Cu suprafețe de ordinul 2, studentul se întâlnește cel mai adesea în primul an. La început, sarcinile pe această temă pot părea simple, dar pe măsură ce studiezi matematica superioară și aprofundezi latura științifică, poți în sfârșit să nu te mai orientezi spre ceea ce se întâmplă. Pentru a preveni acest lucru, este necesar nu numai să memorați, ci și să înțelegeți cum se obține cutare sau cutare suprafață, cum o afectează modificarea coeficienților și locația sa în raport cu sistemul de coordonate original și cum să găsiți un nou sistem. (una în care centrul său coincide cu coordonatele originii, dar paralel cu una dintre axele de coordonate). Să începem de la bun început.

Definiție

O suprafață de ordinul 2 este un GMT, ale cărui coordonate satisfac ecuația generală de următoarea formă:

Este clar că fiecare punct aparținând suprafeței trebuie să aibă trei coordonate într-o bază desemnată. Deși în unele cazuri locul punctelor poate degenera, de exemplu, într-un plan. Înseamnă doar că una dintre coordonate este constantă și egală cu zero în întregul interval de valori admisibile.

Forma completă pictată a egalității menționate mai sus arată astfel:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - unele constante, x, y, z - variabile corespunzătoare coordonatelor afine ale unui punct. În același timp, cel puțin unul dintre factorii constanți nu trebuie să fie egal cu zero, adică niciun punct nu va corespunde ecuației.

În majoritatea covârșitoare a exemplelor, mulți factori numerici sunt încă identic egali cu zero, iar ecuația este mult simplificată. În practică, determinarea dacă un punct aparține unei suprafețe nu este dificilă (este suficient să substituiți coordonatele sale în ecuație și să verificați dacă identitatea este respectată). Punctul cheie într-o astfel de lucrare este reducerea acesteia din urmă la formă canonică.

Ecuația scrisă mai sus definește orice suprafață (toate listate mai jos) de ordinul al 2-lea. Vom lua în considerare exemple mai jos.

Tipuri de suprafete de ordinul 2

Ecuațiile suprafețelor de ordinul doi diferă numai în valorile coeficienților A nm . Din punct de vedere general, pentru anumite valori ale constantelor se pot obține diferite suprafețe, clasificate astfel:

1. Cilindrii.
2. Tip eliptic.
3. tip hiperbolic.
4. Tip conic.
5. tip parabolic.
6. Avioane.

Fiecare dintre tipurile enumerate are o formă naturală și imaginară: în forma imaginară, locul punctelor reale fie degenerează într-o figură mai simplă, fie este absent cu totul.

cilindrii

Acesta este cel mai simplu tip, deoarece o curbă relativ complexă se află doar la bază, acționând ca un ghid. Generatoarele sunt linii drepte perpendiculare pe planul în care se află baza.

Graficul prezintă un cilindru circular, un caz special al unui cilindru eliptic. În planul XY, proiecția sa va fi o elipsă (în cazul nostru, un cerc) - un ghid, iar în XZ - un dreptunghi - deoarece generatoarele sunt paralele cu axa Z. Pentru a o obține din ecuația generală, aveți nevoie de pentru a da coeficienților următoarele valori:

În loc de denumirile obișnuite, se utilizează x, y, z, x cu un număr de serie - acest lucru nu contează.

De fapt, 1/a 2 și celelalte constante indicate aici sunt aceiași coeficienți indicați în ecuația generală, dar se obișnuiește să le scrieți în această formă - aceasta este reprezentarea canonică. În cele ce urmează, se va folosi doar o astfel de notație.

Așa este definit un cilindru hiperbolic. Schema este aceeași - hiperbola va fi ghidul.

Un cilindru parabolic este definit într-un mod ușor diferit: forma sa canonică include un coeficient p, numit parametru. De fapt, coeficientul este egal cu q=2p, dar se obișnuiește să-l împarți în cei doi factori prezentați.

Există un alt tip de cilindru: imaginar. Niciun punct real nu aparține unui astfel de cilindru. Este descris de ecuația unui cilindru eliptic, dar în loc de unitate este -1.

Tip eliptic

Elipsoidul poate fi întins de-a lungul uneia dintre axe (de-a lungul căreia depinde de valorile constantelor a, b, c, indicate mai sus; este evident că un coeficient mai mare va corespunde axei mai mari).

Există și un elipsoid imaginar - cu condiția ca suma coordonatelor înmulțită cu coeficienții să fie -1:

Hiperboloizi

Când apare un minus într-una dintre constante, ecuația elipsoidală se transformă în ecuația unui hiperboloid cu o singură foaie. Trebuie inteles ca acest minus nu trebuie sa fie situat in fata coordonatei x 3! Determină doar care dintre axe va fi axa de rotație a hiperboloidului (sau paralelă cu acesta, deoarece atunci când în pătrat apar termeni suplimentari (de exemplu, (x-2) 2), centrul figurii se deplasează, așa cum ca urmare, suprafața se deplasează paralel cu axele de coordonate). Acest lucru se aplică tuturor suprafețelor de ordinul 2.

În plus, trebuie să înțelegem că ecuațiile sunt prezentate în formă canonică și pot fi modificate prin variarea constantelor (cu semnul păstrat!); în timp ce forma lor (hiperboloid, con și așa mai departe) va rămâne aceeași.

O astfel de ecuație este deja dată de un hiperboloid cu două foi.

suprafata conica

Nu există nicio unitate în ecuația conului - egalitate cu zero.

Numai o suprafață conică mărginită se numește con. Imaginea de mai jos arată că, de fapt, vor fi două așa-numite conuri pe diagramă.

Notă importantă: în toate ecuațiile canonice considerate, se presupune că constantele sunt pozitive în mod implicit. În caz contrar, semnul poate afecta graficul final.

Planurile de coordonate devin planurile de simetrie ale conului, centrul de simetrie este situat la origine.

În ecuația conului imaginar, există doar plusuri; are un singur punct real.

Paraboloizi

Suprafețele de ordinul 2 în spațiu pot lua forme diferite chiar și cu ecuații similare. De exemplu, există două tipuri de paraboloizi.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Un paraboloid eliptic, când axa Z este perpendiculară pe desen, va fi proiectat într-o elipsă.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Paraboloid hiperbolic: Secțiunile cu plane paralele cu ZY vor produce parabole, iar secțiunile cu plane paralele cu XY vor produce hiperbole.

Planuri care se intersectează

Există cazuri când suprafețele de ordinul 2 degenerează într-un plan. Aceste avioane pot fi aranjate în diferite moduri.

Luați în considerare mai întâi planurile care se intersectează:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Această modificare a ecuației canonice are ca rezultat doar două planuri care se intersectează (imaginar!); toate punctele reale sunt pe axa coordonatei care nu se află în ecuație (în canonic - axa Z).

Planuri paralele

În prezența unei singure coordonate, suprafețele de ordinul 2 degenerează într-o pereche de plane paralele. Amintiți-vă, orice altă variabilă poate lua locul lui Y; atunci se vor obţine plane paralele cu alte axe.

În acest caz, ele devin imaginare.

Avioane coincidente

Cu o ecuație atât de simplă, o pereche de planuri degenerează într-una singură - ele coincid.

Nu uitați că în cazul unei baze tridimensionale, ecuația de mai sus nu definește linia y=0! Nu are alte două variabile, dar asta înseamnă doar că valoarea lor este constantă și egală cu zero.

Clădire

Una dintre cele mai dificile sarcini pentru un elev este construcția de suprafețe de ordinul 2. Este și mai dificil să treci de la un sistem de coordonate la altul, având în vedere unghiurile curbei față de axe și decalajul centrului. Să repetăm ​​cum să determinăm secvenţial vederea viitoare a desenului într-un mod analitic.

Pentru a construi o suprafață de ordinul 2, aveți nevoie de:

• aduce ecuația la forma canonică;
• determina tipul suprafetei studiate;
• construcție bazată pe valorile coeficienților.

Toate tipurile luate în considerare sunt enumerate mai jos:

Pentru a consolida, descriem în detaliu un exemplu de acest tip de sarcină.

Exemple

Să presupunem că avem o ecuație:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Să o aducem la forma canonică. Să evidențiem pătratele complete, adică aranjam termenii disponibili în așa fel încât să fie expansiunea pătratului sumei sau diferenței. De exemplu: dacă (a+1) 2 =a 2 +2a+1, atunci a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Vom efectua a doua operațiune. În acest caz, nu este necesar să deschideți parantezele, deoarece acest lucru va complica doar calculele, dar este necesar să eliminați factorul comun 6 (în paranteze cu pătratul complet al lui Y):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Variabila z apare în acest caz o singură dată - poate fi lăsată neatinsă pentru moment.

Analizăm ecuația în această etapă: toate necunoscutele sunt precedate de un semn plus; când este împărțit la șase, unul rămâne. Prin urmare, avem o ecuație care definește un elipsoid.

Rețineți că 144 a fost luat în considerare în 150-6, după care -6 a fost mutat la dreapta. De ce a trebuit să se facă așa? Este evident că cel mai mare divizor din acest exemplu este 6, prin urmare, pentru ca o unitate să rămână în dreapta după împărțirea la ea, este necesar să „amânați” exact 6 din 144 (prezența unui membru liber, un constantă neînmulțită cu la necunoscut).

Împărțiți totul la șase și obțineți ecuația canonică a elipsoidului:

(x-1) 2/2+(y+5) 2/1+z2/3=1

În clasificarea utilizată anterior a suprafețelor de ordinul 2, este luat în considerare un caz particular când centrul figurii este la originea coordonatelor. În acest exemplu, este compensat.

Presupunem că fiecare paranteză cu necunoscute este o variabilă nouă. Adică: a=x-1, b=y+5, c=z. În noile coordonate, centrul elipsoidului coincide cu punctul (0,0,0), deci, a=b=c=0, de unde: x=1, y=-5, z=0. În coordonatele inițiale, centrul figurii se află în punctul (1,-5,0).

Elipsoidul va fi format din două elipse: prima în planul XY și a doua în planul XZ (sau YZ - nu contează). Coeficienții cu care sunt împărțite variabilele sunt la pătrat în ecuația canonică. Prin urmare, în exemplul de mai sus, ar fi mai corect să se împartă la rădăcina lui doi, unu și rădăcina lui trei.

Axa minoră a primei elipse, paralelă cu axa Y, este două. Axa majoră paralelă cu axa x este două rădăcini a două. Axa minoră a celei de-a doua elipse, paralelă cu axa Y, rămâne aceeași - este egală cu două. Și axa majoră, paralelă cu axa Z, este egală cu două rădăcini a trei.

Folosind datele obținute din ecuația originală prin conversia la forma canonică, putem desena un elipsoid.

Rezumând

Subiectul abordat în acest articol este destul de extins, dar, de fapt, după cum puteți vedea acum, nu este foarte complicat. Dezvoltarea lui, de fapt, se termină în momentul în care memorezi numele și ecuațiile suprafețelor (și, bineînțeles, cum arată acestea). În exemplul de mai sus, am luat în considerare fiecare pas în detaliu, dar aducerea ecuației la forma canonică necesită cunoștințe minime de matematică superioară și nu ar trebui să provoace dificultăți elevului.

Analiza programului viitor conform egalității existente este deja o sarcină mai dificilă. Dar pentru soluția sa de succes, este suficient să înțelegem cum sunt construite curbele corespunzătoare de ordinul doi - elipse, parabole și altele.

Cazurile de degenerare este o secțiune și mai simplă. Datorită absenței unor variabile, nu doar calculele sunt simplificate, așa cum am menționat mai devreme, ci și construcția în sine.

De îndată ce puteți numi cu încredere toate tipurile de suprafețe, variați constantele, transformând graficul într-una sau alta cifră, subiectul va fi stăpânit.

Succes in invatare!

Informații teoretice de bază

Suprafata cilindrica sau pur și simplu cilindru numită orice suprafață care poate fi obținută prin deplasarea unei linii drepte, deplasându-se paralel cu un vector și intersectând tot timpul o dreaptă dată, care se numește ghid. Linia în mișcare este numită generator.

Suprafata conica sau pur și simplu con numită suprafața formată prin mișcarea unei drepte care trece printr-un punct dat, numită vârf de con,și deplasându-se de-a lungul acestei curbe. Linia în mișcare este numită generatria conului,și curba de-a lungul căreia alunecă generatoarea, - ghid.

Rotirea unei figuri în jurul unei linii drepte date (axa de rotație) este o astfel de mișcare în care fiecare punct al figurii
descrie un cerc centrat pe axa de rotație, situat într-un plan perpendicular pe axa de rotație.

Suprafața formată prin rotirea unei linii în jurul unei axe se numește suprafata de revolutie.

Ecuații canonice ale suprafețelor de ordinul doi

O suprafață de ordinul doi este dată în coordonate dreptunghiulare printr-o ecuație de gradul doi

(7.1)

Prin transformarea coordonatelor (prin rotirea axelor și translația paralelă), ecuația (7.1) se reduce la forma canonică. În cazul în care nu există termeni cu produsul coordonatelor din ecuația (7.1), această ecuație este selecția pătratelor întregi prin ,,iar translația paralelă a axelor de coordonate este redusă la forma canonică în același mod în care sa făcut pentru liniile de ordinul doi (vezi Studiul ecuației generale a unei linii de ordinul doi). Suprafețele de ordinul doi și ecuațiile lor canonice sunt prezentate în tabel. 3.

Forma și aranjarea suprafețelor de ordinul doi sunt de obicei studiate prin metoda secțiunilor paralele. Esența metodei constă în faptul că suprafața este intersectată de mai multe plane paralele cu planurile de coordonate. Forma și parametrii secțiunilor obținute fac posibilă determinarea formei suprafeței în sine.

Masa 3

Hiperboloid: cu o singură cavitate, bicameral,
Paraboloid: eliptic, hiperbolic,

eliptic, hiperbolic, parabolic,

Exemple de rezolvare a problemelor

Problema 7.1. Scrieți o ecuație pentru o sferă a cărei rază este , iar centrul este în punct
.

Decizie. O sferă este un set de puncte care se află la aceeași distanță de centru. Prin urmare, notând prin
coordonate ale punctelor arbitrare
sfere şi exprimând prin ele egalitatea
, vom avea

Punând la pătrat ambele părți ale egalității, obținem ecuația canonică dorită a sferei:

Dacă centrul sferei este plasat la origine, atunci ecuația sferei are o formă mai simplă:

.

Răspuns.
.

Problema 7.2. Scrieți o ecuație pentru o suprafață conică cu un vârf la origine și un ghidaj

(7.1)

Decizie. Ecuații canonice ale generatoarelor printr-un punct
și punct
ghid, are forma

(7.2)

Exclude ,,din ecuațiile (7.1) și (7.2). Pentru a face acest lucru, în ecuațiile (7.2) înlocuim pe și definiți și :

;

Înlocuind aceste valori și în prima ecuație a sistemului (7.1), vom avea:

sau

Ecuația rezultată definește un con de ordinul doi (a se vedea tabelul 3)

Problema 7.3.

Decizie. Această suprafață este un cilindru hiperbolic cu generatoare paralele cu axa
Într-adevăr, această ecuație nu conține , iar ghidajul cilindrului este o hiperbolă

cu centrul de simetrie în punct
și o axă reală paralelă cu axa
.

Problema 7.4. Explorează și construiește suprafața dată de ecuație

Decizie. Intersectează suprafața cu un plan
. Ca urmare, avem

Unde
. Aceasta este ecuația unei parabole în plan

Secțiunea unei suprafețe date printr-un plan
există o parabolă

Secțiune de avion
există o pereche de linii care se intersectează:

Secţiune după plane paralele cu planul
, există hiperbole:

La
axa reală a hiperbolei este paralelă cu axa
, la
topoare
. Suprafața investigată este un paraboloid hiperbolic (asociat cu forma, suprafața se numește „șa”).

Cometariu. O proprietate interesantă a unui paraboloid hiperbolic este prezența liniilor drepte cu toate punctele lor pe suprafața sa. Astfel de linii sunt numite generatoare rectilinii ale unui paraboloid hiperbolic. Prin fiecare punct al paraboloidului hiperbolic trec două generatoare rectilinii.

Problema 7.5. Care suprafață definește ecuația

Decizie. Pentru a reduce această ecuație la forma canonică, selectăm pătratele complete ale variabilelor ,,:

Comparând ecuația rezultată cu cele tabulare (a se vedea tabelul 3), vedem că aceasta este ecuația unui hiperboloid cu o singură foaie, al cărui centru este deplasat la punctul
Prin translația paralelă a sistemului de coordonate conform formulelor

aducem ecuația la forma canonică:

Cometariu. Un hiperboloid cu o singură folie, ca unul hiperbolic, are două familii de generatoare rectilinii.

Conținutul articolului

SECȚIUNI CONICE, curbe plane, care se obțin prin traversarea unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful acestuia (Fig. 1). Din punctul de vedere al geometriei analitice, secțiunea conică este locul punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi. Cu excepția cazurilor degenerate discutate în ultima secțiune, secțiunile conice sunt elipse, hiperbole sau parabole.

Secțiunile conice se găsesc adesea în natură și tehnologie. De exemplu, orbitele planetelor care se rotesc în jurul Soarelui sunt elipse. Un cerc este un caz special al unei elipse, în care axa majoră este egală cu cea minoră. O oglindă parabolică are proprietatea că toate razele incidente paralele cu axa ei converg într-un punct (focal). Acesta este folosit în majoritatea telescoapelor reflectorizante care folosesc oglinzi parabolice, precum și în antene radar și microfoane speciale cu reflectoare parabolice. Un fascicul de raze paralele emană dintr-o sursă de lumină plasată în focarul unui reflector parabolic. Prin urmare, oglinzile parabolice sunt folosite în reflectoare puternice și faruri auto. O hiperbola este un grafic al multor relații fizice importante, cum ar fi legea lui Boyle (care leagă presiunea și volumul unui gaz ideal) și legea lui Ohm, care definește curentul electric ca o funcție a rezistenței la tensiune constantă.

ISTORIE VIMPURIE

Descoperitorul secțiunilor conice este Menechmus (secolul al IV-lea î.Hr.), un elev al lui Platon și profesor al lui Alexandru cel Mare. Menechmus a folosit o parabolă și o hiperbolă isoscelă pentru a rezolva problema dublării unui cub.

Tratate de secțiuni conice scrise de Aristaeus și Euclid la sfârșitul secolului al IV-lea. BC, s-au pierdut, dar materialele din ele au fost incluse în celebre Secțiuni conice Apollonius din Perga (c. 260-170 î.Hr.), care au supraviețuit până în vremea noastră. Apollonius a abandonat cerința ca planul secant al generatricei conului să fie perpendicular și, variind unghiul de înclinare a acestuia, a obținut toate secțiunile conice dintr-un singur con circular, drept sau înclinat. Lui Apollonius îi datorăm denumirile moderne de curbe - elipsă, parabolă și hiperbolă.

În construcțiile sale, Apollonius a folosit un con circular cu două foi (ca în Fig. 1), așa că pentru prima dată a devenit clar că o hiperbolă este o curbă cu două ramuri. Din vremea lui Apollonius, secțiunile conice au fost împărțite în trei tipuri, în funcție de înclinarea planului de tăiere față de generatria conului. Elipsa (Fig. 1, A) se formează când planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; parabolă (Fig. 1, b) - când planul de tăiere este paralel cu unul dintre planurile tangente ale conului; hiperbolă (fig. 1, în) - când planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului.

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE

În timp ce studiau secțiunile conice ca intersecții de planuri și conuri, matematicienii greci antici le considerau și ca traiectorii de puncte pe un plan. S-a constatat că o elipsă poate fi definită drept locul punctelor, suma distanțelor de la care la două puncte date este constantă; parabolă - ca loc de puncte echidistant de un punct dat și de o dreaptă dată; hiperbola - ca loc al punctelor, diferența de distanțe de la care la două puncte date este constantă.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Elipsă.

Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în puncte F 1 și F 2 (Fig. 2), apoi curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. puncte F 1 și F 2 se numesc focarele elipsei, iar segmentele V 1 V 2 și v 1 v 2 între punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate - axele majore și minore. Dacă punctele F 1 și F 2 coincid, apoi elipsa se transformă într-un cerc.

Hiperbolă.

Când construiți o hiperbolă, un punct P, vârful unui creion, se fixează pe un fir care alunecă liber de-a lungul cherelor instalate în puncte F 1 și F 2 așa cum se arată în fig. 3, A. Distanţele sunt alese astfel încât segmentul PF 2 este mai lung decât segmentul PF 1 cu o sumă fixă ​​mai mică decât distanța F 1 F 2. În acest caz, un capăt al firului trece pe sub cuier F 1 și ambele capete ale firului trec peste cuier F 2. (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, așa că trebuie să-l fixați făcând o buclă mică pe fir și înfilând vârful în el.) O ramură a hiperbolei ( PV 1 Q) tragem, asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și trăgând ambele capete ale firului în jos dincolo de punct F 2, iar când punctul P va fi sub linie F 1 F 2, ținând firul la ambele capete și strângându-l cu grijă (adică eliberându-l). A doua ramură a hiperbolei ( Pў V 2 Qў) desenăm, schimbând anterior rolurile cuierelor F 1 și F 2 .

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii, numite asimptotele hiperbolei, sunt construite așa cum se arată în Fig. 3, b. Pantele acestor drepte sunt ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), unde v 1 v 2 - un segment al bisectoarei unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segment F 1 F 2; segment de linie v 1 v 2 se numește axa conjugată a hiperbolei și segmentul V 1 V 2 - axa sa transversală. Deci asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin patru puncte v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralele cu axele. Pentru a construi acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v 1 și v 2. Sunt la aceeași distanță, egală cu

din punctul de intersecție a axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi dreptunghic cu catete Ov 1 și V 2 O si ipotenuza F 2 O.

Dacă asimptotele hiperbolei sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește isoscelă. Două hiperbole având asimptote comune, dar cu axele transversale și conjugate rearanjate, se numesc conjugate reciproc.

Parabolă.

Focarele elipsei și hiperbolei erau cunoscute de Apollonius, dar focarul parabolei, aparent, a fost stabilit pentru prima dată de Pappus (a doua jumătate a secolului al III-lea), care a definit această curbă ca fiind locul punctelor echidistante de un punct dat ( focus) și o linie dreaptă dată, care se numește director. Construirea unei parabole folosind un fir întins, pe baza definiției lui Pappus, a fost propusă de Isidor de Milet (sec. VI). Poziționați rigla astfel încât marginea acesteia să coincidă cu directriza LLў (Fig. 4) și atașați piciorul de această margine AC triunghi de desen ABC. Fixăm un capăt al firului cu o lungime ABîn vârf B triunghi și celălalt la focarul parabolei F. Tragând firul cu vârful unui creion, apăsați vârful într-un punct variabil P la patina liberă AB triunghi de desen. Pe măsură ce triunghiul se mișcă de-a lungul riglei, punctul P va descrie arcul unei parabole cu focalizare Fși directoare LLў, deoarece lungimea totală a firului este egală cu AB, segmentul firului este adiacent piciorului liber al triunghiului și, prin urmare, segmentul rămas al firului PF trebuie să fie egal cu restul piciorului AB, adică PA. Punct de intersecție V parabola cu o axă se numește vârful parabolei, o linie dreaptă care trece prin Fși V, este axa parabolei. Dacă prin focar este trasată o linie dreaptă perpendiculară pe axă, atunci segmentul acestei linii drepte tăiat de parabolă se numește parametru focal. Pentru o elipsă și o hiperbolă, parametrul focal este definit în mod similar.

PROPRIETĂȚI ALE SECȚIUNILOR CONICE

Definiții Pappus.

Stabilirea focalizării parabolei l-a condus pe Pappus la ideea de a oferi o definiție alternativă a secțiunilor conice în general. Lasa F este un punct dat (focalizare) și L este o linie dreaptă dată (directrice) care nu trece prin F, și D Fși D L– distanta fata de punctul de miscare P a se concentra F si directori L respectiv. Apoi, după cum a arătat Papp, secțiunile conice sunt definite ca loc de puncte P, pentru care raportul D F/D L este o constantă nenegativă. Acest raport se numește excentricitate e sectiune conica. La e e > 1 este o hiperbolă; la e= 1 este o parabolă. În cazul în care un F se întinde pe L, atunci locul are forma de linii (reale sau imaginare), care sunt secțiuni conice degenerate.

Simetria vizibilă a elipsei și a hiperbolei sugerează că fiecare dintre aceste curbe are două directrice și două focare, iar această circumstanță l-a condus pe Kepler în 1604 la ideea că parabola are și un al doilea focar și o a doua directrice - un punct la infinit și Drept. În mod similar, cercul poate fi considerat ca o elipsă, ale cărei focare coincid cu centrul, iar directricele sunt la infinit. Excentricitate eîn acest caz este zero.

Designul lui Dandelin.

Focalele și directricele unei secțiuni conice pot fi demonstrate clar folosind sfere înscrise într-un con și numite sfere Dandelin (bile) în onoarea matematicianului și inginerului belgian J. Dandelin (1794–1847), care a propus următoarea construcție. Fie ca secțiunea conică să fie formată prin intersecția unui plan p cu un con circular drept cu două cavităţi cu vârf într-un punct O. Să înscriem două sfere în acest con S 1 și S 2 care ating avionul p la puncte F 1 și F 2 respectiv. Dacă secțiunea conică este o elipsă (Fig. 5, A), atunci ambele sfere se află în interiorul aceleiași cavități: o sferă este situată deasupra planului p iar celălalt dedesubt. Fiecare generatrică a conului atinge ambele sfere, iar locul punctelor de contact are forma a două cercuri C 1 și C 2 situate în planuri paralele p 1 și p 2. Lasa P este un punct arbitrar pe o secțiune conică. Să desenăm drept PF 1 , PF 2 și extindeți linia PO. Aceste drepte sunt tangente la sferele în puncte F 1 , F 2 și R 1 , R 2. Deoarece toate tangentele trasate la sferă dintr-un punct sunt egale, atunci PF 1 = relatii cu publicul 1 și PF 2 = relatii cu publicul 2. Prin urmare, PF 1 + PF 2 = relatii cu publicul 1 + relatii cu publicul 2 = R 1 R 2. Din moment ce avioanele p 1 și p 2 paralel, segment R 1 R 2 este de lungime constantă. Astfel, valoarea relatii cu publicul 1 + relatii cu publicul 2 este același pentru toate pozițiile punctului P, și punct P aparține locului punctelor pentru care suma distanțelor de la P inainte de F 1 și F 2 este constantă. Prin urmare, punctele F 1 și F 2 - focare de secțiune eliptică. În plus, se poate demonstra că liniile de-a lungul cărora planul p traversează avionul p 1 și p 2, sunt directrice ale elipsei construite. În cazul în care un p traversează ambele cavități ale conului (Fig. 5, b), apoi două sfere Dandelin se află pe aceeași parte a avionului p, o sferă în fiecare cavitate a conului. În acest caz, diferența dintre PF 1 și PF 2 este constantă, iar locul punctelor P are forma unei hiperbole cu focare F 1 și F 2 și linii drepte - linii de intersecție p cu p 1 și p 2 - în calitate de directori. Dacă secțiunea conică este o parabolă, așa cum se arată în Fig. 5, în, atunci doar o sferă Dandelin poate fi înscrisă în con.

Alte proprietăți.

Proprietățile secțiunilor conice sunt cu adevărat inepuizabile și oricare dintre ele poate fi considerată decisivă. loc important în Întâlnire matematică Pappa (c. 300), geometrii Descartes (1637) și Începuturile Newton (1687) este preocupat de problema locului punctelor în raport cu patru drepte. Dacă pe plan sunt date patru drepte L 1 , L 2 , L 3 și L 4 (dintre care două se pot potrivi) și un punct P este astfel încât produsul distanțelor de la P inainte de L 1 și L 2 este proporțional cu produsul distanțelor de la P inainte de L 3 și L 4, apoi locul punctelor P este o secțiune conică. Crezând în mod eronat că Apollonius și Pappus nu au reușit să rezolve problema locului punctelor față de patru drepte, Descartes, pentru a obține o soluție și a o generaliza, a creat geometria analitică.

ABORDAREA ANALITICĂ

Clasificare algebrică.

În termeni algebrici, secțiunile conice pot fi definite ca curbe plane ale căror coordonate carteziene satisfac o ecuație de gradul doi. Cu alte cuvinte, ecuația tuturor secțiunilor conice poate fi scrisă în formă generală ca

unde nu toți coeficienții A, Bși C sunt egale cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma

topor 2 + de 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Prima ecuație se obține din ecuația (1) cu B 2 № AC, al doilea - la ora B 2 = AC. Secțiunile conice ale căror ecuații sunt reduse la prima formă se numesc centrale. Secțiuni conice date prin ecuații de al doilea tip cu q Nr. 0, sunt numite non-centrale. În cadrul acestor două categorii, există nouă tipuri diferite de secțiuni conice, în funcție de semnele coeficienților.

2831) i A, bși c au același semn, atunci nu există puncte reale ale căror coordonate ar satisface ecuația. O astfel de secțiune conică se numește elipsă imaginară (sau cerc imaginar dacă A = b).

2) Dacă Ași b au un singur semn și c- opus, atunci secțiunea conică este o elipsă (Fig. 1, A); la A = b- cerc (Fig. 6, b).

3) Dacă Ași b au semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă (Fig. 1, în).

4) Dacă Ași b au semne diferite şi c= 0, atunci secțiunea conică este formată din două linii drepte care se intersectează (Fig. 6, A).

5) Dacă Ași b au un singur semn și c= 0, atunci există un singur punct real pe curbă care satisface ecuația, iar secțiunea conică este două drepte imaginare care se intersectează. În acest caz, se vorbește și de o elipsă contractată la un punct sau, dacă A = b, contractat într-un punct al unui cerc (Fig. 6, b).

6) Dacă oricare A, sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele.

7) Dacă oricare A, sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au același semn, atunci nu există niciun punct real care să satisfacă ecuația. În acest caz, se spune că secțiunea conică este formată din două linii paralele imaginare.

8) Dacă c= 0 și fie A, sau b este, de asemenea, egală cu zero, atunci secțiunea conică este formată din două drepte reale care coincid. (Ecuația nu definește nicio secțiune conică la A = b= 0, deoarece în acest caz ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.)

9) Ecuațiile de al doilea tip definesc parabolele dacă pși q sunt diferite de zero. În cazul în care un p nr. 0 și q= 0, se obține curba de la itemul 8. Dacă, pe de altă parte, p= 0, atunci ecuația nu definește nicio secțiune conică, deoarece ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.

Derivarea ecuațiilor secțiunilor conice.

Orice secțiune conică poate fi definită și ca o curbă de-a lungul căreia un plan se intersectează cu o suprafață pătratică, adică cu suprafaţa dată de ecuaţia gradului II f (X, y, z) = 0. Aparent, secțiunile conice au fost recunoscute pentru prima dată sub această formă, iar numele lor ( vezi mai jos) sunt legate de faptul că au fost obținute prin încrucișarea planului cu conul z 2 = X 2 + y 2. Lasa ABCD- baza unui con circular drept (Fig. 7) cu unghi drept în vârf V. Lasă avionul FDC intersectează generatoarea VB la punct F, baza este în linie dreaptă CD iar suprafața conului - de-a lungul curbei DFPC, Unde P este orice punct al curbei. Desenați prin mijlocul segmentului CD- punct E- direct EF si diametrul AB. Prin punct P trageți un plan paralel cu baza conului, intersectând conul într-un cerc RPS si direct EF la punct Q. Apoi QFși QP pot fi luate, respectiv, pentru abscisă X si ordonata y puncte P. Curba rezultată va fi o parabolă.

Construcția prezentată în fig. 7 poate fi folosit pentru a obține ecuații generale pentru secțiunile conice. Pătratul lungimii unui segment al unei perpendiculare, restabilit din orice punct al diametrului la intersecția cu cercul, este întotdeauna egal cu produsul lungimilor segmentelor diametrului. Asa de

y 2 = RQ H QS.

Pentru o parabolă, un segment RQ are o lungime constantă (deoarece pentru orice poziție a punctului P este egal cu segmentul AE), și lungimea segmentului QS proporţional X(din relație QS/EB = QF/F.E.). De aici rezultă că

Unde A este un coeficient constant. Număr A exprimă lungimea parametrului focal al parabolei.

Dacă unghiul de la vârful conului este acut, atunci segmentul RQ nu egal cu tăierea AE; dar raportul y 2 = RQ H QS este echivalent cu o ecuație de formă

Unde Ași b sunt constante sau, după deplasarea axelor, la ecuație

care este ecuația unei elipse. Punctele de intersecție ale elipsei cu axa X (X = Ași X = –A) și punctele de intersecție ale elipsei cu axa y (y = bși y = –b) definesc axele majore și, respectiv, minore. Dacă unghiul de la vârful conului este obtuz, atunci curba de intersecție a conului și a planului are forma unei hiperbole, iar ecuația ia următoarea formă:

sau, după mutarea axelor,

În acest caz, punctele de intersecție cu axa X, dat de relația X 2 = A 2, definiți axa transversală și punctele de intersecție cu axa y, dat de relația y 2 = –b 2 definiți axa de împerechere. Dacă este constantă Ași bîn ecuația (4a) sunt egale, atunci hiperbola se numește isoscelă. Prin rotirea axelor, ecuația sa se reduce la forma

X y = k.

Acum din ecuațiile (3), (2) și (4) putem înțelege semnificația numelor date de Apollonius celor trei secțiuni conice principale. Termenii „elipsă”, „parabolă” și „hiperbolă” provin din cuvinte grecești care înseamnă „lipsă”, „egal” și „superior”. Din ecuațiile (3), (2) și (4) este clar că pentru o elipsă y 2 b 2 / A) X, pentru parabolă y 2 = (A) X iar pentru hiperbolă y 2 > (2b 2 /A) X. În fiecare caz, valoarea cuprinsă între paranteze este egală cu parametrul focal al curbei.

Apollonius însuși a considerat doar trei tipuri generale de secțiuni conice (tipurile 2, 3 și 9 enumerate mai sus), dar abordarea sa permite o generalizare care permite să se ia în considerare toate curbele reale de ordinul doi. Dacă planul de tăiere este ales paralel cu baza circulară a conului, atunci secțiunea va fi un cerc. Dacă planul de tăiere are un singur punct comun cu conul, vârful acestuia, atunci se va obține o secțiune de tip 5; dacă conține un vârf și o tangentă la con, atunci obținem o secțiune de tip 8 (Fig. 6, b); dacă planul de tăiere conține doi generatori ai conului, atunci se obține o curbă de tip 4 în secțiune (Fig. 6, A); când vârful este transferat la infinit, conul se transformă într-un cilindru, iar dacă planul conține două generatoare, atunci se obține o secțiune de tip 6.

Când este privit dintr-un unghi oblic, un cerc arată ca o elipsă. Relația dintre cerc și elipsă, cunoscută lui Arhimede, devine evidentă dacă cerc X 2 + Y 2 = A 2 folosind substituția X = X, Y = (A/b) y convertiți într-o elipsă dată de ecuația (3a). transformare X = X, Y = (ai/b) y, Unde i 2 = –1, ne permite să scriem ecuația cercului sub forma (4a). Aceasta arată că o hiperbolă poate fi privită ca o elipsă cu o axă minoră imaginară sau, dimpotrivă, o elipsă poate fi văzută ca o hiperbolă cu o axă conjugată imaginară.

Relația dintre ordonatele unui cerc X 2 + y 2 = A 2 și elipsa ( X 2 /A 2) + (y 2 /b 2) = 1 duce direct la formula lui Arhimede A = p ab pentru zona elipsei. Kepler cunoștea formula aproximativă p(A + b) pentru perimetrul unei elipse apropiate unui cerc, dar expresia exactă a fost obținută abia în secolul al XVIII-lea. după introducerea integralelor eliptice. După cum a arătat Arhimede, aria unui segment parabolic este de patru treimi din aria unui triunghi înscris, dar lungimea arcului unei parabole a putut fi calculată abia după, în secolul al XVII-lea. a fost inventat calculul diferenţial.

ABORDAREA PROIECTIVĂ

Geometria proiectivă este strâns legată de construcția perspectivei. Dacă desenați un cerc pe o foaie transparentă de hârtie și o plasați sub o sursă de lumină, atunci acest cerc va fi proiectat în planul de mai jos. În acest caz, dacă sursa de lumină este situată direct deasupra centrului cercului, iar planul și foaia transparentă sunt paralele, atunci proiecția va fi și un cerc (Fig. 8). Poziția sursei de lumină se numește punct de fugă. Este marcat cu litera V. În cazul în care un V situat nu deasupra centrului cercului sau dacă planul nu este paralel cu foaia de hârtie, atunci proiecția cercului ia forma unei elipse. Cu o înclinare și mai mare a planului, axa majoră a elipsei (proiecția cercului) se prelungește, iar elipsa se transformă treptat într-o parabolă; pe un plan paralel cu o dreaptă VP, proiecția arată ca o parabolă; cu o înclinare și mai mare, proiecția ia forma uneia dintre ramurile hiperbolei.

Fiecare punct de pe cercul original corespunde unui punct din proiecție. Dacă proiecția are forma unei parabole sau hiperbole, atunci ei spun că punctul corespunzător punctului P, este la infinit sau la infinit.

După cum am văzut, cu o alegere adecvată a punctelor de fugă, un cerc poate fi proiectat în elipse de diferite dimensiuni și cu diferite excentricități, iar lungimile axelor majore nu sunt direct legate de diametrul cercului proiectat. Prin urmare, geometria proiectivă nu se ocupă de distanțe sau lungimi în sine, sarcina sa este de a studia raportul lungimilor care se păstrează sub proiecție. Această relație poate fi găsită folosind următoarea construcție. prin orice punct P plan desenăm două tangente la orice cerc și conectăm punctele de contact cu o dreaptă p. Lasă o altă linie să treacă prin punct P, intersectează cercul în puncte C 1 și C 2, ci linia dreaptă p- la punct Q(Fig. 9). Planimetria demonstrează că PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Semnul minus apare deoarece direcția segmentului QC 1 opus directiilor altor segmente.) Cu alte cuvinte, punctele Pși Qîmpărțiți segmentul C 1 C 2 extern și intern în același sens; ei mai spun că raportul armonic al celor patru segmente este - 1. Dacă cercul este proiectat într-o secțiune conică și aceleași denumiri sunt păstrate pentru punctele corespunzătoare, atunci raportul armonic ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) va rămâne egal - 1. Punct P numit polul liniei pîn raport cu o secțiune conică și o linie dreaptă p- punctul polar P faţă de secţiunea conică.

Când punct P se apropie de o secţiune conică, polarul tinde să ia poziţia unei tangente; dacă punct P se află pe secțiunea conică, apoi polara sa coincide cu tangenta la secțiunea conică în punctul respectiv P. Dacă punct P situat în interiorul secțiunii conice, atunci polarul său poate fi construit după cum urmează. Să trecem prin punct P orice linie dreaptă care intersectează o secțiune conică în două puncte; trageți tangente la secțiunea conică în punctele de intersecție; să presupunem că aceste tangente se intersectează într-un punct P unu . Să trecem prin punct P o altă linie dreaptă care intersectează secțiunea conică în alte două puncte; să presupunem că tangentele la secțiunea conică în aceste noi puncte se intersectează în acest punct P 2 (Fig. 10). Linie care trece prin puncte P 1 și P 2 și există polarul dorit p. Dacă punct P apropiindu-se de centru O secțiunea conică centrală, apoi cea polară p se îndepărtează de O. Când punct P coincide cu O, apoi polarul său devine la infinit, sau ideal, drept pe plan.

CLĂDIRI SPECIALE

De interes deosebit pentru astronomi este următoarea construcție simplă a punctelor unei elipse folosind o busolă și o linie dreaptă. Fie o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct O(Fig. 11, A), se intersectează în puncte Qși R două cercuri concentrice centrate într-un punct Oși razele bși A, Unde b A. Să trecem prin punct Q linie orizontală și R- o linie verticală și indică punctul lor de intersecție P P când se rotește drept OQRîn jurul punctului O va fi o elipsă. Injecţie fîntre linie OQR iar axa majoră se numește unghi excentric, iar elipsa construită este specificată convenabil de ecuațiile parametrice X = A cos f, y = b păcat f. Excluzând parametrul f, obținem ecuația (3a).

Pentru o hiperbolă, construcția este în mare măsură similară. Linie arbitrară care trece printr-un punct O, intersectează unul dintre cele două cercuri într-un punct R(Fig. 11, b). Până la punctul R un cerc și până la punctul final S diametrul orizontal al altui cerc, desenăm tangente care se intersectează OS la punct Tși SAU- la punct Q. Lasă linia verticală care trece prin punct T, și o linie orizontală care trece prin punct Q, se intersectează într-un punct P. Apoi locul punctelor P la rotirea segmentului SAUîn jurul O va exista o hiperbolă dată de ecuațiile parametrice X = A sec f, y = b tg f, Unde f- unghi excentric. Aceste ecuații au fost obținute de matematicianul francez A. Legendre (1752–1833). Prin excluderea parametrului f, obținem ecuația (4a).

O elipsă, după cum a observat N. Copernic (1473-1543), poate fi construită folosind o mișcare epiciclică. Dacă un cerc se rostogolește fără să alunece de-a lungul interiorului altui cerc cu diametrul de două ori mai mare, atunci fiecare punct P, care nu se află pe un cerc mai mic, ci fix în raport cu acesta, va descrie o elipsă. Dacă punct P este pe cercul mai mic, atunci traiectoria acestui punct este un caz degenerat al unei elipse - diametrul cercului mai mare. O construcție și mai simplă a unei elipse a fost propusă de Proclus în secolul al V-lea. Dacă se termină Ași B segment de linie dreaptă AB al unei lungimi date alunecă de-a lungul a două linii drepte fixe care se intersectează (de exemplu, de-a lungul axelor de coordonate), apoi fiecare punct intern P segmentul va descrie o elipsă; matematicianul olandez F. van Schoten (1615–1660) a arătat că orice punct din planul dreptelor care se intersectează, fix față de segmentul de alunecare, va descrie și o elipsă.

B. Pascal (1623–1662) la vârsta de 16 ani a formulat acum faimoasa teoremă a lui Pascal, care spune: trei puncte de intersecție ale laturilor opuse ale unui hexagon înscrise în orice secțiune conică se află pe o dreaptă. Pascal a derivat peste 400 de corolare din această teoremă.

Suprafețe de ordinul doi sunt suprafețe care într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuații algebrice de gradul doi.

1. Elipsoid.

Un elipsoid este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație:

Ecuația (1) se numește ecuația canonică a elipsoidului.

Setați vederea geometrică a elipsoidului. Pentru a face acest lucru, luați în considerare secțiuni ale elipsoidului dat prin planuri paralele cu planul Oxy. Fiecare dintre aceste planuri este definit de o ecuație de formă z=h, Unde h- orice număr, iar linia care se obține în secțiune este determinată de două ecuații

(2)

Să studiem ecuațiile (2) pentru diferite valori h .

> c(c>0), atunci ecuațiile (2) definesc și o elipsă imaginară, adică punctele de intersecție ale planului z=h cu elipsoidul dat nu există. , apoi iar linia (2) degenerează în puncte (0; 0; + c) și (0; 0; - c) (planele ating elipsoidul). , atunci ecuațiile (2) pot fi reprezentate ca

de unde rezultă că avionul z=h intersectează elipsoidul de-a lungul unei elipse cu semiaxele

și . Pe măsură ce valorile scad, cresc și ating valorile maxime la , adică în secțiunea transversală a elipsoidului de planul de coordonate Oxy rezultă cea mai mare elipsă cu semiaxele și .

O imagine similară se obține atunci când suprafața dată este intersectată de plane paralele cu planurile de coordonate Oxzși Oyz.

Astfel, secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea elipsoidului ca o suprafață ovală închisă (Fig. 156). Cantitati a, b, c numit arbori de osie elipsoid. Când a=b=c elipsoidul este sferăth.

2. Hiperboloid cu o bandă.

Un hiperboloid cu o bandă este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație (3)

Ecuația (3) se numește ecuația canonică a unui hiperboloid cu o bandă.

Setați tipul suprafeței (3). Pentru a face acest lucru, luați în considerare secțiunea după planurile sale de coordonate Oxy (y=0)șiOx(x=0). Obținem, respectiv, ecuațiile

și

Acum luați în considerare secțiuni ale hiperboloidului dat de planuri z=h paralele cu planul de coordonate Oxy. Linia obținută în secțiune este determinată de ecuații

sau (4)

din care rezultă că planul z=h intersectează hiperboloidul de-a lungul unei elipse cu semiaxe

și ,

atingând cele mai scăzute valori la h=0, adică în secțiunea acestui hiperboloid, axa de coordonate Oxy produce cea mai mică elipsă cu semiaxele a*=a și b*=b. Cu o creștere infinită

marimile a* si b* cresc la infinit.

Astfel, secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea unui hiperboloid cu o bandă ca un tub infinit, extinzându-se infinit pe măsură ce se îndepărtează (pe ambele părți) de planul Oxy.

Mărimile a, b, c se numesc semiaxele unui hiperboloid cu o bandă.

3. Hiperboloid cu două foi.

Un hiperboloid cu două foi este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație

Ecuația (5) se numește ecuația canonică a unui hiperboloid cu două foi.

Să stabilim forma geometrică a suprafeței (5). Pentru a face acest lucru, luați în considerare secțiunile sale după planurile de coordonate Oxy și Oyz. Obținem, respectiv, ecuațiile

și

din care rezultă că se obţin hiperbole în secţiuni.

Acum luați în considerare secțiuni ale hiperboloidului dat de planuri z=h paralele cu planul de coordonate Oxy. Linia obținută în secțiune este determinată de ecuații

sau (6)

din care rezultă că

>c (c>0) planul z=h intersectează hiperboloidul de-a lungul unei elipse cu semi-axe și . Pe măsură ce valoarea crește, cresc și a* și b*. Ecuațiile (6) sunt îndeplinite de coordonatele a doar două puncte: (0; 0; + c) și (0; 0; - c) (planele ating suprafața dată). ecuațiile (6) definesc o elipsă imaginară, i.e. nu există puncte de intersecție ale planului z=h cu hiperboloidul dat.

Mărimea a, b și c se numesc semiaxele hiperboloidului cu două foi.

4. Paraboloid eliptic.

Un paraboloid eliptic este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație

(7)

unde p>0 și q>0.

Ecuația (7) se numește ecuația canonică a unui paraboloid eliptic.

Luați în considerare secțiunile suprafeței date după planurile de coordonate Oxy și Oyz. Obținem, respectiv, ecuațiile

și

din care rezultă că în secțiuni se obțin parabole, simetrice față de axa Oz, cu vârfuri la origine. (opt)

din care rezultă că pentru . Pe măsură ce h crește, cresc și a și b; pentru h=0 elipsa degenerează într-un punct (planul z=0 atinge hiperboloidul dat). Pentru H<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Astfel, secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea unui paraboloid eliptic sub forma unui bol infinit convex.

Punctul (0;0;0) se numește vârful paraboloidului; numerele p și q sunt parametrii săi.

În cazul p=q, ecuația (8) definește un cerc centrat pe axa Oz, i.e. Un paraboloid eliptic poate fi privit ca o suprafață formată prin rotația unei parabole în jurul axei sale (paraboloid de revoluție).

5. Paraboloid hiperbolic.

Un paraboloid hiperbolic este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație

(9)

Cu diferența că în loc de grafice „plate”, vom lua în considerare cele mai comune suprafețe spațiale și, de asemenea, vom învăța cum să le construim corect manual. Am căutat instrumente software pentru construirea de desene 3D de ceva timp și am găsit câteva aplicații bune, dar în ciuda ușurinței în utilizare, aceste programe nu rezolvă bine o problemă practică importantă. Faptul este că, în viitorul istoric previzibil, studenții vor fi încă înarmați cu o riglă cu un creion și, chiar și având un desen „mașină” de înaltă calitate, mulți nu îl vor putea transfera corect pe hârtie în carouri. Prin urmare, în manualul de instruire, se acordă o atenție deosebită tehnicii de construcție manuală, iar o parte semnificativă a ilustrațiilor de pe pagină este un produs realizat manual.

Prin ce este diferit acest material de referință de analogi?

Având o experiență practică decentă, știu foarte bine ce suprafețe sunt cel mai des tratate în probleme reale de matematică superioară și sper că acest articol vă va ajuta să vă completați rapid bagajele cu cunoștințe relevante și abilități aplicate, care sunt 90-95% cazuri. ar trebui să fie suficient.

Ce trebuie să știi acum?

Cele mai elementare:

În primul rând, trebuie să fii capabil construi corect sistem de coordonate carteziene spațiale (vezi începutul articolului Grafice și proprietăți ale funcțiilor) .

Ce vei câștiga după ce citești acest articol?

Sticlă După stăpânirea materialelor lecției, veți învăța cum să determinați rapid tipul de suprafață prin funcția și/sau ecuația sa, să vă imaginați cum este situată în spațiu și, desigur, să faceți desene. Este în regulă dacă nu ți se potrivește totul în cap de la prima lectură - poți oricând să revii la orice paragraf după cum este necesar mai târziu.

Informația este în puterea fiecăruia - pentru dezvoltarea ei nu aveți nevoie de nicio super-cunoaștere, talent artistic deosebit și viziune spațială.

ÎNCEPE!

În practică, suprafața spațială este de obicei dată funcţia a două variabile sau o ecuație a formei (constanta părții drepte este cel mai adesea egală cu zero sau unu). Prima denumire este mai tipică pentru analiza matematică, a doua - pentru geometrie analitică. Ecuația, în esență, este implicit dat funcție a 2 variabile, care în cazuri tipice pot fi ușor reduse la forma . Vă amintesc de cel mai simplu exemplu c:

–ecuația plană drăguț.

este funcția plană în explicit .

Să începem cu el:

Ecuații de plan comun

Opțiunile tipice pentru aranjarea planurilor într-un sistem de coordonate dreptunghiulare sunt discutate în detaliu chiar la începutul articolului. Ecuația plană. Cu toate acestea, încă o dată ne vom opri asupra ecuațiilor care sunt de mare importanță pentru practică.

În primul rând, trebuie să recunoașteți pe deplin ecuațiile planurilor care sunt paralele cu planurile de coordonate. Fragmentele de plan sunt descrise în mod standard ca dreptunghiuri, care în ultimele două cazuri arată ca paralelograme. În mod implicit, puteți alege orice dimensiune (în limite rezonabile, desigur), în timp ce este de dorit ca punctul în care axa de coordonate „perforează” planul să fie centrul de simetrie:


Strict vorbind, axele de coordonate în unele locuri ar fi trebuit reprezentate cu o linie punctată, dar pentru a evita confuzia, vom neglija această nuanță.

– (desen din stânga) inegalitatea definește semispațiul cel mai îndepărtat de noi, excluzând planul însuși;

– (desen mediu) inegalitatea definește semi-spațiul drept, inclusiv planul;

– (desen dreapta) o inegalitate dublă specifică un „strat” situat între planuri, incluzând ambele plane.

Pentru antrenament personal:

Exemplul 1

Desenați un corp delimitat de planuri
Alcătuiți un sistem de inegalități care definesc corpul dat.

O veche cunoștință ar trebui să iasă de sub creionul tău cuboid. Nu uitați că marginile și fețele invizibile trebuie desenate cu o linie punctată. S-a terminat de desenat la sfârșitul lecției.

Cu plăcere, NU NEGLIJAȚI sarcini de învățare, chiar dacă par prea simple. În caz contrar, s-ar putea dovedi că l-au ratat o dată, l-au ratat de două ori și apoi au petrecut o oră șlefuind un desen tridimensional într-un exemplu real. În plus, munca mecanică va ajuta la învățarea materialului mult mai eficient și la dezvoltarea inteligenței! Nu este o coincidență că la grădiniță și școala elementară copiii sunt încărcați cu desen, modelaj, designeri și alte sarcini pentru motricitatea fină a degetelor. Iertați-mă pentru digresiune, dar cele două caiete ale mele despre psihologia dezvoltării nu ar trebui să dispară =)

Vom numi condiționat următorul grup de planuri „proporții directe” - acestea sunt plane care trec prin axele de coordonate:

2) ecuația formei definește un plan care trece prin axă;

3) ecuația formei definește un plan care trece prin axă.

Deși semnul formal este evident (care variabilă lipsește în ecuație - planul trece prin acea axă), este întotdeauna util să înțelegem esența evenimentelor care au loc:

Exemplul 2

Construiește avionul

Care este cel mai bun mod de a construi? Propun următorul algoritm:

În primul rând, rescriem ecuația sub forma , din care se vede clar că „y” poate lua orice valorile. Fixăm valoarea , adică vom lua în considerare planul de coordonate . Ecuațiile stabilite linie spațială situată în planul de coordonate dat. Să desenăm această linie pe desen. Linia trece prin origine, așa că pentru a o construi este suficient să găsiți un punct. Lasa . Lăsați deoparte un punct și trageți o linie.

Acum revenim la ecuația plană. Din moment ce „y” ia orice valori, apoi linia dreaptă construită în plan este „replicată” continuu la stânga și la dreapta. Așa se formează planul nostru, trecând prin axă. Pentru a finaliza desenul, în stânga și în dreapta dreptei lăsăm deoparte două linii paralele și „închidem” paralelogramul simbolic cu segmente orizontale transversale:

Deoarece condiția nu impunea restricții suplimentare, fragmentul avionului putea fi reprezentat puțin mai mic sau puțin mai mare.

Încă o dată, repetăm ​​sensul inegalității liniare spațiale folosind exemplul. Cum se determină semi-spațiul pe care îl definește? Să luăm un punct nedeținută plan, de exemplu, un punct din semi-spațiul cel mai apropiat de noi și înlocuiți coordonatele sale în inegalitatea:

Primit inegalitatea corectă, ceea ce înseamnă că inegalitatea definește semi-spațiul inferior (în raport cu planul ), în timp ce planul în sine nu este inclus în soluție.

Exemplul 3

Construiți avioane
A) ;
b) .

Acestea sunt sarcini pentru autoconstrucție, în caz de dificultate, folosiți raționament similar. Scurte instrucțiuni și desene la sfârșitul lecției.

În practică, planurile paralele cu axa sunt deosebit de comune. Un caz special, când avionul trece prin axă, a fost doar în paragraful „b”, iar acum vom analiza o problemă mai generală:

Exemplul 4

Construiește avionul

Decizie: variabila „z” nu participă în mod explicit în ecuație, ceea ce înseamnă că planul este paralel cu axa aplicată. Să folosim aceeași tehnică ca în exemplele anterioare.

Să rescriem ecuația plană sub forma din care este clar că „Z” poate lua orice valorile. Să o reparăm și în planul „nativ” să desenăm linia dreaptă obișnuită „plată”. Pentru a-l construi, este convenabil să luați puncte de referință.

Din moment ce „Z” ia toate valori, apoi linia dreaptă construită se „multipește” continuu în sus și în jos, formând astfel planul dorit . Întocmește cu atenție un paralelogram de dimensiune rezonabilă:

Gata.

Ecuația unui plan în segmente

Cel mai important soi aplicat. În cazul în care un toate cote ecuația generală a planului diferit de zero, atunci poate fi reprezentat ca , Care e numit ecuație plană în segmente. Evident, planul intersectează axele de coordonate în puncte, iar marele avantaj al unei astfel de ecuații este ușurința desenării:

Exemplul 5

Construiește avionul

Decizie: mai întâi, compunem ecuația planului în segmente. Aruncă termenul liber la dreapta și împarte ambele părți la 12:

Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar și toate lucrurile se întâmplă în spațiu! Examinăm suprafața propusă prin aceeași metodă care a fost folosită recent pentru avioane. Rescriem ecuația sub forma , din care rezultă că „Z” ia orice valorile. Fixăm și construim o elipsă în plan. Din moment ce „Z” ia toate valori, atunci elipsa construită este continuu „replicată” în sus și în jos. Este ușor de înțeles că suprafața fără sfârşit:

Această suprafață se numește cilindru eliptic. Se numește o elipsă (la orice înălțime). ghid cilindru, iar liniile paralele care trec prin fiecare punct al elipsei se numesc generatoare cilindru (care îl formează literalmente). axa este axa de simetrie suprafață (dar nu o parte din ea!).

Coordonatele oricărui punct aparținând unei suprafețe date în mod necesar satisface ecuația .

Spațial inegalitatea definește „interiorul” „țevii” infinite, inclusiv suprafața cilindrică însăși și, în consecință, inegalitatea opusă definește setul de puncte din afara cilindrului.

În problemele practice, cel mai popular caz este când ghid cilindrul este cerc:

Exemplul 8

Construiți suprafața dată de ecuație

Este imposibil să descrii o „țeavă” fără sfârșit, prin urmare arta se limitează, de regulă, la „tăiere”.

În primul rând, este convenabil să construiți un cerc cu rază în plan și apoi încă câteva cercuri deasupra și dedesubt. Cercurile rezultate ( ghiduri cilindru) bine conectat prin patru linii drepte paralele ( generatoare cilindru):

Nu uitați să folosiți linii punctate pentru liniile invizibile.

Coordonatele oricărui punct aparținând unui cilindru dat satisfac ecuația . Coordonatele oricărui punct situat strict în interiorul „țevii” satisfac inegalitatea , și inegalitatea definește un set de puncte ale părții exterioare. Pentru o mai bună înțelegere, vă recomand să luați în considerare câteva puncte specifice din spațiu și să vedeți singur.

Exemplul 9

Construiți o suprafață și găsiți proiecția acesteia pe un plan

Rescriem ecuația sub forma din care rezultă că „x” ia orice valorile. Să reparăm și să desenăm în avion cerc– centrat la origine, unitate de rază. Deoarece „x” ia continuu toate valori, atunci cercul construit generează un cilindru circular cu o axă de simetrie. Desenați un alt cerc ghid cilindru) și conectați-le cu atenție cu linii drepte ( generatoare cilindru). În unele locuri, s-au dovedit suprapuneri, dar ce să faci, o astfel de pantă:

De data aceasta m-am limitat la o bucată de cilindru din gol și acest lucru nu este întâmplător. În practică, este adesea necesar să se înfățișeze doar un mic fragment al suprafeței.

Aici, apropo, s-au dovedit 6 generatrice - două linii drepte suplimentare „închid” suprafața din colțurile din stânga sus și din dreapta jos.

Acum să ne ocupăm de proiecția cilindrului pe plan. Mulți cititori înțeleg ce este o proiecție, dar, totuși, să petrecem încă cinci minute de educație fizică. Vă rugăm să vă ridicați și să înclinați capul peste desen, astfel încât vârful axei să pară perpendicular pe frunte. Cum arată cilindrul din acest unghi este proiecția lui pe plan. Dar pare a fi o fâșie fără sfârșit, închisă între linii drepte, inclusiv liniile drepte în sine. Această proiecție este exact domeniu funcții („jgheab” superior al cilindrului), („jgheab” inferior).

Apropo, să clarificăm situația cu proiecții pe alte planuri de coordonate. Lasă razele soarelui să strălucească pe cilindru din partea vârfului și de-a lungul axei. Umbra (proiecția) unui cilindru pe un plan este o bandă infinită similară - o parte a planului delimitată de linii drepte (-oricare), inclusiv liniile drepte în sine.

Dar proiecția în avion este oarecum diferită. Dacă priviți cilindrul din vârful axei, atunci acesta este proiectat într-un cerc cu raza unitară cu care am început construcția.

Exemplul 10

Construiți o suprafață și găsiți proiecțiile acesteia pe planuri de coordonate

Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Dacă starea nu este foarte clară, pătrați ambele părți și analizați rezultatul; aflați exact ce parte a cilindrului specifică funcția. Utilizați tehnica de construcție care a fost folosită în mod repetat mai sus. Rezolvare scurtă, desen și comentarii la sfârșitul lecției.

Suprafețele eliptice și alte suprafețe cilindrice pot fi compensate în raport cu axele de coordonate, de exemplu:

(pe temeiul familiar al unui articol despre Liniile de ordinul 2) - un cilindru de rază unitară cu o linie de simetrie care trece printr-un punct paralel cu axa. Cu toate acestea, în practică, astfel de cilindri se întâlnesc destul de rar și este absolut de necrezut să întâlniți o suprafață cilindrică „oblică” în raport cu axele de coordonate.

Cilindri parabolici

Așa cum sugerează și numele, ghid un astfel de cilindru este parabolă.

Exemplul 11

Construiți o suprafață și găsiți proiecțiile acesteia pe planurile de coordonate.

Nu am putut rezista acestui exemplu =)

Decizie: Urmăm drumul bătut. Să rescriem ecuația sub forma , din care rezultă că „Z” poate lua orice valoare. Să fixăm și să construim o parabolă obișnuită pe plan , după ce au marcat în prealabil punctele de referință triviale . Din moment ce „Z” ia toate valori, atunci parabola construită este „replicată” continuu în sus și în jos până la infinit. Lăsăm deoparte aceeași parabolă, să zicem, la o înălțime (în plan) și le conectăm cu grijă cu linii paralele ( generatoare ale cilindrului):

reamintesc tehnica utila: dacă inițial nu există încredere în calitatea desenului, atunci este mai bine să desenați mai întâi liniile subțiri și subțiri cu un creion. Apoi evaluăm calitatea schiței, aflăm zonele în care suprafața este ascunsă de ochii noștri și abia apoi aplicăm presiune pe stylus.

Proiecții.

1) Proiecția unui cilindru pe un plan este o parabolă. Trebuie remarcat faptul că în acest caz este imposibil să vorbim despre domenii ale unei funcţii a două variabile- din motivul ca ecuatia cilindrului nu este reductibila la forma functionala .

2) Proiecția cilindrului pe plan este un semiplan, inclusiv axa

3) Și, în sfârșit, proiecția cilindrului pe plan este întregul plan.

Exemplul 12

Construiți cilindri parabolici:

a) , ne restrângem la un fragment de suprafață în semi-spațiul apropiat;

b) între ele

În caz de dificultăți, nu ne grăbim și argumentăm prin analogie cu exemplele anterioare, din fericire, tehnologia a fost bine pusă la punct. Nu este critic dacă suprafețele se dovedesc a fi puțin stângace - este important să afișați corect imaginea fundamentală. Eu însumi nu mă deranjez în mod deosebit cu frumusețea liniilor, dacă obțin un desen tolerabil „C grade”, de obicei nu îl refac. În soluția de probă, apropo, a fost folosită încă o tehnică pentru a îmbunătăți calitatea desenului ;-)

Cilindri hiperbolici

ghiduri astfel de cilindri sunt hiperbole. Acest tip de suprafață, conform observațiilor mele, este mult mai rar decât tipurile anterioare, așa că mă voi limita la un singur desen schematic al unui cilindru hiperbolic:

Principiul raționamentului aici este exact același - cel obișnuit hiperbola școlară din plan se „înmulțește” continuu în sus și în jos până la infinit.

Cilindrii considerați aparțin așa-numitelor suprafete de ordinul 2, iar acum vom continua să facem cunoștință cu alți reprezentanți ai acestui grup:

Elipsoid. Sferă și minge

Ecuația canonică a unui elipsoid într-un sistem de coordonate dreptunghiular are forma , unde sunt numere pozitive ( arbori de osie elipsoid), care în cazul general diferit. Se numește elipsoid suprafaţă, și corp delimitată de această suprafaţă. Corpul, după cum mulți au ghicit, este dat de inegalitate iar coordonatele oricărui punct interior (precum și orice punct de pe suprafață) satisfac în mod necesar această inegalitate. Proiectarea este simetrică în raport cu axele de coordonate și planurile de coordonate:

Originea termenului „elipsoid” este, de asemenea, evidentă: dacă suprafața este „tăiată” de planuri de coordonate, atunci în secțiuni vor exista trei diferite (în cazul general)