem reguli de bază pentru integrarea funcţiilor.

Să aducem tabelul integralelor nedefinite de bază.(Rețineți că aici, ca și în calculul diferențial, litera u poate fi denumită o variabilă independentă (u=X), și o funcție a variabilei independente (u=tu(X)).)

(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Se numesc integralele 1 - 17 tabular.

Unele dintre formulele de mai sus ale tabelului de integrale, care nu au analog în tabelul de derivate, sunt verificate prin diferențierea părților din dreapta.

Schimbarea variabilei și integrarea pe părți în integrala nedefinită.

Integrarea prin substituire (modificarea variabilei). Să fie necesar să se calculeze integrala

, care nu este tabelar. Esența metodei substituției este aceea că în integrală variabila Xînlocuiți variabila t conform formulei x=φ(t), Unde dx=φ'(t)dt.

Teorema. Lasă funcțiax=φ(t) este definită și diferențiabilă pe o mulțime T și fie X mulțimea de valori ale acestei funcție pe care este definită funcțiaf(X). Atunci dacă pe setul X funcțiaf(

Acest articol vorbește în detaliu despre principalele proprietăți ale unei integrale definite. Ele sunt dovedite folosind conceptul de integrală Riemann și Darboux. Calculul unei integrale definite trece, datorită celor 5 proprietăți. Restul sunt folosite pentru a evalua diverse expresii.

Înainte de a trece la principalele proprietăți ale integralei definite, este necesar să ne asigurăm că a nu depășește b .

Proprietățile de bază ale unei integrale definite

Definiția 1

Funcția y \u003d f (x) , definită pentru x \u003d a, este similară cu egalitatea corectă ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Dovada 1

De aici vedem că valoarea integralei cu limite coincidente este egală cu zero. Aceasta este o consecință a integralei Riemann, deoarece fiecare integrală sumă σ pentru orice partiție de pe intervalul [ a ; a ] și orice alegere de puncte ζ i este egală cu zero, deoarece x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , deci obținem că limita funcțiilor integrale este zero.

Definiția 2

Pentru o functie integrabila pe segmentul [ a ; b ] , condiția ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x este îndeplinită.

Dovada 2

Cu alte cuvinte, dacă modificați limitele superioare și inferioare de integrare pe alocuri, atunci valoarea integralei va schimba valoarea la opus. Această proprietate este preluată din integrala Riemann. Cu toate acestea, numerotarea diviziunii segmentului începe de la punctul x = b.

Definiția 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x este utilizat pentru funcții integrabile de tipul y = f (x) și y = g (x) definite pe intervalul [ a ; b] .

Dovada 3

Scrieți suma integrală a funcției y = f (x) ± g (x) pentru împărțirea în segmente cu o alegere dată de puncte ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

unde σ f și σ g sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f (x) și y = g (x) pentru împărțirea segmentului. După trecerea la limita la λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 obținem că lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Din definiția lui Riemann, această expresie este echivalentă.

Definiția 4

Scoaterea factorului constant din semnul unei integrale definite. O funcţie integrabilă din intervalul [ a ; b ] cu o valoare arbitrară a lui k are o inegalitate valabilă de forma ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dovada 4

Dovada proprietății unei integrale definite este similară cu cea anterioară:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definiția 5

Dacă o funcție de forma y = f (x) este integrabilă pe un interval x cu a ∈ x , b ∈ x , se obține ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Dovada 5

Proprietatea este considerată valabilă pentru c ∈ a ; b , pentru c ≤ a și c ≥ b . Dovada se realizează în mod similar cu proprietățile anterioare.

Definiția 6

Când o funcție are capacitatea de a fi integrabilă din segmentul [ a ; b], atunci acest lucru este fezabil pentru orice segment intern c; d ∈ a; b.

Dovada 6

Dovada se bazează pe proprietatea Darboux: dacă punctele sunt adăugate unei partiții existente a unui segment, atunci suma inferioară a Darboux nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Definiția 7

Când o funcție este integrabilă pe [ a ; b ] din f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pentru orice valoare a lui x ∈ a ; b , atunci obținem că ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Proprietatea poate fi demonstrată folosind definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere a punctelor de partiție ale segmentului și punctelor ζ i cu condiția ca f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 este nenegativă.

Dovada 7

Dacă funcţiile y = f (x) şi y = g (x) sunt integrabile pe segmentul [ a ; b ] , atunci următoarele inegalități sunt considerate valide:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Datorită afirmației, știm că integrarea este admisibilă. Acest corolar va fi folosit în demonstrarea altor proprietăți.

Definiția 8

Pentru o funcție integrabilă y = f (x) din segmentul [ a ; b ] avem o inegalitate valabilă de forma ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dovada 8

Avem că - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Din proprietatea anterioară, am obținut că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen și corespunde unei inegalități de forma - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Această dublă inegalitate poate fi scrisă sub altă formă: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definiția 9

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrate din segmentul [ a ; b ] pentru g (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ a ; b , obținem o inegalitate de forma m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , unde m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x).

Dovada 9

Dovada se face într-un mod similar. M și m sunt considerate a fi cele mai mari și mai mici valori ale funcției y = f (x) definite din segmentul [ a ; b ] , atunci m ≤ f (x) ≤ M . Este necesar să se înmulțească inegalitatea dublă cu funcția y = g (x) , care va da valoarea inegalității duble de forma m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . Este necesar să-l integrăm pe segmentul [ a ; b ] , atunci obținem afirmația de demonstrat.

Consecinţă: Pentru g (x) = 1, inegalitatea devine m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Prima formulă medie

Definiția 10

Pentru y = f (x) integrabil pe intervalul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) există un număr μ ∈ m ; M , care se potrivește cu ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Consecinţă: Când funcţia y = f (x) este continuă din segmentul [ a ; b ] , atunci există un astfel de număr c ∈ a ; b , care satisface egalitatea ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Prima formulă a valorii medii într-o formă generalizată

Definiția 11

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrabile din segmentul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) și g (x) > 0 pentru orice valoare a lui x ∈ a ; b. Avem deci că există un număr μ ∈ m ; M , care satisface egalitatea ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

A doua formulă a valorii medii

Definiția 12

Când funcţia y = f (x) este integrabilă din segmentul [ a ; b ] , iar y = g (x) este monoton, atunci există un număr care c ∈ a ; b , unde obținem o egalitate justă de forma ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În acest articol, enumerăm principalele proprietăți ale unei integrale definite. Cele mai multe dintre aceste proprietăți sunt dovedite pe baza conceptelor lui Riemann și Darboux de integrală definită.

Calculul integralei definite se realizează foarte des folosind primele cinci proprietăți, așa că ne vom referi la ele atunci când este necesar. Proprietățile rămase ale integralei definite sunt utilizate în principal pentru a evalua diferite expresii.

Înainte de a trece la proprietățile de bază ale unei integrale definite, suntem de acord că a nu depășește b .

Pentru funcția y = f(x) , definită pentru x = a , egalitatea este adevărată.

Adică, valoarea integralei definite cu aceleași limite de integrare este zero. Această proprietate este o consecință a definiției integralei Riemann, deoarece în acest caz fiecare sumă integrală pentru orice partiție a intervalului și orice alegere de puncte este egală cu zero, deoarece, prin urmare, limita sumelor integrale este zero.

Pentru o funcție integrabilă pe un segment, avem .

Cu alte cuvinte, atunci când limitele superioare și inferioare de integrare sunt inversate, valoarea integralei definite este inversată. Această proprietate a unei integrale definite rezultă și din conceptul de integrală Riemann, doar numerotarea partiției unui segment ar trebui să înceapă din punctul x = b.

pentru funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe un interval.

Dovada.

Scriem suma integrală a funcției pentru o anumită partiție a segmentului și o anumită alegere de puncte:

unde și sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f(x) și respectiv y = g(x) pentru o partiție dată a segmentului.

Trecerea la limita la obţinem că, prin definiţia integralei Riemann, este echivalentă cu afirmarea proprietăţii care se dovedeşte.

Factorul constant poate fi scos din semnul unei integrale definite. Adică, pentru o funcție integrabilă pe un segment y = f(x) și un număr arbitrar k, egalitatea .

Dovada acestei proprietăți a unei integrale definite este absolut similară cu cea anterioară:


Fie funcția y = f(x) integrabilă pe intervalul X , și și apoi .

Această proprietate este valabilă pentru ambele și pentru sau .

Demonstrarea poate fi efectuată pe baza proprietăților anterioare ale integralei definite.

Dacă o funcție este integrabilă pe un segment, atunci este și integrabilă pe orice segment intern.

Dovada se bazează pe proprietatea sumelor Darboux: dacă se adaugă puncte noi la partiția existentă a segmentului, atunci suma Darboux inferioară nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Dacă funcția y = f(x) este integrabilă pe interval și pentru orice valoare a argumentului , atunci .

Această proprietate este dovedită prin definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere de puncte de împărțire a segmentului și puncte la va fi nenegativă (nu pozitivă).

Consecinţă.

Pentru funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe un interval, sunt valabile următoarele inegalități:


Această afirmație înseamnă că integrarea inegalităților este admisibilă. Vom folosi acest corolar pentru a demonstra următoarele proprietăți.

Fie funcția y = f(x) integrabilă pe segmentul , apoi inegalitatea .

Dovada.

Este evident că . În proprietatea anterioară, am aflat că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen, prin urmare, este adevărat . Această dublă inegalitate poate fi scrisă ca .

Fie ca funcțiile y = f(x) și y = g(x) să fie integrabile pe interval și pentru orice valoare a argumentului , atunci , Unde și .

Dovada se realizează într-un mod similar. Deoarece m și M sunt cele mai mici și mai mari valori ale funcției y = f(x) pe segment, atunci . Înmulțirea inegalității duble cu funcția nenegativă y = g(x) ne conduce la următoarea inegalitate dublă. Integrându-l pe segmentul , ajungem la afirmația de demonstrat.

Consecinţă.

Dacă luăm g(x) = 1, atunci inegalitatea ia forma .

Prima formulă pentru medie.

Fie funcția y = f(x) integrabilă pe segmentul , și , atunci există un număr astfel încât .

Consecinţă.

Dacă funcția y = f(x) este continuă pe segmentul , atunci există un număr astfel încât .

Prima formulă a valorii medii într-o formă generalizată.

Fie funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe intervalul , și , și g(x) > 0 pentru orice valoare a argumentului . Apoi există un număr astfel încât .

A doua formulă pentru medie.

Dacă pe un segment funcția y = f(x) este integrabilă și y = g(x) este monotonă, atunci există un număr astfel încât egalitatea .