Formulele de adunare vă permit să exprimați sin(2*a), cos(2*a) și tg(a) în termenii funcțiilor trigonometrice ale unghiului a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Să stabilim a = b în aceste formule. Ca rezultat, obținem următoarele identități:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Aceste identități sunt numite formule cu unghi dublu. Luați în considerare câteva exemple de aplicare a formulelor unghiului dublu.

Exemplul 1 Aflați valoarea lui sin(2*a) știind că cos(a) = -0,8 și a este al treilea sfert de unghi. Decizie:

Mai întâi calculăm păcatul(a). Deoarece unghiul a este al treilea sfert, sinusul din al treilea sfert va fi negativ:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

Conform formulei pentru sinusul unui unghi dublu, avem:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Răspuns: sin(2*a) = 0,96.

Exemplul 2 Simplificați expresia sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Decizie:

Să scoatem sin(a)*cos(a) din paranteze. Primim:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Acum folosim formulele unghiului dublu:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*sin(4*a).

Răspuns: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Folosind formulele cu unghi dublu, puteți obține următoarele expresii

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Uneori, atunci când rezolvați exemple, este foarte convenabil să folosiți aceste formule. Luați în considerare următorul exemplu:

Exemplul 3 Simplificați expresia (1-cos(a))/(1+cos(a)). Decizie:

Să aplicăm formulele scrise mai sus pentru expresiile (1-cos(a)) și (1+cos(a)). Pentru a face acest lucru, reprezentăm mai întâi unghiul a sub forma următorului produs 2*(a/2).

Ca rezultat al transformărilor, obținem:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Folosind definiția tangentei, avem:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Răspuns: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

Cele mai frecvente întrebări

Este posibil să faceți un sigiliu pe un document conform eșantionului furnizat? Răspuns Da este posibil. Trimiteți o copie scanată sau o fotografie de bună calitate la adresa noastră de e-mail și vom face duplicatul necesar.

Ce tipuri de plată acceptați? Răspuns Puteti achita documentul in momentul primirii de catre curier, dupa ce verificati corectitudinea completarii si calitatea diplomei. Acest lucru se poate face și la biroul companiilor poștale care oferă servicii de ramburs.
Toate condițiile de livrare și plată a documentelor sunt descrise în secțiunea „Plată și Livrare”. De asemenea, suntem gata să ascultăm sugestiile dumneavoastră cu privire la condițiile de livrare și de plată a documentului.

Pot fi sigur că după plasarea unei comenzi nu vei dispărea cu banii mei? Răspuns Avem o experiență destul de lungă în domeniul producerii de diplome. Avem mai multe site-uri care sunt actualizate constant. Specialiștii noștri lucrează în diferite părți ale țării, producând peste 10 documente pe zi. De-a lungul anilor, documentele noastre au ajutat mulți oameni să-și rezolve problemele de angajare sau să treacă la locuri de muncă mai bine plătite. Ne-am câștigat încredere și recunoaștere în rândul clienților, așa că nu există absolut niciun motiv să facem acest lucru. Mai mult, este pur și simplu imposibil să o faci fizic: plătești comanda în momentul în care o primești în mâinile tale, nu există nicio plată în avans.

Pot comanda o diplomă de la orice universitate? Răspuns În general, da. Lucrăm în acest domeniu de aproape 12 ani. În acest timp, s-a format o bază de date aproape completă de documente emise de aproape toate universitățile din țară și pentru diferiți ani de emitere. Tot ce aveți nevoie este să alegeți o universitate, o specialitate, un document și să completați un formular de comandă.

Ce ar trebui să fac dacă găsesc greșeli de tipar și erori într-un document? Răspuns Când primiți un document de la compania noastră de curierat sau poștal, vă recomandăm să verificați cu atenție toate detaliile. Dacă se constată o greșeală de scriere, o eroare sau o inexactitate, aveți dreptul să nu luați diploma, dar trebuie să indicați personal curierului sau în scris prin trimiterea unui e-mail neajunsurile constatate.
În cel mai scurt timp posibil, vom corecta documentul și îl vom retrimite la adresa specificată. Desigur, transportul va fi plătit de compania noastră.
Pentru a evita astfel de neînțelegeri, înainte de a completa formularul original, trimitem un aspect al viitorului document către poșta clientului pentru verificarea și aprobarea versiunii finale. Înainte de a trimite documentul prin curier sau poștă, facem și o fotografie și un videoclip suplimentar (inclusiv în lumină ultravioletă) pentru a vă face o idee vizuală despre ce veți obține în final.

Ce trebuie să faci pentru a comanda o diplomă de la compania ta? Răspuns Pentru a comanda un document (certificat, diplomă, certificat academic etc.), trebuie să completați un formular de comandă online pe site-ul nostru sau să ne furnizați adresa de e-mail, astfel încât să vă trimitem un formular de chestionar, pe care trebuie să îl completați și să îl trimiteți înapoi la noi.
Dacă nu știți ce să indicați în niciun câmp al formularului de comandă/chestionar, lăsați-le necompletate. Prin urmare, vom clarifica toate informațiile lipsă prin telefon.

Ultimele recenzii

Torywild:

Am decis să cumpăr o diplomă de la compania ta când m-am mutat în alt oraș, dar nu am reușit să-mi găsesc diploma printre lucrurile mele. Fără el, nu aș fi fost angajat pentru un loc de muncă bine plătit. Consultantul dumneavoastră m-a asigurat că aceste informații nu sunt dezvăluite și nimeni nu va distinge documentul de original. Îndoielile nu au plecat, dar a trebuit să risc. Mi-a plăcut că nu era necesară plata în avans. În general, am primit diploma la timp și nu am fost înșelată. Mulțumesc!

Oksana Ivanovna:

Când mi s-a furat diploma, am fost teribil de supărat. La urma urmei, am fost concediat tocmai în acel moment, iar acum este aproape imposibil să găsești un loc de muncă bun fără o diplomă de studii superioare. Din fericire, un vecin a sugerat să contactați organizația dvs. Am fost sceptic la început, dar am decis să risc. L-am sunat pe directorul companiei și i-am explicat situația. Și sunt norocos! Au făcut totul prompt și, cel mai important, au promis că nu-mi vor divulga secretul. Eram îngrijorat că mai târziu nu va apărea faptul că am cumpărat o diplomă.

Masha Kutenkova:

Vă mulțumim pentru munca dvs.! A comandat o diplomă în 1991. Când au început să ridice documente, s-a dovedit că există puțină experiență și era nevoie și de o lucrare care să confirme educația. Nu l-am avut, iar șefa știa asta și ea însăși v-a recomandat compania (vedeți, sunt angajat, nimic de genul acesta). Pe document, ea mi-a indicat detaliile - se spune, în ce ani se folosește cerneală sau cerneală, grosimea semnăturii etc. Mulțumesc pentru meticulozitate și calitate!

LenOK:

După ce am citit povești despre concedierile rușinoase ale angajaților ale căror diplome sunt tipărite pe o imprimantă color, am mers să aplic la universitate. Vai, nu există buget, nici bani să studiez și să plătesc ședințele, a trebuit să îmi asum riscuri. Deși sunt foarte bucuros că am cunoscut compania ta. Deși nu am fost angajat cu diploma ta, din cauza eșecului blocului practic, asta nu este vina ta. De îndată ce găsesc un loc nou - imediat la tine, fără întârziere!

Jerry Terry:

Privind cu ce jenă colegul meu a zburat de la serviciu pentru o diplomă falsă, a fost înfricoșător să-i urmez exemplul. Dacă n-ar fi fost nașul care a comandat de la tine, nu aș fi riscat. M-a asigurat că totul merge bine aici, iar numele meu va fi peste tot acolo unde va fi nevoie. Am avut 4 zile pentru tot. Vă mulțumim pentru rapiditate - am făcut-o în 3 și, de asemenea, am reușit să studiem cu meticulozitate modalitățile de falsificare a documentelor, dar formularul dvs. nu se potrivește cu un fals, ceea ce înseamnă că va trece pentru original.

Andrei:

Nu m-aș fi gândit niciodată că va trebui să-mi cumpăr o diplomă. După școală, fiica ei a plecat în Polonia să lucreze, când s-a întors după 5 ani, și-a dorit să se angajeze ca designer de modă într-o casă de modă locală. Fără diplomă, nimeni nu a vrut să o ducă la muncă. A înțeles că, dacă nu va primi această slujbă, va pleca din nou. Am navigat seara pe internet, iar dimineața eram deja în birou cu actele fiicei mele. O săptămână mai târziu, i-a luat diploma cu ea, iar ea a rămas în cele din urmă să lucreze în orașul ei în postul dorit. Habar nu ai cât de recunoscător sunt!

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

Formulele unghiului dublu fac posibilă exprimarea funcțiilor trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă, cotangentă) ale unghiului `2\alpha` prin chiar aceste funcții ale unghiului `\alpha`.

Lista de mai jos este formulele de bază cu unghi dublu care sunt cel mai frecvent utilizate în trigonometrie. Sunt trei pentru cosinus, toate sunt echivalente și la fel de importante.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`

Următoarele identități exprimă toate funcțiile trigonometrice ale unghiului `2\alpha` în termenii funcțiilor tangente și cotangente ale unghiului `\alpha`.

`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Formulele pentru cosinusul și sinusul unui unghi dublu sunt valabile pentru orice unghi `\alpha`. Formulele pentru tangentei unui unghi dublu sunt valabile pentru acele `\alpha` pentru care este definit `tg \ 2\alpha`, adică pentru ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \în Z`. În mod similar, pentru cotangentă, ele sunt valabile pentru acele `\alpha` pentru care este definită `ctg \ 2\alpha`, adică pentru ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \n \in Z`.

Dovada formulelor cu unghi dublu

Toate formulele unghiului dublu sunt derivate din formulele pentru suma și diferența unghiurilor funcțiilor trigonometrice.

Să luăm două formule pentru suma unghiurilor sinusului și cosinusului:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` și `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Luați `\beta=\alpha`, apoi `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, similar cu `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, care și demonstrează formulele unghiului dublu pentru sinus și cosinus.

Celelalte două egalități pentru cosinusul ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` și `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` se reduc la ceea ce a fost deja demonstrat dacă înlocuim 1 în ele cu `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Deci `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` și ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

Pentru a demonstra formulele pentru tangentei unui unghi dublu și cotangentei, folosim definiția acestor funcții. Scrieți `tg \ 2\alpha` și `ctg \ 2\alpha` ca `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` și `ctg \ 2\alpha= \ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Aplicând formulele de unghi dublu deja dovedite pentru sinus și cosinus, obținem `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` și `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\\alpha)`.

În cazul tangentei, împărțim numărătorul și numitorul fracției finale la `cos^2 \alpha`, pentru cotangente, la rândul său, la `sin^2 \alpha`.

`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`.

`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\ \alpha)`.

Vă sugerăm și vizionarea videoclipului pentru a consolida mai bine materialul teoretic:

Exemple de utilizare a formulelor în rezolvarea problemelor

Formulele cu unghi dublu sunt utilizate în majoritatea cazurilor pentru a converti expresii trigonometrice. Să luăm în considerare câteva dintre cazuri, cum le puteți aplica în practică atunci când rezolvați probleme specifice.

Exemplul 1. Verificați validitatea identităților unghiului dublu pentru `\alpha=30^\circ`.

Decizie. Formulele noastre folosesc două unghiuri `\alpha` și `2\alpha`. Valoarea primului unghi este dată în condiția, al doilea va fi `2\alpha=60^\circ` în mod corespunzător. De asemenea, cunoaștem valorile numerice pentru toate funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri. Să le scriem:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` și

`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.

Atunci vom avea

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,

`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.

Ceea ce demonstrează validitatea egalităților pentru unghiul dat în condiție.

Exemplul 2. Exprimați `sin \frac (2\alpha)3` în termenii funcțiilor trigonometrice ale unghiului `\frac (\alpha)6`.

Decizie. Scriem unghiul sinusoidal după cum urmează ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Apoi, aplicând de două ori formula unghiului dublu, ne putem rezolva problema.

În primul rând, folosim ecuația sinusului cu unghi dublu: ` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3`, acum aplicăm formulele noastre pentru sinus și, respectiv, cosinus din nou. Ca rezultat, obținem:

` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

Răspuns. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

Formule cu unghi triplu

Aceste formule, asemănător celor anterioare, fac posibilă exprimarea funcțiilor unghiului `3\alpha` în ceea ce privește tocmai aceste funcții ale unghiului `\alpha`.

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Le puteți demonstra folosind egalitățile sumei și diferenței unghiurilor, precum și binecunoscutele formule de unghi dublu.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

În formula rezultată, înlocuiți `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` cu `1-sin^2\alpha` și obțineți `sin \ 3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`.

De asemenea, pentru cosinusul unghiului triplu:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

Înlocuind `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` cu `1-cos^2\alpha` în ecuația finală, obținem `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`.

Folosind identitățile dovedite pentru sinus și cosinus, se poate dovedi pentru tangentă și cotangentă:

`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alfa)(1-3tg^2 \alpha)`;

`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha) cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3) sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha) -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.

Pentru a demonstra formulele pentru unghiul ` 4\alpha`, îl puteți reprezenta ca ` 2 \cdot 2\alpha` și încercați formulele unghiului dublu de două ori.

Pentru a obține egalități similare pentru unghiul `5\alpha`, îl puteți scrie ca `3\alpha + 2\alpha` și aplicați identitățile sumei și diferenței unghiurilor și unghiului dublu și triplu.

În mod similar, toate formulele pentru alte unghiuri multiple sunt derivate, deci sunt rareori necesare în practică.

În trigonometrie, multe formule sunt mai ușor de dedus decât de memorat. Cosinusul unui unghi dublu este o formulă minunată! Vă permite să obțineți formulele de reducere și formulele de jumătate de unghi.

Deci, avem nevoie de cosinusul unghiului dublu și unitatea trigonometrică:

Ele sunt chiar similare: în formula cosinusului unui unghi dublu - diferența dintre pătratele cosinusului și sinusului, iar în unitatea trigonometrică - suma lor. Dacă exprimăm cosinusul din unitatea trigonometrică:

și înlocuiți-l în cosinusul unghiului dublu, obținem:

Aceasta este o altă formulă pentru cosinusul unui unghi dublu:

Această formulă este cheia pentru obținerea formulei de reducere:

Deci, formula pentru scăderea gradului sinusului este:

Dacă în el unghiul alfa este înlocuit cu o jumătate de unghi alfa în jumătate, iar unghiul dublu doi alfa este înlocuit cu unghiul alfa, atunci obținem formula pentru jumătate de unghi pentru sinus:

Acum, din unitatea trigonometrică, exprimăm sinusul:

Înlocuiți această expresie în formula pentru cosinusul unui unghi dublu:

Avem o altă formulă pentru cosinusul unui unghi dublu:

Această formulă este cheia pentru găsirea formulei de reducere a cosinusului și a semiunghiului pentru cosinus.

Astfel, formula pentru scăderea gradului de cosinus este:

Dacă înlocuim α cu α/2 în el și 2α cu α, atunci obținem formula pentru jumătatea argumentului pentru cosinus:

Deoarece tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, formula tangentei este:

Cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus. Deci formula cotangentei este:

Desigur, în procesul de simplificare a expresiilor trigonometrice, nu are rost să derivăm formule cu jumătate de unghi sau să scădem gradul de fiecare dată. Este mult mai ușor să pui o foaie de formule în fața ta. Și simplificarea va avansa mai repede, iar memoria vizuală se va activa pentru memorare.

Dar tot merită să derivam aceste formule de mai multe ori. Atunci vei fi absolut sigur că în timpul examenului, când nu există nicio modalitate de a folosi o foaie de cheat, le poți obține cu ușurință dacă este nevoie.

Formulele unghiului dublu sunt folosite pentru a exprima sinusurile, cosinusurile, tangentele, cotangentele unui unghi cu valoarea 2 α folosind funcțiile trigonometrice ale unghiului α . Acest articol va introduce toate formulele cu unghi dublu cu dovezi. Se vor lua în considerare exemple de aplicare a formulelor. În partea finală vor fi afișate formulele pentru unghiurile triple și cvadruple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lista formulelor cu unghi dublu

Pentru a converti formulele cu unghi dublu, amintiți-vă că unghiurile din trigonometrie au forma n α notație, unde n este un număr natural, valoarea expresiei se scrie fără paranteze. Astfel, sin n α este considerat a avea același sens ca sin (n α) . Cu notația sin n α avem o notație similară (sin α) n . Utilizarea notației este aplicabilă pentru toate funcțiile trigonometrice cu puteri de n.

Următoarele sunt formulele unghiului dublu:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Rețineți că aceste formule sin și cos sunt aplicabile cu orice valoare a unghiului α. Formula pentru tangentei unui unghi dublu este valabilă pentru orice valoare a lui α, unde t g 2 α are sens, adică α ≠ π 4 + π 2 · z, z este orice număr întreg. Cotangenta unui unghi dublu există pentru orice α , unde c t g 2 α este definită pe α ≠ π 2 · z .

Cosinusul unui unghi dublu are o notație triplă a unui unghi dublu. Toate sunt aplicabile.

Dovada formulelor cu unghi dublu

Dovada formulelor provine din formulele de adunare. Aplicam formulele pentru sinusul sumei:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β și cosinusul sumei cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Să presupunem că β = α , atunci obținem asta

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α și cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Astfel, sunt dovedite formulele pentru sinusul și cosinusul unghiului dublu sin 2 α \u003d 2 sin α cos α și cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Formulele rămase cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α și cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 duc la forma cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, atunci când se înlocuiesc 1 cu suma pătratelor cu identitatea de bază sin 2 α + cos 2 α = 1 . Obținem că sin 2 α + cos 2 α = 1. Deci 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α și 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Pentru a demonstra formulele pentru unghiul dublu de tangentă și cotangente, aplicăm egalitățile t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α și c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α. După transformare, obținem că t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α și c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Împărțiți expresia la cos 2 α unde cos 2 α ≠ 0 cu orice valoare a α când este definită t g α. Împărțiți o altă expresie la sin 2 α , unde sin 2 α ≠ 0 cu orice valoare a lui α , când c t g 2 α are sens. Pentru a demonstra formula unghiului dublu pentru tangentă și cotangentă, înlocuim și obținem: