Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.
Semne de pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Definiția și proprietățile de bază ale paralelogramului
Să începem cu faptul că ne amintim definiția pa-ral-le-lo-gram-ma.
Definiție. Paralelogram- four-you-rekh-coal-nick, cineva-ro-go are două pro-ti-in-on-false laturi ale para-ral-lel-ny (vezi Fig. 1).
Orez. 1. Pa-ral-le-lo-gram
Amintiți-vă noi proprietăți de bază ale pa-ral-le-lo-gram-ma:
Pentru a putea folosi toate aceste proprietăți, trebuie să fii sigur că fi-gu-ra, oh cineva -Roy în cauză, - pa-ral-le-lo-gram. Pentru aceasta, este necesar să se cunoască astfel de fapte ca semne de pa-ral-le-lo-gram-ma. Primele două dintre ele le vedem astăzi.
2. Primul semn al unui paralelogram
Teorema. Primul semn de pa-ral-le-lo-gram-ma. Dacă în four-you-rekh-coal-ni-ke două laturi pro-ti-in-false sunt egale și par-ral-lel-na, atunci această porecla four-you-rekh-coal- - paralelogram. 
.
Orez. 2. Primul semn al pa-ral-le-lo-gram-ma
Dovada. We-we-we-dem in four-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (vezi Fig. 2), ea l-a împărțit în două triunghiuri-no-ka. Scrieți ce știm despre aceste triunghiuri:
conform primului semn al egalităţii triunghiurilor.
Din egalitatea triunghiurilor indicate rezultă că, după semnul par-ral-lel-no-sti de drepte când re-re-se- che-ni lor se-ku-schey. Avem asta:
Înainte-pentru-dar.
3. Al doilea semn al unui paralelogram
Teorema. Al doilea roi este semn de pa-ral-le-lo-gram-ma. Dacă în four-you-rekh-coal-ni-ke, fiecare două laturi pro-ti-in-false sunt egale, atunci acest patru-you-rekh-coal-nick - paralelogram. 
.
Orez. 3. Semn al doilea roi pa-ral-le-lo-gram-ma
Dovada. We-we-we-dem in four-you-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (vezi Fig. 3), ea îl împarte în două triunghiuri-no-ka. Scriem ceea ce știm despre aceste triunghiuri, pornind de la for-mu-li-ditch-ki theo-re-we:
conform celui de-al treilea semn al egalităţii triunghiurilor.
Din egalitatea triunghiurilor rezultă că, după semnul par-ral-lel-no-sti de linii drepte atunci când le re-se-che-ing se-ku-schey. By-lu-cha-eat:
pa-ral-le-lo-gram conform definitiei-de-le-ny. Q.E.D.
Înainte-pentru-dar.
4. Un exemplu de utilizare a primei caracteristici a unui paralelogram
Ras-uita-te la un exemplu de aplicare a semnelor de pa-ral-le-lo-gram-ma.
Exemplul 1. În you-far-scrap-che-you-rex-coal-no-ke Găsiți: a) colțurile lui four-you-rex-coal-no-ka; b) sută-ro-puţ.
Decizie. Imagine-ra-iarnă Fig. 4.
pa-ral-le-lo-gram după primul semn-ku pa-ral-le-lo-gram-ma.
DAR. 
după proprietatea lui para-le-lo-gram-ma despre pro-ti-în-unghiuri-false, după proprietatea lui para-le-lo-gram-ma despre suma unghiurilor, at- ly la unu latură.
B. 
prin proprietatea de egalitate a pro-ty-in-on-false laturi.
re-at-semn pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Repetiția: definiția și proprietățile unui paralelogram
Amintiți-vă că paralelogram- acesta este un four-you-rekh-coal-nick, cineva are un pro-ti-in-on-false laturi într-o pereche-dar-pa-ral-lel-na. Adică dacă - pa-ral-le-lo-gram, atunci 
(Vezi fig. 1).
Pa-ral-le-lo-gramul are o gamă întreagă de proprietăți: pro-ti-in-on-fals unghiurile sunt egale (), pro-ti-in-on-false suta-ro -suntem egali ( 
). În plus, dia-go-on-whether par-ral-le-lo-gram-ma în punctul re-se-che-niya de-lyat-by-lam, suma unghiurilor, at-le- pa-ral-le-lo-gram-ma, egal cu orice latură, egal etc.
Dar pentru a folosi toate aceste proprietăți, este necesar să fim ab-so-lute-dar sigur-noi că rasele ri-va-e-my che-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le- lo-gram. Pentru aceasta, există semne de par-ral-le-lo-gram-ma: adică acele fapte din care se poate trage o concluzie unică, că che-you-rekh-coal-nick yav-la-et -sya pa-ral-le-lo-gram-mom. În lecția anterioară, am luat deja în considerare două semne. În această oră, ne uităm la a treia.
6. A treia caracteristică a unui paralelogram și demonstrarea acestuia
Dacă în four-you-rekh-coal-ni-ke dia-go-na-li în punctul re-se-che-niya de-lyat-by-lam, atunci acest patru-you-reh-coal-nick yav-la-et-sya pa-ral-le-lo-gram-mom.
Dat:
Che-you-reh-coal-nick; ; .
Dovedi:
Paralelogram.
Dovada:
Pentru a demonstra acest fapt este necesar să se dovedească para-ral-lelitatea laturilor pa-ral-le-lo-gram-ma. Iar paralelismul liniilor drepte este cel mai adesea până la-ka-zy-va-et-sya prin egalitatea unghiurilor de culcare interne-ale-le-la-cruce la aceste linii drepte. . În acest fel, na-pra-shi-va-et-sya următorul-du-u-sche cale către-ka-for-tel-stva al treilea semn-de-pa-ral -le-lo-gram- ma: prin egalitatea triunghiurilor-ni-kov 
.
Să așteptăm egalitatea acestor triunghiuri. Într-adevăr, din condiția rezultă:. În plus, deoarece unghiurile sunt verticale, ele sunt egale. adica:
(primul semn de egalitatetriunghiular-ni-kov- doua sute de ro-us si unghiul dintre ele).
Din egalitatea triunghiurilor: (deoarece unghiurile interne de pe cruce sunt egale la aceste drepte și se-ku-schey). În plus, din egalitatea triunghiurilor rezultă că. Înseamnă că suntem, ca, chi-li, că în four-you-rekh-coal-ni-ke două laturi sunt egale și par-ral-lel-na. După primul semn, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Înainte-pentru-dar.
7. Un exemplu de problemă privind a treia trăsătură a unui paralelogram și generalizare
Ras-uita-te la un exemplu de aplicare a celui de-al treilea semn al para-ral-le-lo-gram-ma.
Exemplul 1
Dat:
- paralelogram; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (vezi Fig. 2).
Dovedi:- pa-ral-le-lo-gram.
Dovada:
Deci, în four-you-rekh-coal-no-ke dia-go-na-li în punctul re-se-che-niya de-lyat-sya-by-lam. Conform celui de-al treilea semn, pa-ral-le-lo-gram-ma, de aici rezultă că - pa-ral-le-lo-gram.
Înainte-pentru-dar.
Dacă analizăm al treilea semn al pa-ral-le-lo-gram-ma, atunci putem observa că acest semn este co-ot-reply- are proprietatea par-ral-le-lo-gram-ma. Adică faptul că dia-go-na-whether they de-lyat-by-lam, is-la-et-sya nu este doar o proprietate a pa-ral-le-lo-gram-ma, și este de la -li-chi-tel-nym, ha-rak-te-ri-sti-che-sky proprietate, conform unor-ro-mu poate fi de-turnat dintr-o multitudine che-you-reh-coal-no- kov.
SURSĂ
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
1. Definiția unui paralelogram.
Dacă intersectăm o pereche de drepte paralele cu o altă pereche de drepte paralele, obținem un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi.
În patrulaterele ABDC și EFNM (Fig. 224) BD || AC și AB || CD;
EF || MN și EM || F.N.
Un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi se numește paralelogram.
2. Proprietăţile unui paralelogram.
Teorema. Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale.
Să existe un paralelogram ABDC (Fig. 225) în care AB || CD și AC || BD.
Este necesar să se demonstreze că diagonala o împarte în două triunghiuri egale.
Să desenăm o diagonală CB în paralelogramul ABDC. Să demonstrăm că \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Latura NE este comună acestor triunghiuri; ∠ABC = ∠BCD, ca unghiuri interioare încrucișate cu AB și CD paralele și secante CB; ∠ACB = ∠CBD, la fel ca unghiurile interioare încrucișate cu AC și BD paralele și CB secante.
Prin urmare, \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
În același mod, se poate demonstra că diagonala AD împarte paralelogramul în două triunghiuri egale ACD și ABD.
Consecințe:
1 . Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
∠A = ∠D, aceasta rezultă din egalitatea triunghiurilor CAB și CDB.
În mod similar, ∠C = ∠B.
2. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
AB \u003d CD și AC \u003d BD, deoarece acestea sunt laturile triunghiurilor egale și se află opuse unghiurilor egale.
Teorema 2. Diagonalele unui paralelogram sunt bisectate în punctul de intersecție.
Fie BC și AD diagonalele paralelogramului ABDC (Fig. 226). Să demonstrăm că AO = OD și CO = OB.
Pentru a face acest lucru, să comparăm o pereche de triunghiuri opuse, de exemplu \(\Delta\)AOB și \(\Delta\)COD.
În aceste triunghiuri AB = CD, ca laturi opuse ale unui paralelogram;
∠1 = ∠2, ca unghiuri interioare transversale situate la paralele AB și CD și secante AD;
∠3 = ∠4 din același motiv, deoarece AB || CD și CB sunt secantele lor.
Rezultă că \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)COD. Și în triunghiuri egale, unghiurile opuse egale sunt laturi egale. Prin urmare, AO = OD și CO = OB.
Teorema 3. Suma unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului este egală cu 180°.
Desenați o diagonală AC în paralelogram ABCD și obțineți două triunghiuri ABC și ADC.
Triunghiurile sunt congruente deoarece ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (unghiuri încrucișate la linii paralele), iar latura AC este comună.
Egalitatea \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC implică faptul că AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
Suma unghiurilor adiacente unei laturi, de exemplu, unghiurile A și D, este egală cu 180 ° ca unilateral cu linii paralele.
Este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi.
Proprietatea 1 . Orice diagonală a unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale.
Dovada . Conform semnului II (colțuri încrucișate și o latură comună).
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 2 . Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale, iar unghiurile opuse sunt egale.
Dovada .
De asemenea,
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 3. Într-un paralelogram diagonal, punctul de intersecție este împărțit la jumătate.
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 4 . Bisectoarea unui paralelogram, care traversează latura opusă, îl împarte într-un triunghi isoscel și un trapez. (Ch. cuvânt - sus - doi isoscele? -ka).
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 5 . Într-un paralelogram, un segment cu capete pe laturi opuse, care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor, este tăiat în două de acest punct.
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 6 . Unghiul dintre înălțimile coborâte de la vârful unghiului obtuz al paralelogramului este egal cu unghiul ascuțit al paralelogramului.
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Proprietatea 7 . Suma unghiurilor unui paralelogram adiacent unei laturi este de 180°.
Dovada .
Teoremă demonstrată.
Construcția bisectoarei unui unghi. Proprietățile bisectoarei unui triunghi.
1) Construiți o rază arbitrară DE.
2) Pe o rază dată, construiți un cerc arbitrar cu un centru la vârf și același
centrat la începutul razei construite.
3) F și G - punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului dat, H - punctul de intersecție al cercului cu raza construită
Construiți un cerc cu centrul în punctul H și raza egală cu FG.
5) I - punctul de intersecție al cercurilor grinzii construite.
6) Desenați o linie prin vârf și I.
IDH - unghi necesar.
)
Proprietatea 1 . Bisectoarea unghiului unui triunghi împarte latura opusă proporțional cu laturile adiacente.
Dovada . Fie x, y segmente ale laturii c. Continuăm raza BC. Pe raza BC, trasăm un segment CK din C egal cu AC.
Subiectul lecției
- Proprietățile diagonalelor unui paralelogram.
Obiectivele lecției
- Familiarizați-vă cu noi definiții și amintiți-vă unele deja studiate.
- Formulați și demonstrați proprietatea diagonalelor unui paralelogram.
- Învață să aplici proprietățile formelor în rezolvarea problemelor.
- Dezvoltarea - pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gândirea logică, vorbirea matematică.
- Educativ - prin lecție de a cultiva o atitudine atentă unul față de celălalt, de a insufla capacitatea de ascultare a camarazilor, asistență reciprocă, independență.
Obiectivele lecției
- Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.
Planul lecției
- Introducere.
- Repetarea materialului învățat anterior.
- Paralelogramul, proprietățile și semnele sale.
- Exemple de sarcini.
- Verificare personală.
Introducere
„O descoperire științifică majoră oferă o soluție la o problemă majoră, dar în soluționarea oricărei probleme există un sâmbure de descoperire.”
Proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram
Un paralelogram are laturile opuse egale.
Dovada.
Fie ABCD un paralelogram dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Deoarece Δ AOB = Δ COD prin primul semn de egalitate al triunghiurilor (∠ AOB = ∠ COD, ca verticale, AO=OC, DO=OB, prin proprietatea diagonalelor paralelogramelor), atunci AB=CD. În mod similar, din egalitatea triunghiurilor BOC și DOA rezultă că BC=DA. Teorema a fost demonstrată.
Proprietatea unghiurilor opuse ale unui paralelogram
Un paralelogram are unghiuri opuse.
Dovada.
Fie ABCD un paralelogram dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Din proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram demonstrate în teorema pe Δ ABC = Δ CDA pe trei laturi (AB=CD, BC=DA din dovedit, AC este general). Din egalitatea triunghiurilor rezultă că ∠ABC = ∠CDA.
De asemenea, se demonstrează că ∠ DAB = ∠ BCD, care rezultă din ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema a fost demonstrată.
Proprietatea diagonalelor unui paralelogram
Diagonalele unui paralelogram se intersectează, iar punctul de intersecție este bisectat.
Dovada.
Fie ABCD un paralelogram dat. Să desenăm diagonala AC. Marcam pe el mijlocul O. Pe continuarea segmentului DO, punem deoparte segmentul OB 1 egal cu DO.
După teorema anterioară, AB 1 CD este un paralelogram. Prin urmare, linia AB 1 este paralelă cu DC. Dar prin punctul A, o singură linie poate fi trasată paralelă cu DC. Prin urmare, linia AB 1 coincide cu dreapta AB.
De asemenea, se dovedește că BC 1 coincide cu BC. Deci punctul C coincide cu C 1 . paralelogramul ABCD coincide cu paralelogramul AB 1 CD. Prin urmare, diagonalele paralelogramului se intersectează și punctul de intersecție este bisectat. Teorema a fost demonstrată.
În manualele pentru școlile obișnuite (de exemplu, la Pogorelov), se demonstrează astfel: diagonalele împart paralelogramul în 4 triunghiuri. Luați în considerare o pereche și aflați - sunt egale: bazele lor sunt laturi opuse, unghiurile corespunzătoare adiacente acesteia sunt egale ca verticale cu linii paralele. Adică, segmentele diagonalelor sunt egale pe perechi. Tot.
Asta-i tot?
S-a dovedit mai sus că punctul de intersecție traversează diagonalele - dacă există. Raționamentul de mai sus nu dovedește în niciun fel existența sa. Adică, partea teoremei „diagonalele paralelogramelor se intersectează” rămâne nedovedită.
Este amuzant că această parte este mult mai greu de demonstrat. Apropo, asta rezultă dintr-un rezultat mai general: pentru orice patrulater convex, diagonalele se vor intersecta, pentru orice neconvex, nu.
Pe egalitatea triunghiurilor de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente acesteia (al doilea semn al egalității triunghiurilor) și altele.
Teorema privind egalitatea a două triunghiuri de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente acesteia, Thales a găsit o aplicație practică importantă. În portul Milet a fost construit un telemetru, care determină distanța până la navă pe mare. Acesta a constat din trei chei antrenate A, B și C (AB = BC) și o linie dreaptă marcată SK, perpendiculară pe CA. Când nava a apărut pe linia dreaptă SC, s-a găsit un punct D astfel încât punctele D, .B și E se aflau pe aceeași linie dreaptă. După cum reiese din desen, distanța CD la sol este distanța dorită până la navă.
Întrebări
- Diagonalele unui pătrat sunt încrucișate de punctul de intersecție?
- Diagonalele unui paralelogram sunt egale?
- Sunt unghiurile opuse ale unui paralelogram egale?
- Care este definiția unui paralelogram?
- Câte caracteristici ale unui paralelogram?
- Poate un romb să fie un paralelogram?
Lista surselor utilizate
- Kuznetsov A. V., profesor de matematică (clasele 5-9), Kiev
- „Examen unificat de stat 2006. Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea studenților / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
- Mazur K. I. „Rezolvarea principalelor probleme competitive de matematică ale colecției editate de M. I. Scanavi”
- L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ”
Lucrând la lecție
Kuznetsov A.V.
Poturnak S.A.
Evgheni Petrov
Puteți ridica o întrebare despre educația modernă, puteți exprima o idee sau rezolva o problemă urgentă la Forumul Educației unde se întrunește la nivel internațional un consiliu educațional de gândire și acțiune proaspătă. După ce a creat blog, Nu numai că îți vei îmbunătăți statutul de profesor competent, ci vei aduce și o contribuție semnificativă la dezvoltarea școlii viitorului. Breasla Liderilor Educației deschide ușa specialiștilor de top și vă invită să cooperați în direcția creării celor mai bune școli din lume.
