206. Știm (n. 175) că dacă ∠A (Fig. 203 sau 204) este intersectată de două KL și BC paralele, atunci raportul dintre oricare două segmente de pe o parte a acestui unghi este egal cu raportul a două segmente corespunzătoare. segmente pe de altă parte (de exemplu, AK /KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL etc.). Dar vedem că avem mai multe segmente pe cele paralele în sine, și anume KL și BC. Se pune întrebarea dacă este posibil să alegeți două segmente AL, LC și AC situate pe aceeași parte a unghiului nostru A, astfel încât raportul lor să fie egal cu raportul segmentelor KL și BC.

În acest scop, transferăm în primul rând segmentul KL pe linia BC, pentru care trebuie să construim LD || AB; atunci BD = KL. Apoi, în locul segmentelor KL și BC, putem considera segmentele BD și BC, care sunt situate pe latura CB a unghiului C. Deoarece ∠C s-a dovedit a fi intersectat de două drepte paralele, și anume dreptele AB și LD , apoi, aplicând § 175 la unghiul C, găsim

BD/BC = AL/AC sau KL/BC = AL/AC.

Problema este rezolvată: am reușit să găsim două segmente AL și AC pe latura AC astfel încât raportul lor = KL/BC. Știind, de asemenea, că AK/AB = AL/AC, acum putem scrie egalitățile:

AK/AB = AL/AC = KL/BC.

Având în vedere aceste egalități, ajungem la concluzia că ele leagă laturile celor două triunghiuri rezultate și anume ∆AKL și ∆ABC. Apare o nouă întrebare: unghiurile acestor triunghiuri sunt legate într-un fel?

Răspunsul la ultima întrebare este ușor de găsit: ∠A triunghiurile noastre au în comun, ∠K = ∠B, ca corespunzătoare pentru paralelele KL și BC și secante AB, și ∠L = ∠C, ca corespunzătoare pentru aceeași paralelă, dar cu AC secant.

Putem muta ∆AKL (Cap. 203) în alt loc sau, ceea ce este același, construim un nou ∆A"K"L" egal cu ∆AKL, laturile și unghiurile sale vor fi, respectiv, egale cu laturile și unghiurile lui ∆AKL: AK = A "K", AL = A"L", KL = K"L", ∠A = ∠A", ∠K = ∠K", ∠L = ∠L".

Apoi obținem ∆A"K"L", care este în aceeași relație cu ∆ABC ca și ∆AKL:
1) aceste triunghiuri au unghiuri egale: ∠A" = ∠A, ∠K" = ∠B, ∠L" = ∠C;
2) pentru laturi avem proporții:

A"K"/AB = A"L"/AC = K"L"/BC (1)

Trebuie remarcat faptul că cele două părți ale fiecărei relații nu sunt conectate accidental într-o singură relație - nu puteți, de exemplu, să scrieți A "L" / AB \u003d A "K" / BC \u003d K "L" / AC. Trebuie să poți găsi acele părți care ar trebui să fie membri ai unei relații. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este prin unghiurile triunghiurilor: puteți observa că laturile fiecărei relații în egalități (1) se află în triunghiuri față de unghiuri egale (A"K" față de ∠L și AB față de unghiul egal C etc. .). Se obișnuiește să se numească acele laturi care servesc ca membri ai aceleiași relații similare (latura A „K” este similară cu latura AB, A „L” - la AC și K „L" - la BC), iar laturile similare sunt situate în triunghiurile noastre împotriva unghiurilor egale .

Egalitatea (1) poate fi citită în termeni prescurtați:

Laturile triunghiului ∆A"K"L" sunt proporționale cu laturile similare ∆ABC.

Cuvântul "proporțional" înseamnă: raportul dintre o pereche de laturi similare ale triunghiurilor A"K"L" și ABC este egal cu raportul celeilalte perechi și este egal cu raportul celei de-a treia perechi.

Triunghiurile care au cele două caracteristici găsite mai sus se numesc similare. Pentru a indica asemănarea triunghiurilor, se folosește semnul ~. Avem: ∆AKL ~ ∆ABC și, de asemenea, ∆A"K"L" ~ ∆ABC.

Acum puteți instala:

Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile unuia sunt egale în perechi cu unghiurile celuilalt și laturile lor similare sunt proporționale.

cometariu. Să luăm din egalitatea (1) doar unul, de exemplu, A"K"/AB = A"L"/AC. Aplicând aici proprietatea articolului 178, obținem: A "K" / A "L" \u003d AB / AC, adică. raportul dintre două laturi ale unui triunghi este egal cu raportul dintre două laturi similare ale altui triunghi similar cu primul.

207. Semnul principal al asemănării triunghiurilor. Conform paragrafului anterior, putem construi o mulțime nenumărată de triunghiuri similare cu cea dată: pentru aceasta trebuie să intersectăm triunghiul dat cu diferite drepte paralele cu una dintre laturile sale și apoi, dacă doriți, să transferăm fiecare triunghi rezultat. în alt loc din avion. În toate triunghiurile rezultate, unghiurile rămân neschimbate, iar raportul dintre orice latură a unuia și latura similară a celui dat (scala de similaritate) se modifică. Prin urmare, apare gândul dacă nu este suficient pentru asemănarea a două triunghiuri doar egalitatea unghiurilor lor.

Să construim 2 triunghiuri: ∆ABC și ∆DEF (Diagrama 205) astfel încât ∠A = ∠E și ∠B = ∠D. Apoi, în primul rând, constatăm că ∠C = ∠F (deoarece suma unghiurilor fiecărui triunghi = 2d).

Impunem ∆DEF pe ∆ABC astfel incat, de exemplu, punctul E sa ajunga in punctul A. Apoi, prin rotirea in jurul acestui punct, datorita egalitatii ∠E = ∠A, ED si EF merg de-a lungul AB si respectiv AC; latura DF trebuie să ocupe o astfel de poziție KL încât ∠AKL = ∠D = ∠B și ∠ALK = ∠F = ∠C, adică astfel încât KL || BC, deoarece se obțin unghiuri corespunzătoare egale.

De aici concluzionăm că ∆DEF poate fi obținut prin construirea secțiunii anterioare și, în consecință, că ∆DEF ~ ∆ABC. Astfel, dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu două unghiuri ale altuia, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

208. Sarcină. Construiți a patra proporțională cu cele trei segmente date.

Să fie date segmentele a, b și c (Diagrama 206); se cere construirea unui astfel de al 4-lea segment x, astfel încât să aibă loc proporția a/b = c/x.

Construim două drepte arbitrare AB și CD care se intersectează în punctul O și lăsăm deoparte din punctul O pe unul dintre ele segmentele primei relații: OA = a, OB = b (este posibil într-una sau în direcții diferite de la punctul O) iar pe cealaltă dreaptă segment cunoscut al celei de-a doua relaţii OC = c. Apoi conectăm cu o linie dreaptă capetele acelor segmente care servesc ca membri anteriori ai proporției noastre (dacă unul dintre ele nu era cunoscut, atunci trebuie să conectăm capetele segmentelor care servesc ca membri ulterioare ai acestei proporții); obținem linia AC care leagă capetele segmentelor a și c. Apoi prin punctul B construim dreapta BD || AC. Apoi învățăm ∆OBD ~ ∆OAC (∠O = ∠O, ca verticală și ∠C = ∠D, ca încrucișare internă, ceea ce este suficient conform paragrafului anterior pentru asemănarea triunghiurilor noastre). Prin urmare, avem (n. 206) proporționalitatea laturilor similare:

OA/OB = OC/OD sau a/b = c/OD,

de aici rezultă că segmentul dorit x = OD.

Dacă s-ar cere să se satisfacă proporțiile x/c = a/b, atunci ar fi necesar să se conecteze punctele B și C și să se construiască AL || BD; atunci segmentul OL ar fi cel dorit.

Observație . Dacă construim un segment x în așa fel încât, de exemplu, proporția x/c = a/b să fie satisfăcută, atunci orice alt segment x" nu va satisface această proporție; dacă x"> x, atunci x"/c > x>c și, prin urmare, x"/c > a/b dacă x"< x, то x"/c < x/c и x"/c < a/b.

209. Alte semne de asemănare ale triunghiurilor. 1) Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altuia și unghiurile dintre ele sunt egale, atunci aceste două triunghiuri sunt similare.

Să avem ∆ABC (Ch. 207); să luăm un segment arbitrar ED și să construim, conform articolului 208, segmentul x astfel încât să aibă loc proporția x/AC = ED/AB. În cele din urmă, construim ∆EDF astfel încât o parte a acestuia să fie segmentul ED, cealaltă parte să fie segmentul EF = x și, în final, ∠E = ∠A. Atunci ∆EDF și ∆ABC sunt legate după cum urmează:

1) ∠E = ∠A și 2) EF/AC = ED/AB.

Sunt aceste triunghiuri asemănătoare?

Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie doar să observăm că putem construi un triunghi egal cu ∆EDF într-un mod diferit, mai simplu. Pentru a face acest lucru, lăsăm deoparte segmentul AK = ED de pe latura AB și construim KL || BC; apoi ∆AKL ~ ∆ABC (Sec. 197) și, în consecință, AL/AC = AK/AB.

Deoarece AK = ED și întrucât există o singură cale (remarca 208) de a satisface proporțiile x/AC = ED/AB, de aici concluzionăm că EF = AL și că ∆AKL = ∆EDF. Prin urmare, ∆EDF poate fi suprapus cu ∆AKL și, prin urmare, ∆EDF ~ ∆ABC. Acest lucru justifică semnul de proporționalitate, prezentat la începutul acestui paragraf.

2) Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

Să avem ∆ABC (Ch. 207); să luăm segmentul ED și, conform articolului 208, să construim alte două segmente x și y astfel încât proporțiile să aibă loc: x/AC = ED/AB și y/BC = ED/AB. Să construim apoi un triunghi EDF (EF = x, DF = y) având în vedere cele trei laturi ED, x și y.

Atunci ∆EDF și ∆ABC sunt legate după cum urmează:

1) EF/AC = ED/AB și 2) DF/BC = ED/AB

sau, pe scurt:

EF/AC = DF/BC = ED/AB.

Sunt aceste triunghiuri asemănătoare?

Pentru a rezolva această problemă, observăm că este posibil să construim un triunghi egal cu ∆EDF într-un mod diferit, mai simplu.

Pentru a face acest lucru, lăsăm deoparte segmentul AK = ED de pe latura AB și construim KL || BC; apoi (Sec. 206) obținem ∆AKL ~ ∆ABC și, în consecință,

AL/AC = KL/BC = AK/AB.

Întrucât segmentul AK = ED și întrucât, conform observației articolului 208, se poate construi un singur segment care să satisfacă proporția x/AC = ED/AB, concluzionăm că AL = EF; mai constatăm că KL = DF, de unde rezultă că ∆EDF = ∆AKL, iar prin suprapunere putem combina ∆EDF cu ∆AKL (uneori, poate fi necesar să întoarcem ∆EDF pe cealaltă parte). Prin urmare, ∆EDF ~ ∆ABC.

Acest lucru justifică semnul declarat.

În mod similar, se pot găsi mai multe semne de asemănare, atât pentru triunghiuri în general, cât și pentru orice triunghiuri speciale. De exemplu, dacă ipotenuza și catetul unui triunghi dreptunghic sunt proporționale cu ipotenuza și catetul altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt similare. Elucidarea valabilității sale se bazează: 1) pe observația articolului 208 și 2) pe semnul de egalitate al triunghiurilor dreptunghiulare (articolul 74, semnul 4).

Observație . În unele dintre următoarele probleme, va trebui să găsiți rapoartele segmentelor măsurate de o unitate. Dacă, de exemplu, segmentul x = 7½ lin. singur iar segmentul y = 3/10 lin. singur (unitatea liniară este aceeași), atunci pentru a găsi raportul dintre segmentul x și segmentul y este necesar să se exprimă segmentul x ca număr, luând segmentul y ca unitate. Dacă y = 3/10 lin. unități, apoi lin. singur = 10/3 * y și, prin urmare

x = (7½ * 10/3)y, de unde x/y = 7½ * 10/3 = 7½: 3/10,

adică, pentru a suprapune raportul segmentelor măsurat de orice unitate, este necesar să găsim raportul numerelor care exprimă segmentele noastre, iar raportul numerelor, așa cum este cunoscut din aritmetică, se găsește prin împărțire.

210. Exerciții.

1. Date 2 triunghiuri dreptunghiulare; unghiul ascuțit al unuia dintre ele = 41°, iar unghiul ascuțit al celuilalt = 49°. Aflați dacă aceste triunghiuri sunt similare.

2. Dați ∆ABC și ∆KLM (Ch. 208) astfel încât ∠B = ∠M și AB = 15 dm, BC = 18 dm, ML = 12 dm. şi MK = 10 dm. Sunt aceste triunghiuri asemănătoare? Dacă sunt similare, atunci calculați latura AC, știind că latura KL = 5½ dm.

3. ∆ABC și ∆KLM sunt date (desenul 208) astfel încât AB = 18 dm., BC = 20 dm., AC = 8 dm., KL = 6 dm., KM = 13½ dm., ML = 15 dm. . Sunt aceste triunghiuri asemănătoare? Cum poți găsi asemănări aici?

4. În triunghiuri ABC și KLM date: AB = 16 dm., AC = 8 dm., BC = 20 dm., KL = 5 dm., MK = 10 dm. și ML = 12 dm. Sunt aceste triunghiuri asemănătoare? Dacă nu sunt similare, atunci cum ar trebui schimbată latura ML, astfel încât triunghiurile să fie asemănătoare?

5. Având în vedere 2 triunghiuri similare, ale căror laturi ale unuia sunt, respectiv, egale. 10, 14 și 16 dm. iar latura mai mare a celeilalte = 20 dm. Găsiți celelalte 2 laturi ale celui de-al doilea triunghi.

6. Dat un triunghi. Folosind metoda articolului 206, construiți un alt triunghi similar cu cel dat, astfel încât fiecare raport dintre latura noului triunghi și latura similară a celui de-al doilea să fie = ¾.
Faceți aceeași construcție dacă raportul de mai sus ar trebui să fie de 2½.

211. Raportul înălțimilor și ariilor triunghiurilor similare. Să avem ∆ABC ~ ∆DEF (Diagrama 209). Prin urmare, avem: ∠A = ∠D, ∠B (∠ABC) = ∠E (∠DEF) și ∠C = ∠F (1) și

AB/DE = AC/DF = BC/EF (2)

Să construim înălțimile BM și EN în triunghiurile noastre, scăzând perpendiculare pe laturi similare; aceste înălțimi le vom numi similare. Atunci ∆ABM ~ ∆DEN, deoarece au ∠A = ∠D pe baza egalităților (1) și ∠AMB = ∠DNE ca unghiuri drepte (BM ⊥ AC și EN ⊥ DF), iar acest lucru este suficient pentru ca triunghiurile noastre să fie similare (207) și din asemănarea lor obținem:

Pe baza egalităților (2), putem continua ultima egalitate:

BM/EN=AB/DE=AC/DF=BC/EF,

adică raportul înălțimilor similare ale triunghiurilor similare este egal cu raportul laturilor similare.

Dintr-o serie de ultimele rapoarte egale, să fim atenți la proporție.

(Raportul înălțimilor similare = raportul bazelor).

212. La paragraful 209 s-a indicat cum se află raportul a două segmente măsurate de aceeași unitate. Același lucru este valabil și pentru găsirea raportului a două arii măsurate cu aceeași unitate pătrată: acest raport se găsește prin împărțirea numerelor care exprimă ariile noastre.

În acest paragraf, și în multe cazuri mai departe, sub notația, de exemplu, AB, vom înțelege numărul care exprimă segmentul AB în orice unități liniare, iar sub denumirea „zona ∆ABC” vom înțelege numărul care exprimă aria ∆ABC în unități pătrate. Când se analizează o întrebare, toate segmentele vor fi considerate măsurate de aceeași unitate liniară și toate zonele - de unitățile pătrate corespunzătoare.

Știm (n. 201) că pentru a măsura aria unui triunghi în unități pătrate, este necesar să se măsoare baza și înălțimea acestuia cu unitatea liniară corespunzătoare și să se ia jumătate din produsul numerelor rezultate.
Acum, folosind notația conform condiției de mai sus, avem pentru ∆ABC și ∆DEF (Fig. 209)
zonă ∆ABC = (AC * BM) / 2 și zonă ∆DEF = (DF * EN) / 2.

Aflați raportul dintre ariile triunghiurilor noastre prin împărțire

adică raportul dintre ariile a două triunghiuri este egal cu produsul dintre raportul bazelor lor și raportul dintre înălțimile lor.

Să luăm acum în considerare că avem de-a face cu triunghiuri similare - considerăm că ∆ABC ~ ∆DEF.

Apoi din paragraful anterior avem:

Înlocuind în formula care exprimă raportul ariilor triunghiurilor, raportul înălțimilor cu raportul bazelor egal cu acesta, obținem:

Mai putem spune că acest raport = (AB/DE) 2 . Asa de,

raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul raportului dintre laturile lor similare.

Acest rezultat este în acord cu cel găsit în § 160 (Exercițiile 5, 6 și 7).

Un exercitiu. Aflați raportul dintre ariile triunghiurilor similare prezentate în paragraful 210 (Exercițiile 2, 3, 5 și 6).

213. Raportul ariilor triunghiurilor cu unghi egal. Fie în ∆ABC și ∆DEF (Ch. 210) avem ∠A = ∠D, iar celelalte unghiuri nu sunt egale. Atunci triunghiurile noastre nu sunt asemănătoare. Noi, la fel ca în paragraful anterior, construim înălțimile BM și EN ale acestor triunghiuri și găsim prin împărțirea raportului dintre ariile lor

BM/EN = AB/DE (2)

Dar acum nu mai este posibil să înlocuiți raportul de înălțimi (BM / EN) cu raportul de baze (AC / DF), deoarece aceste triunghiuri nu sunt similare. Folosind (2) din (1) avem:

adică raportul ariilor a două triunghiuri având un unghi egal este egal cu produsul raporturilor laturilor care alcătuiesc aceste unghiuri.

Un exercitiu. Dat un triunghi; construiește un alt triunghi astfel încât un unghi să rămână neschimbat, iar laturile care alcătuiesc acest unghi să crească una de 2 ori și cealaltă de 3 ori. Cum va crește suprafața sa? Răspunsul, care este ușor de găsit prin calcul, este de dorit să se calculeze geometric.

252. Conceptul de asemănare a triunghiurilor se extinde și la poligoane. Să fie dat poligonul ABCDE (Ch. 245); executați construcția similară articolului 206. Construiți diagonalele AC și AD și, alegând un punct K de pe latura AB între punctele A și B sau în afara segmentului AB, construiți KL || BC până când intersectează diagonala AC, apoi LM || CD până la intersecția cu AD și în final MN || DE până la intersecția cu AE. Apoi obținem poligonul AKLMN, care este legat de ABCD prin următoarele dependențe:

1) Unghiurile unui poligon sunt egale în perechi cu unghiurile altui poligon: împărtășesc unghiul A, ∠K = ∠B (după cum este corespunzător), ∠KLM = ∠BCD, deoarece ∠KLA = ∠BCA și ∠ALM = ∠ ACD, etc.

2) Laturile similare ale acestor poligoane sunt proporționale, adică raportul unei perechi de laturi similare este egal cu raportul celeilalte perechi, egal cu raportul celei de-a treia perechi etc.

Laturile „similare” aici ar trebui înțelese oarecum diferit decât pentru triunghiuri: aici le considerăm laturi similare pe cele care sunt închise între unghiuri egale, de exemplu, BC și KL.

Valabilitatea acestei proporționalități se vede după cum urmează:

∆AKL ~ ∆ABC, prin urmare AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD, deci AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE, deci AM/AD = MN/DE = AN/AE

Vedem că printre primele trei rapoarte egale și printre cele doua trei rapoarte egale există un AL/AC identic; de asemenea ultimele trei relaţii sunt legate de relaţia anterioară AM/AD. Prin urmare, sărind peste rapoartele diagonalelor, obținem:

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

Toate acestea rămân, după cum se vede ușor, valabile și pentru un poligon cu un număr mai mare de laturi decât al nostru.

Dacă transferăm poligonul AKLMN în alt loc din plan, atunci vor rămâne în vigoare cele 2 relații de mai sus ale acestui poligon cu ABCDE; astfel de poligoane se numesc similare. Asa de, Două poligoane se numesc similare dacă unghiurile unuia sunt egale în perechi cu unghiurile celuilalt și dacă laturile lor similare sunt proporționale.

Prin urmare, știm cum să construim un poligon ca acesta. Am construit AKLMN ~ ABCDE.

De asemenea, vedem că în poligoane ABCDE și AKLMN se construiesc diagonale din vârfurile lor respective și se obțin două rânduri de triunghiuri similare: ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD și ∆AMN ~ ∆ADE - aceste triunghiuri sunt situate în mod egal. în ambele poligoane.

Se pune întrebarea dacă ultima proprietate va rămâne valabilă dacă construim un poligon ca cel dat într-un alt mod decât cel folosit aici.

253. Fie poligonul A"B"C"D"E" să fie construit cumva similar cu poligonul ABCDE (cap. 246), adică astfel încât

∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

Întrebarea de la sfârșitul paragrafului anterior este echivalentă cu alta: este posibil să aducem aceste două poligoane într-o poziție astfel încât, de exemplu, punctul A "să coincidă cu A, iar vârfurile rămase să fie situate în perechi pe linii drepte? mergând din acest punct comun, și astfel încât laturile lor similare sau să fie paralele, sau latura unui poligon să fie situată pe latura celuilalt.

Să rezolvăm această problemă. Pentru a face acest lucru, punem deoparte segmentul AK = A"B" pe latura AB din punctul A și, folosind paragraful anterior, construim poligonul AKLMN ~ ABCDE.

Rămâne de văzut dacă poligonul A"B"C"D"E" poate coincide cu AKLMN atunci când este suprapus.

Avem: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.

Comparând aceste egalități cu egalitățile (2) și ținând cont de faptul că AK = A"B", obținem cu ușurință KL = B"C", LM = C"D", etc., adică toate laturile poligoanelor A "B" C"D"E" și AKLMN sunt egale în perechi. Am pus poligonul A"B"C"D"E" pe AKLMN astfel încât A" să intre în A și latura A"B" să coincidă cu AK (am construit AK = A"B"); apoi, datorită egalității unghiurilor B" și K, latura B"C" va merge de-a lungul KL, datorită egalității laturilor KL și B"C", punctul C" va cădea în L, etc.

Deci, A"B"C"D"E" coincide cu AKLMN și, prin urmare, dacă construim diagonalele A"C" și A"D", obținem o serie de triunghiuri similare și egal situate cu ∆ABC, ∆ACD , etc.

Prin urmare, concluzionăm: Dacă construim diagonale din vârfurile corespunzătoare în poligoane similare, obținem 2 rânduri de triunghiuri similare și egal distanțate.

Este ușor de observat validitatea concluziei inverse: dacă, ∆A"B"C" ~ ABC, ∆A"C"D" ~ ∆ACD și ∆A"D"E" ~ ∆ADE, atunci poligonul A "B"C"D "E" ~ poligon ABCDE. Atunci ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM și ∆A"D"E" = ∆AMN, ceea ce implică egalitatea poligoanelor A"B"C"D"E" și AKLMN și, prin urmare, asemănarea lui A"B"C"D"E" și ABCDE.

254. Poziția (două vârfuri corespunzătoare se îmbină într-un punct, vârfurile rămase se află în perechi pe linii care trec prin acest punct, iar laturile similare sunt paralele) în care am reușit să aducem două poligoane similare este un caz special al altuia mai general. poziţia a două poligoane similare.

Să avem KLMN ~ ABCD (Ch. 247). Luați orice punct S și conectați-l la toate vârfurile A, B, C și D ale primului poligon. Vom încerca să construim un poligon egal cu poligonul KLMN, astfel încât vârfurile acestuia să se afle pe liniile SA, SB, SC și SD și laturile să fie paralele cu laturile poligonului ABCD.

Pentru a face acest lucru, lăsăm deoparte segmentul AP = KL pe latura AB (presupunem că KL și AB sunt laturi similare) și construim PB" || AS (punctul P și linia PB" nu sunt date în desen). Prin punctul B", unde SB intersectează PB", construim B"A" || AB. Atunci A"B" = AP = KL, apoi construim B"C" || BC, prin punctul C", unde B"C" se intersectează cu SC, desenați C"D" || CD și punctul D", unde C"D" se intersectează cu SD, conectați-vă cu A". Obțineți poligonul A"B"C „D”, care, după cum vom vedea într-un moment, este similar cu poligonul ABCD.

Din moment ce A"B" || AB, apoi ∆SA"B" ~ ∆SAB, de unde

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

Din moment ce B"C" || BC, apoi ∆SB"C" ~ ∆SBC, de unde

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

Din moment ce C"D" || CD, apoi ∆SC"D" ~ ∆SCD, de unde

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

Din aceasta putem deduce că SA "/SA \u003d SD" / SD și, prin urmare, ∆SA "D" ~ ∆SAD, deoarece cele două laturi ale uneia sunt proporționale cu cele două laturi ale celeilalte, iar unghiurile dintre ele sunt egale. (∠S comun), - A "D " || AD și

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

Din egalitățile relațiilor (1), (2), (3) și (4) obținem cu ușurință:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

În plus, ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B etc., ca unghiuri cu laturile paralele. Prin urmare, A"B"C"D" ~ ABCD.

În plus, este ușor de observat că KLMN = A"B"C"D". Într-adevăr, ∠K = ∠A, dar ∠A = ∠A”, deci ∠K = ∠A”; de asemenea ∠L = ∠B", etc. - unghiurile poligoanelor noastre sunt egale. În plus, din asemănarea lui KLMN ~ ABCD obținem:

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.

Comparând aceste rapoarte egale cu egalitățile (5) și ținând cont că A"B" = KL, găsim: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. Acum este ușor, așa cum am făcut mai sus, să vedem că KLMN, atunci când este suprapus, se va alinia cu A"B"C"D". Prin urmare, am reușit să plasăm aceste poligoane similare într-o astfel de poziție încât vârfurile lor să fie situate în perechi pe liniile care trec prin punctul S și laturile lor similare să fie paralele, ceea ce ne străduiam.

Rețineți, de asemenea, că vârfurile corespunzătoare din poligoane noastre se succed în aceeași direcție (vezi săgețile din apropierea poligoanelor ABCD, KLMN și A"B"C"D") - în sensul acelor de ceasornic.

Dacă vârfurile unui poligon, corespunzătoare vârfurilor succesive ale altuia, s-ar fi urmat în direcția opusă modului în care sunt situate în altul, atunci am fi capabili să ne plasăm poligoanele astfel încât vârfurile corespunzătoare să fie situate pe laturile opuse ale punctul S (vezi Fig. 248).

Punctul S, unde converg liniile care leagă perechile de vârfuri corespunzătoare ale poligoanelor, se numește centru de similitudine; în primul caz (desenul 247), când ambele vârfuri corespunzătoare (de exemplu, A și A ") sunt situate pe aceeași parte a lui S, centrul de similitudine este numit extern, iar în al doilea (desenul 248), când vârfurile sunt situate pe laturile opuse ale punctului S, centrul de asemănare se numește intern... Dacă poligoane similare sunt aranjate astfel încât să aibă un centru de asemănare, atunci se spune că sunt situat în mod similar.

255. Dacă ni se dă un poligon ABCD (Ch. 247 sau 248), - vom numi acest poligon original, - putem, prin alegerea unui punct arbitrar S, să obținem imaginile sale similare cu acesta la orice scară, - acest nume este numit raportul oricărui segment al imaginii față de segmentul corespunzător din original (în poligonul dat). Această relație se mai numește coeficient de similitudine- să o notăm cu k. Până acum, pentru noi, coeficientul de similitudine este raportul dintre latura imaginii și latura originalului, adică.

A "B / AB \u003d B" C / BC \u003d ... \u003d k.

În viitor, vom extinde acest concept la raportul dintre oricare două segmente ale imaginii și originalul care sunt similare unul cu celălalt.

Din egalitatea (1), (2), (3) și (4) din paragraful anterior, avem:

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

adică raportul dintre distanțe de la centrul de similitudine al vârfurilor corespunzătoare ale imaginii și originalul = coeficientul de similitudine.

Sub denumirea figură (plată) ne referim la un set de puncte și linii de planuri. Poligoane ABCD - există o figură. Mai adăugăm un punct (ales la întâmplare) E - obținem o nouă figură formată dintr-un poligon ABCD și un punct E, - găsim imaginea punctului E. Pentru a face acest lucru, construim dreapta SE și trasăm graficul segmentul SE pe acesta, astfel încât SE "/SE \u003d k (un astfel de segment este ușor de construit folosind articolul 214); putem amâna acest segment în direcția SE (Fig. 247); sau în direcția opusă (Fig. 248). Punctul rezultat E „este imaginea punctului E - cu alte cuvinte, punctul E” și E sunt punctele corespunzătoare în cele două figuri similare și asemănătoare ale noastre.

Conectând punctul E, de exemplu, cu B și punctul E" cu B" (B și B" sunt de asemenea puncte corespunzătoare), obținem două segmente corespunzătoare BE și B"E".

Este ușor de observat că ∆SBE ~ ∆SB"E" (deoarece ∠BSE = ∠B"SE și laturile care alcătuiesc aceste unghiuri sunt proporționale: SB"/SB = k și SE"/SE = k, deci SB " / SB = SE "/ SE), rezultă din aceasta:

1) B"E" || BE și 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

adică segmentele care corespund între ele în imagine și originalul 1) sunt paralele între ele și 2) raportul lor este egal cu coeficientul de similitudine .

Aceasta implică posibilitatea următoarei construcții pentru găsirea unui punct corespunzător punctului dat în original, dacă avem deja o pereche de puncte corespunzătoare și se cunoaște centrul de similitudine: să avem o pereche de puncte corespunzătoare B și B " și se cere să găsim un punct corespunzător punctului E, - construim drepte SE și BE și prin B „construim o dreaptă paralelă cu BE, punctul ei de intersecție E” cu SE și dăm punctul dorit.

256. Să construim pentru orice figură, din care un punct este A (Fig. 249), imaginile sale, luând două puncte arbitrare S 1 și S 2 ca centre de similitudine externe și numerele k 1 și k 2 ca coeficienți de similitudine. Fie punctul A să corespundă punctului A" din prima imagine, iar punctul A"" corespunde aceluiași punct din a doua imagine.

Mai adăugăm acestei figuri un punct B situat pe dreapta S 1 S 2 ; atunci acest punct B corespunde în prima imagine punctului B" și în a doua imagine punctului B"", în plus, punctele B" și B"" trebuie să se afle pe aceeași linie S 1 S 2 și liniile AB, A"B " și A""B "" trebuie să fie paralele și orientate în mod egal.

Atunci noi avem:

A"B"/AB = k1 și A""B""/AB = k2.

De aici găsim:

A"B"/A""B"" = k1/k2.

Conectați punctele A" și A"", găsiți punctul de intersecție S 3 liniile A""A" și S 2 S 1 . Apoi, din asemănarea triunghiurilor S 3 A"B" și S 2 A""B"" găsim:

Prin legarea punctelor A" și A"", găsim punctul de intersecție S 3 al dreptelor A""A" și S 2 S 1 . Apoi, din asemănarea triunghiurilor S 3 A"B" și S 2 A""B"" găsim:

S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2,

adică punctul S 2 trebuie să împartă extern segmentul B „B”” într-un raport egal cu numărul dat k 1 / k 2. Știm (n. 217) că există un singur punct care împarte segmentul dat B. „B” în acest sens extern. Dacă luăm orice alt punct C al acestei figuri și îi construim imaginile C" și C"", atunci, conectând punctele C" și C"" și luând punctul de intersecție, îl numim din nou S 3 , dreapta C "C"" cu linia S 1 S 2 , obținem că ∆S 3 B"C" ~ ∆S 3 B""C"" (B""C"" || BC și B"C" || BC, deci B"" C"" || B"C"), de unde găsim din nou că S 3 B"/S 3 B"" = k 1 /k 2 , adică noul punct S 3 coincide cu cel vechi. Prin urmare, S 3 este centrul de similitudine al figurilor (A"B"C"...) și (A""B""C""...) și, în plus, extern, deoarece direcția în care corespondentul punctele se succed în ambele figuri sunt aceleași. Din aceasta concluzionăm că figurile (A"B"C"...) și (A""B""C""...) au și un centru extern de asemanare si este situata pe aceeasi linie cu centrele S 1 si S 2 .

Dacă unul dintre centrele de similitudine S1 este luat extern, iar celălalt S2 este intern (Fig. 250), atunci direcțiile segmentelor corespunzătoare sunt următoarele: A"B" este aceeași cu direcția AB, dar A" "B"" este opus direcției AB, - prin urmare, direcția A ""B"" înapoi la A"B" și S3 este centrul de similitudine intern al figurilor (A"B"...) și (A ""B""...).

Dacă luăm ambii centre de similaritate ca fiind interni (de exemplu, S 2 și S 3 în Fig. 250), atunci este ușor de observat că al treilea centru de similitudine se va dovedi a fi extern. Deci, in general:

Dacă trei figuri sunt situate în mod similar în perechi, atunci trei centre de similitudine sunt situate pe o linie dreaptă și fie toate trei sunt externe, fie două dintre ele sunt interne și unul este extern.

257. .
Să avem două poligoane similare ABCDEF și A"B"C"D"E"F" (cap. 251). Să numim coeficientul de asemănare prin k.

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k etc.,

A"B" = k AB, B"C" = k BC, C"D" = k CD, …

Adăugând aceste egalități în părți și luând factorul k din a doua parte din paranteză, obținem:

A"B" + B"C" + C"D" + ... = k(AB + BC + CD + ...),

(A"B" + B"C" + C"D" ...) / (AB + BC + CD + ...) = k = A"B"/AB,

adică raportul dintre perimetrele triunghiurilor similare este egal cu raportul laturilor similare (sau egal cu coeficientul de asemănare).

Alegem două vârfuri corespunzătoare, de exemplu, A și A", și construim diagonalele care trec prin ele. Atunci știm: 1) (din articolul 253) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A" C „D”, etc. 2) (de la articolul 212) Raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul raportului laturilor lor similare, prin urmare,

mp ∆A"B"C" / pătrat ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2; pătrat ∆A"C"D" / pătrat ∆ACD \u003d (C "D" / CD) 2 \u003d k 2 etc.,

mp ∆A"B"C" = k 2 pl. ∆ABC; pl. ∆A"C"D" = k 2 pl. ∆ACD;
mp ∆A"D"E" = k 2 pătrat ∆ADE ...

Adăugând aceste egalități în părți și punând factorul comun k 2 în a doua parte din paranteză, obținem:

mp ∆A"B"C" + pl. ∆A"C"D" + ∆A"D"E" + ... = k 2 (pl. ∆ABC + pl. ∆ACD + pl. ∆ADE + .. .),

mp A"B"C"D"E"F" / pl. ABCDEF \u003d k 2 \u003d (A "B" / AB) 2,

adică, raportul ariilor poligoanelor similare este egal cu pătratul raportului laturilor lor similare (sau egal cu pătratul coeficientului de similitudine).

258. Două poligoane regulate cu același nume sunt întotdeauna similare. De fapt, unghiurile poligoanelor cu același nume sunt aceleași (n. 248), iar din moment ce toate laturile fiecăruia sunt egale între ele, este evident că raportul dintre orice latură a unuia și orice latură a celuilalt. altul este un număr constant.

Dacă înscriem orice poligon regulat într-un cerc (Fig. 252) și construim tangente la cerc prin punctele mijlocii ale arcelor contractate de laturile sale, atunci obținem un poligon regulat cu același nume descris în jurul acestui cerc. Nu este greu de aflat (l lăsăm pe seama celor care doresc) că cele două poligoane regulate rezultate sunt situate similar, iar centrul cercului servește drept centru extern de similitudine al lor, - extern deoarece fiecare pereche de puncte corespunzătoare (pentru de exemplu, A și A ") sunt situate în aceeași direcție față de centru (dacă poligonul are un număr par de laturi, atunci centrul cercului poate fi considerat și un centru intern de similitudine, este necesar doar să presupunem că , de exemplu, punctul A corespunde punctului A "").

259. Exerciții.

1. Laturile unui pentagon sunt de 12, 14, 10, 8 și, respectiv, 16 dm. Găsiți laturile altui pentagon similar cu primul dacă perimetrul lui = 80 dm.

2. Suma ariilor a două poligoane similare este de 250 de metri pătrați. dm., iar raportul a două laturi similare = ¾. Calculați aria fiecăruia dintre ele.

3. Să se arate că dacă într-un cerc este înscris un poligon regulat cu un număr impar de laturi și la vârfurile acestuia se construiesc tangente la cerc, atunci se va obține poligonul circumscris, situat în mod similar cu cel înscris - centrul cercului servește drept centru intern al similitudinii.

4. dat un triunghi; construiți un alt triunghi, situat similar cu primul, astfel încât centrul de greutate al primului să servească drept centru de similitudine intern și ca coeficientul de asemănare = ½. Utilizați aceasta pentru a afla cum sunt situate punctele de înălțime, centrul de greutate și centrul cercului circumscris acestui triunghi.

5. În acest triunghi este înscris un pătrat.

Fie ABC triunghiul dat (cap. 253) și DEFK pătratul dorit. Să construim un alt pătrat MNPQ, astfel încât o latură a lui MQ să se afle pe latura AC a triunghiului și punctul N să se afle pe latura AB. Este ușor de observat că pătratul MNPQ este situat în mod similar cu pătratul dorit DEFK și centrul lor exterior de similitudine este punctul A; deci punctul F se află pe dreapta AP. După găsirea punctului F, pătratul dorit este ușor de construit.

6. Având în vedere un unghi și un punct în interiorul acestuia. Găsiți un punct pe o parte a unghiului care este echidistant de punctul dat și de cealaltă parte.

Problema este rezolvată în același mod.

7. Construiți un triunghi în funcție de înălțimile sale.

Este ușor de obținut, numind laturile triunghiului prin a, b și c și înălțimile corespunzătoare prin h a , h b și h c , următoarea relație:

ah a = bh b = ch c , de unde a: b = h b: h a și b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

Este ușor să construim un segment x = (h b h a) / h c (x / h a = h b / h c - construcția celei de-a 4-a proporționale), după care construim un triunghi cu laturile h b , h a și x. Acest triunghi este similar cu cel dorit, deoarece a: h: c = h b: h a: x; rămâne să construim un triunghi asemănător celui tocmai construit astfel încât una dintre înălțimile sale să fie egală cu cea dată.

CAPITOLUL VIII.

PROPORȚIONALITATEA LINIILOR. SIMILILARITATE DE FIGURE.

§ 93. CONSTRUIREA FIGURILOR SIMILARE.

1. Construcția triunghiurilor similare.

Știm deja că pentru a construi un triunghi asemănător celui dat, este suficient să trasezi o dreaptă paralelă cu latura triunghiului dintr-un punct luat pe latura triunghiului. Obținem un triunghi similar cu acesta (Fig. 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Construirea de poligoane similare.

Pentru a construi un poligon asemănător cu cel dat, putem proceda astfel: împărțim poligonul dat în triunghiuri prin diagonale trase din oricare dintre vârfurile sale (Fig. 383). Pe o parte a poligonului dat ABCDE, de exemplu, pe latura AE, luăm un punct E" și tragem o linie paralelă cu latura ED până când intersectează diagonala AD, de exemplu, în punctul D".

Din punctul D" trageți o linie paralelă cu latura DC până când intersectează diagonala AC în punctul C". Din punctul C" trageți o dreaptă paralelă cu latura CB până când aceasta se intersectează cu latura AB în punctul B". Poligonul rezultat AB"C"D"E este similar cu poligonul dat ABCDE.

Valabilitatea acestei afirmații este dovedită independent.

Dacă se cere construirea unui poligon similar cu cel dat cu coeficientul de asemănare specificat, atunci punctul de plecare E" este luat pe latura AE sau, respectiv, continuarea acestuia, conform coeficientului de asemănare dat.

3. Filmarea unui plan al terenului.

a) Filmarea planului se realizează cu ajutorul unui dispozitiv special numit pahar(dev. 384).

Menzula este o placă pătrată așezată pe un trepied. La desenarea unui plan, placa este adusă într-o poziție orizontală, care este verificată cu ajutorul unui nivel. Pentru a desena linii drepte în direcția dorită, se folosește o alidade echipată cu dioptrii. Fiecare dioptrie are o fantă în care părul este întins, ceea ce vă permite să direcționați cu precizie alidadea în direcția corectă. O foaie de hârtie albă este fixată de scară cu butoane, pe care este desenat planul.

Pentru a scoate planul din terenul ABCDE, se alege un punct O în interiorul parcelei astfel încât toate vârfurile terenului să fie vizibile din acesta (Fig. 385).

Cu ajutorul unei furculițe cu plumb (Fig. 386), scara se setează astfel încât punctul O, marcat pe o coală de hârtie, să cadă împotriva punctului O ales pe șantier.

Apoi, din punctul O pe o coală de hârtie atașată de pahar, se desenează raze cu o alidade în direcții către punctele A, B, C, D și E; măsura distanțe
OA, OB, OS, OD și OE și se așează pe aceste raze în segmentele de scară acceptate
OA", OB", OS, OD" și OE".

Punctele A, B, C, D și E sunt conectate. Rezultă poligonul A „B” C „D” E, care este un plan al terenului dat la scara acceptată.

Metoda de fotografiere la scară descrisă de noi se numește polară.

Există și alte modalități de a fotografia un avion cu o scară, despre care puteți citi în ghidurile speciale pentru fotografierea la scară.

Pe fiecare plan se dă de obicei o scară prin care se pot stabili dimensiunile reale ale zonei îndepărtate, precum și aria acesteia.

Planul indică și direcția punctelor cardinale.

Munca practica.

a) Realizați cea mai simplă machetă la scară în atelierul școlii și folosiți-o pentru a realiza un plan al unui mic teren.

b) Supravegherea planului terenului se poate face cu ajutorul unui astrolab.

Să presupunem că este necesară eliminarea planului terenului ABCDE. Să luăm unul dintre vârfurile secțiunii, de exemplu A, drept inițial și să folosim astrolabul pentru a măsura unghiurile la vârful A, adică.
/ 1, / 2, / 3 (dev. 387).

Apoi, folosind un lanț de măsurare, măsurăm distanțele AE, AD, AC și AB. În funcție de dimensiunea parcelei și de dimensiunea foii de hârtie pe care este aplicat planul, se selectează scara pentru desenarea planului.

În punctul A, care este luat ca vârf al poligonului, construim trei unghiuri, respectiv egale cu / 1, / 2 și / 3; apoi, pe scara selectată pe părțile laterale ale acestor colțuri de la punctul A „înlăturați segmentele A „E”, A „D”, A „C” și A „B”. Conectarea punctelor A „și E”, E "și D", D "și C, C" și B", B" și A", obținem un poligon A"B"C"D"E", similar cu poligonul ABCDE. Acesta va fi un plan de acest teren, desenat la scara aleasă.

Când se rezolvă multe probleme de construcție, se folosește metoda similarității, a cărei esență este următoarea: mai întâi, se construiește o cifră similară cu cea dată, apoi această cifră crește (descrește) în raportul necesar (adică, o cifră similară este construit) care satisface conditia problemei.

Procesul de învățare a aplicării similitudinii la rezolvarea problemelor de construcție ar trebui împărțit în patru etape: pregătitoare, introductivă, formarea abilităților, îmbunătățirea abilităților. Fiecare etapă are propriul său scop didactic, care este atins atunci când elevii îndeplinesc sarcini special concepute.

Scopul didactic al etapei pregătitoare este formarea deprinderilor elevilor: să evidențieze datele care determină forma figurii, multe perechi de figuri asemănătoare între ele; construiți o figură în funcție de datele care definesc forma; trece de la figura construită la cea dorită.

După studierea primului semn de asemănare a triunghiurilor, putem propune următoarea mulțime sarcinile:

Construiți un triunghi cu două colțuri. Câte soluții are problema? Ce elemente determină forma triunghiurilor construite?

Numiți triunghiuri similare în Figura 35.

Se cunosc următoarele elemente ale unui triunghi: a) unghiuri de 75 şi 25; b) inaltime 1,5 cm; c) unghiuri de 75 și 25, înălțimea 1,5 cm. Care dintre aceste date determină singura cifră din fig.

Ce unghiuri determină forma triunghiurilor din figura 35?

Va fi posibilă determinarea dimensiunilor unuia dintre triunghiurile din fig. 35 dacă se cunosc următoarele date: a) unghiurile de la baza triunghiului; b) înălțimea triunghiului; c) lateral și colțuri la bază?

Triunghiurile ABC și ABC sunt similare în Figura 36 dacă ACAC? dacă sunt asemănătoare, care este coeficientul lor de asemănare?

Setul de sarcini prezentate elevilor după studierea semnelor 2 și 3 ale asemănării triunghiurilor sunt compilate într-un mod similar. Cu toate acestea, la trecerea de la această trăsătură la următoarea, întrebările devin ceva mai complicate și anume: se modifică locația triunghiurilor în figuri, îndepărtându-se de standard, setul elementului care definește singura figură variază. Sarcini, de exemplu, ar putea fi:

1. Triunghiurile ABC și ABC sunt similare dacă:

a) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, B=60º;

b) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, H=30º;

c) AB=3cm, BC=5cm, CA=7cm, AB=4,5cm, BC=7,5cm, CA=10,5cm;

d) AB=1,7cm, BC=3cm, SA=4,2cm, AB=34cm, BC=60cm, SA=84cm.

2. Într-un triunghi ABC cu unghi ascuțit C se desenează înălțimile AE și BD (Fig. 37). Demonstrați că ABC este similar cu EDC.

3. Demonstrați că perimetrele triunghiurilor similare sunt legate ca laturi corespunzătoare.

Scopul didactic al etapei introductive este de a explica elevilor structura procesului de construcție prin metoda similarității.

Explicația începe cu problema.

Sarcină. Construiți un triunghi având două unghiuri date și și o bisectoare de lungime d desenată din vârful celui de-al treilea unghi.

Analizând sarcina cu elevii, profesorul oferă sarcini - întrebări, răspunsurile la care sunt consemnate pe scurt pe tablă. Întrebările ar putea fi:

1. Ce date determină forma triunghiului cerut?

2. Ce date determină dimensiunile triunghiului dorit?

3. Câte triunghiuri pot fi construite cu două colțuri? Care va fi forma de construcție a tuturor triunghiurilor construite?

4. Ce segment trebuie desenat într-un triunghi asemănător cu cel dorit?

5. Cum se construiește triunghiul necesar?

Răspunsurile la întrebări sunt însoțite de un desen cu mână liberă pe tablă (Fig. 38).

a) ABC: A=, B=;

b) construiți bisectoarea unghiului C în triunghiul ABC,

c) construct СN=d, NCD;

d) trageți o dreaptă prin punctul N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - cel dorit: A=, B= (deoarece ABC ABC prin 1 caracteristică) și CN=d prin construcție. Scopul didactic al etapei, care formează capacitatea de a rezolva probleme de tipul luat în considerare, este deja clar din denumirea ei. Principala formă de activitate în această etapă este căutarea individuală. Se încheie cu o conversație rezumativă.

Iată câteva exemple de sarcini care pot fi propuse în această etapă.

Sarcină. În interiorul unghiului AOB este dat un punct F. Construiți un punct M pe latura OA, la fel de distanță de F și de latura OB

Decizie.

1. Analiza. Să ne întoarcem la Figura 39. Să fie construit punctul M, apoi MF=MP. Aceasta înseamnă că punctul dorit M este centrul unui cerc de rază MF cu centrul M, atingând latura OB în punctul P.

Dacă luăm un punct arbitrar M pe OA și aruncăm MP pe CB și găsim F intersecția cercului cu centrul M al razei MP cu linia OF, atunci MFP va fi similar cu MFP. Din aceasta rezultă construcția necesară.

2. Construcție. Tragem OF, luăm un punct arbitrar M pe CA și coborâm MP la CB. Desenăm un cerc de rază MP centrat în punctul M. Fie F punctul de intersecție al acestui cerc cu OF. Desenăm FM și apoi tragem o linie dreaptă prin punctul FFM. Punctul M de intersecție a acestei drepte cu OA este cel necesar.

3. Dovada. Este evident din analiza efectuată.

4. Cercetare. Problema are 2 solutii. Aceasta rezultă din faptul că cercul se intersectează cu OF în 2 puncte.

Sarcină. Construiți un triunghi cu 2 colțuri și un perimetru.

Decizie.

1. Analiza. Fie și unghiuri date și P perimetrul triunghiului dorit (Fig. 40). Să presupunem că triunghiul dorit este construit, atunci dacă considerăm orice ABC similar celui dorit, raportul dintre perimetrul P ABC și perimetrul P ABC este egal cu raportul laturilor AC și AC.

2. Construcție. Să construim un ABC asemănător cu cel dorit. Pe raza AB, lăsați deoparte segmentele AD=P și AD=P, apoi conectați punctele D și C și trasați o linie DC prin punctul D. Fie C punctul de intersecție al dreptei cu raza AC. Desenați o dreaptă CB prin punctul C și notați punctul de intersecție al acestei drepte cu AD, atunci ABC este cel necesar.

3. Dovada. Evident, ACD este similar cu ACD, prin urmare. Raportul de aspect este egal cu raportul dintre perimetrele ABC și ABC similare, prin urmare perimetrul ABC \u003d P, prin urmare, ABC este cel dorit.

4. Cercetare. Deoarece suma oricăror două unghiuri ale unui triunghi<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Sarcină. Având în vedere AOB și punctul M, situat în regiunea interioară a acestui colț. Construiți un cerc care trece prin punctul A și atingând laturile unghiului AOB.

Decizie.

1. Analiza. Fie dat AOB și punctul M, situat în regiunea interioară a colțului (Fig. 41).

Să desenăm un alt cerc atingând părțile laterale ale AOB. Fie M punctul de intersecție al cercului cu dreapta OM și considerăm OMN și OMN (N și N centrele cercului și).

Aceste triunghiuri sunt similare în două unghiuri, astfel încât construcția cercului dorit se poate face după cum urmează:

2. Construcție. Deoarece centrul cercului dorit se află pe bisectoarea AOB, desenăm bisectoarea unghiului. În plus, luăm aici punctul N și construim un cerc cu centrul N care atinge AOB. Apoi desenăm dreapta SM și notăm cu M - punctul de intersecție al dreptei cu cercul (există două astfel de puncte - M și M - luăm unul dintre ele). Desenăm dreapta MN și linia ei prin punctul M. Atunci N este intersecția dreptei cu bisectoarea unghiului și este centrul cercului dorit, iar raza lui este egală cu MN. Hai să o facem să treacă.

3. Dovada. Prin construcție, cercul este similar, O este centrul asemănării. Acest lucru rezultă din asemănarea triunghiurilor OMN și OMN, prin urmare, deoarece cercul atinge laturile unghiului, atunci cercul va atinge și laturile unghiului.

4. Cercetare. Problema are două soluții, pentru că OM se intersectează cu cercul în două puncte M și M, fiecare dintre ele va corespunde propriului cerc care trece prin punctul M și atinge laturile lui AOB.

Scopul didactic al etapei care îmbunătățește capacitatea de a rezolva probleme de tipul considerat mai sus este transferul deprinderii formate la probleme mai complexe, în special la următoarele situații: figura dorită ocupă o anumită poziție în raport cu punctele date sau linii, în timp ce eliminarea uneia dintre condițiile problemei duce la un sistem de figuri similare sau omotetice. Să dăm un exemplu de astfel de sarcină.

Sarcină. Înscrieți un pătrat într-un triunghi dat, astfel încât două dintre vârfurile sale să se afle pe o parte a triunghiului, iar celelalte două să se afle pe celelalte două laturi.

Sarcinile corespunzătoare obiectivelor acestei etape sunt excluse din sarcinile de nivel obligatoriu. Prin urmare, acestea sunt oferite doar studenților cu performanțe bune. În această etapă, atenția principală este acordată activității de căutare individuală a elevilor.

De regulă, două triunghiuri sunt considerate similare dacă au aceeași formă, chiar dacă sunt de dimensiuni diferite, rotite sau chiar inversate.

Reprezentarea matematică a două triunghiuri similare A 1 B 1 C 1 și A 2 B 2 C 2 prezentate în figură este scrisă după cum urmează:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Două triunghiuri sunt similare dacă:

1. Fiecare unghi al unui triunghi este egal cu unghiul corespunzător al altui triunghi:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2și ∠C1 = ∠C2

2. Raporturile dintre laturile unui triunghi și laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relații două părți a unui triunghi la laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele și în același timp
unghiurile dintre aceste laturi sunt egale:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ și $\angle A_1 = \angle A_2$
sau
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ și $\angle B_1 = \angle B_2$
sau
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ și $\angle C_1 = \angle C_2$

Triunghiuri similare nu trebuie confundate cu triunghiuri egale. Triunghiurile congruente au laturile corespunzătoare lungimii. Deci pentru triunghiuri egale:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

De aici rezultă că toate triunghiurile egale sunt similare. Cu toate acestea, nu toate triunghiurile similare sunt egale.

Deși notația de mai sus arată că pentru a afla dacă două triunghiuri sunt similare sau nu, trebuie să cunoaștem valorile celor trei unghiuri sau lungimile celor trei laturi ale fiecărui triunghi, pentru a rezolva probleme cu triunghiuri similare, este suficient să cunoașteți oricare trei valori din cele de mai sus pentru fiecare triunghi. Aceste valori pot fi în diferite combinații:

1) trei unghiuri ale fiecărui triunghi (lungimile laturilor triunghiurilor nu trebuie cunoscute).

Sau cel puțin 2 unghiuri ale unui triunghi trebuie să fie egale cu 2 unghiuri ale altui triunghi.
Deoarece dacă două unghiuri sunt egale, atunci și al treilea unghi va fi egal.(Valoarea celui de-al treilea unghi este 180 - unghi1 - unghi2)

2) lungimile laturilor fiecărui triunghi (nu este nevoie să cunoaștem unghiurile);

3) lungimile celor două laturi și unghiul dintre ele.

În continuare, luăm în considerare rezolvarea unor probleme cu triunghiuri similare. În primul rând, vom analiza problemele care pot fi rezolvate folosind direct regulile de mai sus, apoi vom discuta câteva probleme practice care pot fi rezolvate folosind metoda triunghiurilor similare.

Probleme practice cu triunghiuri similare

Exemplul #1: Arătați că cele două triunghiuri din figura de mai jos sunt similare.

Decizie:
Deoarece lungimile laturilor ambelor triunghiuri sunt cunoscute, a doua regulă poate fi aplicată aici:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemplul #2: Arătați că două triunghiuri date sunt similare și găsiți lungimile laturilor PQși relatii cu publicul.

Decizie:
∠A = ∠Pși ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(deoarece ∠C = 180 - ∠A - ∠B și ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

De aici rezultă că triunghiurile ∆ABC și ∆PQR sunt similare. Prin urmare:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ și
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemplul #3: Determinați lungimea ABîn acest triunghi.

Decizie:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDși ∠A comun => triunghiuri ΔABCși ΔADE Sunt asemănătoare.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\time AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemplul #4: Determinați lungimea AD(x) figura geometrică din figură.

Triunghiurile ∆ABC și ∆CDE sunt similare deoarece AB || DE și au un colț superior comun C.
Vedem că un triunghi este o versiune la scară a celuilalt. Cu toate acestea, trebuie să o demonstrăm matematic.

AB || DE, CD || AC și BC || eu
∠BAC = ∠EDC și ∠ABC = ∠DEC

Pe baza celor de mai sus și ținând cont de prezența unui unghi comun C, putem afirma că triunghiurile ∆ABC și ∆CDE sunt similare.

Prin urmare:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemple practice

Exemplul #5: Fabrica folosește o bandă transportoare înclinată pentru a transporta produse de la nivelul 1 la nivelul 2, care se află la 3 metri deasupra nivelului 1, așa cum se arată în figură. Transportorul înclinat este deservit de la un capăt la nivelul 1 și de la celălalt capăt la o stație de lucru situată la o distanță de 8 metri de punctul de operare de la nivelul 1.

Fabrica vrea să modernizeze transportorul pentru a accesa noul nivel, care se află la 9 metri deasupra nivelului 1, menținând în același timp unghiul transportorului.

Determinați distanța la care trebuie să configurați o nouă stație de lucru pentru a vă asigura că transportorul funcționează la noul său capăt la nivelul 2. Calculați, de asemenea, distanța suplimentară pe care o va parcurge produsul atunci când trece la un nou nivel.

Decizie:

Mai întâi, să etichetăm fiecare punct de intersecție cu o anumită literă, așa cum se arată în figură.

Pe baza raționamentului dat mai sus în exemplele anterioare, putem concluziona că triunghiurile ∆ABC și ∆ADE sunt similare. Prin urmare,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Astfel, noul punct trebuie instalat la o distanta de 16 metri de punctul existent.

Și deoarece structura este alcătuită din triunghiuri dreptunghiulare, putem calcula distanța de călătorie a produsului după cum urmează:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

În mod similar, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
care este distanța pe care produsul o parcurge în momentul în care atinge nivelul existent.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Aceasta este distanța suplimentară pe care trebuie să o parcurgă un produs pentru a atinge un nou nivel.

Exemplul #6: Steve vrea să-și viziteze prietenul care s-a mutat recent într-o casă nouă. Harta rutieră pentru a ajunge la Steve și casa prietenului său, împreună cu distanțele cunoscute de Steve, este prezentată în figură. Ajută-l pe Steve să ajungă la casa prietenului său în cel mai scurt drum.

Decizie:

Foaia de parcurs poate fi reprezentată geometric în următoarea formă, așa cum se arată în figură.

Vedem că triunghiurile ∆ABC și ∆CDE sunt similare, prin urmare:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Declarația de sarcină precizează că:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km și DE = 5 km

Folosind aceste informații, putem calcula următoarele distanțe:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve poate ajunge la casa prietenului său folosind următoarele rute:

A -> B -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Prin urmare, ruta #3 este cea mai scurtă și poate fi oferită lui Steve.

Exemplul 7:
Trisha vrea să măsoare înălțimea casei, dar nu are instrumentele potrivite. Ea a observat că în fața casei creștea un copac și a decis să-și folosească ingeniozitatea și cunoștințele de geometrie dobândite la școală pentru a determina înălțimea clădirii. Ea a măsurat distanța de la copac până la casă, rezultatul a fost de 30 m. Apoi a stat în fața copacului și a început să se îndepărteze până când marginea de sus a clădirii a fost vizibilă deasupra vârfului copacului. Trisha a marcat locul și a măsurat distanța de la acesta până la copac. Aceasta distanta a fost de 5 m.

Înălțimea copacului este de 2,8 m, iar înălțimea ochilor lui Trisha este de 1,6 m. Ajută-l pe Trisha să determine înălțimea clădirii.

Decizie:

Reprezentarea geometrică a problemei este prezentată în figură.

Mai întâi folosim asemănarea triunghiurilor ∆ABC și ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \time AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Apoi putem folosi similaritatea triunghiurilor ∆ACB și ∆AFG sau ∆ADE și ∆AFG. Să alegem prima variantă.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0,16) = 10 m$