În proiecția izometrică, toți coeficienții sunt egali între ei:

k = t = n;

3 la 2 = 2,

k = yj 2UZ - 0,82.

Prin urmare, la construirea unei proiecții izometrice, dimensiunile obiectului, reprezentate de-a lungul axelor axonometrice, sunt înmulțite cu 0,82. O astfel de recalculare a dimensiunilor este incomod. Prin urmare, pentru simplitate, o proiecție izometrică este de obicei efectuată fără a reduce dimensiunea (distorsiunea) de-a lungul axelor x, y, i, acestea. luați coeficientul de distorsiune redus egal cu unitatea. Imaginea rezultată a obiectului în proiecția izometrică este ceva mai mare decât în ​​realitate. Creșterea în acest caz este de 22% (exprimată ca număr 1,22 = 1: 0,82).

Fiecare segment îndreptat de-a lungul axelor x, y, z sau paralel cu acestea, își păstrează amploarea.

Locația axelor de proiecție izometrică este prezentată în fig. 6.4. Pe fig. 6.5 și 6.6 arată ortogonal (A)și izometrică (b) proiecția punctului DARși segmentul L LA.

Prismă hexagonală în izometrie. Construcția unei prisme hexagonale conform acestui desen într-un sistem de proiecții ortogonale (în stânga în Fig. 6.7) este prezentată în Fig. 6.7. Pe axa izometrică eu amânați înălțimea H, trage linii paralele cu axele salut. Marcați pe o linie paralelă cu axa X, poziţia punctelor / şi 4.

Pentru a construi un punct 2 determinați coordonatele acestui punct în desen - x 2și la 2și, lăsând deoparte aceste coordonate pe imaginea axonometrică, construiți un punct 2. Punctele sunt construite în același mod. 3, 5 și 6.

Punctele construite ale bazei superioare sunt conectate între ele, se trasează o margine de la punctul / până la intersecția cu axa x, apoi -

marginile punctate 2 , 3, 6. Nervurile bazei inferioare sunt desenate paralel cu nervurile celei superioare. Construirea unui punct L, situat pe fata laterala, de-a lungul coordonatelor x A(sau la o)și 1 A evident din

Izometria cercului. Cercurile în izometrie sunt reprezentate ca elipse (Fig. 6.8) indicând valorile axelor elipselor pentru coeficienții de distorsiune redusi egali cu unu.

Axa majoră a elipselor este la 90° pentru elipsele aflate ÎN PLAN xC>1 la OSI y, IN AVION y01 LA AXA X, în plan hoy La OSI?

La construirea manuală a unei imagini izometrice (ca un desen), se realizează o elipsă în opt puncte. De exemplu, tăvi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 și 8 (vezi figura 6.8). puncte 1, 2, 3 și 4 se găsesc pe axele axonometrice corespunzătoare, iar punctele 5, 6, 7 și 8 sunt construite în funcție de valorile axelor majore și minore corespunzătoare ale elipsei. Când desenați elipse în proiecție izometrică, le puteți înlocui cu ovale și le puteți construi după cum urmează 1 . Construcția este prezentată în fig. 6.8 pe exemplul unei elipse situate într-un plan xOz. Din punct / ca din centru, faceți o crestătură cu o rază R=D pe continuarea axei minore a elipsei în punctul O, (de asemenea, construiesc un punct simetric cu aceasta în același mod, care nu este prezentat în desen). Din punctul O, cum să desenezi un arc din centru CGC rază D, care este unul dintre arcele care alcătuiesc conturul elipsei. Din punctul O, ca din centru, se trasează un arc de rază O^G până la intersecția cu axa majoră a elipsei în puncte OU Trecând prin punctele O p 0 3 linie dreaptă, aflată la intersecția cu arcul CGC punct LA, care defineste 0 3 K- valoarea razei arcului de închidere a ovalului. puncte La sunt şi punctele de conjugare ale arcelor care alcătuiesc ovalul.

Cilindru izometric. Imaginea izometrică a unui cilindru este determinată de imaginile izometrice ale cercurilor bazei acestuia. Construcția în izometrie a unui cilindru cu înălțimea H conform desenului ortogonal (Fig. 6.9, stânga) iar punctul C de pe suprafața sa laterală este prezentat în fig. 6.9, corect.

Sugerat de Yu.B. Ivanov.

Un exemplu de construcție într-o proiecție izometrică a unei flanșe rotunde cu patru găuri cilindrice și una triunghiulară este prezentat în fig. 6.10. La construirea axelor găurilor cilindrice, precum și a marginilor unei găuri triunghiulare, s-au folosit coordonatele acestora, de exemplu, coordonatele x 0 și y 0 .

Construcția unei imagini axonometrice a unei piese, al cărei desen este prezentat în Fig.a.

Toate proiecțiile axonometrice trebuie efectuate în conformitate cu GOST 2.317-68.

Proiecțiile axonometrice sunt obținute prin proiectarea unui obiect și a sistemului de coordonate asociat acestuia pe un plan de proiecție. Axonometriile sunt împărțite în dreptunghiulare și oblice.

Pentru proiecțiile axonometrice dreptunghiulare, proiecția se realizează perpendicular pe planul proiecțiilor, iar obiectul este situat astfel încât toate cele trei planuri ale obiectului să fie vizibile. Acest lucru este posibil, de exemplu, atunci când axele sunt situate, ca pe o proiecție izometrică dreptunghiulară, pentru care toate axele de proiecție sunt situate la un unghi de 120 de grade (vezi Fig. 1). Cuvântul proiecție „izometrică” înseamnă că coeficientul de distorsiune în toate cele trei axe este același. Conform standardului, coeficientul de distorsiune de-a lungul axelor poate fi luat egal cu 1. Coeficientul de distorsiune este raportul dintre dimensiunea segmentului de proiecție și dimensiunea reală a segmentului de pe piesă, măsurată de-a lungul axei.

Să construim o axonometrie a piesei. Mai întâi, să setăm axele, ca pentru o proiecție izometrică dreptunghiulară. Să începem de la fundație. Să lăsăm deoparte valoarea lungimii piesei 45 de-a lungul axei x și valoarea lățimii piesei 30 de-a lungul axei Y. Din fiecare punct al patrulaterului vom ridica partea superioară a segmentelor verticale. de înălțimea bazei piesei 7 (Fig. 2). Pe imaginile axonometrice, la aplicarea dimensiunilor, liniile de prelungire sunt trasate paralele cu axele axonometrice, liniile de dimensiune - paralele cu segmentul măsurat.

În continuare, desenăm diagonalele bazei superioare și găsim punctul prin care va trece axa de rotație a cilindrului și a găurii. Ștergem liniile invizibile ale bazei inferioare, astfel încât să nu interfereze cu construcția noastră ulterioară (Fig. 3)

.

Dezavantajul unei proiecții izometrice dreptunghiulare este că cercurile din toate planurile vor fi proiectate în elipse pe imaginea axonometrică. Prin urmare, mai întâi vom învăța cum să construim aproximativ elipse.

Dacă un cerc este înscris într-un pătrat, atunci pot fi marcate în el 8 puncte caracteristice: 4 puncte de contact între cerc și mijlocul laturii pătratului și 4 puncte de intersecție a diagonalelor pătratului cu cercul ( Fig. 4, a). Fig. 4c și Fig. 4b arată modul exact de construire a punctelor de intersecție ale diagonalei unui pătrat cu un cerc. Figura 4e prezintă o metodă aproximativă. La construirea proiecțiilor axonometrice, jumătate din diagonala patrulaterului în care este proiectat pătratul va fi împărțită în același raport.

Transferăm aceste proprietăți în axonometria noastră (Fig. 5). Construim o proiecție a unui patrulater în care este proiectat un pătrat. În continuare, construim o elipsă Fig.6.

Apoi, ne ridicăm la o înălțime de 16 mm și transferăm elipsa acolo (Fig. 7). Îndepărtăm liniile suplimentare. Ne întoarcem la construcția de găuri. Pentru a face acest lucru, construim o elipsă în partea de sus, în care este proiectată o gaură cu un diametru de 14 (Fig. 8). În plus, pentru a arăta o gaură cu un diametru de 6 mm, este necesar să tăiați mental un sfert din piesă. Pentru a face acest lucru, vom construi mijlocul fiecărei laturi, ca în Fig. 9. În continuare, construim o elipsă corespunzătoare unui cerc cu diametrul de 6 pe baza inferioară, apoi la o distanță de 14 mm de partea superioară a piesei desenăm deja două elipse (una corespunzătoare unui cerc cu un diametru de 6, iar celălalt corespunzător unui cerc cu diametrul de 14) Fig.10. Apoi, tăiem un sfert din piesă și îndepărtăm liniile invizibile (Fig. 11).

Să trecem la construcția rigidizării. Pentru a face acest lucru, în planul superior al bazei, măsurăm 3 mm de la marginea piesei și desenăm un segment lung de jumătate din grosimea nervurii (1,5 mm) (Fig. 12), de asemenea, marcam nervura pe partea îndepărtată a piesei. Un unghi de 40 de grade nu ne convine atunci când construim axonometria, așa că calculăm al doilea picior (va fi egal cu 10,35 mm) și construim al doilea punct al unghiului de-a lungul planului de simetrie folosindu-l. Pentru a construi marginea nervurii, construim o linie dreaptă la o distanță de 1,5 mm de axa din planul superior al piesei, apoi trasăm liniile paralele cu axa x până când se intersectează cu elipsa exterioară și coboară. linia dreaptă verticală. Desenați o linie dreaptă prin punctul inferior al limitei nervurii paralel cu nervura de-a lungul planului tăiat (Fig. 13) până când se intersectează cu linia verticală. Apoi, conectăm punctul de intersecție cu un punct din planul tăiat. Pentru a construi marginea îndepărtată, desenăm o linie dreaptă paralelă cu axa X la o distanță de 1,5 mm până la intersecția cu elipsa exterioară. În continuare, găsim distanța la care se află punctul superior al limitei nervurii (5,24 mm) și punem deoparte aceeași distanță pe o linie dreaptă verticală din partea îndepărtată a piesei (vezi Fig. 14) și o conectăm la distanța îndepărtată. punctul inferior al coastei.

Îndepărtăm liniile suplimentare și hașăm planurile de secțiune. Liniile de hașurare ale secțiunilor din proiecțiile axonometrice sunt aplicate paralel cu una dintre diagonalele proiecțiilor pătratelor situate în planurile de coordonate corespunzătoare, ale căror laturi sunt paralele cu axele axonometrice (Fig. 15).

Pentru o proiecție izometrică dreptunghiulară, liniile de hașurare vor fi paralele cu liniile de hașura prezentate în diagrama din colțul din dreapta sus (Fig. 16). Rămâne să descriem găurile laterale. Pentru a face acest lucru, marchem centrele axelor de rotație ale găurilor și construim elipse, așa cum este indicat mai sus. În mod similar, construim razele de rotunjire (Fig. 17). Axonometria finală este prezentată în Fig.18.

Pentru proiecțiile oblice, proiecția se realizează la un unghi față de planul de proiecție, altul decât 90 și 0 grade. Un exemplu de proiecție oblică este proiecția dimetrică frontală oblică. Este bine deoarece cercuri paralele cu acest plan vor fi proiectate pe planul definit de axele X și Z în valoarea adevărată (unghiul dintre axele X și Z este de 90 de grade, axa Y este înclinată la un unghi de 45 de grade până la orizont). Proiecția „dimetrică” înseamnă că coeficienții de distorsiune de-a lungul celor două axe X și Z sunt la fel, de-a lungul axei Y coeficientul de distorsiune este de două ori mai mic.

Atunci când alegeți o proiecție axonometrică, este necesar să ne străduim ca cel mai mare număr de elemente să fie proiectate fără distorsiuni. Prin urmare, atunci când alegeți poziția unei piese într-o proiecție dimetrică frontală oblică, aceasta trebuie poziționată astfel încât axele cilindrului și ale orificiilor să fie perpendiculare pe planul de proiecție frontală.

Dispunerea axelor și imaginea axonometrică a piesei „Rack” într-o proiecție dimetrică frontală oblică este prezentată în Fig.18.

O varietate dintre acestea sunt axonometrice și, inclusiv proiecțiile izometrice, sunt, de asemenea, împărțite în ortogonale (perpendiculare), cu direcția de proiecție perpendiculară pe planul de proiecție și oblice, cu un unghi între direcție și planul care este diferit de cel drept. . Conform standardelor sovietice (vezi), proiecțiile axonometrice pot fi atât ortogonale, cât și oblice. Conform standardelor occidentale, proiecțiile axonometrice sunt doar proiecții ortogonale, iar proiecțiile oblice sunt luate în considerare separat. Drept urmare, conform standardelor occidentale, proiecția izometrică este definită mai îngust și, pe lângă egalitatea de scară de-a lungul axelor, include condiția egalității de unghiuri de 120 ° între proiecțiile oricărei perechi de axe. Pentru a evita confuzia, dacă nu se specifică altfel, proiecția izometrică va însemna doar vedere izometrică dreptunghiulară.

Vederi izometrice standard

Proiecție izometrică dreptunghiulară (ortogonală).

Într-o proiecție izometrică dreptunghiulară, axele axonometrice formează unghiuri de 120 ° între ele, axa Z " este îndreptată vertical. Coeficienții de distorsiune () au valoare numerică. De regulă, pentru simplificarea construcțiilor, se realizează proiecția izometrică. fără distorsiuni de-a lungul axelor, adică coeficientul de distorsiune este luat egal cu 1, în acest caz, se obține o creștere a dimensiunilor liniare cu un factor.

vedere izometrică frontală oblică

Axa Z" este îndreptată vertical, unghiul dintre axa X și Z" este de 90°, axa Y este înclinată cu 135° (sunt permise 120° și 150°) față de axa Z".

Proiecția izometrică frontală se realizează de-a lungul axelor X, Y" și Z" fără distorsiuni.

Curbele paralele cu planul frontal sunt proiectate fără distorsiuni.

vedere izometrică orizontală oblică

Axa Z" este îndreptată vertical, între axa Z" și axa Y" unghiul de înclinare este de 120° (sunt permise 135° și 150°), menținând în același timp unghiul dintre axele X" și Y" egal cu 90. °.

O proiecție izometrică orizontală este efectuată fără distorsiuni de-a lungul axelor X, Y" și Z".

Limitări de proiecție axonometrică

Proiectia izometrica in jocurile pe calculator si pixel art

Desenul unui televizor în pixel art aproape izometric. Modelul de pixeli are un raport de aspect de 2:1

Note

1. Conform GOST 2 .317-69 - Sistem unificat pentru documentația de proiectare. Proiecții axonometrice.
2. Aici, planul orizontal este planul perpendicular pe axa Z (care este prototipul axei Z").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Proiecții geometrice plane și transformări de vizualizare // ACM Computing Surveys (CSUR): revista. - ACM, decembrie 1978. - Vol. 10. - Nr. 4. - S. 465-502. - ISSN 0360-0300. - DOI:10.1145/356744.356750
4. Jeff Green. Previzualizare GameSpot: Arcanum (engleză) . GameSpot (29 februarie 2000). (link indisponibil - poveste) Preluat la 29 septembrie 2008.
5. Steve Butts. SimCity 4: Previzualizare oră de vârf. IGN (9 septembrie 2003). Arhivat
6. GDC 2004: The History of Zelda (engleză). IGN (25 martie 2004). Arhivat din original pe 19 februarie 2012. Consultat la 29 septembrie 2008.

Instruire

Construiți cu o riglă și un raportor sau o busolă și o riglă pentru o proiecție izometrică dreptunghiulară (orogonală). În acest tip de proiecție axonometrică, toate cele trei axe - OX, OY, OZ - sunt unghiuri de 120 ° unul față de celălalt, în timp ce axa OZ are o orientare verticală.

Pentru simplitate, desenați o proiecție izometrică fără distorsiuni de-a lungul axelor, deoarece este obișnuit să echivalați factorul de distorsiune izometrică cu unul. Apropo, „izometric” în sine înseamnă „dimensiune egală”. De fapt, la afișarea unui obiect tridimensional pe un plan, raportul dintre lungimea oricărui segment proiectat paralel cu axa de coordonate și lungimea reală a acestui segment este egal cu 0,82 pentru toate cele trei axe. Prin urmare, dimensiunile liniare ale obiectului în izometrie (cu coeficientul de distorsiune acceptat) cresc de 1,22 ori. În acest caz, imaginea rămâne corectă.

Începeți să proiectați obiectul pe planul axonometric de pe fața sa superioară. Măsurați de-a lungul axei OZ de la centrul de intersecție a axelor de coordonate înălțimea piesei. Desenați linii subțiri pentru axele X și Y prin acest punct. Din același punct, lăsați deoparte jumătate din lungimea piesei de-a lungul unei axe (de exemplu, de-a lungul axei Y). Desenați un segment de dimensiunea necesară (lățimea părții) prin punctul găsit paralel cu cealaltă axă (OX).

Acum, de-a lungul celeilalte axe (OX), lăsați deoparte jumătate din lățime. Prin acest punct, desenați un segment de dimensiunea dorită (lungimea părții) paralel cu prima axă (OY). Cele două segmente de linie trasate trebuie să se intersecteze. Completați restul feței de sus.

Dacă această față are o gaură rotundă, desenați-o. În izometrie, un cerc este prezentat ca o elipsă deoarece îl privim dintr-un unghi. Calculați dimensiunile axelor acestei elipse pe baza diametrului cercului. Sunt egale: a = 1,22D și b = 0,71D. Dacă cercul este situat pe un plan orizontal, axa a elipsei este întotdeauna orizontală, axa b este întotdeauna verticală. În acest caz, distanța dintre punctele elipsei de pe axa X sau Y este întotdeauna egală cu diametrul cercului D.

Desenați din cele trei colțuri ale feței superioare margini verticale egale cu înălțimea piesei. Conectați marginile prin punctele lor inferioare.

Dacă forma are o gaură dreptunghiulară, desenați-o. Lăsați deoparte un segment vertical (paralel cu axa Z) de lungimea dorită din centrul marginii feței superioare. Prin punctul rezultat, trageți un segment de dimensiunea necesară paralel cu fața superioară și, prin urmare, axa X. Din punctele extreme ale acestui segment, trageți margini verticale de dimensiunea dorită. Conectați punctele lor inferioare. Din punctul din dreapta jos al rombului desenat, trageți marginea interioară a găurii, care ar trebui să fie paralelă cu axa Y.

Construcția proiecțiilor axonometrice începe cu axele axonometrice.

Poziția axelor. Axele proiecției dimetrice frontale sunt dispuse așa cum se arată în fig. 85, a: axa x este orizontală, axa z este verticală, axa y este la un unghi de 45 ° față de linia orizontală.

Unghiul de 45° poate fi construit folosind un pătrat de desen de 45°, 45° și 90°, așa cum se arată în fig. 85b.

Poziția axelor de proiecție izometrică este prezentată în fig. 85, g. Axele x și y sunt plasate la un unghi de 30° față de linia orizontală (unghiul de 120° între axe). Construcția axelor se realizează în mod convenabil folosind un pătrat cu unghiuri de 30, 60 și 90 ° (Fig. 85, e).

Pentru a construi axele unei proiecții izometrice folosind o busolă, trebuie să desenați axa z, să descrieți din punctul O un arc de rază arbitrară; fără a schimba soluția busolei, din punctul de intersecție al arcului și axa z, faceți serifi pe arc, conectați punctele rezultate cu punctul O.

Când se construiește o proiecție dimetrică frontală de-a lungul axelor x și z (și paralele cu acestea), dimensiunile reale sunt lăsate deoparte; de-a lungul axei y (și paralel cu aceasta), dimensiunile sunt reduse de 2 ori, de unde și numele de „dimetrie”, care în greacă înseamnă „dimensiune dublă”.

Atunci când se construiește o proiecție izometrică de-a lungul axelor x, y, z și paralele cu acestea, sunt stabilite dimensiunile reale ale obiectului, de unde și denumirea de „izometrie”, care în greacă înseamnă „măsuri egale”.

Pe fig. 85, în și e arată construcția axelor axonometrice pe hârtie căptușită într-o cușcă. În acest caz, pentru a obține un unghi de 45 °, diagonalele sunt desenate în celule pătrate (Fig. 85, c). Se obține o înclinare a axei de 30 ° (Fig. 85, d) cu un raport dintre lungimile segmentelor 3: 5 (3 și 5 celule).

Construcția proiecțiilor frontale dimetrice și izometrice. Construiți proiecții dimetrice și izometrice frontale ale piesei, trei vederi ale cărora sunt prezentate în fig. 86.

Ordinea construcției proiecțiilor este următoarea (Fig. 87):

1. Desenați axe. Fața frontală a piesei este construită, lăsând deoparte valorile reale ale înălțimii - de-a lungul axei z, lungimea - de-a lungul axei x (Fig. 87, a).

2. Din vârfurile figurii rezultate, paralele cu axa v, se desenează nervuri care merg în depărtare. Grosimea piesei este așezată de-a lungul lor: pentru proiecția dimetrică frontală - redusă de 2 ori; pentru izometrie - real (Fig. 87, b).

3. Prin punctele obținute se trasează linii drepte paralele cu marginile feței frontale (Fig. 87, c).

4. Îndepărtați liniile suplimentare, trasați conturul vizibil și aplicați dimensiuni (Fig. 87, d).

Comparați coloanele din stânga și din dreapta din Fig. 87. Ce este comun și care este diferența dintre construcțiile date pe ele?

Dintr-o comparație între aceste figuri și textul dat acestora, putem concluziona că ordinea construcției proiecțiilor dimetrice și izometrice frontale este în general aceeași. Diferența constă în locația axelor și lungimea segmentelor trasate de-a lungul axei y.

În unele cazuri, construcția proiecțiilor axonometrice este mai convenabilă pentru a începe cu construcția figurii bazei. Prin urmare, vom lua în considerare modul în care figurile geometrice plate situate orizontal sunt reprezentate în axonometrie.

Construcția proiecției axonometrice a pătratului este prezentată în fig. 88, a și b.

De-a lungul axei x se așează latura pătratului a, de-a lungul axei y - jumătate din latura a / 2 pentru proiecția dimetrică frontală și latura a pentru proiecția izometrică. Capetele segmentelor sunt conectate prin linii drepte.

Construcția unei proiecții axonometrice a unui triunghi este prezentată în fig. 89, a și b.

Simetric față de punctul O (originea axelor de coordonate), jumătate din latura triunghiului a / 2 este așezată de-a lungul axei x, iar înălțimea sa h este de-a lungul axei y (pentru o proiecție dimetrică frontală, jumătate din înălțimea h / 2). Punctele rezultate sunt conectate prin linii drepte.

Construcția unei proiecții axonometrice a unui hexagon regulat este prezentată în fig. 90.

Pe axa x, la dreapta și la stânga punctului O, se așează segmente egale cu latura hexagonului. Segmentele s / 2 sunt așezate de-a lungul axei y simetric față de punctul O, egală cu jumătate din distanța dintre părțile opuse ale hexagonului (pentru proiecția dimetrică frontală, aceste segmente sunt înjumătățite). Din punctele m și n obținute pe axa y se desenează segmente la dreapta și la stânga paralele cu axa x, egale cu jumătatea laturii hexagonului. Punctele rezultate sunt conectate prin linii drepte.

Răspunde la întrebările

1. Cum sunt situate axele proiecțiilor frontale dimetrice și izometrice? Cum sunt construite?