La începutul acestui articol, am discutat despre conceptul de funcții trigonometrice. Scopul principal al scopului lor este de a studia elementele de bază ale trigonometriei și studiul proceselor periodice. Și am desenat un cerc trigonometric dintr-un motiv, deoarece în cele mai multe cazuri funcțiile trigonometrice sunt definite ca raportul dintre laturile unui triunghi sau anumite segmente ale acestuia dintr-un cerc unitar. Am menționat și importanța incontestabilă a trigonometriei în viața modernă. Dar știința nu stă pe loc, ca urmare, putem extinde în mod semnificativ domeniul de aplicare al trigonometriei și putem transfera dispozițiile acesteia la numere reale și, uneori, la numere complexe.

Formule de trigonometrie sunt mai multe tipuri. Să le considerăm în ordine.

1. Relații ale funcțiilor trigonometrice ale aceluiași unghi

Aici ajungem la luarea în considerare a unui astfel de concept ca identități trigonometrice de bază.

O identitate trigonometrică este o egalitate care constă din relații trigonometrice și care este valabilă pentru toate valorile unghiurilor care sunt incluse în ea.

Luați în considerare cele mai importante identități trigonometrice și dovezile lor:

Prima identitate decurge din însăși definiția tangentei.

Luați un triunghi dreptunghic cu un unghi ascuțit x la vârful A.



Pentru a demonstra identitățile, este necesar să folosim teorema lui Pitagora:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Acum împărțim la (AB) 2 ambele părți ale egalității și amintindu-ne definițiile sin și cos ale unghiului, obținem a doua identitate:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Pentru a demonstra a treia și a patra identitate, folosim dovada anterioară.

Pentru a face acest lucru, împărțim ambele părți ale celei de-a doua identități la cos 2 x:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Pe baza primei identități tg x \u003d sin x / cos x, obținem a treia:

1 + tg2x = 1/cos2x

Acum împărțim a doua identitate la sin 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x nu este altceva decât 1/tg 2 x, deci obținem a patra identitate:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

Este timpul să ne amintim teorema privind suma unghiurilor interioare ale unui triunghi, care spune că suma unghiurilor unui triunghi \u003d 180 0. Se pare că la vârful B al triunghiului există un unghi a cărui valoare este 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.



Amintiți-vă din nou definițiile pentru păcat și cos și obținem a cincea și a șasea identitate:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

Acum să facem următoarele:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

După cum puteți vedea, totul este elementar aici.

Există și alte identități care sunt folosite în rezolvarea identităților matematice, le voi da doar ca referință, pentru că toate provin din cele de mai sus.



2. Exprimări ale funcțiilor trigonometrice unele prin altele

   (alegerea semnului în fața rădăcinii este determinată de care dintre sferturile de cerc este situat colțul?)







3. Următoarele sunt formulele de adunare și scădere a unghiurilor:



4. Formule duble, triple și jumătate de unghi.

   Observ că toate decurg din formulele anterioare.

sin 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Formule pentru conversia expresiilor trigonometrice:

Solicitarea „păcat” este redirecționată aici; vezi și alte sensuri. Solicitarea „sec” este redirecționată aici; vezi și alte sensuri. „Sine” redirecționează aici; vezi și alte sensuri... Wikipedia

Orez. 1 Grafice ale funcțiilor trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, secantă, cosecantă, cotangentă Funcțiile trigonometrice sunt un fel de funcții elementare. De obicei, acestea includ sinus (sin x), cosinus (cos x), tangentă (tg x), cotangentă (ctg x), ... ... Wikipedia

Orez. 1 Grafice ale funcțiilor trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, secantă, cosecantă, cotangentă Funcțiile trigonometrice sunt un fel de funcții elementare. De obicei, acestea includ sinus (sin x), cosinus (cos x), tangentă (tg x), cotangentă (ctg x), ... ... Wikipedia

Orez. 1 Grafice ale funcțiilor trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, secantă, cosecantă, cotangentă Funcțiile trigonometrice sunt un fel de funcții elementare. De obicei, acestea includ sinus (sin x), cosinus (cos x), tangentă (tg x), cotangentă (ctg x), ... ... Wikipedia

Orez. 1 Grafice ale funcțiilor trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, secantă, cosecantă, cotangentă Funcțiile trigonometrice sunt un fel de funcții elementare. De obicei, acestea includ sinus (sin x), cosinus (cos x), tangentă (tg x), cotangentă (ctg x), ... ... Wikipedia

Măsurători geodezice (sec. XVII) ... Wikipedia

În trigonometrie, formula pentru tangentei unui jumătate de unghi relaționează tangenta unui jumătate de unghi de funcțiile trigonometrice ale unui unghi întreg: Diverse variații ale acestei formule sunt după cum urmează... Wikipedia

- (din greacă τρίγονο (triunghi) și greacă μετρειν (a măsura), adică măsurarea triunghiurilor) o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice și aplicațiile acestora la geometrie. Acest termen a apărut pentru prima dată în 1595 ca ... ... Wikipedia

- (latină solutio triangulorum) termen istoric care înseamnă soluția principalei probleme trigonometrice: folosind datele cunoscute despre un triunghi (laturile, unghiurile etc.), găsiți restul caracteristicilor acestuia. Triunghiul poate fi localizat pe ... ... Wikipedia

Cărți

• Un set de mese. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. 17 tabele + metodologie, . Tabelele sunt imprimate pe carton poligrafic gros de 680 x 980 mm. Kitul include o broșură cu recomandări metodologice pentru profesori. Album de studiu de 17 coli...
• Tabele de integrale și alte formule matematice, Dwight G.B.. A zecea ediție a celebrei cărți de referință conține tabele foarte detaliate de integrale nedefinite și definite, precum și un număr mare de alte formule matematice: expansiuni de serie, ...

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai cunoscută este aporia „Achile și broasca țestoasă”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice. ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.

Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, aceasta pare o încetinire a timpului până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel precedent. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limbajul lui Zeno, arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă la problemă. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina deplasarea mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite de timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (desigur, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta) . Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.

miercuri, 4 iulie 2018

Foarte bine diferențele dintre set și multiset sunt descrise în Wikipedia. Ne uitam.

După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie și plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când demonstrează că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul își va aminti frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor pentru fiecare monedă este unică...

Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum operează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Duminică, 18 martie 2018

Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu un tamburin, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar ei sunt șamani pentru asta, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.

Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există o formulă în matematică prin care să poți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii, sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face în mod elementar.

Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să presupunem că avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.

1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol grafic numeric. Aceasta nu este o operație matematică.

2. Am tăiat o imagine primită în mai multe imagini care conțin numere separate. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.

3. Convertiți caracterele grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.

4. Adunați numerele rezultate. Acum asta e matematica.

Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani folosite de matematicieni. Dar asta nu este tot.

Din punct de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem de numere scriem numărul. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. Cu un număr mare de 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, luați în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu vom lua în considerare fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.

După cum puteți vedea, în diferite sisteme de numere, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este ca și cum găsirea ariei unui dreptunghi în metri și centimetri ți-ar da rezultate complet diferite.

Zero în toate sistemele de numere arată la fel și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că . O întrebare pentru matematicieni: cum se notează în matematică ceea ce nu este un număr? Ce, pentru matematicieni, nu există decât numere? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oameni de știință, nu. Realitatea nu este doar despre cifre.

Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură ale numerelor. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu unități de măsură diferite ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.

Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de valoarea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.

Semnează pe uşă Deschide usa si spune:

Ai! Asta nu este toaleta femeilor?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studierea sfințeniei nedefinite a sufletelor la înălțarea la cer! Nimbus în sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?

Femeie... Un halou deasupra și o săgeată în jos sunt masculin.

Dacă aveți o astfel de operă de artă de design fulgerând în fața ochilor dvs. de mai multe ori pe zi,

Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:

Personal, fac un efort pe mine însumi să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (compunere din mai multe imagini: semnul minus, numărul patru, desemnarea grade). Și nu o consider pe fata asta o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un arc stereotip al percepției imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.

1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul care face caca” sau numărul „douăzeci și șase” în sistemul numeric hexazecimal. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca un simbol grafic.

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

O egalitate care conține o necunoscută sub semnul unei funcții trigonometrice (`sin x, cos x, tg x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică și vom lua în considerare formulele lor în continuare.

Cele mai simple ecuații sunt `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să scriem formulele rădăcină pentru fiecare dintre ele.

1. Ecuația `sin x=a`.

Pentru `|a|>1` nu are soluții.

Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuația `cos x=a`

Pentru `|a|>1` - ca si in cazul sinusului, nu exista solutii intre numerele reale.

Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice.

3. Ecuația `tg x=a`

Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuația `ctg x=a`

De asemenea, are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel

Pentru sinusuri:
Pentru cosinus:
Pentru tangentă și cotangentă:
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:

• folosind pentru a-l converti în cel mai simplu;
• rezolvați ecuația simplă rezultată folosind formulele de mai sus pentru rădăcini și tabele.

Să luăm în considerare principalele metode de soluție folosind exemple.

metoda algebrică.

În această metodă, se face înlocuirea unei variabile și înlocuirea acesteia în egalitate.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,

găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorizarea.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.

Decizie. Mutați la stânga toți termenii de egalitate: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducerea la o ecuație omogenă

Mai întâi, trebuie să aduceți această ecuație trigonometrică într-una dintre cele două forme:

`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).

Apoi împărțiți ambele părți prin `cos x \ne 0` pentru primul caz și cu `cos^2 x \ne 0` pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Decizie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțind părțile din stânga și din dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, ca rezultat `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Du-te la Half Corner

Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Decizie. Aplicând formulele unghiului dublu, rezultatul este: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Aplicând metoda algebrică descrisă mai sus, obținem:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducerea unui unghi auxiliar

În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțim ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume, suma pătratelor lor este egală cu 1 și modulul lor nu este mai mare de 1. Notează-i astfel: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, atunci:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:

Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.

Decizie. Împărțind ambele părți ale ecuației la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Se notează `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, luăm `\varphi=arcsin 4/5` ca unghi auxiliar. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuații trigonometrice fracționale-raționale

Acestea sunt egalități cu fracții, în numărătorii și numitorii cărora există funcții trigonometrice.

Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Decizie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a ecuației cu `(1+cos x)`. Ca rezultat, obținem:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Având în vedere că numitorul nu poate fi zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Echivalează numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt utilizate în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examen, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuațiilor trigonometrice - vă vor fi cu siguranță la îndemână!

Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să puteți deduce. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.