Monomial este o expresie care este produsul a doi sau mai mulți factori, fiecare dintre care este un număr exprimat printr-o literă, cifre sau putere (cu un exponent întreg nenegativ):

2A, A 3 X, 4abc, -7X

Deoarece produsul factorilor identici poate fi scris ca un grad, atunci un singur grad (cu un exponent întreg nenegativ) este, de asemenea, un monom:

(-4) 3 , X 5 ,

Deoarece un număr (întreg sau fracționar), exprimat printr-o literă sau numere, poate fi scris ca produs al acestui număr cu unul, atunci orice număr poate fi considerat, de asemenea, ca un monom:

X, 16, -A,

Forma standard a unui monom

Forma standard a unui monom- acesta este un monom, care are un singur factor numeric, care trebuie scris în primul rând. Toate variabilele sunt în ordine alfabetică și sunt conținute în monom o singură dată.

Numerele, variabilele și gradele variabilelor se referă și la monomii de forma standard:

7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomii de formă standard.

Factorul numeric al unui monom de formă standard se numește coeficientul monomial. Coeficienții monomi egali cu 1 și -1 de obicei nu se scriu.

Dacă nu există un factor numeric în monomul formei standard, atunci se presupune că coeficientul monomului este 1:

X 3 = 1 X 3

Dacă nu există un factor numeric în monomiul formei standard și există un semn minus în fața acestuia, atunci se presupune că coeficientul monomului este -1:

-X 3 = -1 X 3

Reducerea unui monom la forma standard

Pentru a aduce monomul la forma standard, aveți nevoie de:

1. Înmulțiți factorii numerici, dacă sunt mai mulți. Ridicați un factor numeric la o putere dacă are un exponent. Pune multiplicatorul de numere pe primul loc.
2. Înmulțiți toate variabilele identice, astfel încât fiecare variabilă să apară o singură dată în monom.
3. Aranjați variabilele după factorul numeric în ordine alfabetică.

Exemplu. Exprimați monomul în formă standard:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X; b) 6 bc 0,5 ab 3

Decizie:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X= 3 (-2) X 2 Xyy 5 = -6X 3 y 6
b) 6 bc 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Gradul unui monom

Gradul unui monom este suma exponenților tuturor literelor din ea.

Dacă un monom este un număr, adică nu conține variabile, atunci gradul său este considerat egal cu zero. De exemplu:

5, -7, 21 - monomii de grade zero.

Prin urmare, pentru a găsi gradul unui monom, trebuie să determinați exponentul fiecăreia dintre literele incluse în acesta și să adăugați acești exponenți. Dacă exponentul literei nu este specificat, atunci este egal cu unu.

Exemple:

Deci ce mai faci X exponentul nu este specificat, ceea ce înseamnă că este egal cu 1. Monomul nu conține alte variabile, ceea ce înseamnă că gradul său este egal cu 1.

Monomul conține o singură variabilă în gradul doi, ceea ce înseamnă că gradul acestui monom este 2.

3) ab 3 c 2 d

Indicator A este egal cu 1, indicatorul b- 3, indicator c- 2, indicator d- 1. Gradul acestui monom este egal cu suma acestor indicatori.

Gradul unui monom

Pentru un monom există conceptul de gradul său. Să ne dăm seama ce este.

Definiție.

Gradul unui monom forma standard este suma exponenților tuturor variabilelor incluse în înregistrarea sa; dacă nu există variabile în intrarea monomului și este diferită de zero, atunci gradul său este considerat zero; numărul zero este considerat un monom, al cărui grad nu este definit.

Definiția gradului unui monom ne permite să dăm exemple. Gradul monomului a este egal cu unu, deoarece a este a 1 . Gradul monomului 5 este zero, deoarece este diferit de zero și notația sa nu conține variabile. Iar produsul 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 este un monom de gradul al optulea, deoarece suma exponenților tuturor variabilelor a, x și y este 2+1+3+2=8.

Apropo, gradul unui monom care nu este scris în formă standard este egal cu gradul monomului corespunzător al formei standard. Pentru a ilustra ceea ce s-a spus, calculăm gradul monomului 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Acest monom în formă standard are forma −6·x 8 ·y 4 , gradul său este 8+4=12 . Astfel, gradul monomului original este 12 .

Coeficientul monomial

Un monom în formă standard, având cel puțin o variabilă în notația sa, este un produs cu un singur factor numeric - un coeficient numeric. Acest coeficient se numește coeficient monomial. Să formalizăm raționamentul de mai sus sub forma unei definiții.

Definiție.

Coeficientul monomial este factorul numeric al monomului scris în forma standard.

Acum putem da exemple de coeficienți ai diferitelor monomii. Numărul 5 este coeficientul monomului 5 a 3 prin definiție, în mod similar monomul (−2.3) x y z are coeficientul −2.3 .

Coeficienții monomiilor egali cu 1 și −1 merită o atenție specială. Ideea aici este că de obicei nu sunt prezente în mod explicit în înregistrare. Se crede că coeficientul monomiilor din forma standard, care nu au un factor numeric în înregistrarea lor, este egal cu unu. De exemplu, monomiile a , x z 3 , a t x etc. au coeficientul 1, deoarece a poate fi considerat ca 1 a, x z 3 ca 1 x z 3 etc.

În mod similar, coeficientul monomiilor, ale căror intrări în formularul standard nu au un factor numeric și încep cu semnul minus, este considerat minus unu. De exemplu, monomiile −x , −x 3 y z 3 etc. au coeficientul −1 , deoarece −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 etc.

Apropo, conceptul de coeficient al unui monom este adesea menționat ca monomii de forma standard, care sunt numere fără factori alfabetici. Coeficienții unor astfel de numere-monomii sunt considerați a fi aceste numere. Deci, de exemplu, coeficientul monomului 7 este considerat egal cu 7.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

În această lecție, vom oferi o definiție strictă a unui monom, luăm în considerare diverse exemple din manual. Amintiți-vă regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază. Să dăm o definiție a formei standard a unui monom, a coeficientului unui monom și a părții sale literale. Să luăm în considerare două operații tipice de bază pe monomii, și anume, reducerea la o formă standard și calculul unei valori numerice specifice a unui monom pentru valorile date ale variabilelor literale incluse în acesta. Să formulăm regula pentru reducerea monomiului la forma standard. Să învățăm cum să rezolvăm problemele tipice cu orice monomii.

Subiect:monomii. Operații aritmetice pe monomii

Lecţie:Conceptul de monom. Forma standard a unui monom

Luați în considerare câteva exemple:

3. ;

Să găsim caracteristici comune pentru expresiile date. În toate cele trei cazuri, expresia este produsul numerelor și variabilelor ridicate la o putere. Pe baza asta, dăm definiția unui monom : un monom este o expresie algebrică care constă dintr-un produs de puteri și numere.

Acum dăm exemple de expresii care nu sunt monomii:

Să găsim diferența dintre aceste expresii și cele anterioare. Constă în faptul că în exemplele 4-7 există operații de adunare, scădere sau împărțire, în timp ce în exemplele 1-3, care sunt monomii, aceste operații nu sunt.

Iată încă câteva exemple:

Expresia numărul 8 este un monom, deoarece este produsul dintre o putere și un număr, în timp ce exemplul 9 nu este un monom.

Acum să aflăm acţiuni asupra monomiilor .

1. Simplificare. Luați în considerare exemplul #3 ;și exemplul #2 /

În al doilea exemplu, vedem un singur coeficient - , fiecare variabilă apare o singură dată, adică variabila " A” este reprezentat într-o singură instanță, ca „”, în mod similar, variabilele „” și „” apar o singură dată.

În exemplul nr. 3, dimpotrivă, există doi coeficienți diferiți - și , vedem variabila "" de două ori - ca "" și ca "", în mod similar, variabila "" apare de două ori. Adică, această expresie ar trebui simplificată, astfel, ajungem la prima acţiune efectuată asupra monomiilor este aducerea monomiului la forma standard . Pentru a face acest lucru, aducem expresia din Exemplul 3 la forma standard, apoi definim această operație și învățăm cum să aducem orice monom la forma standard.

Deci luați în considerare un exemplu:

Primul pas în operația de standardizare este întotdeauna înmulțirea tuturor factorilor numerici:

;

Rezultatul acestei acțiuni va fi apelat coeficientul monomial .

Apoi, trebuie să înmulțiți gradele. Înmulțim gradele variabilei " X”după regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, care spune că la înmulțire, exponenții se adună:

Acum să înmulțim puterile la»:

;

Deci, iată o expresie simplificată:

;

Orice monom poate fi redus la forma standard. Să formulăm regula de standardizare :

Înmulțiți toți factorii numerici;

Puneți pe primul loc coeficientul rezultat;

Înmulțiți toate gradele, adică obțineți partea cu literă;

Adică, orice monom este caracterizat de un coeficient și o parte de litere. Privind în viitor, observăm că monomiile care au aceeași parte de literă sunt numite similare.

Acum trebuie să câștigi tehnica de reducere a monomiilor la forma standard . Luați în considerare exemple din manual:

Sarcină: aduceți monomul la forma standard, denumiți coeficientul și partea de litere.

Pentru a finaliza sarcina, folosim regula aducerii monomiului la forma standard și proprietățile gradelor.

1. ;

3. ;

Comentarii la primul exemplu: Pentru început, să stabilim dacă această expresie este într-adevăr un monom, pentru aceasta verificăm dacă conține operații de înmulțire a numerelor și puterilor și dacă conține operații de adunare, scădere sau împărțire. Putem spune că această expresie este un monom, deoarece condiția de mai sus este îndeplinită. În plus, conform regulii aducerii monomiului la forma standard, înmulțim factorii numerici:

- am găsit coeficientul monomului dat;

; ; ; adică se primește partea literală a expresiei:;

noteaza raspunsul: ;

Comentarii la al doilea exemplu: Urmând regula, executăm:

1) înmulțiți factorii numerici:

2) înmulțiți puterile:

Variabilele și sunt prezentate într-o singură copie, adică nu pot fi înmulțite cu nimic, sunt rescrise fără modificări, gradul se înmulțește:

noteaza raspunsul:

;

În acest exemplu, coeficientul monomial este egal cu unu, iar partea literală este .

Comentarii la al treilea exemplu: a similar cu exemplele anterioare, efectuăm următoarele acțiuni:

1) înmulțiți factorii numerici:

;

2) înmulțiți puterile:

;

scrieti raspunsul: ;

În acest caz, coeficientul monomului este egal cu „”, iar partea literală .

Acum luați în considerare a doua operațiune standard pe monomii . Deoarece un monom este o expresie algebrică constând din variabile literale care pot lua anumite valori numerice, avem o expresie numerică aritmetică care ar trebui calculată. Adică, următoarea operație pe polinoame este calculând valoarea lor numerică specifică .

Luați în considerare un exemplu. Monomiul este dat:

acest monom a fost deja redus la forma standard, coeficientul său este egal cu unu și partea literală

Mai devreme spuneam că o expresie algebrică nu poate fi întotdeauna calculată, adică variabilele care intră în ea pot să nu ia nicio valoare. În cazul unui monom, variabilele incluse în acesta pot fi oricare, aceasta este o caracteristică a monomului.

Deci, în exemplul dat, este necesar să se calculeze valoarea monomului pentru , , , .

1. Un coeficient întreg pozitiv. Să avem monomiul +5a, deoarece numărul pozitiv +5 este considerat a fi același cu numărul aritmetic 5, atunci

5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.

De asemenea +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc și așa mai departe.

Pe baza acestor exemple, putem stabili că un coeficient întreg pozitiv arată de câte ori factorul literal (sau: produsul factorilor literali) al monomului este repetat de termen.

Ar trebui să se obișnuiască cu asta în așa măsură încât să apară imediat în imaginație că, de exemplu, în polinom

3a + 4a² + 5a³

problema se reduce la faptul că mai întâi a² se repetă de 3 ori ca termen, apoi a³ se repetă de 4 ori ca termen și apoi a se repetă de 5 ori ca termen.

De asemenea: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ etc.

2. Coeficient fracțional pozitiv. Să avem monomul +a. Deoarece numărul pozitiv + coincide cu numărul aritmetic, atunci +a = a ∙ , ceea ce înseamnă: trebuie să luați trei sferturi din numărul a, adică.

Prin urmare: un coeficient pozitiv fracționar arată de câte ori și ce parte din multiplicatorul literal al monomului este repetat de termen.

Polinom ar trebui să fie ușor de reprezentat ca:

etc.

3. Coeficient negativ. Cunoscând înmulțirea numerelor relative, putem stabili cu ușurință că, de exemplu, (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) sau (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) sau în general a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); de asemenea a ∙ (–) = (–a) ∙ (+), etc.

Prin urmare, dacă luăm un monom cu un coeficient negativ, de exemplu, –3a, atunci

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a este luat ca termen de 3 ori).

Din aceste exemple, vedem că coeficientul negativ arată de câte ori se repetă de către termen partea de literă a monomului sau fracțiunea sa certă, luată cu semnul minus.

Monomiile sunt unul dintre principalele tipuri de expresii studiate ca parte a unui curs de algebră școlară. În acest articol, vă vom spune care sunt aceste expresii, vom defini forma lor standard și vom arăta exemple, precum și vom trata concepte înrudite, cum ar fi gradul unui monom și coeficientul acestuia.

Ce este un monom

Manualele școlare oferă de obicei următoarea definiție a acestui concept:

Definiția 1

Monomerii includ numere, variabile, precum și gradele acestora cu un indicator natural și diferite tipuri de produse alcătuite din acestea.

Pe baza acestei definiții, putem da exemple de astfel de expresii. Deci, toate numerele 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 se vor referi la monomii. Toate variabilele, de exemplu, x , a , b , p , q , t , y , z vor fi, de asemenea, monomii prin definiție. Aceasta include, de asemenea, puterile variabilelor și numerelor, de exemplu, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 și t 15, precum și expresii precum 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z etc. Vă rugăm să rețineți că un monom poate include fie un număr sau variabilă, fie mai multe și ele pot fi menționate de mai multe ori ca parte a unui polinom.

Asemenea tipuri de numere precum numerele întregi, raționale, naturale aparțin și ele monomiilor. De asemenea, puteți include aici numere reale și complexe. Deci, expresii precum 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 vor fi, de asemenea, monomii.

Care este forma standard a unui monom și cum se transformă o expresie în aceasta

Pentru comoditatea muncii, toate monomiile sunt mai întâi reduse la o formă specială, numită cea standard. Să fim specifici despre ce înseamnă asta.

Definiția 2

Forma standard a monomului ei o numesc o astfel de formă în care este produsul unui factor numeric și puteri naturale ale diferitelor variabile. Factorul numeric, numit și coeficient monomial, este de obicei scris primul din partea stângă.

Pentru claritate, selectăm câteva monomii de forma standard: 6 (acesta este un monom fără variabile), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Aceasta include și expresia X y(aici coeficientul va fi egal cu 1), − x 3(aici coeficientul este - 1).

Acum dăm exemple de monomii care trebuie aduse la forma standard: 4 a a 2 a 3(aici trebuie să combinați aceleași variabile), 5 x (− 1) 3 y 2(aici trebuie să combinați factorii numerici din stânga).

De obicei, în cazul în care un monom are mai multe variabile scrise cu litere, factorii de litere sunt scriși în ordine alfabetică. De exemplu, intrarea preferată 6 a b 4 c z 2, Cum b 4 6 a z 2 c. Cu toate acestea, ordinea poate fi diferită dacă scopul calculării o impune.

Orice monom poate fi redus la forma standard. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați toate transformările identice necesare.

Conceptul de gradul unui monom

Noțiunea de însoțire a gradului unui monom este foarte importantă. Să scriem definiția acestui concept.

Definiția 3

Gradul unui monom, scris în formă standard, este suma exponenților tuturor variabilelor care sunt incluse în înregistrarea sa. Dacă nu există o singură variabilă în ea, iar monomul în sine este diferit de 0, atunci gradul său va fi zero.

Să dăm exemple de gradele monomului.

Exemplul 1

Deci, monomul a are gradul 1 deoarece a = a 1 . Dacă avem un monom 7 , atunci acesta va avea un grad zero, deoarece nu are variabile și este diferit de 0 . Și aici este intrarea 7 a 2 x y 3 a 2 va fi un monom de gradul 8, deoarece suma exponenților tuturor gradelor variabilelor incluse în acesta va fi egală cu 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Monomul standardizat și polinomul original vor avea același grad.

Exemplul 2

Să arătăm cum să calculăm gradul unui monom 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. În formă standard, poate fi scris ca − 6 x 8 y 4. Calculăm gradul: 8 + 4 = 12 . Prin urmare, gradul polinomului original este, de asemenea, egal cu 12 .

Conceptul de coeficient monomial

Dacă avem un monom standardizat care include cel puțin o variabilă, atunci vorbim despre el ca un produs cu un singur factor numeric. Acest factor se numește coeficient numeric sau coeficient monomial. Să scriem definiția.

Definiția 4

Coeficientul unui monom este factorul numeric al unui monom redus la forma standard.

Luați, de exemplu, coeficienții diferitelor monomii.

Exemplul 3

Deci, în expresie 8 la 3 coeficientul va fi numărul 8, iar în (− 2 , 3) ​​​​x y z ei vor − 2 , 3 .

O atenție deosebită trebuie acordată coeficienților egali cu unu și minus unu. De regulă, acestea nu sunt indicate în mod explicit. Se crede că într-un monom al formei standard, în care nu există un factor numeric, coeficientul este 1, de exemplu, în expresiile a, x z 3, a t x, deoarece pot fi considerate ca 1 a, x z 3 - la fel de 1 x z 3 etc.

În mod similar, în monomiile care nu au un factor numeric și care încep cu semnul minus, putem considera coeficientul - 1.

Exemplul 4

De exemplu, expresiile − x, − x 3 y z 3 vor avea un astfel de coeficient, deoarece pot fi reprezentate ca − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 etc.

Dacă un monom nu are deloc un singur multiplicator literal, atunci este posibil să vorbim despre un coeficient și în acest caz. Coeficienții unor astfel de numere-monomiale vor fi aceste numere în sine. Deci, de exemplu, coeficientul monomului 9 va fi egal cu 9.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter