Schema de testare Bernoulli. formula Bernoulli

Hai să facem câteva teste. În plus, probabilitatea de apariție a evenimentului $A$ în fiecare studiu nu depinde de rezultatele altor studii. Astfel de încercări sunt numite independente în raport cu evenimentul A. În diferite încercări independente, evenimentul A poate avea fie probabilități diferite, fie una și aceeași. Vom lua în considerare doar acele încercări independente în care evenimentul $A$ are aceeași probabilitate.

Prin un eveniment complex înțelegem o combinație de evenimente simple. Să fie efectuate n încercări. În fiecare încercare, evenimentul $A$ poate să apară sau nu. Presupunem că în fiecare încercare probabilitatea de apariție a evenimentului $A$ este aceeași și este egală cu $p$. Atunci probabilitatea $\overline A $ (sau neapariția lui A ) este egală cu $P(( \overline A ))=q=1-p$.

Să fie necesar să se calculeze probabilitatea ca în n-va avea loc evenimentul de testare $A$ k- ori și $n-k$ ori - nu va veni. Această probabilitate va fi notată cu $P_n (k)$. Mai mult, succesiunea de apariție a evenimentului $A$ nu este importantă. De exemplu: $(( AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA ))$

$P_5 (3)-$ în cinci încercări, evenimentul $A$ a apărut de 3 ori și 2 nu au apărut. Această probabilitate poate fi găsită folosind formula Bernoulli.

Derivarea formulei Bernoulli

Prin teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente, probabilitatea ca evenimentul $A$ să se producă $k$ ori și $n-k$ ori să nu se producă este egală cu $p^k\cdot q^ ( n-k ) $. Și pot exista atât de multe evenimente complexe câte $C_n^k $ pot fi. Deoarece evenimentele complexe sunt incompatibile, atunci conform teoremei privind suma probabilităților evenimentelor incompatibile, trebuie să adunăm probabilitățile tuturor evenimentelor complexe și există exact $C_n^k $ dintre ele. Atunci probabilitatea de apariție a evenimentului $A$ este exactă k odata n teste, există $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ formula lui Bernoulli.

Exemplu. Un zar este aruncat de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca unul să apară jumătate din timp.

Decizie. $A=$ (apariția unuia)

$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=0,115 USD

Este ușor de văzut asta pentru valori mari n este destul de dificil de calculat probabilitatea din cauza numerelor uriașe. Se pare că această probabilitate poate fi calculată nu numai folosind formula Bernoulli.

Dacă sunt efectuate mai multe încercări, iar probabilitatea evenimentului A în fiecare încercare nu depinde de rezultatele altor studii, atunci astfel de încercări se numesc independent față de evenimentul A .

În diferite încercări independente, evenimentul A poate avea fie probabilități diferite, fie aceeași probabilitate. Vom lua în considerare în continuare doar astfel de încercări independente în care evenimentul A are aceeași probabilitate.

Mai jos folosim conceptul complex evenimente, înțelegând prin ea combinație de mai multe evenimente separate, care sunt numite simplu .

Lasă-l să fie produs n studii independente, în fiecare caz A poate sau nu să apară. Să fim de acord să presupunem că probabilitatea evenimentului A în fiecare încercare este aceeași, și anume, este egală cu R . Prin urmare, probabilitatea de neapariție a evenimentului A în fiecare încercare este, de asemenea, constantă și egală cu q = 1 - p .

Să ne punem sarcina de a calcula probabilitatea ca n teste, evenimentul A va avea loc exact k ori și, prin urmare, nu se vor realiza n-k o singura data. Este important de subliniat că nu este necesar ca evenimentul A să se repete exact k ori într-o anumită succesiune.

De exemplu, dacă vorbim despre apariția unui eveniment DAR de trei ori în patru încercări, sunt posibile următoarele evenimente complexe: AAA, AAA, AAA, AAA. Înregistrare AAAînseamnă că în primul, al doilea și al treilea proces evenimentul DAR a venit, dar la a patra probă nu a apărut, adică. s-a întâmplat contrariul DAR; alte intrări au un sens corespunzător.

Indicați probabilitatea dorită R p (k) . De exemplu, simbolul R 5 (3) înseamnă probabilitatea ca în cinci încercări evenimentul să se producă exact de 3 ori și, prin urmare, să nu aibă loc de 2 ori.

Problema poate fi rezolvată folosind așa-numita formulă Bernoulli.

Derivarea formulei Bernoulli. Probabilitatea unui eveniment compus constând în faptul că în P eveniment de testare DAR va veni k odată și nu va veni n - k ori, conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente este egală cu p k q n - k . Pot exista atâtea evenimente complexe câte combinații există P elemente prin k elemente, adică C n k .

De la aceste evenimente complexe incompatibil, apoi conform teoremei de adunare a probabilităţilor de evenimente incompatibile probabilitatea dorită este egală cu suma probabilităților tuturor evenimentelor complexe posibile. Deoarece probabilitățile tuturor acestor evenimente complexe sunt aceleași, probabilitatea dorită (a apariției k orele evenimentului DAR în P teste) este egală cu probabilitatea unui eveniment complex, înmulțită cu numărul lor:

Formula rezultată se numește formula Bernoulli .

Exemplul 1. Probabilitatea ca consumul de energie electrică pe parcursul unei zile să nu depășească norma stabilită este egală cu p = 0,75 . Aflați probabilitatea ca în următoarele 6 zile consumul de energie electrică pentru 4 zile să nu depășească norma.

Decizie. Probabilitatea consumului normal de energie electrică în fiecare dintre cele 6 zile este constantă și egală cu p = 0,75 . Prin urmare, probabilitatea de supracheltuire a energiei electrice în fiecare zi este, de asemenea, constantă și egală cu q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.

Probabilitatea dorită conform formulei Bernoulli este egală cu:

Scurtă teorie

Teoria probabilității se ocupă de experimente care pot fi repetate (cel puțin în teorie) de un număr nelimitat de ori. Lăsați un experiment să fie repetat o dată, iar rezultatele fiecărei repetări nu depind de rezultatele repetărilor anterioare. Astfel de serii de repetări se numesc încercări independente. Un caz special de astfel de teste sunt procese independente Bernoulli, care se caracterizează prin două condiții:

1) rezultatul fiecărui test este unul dintre cele două rezultate posibile, numite respectiv „succes” sau „eșec”.

2) probabilitatea de „succes” la fiecare test ulterior nu depinde de rezultatele testelor anterioare și rămâne constantă.

teorema lui Bernoulli

Dacă se efectuează o serie de încercări Bernoulli independente, în fiecare dintre care „succesul” are loc cu probabilitate, atunci probabilitatea ca „succesul” în încercări să aibă loc exact o dată este exprimată prin formula:

unde este probabilitatea de eșec.

- numărul de combinații de elemente prin (vezi formulele de bază ale combinatoriei)

Această formulă se numește formula Bernoulli.

Formula Bernoulli vă permite să scăpați de un număr mare de calcule - adunarea și multiplicarea probabilităților - cu un număr suficient de mare de teste.

Schema de testare Bernoulli se mai numește și schema binomială, iar probabilitățile corespunzătoare sunt numite binomi, care este asociat cu utilizarea coeficienților binomi.

Distribuția conform schemei Bernoulli permite, în special, găsirea numărului cel mai probabil de apariție a unui eveniment.

Dacă numărul de încercări n grozav, atunci bucură-te de:

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcina

Germinarea semințelor unei anumite plante este de 70%. Care este probabilitatea ca din 10 semințe semănate: 8, cel puțin 8; cel putin 8?

Rezolvarea problemei

Să folosim formula Bernoulli:

În cazul nostru

Lasă evenimentul - din 10 semințe să încolțească 8:

Lasă evenimentul - să crească cel puțin 8 (adică 8, 9 sau 10)

Lasă evenimentul să crească cel puțin 8 (adică 8,9 sau 10)

Răspuns

Mediu costul rezolvării lucrării de control este de 700 - 1200 de ruble (dar nu mai puțin de 300 de ruble pentru întreaga comandă). Prețul este puternic influențat de urgența deciziei (de la zile la câteva ore). Costul ajutorului online la examen / test - de la 1000 de ruble. pentru soluția de bilet.

Aplicația poate fi lăsată direct în chat, după ce a aruncat în prealabil starea sarcinilor și informându-vă despre termenele limită pentru rezolvarea acesteia. Timpul de răspuns este de câteva minute.

În această lecție, vom găsi probabilitatea ca un eveniment să apară în studii independente atunci când încercările sunt repetate. . Studiile sunt numite independente dacă probabilitatea unui rezultat sau altui al fiecărui studiu nu depinde de rezultatele pe care le-au avut alte studii. . Testele independente pot fi efectuate atât în ​​aceleași condiții, cât și în condiții diferite. În primul caz, probabilitatea ca un eveniment să apară în toate încercările este aceeași; în al doilea caz, aceasta variază de la proces la proces.

Exemple de retestări independente :

• unul dintre nodurile dispozitivului sau două sau trei noduri vor eșua, iar eșecul fiecărui nod nu depinde de celălalt nod, iar probabilitatea de eșec a unui nod este constantă în toate testele;
• o piesă produsă în anumite condiții tehnologice constante, sau trei, patru, cinci părți, se va dovedi a fi nestandard, iar o parte se poate dovedi a fi nestandard, indiferent de orice altă parte și probabilitatea ca piesa să fie se dovedește a fi nestandard este constant în toate testele;
• din mai multe lovituri pe țintă, una, trei sau patru lovituri lovesc ținta indiferent de rezultatul altor lovituri și probabilitatea de a lovi ținta este constantă în toate încercările;
• atunci când moneda este introdusă, aparatul va funcționa corect de una, două sau de un alt număr de ori, indiferent de ce au avut alte inserții de monede, iar probabilitatea ca aparatul să funcționeze corect este constantă în toate încercările.

Aceste evenimente pot fi descrise printr-o singură schemă. Fiecare eveniment are loc în fiecare studiu cu aceeași probabilitate, care nu se schimbă dacă rezultatele studiilor anterioare devin cunoscute. Astfel de teste sunt numite independente, iar schema este numită Schema Bernoulli . Se presupune că astfel de teste pot fi repetate de câte ori se dorește.

Dacă probabilitatea p eveniment A este constantă în fiecare încercare, apoi probabilitatea ca în n eveniment de testare independent A va veni m ori, situat pe formula Bernoulli :

(Unde q= 1 – p- probabilitatea ca evenimentul să nu se producă)

Să stabilim sarcina - să găsim probabilitatea ca un eveniment de acest tip să intre n vor veni procese independente m o singura data.

Formula Bernoulli: exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 Găsiți probabilitatea ca dintre cele cinci părți alese aleatoriu două să fie standard, dacă probabilitatea ca fiecare parte să fie standard este de 0,9.

Decizie. Probabilitatea evenimentului DAR, constând în faptul că o parte luată la întâmplare este standard, este p=0,9, iar probabilitatea ca acesta să fie nestandard este q=1–p=0,1. Evenimentul indicat în starea problemei (o notăm prin LA) apare dacă, de exemplu, primele două părți sunt standard, iar următoarele trei sunt nestandard. Dar evenimentul LA apare, de asemenea, dacă prima și a treia parte sunt standard, iar restul sunt non-standard, sau dacă a doua și a cincea părți sunt standard, iar restul sunt non-standard. Există și alte posibilități ca evenimentul să aibă loc. LA. Oricare dintre ele se caracterizează prin faptul că din cinci părți luate, două, ocupând orice locuri din cinci, se vor dovedi a fi standard. Prin urmare, numărul total de posibilități diferite pentru apariția unui eveniment LA este egal cu numărul de posibilități de plasare a două piese standard în cinci locuri, i.e. este egal cu numărul de combinații de cinci elemente cu doi și .

Probabilitatea fiecărei posibilități, conform teoremei înmulțirii probabilității, este egală cu produsul a cinci factori, dintre care doi, corespunzători aspectului părților standard, sunt egali cu 0,9, iar restul de trei, corespunzător apariției non-ului. -piese standard, sunt egale cu 0,1, i.e. această probabilitate este . Deoarece aceste zece posibilități sunt evenimente incompatibile, prin teorema de adunare, probabilitatea unui eveniment LA, pe care o notăm

Exemplul 2 Probabilitatea ca mașina să necesite atenția unui muncitor într-o oră este de 0,6. Presupunând că defecțiunile la mașini sunt independente, găsiți probabilitatea ca în decurs de o oră să fie solicitată atenția lucrătorului de către oricare dintre cele patru mașini deservite de acesta.

Decizie. Folosind formula lui Bernoulli la n=4 , m=1 , p=0,6 și q=1–p=0,4, obținem

Exemplul 3 Pentru funcționarea normală a depozitului auto trebuie să existe cel puțin opt mașini pe linie și sunt zece. Probabilitatea de neieșire a fiecărei mașini pe linie este egală cu 0,1. Găsiți probabilitatea funcționării normale a depozitului în ziua următoare.

Decizie. Autobase va funcționa bine (eveniment F) dacă oricare sau opt vor intra pe linie (evenimentul DAR), sau nouă (eveniment LA), sau evenimentul cu toate cele zece mașini (eveniment C). Conform teoremei de adunare a probabilității,

Găsim fiecare termen conform formulei Bernoulli. Aici n=10 , m=8; 10 și p\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, deoarece p ar trebui să însemne probabilitatea ca o mașină să intre pe linie; apoi q=0,1. Drept urmare, obținem

Exemplul 4 Fie probabilitatea ca un client să aibă nevoie de un pantof pentru bărbați mărimea 41 să fie de 0,25. Găsiți probabilitatea ca din șase cumpărători cel puțin doi să aibă nevoie de pantofi de mărimea 41.

Să fie efectuate n încercări cu privire la evenimentul A. Să introducem următoarele evenimente: Аk -- evenimentul А a fost realizat în timpul testului k-lea, $ k=1,2,\dots , n$. Atunci $\bar(A)_(k) $ este evenimentul opus (evenimentul A nu a avut loc în timpul testului k-lea, $k=1,2,\dots , n$).

Ce sunt studiile de la egal la egal și independente

Definiție

Testele sunt numite de același tip față de evenimentul A dacă probabilitățile evenimentelor $A1, A2, \dots , An$ sunt aceleași: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (adică probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare este constantă în toate încercările).

Evident, în acest caz, probabilitățile de evenimente opuse coincid și ele: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.

Definiție

Încercările sunt numite independente față de evenimentul A dacă evenimentele $A1, A2, \dots , An$ sunt independente.

În acest caz

În acest caz, egalitatea este păstrată atunci când orice eveniment Ak este înlocuit cu $\bar(A)_(k) $.

Să fie efectuate o serie de n încercări independente similare cu privire la evenimentul A. Purtam notatia: p - probabilitatea evenimentului A intr-un test; q este probabilitatea evenimentului opus. Astfel P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ pentru orice k și p+q=1.

Probabilitatea ca într-o serie de n încercări evenimentul A să apară exact de k ori (0 ≤ k ≤ n) se calculează prin formula:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Egalitatea (1) se numește formula Bernoulli.

Probabilitatea ca într-o serie de n încercări independente de același tip evenimentul A să apară de cel puțin k1 ori și de cel mult k2 ori se calculează prin formula:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Aplicarea formulei Bernoulli pentru valori mari ale lui n duce la calcule greoaie, așa că în aceste cazuri este mai bine să folosiți alte formule - asimptotice.

Generalizarea schemei Bernoulli

Luați în considerare o generalizare a schemei Bernoulli. Dacă într-o serie de n încercări independente, fiecare dintre ele are m rezultate incompatibile în perechi și posibile Ak cu probabilități corespunzătoare Рk= рk(Аk). Atunci formula de distribuție polinomială este valabilă:

Exemplul 1

Probabilitatea de a face gripă în timpul unei epidemii este de 0,4. Aflați probabilitatea ca din 6 angajați ai companiei să se îmbolnăvească

1. exact 4 angajati;
2. nu mai mult de 4 angajati.

Decizie. 1) Evident, pentru a rezolva această problemă se aplică formula Bernoulli, unde n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. Aplicând formula (1), obținem: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \aprox 0.138$.

Pentru a rezolva această problemă se aplică formula (2), unde k1=0 și k2=4. Noi avem:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ aproximativ 0,959.) \end(array)\]

Trebuie menționat că această sarcină este mai ușor de rezolvat folosind evenimentul opus - mai mult de 4 angajați s-au îmbolnăvit. Apoi, ținând cont de formula (7) privind probabilitățile de evenimente opuse, obținem:

Răspuns: $\ 0,959 USD.

Exemplul 2

O urnă conține 20 de bile albe și 10 de bile negre. Se scot 4 bile, iar fiecare bilă scoasă este returnată în urnă înainte ca următoarea să fie extrasă și bilele din urnă sunt amestecate. Găsiți probabilitatea ca din cele patru bile extrase să fie 2 bile albe în Figura 1.

Poza 1.

Decizie. Fie evenimentul A că -- este extrasă o bilă albă. Atunci probabilitățile $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Conform formulei Bernoulli, probabilitatea necesară este $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Răspuns: $\frac(8)(27) $.

Exemplul 3

Determinați probabilitatea ca o familie cu 5 copii să nu aibă mai mult de 3 fete. Se presupune că probabilitățile de a avea un băiat și o fată sunt aceleași.

Decizie. Probabilitatea de a avea o fată $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-probabilitatea de a avea un băiat. Nu există mai mult de trei fete într-o familie, ceea ce înseamnă că s-au născut fie una, fie două, sau trei fete, fie toți băieții din familie.

Găsiți probabilitățile ca în familie să nu existe fete, s-au născut una, două sau trei fete: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Prin urmare, probabilitatea necesară este $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Răspuns: $\frac(13)(16)$.

Exemplul 4

Primul trăgător cu o singură lovitură poate lovi primii zece cu o probabilitate de 0,6, pe cei nouă cu o probabilitate de 0,3, iar cei opt cu o probabilitate de 0,1. Care este probabilitatea ca, cu 10 lovituri, să lovească de zece șase ori, nouă de trei ori și opt de opt ori?