Mulți divizori

Luați în considerare următoarea problemă: găsiți divizorul numărului 140. Este evident că numărul 140 are nu un divizor, ci mai mulți. În astfel de cazuri, se spune că sarcina are o multime de solutii. Să le găsim pe toate. În primul rând, descompunem acest număr în factori primi:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Acum putem scrie cu ușurință toți divizorii. Să începem cu divizori simpli, adică cei care sunt prezenți în expansiunea de mai sus:

Apoi le scriem pe cele care sunt obținute prin înmulțirea pe perechi a divizorilor primi:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Apoi - cele care conțin trei divizori simpli:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

În cele din urmă, să nu uităm unitatea și numărul descompunebil în sine:

Toți divizorii găsiți de noi formează o multime de divizori ai numărului 140, care se scrie folosind acolade:

Mulțimea divizorilor numărului 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Pentru comoditatea percepției, am scris divizorii aici ( elemente de set) în ordine crescătoare, dar în general, acest lucru nu este necesar. În plus, introducem o abreviere. În loc de „Mulțimea divizorilor numărului 140” vom scrie „D (140)”. Prin urmare,

În mod similar, se poate găsi mulțimea divizorilor pentru orice alt număr natural. De exemplu, din descompunere

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

primim:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Din mulțimea tuturor divizorilor, ar trebui să distingem mulțimea divizorilor primi, care pentru numerele 140 și, respectiv, 105 sunt egale:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

De subliniat că în descompunerea numărului 140 în factori primi, doi este prezent de două ori, în timp ce în mulțimea PD(140) este doar unul. Mulțimea lui PD(140) este, în esență, toate răspunsurile la problema: „Găsiți un factor prim al numărului 140”. Este clar că același răspuns nu trebuie repetat de mai multe ori.

Reducerea fracțiilor. Cel mai mare divizor comun

Luați în considerare o fracțiune

Știm că această fracție poate fi redusă cu un număr care este atât divizor al numărătorului (105) cât și divizor al numitorului (140). Să ne uităm la mulțimile D(105) și D(140) și să scriem elementele lor comune.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Elemente comune ale mulțimilor D(105) și D(140) =

Ultima egalitate poate fi scrisă mai scurt și anume:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Aici, pictograma specială „∩” („sacul cu gaura în jos”) indică doar că dintre cele două seturi scrise pe părțile opuse ale acesteia, ar trebui selectate doar elemente comune. Intrarea „D (105) ∩ D (140)” spune „ intersecție seturi de Te de la 105 și Te de la 140.

[Rețineți pe parcurs că puteți efectua diverse operații binare cu mulțimi, aproape ca în cazul numerelor. O altă operație binară comună este Uniune, care este indicat de pictograma „∪” („sacul cu gaura sus”). Unirea a două mulțimi include toate elementele ambelor mulțimi:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Deci, am aflat că fracția

poate fi redus la oricare dintre numerele aparținând setului

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

și nu poate fi redus cu niciun alt număr natural. Iată toate modalitățile posibile de reducere (cu excepția reducerii neinteresante cu una):

Este evident că cel mai practic este reducerea fracției cu un număr, dacă este posibil, unul mai mare. În acest caz, este numărul 35, despre care se spune că este cel mai mare divizor comun (GCD) numerele 105 și 140. Aceasta se scrie ca

mcd(105, 140) = 35.

Cu toate acestea, în practică, dacă ni se dau două numere și trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al lor, nu trebuie să construim deloc mulțimi. Este suficient să factorizați pur și simplu ambele numere în factori primi și să subliniați pe cei din acești factori care sunt comuni ambelor factori, de exemplu:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Înmulțind numerele subliniate (în oricare dintre expansiuni), obținem:

mcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Desigur, este posibil să existe mai mult de doi factori subliniați:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

De aici este clar că

mcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Mențiune specială merită situația în care nu există deloc factori comuni și nu este nimic de subliniat, de exemplu:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

În acest caz,

mcd(42, 55) = 1.

Sunt numite două numere naturale pentru care mcd este egal cu unul coprime. Dacă faci o fracție din astfel de numere, de exemplu,

atunci o astfel de fracție este ireductibil.

În general, regula pentru reducerea fracțiilor poate fi scrisă după cum urmează:

		A/ gcd( A, b)
		b/ gcd( A, b)

Aici se presupune că Ași b sunt numere naturale și toate fracțiile sunt pozitive. Dacă acum atribuim un semn minus ambelor părți ale acestei egalități, obținem regula corespunzătoare pentru fracțiile negative.

Adunarea și scăderea fracțiilor. Cel mai mic multiplu comun

Să presupunem că doriți să calculați suma a două fracții:

Știm deja cum numitorii sunt descompuși în factori primi:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Din această descompunere rezultă imediat că, pentru a aduce fracțiile la un numitor comun, este suficient să înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu 2 ∙ 2 (produsul factorilor primi neaccentuați ai celui de-al doilea numitor), și numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 3 („produs” factori primi nesubliniați ai primului numitor). Ca urmare, numitorii ambelor fracții vor deveni egali cu un număr care poate fi reprezentat după cum urmează:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Este ușor de observat că ambii numitori originali (atât 105, cât și 140) sunt divizori ai numărului 420, iar numărul 420, la rândul său, este un multiplu al ambilor numitori - și nu doar un multiplu, este cel mai mic multiplu comun (NOC) numerele 105 și 140. Acesta este scris astfel:

LCM(105, 140) = 420.

Privind mai atent la extinderea numerelor 105 și 140, vedem asta

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ MCD(105, 140).

În mod similar, pentru numere naturale arbitrare bși d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

Acum să completăm însumarea fracțiilor noastre:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Notă. Pentru a rezolva unele probleme, trebuie să știi care este pătratul unui număr. Numărul pătrat A numit un număr Aînmulțit cu el însuși, adică A∙A. (După cum puteți vedea, este egală cu aria unui pătrat cu o latură A).

Semne de divizibilitate a numerelor naturale.

Se numesc numere divizibile cu 2 fără restchiar .

Se numesc numerele care nu sunt divizibile egal cu 2ciudat .

Semn de divizibilitate cu 2

Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu o cifră pară, atunci acest număr este divizibil cu 2 fără rest, iar dacă înregistrarea unui număr se termină cu o cifră impară, atunci acest număr nu este divizibil cu 2 fără rest.

De exemplu, numerele 60 , 30 8 , 8 4 sunt divizibile fără rest cu 2, iar numerele 51 , 8 5 , 16 7 nu sunt divizibile cu 2 fără rest.

Semn de divizibilitate cu 3

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3, atunci numărul este și divizibil cu 3; Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă cu 3, atunci numărul nu este divizibil cu 3.

De exemplu, să aflăm dacă numărul 2772825 este divizibil cu 3. Pentru a face acest lucru, calculăm suma cifrelor acestui număr: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - este divizibil cu 3 Deci, numărul 2772825 este divizibil cu 3.

Semn de divizibilitate cu 5

Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu 0 sau 5, atunci acest număr este divizibil cu 5 fără rest. Dacă înregistrarea unui număr se termină cu o altă cifră, atunci numărul nu poate fi împărțit la 5 fără rest.

De exemplu, numerele 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 sunt divizibile fără rest cu 5, iar numerele 17 , 37 8 , 9 1 nu imparti.

Semn de divizibilitate cu 9

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9, atunci numărul este și divizibil cu 9; Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă cu 9, atunci numărul nu este divizibil cu 9.

De exemplu, să aflăm dacă numărul 5402070 este divizibil cu 9. Pentru a face acest lucru, calculăm suma cifrelor acestui număr: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nu este divizibil cu 9. Aceasta înseamnă că numărul 5402070 nu este divizibil cu 9.

Semn de divizibilitate cu 10

Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu cifra 0, atunci acest număr este divizibil fără rest cu 10. Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu o altă cifră, atunci nu este divizibil cu 10 fără rest.

De exemplu, numerele 40 , 17 0 , 1409 0 sunt divizibile fără rest cu 10, iar numerele 17 , 9 3 , 1430 7 - nu imparti.

Regula pentru găsirea celui mai mare divizor comun (mcd).

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al mai multor numere naturale, trebuie să:

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;

3) găsiți produsul factorilor rămași.

Exemplu. Să găsim GCD (48;36). Să folosim regula.

1. Descompunem numerele 48 și 36 în factori primi.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Din factorii incluși în extinderea numărului 48, îi ștergem pe cei care nu sunt incluși în extinderea numărului 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Există factori 2, 2 și 3.

3. Înmulțiți factorii rămași și obțineți 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al mai multor numere naturale, trebuie să:

1) descompuneți-le în factori primi;

2) scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;

3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;

4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Exemplu. Să găsim LCM (75;60). Să folosim regula.

1. Descompunem numerele 75 și 60 în factori primi.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Notați factorii incluși în extinderea numărului 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Adaugă la ei factorii lipsă din descompunerea numărului 60, adică. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Aflați produsul factorilor rezultați

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Să rezolvăm problema. Avem două tipuri de cookie-uri. Unele sunt de ciocolată, iar altele sunt simple. Sunt 48 de bucăți de ciocolată, iar simple 36. Este necesar să faceți cât mai mare număr posibil de cadouri din aceste fursecuri, și trebuie folosite toate.

Mai întâi, să notăm toți divizorii fiecăruia dintre aceste două numere, deoarece ambele numere trebuie să fie divizibile cu numărul de cadouri.

Primim

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Să găsim printre divizori pe cei comuni pe care îi au atât primul cât și al doilea număr.

Divizorii comuni vor fi: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Cel mai mare divizor comun dintre toate este 12. Acest număr se numește cel mai mare divizor comun dintre 36 și 48.

Pe baza rezultatului, putem concluziona că din toate prăjiturile pot fi făcute 12 cadouri. Un astfel de cadou va contine 4 fursecuri de ciocolata si 3 fursecuri obisnuite.

Găsirea celui mai mare divizor comun

• Cel mai mare număr natural cu care două numere a și b sunt divizibile fără rest se numește cel mai mare divizor comun al acestor numere.

Uneori, abrevierea GCD este folosită pentru a prescurta intrarea.

Unele perechi de numere au unul ca cel mai mare divizor comun. Se numesc astfel de numere numere coprime. De exemplu, numerele 24 și 35. Au GCD =1.

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun, nu este necesar să scrieți toți divizorii acestor numere.

Puteți face altfel. Mai întâi, factorizează ambele numere în factori primi.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Acum, din factorii care sunt incluși în extinderea primului număr, îi ștergem pe toți cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. În cazul nostru, acestea sunt două două.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Rămân factorii 2, 2 și 3. Produsul lor este 12. Acest număr va fi cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36.

Această regulă poate fi extinsă la cazul trei, patru și așa mai departe. numerele.

Schema generală pentru găsirea celui mai mare divizor comun

• 1. Descompune numerele în factori primi.
• 2. Din factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere.
• 3. Calculați produsul factorilor rămași.

Pentru a afla cum să găsiți cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere, trebuie să înțelegeți ce sunt numerele naturale, prime și complexe.

Un număr natural este orice număr care este folosit pentru a număra numerele întregi.

Dacă un număr natural poate fi împărțit doar la el însuși și la unu, atunci se numește prim.

Toate numerele naturale pot fi împărțite la ele însele și unul, dar singurul număr prim par este 2, toate celelalte pot fi împărțite la doi. Prin urmare, numai numerele impare pot fi prime.

Există o mulțime de numere prime, nu există o listă completă a acestora. Pentru a găsi GCD, este convenabil să folosiți tabele speciale cu astfel de numere.

Majoritatea numerelor naturale pot fi împărțite nu numai la unul, ele însele, ci și la alte numere. Deci, de exemplu, numărul 15 poate fi împărțit la 3 și 5. Toate se numesc divizori ai numărului 15.

Astfel, divizorul oricărui A este numărul cu care poate fi împărțit fără rest. Dacă un număr are mai mult de doi divizori naturali, se numește compus.

Numărul 30 are divizori precum 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Puteți vedea că 15 și 30 au aceiași divizori 1, 3, 5, 15. Cel mai mare divizor comun al acestor două numere este 15.

Astfel, divizorul comun al numerelor A și B este numărul cu care le puteți împărți complet. Maximul poate fi considerat numărul total maxim cu care pot fi împărțiți.

Pentru a rezolva probleme, se folosește următoarea inscripție prescurtată:

GCD (A; B).

De exemplu, GCD (15; 30) = 30.

Pentru a scrie toți divizorii unui număr natural, se folosește notația:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

mcd (9; 15) = 1

În acest exemplu, numerele naturale au un singur divizor comun. Se numesc coprime, respectiv, unitatea este cel mai mare divizor comun al lor.

Cum să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor

Pentru a găsi GCD-ul mai multor numere, aveți nevoie de:

Găsiți separat toți divizorii fiecărui număr natural, adică descompuneți-i în factori (numere prime);

Selectați toți aceiași factori pentru numere date;

Înmulțiți-le împreună.

De exemplu, pentru a calcula cel mai mare divizor comun al numerelor 30 și 56, ați scrie următoarele:

Pentru a nu fi confundat cu , este convenabil să scrieți multiplicatorii folosind coloane verticale. În partea stângă a liniei, trebuie să plasați dividendul, iar în dreapta - divizorul. Sub dividend, ar trebui să indicați coeficientul rezultat.

Deci, în coloana din dreapta vor fi toți factorii necesari pentru soluție.

Divizorii identici (factorii găsiți) pot fi subliniați pentru comoditate. Ele ar trebui rescrise și înmulțite, iar cel mai mare divizor comun trebuie notat.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Este chiar atât de simplu să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor. Cu puțină practică, o poți face aproape automat.

Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun aceste numere. Notați GCD(a, b).

Luați în considerare găsirea GCD folosind exemplul a două numere naturale 18 și 60:

1 Să descompunem numerele în factori primi:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Ștergeți din expansiunea primului număr toți factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr, obținem 2×3×3 .

3 Înmulțim factorii primi rămași după tăiere și obținem cel mai mare divizor comun al numerelor: mcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Rețineți că nu contează de la primul sau al doilea număr în care tăiem factorii, rezultatul va fi același:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 și 432

Să descompunem numerele în factori primi:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Ștergeți din primul număr, ai cărui factori nu sunt în al doilea și al treilea număr, obținem:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Ca rezultat al GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Găsirea GCD cu algoritmul lui Euclid

A doua modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun folosind algoritmul lui Euclid. Algoritmul lui Euclid este cel mai eficient mod de a găsi GCD, folosindu-l trebuie să găsiți în mod constant restul diviziunii numerelor și să aplicați formulă recurentă.

Formula recurentă pentru GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), unde a mod b este restul împărțirii a la b.

algoritmul lui Euclid

Exemplu Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 7920 și 594

Să găsim GCD( 7920 , 594 ) folosind algoritmul Euclid, vom calcula restul diviziunii folosind un calculator.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Ca rezultat, obținem GCD( 7920 , 594 ) = 198

Cel mai mic multiplu comun

Pentru a găsi un numitor comun atunci când adăugați și scădeți fracții cu numitori diferiți, trebuie să știți și să puteți calcula cel mai mic multiplu comun(NOC).

Un multiplu al numărului „a” este un număr care este el însuși divizibil cu numărul „a” fără rest.

Numerele care sunt multipli ai lui 8 (adică aceste numere vor fi împărțite la 8 fără rest): acestea sunt numerele 16, 24, 32...

Multiplii lui 9: 18, 27, 36, 45…

Există infiniti multipli ai unui număr dat a, spre deosebire de divizorii aceluiași număr. Divizori - un număr finit.

Un multiplu comun a două numere naturale este un număr care este divizibil egal cu ambele numere..

Cel mai mic multiplu comun(LCM) a două sau mai multe numere naturale este cel mai mic număr natural care este el însuși divizibil cu fiecare dintre aceste numere.

Cum să găsiți NOC

LCM poate fi găsit și scris în două moduri.

Prima modalitate de a găsi LCM

Această metodă este de obicei folosită pentru numere mici.

1. Scriem multiplii pentru fiecare dintre numere într-o linie până când există un multiplu care este același pentru ambele numere.
2. Un multiplu al numărului „a” este notat cu litera majusculă „K”.

Exemplu. Găsiți LCM 6 și 8.

A doua modalitate de a găsi LCM

Această metodă este convenabilă de utilizat pentru a găsi LCM pentru trei sau mai multe numere.

Numărul de factori identici în expansiunile numerelor poate fi diferit.

În extinderea numărului mai mic (numerele mai mici), subliniați factorii care nu au fost incluși în extinderea numărului mai mare (în exemplul nostru, este 2) și adăugați acești factori la extinderea numărului mai mare.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Înregistrați munca rezultată ca răspuns.
Răspuns: LCM (24, 60) = 120

De asemenea, puteți oficializa găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM) după cum urmează. Să găsim LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

După cum putem vedea din expansiunea numerelor, toți factorii lui 12 sunt incluși în expansiunea lui 24 (cel mai mare dintre numere), așa că adăugăm doar un 2 din expansiunea numărului 16 la LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Răspuns: LCM (12, 16, 24) = 48

Cazuri speciale de găsire a NOC

Dacă unul dintre numere este divizibil egal cu celelalte, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este egal cu acest număr.

De exemplu, LCM(60, 15) = 60
Deoarece numerele coprime nu au divizori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere.

Pe site-ul nostru, puteți folosi și un calculator special pentru a găsi online cel mai mic multiplu comun pentru a vă verifica calculele.

Dacă un număr natural este divizibil doar cu 1 și cu el însuși, atunci se numește prim.

Orice număr natural este întotdeauna divizibil cu 1 și cu el însuși.

Numărul 2 este cel mai mic număr prim. Acesta este singurul număr prim par, restul numerelor prime sunt impare.

Există multe numere prime, iar primul dintre ele este numărul 2. Cu toate acestea, nu există un ultim număr prim. În secțiunea „Pentru studiu”, puteți descărca un tabel cu numere prime până la 997.

Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.

• numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;
• 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil egal (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori ai numărului.

Împărțitorul unui număr natural a este un astfel de număr natural care împarte numărul dat „a” fără rest.

Un număr natural care are mai mult de doi factori se numește număr compus.

Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12.

Divizorul comun a două numere date „a” și „b” este numărul cu care ambele numere date „a” și „b” sunt împărțite fără rest.

Cel mai mare divizor comun(GCD) a două numere date „a” și „b” este cel mai mare număr cu care ambele numere „a” și „b” sunt divizibile fără rest.

Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor „a” și „b” se scrie după cum urmează:

Exemplu: mcd (12; 36) = 12 .

Divizorii numerelor din înregistrarea soluției sunt notați cu litera „D”.

Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. Se numesc astfel de numere numere coprime.

Numerele coprime sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. GCD-ul lor este 1.

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun

Pentru a găsi mcd a două sau mai multe numere naturale aveți nevoie de:

• descompuneți divizorii numerelor în factori primi;

Calculele sunt scrise convenabil folosind o bară verticală. În stânga liniei, notați mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Mai departe în coloana din stânga notăm valorile private.

Să explicăm imediat cu un exemplu. Să factorizăm numerele 28 și 64 în factori primi.

Subliniați aceiași factori primi în ambele numere.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Găsim produsul factorilor primi identici și notăm răspunsul;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Răspuns: GCD (28; 64) = 4

Puteți aranja locația GCD în două moduri: într-o coloană (cum s-a făcut mai sus) sau „în linie”.

Prima modalitate de a scrie GCD

Găsiți GCD 48 și 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

A doua modalitate de a scrie GCD

Acum să scriem soluția de căutare GCD într-o linie. Găsiți GCD 10 și 15.

Pe site-ul nostru de informații, puteți găsi, de asemenea, cel mai mare divizor comun online, folosind programul de ajutor pentru a vă verifica calculele.

Găsirea celui mai mic multiplu comun, metode, exemple de găsire a LCM.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - Least Common Multiple, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și acordați o atenție deosebită rezolvării exemplelor. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculului LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă între LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.

Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura LCM cu GCD, care este exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere conform formulei scrise.

Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Ce este LCM(68, 34)?

Deoarece 68 este divizibil egal cu 34 , atunci mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b , atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a .

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Regula anunțată pentru găsirea LCM rezultă din egalitatea LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, mcd(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descrisă în secțiunea despre găsirea mcd folosind descompunerea numerelor în factori primi). ).

Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al lui 75 și 210 , adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:

Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Deci LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b.

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din descompunerea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din descompunerea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din descompunerea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din descompunerea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Să fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește în calculul secvenţial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Aflați LCM a celor patru numere 140, 9, 54 și 250.

Mai întâi găsim m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Adică m2 =1 260 .

Acum găsim m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.

Rămâne de găsit m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, deci LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, trebuie respectată următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.

Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.

Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Mai întâi, obținem descompunerea acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 este un număr prim, coincide cu descompunerea lui în factori primi) și 143=11 13 .

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7) trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . Pe lângă factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .

Prin urmare, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Uneori există sarcini în care trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor, printre care unul, mai multe sau toate numerele sunt negative. În aceste cazuri, toate numerele negative trebuie înlocuite cu numerele lor opuse, după care trebuie găsită LCM-ul numerelor pozitive. Acesta este modul de a găsi LCM al numerelor negative. De exemplu, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) și LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Putem face acest lucru deoarece mulțimea multiplilor lui a este aceeași cu mulțimea multiplilor lui -a (a și -a sunt numere opuse). Într-adevăr, fie b un multiplu al lui a , atunci b este divizibil cu a , iar conceptul de divizibilitate afirmă existența unui astfel de număr întreg q care b=a q . Dar va fi adevărată și egalitatea b=(−a)·(−q), ceea ce, în virtutea aceluiași concept de divizibilitate, înseamnă că b este divizibil cu −a , adică b este un multiplu al −a . Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă b este un multiplu al lui −a , atunci b este și un multiplu al lui a .

Aflați cel mai mic multiplu comun al numerelor negative −145 și −45.

Să înlocuim numerele negative −145 și −45 cu numerele lor opuse 145 și 45 . Avem LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . După ce am determinat mcd(145, 45)=5 (de exemplu, folosind algoritmul Euclid), calculăm LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Astfel, cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi negative −145 și −45 este 1.305 .

www.cleverstudents.ru

Continuăm să studiem diviziunea. În această lecție, ne vom uita la concepte precum GCDși NOC.

GCD este cel mai mare divizor comun.

NOC este cel mai mic multiplu comun.

Subiectul este destul de plictisitor, dar este necesar să-l înțelegeți. Fără a înțelege acest subiect, nu vei putea lucra eficient cu fracțiile, care reprezintă un adevărat obstacol în matematică.

Cel mai mare divizor comun

Definiție. Cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b Ași bîmpărțit fără rest.

Pentru a înțelege bine această definiție, înlocuim variabilele Ași b oricare două numere, de exemplu, în loc de o variabilă Aînlocuiți numărul 12 și în loc de variabilă b numărul 9. Acum să încercăm să citim această definiție:

Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 9 este cel mai mare număr cu care 12 și 9 împărțit fără rest.

Din definiție reiese clar că vorbim despre un divizor comun al numerelor 12 și 9, iar acest divizor este cel mai mare dintre toți divizorii existenți. Acest cel mai mare divizor comun (mcd) trebuie găsit.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere, se folosesc trei metode. Prima metodă necesită destul de mult timp, dar vă permite să înțelegeți bine esența subiectului și să simțiți întregul său sens.

A doua și a treia metodă sunt destul de simple și fac posibilă găsirea rapidă a GCD. Vom lua în considerare toate cele trei metode. Și ce să aplici în practică - tu alegi.

Prima modalitate este de a găsi toți divizorii posibili ai două numere și de a alege cel mai mare dintre ei. Să luăm în considerare această metodă în exemplul următor: găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 9.

În primul rând, găsim toți divizorii posibili ai numărului 12. Pentru a face acest lucru, împărțim 12 în toți divizorii din intervalul de la 1 la 12. Dacă divizorul ne permite să împărțim 12 fără rest, atunci îl vom evidenția cu albastru și faceți o explicație adecvată între paranteze.

12: 1 = 12
(12 împărțit la 1 fără rest, deci 1 este un divizor al lui 12)

12: 2 = 6
(12 împărțit la 2 fără rest, deci 2 este un divizor al lui 12)

12: 3 = 4
(12 împărțit la 3 fără rest, deci 3 este un divizor al lui 12)

12: 4 = 3
(12 împărțit la 4 fără rest, deci 4 este un divizor al lui 12)

12:5 = 2 (2 rămase)
(12 nu este împărțit la 5 fără rest, deci 5 nu este un divizor al lui 12)

12: 6 = 2
(12 împărțit la 6 fără rest, deci 6 este un divizor al lui 12)

12: 7 = 1 (5 rămase)
(12 nu este împărțit la 7 fără rest, deci 7 nu este un divizor al lui 12)

12: 8 = 1 (4 au rămas)
(12 nu este împărțit la 8 fără rest, deci 8 nu este un divizor al lui 12)

12:9 = 1 (3 rămase)
(12 nu este împărțit la 9 fără rest, deci 9 nu este un divizor al lui 12)

12: 10 = 1 (2 au rămas)
(12 nu se împarte la 10 fără rest, deci 10 nu este un divizor al lui 12)

12:11 = 1 (1 rămas)
(12 nu este împărțit la 11 fără rest, deci 11 nu este un divizor al lui 12)

12: 12 = 1
(12 împărțit la 12 fără rest, deci 12 este un divizor al lui 12)

Acum să găsim divizorii numărului 9. Pentru a face acest lucru, verificați toți divizorii de la 1 la 9

9: 1 = 9
(9 împărțit la 1 fără rest, deci 1 este un divizor al lui 9)

9: 2 = 4 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 2 fără rest, deci 2 nu este un divizor al lui 9)

9: 3 = 3
(9 împărțit la 3 fără rest, deci 3 este un divizor al lui 9)

9: 4 = 2 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 4 fără rest, deci 4 nu este un divizor al lui 9)

9:5 = 1 (4 rămase)
(9 nu este împărțit la 5 fără rest, deci 5 nu este un divizor al lui 9)

9: 6 = 1 (3 au rămas)
(9 nu a împărțit la 6 fără rest, deci 6 nu este un divizor al lui 9)

9:7 = 1 (2 rămase)
(9 nu este împărțit la 7 fără rest, deci 7 nu este un divizor al lui 9)

9:8 = 1 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 8 fără rest, deci 8 nu este un divizor al lui 9)

9: 9 = 1
(9 împărțit la 9 fără rest, deci 9 este un divizor al lui 9)

Acum scrieți divizorii ambelor numere. Numerele evidențiate cu albastru sunt divizorii. Să le scriem:

După ce ați scris divizorii, puteți determina imediat care dintre ele este cel mai mare și cel mai comun.

Prin definiție, cel mai mare divizor comun al lui 12 și 9 este numărul cu care 12 și 9 sunt divizibili egal. Cel mai mare și comun divizor al numerelor 12 și 9 este numărul 3

Atât numărul 12, cât și numărul 9 sunt divizibil cu 3 fără rest:

Deci mcd (12 și 9) = 3

A doua modalitate de a găsi GCD

Acum luați în considerare a doua modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun. Esența acestei metode este de a descompune ambele numere în factori primi și de a le înmulți pe cei comuni.

Exemplul 1. Găsiți GCD al numerelor 24 și 18

Mai întâi, să factorăm ambele numere în factori primi:

Acum le înmulțim factorii comuni. Pentru a nu se confunda, pot fi subliniați factorii comuni.

Ne uităm la descompunerea numărului 24. Primul său factor este 2. Căutăm același factor în descompunerea numărului 18 și vedem că există și el. Subliniem ambele două:

Din nou, ne uităm la descompunerea numărului 24. Al doilea factor al său este, de asemenea, 2. Căutăm același factor în descompunerea numărului 18 și vedem că nu este acolo pentru a doua oară. Atunci nu scoatem în evidență nimic.

Următoarele două din extinderea numărului 24 lipsesc și din extinderea numărului 18.

Trecem la ultimul factor în descompunerea numărului 24. Acesta este factorul 3. Căutăm același factor în descompunerea numărului 18 și vedem că există și el. Subliniem ambele trei:

Deci, factorii comuni ai numerelor 24 și 18 sunt factorii 2 și 3. Pentru a obține GCD, acești factori trebuie înmulțiți:

Deci mcd (24 și 18) = 6

A treia modalitate de a găsi GCD

Acum luați în considerare a treia modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun. Esența acestei metode constă în faptul că numerele care trebuie căutate pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi. Apoi, din descompunerea primului număr, se șterg factorii care nu sunt incluși în descompunerea celui de-al doilea număr. Numerele rămase în prima expansiune sunt înmulțite și obțin GCD.

De exemplu, să găsim GCD pentru numerele 28 și 16 în acest fel. În primul rând, descompunem aceste numere în factori primi:

Avem două extinderi: și

Acum, din extinderea primului număr, ștergem factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include șapte. O vom șterge din prima extensie:

Acum înmulțim factorii rămași și obținem GCD:

Numărul 4 este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 16. Ambele numere sunt divizibile cu 4 fără rest:

Exemplul 2 Găsiți MCD al numerelor 100 și 40

Scoaterea în factor a numărului 100

Scoaterea în factor a numărului 40

Avem două extinderi:

Acum, din extinderea primului număr, ștergem factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include unul cinci (există doar unul cinci). O ștergem din prima descompunere

Înmulțiți numerele rămase:

Am primit răspunsul 20. Deci numărul 20 este cel mai mare divizor comun al numerelor 100 și 40. Aceste două numere sunt divizibile cu 20 fără rest:

GCD (100 și 40) = 20.

Exemplul 3 Aflați mcd-ul numerelor 72 și 128

Scoaterea în factor a numărului 72

Scoaterea în factor a numărului 128

2×2×2×2×2×2×2

Acum, din extinderea primului număr, ștergem factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include două triplete (nu există deloc). Le ștergem din prima extensie:

Am primit răspunsul 8. Deci numărul 8 este cel mai mare divizor comun al numerelor 72 și 128. Aceste două numere sunt divizibile cu 8 fără rest:

GCD (72 și 128) = 8

Găsirea GCD pentru numere multiple

Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere și nu doar pentru două. Pentru aceasta, numerele care trebuie găsite pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere.

De exemplu, să găsim GCD pentru numerele 18, 24 și 36

Factorizarea numărului 18

Factorizarea numărului 24

Factorizarea numărului 36

Avem trei extinderi:

Acum selectăm și subliniem factorii comuni din aceste numere. Factorii comuni trebuie incluși în toate cele trei numere:

Vedem că factorii comuni pentru numerele 18, 24 și 36 sunt factorii 2 și 3. Înmulțind acești factori, obținem MCD pe care îl căutăm:

Am primit răspunsul 6. Deci numărul 6 este cel mai mare divizor comun al numerelor 18, 24 și 36. Aceste trei numere sunt divizibile cu 6 fără rest:

GCD (18, 24 și 36) = 6

Exemplul 2 Găsiți mcd pentru numerele 12, 24, 36 și 42

Să factorizăm fiecare număr. Apoi găsim produsul factorilor comuni ai acestor numere.

Factorizarea numărului 12

Factorizarea numărului 42

Avem patru extinderi:

Acum selectăm și subliniem factorii comuni din aceste numere. Factorii comuni trebuie incluși în toate cele patru numere:

Vedem că factorii comuni pentru numerele 12, 24, 36 și 42 sunt factorii 2 și 3. Înmulțind acești factori, obținem MCD pe care îl căutăm:

Am primit răspunsul 6. Deci numărul 6 este cel mai mare divizor comun al numerelor 12, 24, 36 și 42. Aceste numere sunt divizibile cu 6 fără rest:

mcd(12, 24, 36 și 42) = 6

Din lecția anterioară, știm că dacă un număr este împărțit la altul fără rest, se numește multiplu al acestui număr.

Se dovedește că un multiplu poate fi comun mai multor numere. Și acum ne va interesa un multiplu de două numere, în timp ce ar trebui să fie cât mai mic posibil.

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al numerelor Ași b- Ași b A si numarul b.

Definiția conține două variabile Ași b. Să înlocuim oricare două numere pentru aceste variabile. De exemplu, în loc de o variabilă Aînlocuiți numărul 9 și în locul variabilei b să înlocuim numărul 12. Acum să încercăm să citim definiția:

Cel mai mic multiplu comun (LCM) al numerelor 9 și 12 - este cel mai mic număr care este un multiplu al 9 și 12 . Cu alte cuvinte, este un număr atât de mic care este divizibil fără rest cu numărul 9 iar pe număr 12 .

Este clar din definiție că LCM este cel mai mic număr care este divizibil fără rest cu 9 și 12. Acest LCM este necesar să fie găsit.

Există două moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM). Prima modalitate este că puteți nota primii multipli ai două numere și apoi alegeți dintre acești multipli un astfel de număr care va fi comun ambelor numere și mic. Să aplicăm această metodă.

În primul rând, să găsim primii multipli pentru numărul 9. Pentru a găsi multiplii pentru 9, trebuie să înmulțiți pe rând acesti nouă cu numerele de la 1 la 9. Răspunsurile pe care le obțineți vor fi multipli ai numărului 9. Deci , să începem. Multiplii vor fi evidențiați cu roșu:

Acum găsim multipli pentru numărul 12. Pentru a face acest lucru, înmulțim pe rând 12 cu toate numerele de la 1 la 12.