În matematică și fizică, elevii și școlarii întâlnesc adesea sarcini pentru mărimi vectoriale și pentru efectuarea diferitelor operații asupra acestora. Care este diferența dintre mărimile vectoriale și mărimile scalare cunoscute nouă, a căror singura caracteristică este o valoare numerică? Pentru că au direcție.

Utilizarea mărimilor vectoriale este cel mai clar explicată în fizică. Cele mai simple exemple sunt forțele (forța de frecare, forța elastică, greutatea), viteza și accelerația, deoarece pe lângă valorile numerice au și o direcție de acțiune. Pentru comparație, să luăm exemplu scalar: aceasta poate fi distanța dintre două puncte sau masa corpului. De ce este necesar să se efectueze operații pe mărimi vectoriale precum adunarea sau scăderea? Acest lucru este necesar pentru a putea determina rezultatul acțiunii unui sistem vectorial format din 2 sau mai multe elemente.

Definiții ale matematicii vectoriale

Să introducem principalele definiții utilizate la efectuarea operațiilor liniare.

1. Un vector este un segment direcționat (care are un punct de început și un punct final).
2. Lungimea (modulul) este lungimea segmentului direcționat.
3. Vectorii coliniari sunt doi vectori care fie sunt paraleli cu aceeași linie, fie se află simultan pe ea.
4. Vectorii direcționați opus se numesc coliniari și în același timp direcționați în direcții diferite. Dacă direcția lor coincide, atunci sunt co-direcționale.
5. Vectorii sunt egali atunci când sunt codirecționali și au aceeași valoare absolută.
6. Suma a doi vectori Ași b este un astfel de vector c, al cărui început coincide cu începutul primului, iar sfârșitul - cu sfârșitul celui de-al doilea, cu condiția ca bîncepe în același punct în care se termină A.
7. Diferența de vector Ași b chemați suma Ași ( - b ), Unde ( - b ) - opus vectorului b. De asemenea, definiția diferenței a doi vectori poate fi dată astfel: prin diferență c cuplu de vectori Ași b numi asta c, care, atunci când se adaugă la subtraend b formează un redus A.

Metoda analitica

Metoda analitică presupune obținerea coordonatelor diferenței după formula fără construcție. Este posibil să se efectueze un calcul pentru un spațiu plat (bidimensional), volumetric (tridimensional) sau n-dimensional.

Pentru spațiul bidimensional și cantități vectoriale A {a₁;a₂) și b {b₁;b₂} calculele vor arăta astfel: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

În cazul adăugării unei a treia coordonate, calculul se va efectua în mod similar, și pentru A {a₁;a₂; a₃) și b {b₁;b₂; b₃) coordonatele diferenței se vor obține și prin scădere în perechi: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b₃}.

Calcularea grafică a diferenței

Pentru a reprezenta grafic diferența, ar trebui să utilizați regula triunghiului. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați următoarea secvență de acțiuni:

1. Pentru coordonatele date, construiți vectorii pentru care trebuie să găsiți diferența.
2. Combinați capetele lor (adică, construiți două segmente direcționate egale cu cele date, care se vor termina în același punct).
3. Conectați începuturile ambelor segmente direcționate și indicați direcția; cel rezultat va începe în același punct în care a început vectorul care este minuend și se va termina în punctul de început al vectorului care este scăzut.

Rezultatul operației de scădere este prezentat în figura de mai jos..

Există și o metodă de construire a unei diferențe, ușor diferită de cea anterioară. Esența sa constă în aplicarea teoremei asupra diferenței vectorilor, care se formulează astfel: pentru a afla diferența unei perechi de segmente direcționate este suficient să găsim suma primului dintre ele cu segmentul opus. la al doilea. Algoritmul de construcție va arăta astfel:

1. Construiți segmente inițiale direcționate.
2. Cel care este subtrahend trebuie să fie reflectat, adică să construiască un segment îndreptat opus și egal; apoi combină începutul său cu cel redus.
3. Construiți suma: legați începutul primului segment cu sfârșitul celui de-al doilea.

Rezultatul acestei decizii este prezentat în figură:

Rezolvarea problemelor

Pentru consolidarea aptitudinii, vom analiza mai multe sarcini în care este necesar să se calculeze diferența analitic sau grafic.

Sarcina 1. Pe plan sunt 4 puncte: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Determinați coordonatele vectorului q = AB - CD și, de asemenea, calculați lungimea acestuia.

Decizie. Mai întâi trebuie să găsiți coordonatele ABși CD. Pentru a face acest lucru, scădeți coordonatele punctelor inițiale din coordonatele punctelor finale. Pentru ABînceputul este A(1; -3), iar sfârșitul - B(0; 4). Calculați coordonatele segmentului direcționat:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Un calcul similar se efectuează pentru CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Acum, cunoscând coordonatele, puteți găsi diferența vectorilor. Formula pentru rezolvarea analitică a problemelor plane a fost luată în considerare mai devreme: pentru c = A- b coordonatele arată ca ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Pentru un caz anume, puteți scrie:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Pentru a afla lungimea q, folosim formula | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Sarcina 2. Figura prezintă vectorii m, n și p.

Este necesar să se construiască diferențe pentru ele: p- n; m- n; m-n- p. Aflați care dintre ele are cel mai mic modul.

Decizie. Sarcina necesită trei construcții. Să ne uităm la fiecare parte a sarcinii mai detaliat.

Partea 1. Pentru a portretiza p-n, Să folosim regula triunghiului. Pentru a face acest lucru, folosind translația paralelă, conectăm segmentele astfel încât punctul lor final să coincidă. Acum să conectăm punctele de pornire și să definim direcția. În cazul nostru, vectorul diferență începe în același loc cu cel scăzut. n.

Partea 2. Să portretizăm m-n. Acum, pentru soluție, folosim teorema privind diferența de vectori. Pentru a face acest lucru, construiți un vector opus n,și apoi găsiți suma cu m. Rezultatul va arăta astfel:

Partea 3 Pentru a găsi diferența m-n-p,împărțiți expresia în două etape. Deoarece în algebra vectorială se aplică legi similare cu legile aritmeticii, sunt posibile următoarele opțiuni:

• m-(n+p): în acest caz, prima se construiește suma n+p, care apoi se scade din m;
• (m-n)-p: aici mai întâi trebuie să găsiți m-n, și apoi scădeți din această diferență p;
• (m-p)-n: se determină prima acţiune m-p, după care din rezultat trebuie să scazi n.

Deoarece în partea anterioară a problemei am găsit deja diferența m-n, nu putem decât să scădem din ea p. Să construim diferența a doi vectori dați folosind teorema diferenței. Răspunsul este prezentat în imaginea de mai jos (roșul indică rezultatul intermediar, iar verde indică rezultatul final).

Rămâne să se determine care dintre segmente are cel mai mic modul. Amintiți-vă că conceptele de lungime și modul din matematica vectorială sunt identice. Estimați vizual lungimile p- n, m-nși m-n-p. Evident, răspunsul din ultima parte a problemei este cel mai scurt și are cel mai mic modul și anume m-n-p.

Suma vectorilor. Lungimea vectorului. Dragi prieteni, există un grup de sarcini cu vectori în tipurile de examen din spate. Sarcini de o gamă destul de largă (este important să cunoaștem fundamentele teoretice). Majoritatea sunt rezolvate oral. Întrebările sunt legate de găsirea lungimii unui vector, a sumei (diferenței) vectorilor, a produsului scalar. Există, de asemenea, multe sarcini, în soluția cărora este necesar să se efectueze acțiuni cu coordonatele vectorilor.

Teoria din spatele vectorilor este simplă și ar trebui bine înțeleasă. În acest articol, vom analiza sarcinile asociate cu găsirea lungimii unui vector, precum și suma (diferența) vectorilor. Cateva puncte teoretice:

Concept de vector

Un vector este un segment de linie direcționată.

Toți vectorii care au aceeași direcție și au lungime egală sunt egali.

*Toți cei patru vectori de mai sus sunt egali!

Adică, dacă folosim translația paralelă pentru a muta vectorul dat, vom obține întotdeauna un vector egal cu cel original. Astfel, poate exista un număr infinit de vectori egali.

Notație vectorială

Un vector poate fi notat cu majuscule latine, de exemplu:

Cu această formă de notație se scrie mai întâi litera care denotă începutul vectorului, apoi litera care indică sfârșitul vectorului.

Un alt vector este notat cu o literă a alfabetului latin (majusculă):

De asemenea, este posibilă o desemnare fără săgeți:

Suma celor doi vectori AB și BC va fi vectorul AC.

Este scris ca AB + BC \u003d AC.

Această regulă se numește - regula triunghiului.

Adică, dacă avem doi vectori - să-i numim condiționat (1) și (2), iar sfârșitul vectorului (1) coincide cu începutul vectorului (2), atunci suma acestor vectori va fi o vector al cărui început coincide cu începutul vectorului (1) , iar sfârșitul coincide cu sfârșitul vectorului (2).

Concluzie: dacă avem doi vectori pe plan, putem găsi întotdeauna suma lor. Folosind translația paralelă, puteți muta oricare dintre acești vectori și puteți conecta începutul acestuia la sfârșitul altuia. De exemplu:

Să mutăm vectorul b, sau într-un alt mod - vom construi egal cu acesta:

Cum se găsește suma mai multor vectori? Dupa acelasi principiu:

* * *

regula paralelogramului

Această regulă este o consecință a celor de mai sus.

Pentru vectorii cu origine comună, suma lor este reprezentată de diagonala paralelogramului construit pe acești vectori.

Să construim un vector egal cu vectorul b astfel încât începutul său să coincidă cu sfârșitul vectorului A, și putem construi un vector care va fi suma lor:

Sunt necesare câteva informații mai importante pentru a rezolva probleme.

Un vector de lungime egală cu cel original, dar direcționat opus, este de asemenea notat, dar are semnul opus:

Aceste informații sunt extrem de utile pentru rezolvarea problemelor în care se pune problema găsirii diferenței de vectori. După cum puteți vedea, diferența de vectori este aceeași sumă într-o formă modificată.

Fiți dați doi vectori, găsiți diferența lor:

Am construit un vector opus vectorului b și am găsit diferența.

Coordonatele vectoriale

Pentru a găsi coordonatele vectoriale, trebuie să scădeți coordonatele de început corespunzătoare din coordonatele de sfârșit:

Adică, coordonatele vectorului sunt o pereche de numere.

În cazul în care un

Și coordonatele vectorilor arată astfel:

Atunci c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

În cazul în care un

Atunci c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

Modulul vectorial

Modulul unui vector este lungimea acestuia, determinată de formula:

Formula pentru determinarea lungimii unui vector dacă sunt cunoscute coordonatele începutului și sfârșitului său:

Luați în considerare sarcinile:

Cele două laturi ale dreptunghiului ABCD sunt 6 și 8. Diagonalele se intersectează în punctul O. Aflați lungimea diferenței dintre vectorii AO și BO.

Să găsim un vector care va fi rezultatul AO - VO:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

Adică diferența dintre vectorii AO și VO va fi un vector AB. Și lungimea sa este de opt.

Diagonale cu romburi ABCD sunt 12 și 16. Aflați lungimea vectorului AB +AD.

Să găsim un vector care va fi suma vectorilor AD și AB BC este egal cu vectorul AD . Deci AB+AD=AB+BC=AC

AC este lungimea diagonalei rombului AC, este egal cu 16.

Diagonalele rombului ABCD se intersectează într-un punct Oși sunt egale cu 12 și 16. Aflați lungimea vectorului AO + BO.

Să găsim un vector care va fi suma vectorilor AO și BO BO este egal cu vectorul OD,

AD este lungimea laturii rombului. Problema se reduce la găsirea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic AOD. Să calculăm picioarele:

Conform teoremei lui Pitagora:

Diagonalele rombului ABCD se intersectează în punctul O și sunt egale cu 12 și 16. Aflați lungimea vectorului AO –BO.

Să găsim un vector care va fi rezultatul AO - VO:

AB este lungimea laturii rombului. Problema se reduce la găsirea ipotenuzei AB într-un triunghi dreptunghic AOB. calculați picioarele:

Conform teoremei lui Pitagora:

Laturile unui triunghi regulat ABC sunt 3.

Aflați lungimea vectorului AB -AC.

Să găsim rezultatul diferenței de vectori:

CB este egal cu trei, deoarece condiția spune că triunghiul este echilateral și laturile sale sunt egale cu 3.

27663. Aflați lungimea vectorului a (6; 8).

27664. Aflați pătratul lungimii vectorului AB.

Mărimile matematice sau fizice pot fi reprezentate ca mărimi scalare (valoare numerică) sau mărimi vectoriale (magnitudine și direcție în spațiu).

Un vector este un segment de linie direcționată, pentru care se indică care dintre punctele sale limită este începutul și care este sfârșitul. Astfel, există două componente în vector - aceasta este lungimea și direcția acestuia.

Imaginea vectorului de pe desen.

Când se lucrează cu vectori, este adesea introdus un anumit sistem de coordonate carteziene în care coordonatele vectorului sunt determinate prin descompunerea acestuia în vectori de bază:

Pentru un vector situat în spațiul de coordonate (x,y,z) și părăsind originea

Distanța dintre începutul și sfârșitul unui vector se numește lungimea acestuia, iar simbolul modulului este folosit pentru a desemna lungimea unui vector (valoarea lui absolută).

Vectorii situati fie pe aceeasi linie, fie pe linii paralele se numesc coliniari. Vectorul nul este considerat coliniar oricărui vector. Dintre vectorii coliniari, se disting vectorii direcționați în mod egal (co-direcționați) și direcționați opus. Vectorii sunt numiți coplanari dacă se află fie pe același plan, fie pe linii drepte paralele cu același plan.

1. Lungimea vectorului (modulul vectorial)

Lungimea unui vector determină valoarea sa scalară și depinde de coordonatele sale, dar nu depinde de direcția acestuia. Lungimea unui vector (sau modulul unui vector) se calculează folosind rădăcina pătrată aritmetică a sumei pătratelor coordonatelor (componentelor) vectorului (se folosește regula de calcul a ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic, unde vectorul însuși devine ipotenuză).

Prin coordonate, modulul vectorului se calculează astfel:

Pentru un vector situat în spațiul de coordonate (x,y) și care iese din origine

Pentru un vector situat în spațiul de coordonate (x, y, z) și care iese din origine, formula va fi similară cu formula pentru diagonala unui paralelipiped dreptunghic, deoarece vectorul din spațiu ocupă aceeași poziție față de coordonată. topoare.

2. Unghiul dintre vectori

Unghiul dintre doi vectori reprezentați dintr-un punct este cel mai scurt unghi prin care unul dintre vectori trebuie rotit în jurul originii sale până la poziția celui de-al doilea vector. Unghiul dintre vectori este determinat folosind o expresie pentru a determina produsul scalar al vectorilor

Astfel, cosinusul unghiului dintre vectori este egal cu raportul dintre produsul scalar și produsul lungimilor sau modulelor vectorilor. Această formulă poate fi utilizată dacă se cunosc lungimile vectorilor și produsul lor scalar, sau vectorii sunt dați prin coordonate într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan sau în spațiu sub forma: și .

Dacă vectorii A și B sunt dați în spațiu tridimensional și coordonatele fiecăruia dintre ei sunt date sub forma: și , atunci unghiul dintre vectori este determinat de următoarea expresie:

Trebuie remarcat faptul că unghiul dintre vectori și poate fi determinat și prin aplicarea teoremei cosinusului pentru un triunghi: pătratul oricărei laturi a triunghiului este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lui aceste laturi de cosinusul unghiului dintre ele.

unde AB, OA, OB este latura corespunzătoare a triunghiului.

Teorema cosinusului pentru un triunghi

În ceea ce privește calculul vectorial, această formulă va fi rescrisă după cum urmează:

Astfel, unghiul dintre vectori și este determinat de următoarea expresie:

unde și este modulul (lungimea) vectorului și este modulul (lungimea) vectorului, care este determinată din diferența a doi vectori. Necunoscutele care intră în ecuație sunt determinate de coordonatele vectorilor și .

3. Adăugarea vectorului

Adunarea a doi vectori și (suma a doi vectori) este operația de calcul a vectorului , ale cărui elemente sunt egale cu suma pe perechi a elementelor corespunzătoare ale vectorilor și . Dacă vectorii sunt dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular suma vectorilor

Grafic, cu poziţia a doi vectori liberi poate fi efectuată atât după regula unui triunghi, cât și după regula paralelogramului.

Adunarea a doi vectori

Adunarea a doi vectori de alunecare este definită numai în cazul în care liniile pe care sunt situate se intersectează. Adunarea a doi vectori fix este definită numai dacă au o origine comună.

regula triunghiului.

Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii triunghiului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei să coincidă cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumă este dat de a treia latură a triunghiului format, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul cu sfârșitul celui de-al doilea vector.

unde este unghiul dintre vectori când începutul unuia coincide cu sfârșitul celuilalt.

regula paralelogramului.

Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii paralelogramului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începuturile lor să coincidă. Atunci vectorul sumă este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, provenind din originea lor comună.

Modulul (lungimea) vectorului sumă este determinat de teorema cosinusului:

unde este unghiul dintre vectorii care ies din acelasi punct.

Notă:

După cum puteți vedea, în funcție de unghiul ales, semnul din fața cosinusului unghiului se modifică în formula de determinare a modulului (lungimea) vectorului sumă.

4. Diferența vectorilor

Diferența vectorilor și (scăderea vectorilor) este operația de calculare a unui vector a cărui toate elementele sunt egale cu diferența pe perechi a elementelor corespunzătoare ale vectorilor și . Dacă vectorii sunt dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular diferenta de vectorși poate fi găsit folosind următoarea formulă:

În formă grafică, diferența de vectori și este suma vectorului și a vectorului opus vectorului, i.e.

Diferența a doi vectori liberi

Diferența a doi vectori liberi în formă grafică poate fi determinată atât de regula triunghiului, cât și de regula paralelogramului. Modulul (lungimea) vectorului de diferență este determinat de teorema cosinusului. În funcție de unghiul utilizat în formulă, semnul din fața cosinusului se schimbă (discutat mai devreme).

5. Produsul scalar al vectorilor

Produsul scalar a doi vectori este un număr real egal cu produsul dintre lungimile vectorilor înmulțiți și cosinusul unghiului dintre ei. Produsul scalar al vectorilor și este notat cu una dintre următoarele notații sau sau și este determinat de formula:

unde sunt lungimile vectorilor și, respectiv, și este cosinusul unghiului dintre vectori.

Produsul scalar a doi vectori

Produsul scalar poate fi calculat și prin coordonatele vectorilor dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular într-un plan sau în spațiu.

Produsul scalar a doi vectori pe un plan sau într-un spațiu tridimensional într-un sistem de coordonate dreptunghiular este suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor și .

Astfel, pentru vectori și pe un plan dintr-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, formula de calcul a produsului scalar este următoarea:

Pentru un spațiu tridimensional, formula pentru calcularea produsului scalar al vectorilor și are următoarea formă:

Proprietățile produsului scalar.

1. Proprietatea de comutativitate a produsului scalar

2. Proprietatea de distributivitate a produsului scalar

3. Proprietatea asociativă a produsului scalar (asociativitatea)

unde este un număr real arbitrar.

Trebuie menționat că în cazul:

Dacă produsul punctual este pozitiv, atunci unghiul dintre vectori este acut (mai puțin de 90 de grade);

Dacă produsul punctual este negativ, atunci unghiul dintre vectori este obtuz (mai mare de 90 de grade);

Dacă produsul scalar este 0, atunci vectorii sunt ortogonali (care sunt perpendiculari unul pe celălalt);

Dacă produsul scalar este egal cu produsul lungimilor vectorilor, atunci acești vectori sunt coliniari între ei (paraleli).

6. Produs vectorial al vectorilor

Un produs vectorial al doi vectori este un vector pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:

1. vectorul este ortogonal (perpendicular) pe planul vectorilor si ;

Multe mărimi fizice sunt complet determinate de atribuirea unui număr. Acestea sunt, de exemplu, volumul, masa, densitatea, temperatura corpului etc. Astfel de mărimi sunt numite scalare. Din acest motiv, numerele sunt uneori numite scalari. Dar există și astfel de cantități care sunt determinate prin stabilirea nu numai a unui număr, ci și a unei anumite direcții. De exemplu, atunci când un corp se mișcă, ar trebui să indicați nu numai viteza cu care se mișcă corpul, ci și direcția mișcării. În același mod, atunci când se studiază acțiunea oricărei forțe, este necesar să se indice nu numai valoarea acestei forțe, ci și direcția acțiunii sale. Astfel de cantități sunt numite vector. Pentru a le descrie, a fost introdus conceptul de vector, care s-a dovedit a fi util pentru matematică.

Definiție vectorială

Orice pereche ordonată de puncte de la A la B din spațiu definește segment dirijat, adică segment împreună cu direcția dată pe acesta. Dacă punctul A este primul, atunci se numește începutul segmentului direcționat, iar punctul B se numește sfârșitul acestuia. Direcția segmentului este direcția de la început până la sfârșit.

Definiție
Un segment direcționat se numește vector.

Vom desemna vectorul prin simbolul \(\overrightarrow(AB) \), unde prima literă înseamnă începutul vectorului, iar a doua - sfârșitul acestuia.

Se numește un vector al cărui început și sfârșit sunt același zeroși este notat cu \(\vec(0) \) sau doar 0.

Distanța dintre începutul și sfârșitul unui vector se numește sa lungși notat cu \(|\overrightarrow(AB)| \) sau \(|\vec(a)| \).

Se numesc vectorii \(\vec(a) \) si \(\vec(b) \). coliniare dacă se află pe aceeaşi linie sau pe drepte paralele. Vectorii coliniari pot fi direcționați la fel sau opus.

Acum putem formula conceptul important al egalității a doi vectori.

Definiție
Vectorii \(\vec(a) \) și \(\vec(b) \) se numesc egali (\(\vec(a) = \vec(b) \)) dacă sunt coliniari, au aceeași direcție, iar lungimile lor sunt egale.

Pe fig. 1, vectorii inegali sunt afișați în stânga, iar vectorii egali \(\vec(a) \) și \(\vec(b) \) sunt afișați în dreapta. Din definiția egalității vectorilor rezultă că dacă un vector dat este mutat paralel cu el însuși, atunci se va obține un vector egal cu cel dat. În acest sens, se numesc vectori în geometria analitică liber.

Proiecția unui vector pe o axă

Fie axa \(u\) și un vector \(\overrightarrow(AB)\) să fie date în spațiu. Să desenăm prin punctele A și B în planul perpendicular pe axa \ (u \). Să notăm cu A „și B” punctele de intersecție a acestor plane cu axa (vezi Figura 2).

Proiecția vectorului \(\overrightarrow(AB) \) pe axa \(u\) este valoarea A"B" a segmentului direcționat A"B" pe axa \(u\). Amintește-ți asta
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , dacă direcția \(\overrightarrow(A"B") \) este aceeași cu direcția axei \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) dacă direcția lui \(\overrightarrow(A"B") \) este opusă direcției axei \(u \),
Proiecția vectorului \(\overrightarrow(AB) \) pe axa \(u \) se notează astfel: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \).

Teorema
Proiecția vectorului \(\overrightarrow(AB) \) pe axa \(u \) este egală cu lungimea vectorului \(\overrightarrow(AB) \) înmulțit cu cosinusul unghiului dintre vectorul \( \overrightarrow(AB) \) și axa \( u \) , adică.

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) unde \(\varphi \) este unghiul dintre vectorul \(\overrightarrow(AB) \) și axa \(u \).

cometariu
Fie \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) și unele axe \(u \). Aplicând formula teoremei fiecăruia dintre acești vectori, obținem

\(Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) adică. vectorii egali au proiecții egale pe aceeași axă.

Proiectii vectoriale pe axe de coordonate

Fie un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz și un vector arbitrar \(\overrightarrow(AB) \) în spațiu. Fie, mai departe, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Proiecțiile X, Y, Z ale vectorului \(\overrightarrow(AB) \) pe axele de coordonate îl numesc coordonate.În același timp ei scriu
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

Teorema
Oricare ar fi două puncte A(x 1 ; y 1 ; z 1) și B(x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) coordonatele vectorului \(\overrightarrow(AB) \) sunt definite prin următoarele formule :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

cometariu
Dacă vectorul \(\overrightarrow(AB) \) părăsește originea, i.e. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, atunci coordonatele X, Y, Z ale vectorului \(\overrightarrow(AB) \) sunt egale cu coordonatele capătului său:
X=x, Y=y, Z=z.

Cosinusuri de direcție vectorială

Fie un vector arbitrar \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); presupunem că \(\vec(a) \) părăsește originea și nu se află în niciun plan de coordonate. Să desenăm prin punctul A plane perpendiculare pe axele. Împreună cu planurile de coordonate, ele formează un paralelipiped dreptunghiular, a cărui diagonală este segmentul OA (vezi figura).

Din geometria elementară se știe că pătratul lungimii diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor lungimilor celor trei dimensiuni ale sale. Prin urmare,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Dar \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); astfel obținem
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
sau
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Această formulă exprimă lungimea unui vector arbitrar în termeni de coordonatele sale.

Notați cu \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) unghiurile dintre vectorul \(\vec(a) \) și axele de coordonate. Din formulele de proiecție a vectorului pe axă și lungimea vectorului se obține
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) sunt numite cosinusurile de direcție ale vectorului \(\vec(a) \).

Pătratând părțile stânga și dreaptă ale fiecăreia dintre egalitățile anterioare și însumând rezultatele, avem
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
acestea. suma cosinusurilor direcției pătrate ale oricărui vector este egală cu unu.

Operații liniare pe vectori și proprietățile lor principale

Operațiile liniare pe vectori sunt operațiile de adunare și scădere a vectorilor și de înmulțire a vectorilor cu numere.

Adunarea a doi vectori

Să fie dați doi vectori \(\vec(a) \) și \(\vec(b) \). Suma \(\vec(a) + \vec(b) \) este un vector care merge de la începutul vectorului \(\vec(a) \) până la sfârșitul vectorului \(\vec(b) \) cu condiția ca vectorul \(\vec(b) \) să fie atașat la capătul vectorului \(\vec(a) \) (vezi figura).

cometariu
Acțiunea de scădere a vectorilor este opusă acțiunii de adunare, adică. diferența \(\vec(b) - \vec(a) \) a vectorilor \(\vec(b) \) și \(\vec(a) \) este vectorul care, împreună cu vectorul \( \vec(a) ) \) dă vectorul \(\vec(b) \) (vezi figura).

cometariu
După ce am determinat suma a doi vectori, se poate găsi suma oricărui număr de vectori dați. Fie, de exemplu, dați trei vectori \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Adăugând \(\vec(a) \) și \(\vec(b) \), obținem vectorul \(\vec(a) + \vec(b) \). Acum adăugând vectorul \(\vec(c) \) la el, obținem vectorul \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Produsul unui vector cu un număr

Fie dat un vector \(\vec(a) \neq \vec(0) \) și un număr \(\lambda \neq 0 \). Produsul \(\lambda \vec(a) \) este un vector coliniar cu vectorul \(\vec(a) \), are lungimea egală cu \(|\lambda| |\vec(a)| \), și o direcție aceeași cu vectorul \(\vec(a) \) dacă \(\lambda > 0 \), și opusul dacă \(\lambda (0) \) cu numărul \(\lambda \neq 0 \) poate fi exprimat astfel: dacă \(|\lambda| >1 \), atunci la înmulțirea vectorului \(\vec(a) \) cu numărul \( \lambda \) vectorul \( \vec(a) \) este „întins” de \(\lambda \) ori, iar dacă \(|\lambda| 1 \).

Dacă \(\lambda =0 \) sau \(\vec(a) = \vec(0) \), atunci produsul \(\lambda \vec(a) \) se presupune a fi egal cu vectorul zero.

cometariu
Folosind definiția înmulțirii unui vector cu un număr, este ușor de demonstrat că dacă vectorii \(\vec(a) \) și \(\vec(b) \) sunt coliniari și \(\vec(a) \neq \vec(0) \), atunci există (și doar un singur) număr \(\lambda \) astfel încât \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Proprietățile de bază ale operațiilor liniare

1. Proprietatea comutativă a adunării
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Proprietate asociativă a adunării
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Proprietatea asociativă a înmulțirii
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Proprietatea distributivă în raport cu suma numerelor
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Proprietate distributivă în raport cu suma vectorilor
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

cometariu
Aceste proprietăți ale operațiilor liniare sunt de o importanță fundamentală, deoarece fac posibilă efectuarea de operații algebrice obișnuite pe vectori. De exemplu, datorită proprietăților 4 și 5, este posibil să se realizeze înmulțirea unui polinom scalar cu un polinom vectorial „termen cu termen”.

Teoreme de proiecție vectorială

Teorema
Proiecția sumei a doi vectori pe o axă este egală cu suma proiecțiilor lor pe această axă, adică.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Teorema poate fi generalizată la cazul oricărui număr de termeni.

Teorema
La înmulțirea vectorului \(\vec(a) \) cu numărul \(\lambda \), proiecția lui pe axă se înmulțește și cu acest număr, adică. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)

Consecinţă
Dacă \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) și \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), atunci
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Consecinţă
Dacă \(\vec(a) = (x;y;z) \), atunci \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) pentru orice număr \(\lambda \)

De aici este ușor de dedus condiția de coliniaritate a doi vectori în coordonate.
Într-adevăr, egalitatea \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) este echivalentă cu egalitățile \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) sau
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) adică. vectorii \(\vec(a) \) și \(\vec(b) \) sunt coliniari dacă și numai dacă coordonatele lor sunt proporționale.

Descompunerea unui vector în termeni de bază

Fie vectorii \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) vectorii unitari ai axelor de coordonate, i.e. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), iar fiecare dintre ele este orientată în mod egal cu axa de coordonate corespunzătoare (vezi figura). Un triplu de vectori \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) se numește bază.
Următoarea teoremă este valabilă.

Teorema
Orice vector \(\vec(a) \) poate fi extins în mod unic în baza \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), adică. prezentat sub formă
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
unde \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) sunt unele numere.