Distanța unui punct față de planul orizontal de proiecție se numește. Construirea proiecțiilor ortogonale de puncte

Luați în considerare planul de profil al proiecțiilor. Proiecțiile pe două planuri perpendiculare determină de obicei poziția figurii și fac posibilă aflarea dimensiunilor și formei sale reale. Dar sunt momente când două proiecții nu sunt suficiente. Apoi aplicați construcția celei de-a treia proiecții.

Al treilea plan de proiecție este realizat astfel încât să fie perpendicular pe ambele planuri de proiecție în același timp (Fig. 15). Al treilea plan se numește profil.

În astfel de construcții se numește linia comună a planurilor orizontale și frontale axă X , linia comună a planurilor orizontale și de profil - axă la , și linia dreaptă comună a planurilor frontale și de profil - axă z . Punct O, care aparține tuturor celor trei planuri, se numește punctul de origine.

Figura 15a arată punctul DARși trei dintre proiecțiile sale. Proiecție pe planul profilului ( A) sunt numite proiecția profilului si denota A.

Pentru a obține o diagramă a punctului A, care constă din trei proiecții a, a a, este necesar să tăiați triedrul format din toate planurile de-a lungul axei y (Fig. 15b) și să combinați toate aceste planuri cu planul proiecției frontale. Planul orizontal trebuie rotit în jurul axei X, iar planul profilului este aproape de axă zîn direcția indicată de săgeata din figura 15.

Figura 16 arată poziția proiecțiilor a, ași A puncte DAR, obţinută ca urmare a combinării tuturor celor trei planuri cu planul de desen.

Ca rezultat al tăierii, axa y apare pe diagramă în două locuri diferite. Pe un plan orizontal (Fig. 16), acesta ia o pozitie verticala (perpendiculara pe axa X), iar pe planul profilului - orizontal (perpendicular pe axa z).

Figura 16 prezintă trei proiecții a, ași A punctele A au o poziție strict definită pe diagramă și sunt supuse unor condiții clare:

Ași A trebuie să fie întotdeauna situat pe o linie dreaptă verticală perpendiculară pe axă X;

Ași A trebuie să fie întotdeauna situat pe aceeași linie orizontală perpendiculară pe axă z;

3) când este desenat printr-o proiecție orizontală și o linie orizontală, dar printr-o proiecție de profil A- o linie dreaptă verticală, liniile construite se vor intersecta în mod necesar pe bisectoarea unghiului dintre axele de proiecție, deoarece figura Oa la A 0 A n este un pătrat.

Atunci când se construiesc trei proiecții ale unui punct, este necesar să se verifice îndeplinirea tuturor celor trei condiții pentru fiecare punct.

Coordonatele punctului

Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată folosind trei numere numite sale coordonate. Fiecare coordonată corespunde distanței unui punct față de un plan de proiecție.

Distanța punctului DAR la planul profilului este coordonata X, în care X = a˝A(Fig. 15), distanța până la planul frontal - prin coordonatele y și y = aa, iar distanța până la planul orizontal este coordonata z, în care z = aA.

În Figura 15, punctul A ocupă lățimea unei casete dreptunghiulare, iar măsurătorile acestei casete corespund coordonaților acestui punct, adică fiecare dintre coordonate este prezentată în Figura 15 de patru ori, adică:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Pe diagramă (Fig. 16), coordonatele x și z apar de trei ori:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Toate segmentele care corespund coordonatei X(sau z) sunt paralele între ele. Coordona la reprezentat de două ori de axa verticală:

y \u003d Oa y \u003d a x a

și de două ori - situat orizontal:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Această diferență a apărut datorită faptului că axa y este prezentă pe diagramă în două poziții diferite.

Trebuie remarcat faptul că poziția fiecărei proiecții este determinată pe diagramă de doar două coordonate, și anume:

1) orizontală - coordonate Xși la,

2) frontală - coordonate Xși z,

3) profil - coordonate lași z.

Utilizarea coordonatelor X yși z, puteți construi proiecții ale unui punct pe diagramă.

Dacă punctul A este dat de coordonate, înregistrarea lor este definită după cum urmează: A ( X; y; z).

La construirea proiecţiilor punctuale DAR trebuie verificate urmatoarele conditii:

1) proiecții orizontale și frontale Ași A X X;

2) proiecții frontale și de profil Ași A ar trebui să fie situat pe aceeași perpendiculară pe axă z, deoarece au o coordonată comună z;

3) proiecție orizontală și, de asemenea, îndepărtată din axă X, precum proiecția profilului A departe de axă z, deoarece proiecțiile a′ și a˝ au o coordonată comună la.

Dacă punctul se află în oricare dintre planurile de proiecție, atunci una dintre coordonatele sale este egală cu zero.

Când un punct se află pe axa de proiecție, cele două coordonate ale sale sunt zero.

Dacă un punct se află la origine, toate cele trei coordonatele sale sunt zero.

Proiectia unei linii drepte

Sunt necesare două puncte pentru a defini o linie. Un punct este definit de două proiecții pe planul orizontal și frontal, adică o linie dreaptă este determinată folosind proiecțiile celor două puncte ale sale pe planul orizontal și frontal.

Figura 17 prezintă proiecțiile ( Ași a, bși b) două puncte DARşi B. Cu ajutorul lor, poziţia unei linii drepte AB. Când conectați proiecțiile cu același nume ale acestor puncte (de ex. Ași b, ași b) puteți obține proiecții abși ab direct AB.

Figura 18 prezintă proiecțiile ambelor puncte, iar Figura 19 arată proiecțiile unei linii drepte care trece prin ele.

Dacă proiecțiile unei linii drepte sunt determinate de proiecțiile celor două puncte ale sale, atunci ele sunt notate cu două litere latine adiacente corespunzătoare denumirilor proiecțiilor punctelor luate pe linia dreaptă: cu linii pentru a indica proiecția frontală a liniei drepte. linie dreaptă sau fără linii - pentru proiecția orizontală.

Dacă luăm în considerare nu punctele individuale ale unei linii drepte, ci proiecțiile acesteia ca un întreg, atunci aceste proiecții sunt indicate prin numere.

Dacă la un moment dat Cu se află pe o linie dreaptă AB, proiecțiile sale с și с́ sunt pe proiecțiile aceleiași drepte abși ab. Figura 19 ilustrează această situație.

Urme drepte

urma drept- acesta este punctul de intersecție cu un plan sau suprafață (Fig. 20).

Linie orizontală se numește un punct H unde linia se întâlnește cu planul orizontal și frontal- punct V, în care această dreaptă se întâlnește cu planul frontal (Fig. 20).

Figura 21a prezintă urma orizontală a unei linii drepte și traseul frontal al acesteia, în Figura 21b.

Uneori se ia în considerare și urma de profil a unei linii drepte, W- punctul de intersecție al unei drepte cu un plan de profil.

Urma orizontală se află în planul orizontal, adică proiecția sa orizontală h coincide cu această urmă, iar frontala h se află pe axa x. Urma frontală se află în planul frontal, astfel încât proiecția sa frontală ν́ coincide cu aceasta, iar v orizontal se află pe axa x.

Asa de, H = h, și V= v. Prin urmare, pentru a desemna urmele unei linii drepte, pot fi folosite litere hși v.

Diferite poziții ale liniei

Linia dreaptă se numește poziție generală directă, dacă nu este nici paralelă, nici perpendiculară pe niciunul dintre planurile de proiecție. De asemenea, proiecțiile unei linii în poziție generală nu sunt nici paralele, nici perpendiculare pe axele de proiecție.

Linii drepte care sunt paralele cu unul dintre planurile de proiecție (perpendiculare pe una dintre axe). Figura 22 prezintă o linie dreaptă care este paralelă cu planul orizontal (perpendiculară pe axa z), este o dreaptă orizontală; Figura 23 prezintă o linie dreaptă care este paralelă cu planul frontal (perpendicular pe ax la), este linia dreaptă frontală; Figura 24 prezintă o linie dreaptă care este paralelă cu planul profilului (perpendiculară pe axa X), este o linie dreaptă de profil. În ciuda faptului că fiecare dintre aceste linii formează un unghi drept cu una dintre axe, ele nu o intersectează, ci doar se intersectează cu ea.

Datorită faptului că linia orizontală (Fig. 22) este paralelă cu planul orizontal, proiecțiile sale frontale și de profil vor fi paralele cu axele care definesc planul orizontal, adică axele. Xși la. Prin urmare, proiecții ab|| Xși a˝b˝|| la z. Proiecția orizontală ab poate lua orice poziție pe diagramă.

La linia frontală (Fig. 23) proiecţie ab|| x și a˝b˝ || z, adică sunt perpendiculare pe axă la, și deci în acest caz proiecția frontală ab linia poate lua orice poziție.

La linia profilului (Fig. 24) ab|| y, ab|| zși ambele sunt perpendiculare pe axa x. Proiecție a˝b˝ poate fi plasat pe diagramă în orice fel.

Când luați în considerare planul care proiectează linia orizontală pe planul frontal (Fig. 22), puteți vedea că proiectează această linie și pe planul profilului, adică este un plan care proiectează linia pe două plane de proiecție simultan - frontala si de profil. Din acest motiv se numește plan dublu proiectat. La fel, pentru linia frontală (Fig. 23), planul dublu proiectat o proiectează pe planurile proiecțiilor orizontale și de profil, iar pentru profil (Fig. 23) - pe planurile proiecțiilor orizontale și frontale. .

Două proiecții nu pot defini o linie dreaptă. Două proiecții 1 și unu linia dreaptă de profil (Fig. 25) fără a preciza proiecțiile a două puncte ale acestei drepte pe ele nu va determina poziția acestei drepte în spațiu.

Într-un plan care este perpendicular pe două planuri date de simetrie, poate exista un număr infinit de drepte pentru care datele de pe diagramă 1 și unu sunt proiecțiile lor.

Dacă un punct se află pe o dreaptă, atunci proiecțiile sale se află în toate cazurile pe proiecțiile cu același nume de pe această linie. Situația opusă nu este întotdeauna adevărată pentru linia de profil. Pe proiecțiile sale, puteți indica în mod arbitrar proiecțiile unui anumit punct și să nu fiți sigur că acest punct se află pe o dreaptă dată.

În toate cele trei cazuri speciale (Fig. 22, 23 și 24), poziția dreptei în raport cu planul proiecțiilor este segmentul său arbitrar. AB, luată pe fiecare dintre drepte, este proiectată pe unul dintre planurile de proiecție fără distorsiuni, adică pe planul cu care este paralelă. Segment de linie AB linia dreaptă orizontală (Fig. 22) oferă o proiecție în mărime naturală pe un plan orizontal ( ab = AB); segment de linie AB linie dreaptă frontală (Fig. 23) - în dimensiune completă pe planul planului frontal V ( ab = AB) și segmentul AB linie dreaptă a profilului (Fig. 24) - în dimensiune completă pe planul profilului W (a˝b˝\u003d AB), adică este posibil să se măsoare dimensiunea reală a segmentului pe desen.

Cu alte cuvinte, cu ajutorul diagramelor se pot determina dimensiunile naturale ale unghiurilor pe care linia luată în considerare le formează cu planurile de proiecție.

Unghiul pe care îl formează o linie dreaptă cu un plan orizontal H, se obișnuiește să se noteze litera α, cu planul frontal - litera β, cu planul profilului - litera γ.

Oricare dintre liniile drepte luate în considerare nu are nicio urmă pe un plan paralel cu aceasta, adică linia dreaptă orizontală nu are urmă orizontală (Fig. 22), linia dreaptă frontală nu are urmă frontală (Fig. 23), iar profilul linia dreaptă nu are urmă de profil (Fig. 24).

Luați în considerare proiecțiile punctelor pe două plane, pentru care luăm două plane perpendiculare (Fig. 4), pe care le vom numi frontal și planuri orizontale. Linia de intersecție a acestor plane se numește axa de proiecție. Proiectăm un punct A pe planurile considerate folosind o proiecție plată. Pentru a face acest lucru, este necesar să coborâți perpendicularele Aa și A din punctul dat pe planurile considerate.

Proiecția pe un plan orizontal se numește vedere în plan puncte DAR, și proiecția A? pe plan frontal se numeste proiecție frontală.

Punctele care urmează să fie proiectate în geometria descriptivă sunt de obicei notate cu majuscule latine. A, B, C. Literele mici sunt folosite pentru a desemna proiecțiile orizontale ale punctelor. a, b, c... Proiecțiile frontale sunt indicate cu litere mici, cu o contur în partea de sus a?, b?, c?…

Se folosește și desemnarea punctelor cu cifre romane I, II, ..., iar pentru proiecțiile lor - cu cifre arabe 1, 2 ... și 1?, 2?...

Când planul orizontal este rotit cu 90°, se poate obține un desen în care ambele plane sunt în același plan (Fig. 5). Această imagine se numește diagramă de puncte.

Prin linii perpendiculare Ahși Ah? desenați un avion (fig. 4). Planul rezultat este perpendicular pe planurile frontale și orizontale deoarece conține perpendiculare pe aceste planuri. Prin urmare, acest plan este perpendicular pe linia de intersecție a planurilor. Linia dreaptă rezultată intersectează planul orizontal într-o linie dreaptă aa x, iar planul frontal - în linie dreaptă huh? X. Drept aah și huh? x sunt perpendiculare pe axa de intersecție a planelor. i.e Aaah? este un dreptunghi.

La combinarea planurilor de proiecție orizontală și frontală Ași A? va fi situat pe o perpendiculară pe axa de intersecție a planurilor, deoarece atunci când planul orizontal se rotește, perpendicularitatea segmentelor aa x și huh? x nu este rupt.

Obținem asta pe diagrama de proiecție Ași A? un moment dat DAR se află întotdeauna pe aceeași perpendiculară pe axa de intersecție a planelor.

Două proiecții a și A? a unui punct A poate determina în mod unic poziția sa în spațiu (Fig. 4). Acest lucru este confirmat de faptul că la construirea unei perpendiculare din proiecția a pe planul orizontal, aceasta va trece prin punctul A. În mod similar, perpendiculara din proiecție A? spre planul frontal va trece prin punct DAR, adică punctul DAR se află pe două linii definite în același timp. Punctul A este punctul lor de intersecție, adică este definit.

Luați în considerare un dreptunghi Aaa X A?(Fig. 5), pentru care următoarele afirmații sunt adevărate:

1) Distanța punctului DAR din planul frontal este egală cu distanța proiecției sale orizontale a față de axa de intersecție a planurilor, adică.

Ah? = aa X;

2) distanta punctuala DAR din planul orizontal al proiecțiilor este egală cu distanța proiecției sale frontale A? din axa de intersectie a planelor, i.e.

Ah = huh? X.

Cu alte cuvinte, chiar și fără punctul în sine de pe diagramă, folosind doar cele două proiecții ale sale, puteți afla la ce distanță de fiecare dintre planurile de proiecție se află acest punct.

Intersecția a două planuri de proiecție împarte spațiul în patru părți, care sunt numite sferturi(Fig. 6).

Axa de intersecție a planurilor împarte planul orizontal în două sferturi - față și spate, iar planul frontal - în sferturile superioare și inferioare. Partea superioară a planului frontal și partea anterioară a planului orizontal sunt considerate drept limite ale primului sfert.

La primirea diagramei, planul orizontal se rotește și coincide cu planul frontal (Fig. 7). În acest caz, partea din față a planului orizontal va coincide cu partea de jos a planului frontal, iar partea din spate a planului orizontal va coincide cu partea de sus a planului frontal.

Figurile 8-11 prezintă punctele A, B, C, D, situate în diferite sferturi de spațiu. Punctul A este în primul trimestru, punctul B este în al doilea, punctul C este în al treilea și punctul D este în al patrulea.

Când punctele sunt situate în primul sau al patrulea sferturi ale acestora proiecții orizontale situate pe partea frontală a planului orizontal, iar pe diagramă vor fi situate sub axa de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al doilea sau al treilea trimestru, proiecția sa orizontală se va afla pe spatele planului orizontal, iar pe diagramă se va afla deasupra axei de intersecție a planurilor.

Proiecții frontale punctele care sunt situate în primul sau al doilea sferturi vor fi situate în partea superioară a planului frontal, iar pe diagramă vor fi situate deasupra axei de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al treilea sau al patrulea sfert, proiecția sa frontală este sub axa de intersecție a planurilor.

Cel mai adesea, în construcțiile reale, figura este plasată în primul sfert al spațiului.

În unele cazuri particulare, punctul ( E) se poate afla pe un plan orizontal (Fig. 12). În acest caz, proiecția sa orizontală e și punctul însuși vor coincide. Proiecția frontală a unui astfel de punct va fi pe axa de intersecție a planurilor.

În cazul în care punctul La se află pe planul frontal (Fig. 13), proiecția sa orizontală k se află pe axa de intersecție a planurilor și frontală k? arată locația reală a punctului respectiv.

Pentru astfel de puncte, semnul că se află pe unul dintre planurile de proiecție este că una dintre proiecțiile sale se află pe axa de intersecție a planurilor.

Dacă un punct se află pe axa de intersecție a planurilor de proiecție, el și ambele proiecții coincid.

Când un punct nu se află pe planurile de proiecție, se numește punct de poziţie generală. În cele ce urmează, dacă nu există note speciale, punctul luat în considerare este un punct în poziție generală.

2. Lipsa axei de proiecție

Pentru a explica cum se obține pe model proiecții ale unui punct pe planuri de proiecție perpendiculare (Fig. 4), este necesar să se ia o bucată de hârtie groasă sub forma unui dreptunghi alungit. Trebuie să fie îndoit între proiecții. Linia de pliere va reprezenta axa de intersecție a planurilor. Dacă după aceea bucata de hârtie îndoită este din nou îndreptată, obținem o diagramă similară cu cea prezentată în figură.

Combinând două planuri de proiecție cu planul de desen, nu puteți afișa linia de pliere, adică nu desenați axa de intersecție a planurilor pe diagramă.

Când construiți pe o diagramă, ar trebui să plasați întotdeauna proiecții Ași A? punctul A pe o linie verticală (Fig. 14), care este perpendiculară pe axa de intersecție a planelor. Prin urmare, chiar dacă poziția axei de intersecție a planurilor rămâne nedefinită, dar direcția acesteia este determinată, axa de intersecție a planurilor nu poate fi decât perpendiculară pe dreapta de pe diagramă. Ah?.

Dacă nu există o axă de proiecție pe diagrama de puncte, ca în prima figură 14 a, vă puteți imagina poziția acestui punct în spațiu. Pentru a face acest lucru, trageți în orice loc perpendicular pe linie Ah? axa de proiecție, ca în a doua figură (Fig. 14) și îndoiți desenul de-a lungul acestei axe. Dacă restabilim perpendicularele la puncte Ași A?înainte ca acestea să se intersecteze, puteți obține un punct DAR. La schimbarea poziției axei de proiecție se obțin diferite poziții ale punctului față de planurile de proiecție, dar incertitudinea poziției axei de proiecție nu afectează poziția relativă a mai multor puncte sau figuri în spațiu.

3. Proiecții ale unui punct pe trei planuri de proiecție

Al treilea plan de proiecție este realizat astfel încât să fie perpendicular pe ambele planuri de proiecție în același timp (Fig. 15). Al treilea plan se numește profil.

Figura 15a arată punctul DARși trei dintre proiecțiile sale. Proiecție pe planul profilului ( A??) sunt numite proiecția profilului si denota A??.

Figura 16 arată poziția proiecțiilor ah, nu?și A?? puncte DAR, obţinută ca urmare a combinării tuturor celor trei planuri cu planul de desen.

Figura 16 prezintă trei proiecții ah, nu?și A?? punctele A au o poziție strict definită pe diagramă și sunt supuse unor condiții clare:

Ași A? trebuie să fie întotdeauna situat pe o linie dreaptă verticală perpendiculară pe axă X;

A?și A?? trebuie să fie întotdeauna situat pe aceeași linie orizontală perpendiculară pe axă z;

3) când este desenat printr-o proiecție orizontală și o linie orizontală, dar printr-o proiecție de profil A??- o linie dreaptă verticală, liniile construite se vor intersecta în mod necesar pe bisectoarea unghiului dintre axele de proiecție, deoarece figura Oa la A 0 A n este un pătrat.

Atunci când se construiesc trei proiecții ale unui punct, este necesar să se verifice îndeplinirea tuturor celor trei condiții pentru fiecare punct.

4. Coordonatele punctului

Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată folosind trei numere numite sale coordonate. Fiecare coordonată corespunde distanței unui punct față de un plan de proiecție.

Distanța punctului DAR la planul profilului este coordonata X, în care X = huh?(Fig. 15), distanța până la planul frontal - prin coordonatele y și y = huh?, iar distanța până la planul orizontal este coordonata z, în care z = aA.

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Pe diagramă (Fig. 16), coordonatele x și z apar de trei ori:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Toate segmentele care corespund coordonatei X(sau z) sunt paralele între ele. Coordona la reprezentat de două ori de axa verticală:

y \u003d Oa y \u003d a x a

și de două ori - situat orizontal:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Această diferență a apărut datorită faptului că axa y este prezentă pe diagramă în două poziții diferite.

Trebuie remarcat faptul că poziția fiecărei proiecții este determinată pe diagramă de doar două coordonate, și anume:

1) orizontală - coordonate Xși la,

2) frontală - coordonate Xși z,

3) profil - coordonate lași z.

Utilizarea coordonatelor X yși z, puteți construi proiecții ale unui punct pe diagramă.

Dacă punctul A este dat de coordonate, înregistrarea lor este definită după cum urmează: A ( X; y; z).

La construirea proiecţiilor punctuale DAR trebuie verificate urmatoarele conditii:

1) proiecții orizontale și frontale Ași A? X X;

2) proiecții frontale și de profil A?și A? ar trebui să fie situat pe aceeași perpendiculară pe axă z, deoarece au o coordonată comună z;

3) proiecție orizontală și, de asemenea, îndepărtată din axă X, precum proiecția profilului A departe de axă z, deoarece proiecţia ah? si nu? au o coordonată comună la.

Dacă punctul se află în oricare dintre planurile de proiecție, atunci una dintre coordonatele sale este egală cu zero.

Când un punct se află pe axa de proiecție, cele două coordonate ale sale sunt zero.

Dacă un punct se află la origine, toate cele trei coordonatele sale sunt zero.

Poziția unui punct în spațiu poate fi specificată prin cele două proiecții ortogonale ale sale, de exemplu, orizontală și frontală, frontală și de profil. Combinația oricăror două proiecții ortogonale vă permite să aflați valoarea tuturor coordonatelor unui punct, să construiți o a treia proiecție, să determinați octantul în care se află. Să luăm în considerare câteva sarcini tipice din cursul geometriei descriptive.

Conform desenului complex dat al punctelor A și B, este necesar:

Să determinăm mai întâi coordonatele punctului A, care pot fi scrise sub forma A (x, y, z). Proiecția orizontală a punctului A este punctul A ", având coordonatele x, y. Desenați din punctul A" perpendiculare pe axele x, y și găsiți, respectiv, A x, A y. Coordonata x pentru punctul A este egală cu lungimea segmentului A x O cu semn plus, deoarece A x se află în regiunea valorilor pozitive ale axei x. Luând în considerare scara desenului, găsim x \u003d 10. Coordonata y este egală cu lungimea segmentului A y O cu semnul minus, deoarece t. A y se află în regiunea valorilor negative ale axei y . Având în vedere scara desenului, y = -30. Proiecția frontală a punctului A - punctul A"" are coordonatele x și z. Să lăsăm perpendiculara de la A"" la axa z și să găsim A z . Coordonata z a punctului A este egală cu lungimea segmentului A z O cu semnul minus, deoarece A z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Având în vedere scara desenului, z = -10. Astfel, coordonatele punctului A sunt (10, -30, -10).

Coordonatele punctului B pot fi scrise ca B (x, y, z). Luați în considerare proiecția orizontală a punctului B - punctul B. „Deoarece se află pe axa x, atunci B x \u003d B” și coordonatele B y \u003d 0. Abscisa x a punctului B este egală cu lungimea segmentului B x O cu semnul plus. Ținând cont de scara desenului, x = 30. Proiecția frontală a punctului B - punctul B˝ are coordonatele x, z. Desenați o perpendiculară de la B"" pe axa z, găsind astfel B z . Aplicația z a punctului B este egală cu lungimea segmentului B z O cu semnul minus, deoarece B z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Ținând cont de scara desenului, determinăm valoarea z = -20. Deci coordonatele B sunt (30, 0, -20). Toate construcțiile necesare sunt prezentate în figura de mai jos.

Construirea proiecțiilor punctelor

Punctele A și B din planul P 3 au următoarele coordonate: A""" (y, z); B""" (y, z). În acest caz, A"" și A""" se află pe aceeași perpendiculară pe axa z, deoarece au o coordonată z comună. În același mod, B"" și B""" se află pe o perpendiculară comună la axa z. Pentru a găsi proiecția profilului lui t. A, lăsăm deoparte de-a lungul axei y valoarea coordonatei corespunzătoare găsite mai devreme. În figură, acest lucru se realizează folosind un arc de cerc cu raza A y O. După aceea, desenăm o perpendiculară de la A y la intersecția cu perpendiculara restabilită din punctul A "" la axa z. Punctul de intersecție al acestor două perpendiculare determină poziția lui A""".

Punctul B""" se află pe axa z, deoarece ordonata y a acestui punct este zero. Pentru a găsi proiecția de profil a punctului B în această problemă, este necesar doar să desenați o perpendiculară de la B"" la z -axa.Punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu axa z este B """.

Determinarea poziției punctelor în spațiu

Imaginând vizual un aspect spațial compus din planuri de proiecție P 1, P 2 și P 3, locația octanților, precum și ordinea transformării aspectului în diagrame, puteți determina direct că t. A este situat în octantul III, iar t. B se află în planul P 2 .

O altă opțiune pentru rezolvarea acestei probleme este metoda excepțiilor. De exemplu, coordonatele punctului A sunt (10, -30, -10). Abscisa pozitivă x face posibilă aprecierea că punctul este situat în primii patru octanți. O ordonată y negativă indică faptul că punctul se află în al doilea sau al treilea octant. În cele din urmă, aplicația negativă a lui z indică faptul că punctul A se află în al treilea octant. Raționamentul dat este ilustrat clar de următorul tabel.

Octanți	Semne de coordonare
Octanți	X	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Coordonatele punctului B (30, 0, -20). Deoarece ordonata lui t. B este egală cu zero, acest punct este situat în planul de proiecție П 2 . Abscisa pozitivă și aplicatul negativ al punctului B indică faptul că acesta este situat la granița octanților trei și patru.

Construirea unei imagini vizuale a punctelor din sistemul de planuri P 1, P 2, P 3

Folosind proiecția izometrică frontală, am construit un aspect spațial al celui de-al treilea octant. Este un triedru dreptunghiular, ale cărui fețe sunt planele P 1, P 2, P 3, iar unghiul (-y0x) este de 45 º. În acest sistem, segmentele de-a lungul axelor x, y, z vor fi reprezentate în dimensiune completă, fără distorsiuni.

Construcția unei imagini vizuale a punctului A (10, -30, -10) va începe cu proiecția sa orizontală A ". După ce lăsăm deoparte coordonatele corespunzătoare de-a lungul abscisei și ordonatelor, găsim punctele A x și A y. intersecția perpendicularelor restaurate din A x și respectiv A y pe axele x și y determină poziția punctului A”. Punând de la A" paralel cu axa z spre valorile sale negative segmentul AA", a cărui lungime este egală cu 10, găsim poziția punctului A.

O imagine vizuală a punctului B (30, 0, -20) este construită într-un mod similar - în planul P 2, coordonatele corespunzătoare trebuie trasate de-a lungul axelor x și z. Intersecția perpendicularelor reconstruite din B x și B z va determina poziția punctului B.

Linie auxiliară de desen multiplu

În desenul prezentat în fig. 4.7, A, sunt desenate axele de proiecție, iar imaginile sunt interconectate prin linii de comunicare. Proiecțiile orizontale și de profil sunt conectate prin linii de comunicație folosind arce centrate într-un punct O intersecții de axe. Cu toate acestea, în practică, se utilizează și o altă implementare a desenului integrat.

Pe desenele fără axe, imaginile sunt, de asemenea, plasate într-o relație de proiecție. Cu toate acestea, a treia proiecție poate fi plasată mai aproape sau mai departe. De exemplu, o proiecție de profil poate fi plasată la dreapta (Fig. 4.7, b, II) sau spre stânga (Fig. 4.7, b, eu). Acest lucru este important pentru economisirea spațiului și ușurința dimensionării.

Orez. 4.7.

Dacă într-un desen realizat conform unui sistem fără axe este necesară trasarea unor linii de comunicare între vederea de sus și vederea din stânga, atunci se folosește o linie dreaptă auxiliară a desenului complex. Pentru a face acest lucru, aproximativ la nivelul vederii de sus și ușor în dreapta acesteia, este trasată o linie dreaptă la un unghi de 45 ° față de cadrul de desen (Fig. 4.8, A). Se numește linia auxiliară a desenului complex. Procedura de construire a unui desen folosind această linie dreaptă este prezentată în fig. 4.8, b, c.

Dacă au fost deja construite trei vederi (Fig. 4.8, d), atunci poziția liniei auxiliare nu poate fi aleasă în mod arbitrar. Mai întâi trebuie să găsiți punctul prin care va trece. Pentru a face acest lucru, este suficient să continuați până la intersecția reciprocă a axei de simetrie a proiecțiilor orizontale și de profil și prin punctul rezultat k trageți un segment de linie dreaptă la un unghi de 45 ° (Fig. 4.8, d). Dacă nu există axe de simetrie, atunci continuați până la intersecția din punct k 1 proiecții orizontale și de profil ale oricărei fețe proiectate ca o linie dreaptă (Fig. 4.8, d).

Orez. 4.8.

Necesitatea de a trasa linii de comunicație și, în consecință, o linie dreaptă auxiliară, apare la construirea proiecțiilor lipsă și la realizarea desenelor pe care este necesar să se determine proiecțiile punctelor pentru a clarifica proiecțiile elementelor individuale ale piesei.

Exemple de utilizare a liniei auxiliare sunt date în paragraful următor.

Proiecții ale unui punct situat pe suprafața unui obiect

Pentru a construi corect proiecții ale elementelor individuale ale unei piese atunci când faceți desene, este necesar să puteți găsi proiecții ale punctelor individuale pe toate imaginile de desen. De exemplu, este dificil să desenați o proiecție orizontală a părții prezentate în Fig. 4.9 fără a utiliza proiecțiile punctelor individuale ( A, B, C, D, E si etc.). Capacitatea de a găsi toate proiecțiile punctelor, muchiilor, fețelor este necesară și pentru recrearea în imaginație a formei unui obiect în funcție de imaginile sale plate din desen, precum și pentru verificarea corectitudinii desenului finalizat.

Orez. 4.9.

Să luăm în considerare modalități de a găsi a doua și a treia proiecție a unui punct dat pe suprafața unui obiect.

Dacă o proiecție a unui punct este dată în desenul unui obiect, atunci mai întâi este necesar să găsiți proiecțiile suprafeței pe care este situat acest punct. Apoi alegeți una dintre cele două metode descrise mai jos pentru a rezolva problema.

Prima cale

Această metodă este utilizată atunci când cel puțin una dintre proiecții arată suprafața dată ca o linie.

Pe fig. 4.10, A este prezentat un cilindru, pe a cărui proiecție frontală este poziționată proiecția A" puncte DAR, culcat pe partea vizibilă a suprafeței sale (proiecțiile date sunt marcate cu cercuri duble colorate). Pentru a găsi proiecția orizontală a unui punct DAR, ei argumentează după cum urmează: punctul se află pe suprafața cilindrului, a cărui proiecție orizontală este un cerc. Aceasta înseamnă că proiecția unui punct situat pe această suprafață se va afla și pe cerc. Desenați o linie de comunicare și marcați punctul dorit la intersecția acestuia cu cercul A. a treia proiecție A"

Orez. 4.10.

Dacă punctul LA, culcat pe baza superioară a cilindrului, dat de proiecția orizontală a acestuia b, apoi liniile de comunicație sunt trasate la intersecția cu segmente de linie dreaptă care înfățișează proiecțiile frontale și de profil ale bazei superioare a cilindrului.

Pe fig. 4.10, b arată detaliul - accent. Pentru a construi proiecții ale unui punct DAR, dat de proiecţia sa orizontală A, găsiți alte două proiecții ale feței superioare (pe care se află punctul DAR) și, trasând liniile de legătură până la intersecția cu segmentele de linie care înfățișează această față, determinați proiecțiile - punctele dorite A"și A". Punct LA se află pe fața verticală din partea stângă, ceea ce înseamnă că proiecțiile sale se vor afla și pe proiecțiile acestei fețe. Deci dintr-un punct dat b" trageți linii de comunicare (după cum este indicat de săgeți) până când acestea se întâlnesc cu segmente de linie care ilustrează această față. proiecție frontală cu" puncte CU, culcate pe o față înclinată (în spațiu), se găsesc pe linia care înfățișează această față și profilul cu"- la intersecția liniei de legătură, deoarece proiecția de profil a acestei fețe nu este o linie, ci o figură. Construirea proiecțiilor punctuale D indicat prin săgeți.

A doua cale

Această metodă este utilizată atunci când prima metodă nu poate fi utilizată. Atunci ar trebui să faci asta:

traseaza prin proiectia data a punctului proiectia dreptei auxiliare situata pe suprafata data;
găsiți a doua proiecție a acestei linii;
la proiecția găsită a dreptei, transferați proiecția dată a punctului (acest lucru va determina a doua proiecție a punctului);
găsiți a treia proiecție (dacă este necesar) la intersecția liniilor de comunicație.

Pe fig. 4.10, este dată proiecția frontală A" puncte DAR, culcat pe partea vizibilă a suprafeței conului. Pentru a găsi proiecția orizontală printr-un punct A" efectuați o proiecție frontală a unei drepte auxiliare care trece prin punct DAR iar vârful conului. Obțineți un punct V este proiecția punctului de întâlnire al liniei trasate cu baza conului. Având proiecții frontale ale punctelor situate pe o linie dreaptă, se pot găsi proiecțiile lor orizontale. Proiecție orizontală s vârful conului este cunoscut. Punct b se află pe circumferința bazei. Un segment de linie este trasat prin aceste puncte și un punct este transferat la acesta (așa cum este arătat de săgeată). A", obținerea unui punct A. A treia proiecție A" puncte DAR situat la răscruce de drumuri.

Aceeași problemă poate fi rezolvată diferit (Fig. 4.10, G).

Ca o dreaptă auxiliară care trece printr-un punct DAR, nu iau o linie dreaptă, ca în primul caz, ci un cerc. Acest cerc se formează dacă în punct DAR intersectează conul cu un plan paralel cu baza, așa cum se arată în reprezentarea vizuală. Proiecția frontală a acestui cerc va fi descrisă ca un segment de linie dreaptă, deoarece planul cercului este perpendicular pe planul de proiecție frontală. Proiecția orizontală a unui cerc are un diametru egal cu lungimea acestui segment. Descriind un cerc cu diametrul specificat, desenați dintr-un punct A" linie de legătură până la intersecția cu cercul auxiliar, de la proiecția orizontală A puncte DAR se află pe linia auxiliară, adică pe cercul construit. a treia proiecție la fel de" puncte DAR găsite la intersecția liniilor de comunicație.

În același mod, puteți găsi proiecțiile unui punct situat pe o suprafață, de exemplu, o piramidă. Diferența va fi că atunci când este străbătut de un plan orizontal, nu se formează un cerc, ci o figură asemănătoare bazei.

În cazul proiecției dreptunghiulare, sistemul de planuri de proiecție este format din două plane de proiecție reciproc perpendiculare (Fig. 2.1). Unul a fost de acord să fie amplasat orizontal, iar celălalt pe verticală.

Planul proiecțiilor, situat orizontal, se numește plan orizontal de proiecție si denota sch, iar planul perpendicular pe acesta planul de proiecție frontalăl 2 . Sistemul de planuri de proiecție însuși este notat p / p 2. Utilizați de obicei expresii prescurtate: avion L[, avion n 2 . Linia de intersecție a planelor schși la 2 numit axa de proiecțieOH.Împarte fiecare plan de proiecție în două părți - etaje. Planul orizontal al proiecțiilor are un etaj anterior și posterior, în timp ce planul frontal are un etaj superior și inferior.

avioane schși p 2împărțiți spațiul în patru părți numite sferturiși notat cu cifre romane I, II, III și IV (vezi Fig. 2.1). Primul sfert se numește partea de spațiu delimitată de planurile de proiecție orizontale goale frontale superioare și frontale goale. Pentru sferturile rămase din spațiu, definițiile sunt similare cu cea anterioară.

Toate desenele de inginerie sunt imagini construite pe același plan. Pe fig. 2.1 sistemul de planuri de proiecție este spațial. Pentru a trece la imagini din același plan, am convenit să combinăm planurile de proiecție. De obicei avion p 2 rămas nemişcat, iar avionul P rotiți în direcția indicată de săgeți (vezi Fig. 2.1), în jurul axei OH la un unghi de 90 ° până când este aliniat cu planul n 2 . Cu o astfel de întoarcere, podeaua din față a planului orizontal coboară, iar cea din spate se ridică. După aliniere, planurile au forma descrisă

femela din fig. 2.2. Se crede că planurile de proiecție sunt opace și observatorul este întotdeauna în primul trimestru. Pe fig. 2.2, desemnarea planurilor invizibile după aliniere este luată între paranteze, așa cum este obișnuit pentru evidențierea figurilor invizibile în desene.

Punctul proiectat poate fi în orice sfert de spațiu sau pe orice plan de proiecție. În toate cazurile, pentru a construi proiecții, prin ea se trasează linii de proiectare și punctele lor de întâlnire se găsesc cu planurile 711 și 712, care sunt proiecții.

Luați în considerare proiecția unui punct situat în primul trimestru. Sistemul de planuri de proiecție 711/712 și punctul DAR(Fig. 2.3). Prin el sunt trasate două LINEI drepte, perpendiculare pe PLANURI 71) ȘI 71 2. Unul dintre ei va intersecta planul 711 la punctul respectiv DAR ", numit proiecția orizontală a punctului A, iar celălalt este planul 71 2 la punct DAR ", numit proiecția frontală a punctului A.

Liniile de proiectare AA"și AA" determinați planul de proiecție a. Este perpendicular pe planuri Kip 2, deoarece trece prin perpendiculare pe ele și intersectează planele de proiecție de-a lungul unor drepte A „Ah și A” A x. Axa de proiecție OH perpendicular pe planul oc, ca dreptă de intersecție a două plane 71| și 71 2 perpendicular pe al treilea plan (a) și, prin urmare, pe orice linie aflată în el. În special, 0X1A "A xși 0X1A "A x.

La combinarea avioanelor, segmentul A „Ah, apartament la 2, rămâne staționar, iar segmentul A „A xîmpreună cu planul 71) vor fi rotite în jurul axei OH până se aliniază cu planul 71 2 . Vedere a planurilor de proiecție combinate împreună cu proiecțiile unui punct DAR prezentată în fig. 2.4, A. După alinierea punctului A", A x și A" va fi situat pe o singură dreaptă perpendiculară pe axă OH. Aceasta înseamnă că două proiecții ale aceluiași punct

se află pe o perpendiculară comună pe axa de proiecție. Această perpendiculară care leagă două proiecții ale aceluiași punct se numește linia de proiecție.

Desenul din fig. 2.4, A poate fi foarte simplificat. Denumirile planurilor de proiecție combinate din desene nu sunt marcate și dreptunghiurile care limitează în mod condiționat planurile de proiecție nu sunt reprezentate, deoarece planurile sunt nelimitate. Desenul punctual simplificat DAR(Fig. 2.4, b) numit si diagramă(Din franceza ?pure - desen).

Prezentat în fig. 2.3 patrulater AE4 "A X A" este un dreptunghi și laturile sale opuse sunt egale și paralele. Prin urmare, distanța de la punct DAR până la avion P, măsurată printr-un segment AA", în desen este determinat de segment Un „Ah. Segmentul A „A x = AA” vă permite să judecați distanța de la un punct DAR până la avion la 2 . Astfel, desenul unui punct oferă o imagine completă a locației acestuia în raport cu planurile de proiecție. De exemplu, conform desenului (vezi Fig. 2.4, b) se poate argumenta că ideea DAR situat în primul sfert și scos din avion p 2 la o distanta mai mica decat fata de planul ts b deoarece A „A x Un „Ah.

Să trecem la proiectarea unui punct în al doilea, al treilea și al patrulea sferturi de spațiu.

La proiectarea unui punct LA, situat în al doilea trimestru (Fig. 2.5), după combinarea planurilor, ambele proiecții ale sale vor fi deasupra axei OH.

Proiecția orizontală a punctului C, dată în al treilea sfert (Fig. 2.6), este situată deasupra axei OH, iar fata este mai jos.

Punctul D prezentat în fig. 2.7 este situat în al patrulea trimestru. După combinarea planurilor de proiecție, ambele proiecții vor fi sub axă OH.

Comparând desenele punctelor situate în diferite sferturi de spațiu (vezi Fig. 2.4-2.7), puteți observa că fiecare este caracterizat de propria sa locație a proiecțiilor în raport cu axa proiecțiilor OH.

În cazuri particulare, punctul proiectat se poate afla pe planul de proiecție. Apoi, una dintre proiecțiile sale coincide cu punctul însuși, iar cealaltă va fi situată pe axa de proiecție. De exemplu, pentru un punct E,întins într-un avion sch(Fig. 2.8), proiecția orizontală coincide cu punctul însuși, iar proiecția frontală este pe axă OH. La punctul E, situat pe avion la 2(Fig. 2.9), proiecție orizontală pe axă OH, iar fața coincide cu punctul însuși.

Portal pentru student. Autoinstruire