Sistemul de coordonate dreptunghiular pe plan este dat de două drepte reciproc perpendiculare. Liniile drepte se numesc axe de coordonate (sau axe de coordonate). Punctul de intersecție al acestor drepte se numește origine și este notat cu litera O.
De obicei, una dintre linii este orizontală, cealaltă verticală. Linia orizontală este desemnată ca axa x (sau Ox) și se numește axa absciselor, cea verticală este axa y (Oy), se numește axa y. Întregul sistem de coordonate este notat cu xOy.
Punctul O împarte fiecare dintre axe în două semiaxe, dintre care una este considerată pozitivă (se notează cu o săgeată), cealaltă este considerată negativă.
Fiecărui punct F al planului i se atribuie o pereche de numere (x; y) - coordonatele sale.
Coordonata x se numește abscisă. Este egal cu Ox luat cu semnul corespunzător.
Coordonata y se numește ordonată și este egală cu distanța de la punctul F la axa Oy (cu semnul corespunzător).
Distanțele dintre osii sunt de obicei (dar nu întotdeauna) măsurate în aceeași unitate de lungime.
Punctele din dreapta axei y au abscise pozitive. Pentru punctele care se află la stânga axei y, abscisele sunt negative. Pentru orice punct situat pe axa Oy, coordonata sa x este egală cu zero.
Punctele cu ordonată pozitivă se află deasupra axei x, cele cu ordonată negativă se află mai jos. Dacă un punct se află pe axa x, coordonata lui y este zero.
Axele de coordonate împart planul în patru părți, care sunt numite sferturi de coordonate (sau unghiuri de coordonate sau cadrane).
1 sfert de coordonate situat în colțul din dreapta sus al planului de coordonate xOy. Ambele coordonate ale punctelor situate în trimestrul I sunt pozitive.
Trecerea de la un sfert la altul se realizează în sens invers acelor de ceasornic.
al 2-lea trimestru situat în colțul din stânga sus. Punctele situate în al doilea trimestru au o abscisă negativă și o ordonată pozitivă.
al 3-lea trimestru se află în cadranul din stânga jos al planului xOy. Ambele coordonate ale punctelor aparținând unghiului de coordonate III sunt negative.
al 4-lea trimestru de coordonate este colțul din dreapta jos al planului de coordonate. Orice punct din trimestrul IV are o primă coordonată pozitivă și una negativă a doua.
Un exemplu de locație a punctelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular:
Matematica este o știință destul de complexă. Studiind-o, nu trebuie doar să rezolvi exemple și probleme, ci și să lucrezi cu diverse figuri și chiar cu avioane. Unul dintre cele mai folosite în matematică este sistemul de coordonate din avion. Copiii au fost învățați cum să lucreze corect cu acesta de mai bine de un an. Prin urmare, este important să știți ce este și cum să lucrați corect cu el.
Să ne dăm seama ce este acest sistem, ce acțiuni puteți efectua cu el și, de asemenea, să aflăm principalele sale caracteristici și caracteristici.
Definirea conceptului
Un plan de coordonate este un plan pe care este definit un anumit sistem de coordonate. Un astfel de plan este definit de două drepte care se intersectează în unghi drept. Punctul de intersecție al acestor drepte este originea coordonatelor. Fiecare punct din planul de coordonate este dat de o pereche de numere, care se numesc coordonate.
În cursul școlii de matematică, elevii trebuie să lucreze destul de strâns cu sistemul de coordonate - să construiască figuri și puncte pe el, să stabilească cărui plan îi aparține această sau acea coordonată și, de asemenea, să determine coordonatele punctului și să le scrieți sau să le denumiți. Prin urmare, să vorbim mai detaliat despre toate caracteristicile coordonatelor. Dar mai întâi, să atingem istoria creației și apoi vom vorbi despre cum să lucrăm pe planul de coordonate.
Referință istorică
Ideile despre crearea unui sistem de coordonate erau pe vremea lui Ptolemeu. Chiar și atunci, astronomii și matematicienii se gândeau cum să învețe cum să stabilească poziția unui punct pe un plan. Din nefericire, la acea vreme nu exista un sistem de coordonate cunoscut de noi, iar oamenii de știință au fost nevoiți să folosească alte sisteme.
Inițial, ei stabilesc puncte prin specificarea latitudinii și longitudinii. Multă vreme a fost una dintre cele mai utilizate modalități de a mapa cutare sau cutare informații. Dar în 1637, Rene Descartes și-a creat propriul sistem de coordonate, numit ulterior „cartezian”.
Deja la sfârșitul secolului al XVII-lea. conceptul de „plan de coordonate” a devenit utilizat pe scară largă în lumea matematicii. În ciuda faptului că au trecut câteva secole de la crearea acestui sistem, acesta este încă utilizat pe scară largă în matematică și chiar în viață.
Exemple de planuri de coordonate
Înainte de a vorbi despre teorie, vom oferi câteva exemple ilustrative ale planului de coordonate, astfel încât să vă puteți imagina. Sistemul de coordonate este folosit în principal în șah. Pe tablă, fiecare pătrat are propriile coordonate - o coordonată de literă, a doua - digitală. Cu ajutorul acestuia, puteți determina poziția unei anumite piese pe tablă.
Al doilea exemplu cel mai izbitor este îndrăgitul joc „Battleship”. Amintiți-vă cum, atunci când jucați, numiți o coordonată, de exemplu, B3, indicând astfel exact unde țintiți. În același timp, atunci când plasați navele, setați puncte pe planul de coordonate.
Acest sistem de coordonate este utilizat pe scară largă nu numai în matematică, jocuri de logică, ci și în afaceri militare, astronomie, fizică și multe alte științe.
Axele de coordonate
După cum sa menționat deja, în sistemul de coordonate se disting două axe. Să vorbim puțin despre ele, deoarece au o importanță considerabilă.
Prima axă - abscisa - este orizontală. Se notează ca ( Bou). A doua axă este ordonata, care trece vertical prin punctul de referință și se notează ca ( Oi). Aceste două axe formează sistemul de coordonate, împărțind planul în patru sferturi. Originea este situată în punctul de intersecție al acestor două axe și ia valoarea 0 . Numai dacă planul este format din două axe care se intersectează perpendicular și au un punct de referință, este un plan de coordonate.
De asemenea, rețineți că fiecare dintre axe are propria sa direcție. De obicei, la construirea unui sistem de coordonate, se obișnuiește să se indice direcția axei sub forma unei săgeți. În plus, la construirea planului de coordonate, fiecare dintre axe este semnată.
sferturi
Acum să spunem câteva cuvinte despre un astfel de concept precum sferturi din planul de coordonate. Avionul este împărțit de două axe în patru sferturi. Fiecare dintre ele are propriul său număr, în timp ce numerotarea avioanelor este în sens invers acelor de ceasornic.
Fiecare dintre sferturi are propriile sale caracteristici. Deci, în primul trimestru, abscisa și ordonata sunt pozitive, în al doilea trimestru, abscisa este negativă, ordonata este pozitivă, în al treilea, atât abscisa cât și ordonata sunt negative, în al patrulea, abscisa este pozitiv, iar ordonata este negativă.
Reținând aceste caracteristici, puteți determina cu ușurință cărui sfert îi aparține un anumit punct. În plus, aceste informații vă pot fi utile dacă trebuie să faceți calcule folosind sistemul cartezian.
Lucrul cu planul de coordonate
Când ne-am dat seama de conceptul unui avion și am vorbit despre sferturile sale, putem trece la o problemă precum lucrul cu acest sistem și, de asemenea, vorbim despre cum să punem puncte, coordonatele figurilor pe el. Pe planul de coordonate, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea la prima vedere.
În primul rând, sistemul în sine este construit, i se aplică toate denumirile importante. Apoi se lucrează direct cu puncte sau cifre. În acest caz, chiar și atunci când se construiesc figuri, punctele sunt aplicate mai întâi pe plan, iar apoi figurile sunt deja desenate.
Reguli pentru construirea unui avion
Dacă decideți să începeți să marcați forme și puncte pe hârtie, veți avea nevoie de un plan de coordonate. Pe ea sunt trasate coordonatele punctelor. Pentru a construi un plan de coordonate, aveți nevoie doar de o riglă și de un pix sau creion. În primul rând, se desenează abscisa orizontală, apoi verticala - ordonată. Este important să ne amintim că axele se intersectează în unghi drept.
Următorul element obligatoriu este marcarea. Unitățile-segmente sunt marcate și semnate pe fiecare dintre axe în ambele direcții. Acest lucru se face astfel încât să puteți lucra apoi cu avionul cu confort maxim.
Marcarea unui punct
Acum să vorbim despre cum să trasăm coordonatele punctelor pe planul de coordonate. Acestea sunt elementele de bază pe care trebuie să le cunoașteți pentru a plasa cu succes o varietate de forme în plan și chiar pentru a marca ecuații.
Când construiți puncte, ar trebui să vă amintiți cum coordonatele lor sunt înregistrate corect. Deci, de obicei, stabilind un punct, două numere sunt scrise între paranteze. Prima cifră indică coordonatele punctului de-a lungul axei absciselor, a doua - de-a lungul axei ordonatelor.
Punctul ar trebui construit în acest fel. Marcați mai întâi pe axă Bou punct dat, apoi marcați un punct pe axă Oi. Apoi, trageți linii imaginare din aceste denumiri și găsiți locul intersecției lor - acesta va fi punctul dat.
Tot ce trebuie să faci este să o marchezi și să o semnezi. După cum puteți vedea, totul este destul de simplu și nu necesită abilități speciale.
Plasarea unei forme
Acum să trecem la o astfel de întrebare precum construcția figurilor pe planul de coordonate. Pentru a construi orice figură pe planul de coordonate, ar trebui să știți cum să plasați puncte pe ea. Dacă știi cum să faci asta, atunci plasarea unei figurine într-un avion nu este atât de dificilă.
În primul rând, veți avea nevoie de coordonatele punctelor figurii. Pe ele le vom aplica pe cele alese pe care le-ați ales sistemului nostru de coordonate. Să luăm în considerare desenarea unui dreptunghi, triunghi și cerc.
Să începem cu un dreptunghi. Aplicarea acestuia este destul de ușoară. Mai întâi, patru puncte sunt aplicate planului, indicând colțurile dreptunghiului. Apoi, toate punctele sunt conectate secvenţial între ele.
Desenarea unui triunghi nu este diferită. Singurul lucru este că are trei colțuri, ceea ce înseamnă că trei puncte sunt aplicate planului, indicând vârfurile acestuia.
În ceea ce privește cercul, aici ar trebui să cunoașteți coordonatele a două puncte. Primul punct este centrul cercului, al doilea este punctul care indică raza acestuia. Aceste două puncte sunt reprezentate pe un plan. Apoi se ia o busolă, se măsoară distanța dintre două puncte. Punctul busolei este plasat într-un punct care indică centrul și este descris un cerc.
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat aici, principalul lucru este că există întotdeauna o riglă și o busolă la îndemână.
Acum știți cum să trasați coordonatele formei. Pe planul de coordonate, acest lucru nu este atât de greu de făcut, așa cum ar părea la prima vedere.
constatări
Așadar, am considerat împreună cu tine unul dintre cele mai interesante și de bază concepte de matematică cu care trebuie să se confrunte fiecare elev.
Am aflat că planul de coordonate este planul format prin intersecția a două axe. Cu ajutorul acestuia, puteți seta coordonatele punctelor, puteți pune forme pe el. Avionul este împărțit în sferturi, fiecare având propriile caracteristici.
Principala abilitate care ar trebui dezvoltată atunci când lucrați cu planul de coordonate este abilitatea de a reprezenta corect punctele date pe acesta. Pentru a face acest lucru, ar trebui să cunoașteți locația corectă a axelor, caracteristicile sferturilor, precum și regulile prin care sunt stabilite coordonatele punctelor.
Sperăm că informațiile furnizate de noi au fost accesibile și de înțeles, și că au fost utile și pentru dvs. și au ajutat la înțelegerea mai bună a acestui subiect.
„Funcții de gradul 9” - Y \u003d x3. Funcția poate fi specificată folosind o formulă, de exemplu: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Funcțiile elementare includ aproape toate funcțiile găsite într-un manual școlar. Şef Kryuchkova Tatyana Borisovna profesor, matematică. Cuprins: Anexa 3. Y=x2 Y=3x2. Y=x2. Aplicație4. Y \u003d 0,3x2. Anexa 1.
„Proprietățile funcției” - 0. 1. Definiția funcției. 3.Sfera de aplicare a valorilor. y=0, x=0 6. Intervale de semn constant y > 0 pe (0; +). 5. Funcția zero. Proprietățile funcției. 7. Intervale de crestere si scadere. y= x, n=2 2.Domeniul de aplicare D(y)=. Astfel de mărimi sunt numite, respectiv, constante și variabile. -p. T. y = f(x). -unu. Mai departe.
„Cercetarea funcției” - Utilizând schema de cercetare a funcției, finalizați sarcina: p. 24; nr. 296 (a; b), nr. 299 (a; b). Lucrare de verificare: Răspuns: D (f) = R, impar, crescător. Efectuați verbal: Pentru funcția f(x)=х3 determinați D(f), paritatea, creșterea, scăderea. Demonstrați că funcția f(x)=x5+4x este crescătoare pe mulțimea R. 2) Un exemplu de studiu al unei funcții.
„Plan de coordonate” - Ecuația unei linii drepte în. Pentru a forma capacitatea de a rezolva probleme pe planul de coordonate. Linie de coordonate, unghi de coordonate. Sarcina numărul 1. Regula pentru citirea coordonatelor. sferturi de coordonate. Cum sunt marcate punctele pe un plan. (2 sensuri). Ecuația dreaptă a. Planul lecției. Coordonatele punctelor situate pe axe.
„Mărirea funcției” - Algoritm pentru găsirea extremelor funcției. Rezolvarea inegalitatii se realizeaza analitic sau prin metoda intervalului. Găsim f / (x) Determinăm punctele critice ale funcției f(x), adică. punctele în care f / (x)=0 sau f / (x) nu există. Derivat. Conţinut. Tg(a)=k, factor k-touch. Tabel de derivate.
În total sunt 19 prezentări la subiect
Dacă plasați un cerc cu număr de unitate pe planul de coordonate, atunci puteți găsi coordonatele punctelor sale. Cercul numeric este poziționat astfel încât centrul său să coincidă cu originea planului, adică punctul O (0; 0).
De obicei, pe un cerc cu număr de unitate, punctele sunt marcate corespunzătoare originii pe cerc
- sferturi - 0 sau 2π, π/2, π, (2π)/3,
- sferturi din mijloc - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- al treilea trimestru - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
Pe planul de coordonate, cu aranjamentul de mai sus a cercului unitar pe acesta, se pot găsi coordonatele corespunzătoare acestor puncte ale cercului.
Este foarte ușor să găsești coordonatele capetelor de sferturi. În punctul 0 al cercului, coordonata x este 1, iar y este 0. Putem scrie A (0) = A (1; 0).
Sfârșitul primului trimestru va fi situat pe axa Y pozitivă. Prin urmare, B (π/2) = B (0; 1).
Sfârșitul celui de-al doilea trimestru este pe abscisa negativă: C (π) = C (-1; 0).
Sfârșitul celui de-al treilea trimestru: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Dar cum să găsiți coordonatele punctelor medii ale sferturii? Pentru a face acest lucru, construiți un triunghi dreptunghic. Ipotenuza sa este un segment de la centrul cercului (sau originea) până la mijlocul sfertului de cerc. Aceasta este raza cercului. Deoarece cercul este unitate, ipotenuza este egală cu 1. Apoi, se trasează o perpendiculară din punctul cercului pe orice axă. Lasă-l pe axa x. Rezultă un triunghi dreptunghic, ale cărui lungimi ale catetelor sunt coordonatele x și y ale punctului cercului.
Un sfert de cerc are 90º. Și jumătate de sfert este 45º. Deoarece ipotenuza este trasă în punctul din mijlocul sfertului, unghiul dintre ipotenuză și catetul care iese din origine este de 45º. Dar suma unghiurilor oricărui triunghi este 180º. Prin urmare, unghiul dintre ipotenuză și celălalt catete rămâne și el 45º. Se dovedește un triunghi dreptunghic isoscel.
Din teorema lui Pitagora obținem ecuația x 2 + y 2 = 1 2 . Deoarece x = y și 1 2 = 1, ecuația se simplifică la x 2 + x 2 = 1. Rezolvând-o, obținem x = √1 = 1/√2 = √2/2.
Astfel, coordonatele punctului M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
În coordonatele punctelor punctelor mijlocii ale altor sferturi, doar semnele se vor schimba, iar modulele de valori vor rămâne aceleași, deoarece triunghiul dreptunghic se va întoarce doar. Primim:
M2 ((3π)/4) = M2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)
Atunci când se determină coordonatele celor trei părți ale sferturilor de cerc, se construiește și un triunghi dreptunghic. Dacă luăm punctul π / 6 și desenăm o perpendiculară pe axa x, atunci unghiul dintre ipotenuză și catetul situat pe axa x va fi de 30º. Se știe că piciorul situat opus unui unghi de 30º este egal cu jumătate din ipotenuză. Deci am găsit coordonata y, este egală cu ½.
Cunoscând lungimile ipotenuzei și ale unuia dintre catete, după teorema lui Pitagora găsim celălalt catete:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2
Astfel T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Pentru punctul din a doua treime a primului trimestru (π / 3), este mai bine să desenați o perpendiculară pe axa pe axa y. Atunci unghiul de la origine va fi de asemenea de 30º. Aici, coordonata x va fi deja egală cu ½, respectiv y, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Pentru alte puncte din al treilea trimestru, semnele și ordinea valorilor coordonatelor se vor schimba. Toate punctele care sunt mai aproape de axa x vor avea o valoare modulo a coordonatei x egală cu √3/2. Acele puncte care sunt mai aproape de axa y vor avea o valoare modulo y egală cu √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
