La ce valoare a parametrului o rădăcină unică a ecuației

mai mare de 1 iar celălalt mai mic de 1?

Luați în considerare funcția -

Obiectiv:

• Studiul tuturor caracteristicilor posibile ale locației rădăcinilor unui trinom pătrat relativ la un punct dat și relativ la un anumit segment pe baza proprietăților unei funcții pătratice și a interpretărilor grafice.
• Aplicarea proprietăților studiate în rezolvarea unor probleme nestandard cu un parametru.

Sarcini:

• Să studieze diferite metode de rezolvare a problemelor bazate pe studiul locației rădăcinilor unui trinom pătrat printr-o metodă grafică.
• Fundamentați toate caracteristicile posibile ale locației rădăcinilor unui trinom pătrat, dezvoltați recomandări teoretice pentru rezolvarea problemelor nestandard cu un parametru.
• Stăpânește o serie de abilități matematice tehnice și intelectuale, învață cum să le folosești în rezolvarea problemelor.

Ipoteză:

Utilizarea metodei grafice în probleme netradiționale cu un parametru simplifică calculele matematice și reprezintă o modalitate rațională de rezolvare.

atunci si numai atunci:

1. Ambele rădăcini sunt mai mici decât A,

2. Rădăcinile se află pe laturile opuse ale numărului A,

atunci si numai atunci:

• atunci si numai atunci:

atunci si numai atunci:

3. Ambele rădăcini sunt mai mari decât numărul A, adică

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care există o rădăcină a ecuației

mai mare de 1 iar celălalt mai mic de 1.

Pentru ce valori ale parametrului ecuația

are două rădăcini diferite ale aceluiași semn?

-6

-2

3

A

1. Ambele rădăcini se află între punctele A și B, adică.

atunci si numai atunci:

2. Rădăcinile se află pe laturile opuse ale segmentului

atunci si numai atunci:

3. O rădăcină se află în afara segmentului, iar cealaltă pe acesta, adică

atunci si numai atunci:

Explorați ecuația

după numărul de rădăcini în funcţie de parametru.

ecuația nu are soluții.

are o singura solutie.

Explorați ecuația

după numărul de rădăcini în

in functie de parametru.

Dacă o rădăcină se află pe un segment, iar cealaltă în stânga acestuia.

Dacă o rădăcină se află pe un segment, iar cealaltă în dreapta acestuia.

ecuația inițială va avea două rădăcini diferite.

sub care

Ecuația are trei rădăcini diferite.

Răspuns: când

sub care

ecuația inițială va avea două

rădăcini diferite.

Ecuația are patru rădăcini diferite.

Cel mai puternic instrument pentru rezolvarea problemelor complexe cu parametri este teorema lui Vieta. Dar aici trebuie să fii extrem de atent la redactare.

Aceste două teoreme (directă și inversă)

Teorema Vieta

Dacă ecuația are rădăcini și ; atunci egalitățile sunt satisfăcute.

Caracteristicile teoremei:

Primul . Teorema este adevărată numai pentru ecuație și nu este adevărat pentru

În acest din urmă caz, trebuie mai întâi să împărțiți ambele părți ale ecuației cu un coeficient diferit de zero a la x 2 și apoi să aplicați teorema Vieta.

Al doilea. Pentru a folosi rezultatele teoremei, este necesar să existe faptul existenței rădăcinilor ecuațiilor, i.e. nu uitați să impuneți condiția D>0

Verso

teorema lui Vieta

Dacă există numere arbitrare și atunci acestea sunt rădăcinile ecuației

Notă foarte importantă, facilitând rezolvarea problemelor: teorema inversă garanții existența rădăcinilor în ecuație, care vă permite să nu vă încurcați cu discriminantul. Este automat nenegativ în acest caz.

	Condiții pentru rădăcini	Condiție echivalentă pentru coeficienții a, b, c și discriminantul D
	Rădăcinile există (și sunt distincte)
	Rădăcinile există și sunt egale
	Rădăcinile există și
	Rădăcinile există și
	Rădăcinile există și sunt diferite
	Rădăcinile există, o rădăcină este zero și cealaltă este >0

unu). Setați la ce valori ale parametrului ecuația

Nu are rădăcini.

Dacă ecuația nu are rădăcini, atunci este necesar și suficient ca discriminantul

are rădăcini pozitive diferite.

Deoarece există rădăcini, atunci dacă ambele sunt pozitive, atunci folosim formula Vieta, atunci pentru această ecuație

⟹

Are diverse rădăcini negative

Are rădăcini de semne diferite

Are rădăcini potrivite

2). La ce valori ale parametrului A ambele rădăcini ale ecuației pătratice va fi pozitiv?

Decizie.

Deoarece ecuația dată este pătratică, atunci ambele rădăcini ale sale (egale sau diferite) vor fi pozitive dacă discriminantul este nenegativ, iar suma și produsul rădăcinilor sunt pozitive, adică

La fel de, și prin teorema lui Vieta,

Apoi obținem un sistem de inegalități

3). Găsiți toate valorile parametrilor A sunt nepozitive.

Deoarece ecuația dată este pătratică, atunci . Ambele rădăcini ale sale (egale sau diferite) vor fi negative sau egale cu zero dacă discriminantul este nenegativ, suma rădăcinilor este negativă sau egală cu zero și produsul rădăcinilor este nenegativ, adică

iar prin teorema lui Vieta

atunci obținem un sistem de inegalități.

Unde

4) La ce valori ale parametrului A egal cu 22,5?

În primul rând, vom oferi o „soluție”, pe care a trebuit să o întâlnim de mai multe ori.

în măsura în care apoi obținem „Răspunsul” Cu toate acestea, cu valoarea găsită A Ecuația originală nu are rădăcini.

În această soluție, am întâlnit una dintre cele „cele mai populare” erori asociate cu aplicarea teoremei Vieta:

vorbiți despre rădăcini fără să aflați mai întâi dacă există sau nu.

Deci, în acest exemplu, în primul rând, a fost necesar să se stabilească că numai atunci când ecuația inițială are rădăcini. Abia atunci se poate apela la calculele de mai sus.

Răspuns: Așa A nu exista.

5). Rădăcinile ecuației sunt astfel încât Defini

Decizie. Conform teoremei lui Vieta Să punem la pătrat ambele părți ale primei egalități Având în vedere că și obținem sau Verificarea arată că valorile satisfac ecuația inițială.

Răspuns:

6).La ce valoare a parametrului A suma pătratelor rădăcinilor ecuației ia cea mai mică valoare:

Găsiți discriminantul acestei ecuații. Avem Aici este important să nu facem o concluzie eronată că ecuația are două rădăcini pentru oricare A. are într-adevăr două rădăcini pentru orice, dar admisibil A, adică la la

Folosind teorema Vieta, scriem

Astfel, pentru a obține un răspuns, rămâne de găsit cea mai mică valoare a funcției pătratice

pe platou

De la ora iar la atunci funcția de pe setul specificat ia cea mai mică valoare în punctul respectiv

Sarcini pentru soluție independentă

unu). Găsiți toate valorile parametrilor A, pentru care rădăcinile ecuației pătratice

nenegativ

2). Calculați valoarea expresiei , unde sunt rădăcinile ecuației

3). Găsiți toate valorile parametrilor A, pentru care suma pătratelor rădăcinilor reale ale ecuației mai mult de 6.

Răspuns:

4). La ce valori ale parametrului a ecuația ax 2 -4x + a \u003d 0 are:

a) rădăcini pozitive

b) rădăcini negative

Locația rădăcinilor unei funcții pătratice relativ la

puncte date.

Pentru astfel de probleme, următoarea formulare este tipică: pentru ce valori ale parametrului rădăcinile (doar o rădăcină) sunt mai mari (mai puțin, nu mai mult, nici mai puțin) unui număr dat A; rădăcinile sunt situate între numerele A și B; rădăcinile nu aparțin intervalului cu capete în punctele A și B etc.

La rezolvarea problemelor legate de un trinom pătrat

de multe ori avem de-a face cu următoarele situații standard (pe care le vom formula sub forma unei „întrebări și răspunsuri”.

Intrebarea 1. Să fie dat un număr (1) ambele rădăcini ale saleși Mai mult acestea. ?

Răspuns. Coeficienții unui trinom pătrat (7) trebuie sa indeplineasca conditiile

Unde - abscisa vârfului parabolei.

Validitatea celor spuse rezultă din Fig. 1, care prezintă separat cazurile și Rețineți că cele două condiții și încă nu sunt suficiente pentru ca rădăcinile și să fie mai mari. 1 liniuță arată o parabolă care îndeplinește aceste două condiții, dar rădăcinile sale sunt mai mici.Totuși, dacă adăugăm la cele indicate două condiții că abscisa vârfului parabolei este mai mare, atunci rădăcinile vor fi mai mari decât

intrebarea 2. Să fie dat un număr În ce condiții asupra coeficienților unui trinom pătrat (1) rădăcinile sale și culcați pe părțile opuse ale acestea. ?

Răspuns. coeficienți trinomi pătrați (1) trebuie să îndeplinească condiția

Validitatea celor spuse rezultă din Fig. 2, unde cazurile și sunt prezentate separat.De reținut că condiția indicată garantează existența a două rădăcini diferite și a unui trinom pătrat (1).

Întrebarea 3. În ce condiții asupra coeficienților unui trinom pătrat (1) rădăcinile sale și sunt diferite și doar una dintre ele se află în intervalul dat

Răspuns. Coeficienții unui trinom pătrat (1) trebuie să îndeplinească condiția

Întrebarea 4. În ce condiții asupra coeficienților unui trinom pătrat (1) setul rădăcinilor sale nu este gol și toate rădăcinile sale și se află în intervalul dat acestea.

Răspuns. Coeficienții trinomului pătrat (1) trebuie să îndeplinească condițiile

Pentru a rezolva astfel de probleme, este util să lucrați cu tabelul de mai jos.

Rădăcinile polinomiale

.

Informatia autorului

Stukalova Nadezhda Vasilievna

Locul de munca, pozitia:

Școala Gimnazială MBOU №15, profesor de matematică

Regiunea Tambov

Caracteristicile lecției (clasele)

Nivelul de educație:

Învățământ general secundar (complet).

Publicul tinta:

Student (elev)

Publicul tinta:

profesor (profesor)

Clase):

Articol(e):

Algebră

Articol(e):

Matematică

Scopul lecției:

Tip de lecție:

Lecție combinată

Elevii din clasă (publicul):

Manuale și tutoriale folosite:

A. G. Mordkovich, algebră, clasa a 9-a, manual, 2011

A. G. Mordkovich, algebră, clasa 9, cartea cu probleme, 2011

S.A. Telyakovsky, algebră clasa a 9-a, manual, 2009

Literatura metodologica folosita:

Miroshin, V.V. Rezolvarea problemelor cu parametri: Teorie și practică / V.V. Miroshin.- M.: Examen, 2009.

L. V Kuznetsova Culegere de sarcini pentru examen

Echipament folosit:

Computer, proiector de filme

Scurta descriere:

Planul lecției: 1. Moment organizatoric. 2. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor (rețineți condițiile necesare și suficiente pentru amplasarea rădăcinilor unui trinom pătrat pe o dreaptă reală). 3. Rezolvarea problemelor cu parametrii (lucrare în grup). 4. Lucru independent cu verificare ulterioară. 5. Rezumând. 6. Tema pentru acasă.

Rezumatul lecției

pe subiect

„Locația rădăcinilor unui trinom pătrat

în funcție de valorile parametrilor"

profesor de matematică Stukalova N.V. Școala Gimnazială MBOU №15

Michurinsk - oraș științific al Federației Ruse 2011

Scopul lecției:

Să dezvolte abilitățile practice ale elevilor în rezolvarea sarcinilor cu parametri;

Pregătiți elevii pentru promovarea cu succes a GIA la matematică;

Dezvoltarea activităților de cercetare și cognitive ale studenților;

Să-și formeze interesul pentru matematică;

Dezvoltați abilitățile de matematică ale elevilor.

Planul lecției:

1. Moment organizatoric.

2. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor (rețineți condițiile necesare și suficiente pentru amplasarea rădăcinilor unui trinom pătrat pe o dreaptă reală).

3. Rezolvarea problemelor cu parametrii (lucrare în grup).

4. Lucru independent cu verificare ulterioară.

5. Rezumând.

6. Tema pentru acasă.

În timpul orelor.

1. Organizarea timpului.

Profesorul informează tema lecției, stabilește scopuri și obiective pentru elevi, raportează planul lecției.

Sarcinile cu parametri cauzează mari dificultăți. Acest lucru se datorează faptului că rezolvarea unor astfel de probleme necesită nu numai cunoașterea proprietăților funcțiilor și ecuațiilor, capacitatea de a efectua transformări algebrice, ci și o cultură logică înaltă și o bună tehnică de cercetare.

Lecția noastră este dedicată rezolvării problemelor privind localizarea rădăcinilor unui trinom pătrat pe o dreaptă reală.

2. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor:

Amintiți-vă condițiile necesare și suficiente pentru îndeplinirea diferitelor cerințe pentru localizarea rădăcinilor unei ecuații pătratice în raport cu punctele sau intervalele date.

După ce elevii răspund, sunt afișate diapozitive cu răspunsul corect.

1. Locația rădăcinilor de pe ambele părți ale datei pe linia numerică

puncte.

stare x 1< m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.

2. Locația rădăcinilor pe ambele părți ale unui segment dat.

Pentru ca rădăcinile ecuației pătratice la a ≠ 0 să satisfacă

stare x 1< m, х 2 < n, где m

sisteme de inegalităţi

3. Locația rădăcinilor pe o parte a celei date pe linia numerică

Puncte.

Pentru ca rădăcinile ecuației pătratice la a ≠ 0 să satisfacă

stare m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m,

este necesar şi suficient pentru a satisface sistemul de inegalităţi

Dacă la stânga punctului x = m, este necesar și suficient să se efectueze

sisteme de inegalităţi

4. Apartenența rădăcinilor la un interval dat.

interval (m;n), este necesar și suficient pentru a executa sistemul

inegalităților

5. Apartenența rădăcinilor la un segment dat.

Pentru ca rădăcinile ecuației pătratice pentru a ≠ 0 să aparțină

interval , este necesar și suficient pentru a executa sistemul

inegalităților

3. Rezolvarea problemelor cu parametrii.

Elevii sunt împărțiți în 4 grupe. În fiecare grupă sunt copii care au mai mult succes la algebră. Fiecare grup începe să rezolve problema care se potrivește cu numărul grupului său. După ce a discutat progresul rezolvării problemei, câte un reprezentant din fiecare grupă merge la tablă și elaborează o soluție la problema grupului lor și explică soluția acesteia (pe plăci pliabile). În acest moment, băieții ar trebui să rezolve problemele unui alt grup (puteți obține sfaturi de la profesor).

Sarcina numărul 1.

La ce valori ale parametrului A o rădăcină a ecuației (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + +11 - 3a \u003d \u003d 0 este mai mare decât 1, cealaltă rădăcină este mai mică decât 1?

Decizie.

Graficul funcției y \u003d f (x), unde f (x) \u003d (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + + 11 - 3a, cu

a ≠ - 7/12 este o parabolă ale cărei ramuri pentru a > - 7/12 sunt îndreptate în sus, pentru a< - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра A satisface inegalitatea

(12a +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3).

Sarcina #2.

Găsiți valorile parametrului a pentru care rădăcinile ecuației (1 + a) x 2 - 3ax + 4a \u003d 0 sunt mai mari decât 1.

Decizie.

Când a≠-1, ecuația dată este pătratică și D= -a(7a+16). Obținem sistemul , de unde -16/7≤а≤ -1.

Valorile parametrilor la care rădăcinile acestei ecuații pentru a ≠ - 1 sunt mai mari decât 1 aparțin intervalului [-16/7; -unu).

Când un \u003d -1, ecuația dată are forma 3x - 4 \u003d 0 și singura rădăcină

Raspuns: [-16/7; -unu]

Sarcina #3.

La ce valori ale parametrului k rădăcinile ecuației (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

aparțin intervalului (0;1)?

Decizie.

Pentru k≠2, valorile parametrilor dorite trebuie să satisfacă sistemul de inegalități

Unde D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F (1) \u003d k-5, x în \u003d k / (k-2).

Acest sistem nu are soluții.

Pentru k = 2, ecuația dată are forma -4x+1 = 0, singura sa rădăcină

x = ¼, care aparține intervalului (0;1).

Sarcina #4.

La ce valori ale lui a sunt ambele rădăcini ale ecuației x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 situate pe segment?

Valorile dorite trebuie să satisfacă sistemul de inegalități

unde D \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x în \u003d a.

Singura soluție a sistemului este valoarea, a = 4.

4. Munca independenta (control - antrenament).

Elevii lucrează în grupuri, efectuează aceeași opțiune, deoarece materialul este foarte complex și nu toată lumea o poate face.

Numarul 1. La ce valori ale parametrului a ambele rădăcini ale ecuației x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 aparțin intervalului (-2; 4)?

nr 2. Găsiți toate valorile lui k pentru care există o rădăcină a ecuației

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 este mai mică decât 1 și cealaltă rădăcină este mai mare decât 2.

Numarul 3. La ce valori ale lui a este numărul 1 dintre rădăcinile trinomului pătrat x 2 + (a + 1) x - a 2?

La sfârșitul timpului, răspunsurile sunt afișate. Se efectuează autoverificarea muncii independente.

5. Rezumatul lecției. Termină oferta.

"Astăzi la clasă..."

"Amintesc..."

„Aș dori să notez…”.

Profesorul analizează întregul curs al lecției și punctele sale principale, evaluează activitățile fiecărui elev din lecție.

6. Teme pentru acasă

(din colecția de sarcini pentru pregătirea pentru GIA în clasa a 9-a, autor L. V. Kuznetsova)

4. Localizarea rădăcinilor unui trinom pătrat în funcție de parametru

Adesea există probleme cu parametrii în care este necesar să se determine locația rădăcinilor unui trinom pătrat pe axa reală. Pe baza prevederilor principale și a notării paragrafului anterior, luați în considerare următoarele cazuri:

1. Să fie dat un trinom pătrat, unde
și punct m pe osie Bou. Apoi ambii cai
trinom pătrat
va fi strict mai puțin m

sau

Ilustrația geometrică este prezentată în figurile 3.1 și 3.2.

2. Să fie dat un trinom pătrat, unde și un punct m pe osie Bou. Inegalitate
este valabil numai dacă și numai dacă numerele Ași
au semne diferite, adică
(Fig. 4.1 și 4.2.)

3. Să fie dat un trinom pătrat, unde și punctul m pe osie Bou. Apoi ambii cai
trinomul pătrat va fi strict mai mare m dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

sau

O ilustrație geometrică este prezentată în figurile 5.1 și 5.2.

4. Să fie dat un trinom pătrat, unde și intervalul (m, M) Atunci ambele rădăcini ale trinomului pătrat aparțin intervalului indicat dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

sau

Ilustrația geometrică este prezentată în figurile 6.1 și 6.2.

5. Să fie dat un trinom pătrat, unde , sunt rădăcinile și segmentul său
. Segmentul se află în interval
dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

Ilustrația geometrică este prezentată în figurile 7.1 și 7.2.

Exemplu.Găsiți toate valorile parametrilorA, pentru fiecare dintre care ambele rădăcini ale ecuației
mai mult de -2.

Decizie. Este specificat în starea sarcinii. Că ecuația are două rădăcini, deci . Situația luată în considerare este descrisă de cazul 3 și este prezentată în Figura 5.1. și 5.2.

Sa gasim,
,

Având în vedere toate acestea, scriem setul de două sisteme:

sau

Rezolvând aceste două sisteme, obținem .

Răspuns. Pentru fiecare valoare a parametrului A din decalaj, ambele rădăcini ale ecuației sunt mai mari decât -2.

Exemplu.La ce valori ale parametruluiAinegalitate
efectuat pentru orice
?

Decizie. Dacă setul X este soluția acestei inegalități, atunci condiția problemei înseamnă că intervalul
trebuie să fie în cadrul setului X, adică

.

Luați în considerare toate valorile posibile ale parametrului A.

1.Dacă a=0, atunci inegalitatea ia forma
, iar soluția sa va fi intervalul
. În acest caz, condiția este îndeplinită și a=0 este solutia problemei.

2.Dacă
, atunci graficul laturii drepte a inegalității este un trinom pătrat, ale cărui ramuri sunt îndreptate în sus. Soluția inegalității depinde de semnul lui .

Luați în considerare cazul când
. Atunci, pentru ca inegalitatea să fie valabilă pentru toți, este necesar ca rădăcinile trinomului pătrat să fie mai mici decât -1, adică:

sau

Rezolvând acest sistem, obținem
.

În cazul în care un
, atunci parabola se află deasupra axei OX, iar soluția inegalității va fi orice număr din mulțimea numerelor reale, inclusiv intervalul . Să găsim așa ceva A din conditia:

sau

Rezolvând acest sistem, obținem
.

3.Dacă
, apoi la
soluția inegalității este intervalul , care nu poate include intervalul , iar dacă
această inegalitate nu are soluții.

Combinând toate valorile găsite A, primim răspunsul.

Răspuns. Pentru orice valoare a parametrului din interval
inegalitatea este valabilă pentru orice .

Exemplu.Pentru ce valori ale parametrului a setul de valori ale funcției conține segmentul
?

Decizie. 1. Dacă
, apoi

a) la a = 1 funcție va lua forma y = 2, iar setul valorilor sale este format dintr-un singur punct 2 și nu conține segmentul;

b) când a =-1 funcție va lua forma y = -2 X+2 . Setul său de semnificații
conţine un segment, deci a =-1 este soluția problemei.

2.Dacă
, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, funcția ia cea mai mică valoare la vârful parabolei
:

,
.

Setul de valori ale funcției este un interval
, care conține segmentul
daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

.

3. Dacă
, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, funcția ia cea mai mare valoare la vârful parabolei
. Setul de valori ale funcției este un interval
, care conține segmentul dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

Rezolvând acest sistem de inegalități, obținem
.

Combinând soluțiile, obținem
.

Răspuns. La
setul de valori ale funcției conține segmentul .

Sarcini pentru soluție independentă

1. Fără a calcula rădăcinile ecuației pătratice
, a găsi

A)
, b)
, în)

2. Găsiți setul de valori ale funcției

A)
, b)
, în)
, G)

3. Rezolvați ecuații

A)
, b)

4. La ce valori ale parametrului A ambele rădăcini ale ecuației
se află pe intervalul (-5, 4)?

5. La ce valori ale parametrului A inegalitatea este valabilă pentru toate valorile X?

6. La ce valori ale parametrului A cea mai mică valoare a funcției

Pe segment
este -1?

7. La ce valori ale parametrului A ecuația
are radacini?

Karpova Irina Viktorovna

PROGRAMA SI MATERIALE EDUCATIVE ALE CURSULUI ELECTIV de matematica pentru elevii claselor 8-9 „Elemente de teoria probabilitatii si statistica matematica”

Notă explicativă

În prezent, universalitatea legilor probabilistic-statistice devine evidentă; ele au devenit baza pentru descrierea imaginii științifice a lumii. Pe baze probabilistic-statistice se dezvoltă fizica, chimia, biologia, demografia, lingvistica, filozofia, întreg complexul de științe socio-economice moderne.

Un copil din viața lui se confruntă zilnic cu situații probabilistice. Gama de probleme legate de înțelegerea relației dintre conceptele de probabilitate și fiabilitate, problema alegerii celei mai bune dintre mai multe soluții, evaluarea gradului de risc și șansele de succes - toate acestea sunt în sfera intereselor reale ale formării și autodezvoltarea individului.

Toate cele de mai sus fac necesară familiarizarea copilului cu modele probabilistic-statistice.

Obiectivul cursului: să familiarizeze elevii cu unele modele teoretice și probabilistice și metode statistice de prelucrare a datelor.

Obiectivele cursului

Să familiarizeze elevii cu aparatul conceptual de bază al teoriei probabilităților.

Învățați să determinați probabilitatea evenimentelor în schema clasică de testare.

Să se familiarizeze cu metodele de prelucrare primară a datelor statistice.

Cerințe pentru nivelul de stăpânire a conținutului cursului

Ca urmare a stăpânirii programului de curs, studenții ar trebui stiu:

concepte de bază ale teoriei probabilităților: test, rezultat al testului, spațiu elementar al evenimentelor, evenimente aleatoare, certe, imposibile, evenimente comune și incompatibile;

condițiile schemei clasice de testare și determinarea probabilității unui eveniment în schema clasică de testare;

determinarea frecvenței relative de apariție a evenimentului și a probabilității statistice;

determinarea seriei de variaţii şi a principalelor sale caracteristici numerice.

Pe parcursul cursului, studenții trebuie să însuşească aptitudini:

determina toate rezultatele posibile ale testului, compatibilitatea și incompatibilitatea evenimentelor;

rezolva probleme teoretice si probabiliste de calcul a probabilitatii in schema clasica de testare;

calculați frecvența relativă de apariție a unui eveniment;

faceți o distribuție statistică a eșantionului și calculați caracteristicile numerice ale acestuia.

Programul presupune dezvoltarea elevilor aptitudini:

utilizarea algoritmilor existenti si, daca este cazul, prelucrarea creativa a acestora in conditiile specifice problemei;

rezolvarea independentă a problemelor;

utilizarea în rezolvarea problemelor de scheme generalizate care conţin definiţii şi formule de bază.

Domeniul cursului: cursul oferit este de 20 de ore

Planificare tematică

	Subiecte de lecție	Număr de ore
	Concepte de bază ale teoriei probabilităților.
	Schema clasică de testare. Determinarea probabilității în schema clasică de testare.
	Frecvența este absolută și relativă.
	Definiția statistică a probabilității.
	Populații generale și eșantionare.
	Distribuția statistică a eșantionului.
	Caracteristicile numerice ale distribuţiei statistice.
	Estimare si prognoza statistica.

Text manual

Mulți oameni iubesc matematica pentru adevărurile ei eterne: de două ori doi este întotdeauna patru, suma numerelor pare este pară, iar aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale adiacente. În orice problemă pe care ai rezolvat-o la cursul de matematică, toată lumea a primit același răspuns - trebuia doar să nu faci greșeli în soluție.

Viața reală nu este atât de simplă și lipsită de ambiguitate. Este imposibil să prezicem în avans rezultatele multor fenomene, indiferent cât de complete avem despre ele. Este imposibil, de exemplu, să spunem cu siguranță pe ce parte va ateriza o monedă aruncată, când va cădea prima ninsoare anul viitor sau câți oameni din oraș vor dori să dea un apel telefonic în următoarea oră. Se numesc astfel de evenimente imprevizibile Aleatoriu.

Cu toate acestea, cazul are și propriile legi, care încep să se manifeste prin repetarea repetată a fenomenelor întâmplătoare. Dacă arunci o monedă de 1000 de ori, atunci „vulturul” va cădea aproximativ jumătate din timp, ceea ce nu se poate spune despre două sau chiar zece aruncări. Rețineți cuvântul „aproximativ” – legea nu prevede că numărul „vulturii” va fi exact 500 sau va fi între 490 și 510. Nu precizează absolut nimic sigur, dar oferă un anumit grad de certitudine că unii aleatoriu eveniment va avea loc.. Astfel de regularități sunt studiate de o ramură specială a matematicii - teoria probabilității.

Teoria probabilității este indisolubil legată de viața noastră de zi cu zi. Aceasta oferă o oportunitate remarcabilă de a stabili multe legi probabilistice empiric, repetând în mod repetat experimente aleatorii. Materialele pentru aceste experimente vor fi cel mai adesea o monedă obișnuită, un zar, un set de piese de domino, o roată de ruletă și chiar un pachet de cărți. Fiecare dintre aceste elemente, într-un fel sau altul, este legat de jocuri. Cert este că cazul de aici apare în cea mai pură formă, iar primele probleme probabilistice au fost asociate cu evaluarea șanselor jucătorilor de a câștiga.

Teoria probabilității moderne s-a îndepărtat la fel de departe de jocurile de noroc ca geometria de problemele de gestionare a terenurilor, dar recuzita lor este încă cea mai simplă și mai de încredere sursă de șansă. Exersând cu o roată de ruletă și un zar, vei învăța cum să calculezi probabilitatea unor evenimente aleatoare în situații din viața reală, ceea ce îți va permite să-ți evaluezi șansele de succes, să testezi ipoteze și să iei decizii nu numai la jocuri și loterie.

Statistica matematică este o ramură a matematicii care studiază metode de colectare, sistematizare și procesare a rezultatelor observațiilor fenomenelor aleatorii de masă în scopul identificării tiparelor existente.

Într-un fel, problemele statisticii matematice sunt inverse problemelor teoriei probabilităților: ocupându-se doar de valorile variabilelor aleatoare obținute experimental, statistica își propune să propună și să testeze ipoteze despre distribuția acestor variabile aleatoare și să evalueze parametrii de distributia lor.

1. Evenimente aleatorii. Cum se compară evenimentele?

Ca orice altă ramură a matematicii, teoria probabilității are propriul său aparat conceptual, care este utilizat în formularea definițiilor, demonstrarea teoremelor și derivarea formulelor. Să luăm în considerare conceptele pe care le vom folosi în expunerea ulterioară a teoriei.

Proces- implementarea unui set de conditii.

Rezultatul testului (eveniment elementar)– orice rezultat care poate apărea în timpul testului.

Exemple.

1) Proces:

Rezultatele testului:ω 1 - pe faţa superioară a cubului a apărut un punct;

ω 2 – două puncte au apărut pe faţa superioară a cubului;

ω 3 – trei puncte au apărut pe faţa superioară a cubului;

ω 4 – patru puncte au apărut pe faţa superioară a cubului;

ω 5 – cinci puncte au apărut pe faţa superioară a cubului;

ω 6 - șase puncte au apărut pe fața superioară a cubului.

În total, sunt posibile 6 rezultate ale testului (sau 6 evenimente elementare).

2) Proces: studentul susține examenul.

Rezultatele testului:ω 1 - studentul a primit un deuce;

ω 2 - elevul a primit un trei;

ω 3 - elevul a primit un patru;

ω 4 - studentul a primit un cinci.

În total, sunt posibile 4 rezultate ale testului (sau 4 evenimente elementare).

cometariu. Notația ω este notația standard pentru un eveniment elementar, în cele ce urmează vom folosi această notație.

Vom numi rezultatele acestui test la fel de posibil dacă rezultatele studiului au aceleași șanse să apară.

Spațiul evenimentelor elementare- ansamblul tuturor evenimentelor elementare (rezultatele testului) care pot apărea în timpul testului.

În exemplele pe care le-am luat în considerare mai sus, au fost descrise efectiv spațiile evenimentelor elementare ale acestor teste.

Cometariu. Numărul de puncte din spațiul evenimentelor elementare (PES), i.e. numărul de evenimente elementare va fi notat cu litera n.

Să luăm în considerare conceptul principal, pe care îl vom folosi în cele ce urmează.

Definiție 1.1.Un eveniment este o colecție de un anumit număr de puncte TEC.

În viitor, vom desemna evenimente cu majuscule latine: A, B, C.

Definiție 1.2.Un eveniment care poate sau nu să apară în timpul unui test se numește eveniment aleatoriu.

Cumpărând un bilet de loterie, este posibil să câștigăm sau nu; la următoarele alegeri, partidul de guvernământ poate sau nu câștiga; în lecție s-ar putea să fii chemat la consiliu, sau ei nu pot fi chemați etc. Acestea sunt toate exemple de evenimente aleatorii care, în aceleași condiții, pot să apară sau nu în timpul unui test.

Cometariu. Orice eveniment elementar este, de asemenea, un eveniment aleatoriu.

Definiție 1.3.Un eveniment care are loc pentru orice rezultat al unui proces se numește un anumit eveniment.

Definiție 1.4.Un eveniment care nu poate avea loc sub niciun rezultat al testului se numește eveniment imposibil.

Exemplu.

1) Proces: se aruncă un zar.

Evenimentul A: un număr par de puncte a căzut pe fața superioară a zarului;

Evenimentul B: pe partea superioară a zarului, au căzut un număr de puncte, un multiplu de 3;

Evenimentul C: 7 puncte au căzut pe fața superioară a zarului;

Evenimentul D: numărul de puncte mai mic de 7 a căzut pe fața superioară a zarului.

Evenimente DARși LA poate sau nu să apară în timpul testului, deci acestea sunt evenimente aleatorii.

Eveniment Cu nu se poate întâmpla niciodată, deci este un eveniment imposibil.

Eveniment D apare cu orice rezultat al testului, atunci acesta este un eveniment de încredere.

Am spus că evenimentele aleatorii în aceleași condiții pot să apară sau nu. În același timp, unele evenimente aleatoare au mai multe șanse să se producă (ceea ce înseamnă că sunt mai probabile - mai aproape de fiabile), în timp ce altele au mai puține șanse (sunt mai puțin probabile - mai aproape de imposibil). Prin urmare, ca primă aproximare, este posibil să se definească probabilitatea ca grad de posibilitate a producerii unui eveniment.

Este clar că evenimentele mai probabile vor avea loc mai des decât cele mai puțin probabile. Deci, puteți compara probabilitățile după frecvența cu care apar evenimentele.

Să încercăm să plasăm următoarele evenimente pe o scară de probabilitate specială, în ordinea probabilității crescânde a apariției lor.

Evenimentul A: anul viitor prima ninsoare la Khabarovsk va cădea duminică;

Evenimentul B: sandvișul care a căzut de pe masă a căzut cu untul în jos;

Evenimentul C: la aruncarea unui zar, vor cădea 6 puncte;

Evenimentul D: la aruncarea unui zar, un număr par de puncte va cădea;

Evenimentul E: la aruncarea unui zar au căzut 7 puncte;

Evenimentul F: Când se aruncă un zar, va apărea un număr de puncte mai mic de 7.

Deci, la punctul de plecare al scalei noastre, vom plasa evenimente imposibile, deoarece gradul de posibilitate a apariției (probabilității) lor este practic egal cu 0. Astfel, acesta va fi un eveniment E. La punctul final al scarii noastre, plasăm evenimente de încredere - F. Toate celelalte evenimente sunt aleatorii, să încercăm să le aranjam pe scară în ordinea gradului crescător al apariției lor. Pentru a face acest lucru, trebuie să aflăm care dintre ele sunt mai puțin probabile și care sunt mai probabile. Să începem cu evenimentul D: Când aruncăm un zar, fiecare dintre cele 6 fețe are șanse egale să fie în vârf. Un număr par de puncte - pe trei fețe ale cubului, pe celelalte trei - impar. Deci exact jumătate din șansa (3 din 6) ca evenimentul D se va întâmpla. Prin urmare, plasăm evenimentul D la mijlocul scarii noastre.

La eveniment Cu doar o șansă din 6 în timp ce evenimentul are D- trei șanse din 6 (cum am aflat). Asa de Cu mai puțin probabil și va fi situat pe scara din stânga evenimentului D.

Eveniment DAR chiar mai puțin probabil decât Cu, pentru că sunt 7 zile în săptămâni și în oricare dintre ele prima ninsoare poate cădea cu aceeași probabilitate, deci evenimentul are DAR o șansă în 7. Eveniment DAR, astfel, va fi situat chiar mai în stânga decât evenimentul Cu.

Cel mai greu lucru de plasat pe scară este un eveniment LA. Aici este imposibil să calculezi cu exactitate șansele, dar poți apela la experiența de viață pentru a te ajuta: un sandviș cade pe podea cu unt mult mai des (există chiar o „lege a sandvișului”), așa că evenimentul LA mult mai probabil decât D, deci pe scară o plasăm la dreapta decât D. Astfel, obținem scara:

E A C D B F

imposibil aleatoriu sigur

Scala de probabilitate construită nu este chiar reală - nu are semne numerice, diviziuni. Ne confruntăm cu sarcina de a învăța cum să calculăm gradul de posibilitate al apariției (probabilității) unui eveniment.

Ecuații cuadratice cu parametri

(Elaborare metodologică pentru elevii din clasele 9-11)

profesor de matematică cu cea mai înaltă categorie de calificare,

Director adjunct pentru UVR

Megion 2013

cuvânt înainte

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Aplicarea teoremei Vieta

Lucrări științifice rezolvarea problemelor cu parametri și în special rezolvarea ecuațiilor pătratice cu parametrii este propedeutică munca de cercetare a elevilor. La USE în matematică (deseori sarcini C5), GIA (sarcini din partea 2) și la examenele de admitere, există în principal două tipuri de sarcini cu parametri. Mai întâi: „Pentru fiecare valoare a parametrului, găsiți toate soluțiile unei ecuații sau inegalități.” În al doilea rând: „Găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre care sunt îndeplinite anumite condiții pentru o anumită ecuație sau inegalitate”. În consecință, răspunsurile la aceste două tipuri de probleme diferă în esență. În răspunsul la problema primului tip, sunt enumerate toate valorile posibile ale parametrului, iar soluțiile ecuației sunt scrise pentru fiecare dintre aceste valori. În răspunsul la problema de al doilea tip, sunt indicate toate valorile parametrilor în care sunt îndeplinite condițiile specificate în problemă.

După cum știți, se acordă foarte puțină atenție rezolvării problemelor cu parametrii în școală. Prin urmare, rezolvarea problemelor cu parametrii provoacă întotdeauna mari dificultăți elevilor; este greu de așteptat ca studenții a căror pregătire nu a inclus „terapie parametrică” vor putea face față cu succes unor astfel de sarcini în atmosfera dură a unui examen competitiv, prin urmare, studenții ar trebui să se pregătească special pentru „întâlnirea cu parametrii”. Mulți studenți percep parametrul ca pe un număr „regulat”. Într-adevăr, în unele probleme parametrul poate fi considerat o valoare constantă, dar această valoare constantă ia valori necunoscute. Prin urmare, este necesar să se ia în considerare problema pentru toate valorile posibile ale acestei constante. În alte probleme, poate fi convenabil să declarați artificial una dintre necunoscute ca parametru.

Sarcinile cu parametri au valoare de diagnostic și prognostic - cu ajutorul sarcinilor cu parametri, puteți verifica cunoștințele principalelor secțiuni ale matematicii școlare, nivelul de gândire matematică și logică, abilitățile inițiale ale activităților de cercetare și, cel mai important, promițătoare. oportunități de a stăpâni cu succes cursul de matematică al unei universități date.

O analiză a opțiunilor de USE în matematică și examenele de admitere la diferite universități arată că majoritatea sarcinilor propuse cu parametri sunt asociate cu locația rădăcinilor unui trinom pătrat. Fiind principala la cursul de matematică școlară, funcția pătratică formează o clasă extinsă de probleme cu parametri, diverse ca formă și conținut, dar unite printr-o idee comună - proprietățile funcției pătratice stau la baza soluționării acestora. Când rezolvați astfel de probleme, se recomandă să lucrați cu trei tipuri de modele:

1. model verbal - o descriere verbală a sarcinii;

2. model geometric - o schiță a unui grafic al unei funcții pătratice;

3. model analitic - un sistem de inegalități, care descrie modelul geometric.

Manualul conține teoreme privind amplasarea rădăcinilor unui trinom pătrat (condiții necesare și suficiente pentru amplasarea rădăcinilor unei funcții pătratice în raport cu punctele date), aplicarea teoremei lui Vieta la rezolvarea ecuațiilor pătratice cu parametri. Sunt oferite soluții detaliate a 15 probleme cu recomandări metodice. Scopul acestui manual este de a ajuta absolventul și profesorul de matematică în pregătirea pentru promovarea Examenului Unificat de Stat și a GIA la matematică și a examenului de admitere la universitate sub formă de test sau în formă tradițională.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - se află în dreapta liniei x = n (condiția xb>n) ;

3. parabola se intersectează cu dreapta x = n într-un punct situat în semiplanul superior pentru a>0 și într-un punct situat în semiplanul inferior pentru a<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">

Teorema 10. Ecuații cuadratice x2 + p1x + q1 = 0 și x2 + p2x + q2 = 0,

ai căror discriminanți sunt nenegativi au cel puțin o rădăcină comună dacă și numai dacă (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Dovada.

Fie f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, iar numerele x1, x2 sunt rădăcinile ecuației f1(x) = 0. Pentru ecuațiile f1(x) ) = 0 și f2( x) = 0 au cel puțin o rădăcină comună, este necesar și suficient ca f1(x)∙f2(x) = 0, adică (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 Reprezentăm ultima egalitate în formă

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Deoarece x12 + p1x1 + q1 = 0 și x22 + p1x2 + q1 = 0, obținem

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, i.e.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

Prin teorema Vieta x1 +x2 = - p1 și x1x2 =q1; prin urmare,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0 sau

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), care urma să fie demonstrat.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Ecuație cuadratică topor 2 + bx + c = 0

1) are două rădăcini pozitive reale dacă și numai dacă sunt îndeplinite simultan următoarele condiții:

;

2) are două rădăcini negative reale dacă și numai dacă sunt îndeplinite simultan condițiile:

;

3) are două rădăcini reale de semne diferite dacă și numai dacă sunt îndeplinite simultan următoarele condiții:

;

4) are două rădăcini reale de același semn dacă

Observaţie 1. Dacă coeficientul la X 2 conține un parametru, este necesar să se analizeze cazul când acesta dispare.

Observația 2. Dacă discriminantul unei ecuații pătratice este un pătrat perfect, atunci la început este mai convenabil să găsiți expresii explicite pentru rădăcinile sale.

Observația 3. Dacă o ecuație care conține mai multe necunoscute este pătratică în raport cu una dintre ele, atunci cheia rezolvării problemei este adesea studiul discriminantului ei.

Prezentăm o schemă pentru studierea problemelor legate de localizarea rădăcinilor unui trinom pătratf(X) = topor2 + bx + c:

1. Studiul cazului a = o (dacă primul coeficient depinde de parametri).

2. Aflarea discriminantului D în cazul a≠0.

3. Dacă D este pătratul complet al unei expresii, atunci găsirea rădăcinilor x1, x2 și subordonarea condițiilor problemei.

4..png" width="13" height="22 src="> 3. Exemple de rezolvare a problemelor pentru pregătirea pentru GIA și examenul unificat de stat la matematică

Exemplul 1 Rezolvați ecuația ( A - 2)X 2 – 2topor + 2A – 3 = 0.

Decizie. Luați în considerare două cazuri: a = 2 și a ≠ 2. în primul caz, ecuația inițială ia forma - 4 X+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

Pentru un \u003d 1 sau un \u003d 6, discriminantul este zero și ecuația pătratică are o rădăcină: , adică pentru un \u003d 1 obținem rădăcina , iar pentru a = 6 - rădăcina.

La 1< A < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">ecuația nu are rădăcini; pentru a = 1 ecuația are o rădăcină X= -1; la ecuația are două rădăcini ; la A= 2 ecuația are o singură rădăcină; la A= 6 ecuația are o singură rădăcină .

Exemplul 2 La ce valoare a parametrului A ecuația ( A - 2)X 2 + (4 – 2A)X+ 3 = 0 are o rădăcină unică?

Decizie . În cazul în care un A= 2, atunci ecuația devine liniară∙ X+ 3 = 0; care nu are rădăcini.

În cazul în care un A≠ 2, atunci ecuația este pătratică și are o singură rădăcină cu discriminant zero D.

D= 0 la A 1 = 2 și A 2 = 5. Înțeles A= 2 este exclus, deoarece contrazice condiția ca ecuația inițială să fie pătratică.

Răspuns : A = 5.

4.

(A - 1)X 2 + (2A + 3)X + A+ 2 = 0 are rădăcini de același semn?

Decizie. Întrucât, după condiția problemei, ecuația considerată este pătratică, înseamnă că A≠ 1. Evident, condiția problemei presupune și existența rădăcinilor ecuației pătratice, ceea ce înseamnă că discriminantul este nenegativ

D = (2A + 3)2 – 4(A - 1)(A + 2) = 8A + 17.

Întrucât, prin condiție, rădăcinile trebuie să fie de același semn, atunci X 1∙X 2 > 0, adică..png" width="149" height="21 src=">. Sub rezerva condițiilor D≥ 0 și A≠ 1 obținem https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Exemplul 3 Găsiți toate valorile lui a pentru care ecuația x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 are două rădăcini pozitive.

Decizie. Din teorema Vieta, pentru ca ambele rădăcini x1 și x2 ale acestei ecuații să fie pozitive, este necesar și suficient ca discriminantul trinomului pătrat x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) să fie non- negativ, iar produsul x1 ∙ x2 și suma x1 + x2 au fost pozitive. Obținem că totul este un sistem satisfăcător

Și numai ele sunt soluțiile la problemă. Acest sistem este echivalent cu sistemul

Soluția căreia și, prin urmare, problema în sine, sunt toate numerele din intervalul )