Con. Frustum

Suprafata conica numită suprafaţa formată din toate liniile drepte care trec prin fiecare punct al curbei date şi un punct în afara curbei (Fig. 32).

Această curbă se numește ghid , direct - generatoare , punct - vârf suprafata conica.

Suprafață conică circulară dreaptă numită suprafața formată din toate dreptele care trec prin fiecare punct al cercului dat și un punct de pe dreapta care este perpendicular pe planul cercului și trece prin centrul acestuia. În cele ce urmează, această suprafață va fi denumită pe scurt suprafata conica (fig.33).

con (con circular drept ) se numește corp geometric delimitat de o suprafață conică și un plan care este paralel cu planul cercului de ghidare (Fig. 34).

Orez. 32 Fig. 33 Fig. 34

Un con poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei axe care conține unul dintre catetele triunghiului.

Cercul care delimitează conul se numește bază . Vârful unei suprafețe conice se numește vârf con. Segmentul de linie care leagă vârful unui con de centrul bazei sale se numește înalt con. Segmentele care formează o suprafață conică se numesc generatoare con. axă a unui con este o linie dreaptă care trece prin vârful conului și centrul bazei acestuia. Secțiune axială numită secțiunea care trece prin axa conului. Dezvoltarea laterală a suprafeței Un con este un sector a cărui rază este egală cu lungimea generatricei conului, iar lungimea arcului sectorului este egală cu circumferința bazei conului.

Pentru un con, următoarele formule sunt adevărate:

Unde R este raza bazei;

H- inaltime;

l- lungimea generatricei;

S principal- suprafata de baza;

partea S

S plin

V este volumul conului.

trunchi de con numită porțiunea conului cuprinsă între bază și planul de tăiere paralel cu baza conului (Fig. 35).

Un trunchi de con poate fi considerat ca un corp obtinut prin rotirea unui trapez dreptunghiular in jurul unei axe care contine latura laterala a trapezului, perpendiculara pe baze.

Cele două cercuri care delimitau conul se numesc sale temeiuri . Înălţime a unui trunchi de con este distanța dintre bazele sale. Segmentele care formează suprafața conică a unui trunchi de con se numesc generatoare . Linia dreaptă care trece prin centrele bazelor se numește axă trunchi de con. Secțiune axială numită secţiunea care trece prin axa trunchiului de con.

Pentru un trunchi de con, următoarele formule sunt adevărate:

(8)

Unde R este raza bazei inferioare;

r este raza bazei superioare;

H este înălțimea, l este lungimea generatricei;

partea S este aria suprafeței laterale;

S plin este suprafața totală;

V este volumul trunchiului de con.

Exemplul 1 Secțiunea conului paralelă cu baza împarte înălțimea într-un raport de 1:3, numărând de sus. Aflați aria suprafeței laterale a unui trunchi de con dacă raza bazei și înălțimea conului sunt de 9 cm și 12 cm.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 36).

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a unui trunchi de con, folosim formula (8). Aflați razele bazelor Cam 1 Ași Aproximativ 1 Vși generatoare AB.

Luați în considerare triunghiuri similare SO 2 Bși SO 1 A, coeficient de asemănare , atunci

De aici

De atunci

Aria suprafeței laterale a unui trunchi de con este egală cu:

Răspuns: .

Exemplul2. Un sfert de cerc de rază este pliat într-o suprafață conică. Aflați raza bazei și înălțimea conului.

Decizie. Cvadruplu de cerc este o dezvoltare a suprafeței laterale a conului. Denota r este raza bazei sale, H-înălţime. Suprafața laterală se calculează prin formula: . Este egal cu aria unui sfert de cerc: . Obținem o ecuație cu două necunoscute rși l(generator al unui con). În acest caz, generatoarea este egală cu raza unui sfert de cerc R, deci obținem următoarea ecuație: , de unde Cunoscând raza bazei și a generatricei, aflăm înălțimea conului:

Răspuns: 2 cm, .

Exemplul 3 Un trapez dreptunghiular cu un unghi ascuțit de 45 O, o bază mai mică de 3 cm și o latură înclinată egală cu , se rotește în jurul laturii perpendiculare pe baze. Aflați volumul corpului de revoluție obținut.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 37).

Ca rezultat al rotației, obținem un trunchi de con; pentru a-i găsi volumul, calculăm raza bazei mai mari și înălțimea. într-un trapez O 1 O 2 AB vom cheltui AC^O 1 B. În avem: deci acest triunghi este isoscel AC=î.Hr\u003d 3 cm.

Răspuns:

Exemplul 4 Un triunghi cu laturile de 13 cm, 37 cm și 40 cm se rotește în jurul unei axe externe care este paralelă cu latura mai mare și se află la 3 cm distanță de aceasta (axa este situată în planul triunghiului). Găsiți aria suprafeței corpului de revoluție rezultat.

Decizie . Să facem un desen (Fig. 38).

Suprafața corpului de revoluție rezultat este formată din suprafețele laterale a două trunchiuri de con și suprafața laterală a cilindrului. Pentru a calcula aceste suprafețe este necesar să se cunoască razele bazelor conurilor și ale cilindrului ( FIși OC) formând conuri ( î.Hrși AC) și înălțimea cilindrului ( AB). Necunoscutul este doar CO. este distanța de la latura triunghiului la axa de rotație. Sa gasim DC. Aria triunghiului ABC pe o latură este egală cu produsul dintre jumătatea laturii AB și înălțimea trasă pe aceasta DC, pe de altă parte, cunoscând toate laturile triunghiului, calculăm aria lui folosind formula lui Heron.

Când studiați materialul subiectului, trebuie să învățați:

tipuri de corpuri de revoluție;

definiții ale corpurilor de revoluție;

definiții ale elementelor corpurilor de revoluție;

concepte de dezvoltare a unui cilindru și a unui con;

definirea și calculul suprafeței laterale și complete a cilindrului și conului;

definirea planului tangent la sferă și proprietățile acesteia;

conceptul de suprafață a unei sfere;

definirea unui poliedru înscris într-o sferă și descris în jurul acesteia.

În procesul de rezolvare a problemelor, sunt testate următoarele abilități:

înfățișează corpurile revoluției;

Calculați elemente ale corpurilor de revoluție;

descrieți secțiuni de corpuri;

Calculați aria suprafeței laterale și complete a cilindrului și a conului;

Scrieți o ecuație pentru o sferă.

Întrebări ale testului teoretic

Opțiunea 1

1. Conceptul de suprafață cilindrică și elementele acesteia. Formulați definiția unui cilindru și a elementelor acestuia.

2. Deduceți o formulă pentru calcularea suprafeței unei sfere.

3. Aflați raportul dintre suprafața laterală și secțiunea axială a conului.

Opțiunea 2

1. Conceptul de suprafață conică. Formulați definiția unui con și a elementelor sale.

2. Determinați poziția centrului sferei circumscrisă unei piramide patruunghiulare regulate. Dovediți afirmația dvs.

3. Găsiți raportul dintre aria suprafeței laterale și secțiunea axială a cilindrului.

Opțiunea 3

1. Formulați definiția unui trunchi de con și a elementelor acestuia.

2. Determinați poziția centrului sferei înscris într-o piramidă triunghiulară regulată. Dovediți afirmația dvs.

3. Demonstrați că suprafața totală a unui con echilateral este egală cu suprafața unei mingi cu diametrul înălțimii conului.

Opțiunea 4

1. Formulați definițiile unei sfere și ale unei mingi. Scrieți ecuațiile unei sfere de rază R centrată în punctul O(0; 0; 0) și în punctul A(x0; y0; z0).

2. Deduceți o formulă pentru calcularea suprafeței laterale a unui con.

3. Demonstrați că aria suprafeței întregi a unui cilindru este egală cu aria suprafeței laterale a altui cilindru de aceeași rază, a cărui înălțime este egală cu suma razei și înălțimea acestui cilindru .

Munca independentă 17

Opțiunea 1

1. Aria secțiunii axiale a cilindrului este 16. Găsiți aria secțiunii acestui cilindru, care este paralelă cu axa și situată la o distanță de aceasta egală cu jumătate din raza bazei cilindrul.

2. Semicercul este pliat într-o suprafață conică. Aflați unghiul dintre generatoare și înălțimea conului.

3. Razele a două bile sunt de 16 și 20 dm, distanța dintre centrele lor este de 25 dm. Aflați circumferința cercului în care se intersectează suprafețele lor.

Opțiunea 2

1. Raza bazei cilindrului este de 26 cm, formând 4,8 dm. La ce distanță de axa cilindrului trebuie trasată o secțiune paralelă cu axa și care are forma unui pătrat?

2. Raza sectorului este de 3 m, unghiul acestuia este de 120°. Sectorul este pliat într-o suprafață conică. Aflați raza bazei conului.

3. Diagonalele rombului sunt de 30 si 40 cm.Suprafata sferica atinge toate laturile rombului. Aflați distanța de la centrul sferei la planul rombului dacă raza sferei este de 13 cm.

Opțiunea 3

1. Raza bazei cilindrului este de 12 cm.Aflați distanța dintre secțiunea axială și secțiunea cu jumătate din suprafață.

2. Unghiul de dezvoltare al suprafeței laterale a conului este de 120°. Generatoarea conului este de 15 cm.Calculează diametrul bazei conului.

3. Pe o minge cu raza de 10 cm se suprapune un romb astfel incat fiecare latura a acesteia, egala cu 12,5 cm, sa atinga mingea. Planul rombului este la 8 cm distanță de centrul mingii.Găsiți aria rombului.

Opțiunea 4

1. Prin generatoarea cilindrului sunt trasate două secțiuni reciproc perpendiculare, ale căror zone sunt egale cu 60 și 80 dm. Găsiți aria secțiunii axiale.

2. Raza bazei conului este de 12 cm, formând 40 cm.Calculează unghiul de măturare al acestui con.

3. Laturile triunghiului sunt de 10 dm, 10 dm si 12 dm. Aflați distanța de la planul triunghiului la centrul bilei tangentă la laturile triunghiului. Raza mingii este de 5 dm.

Munca independentă 18

Opțiunea 1

1. Diagonala secțiunii axiale a cilindrului este cu 25% mai mare decât diametrul bazei acestuia. Aflați aria totală a cilindrului dacă distanța dintre centrele acestuia este de 15 cm.

2. Dezvoltarea suprafeței laterale a cilindrului - un pătrat cu latura de 4 dm. Aflați volumul cilindrului.

3. Diagonalele secțiunii axiale a trunchiului de con sunt reciproc perpendiculare, înălțimea conului este H, formând l. Aflați suprafața laterală a conului.

4. Raza bazei conului este de 12 cm, formând 40 cm.Aflați unghiul de dezvoltare al suprafeței laterale a conului.

5. Generator de trunchi de con 10 cm, diferența de bază 6 cm, aria secțiunii axiale 112 cm2. Aflați suprafața laterală a conului.

6. Un paralelogram ale cărui laturi sunt de 21 cm și 89 cm și a cărui diagonală este de 100 cm se învârte în jurul laturii mai mici. Aflați volumul corpului de revoluție.

7. Un triunghi dreptunghic cu catetele de 16 și 12 cm se învârte în jurul ipotenuzei. Găsiți volumul și aria de rotație.

Opțiunea 2

1. Suprafața laterală a cilindrului este jumătate din suprafața totală. Aflați suprafața totală a cilindrului dacă diagonala secțiunii axiale este de 10 inchi.

2. Suprafața totală a cilindrului este de 500 p cm2, diametrul bazei acestuia este de 20 cm. Aflați volumul cilindrului.

3. Generatoarea unui trunchi de con se referă la înălțimea sa ca 41:40. Razele bazei sunt de 24 și 6 cm.Aflați suprafața laterală a conului.

4. Unghiul de dezvoltare al suprafeței laterale a conului este de 120°. Generatoarea conului este de 15 cm.Aflați suprafața totală a conului.

5. Aflați înălțimea unui trunchi de con dacă suprafața sa laterală este egală cu suma ariilor bazelor, iar razele bazelor sunt R și r.

6. Un trapez isoscel cu baze de 12 și 18 cm și un unghi ascuțit de 60 ° se rotește în jurul unei baze mai mici. Aflați suprafața și volumul corpului de revoluție.

7. Un triunghi cu două laturi egale cu 5 cm și 8 cm, face un unghi de 60 °, se rotește în jurul celei mai mari laturi. Aflați suprafața și volumul corpului de revoluție.

Munca independentă 19

Opțiunea 1

1. Un triunghi dreptunghic cu catetele 16 și 12 cm se învârte în jurul ipotenuzei. Găsiți suprafața corpului de revoluție.

2. Razele bazelor centurii sferice sunt de 63 si 39 cm, inaltimea acesteia este de 36 cm.Aflati suprafata centurii sferice.

3. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate h. Coastele laterale sunt reciproc perpendiculare. Aflați raza sferei circumscrise.

4. Într-o piramidă trunchiată triunghiulară regulată, înălțimea este de 17 cm, razele cercurilor descrise în jurul bazelor sunt de 5 și 12 cm.Aflați raza bilei circumscrise.

5. Un pătrat cu latura egală cu a se rotește în jurul unei perpendiculare pe diagonală, trasă prin capătul său. Găsiți suprafața corpului rezultat.

Opțiunea 2

1. Un triunghi ale cărui două laturi sunt de 5 și 8 cm, formează un unghi de 60 °, se rotește în jurul celei mai mari laturi. Găsiți suprafața corpului de revoluție.

2. Suprafața totală a segmentului sferic este egală cu S. Determinați înălțimea segmentului dacă raza bilei este R.

3. Baza piramidei este un triunghi regulat, a cărui latură este de 3 dm. Una dintre marginile laterale are 2 dm si perpendiculara pe baza. Aflați raza sferei circumscrise.

4. Laturile bazelor unei piramide trunchiate patruunghiulare regulate sunt de 7 și 1 dm. Marginea laterală este înclinată față de bază la un unghi de 45° Aflați raza sferei circumscrise.

5. Un hexagon regulat cu latura a se rotește în jurul axei externe, care este paralelă cu latura și distanțată de aceasta de lungimea apotemului. Găsiți suprafața corpului rezultat.

Munca independentă 20

Opțiunea 1

1. Muchia laterală a unei piramide triunghiulare regulate este egală cu b și formează un unghi a cu planul bazei. Un cilindru echilateral este înscris într-o piramidă, astfel încât planul bazei se află în planul bazei piramidei. Aflați volumul cilindrului.

2. Baza piramidei este un triunghi regulat. O muchie laterală este perpendiculară pe planul de bază și este egală cu l, iar celelalte două formează un unghi a cu planul de bază. În piramidă este înscrisă o prismă dreaptă, dintre care trei vârfuri se află pe marginile laterale ale piramidei, iar celelalte trei se află pe baza piramidei, diagonala feței laterale a prismei este cu planul bazei. Ð b. Aflați înălțimea prismei.

3. Într-o prismă patruunghiulară obișnuită, aria feței laterale este egală cu q. Găsiți aria secțiunii diagonale.

4. Un plan perpendicular pe diametrul mingii o împarte în părți de 3 și 9 cm.În ce părți este împărțit volumul mingii?

Opțiunea 2

1. Unghiul din partea superioară a secțiunii axiale a conului este 2b. Circumferința bazei este de c. Determinați aria suprafeței laterale a conului.

2. Diagonalele secțiunii axiale a unui trunchi de con se împart la punctul de intersecție în raport de 2: 1, numărând de la baza mare. Unghiul dintre diagonalele orientate spre bază este a. Diagonala este l. Aflați volumul conului.

3. Marginea laterală a unui paralelipiped drept este de 5 cm, laturile bazei sunt de 6 și 8 cm, una dintre diagonalele bazei este de 12 cm. Aflați diagonalele paralelipipedului.

4. Ce parte din volumul bilei este volumul unui segment sferic cu o înălțime de 0,1 din diametrul bilei?

Opțiunea 3

1. Generatoarea conului este egală cu l și este înclinată față de planul bazei la un unghi a. Determinați suprafața totală a cubului înscris.

2. În baza conului este înscris un pătrat, a cărui latură este a. Planul care trece prin una dintre laturile acestui pătrat și vârful conului, la intersectarea cu suprafața conului, formează un triunghi isoscel cu un unghi la vârf egal cu a. Aflați volumul conului.

3. Latura bazei unei prisme patrulatere obișnuite este de 15 cm, iar înălțimea este de 20 cm. Aflați distanța cea mai scurtă de la latura bazei la diagonala prismei care nu o intersectează.

4. Două bile egale sunt aranjate astfel încât centrul uneia să se afle pe suprafața celeilalte. Cum este raportat volumul părții totale a mingii cu volumul întregii mingi?

Opțiunea 4

1. Într-un con este înscrisă o prismă triunghiulară dreptunghiulară cu nervuri egale, a cărei generatoare este înclinată pe planul bazei sub un unghi a. Aflați volumul prismei dacă raza bazei conului este R.

2. Volumul conului este V. În con este înscrisă o piramidă, la baza căreia se află un triunghi isoscel cu un unghi a între laturi. Aflați volumul piramidei.

3. Într-un paralelipiped drept, muchia laterală este de 1 m, laturile bazei sunt de 23 dm și 11 dm, diagonalele bazei sunt 2: 3. Aflați ariile secțiunilor diagonale.

4. Pe partea bazei a și pe muchia laterală b, găsiți suprafața completă a unei prisme hexagonale regulate.

. Con. Noțiuni de bază.

Definiție. con numită figură geometrică obținută prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre catetele acestuia. Piciorul, în raport cu care are loc rotația - axă con, numeric egal cu înălțimea sa; a doua etapă - rază motive; ipotenuza - generator (formează suprafața laterală a conului în timpul rotației).

M- vârful conului O- centrul bazei MO- axa conului, MO = H este înălțimea conului, OA = OV =…= R este raza bazei, A.M= BM =…= l este generatria unui con. Secțiunea axială a conului triunghi isoscel (de exemplu, triunghi AMB). Secțiunea unui con cu un plan paralel cu baza este un cerc asemănător bazei.

Dezvoltarea suprafeței conului constă dintr-un cerc și un sector al cercului.

. Frustum.

Definiție. trunchi de con numită figură geometrică obținută prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul laturii sale mai mici. Cu alte cuvinte: un trunchi de con este partea de con închisă între bază și secțiunea conului paralelă cu bază. Secțiune axială trapez isoscel (de exemplu, ABB 1 DAR 1 ) .

B 1 A 1

. Volumul și suprafața unui con.

	trunchiată

Aici R este raza bazei inferioare, r este raza bazei superioare, H- inaltime, l- generatoare.

Întrebări și sarcini

O pungă este pliată din hârtie, având forma unui con cu o rază de bază de 5 cm și o înălțime de 10 cm.Determinați suprafața pungii.

Generatoarea conului este de 2 cm, iar raza bazei este de 1 cm. Explicați dacă aria suprafeței totale de biți este mai mare sau mai mică de 6 cm 2.

Aflați aria suprafeței totale a conului dacă:

a) raza bazei sale este 2, iar generatoarea este 4;

b) raza bazei este 3, iar înălțimea este 4;

c) raza bazei este 4, iar unghiul de înclinare al generatricei față de bază este 30 0 .

Aflați volumul conului dacă:

a) raza bazei este 2 și înălțimea sa este 3;

b) raza bazei sale este 3, iar generatoarea este 5;

c) raza bazei este egală cu 2, iar generatoarea este înclinată față de planul bazei la un unghi de 30°;

d) raza bazei este 3, iar aria secțiunii axiale este 12.

A și b (A < b) se rotește mai întâi în jurul unuia dintre ele, apoi în jurul celuilalt. Comparaţie:

a) aria suprafețelor laterale ale conurilor obținute;

b) ariile suprafetelor totale ale conurilor rezultate.

Un triunghi dreptunghic isoscel cu catete de lungime 2 este rotit în jurul ipotenuzei. Găsiți aria suprafeței rezultate.

Un triunghi dreptunghic cu catetele 3 și 4 este rotit în jurul ipotenuzei. Găsiți aria suprafeței rezultate.

Un triunghi dreptunghic cu catete de 6 cm și 8 cm se învârte în jurul piciorului mai mic. Calculați ariile suprafețelor laterale și pline ale conului format în timpul acestei rotații.

Triunghi dreptunghic cu picioare Ași b se învârte în jurul ipotenuzei. Aflați volumul corpului de revoluție rezultat.

Un paralelogram cu laturile de 6 cm și 8 cm și un unghi de 60 0 este rotit în jurul unei linii drepte care conține latura mai mare a paralelogramului. Găsiți aria suprafeței rezultate.

Unghiul dintre generatoare și axa conului este de 45 °, generatria este de 6,5 cm. Aflați aria suprafeței laterale a conului.

Aria secțiunii axiale a conului este de 0,6 cm². Înălțimea conului este de 1,2 cm Calculați suprafața totală a conului.

Aflați volumul unui con dacă aria bazei sale este Q și aria suprafeței sale laterale este P.

Înălțimea unui con este egală cu diametrul bazei acestuia. Aflați volumul unui con dacă înălțimea lui este H.

Aflați volumul unui con dacă generatria lui este de 13 cm și aria secțiunii axiale este de 60 cm².

Razele bazelor trunchiului de con sunt de 3 m și 6 m, iar generatoarea este de 5 m. Aflați volumul trunchiului de con.

Se consideră un con cu o rază de bază de 5 cm și o generatrixă de 3 cm. O secțiune paralelă cu baza conului este trasată printr-un punct al generatricei situat la o distanță de 1 cm de vârf. Efectuați următoarele sarcini în secvență:

a) găsiți zona acestei secțiuni;

b) găsiți aria suprafeței laterale a acestui con;

c) găsiți aria suprafeței laterale a conului tăiată de planul desenat;

d) găsiți aria suprafeței laterale a trunchiului de con tăiată de planul desenat;

e) găsiți suprafața totală a acestui trunchi de con.

Aflați generatoarea unui trunchi de con dacă razele bazelor sunt de 3 cm și 6 cm, iar înălțimea este de 4 cm.

Aria bazei conului este de 12 cm², înălțimea sa este de 6 cm. Găsiți aria secțiunii sale, paralelă cu baza și desenată:

a) prin înălțimea mijlocie;

b) la o distanţă de 2 cm de vârful conului;

c) la o distanţă de 4 cm de vârful conului.

Aflați volumele conurilor ale căror baze sunt secțiunile considerate și al căror vârf este vârful conului dat.

Aria bazei conului este de 25 cm², iar înălțimea este de 5 cm. O secțiune paralelă cu baza este desenată la o distanță de 1 cm de vârf. Găsiți volumul trunchiului de con tăiat de secțiunea desenată.

Inaltimea conului este de 5 cm.La o distanta de 2 cm de varf este strabatut de un plan paralel cu baza. Găsiți volumul conului original dacă volumul conului mai mic tăiat de cel original este de 24 cm³.

Într-un trunchi de con, înălțimea este cunoscută h, formând l şi zonă S suprafata laterala. Găsiți aria secțiunii axiale și volumul trunchiului de con.

După cum se știe; când un punct se rotește în jurul unei axe, se mișcă într-un plan perpendicular pe axa de rotație și descrie un cerc. Pentru a aplica metoda rotației în vederea transformării desenului, notăm următoarele patru elemente (Fig. 5.8):

axa de rotație (MN);

planul de rotație a punctului(pl. S este perpendicular (MN));

centrul de rotație;

raza de rotație (R; R= |OA|).

Ca axa de rotatie se folosesc de obicei linii drepte, perpendiculare sau paralele pe planurile de proiectie. Luați în considerare rotația în jurul axelor perpendiculare pe planurile de proiecție.

Rotația punctului A pe desenul despre ax MN, perpendicular pe plan H, prezentat în figura 5.9. Planul de rotație S este paralelă cu planul H și este reprezentată pe proiecția frontală după cum urmează S v. Proiecție orizontală despre centrul de rotație despre coincide cu proiecția tp axele și proiecția orizontală oa raza de rotatie OA este valoarea sa naturală. rotirea punctului DAR din figura 5.9 se face printr-un unghi φ în sens invers acelor de ceasornic astfel încât în ​​noua poziţie a punctului cu proiecţii a1", a1 raza de rotație era paralelă cu planulV Când un punct se rotește în jurul axei verticale, proiecția sa orizontală se deplasează de-a lungul cercului, iar proiecția frontală se deplasează paralel cu axa x și perpendicular pe axa de rotație.

Dacă punctul este rotit în jurul unei axe perpendiculare pe planul V, atunci proiecția sa frontală se va deplasa de-a lungul cercului, iar proiecția orizontală se va deplasa paralel cu axa x.

Rotirea unui punct în jurul unei linii proiectante este utilizată în rezolvarea unor probleme, de exemplu, în determinarea dimensiunii naturale a unui segment de dreaptă. Pentru aceasta (Fig. 5.10), este suficientă o axă de rotație cu proiecții t „p”, tp alegeți astfel încât să treacă prin unul dintre punctele extreme ale segmentului, de exemplu, un punct cu proiecții b", b. Apoi, la întoarcerea punctului DAR unghiul φ în poziție A1 (OA1 || pătratul V, oa, || axa x) segment AB se mută în poziție A1B, paralel cu planul V și, prin urmare, este proiectat pe el la dimensiune completă. În același timp, unghiul a al pantei segmentului va fi proiectat în dimensiune completă AB la avionul H.

Rotirea (rotația) unui punct cu proiecții b", b faţă de axa cu proiecţii t"p", tp, perpendicular pe plan V, prezentat în Figura 5.11. La rotirea punctului LA deplasat în planul de rotație T (Th) a poziționa cu proiecțiile b1", b1 astfel încât raza de rotaţie OV devin paralele cu planul H (o „b” || axa x).

Aplicarea metodei rotației fără a indica pe desen axele de rotație perpendiculare pe planurile de proiecție.Dacă rotiți o figură geometrică în jurul unei axe perpendiculare pe planul de proiecție, atunci proiecția pe acest plan nu se schimbă nici ca aspect, nici ca dimensiune (se schimbă doar poziția proiecției față de axa de proiecție). Proiecțiile punctelor unei figuri geometrice pe un plan paralel cu axa de rotație se deplasează de-a lungul liniilor drepte paralele cu axa de proiecție (cu excepția proiecțiilor punctelor situate pe axa de rotație), iar proiecția în ansamblu se modifică în formă și dimensiune. Prin urmare, este posibil să se aplice metoda de rotație fără a specifica reprezentarea axei de rotație. În aia

În cazul în care, fără a modifica dimensiunea și forma uneia dintre proiecțiile imaginii geometrice, mutați această proiecție în poziția dorită și apoi construiți o altă proiecție așa cum este indicat mai sus.

Figura 5.12 arată utilizarea metodei de rotație fără a specifica axele pentru a determina dimensiunea reală a triunghiului abc, dat de proiecţii a"b"c", abc. Pentru a face acest lucru, se efectuează două rotații ale planului în poziție generală, în care se află triunghiul, astfel încât după prima rotație acest plan să devină perpendicular pe plan. V, iar după a doua - paralelă cu planul H. Prima rotație în jurul axei perpendiculare pe planul H, fără a preciza poziția acestuia, a fost efectuată folosind o orizontală cu proiecții. s"1", s-1 în planul triunghiului. În acest caz, proiecția orizontală aс rotit pentru a se potrivi cu direcția de proiecție. Proiecția orizontală a triunghiului își păstrează forma și dimensiunea, doar poziția sa se schimbă. puncte A, B și C cu o astfel de rotaţie se deplasează în planuri paralele cu planul H. Proiecţii a1", c1, b1" a"a1", b"b1" și c"c1". Proiecția frontală a triunghiului în noua poziție este segmentul a1"b1"c1".

A doua rotatie, care aduce triunghiul intr-o pozitie paralela cu planul H, se face in jurul axei de rotatie perpendiculara pe planul H (nu este indicata nici pozitia axei). Proiecția frontală la a doua rotație păstrează aspectul și dimensiunea obținute după prima rotație. puncte A1, D1 și C1 se deplasează în planuri paralele cu planul V Proiecții a 2 , b 2 , c 2 sunt pe linii orizontale de comunicare a, a 2, blb2, c1c2. Proiecția a2b2c 2 este dimensiunea reală a triunghiului dat.

La efectuarea rotațiilor considerate în jurul axelor perpendiculare pe planurile de proiecție, aceste axe nu sunt indicate, dar pot fi găsite cu ușurință. De exemplu, dacă desenați segmente aa1, b1b2 și trageți perpendiculare prin punctele lor medii, atunci punctul de intersecție rezultat al acestor perpendiculare va fi proiecția orizontală a axei de rotație perpendiculară pe planul H.

Utilizarea metodei de rotație fără specificarea axelor simplifică oarecum construcția, nu există o suprapunere a uneia

secțiune pe alta, dar desenul ocupă o suprafață mare. (Cazul considerat de rotație fără a reprezenta axele de rotație este un caz special al metodei de mișcare plan-paralel.)

O metodă de rotație în jurul liniilor drepte paralele cu planurile de proiecție.Mărimea naturală a unei figuri plate poate fi determinată prin rotirea în jurul unei axe paralele cu planul de proiecție, aducând figura într-o poziție paralelă cu planul de proiecție cu o tură.

Figura 5.13 prezintă definiția mărimii unui triunghi cu proiecții a"b"c", abc rotație în jurul orizontalei.În acest caz, toate punctele triunghiului(cu excepția celor situate pe axa de rotație)se rotesc în jurul unei axe în cercuri în planuri perpendiculare pe axa.Dacă triunghiul ia o poziție paralelă cu planul proiecțiilor, razele de rotație ale punctelor sale vor fi paralele cu acest plan, adică vor fi proiectate pe plan. H marime adevarata.

Orizontala cu proiecții a fost luată ca axă de rotație s"1", s-1.

Punctul C de pe axa de rotație rămâne fix. Pentru a imagina proiecția orizontală a triunghiului după rotație, este necesar să găsiți poziția proiecțiilor celorlalte două vârfuri ale sale. Vârfurile cu proiecții a", a și b", b triunghi de deplasare-

sunt in avioane P și Q deplasarea acestor puncte. Proiecție orizontală despre centru de rotație a vârfurilor DAR este punctul de intersecție al proiecției orizontale s-1 axele de rotație cu proiecție orizontală Ph.h. Pe ea este marcată proiecția sa frontală. o. Segmente oa - orizontală, o "a" - proiecția frontală a razei de rotație a punctului DAR. mărime naturală oA raza de rotație a punctului DAR definită în modul discutat în 2.3 (vezi Fig. 2.9), adică prin construirea unui triunghi dreptunghic. Pe picioare oa și aA \u003d o „2” se construiește un triunghi oaa, ipotenuza sa este egală cu raza de rotație a punctului DAR.

Dintr-o proiecție despre punct de pivot DAR în direcția urmei Ph a planului mișcării sale, punem deoparte valoarea naturală a razei de rotație. Marcarea proiecției orizontale a, punctele A, rotit la poziţia unui triunghi paralel cu planul N. Proiecție orizontală punct bt LA în poziţia rotită găsim ca punct de intersecţie al proiecţiei orizontale 1-аt cu urma Q h . Proiecție orizontală a1cb1 exprimă valoarea naturală a lui A ABC, întrucât după rotaţie planul triunghiului este paralel cu planul N. Proiecția frontală a triunghiului rotit coincide cu proiecția frontală a orizontalei 1"s", adică este un segment de linie dreaptă.

Dacă doriți să rotiți o imagine geometrică plată într-o poziție paralelă cu planul V, apoi se alege frontalul pentru axa de rotatie.

Rotiți planul în jurul urmei sale până când acesta coincide cu planul de proiecție corespunzător(acest caz se mai numește și metoda combinației). Dacă planul este rotit în jurul urmei sale până când coincide cu planul de proiecție în care se află această urmă, atunci imaginile geometrice situate în plan vor fi afișate fără distorsiuni. Această metodă este un caz special de rotație în jurul unei orizontale sau frontale, deoarece trasarea orizontală a planului poate fi considerată ca orizontală „zero” a planului orizontal, iar urma frontală ca frontală „zero”.

Figura 5.14 prezintă o reprezentare vizuală a rotației planului de poziție generală R în jurul pistei orizontale p h în direcția dinspre avion V către privitor până când este aliniat cu planul N. În poziție de aliniere plană R cu avion

H linie dreaptă P Uq este o urmă R și, aliniat cu planul N. Trace Ph cum axa de rotație nu își schimbă poziția. Punct Rx intersecția urmelor, de asemenea, nu își schimbă poziția. Pentru a construi o poziție combinată P L , o urmă P v este suficient să mai găsim un punct, de exemplu punctul N, această urmă (cu excepția punctului R x) într-o poziţie aliniată cu planul N.

Punctul N descrie un arc într-un plan Q, perpendicular pe axa de rotatie. Centru O acest arc este punctul de intersecție al planului Q cu urma Ph h . Punctul N 0 pe planul H este punctul de intersecție al arcului de rază ON în planul Q cu urmă Q h . Trasând o dreaptă prin P x și N 0, obținem P U0 . Segmentul P X N nu își schimbă lungimea atunci când avionul se rotește; deci punct N0 se poate obtine prin incrucisare Q h cu un arc descris într-un plan H, din punctul Р x cu raza P X N.

Să execute construcţiile considerate pe desen (Fig. 5.15) pe urmă R și punct arbitrar selectat N (coincide cu proiecția sa P"). Prin proiecția sa orizontală P direct pe, perpendicular pe axa de rotație – trasare Ph.h. Un punct se găsește pe această linie N 0 , adică punctul N după alinierea cu planul N. A fost găsită în depărtare P X N 0 \u003d P x n "din punctul P x sau la distanta oN 0 din punctul o, egală cu raza de rotație a punctului N. Lungimea razei oN 0 = oN definit, de exemplu, ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catete pe și nN (nN=nn"). Linie dreaptă P U0 , trecând prin puncte P x și N 0, - poziție combinată a căii R i.

Poziția combinată a punctului C0 este construită în mod similar C. Raza de rotatie oC găsită ca ipotenuză a unui dreptunghiular

triunghi cu un picior oc, celălalt picior cc = s „1. A doua versiune a construcției este realizată folosind planul orizontal P cu proiecțiile c"2", c -2. Folosind raza arcului R x 2" poziția potrivită găsită 2o puncte 2 pe linia Pv0, iar în poziţia combinată 20C0 o linie orizontală printr-un punct 2 0 paralel cu urma Ph.

Dacă este necesară combinarea planului cu planul frontal al proiecțiilor, atunci planul trebuie rotit în jurul urmei sale frontale.

Noi desenăm

6.1. Să fie o prismă adecvată. Transferul este dat de vectorul: a) 0,5AB; b) AO, unde O este centrul bazei inferioare. Desenați imaginea prismei în timpul acestei translații. Desenați uniunea și intersecția prismelor originale și rezultate.

6.2. Dat un tetraedru regulat. Desenați un tetraedru, care se obține din cel dat ca urmare a: a) simetriei centrale pe la mijlocul înălțimii; b) simetria oglinzii față de planul care trece prin mijlocul înălțimii perpendicular pe acesta; c) rotire cu 60° în jurul înălțimii sale; d) o rotație de 90" în jurul liniei care leagă punctele medii ale muchiilor sale opuse. Desenați uniunea și intersecția tetraedrelor originale și rezultate.

6.3. Cub dat. Desenați un cub, care se obține din cel dat ca urmare a: a) transferului pe un vector îndreptat de-a lungul diagonalei sale, cu lungimea de jumătate din această diagonală; b) simetria centrală față de un punct situat pe diagonala sa și împărțindu-l în raport de 2: 1; c) simetria oglinzii în raport cu un plan care îl intersectează de-a lungul unui hexagon regulat; d) rotiți 90" în jurul unei linii drepte care trece prin punctele mijlocii a două margini paralele care nu se află pe aceeași față. Desenați uniunea și intersecția cuburilor originale și rezultate.

6.4. Desenați corpurile care pot fi obținute prin rotirea cercului

6.5. Desenați corpurile care se obțin prin rotirea: a) un cub în jurul unei muchii; b) un cub în jurul diagonalei; c) un tetraedru regulat în jurul unei muchii; d) un con în jurul unei drepte paralele cu axa și care trece în afara acesteia.

Planuim

6.6. Cum să găsiți volumul și suprafața figurilor - uniuni și intersecții - din sarcinile 6.1, 6.2?

6.7. Cum să găsiți volumul și suprafața figurilor din problema 6.5?

Introducand

6.8. Poate centrul de simetrie al unui corp să nu-i aparțină?

6.9. Două segmente egale: a) paralele; b) au exact un punct comun; c) se încrucișează. Ce mișcare poate afișa unul dintre ei pe celălalt?

6.10. Două segmente sunt simetrice unul față de celălalt față de două plane. Care va fi cifra dacă capetele lor sunt legate în serie prin segmente?

6.11. Toate planurile posibile sunt desenate printr-o linie dreaptă. Acest punct este reflectat din toate aceste planuri. Ce formă formează toate punctele obținute?

6.12. Este adevărat că: a) un paralelipiped înclinat, ale cărui două fețe sunt perpendiculare pe bază, are un plan de simetrie; b) printre fețele unui paralelipiped având un plan de simetrie, există dreptunghiuri; c) un paralelipiped are două plane de simetrie dreptunghiular?

6.13. Cum să tai un cub în trei piramide egale?

A evalua

6.14. Un triunghi dreptunghic cu ipotenuza d se rotește în jurul unuia dintre catete. În ce condiție va fi volumul corpului de revoluție cel mai mare?

6.15. Perimetrul unui triunghi isoscel este P. Acest triunghi se rotește în jurul bazei. Care dintre aceste triunghiuri dă cel mai mare volum al corpului de revoluție?

Noi gândim

6.16. Centrul unui cub este reflectat în planul fiecăreia dintre fețele sale. Demonstrați că punctele obținute sunt vârfurile octaedrului. Este posibil să obțineți și alte poliedre regulate în acest fel?

6.17. Această minge conține:

a) un tetraedru regulat;

b) cub. Fețele acestui poliedru au fost extinse până la intersecția cu sfera. În ce forme este împărțită sfera? În ce formă este împărțită mingea? Câți dintre ei sunt egali unul cu celălalt?

Explorând

6.18. Este mișcarea spațiului o astfel de transformare care pune un punct cu coordonate în corespondență cu un punct cu coordonate:

6.19. Un poliedru are un centru de simetrie, un centru al unei bile înscrise, un centru al unei bile înscrise și un centru de masă. Câte dintre aceste puncte pot coincide?

Intrăm la universitate

6.20. De la capătul diametrului mingii se trage o coardă astfel încât suprafața formată prin rotirea acesteia în jurul acestui diametru să împartă volumul mingii în două părți egale. Determinați unghiul dintre coardă și diametru.

6.21. Un triunghi echilateral cu latura a se rotește în jurul unei axe externe paralele cu latura triunghiului și distanțată de aceasta la o distanță egală cu jumătate din înălțimea triunghiului. Aflați volumul corpului de revoluție.

6.22. Triunghiul se rotește în jurul bisectoarei AD. Demonstrați că ariile suprafețelor descrise de laturile AB și AC sunt legate ca volumele obținute prin rotirea pieselor ABD și

6.23. Un triunghi isoscel, a cărui bază este a și unghiul de la baza a, se rotește în jurul unei linii drepte care trece printr-unul dintre capetele bazei perpendicular pe acesta. Găsiți aria suprafeței corpului de revoluție rezultat.

6.24. Partea pătratului ABCD, care rămâne după un sfert de cerc cu un centum la vârful D și raze egale cu latura pătratului, este tăiată din el, se rotește în jurul unei axe care trece prin D paralelă cu diagonala AC . Aflați volumul corpului de revoluție rezultat dacă latura pătratului este a.

6.25. Aria unui trapez dreptunghiular ABCD este egală cu , lungimea înălțimii AB este egală cu h, valoarea unghiului ascuțit ADC al trapezului

egal cu a. Punctul E este luat pe partea CD astfel încât . Aflați volumul corpului obținut prin rotirea patrulaterului ABED în jurul dreptei AB.

6.26. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unui hexagon regulat în jurul laturii sale egală cu a

6.27. Punctele A și B sunt date pe cercul unui semicerc cu raza R. Dacă N este unul dintre capetele diametrului și O este centrul cercului, atunci Determinați suprafața totală a corpului formată de rotația sectorului circular AOB în jurul diametrului.

6.28. Dat un tetraedru regulat ABCD. Fiecare dintre vârfurile sale este reflectat simetric față de planul feței opuse acestuia, în urma căruia se obțin punctele KLMN, respectiv. Aflați raportul dintre volumele tetraedrelor originale și rezultate.

6.29. În tetraedru sunt desenate segmente care leagă vârfurile acestuia cu punctele de intersecție ale medianelor fețelor opuse. Toate se intersectează în punctul O. Al doilea tetraedru este simetric cu primul față de punctul O. Volumul tetraedrului original este V. Aflați volumul părții comune a celor două tetraedre.

Răspuns: 0,5V.

6.30. Latura bazei unei prisme regulate are lungimea a, iar marginea laterală are lungimea de 1,125a Punctul E este mijlocul muchiei AB, iar punctul M se află pe segmentul EC și EM EC. A doua prismă este simetrică față de prismă față de o dreaptă.Aflați volumul părții comune a acestor prisme.

6.31. Este dat un tetraedru regulat de volum V. Al doilea tetraedru se obține din primul prin rotirea lui prin unghi.

iar în jurul liniei drepte care leagă punctele medii ale muchiilor de încrucișare ale tetraedrului. Aflați volumul părții comune a acestor două tetraedre.

6.32. Un cub cu muchia a este rotit cu 90" în jurul unei linii drepte care leagă punctele de mijloc a două muchii paralele care nu se află pe aceeași față. Aflați volumul părții comune a cubului original și a celui rotit.

6.33. O piramidă triunghiulară regulată cu latura bazei a este rotită în jurul axei de simetrie cu un unghi de 60. Determinați volumul părții comune a piramidelor originale și rotite dacă fețele laterale sunt triunghiuri dreptunghiulare.

6.34. Un tetraedru regulat este înscris într-o bilă cu raza R. Prin rotirea lui în unghi - în jurul înălțimii, se obține un nou tetraedru, înscris într-o minge. Aflați volumul părții sferei exterioare ambelor tetraedre.

6.35. Un con de revoluție în jurul unei axe - o linie dreaptă perpendiculară pe înălțimea sa și care trece prin vârf. Găsiți aria secțiunii transversale a corpului de revoluție rezultat printr-un plan care trece prin axa de revoluție dacă generatoarea conului este 5 și înălțimea este 4.

SARCINI La § 26

Completând teoria

6.36. Demonstrați că un plan trece într-un plan paralel cu el (dacă nu în sine) ca urmare a:

a) transfer; b) simetria centrală.

Planuim

6.37. Într-un cub, punctul O este centrul feței ABCD. Cum se calculează unghiul dintre linia B, O și:

a) plan drept drept

d) avion

6.38. Fie PABCD o piramidă a cărei bază este romb ABCD. RVCAVS). Aria feței RVS este egală cu S. Prin punctul K - mijlocul muchiei AD - o secțiune este trasată paralelă cu planul PAB. Cum să-i găsești zona?

6.39. Fiecare față laterală a unui tetraedru obișnuit s-a rotit în jurul marginilor bazei cu același unghi față de exterior. Acest lucru a dus la un poliedru cu șase vârfuri și margini egale. În ce unghi s-au întors marginile?

Introducand

6.40. Două conuri inegale pot avea două secțiuni circulare egale cu același plan dacă stau pe același plan pe o parte a acestuia?

6.41. Cele două cercuri sunt simetrice central și nu se află în același plan. Este adevărat că se află pe suprafața: a) unei sfere; b) un cilindru? Ce se întâmplă dacă aceste cercuri sunt simetrice în oglindă?

6.42. În acest caz, două sunt egale:

a) o minge b) un cilindru; c) sunt conurile simetrice central? Oglinda simetrica?

6.43. Prin ce rotații poate fi mapată mingea pe ea însăși?

6.44. Prin ce ture este mapată una dintre aceste figuri cu cealaltă dacă aceste figuri sunt: ​​a) două linii drepte; b) două avioane; c) două bile egale? Există o rotație care mapează a doua figură pe prima?

6.45. Obținem întotdeauna un corp convex prin rotirea unei figuri convexe?

Noi gândim

6.46. Folosind proprietățile de translație, demonstrați că: a) două perpendiculare pe un plan sunt paralele; b) două plane perpendiculare pe o dreaptă sunt paralele; c) dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă perpendiculară pe un plan, atunci ea este perpendiculară pe plan; d) unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele.

6.47. Demonstrați că unirea a două plane este o figură: a) simetrică central; b) oglindă-simetrică.

6.48. Linia b se obtine din dreapta a prin reflexie in planul a. Aceste linii au un punct comun. Demonstrați că acest punct se află în planul a.

6.49. Într-o bilă cu raza R, două plane sunt trase prin centru, formând un unghi între ele. Cum să afli în ce raport au spart volumul mingii?

6.50. Un plan este trasat prin bisectoarea unui unghi. Demonstrați că laturile unui unghi formează unghiuri egale cu acesta.

Explorând

6.51. Este posibil să umpleți întreg spațiul cu paralelipipede egale? Se poate face acest lucru prin alte poliedre egale?

6.52. Secțiunea unui corp simetric central care trece prin centrul de simetrie va fi simetrică central?

6.53. Corpul este simetric central. Va fi proiecția sa ortogonală simetrică central? Ar fi adevărat invers?

6,54. Fiecare dintre cele două corpuri este simetric central. Vor fi simetrice central: a) unificare; b) intersecție?

6.55. Un corp simetric central este împărțit de un plan. O parte din ea s-a dovedit a fi simetrică central. Va mai fi o parte din ea?

6,56. Există un poliedru care are un număr prealocat de planuri de simetrie?

SARCINI La § 27

Completând teoria

6,57. Demonstrați că compoziția a două reflexii în planuri care se intersectează este o rotație, iar în două plane paralele este o translație.

6,58. Desenați o figură care trece în sine ca urmare a: a) un șurub; b) întoarcerea oglinzii; c) reflexie de alunecare.

6,59. Lasă cubul Ca urmare a unei mișcări, trece într-un alt cub. Desenați acest alt cub dacă mișcarea este: a) un șurub cu axa de rotație care trece prin centrele fețelor

vector a, unghiul de rotație este egal cu rotirea oglinzii pe axa de rotație și reflexia într-un plan perpendicular pe dreapta și care trece prin centrul cubului; c) reflexia alunecată, unde reflexia are loc într-un plan perpendicular pe diagonala cubului și care trece prin centrul cubului, iar vectorul este egal cu AC.

6.60. Fie RABC un tetraedru obișnuit. Ca rezultat al mișcării, trece într-un alt tetraedru. Desenați acest alt tetraedru dacă mișcarea este astfel:

a) un șurub cu o axă de centru de rotație a bazei), un unghi de rotație de 60" și un vector

b) rotatie oglinda cu axa de rotatie PQ, unghi de rotatie 60° si plan de reflexie perpendicular pe PQ si care trece prin inaltimea mijlocie

c) reflexie rasante cu un plan de reflexie care trece prin PB si K - mijlocul AC, si un vector de 0,5 KV.

Introducand

6.61. Orientarea bazei păstrează: a) traducerea; b) simetria centrală; c) simetria oglinzii; d) întoarcere; e) șurub; e) rotirea oglinzii; g) reflexie alunecare?

6,62. Mişcarea are puncte fixe, dacă această mişcare: a) transfer; b) simetria centrală; c) simetria oglinzii; d) întoarcere; e) șurub; e) rotirea oglinzii; g) reflexie alunecare?

6,63. Având în vedere două triunghiuri isoscele egale. Ce mişcări pot fi combinate dacă au în comun: a) vârful laturilor egale; b) laterala bazei; c) partea laterală; d) mediană la bază; e) linia de mijloc a laturilor?

c) una dintre înălțimile sale la alta;

d) un segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse de un alt astfel de segment;

e) secțiunea de la un plan de simetrie la altul este aceeași;

f) o secțiune care este pătrat față de alta care este aceeași? A doua figură va fi mapată pe prima într-o astfel de mișcare?

6,66. Ca rezultat al mișcărilor afișate pe sine:

o taietura b) linie dreaptă; c) un cerc; d) pătrat; e) un poligon regulat; e) romb; g) avion; h) unghi diedru?

6,67. Ca urmare a ce mișcări se afișează tetraedrul RABC pe sine, în care: a) ; b)

6,68. Corpul este unirea a două bile, dar nu o minge. Ce mișcări este afișată pe sine?

6,69. O piramidă patruunghiulară are: a) toate marginile laterale sunt egale și unghiurile plate opuse din vârf sunt egale;

b) toate unghiurile plate de la vârf sunt egale, iar marginile laterale opuse sunt egale. Cu ce ​​mișcări se poate autocombina?

6,70. Ce mișcări reflectă antiprismul asupra ei înșiși?

6,71. Cum se împarte un cub în: a) 8 cuburi egale; b) 6 piramide egale; c) 3 piramide egale; d) 4 prisme triunghiulare egale?

6,72. Cum se împarte o prismă triunghiulară dreptă în 3 tetraedre egale? Sunt vreunul dintre ei egal?

6,73. Cum se împarte un paralelipiped în: a) 6 piramide de dimensiuni egale; b) trei piramide egale? Sunt vreunul dintre ei egal?

6,74. Într-o minge cu raza de 1 s-au tras trei raze OA, OB, OS, dintre care fiecare două sunt perpendiculare. Ce parte din volumul mingii este limitată de sferturi de cercuri mari ale mingii OAB, OAC, OBC și de suprafață? Ce parte a suprafeței?

Noi gândim

6,75. Două piramide patruunghiulare regulate și au o bază comună ABCD. Punctul K este mijlocul muchiei, punctul L este mijlocul muchiei, punctul M este punctul de intersecție al medianelor din față, punctul N este punctul de intersecție al medianelor din față. Demonstrați că:

e) distanța de la punctul K la plan este egală cu distanța de la punctul L la planul RHVS.

Explorând

6,76. Luați compoziția oricăror două mișcări pe care le cunoașteți și aflați: a) schimbă oare orientarea planului; b) are puncte fixe?

6,77. Câte puncte fixe poate avea fiecare mișcare pe care o cunoști? Cum sunt situate? Și câte linii fixe poate avea? Avioane?

6,78. Linia b se obține din linia a printr-o mișcare oarecare. Stabiliți amplasarea acestor linii între ele, dacă această mișcare este: a) un șurub; b) întoarcerea oglinzii; c) reflexia oglinzii.

Comutare

6,79. Un fir este înfășurat pe un cilindru cu raza R și înălțimea H. De unde îi știi lungimea?

6,80. Trebuie să proiectați o scară în spirală. Cum te vei comporta?

6,81. Puteți explica cum funcționează un reflector de colț? Este compus din trei oglinzi perpendiculare perechi.