Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În acest articol, vom vorbi despre linii paralele, vom da definiții, vom desemna semnele și condițiile paralelismului. Pentru claritatea materialului teoretic, vom folosi ilustrații și soluția de exemple tipice.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiția 1

Linii paralele în avion sunt două linii drepte în avion care nu au puncte comune.

Definiția 2

Linii paralele în spațiul 3D- două drepte în spațiu tridimensional care se află în același plan și nu au puncte comune.

De remarcat că, pentru a determina drepte paralele în spațiu, clarificarea „în același plan” este extrem de importantă: două drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralel, dar intersectează.

Pentru a desemna linii paralele, este obișnuit să utilizați simbolul ∥. Adică, dacă dreptele date a și b sunt paralele, această condiție trebuie scrisă pe scurt după cum urmează: a ‖ b . Verbal, paralelismul dreptelor este indicat astfel: liniile a și b sunt paralele, sau linia a este paralelă cu dreapta b sau linia b este paralelă cu dreapta a.

Să formulăm o afirmație care joacă un rol important în tema studiată.

Axiomă

Printr-un punct care nu aparține unei drepte date, există doar o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată. Această afirmație nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei.

În cazul în care vine vorba de spațiu, teorema este adevărată:

Teorema 1

Prin orice punct din spațiu care nu aparține unei linii date, va exista doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Această teoremă este ușor de demonstrat pe baza axiomei de mai sus (program de geometrie pentru clasele 10-11).

Semnul paralelismului este o condiție suficientă în care sunt garantate liniile paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a confirma faptul paralelismului.

În special, există condiții necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor în plan și în spațiu. Să explicăm: necesar înseamnă condiția a cărei îndeplinire este necesară pentru liniile paralele; dacă nu este satisfăcut, liniile nu sunt paralele.

Rezumând, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor este o astfel de condiție, a cărei respectare este necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele între ele. Pe de o parte, acesta este un semn de paralelism, pe de altă parte, o proprietate inerentă liniilor paralele.

Înainte de a da o formulare precisă a condițiilor necesare și suficiente, amintim încă câteva concepte suplimentare.

Definiția 3

linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte necoincidente date.

Intersectând două linii drepte, secantele formează opt unghiuri neexpandate. Pentru a formula condiția necesară și suficientă, vom folosi tipuri de unghiuri precum încrucișate, corespondente și unilaterale. Să le demonstrăm în ilustrație:

Teorema 2

Dacă două drepte dintr-un plan intersectează o secante, atunci pentru ca dreptele date să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile transversale să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 grade.

Să ilustrăm grafic condiția necesară și suficientă pentru drepte paralele pe plan:

Dovada acestor condiții este prezentă în programul de geometrie pentru clasele 7-9.

În general, aceste condiții sunt aplicabile și pentru spațiul tridimensional, cu condiția ca cele două drepte și secanta să aparțină aceluiași plan.

Să mai subliniem câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra faptul că dreptele sunt paralele.

Teorema 3

Într-un plan, două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. Această caracteristică este dovedită pe baza axiomei paralelismului menționată mai sus.

Teorema 4

În spațiul tridimensional, două linii paralele cu o a treia sunt paralele între ele.

Dovada atributului este studiată în cadrul programului de geometrie de clasa a X-a.

Oferim o ilustrare a acestor teoreme:

Să mai indicăm încă o pereche de teoreme care dovedesc paralelismul dreptelor.

Teorema 5

Într-un plan, două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.

Să formulăm unul similar pentru un spațiu tridimensional.

Teorema 6

În spațiul tridimensional, două linii perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.

Să ilustrăm:

Toate teoremele, semnele și condițiile de mai sus fac posibilă demonstrarea comodă a paralelismului dreptelor prin metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul dreptelor, se poate arăta că unghiurile corespunzătoare sunt egale sau se poate demonstra faptul că două drepte date sunt perpendiculare pe a treia și așa mai departe. Dar observăm că de multe ori este mai convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor într-un plan sau în spațiul tridimensional.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, o linie dreaptă este determinată de ecuația unei drepte pe un plan de unul dintre tipurile posibile. În mod similar, o dreaptă dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional corespunde unor ecuații ale unei linii drepte în spațiu.

Să scriem condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuație care descrie liniile date.

Să începem cu condiția dreptelor paralele în plan. Se bazează pe definițiile vectorului de direcție al dreptei și al vectorului normal al dreptei în plan.

Teorema 7

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele pe un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorii normali ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorul direcției unei linii să fie perpendicular pe vectorul normal al celeilalte drepte.

Devine evident că condiția dreptelor paralele pe plan se bazează pe condiția vectorilor coliniari sau condiția perpendicularității a doi vectori. Adică dacă a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b ;

și n b → = (n b x , n b y) sunt vectori normali ai dreptelor a și b , atunci scriem condiția necesară și suficientă de mai sus astfel: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y sau n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y sau a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , unde t este un număr real. Coordonatele vectorilor direcți sau direcți sunt determinate de ecuațiile date ale dreptelor. Să luăm în considerare principalele exemple.

1. Linia a într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinată de ecuația generală a dreptei: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; Linia B - A 2 x + B2 Y + C 2 = 0. Apoi, vectorii normali ai liniilor date vor avea coordonate (1, b 1) și, respectiv, (A 2, B 2). Scriem starea paralelismului după cum urmează:

A 1 = T A 2 B 1 = T B 2

1. Linia dreaptă A este descrisă de ecuația unei linii drepte cu o pantă a formei y = k 1 x + b 1. Linie dreaptă B - Y \ U003D K2 x + B 2. Apoi vectorii normali ai liniilor date vor avea coordonate (K1, - 1) și (K2, - 1), respectiv, scriem condiția paralelismului după cum urmează:

k 1 = T K2 - 1 = T (- 1) ⇔ K 1 = T K2 T = 1 ⇔ K 1 = K2

Astfel, dacă liniile paralele pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiulare sunt date prin ecuații cu coeficienții de panta, atunci coeficienții de panta din liniile date vor fi egale. Iar declarația converse este adevărată: dacă liniile care nu coincide pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiulare sunt determinate de ecuațiile unei linii cu aceleași coeficienți de panta, atunci aceste linii date sunt paralele.

1. Liniile A și B într-un sistem de coordonate dreptunghiulare sunt date de ecuațiile canonice ale liniei de pe plan: x - x 1 A x = y - y 1 A y și x - x 2 b x = y2b y sau ecuațiile parametrice a liniei de pe plan: x = x 1 + λ A x y = y 1 + λ A y și x = x 2 + λ B x y = y 2 + λ b y.

Atunci vectorii de direcție ai dreptelor date vor fi: a x , a y și respectiv b x , b y și vom scrie condiția de paralelism astfel:

a x = t b x a y = t b y

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1

Având două linii: 2 x - 3 y + 1 = 0 și x 1 2 + y 5 = 1. Trebuie să determinați dacă sunt paralele.

Decizie

Scriem ecuația unei linii drepte în segmente sub forma unei ecuații generale:

X 1 2 + Y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 Y - 1 = 0

Vedem că n a → = (2 , - 3) este vectorul normal al dreptei 2 x - 3 y + 1 = 0 , iar n b → = 2 , 1 5 este vectorul normal al dreptei x 1 2 + y 5 = 1.

Vectorii care rezultă nu sunt colinear, pentru că Nu există o astfel de valoare de T pentru care egalitatea va fi adevărată:

2 = t 2 - 3 = T 1 5 ⇔ T = 1 - 3 = T 1 5 ⇔ T = 1 - 3 = 1 5

Astfel, condiția necesară și suficientă a paralelismului dreptelor pe plan nu este îndeplinită, ceea ce înseamnă că dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns: Liniile date nu sunt paralele.

Exemplul 2

Având în vedere linii y = 2 x + 1 și x 1 = y - 4 2. Sunt paralele?

Decizie

Să transformăm ecuația canonică a dreptei x 1 \u003d y - 4 2 în ecuația unei linii drepte cu pantă:

X 1 = Y - 4 2 ⇔ 1 (Y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vedem că ecuațiile dreptelor y = 2 x + 1 și y = 2 x + 4 nu sunt aceleași (dacă ar fi altfel, liniile ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, ceea ce înseamnă că liniile date sunt paralele.

Să încercăm să rezolvăm problema altfel. În primul rând, verificăm dacă liniile date coincid. Folosim orice punct al liniei y \u003d 2 x + 1, de exemplu, (0, 1) , coordonatele acestui punct nu corespund ecuației liniei x 1 \u003d y - 4 2, ceea ce înseamnă că liniile nu coincid.

Următorul pas este de a determina îndeplinirea condiției de paralelism pentru liniile date.

Vectorul normal al liniei Y = 2 x + 1 este vectorul N A → = (2, - 1), iar vectorul de direcție al celei de-a doua linii date este B → = (1, 2). Produsul scalar al acestor vectori este zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Astfel, vectorii sunt perpendiculari: acest lucru demonstrează îndeplinirea condiției necesare și suficiente pentru liniile originale să fie paralele. Acestea. Liniile date sunt paralele.

Răspuns: Aceste linii sunt paralele.

Pentru a demonstra paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiulare de spațiu tridimensional, se utilizează următoarea condiție necesară și suficientă.

Teorema 8

Pentru două linii non-coincide în spațiul tridimensional care urmează să fie paralel, este necesar și suficient ca vectorii de direcție din aceste linii să fie colinear.

Acestea. pentru ecuațiile date de drepte din spațiul tridimensional, răspunsul la întrebarea: sunt paralele sau nu, se găsește prin determinarea coordonatelor vectorilor de direcție ai dreptelor date, precum și prin verificarea stării de coliniaritate a acestora. Cu alte cuvinte, dacă a → = (a x, a y, a z) și b → = (b x, b y, b z) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci pentru ca acestea să fie paralele, existența a unui astfel de număr real t este necesar, astfel încât egalitatea să fie valabilă:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exemplul 3

Dreptele date x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 și x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Este necesar să se demonstreze paralelismul acestor drepte.

Decizie

Condițiile problemei sunt ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu și ecuațiile parametrice ale unei alte linii drepte în spațiu. Vectori de direcție a → și b → liniile date au coordonatele: (1 , 0 , - 3) și (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , atunci a → = 1 2 b → .

Prin urmare, condiția necesară și suficientă pentru linii paralele în spațiu este îndeplinită.

Răspuns: se demonstrează paralelismul dreptelor date.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Acest articol este despre linii paralele și despre linii paralele. În primul rând, este dată definiția liniilor paralele din plan și în spațiu, notația este introdusă, sunt date exemple și ilustrații grafice ale liniilor paralele. În continuare, sunt analizate semnele și condițiile de paralelism ale dreptelor. În concluzie, sunt prezentate soluții pentru probleme tipice de demonstrare a paralelismului dreptelor, care sunt date de unele ecuații ale unei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan și în spațiu tridimensional.

Navigare în pagină.

Linii paralele - informații de bază.

Definiție.

Două linii într-un plan sunt numite paralel dacă nu au puncte comune.

Definiție.

Sunt numite două linii în trei dimensiuni paralel dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Rețineți că "dacă se află în același plan" în definiția liniilor paralele în spațiu este foarte importantă. Să clarificăm acest punct: două linii drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele, ci sunt înclinate.

Iată câteva exemple de linii paralele. Marginile opuse ale foii de caiet se află pe linii paralele. Liniile drepte, de-a lungul căruia planul zidului casei intersectează avioanele tavanului și podelei sunt paralele. Căile ferate pe teren plan pot fi, de asemenea, considerate linii paralele.

Simbolul "" este folosit pentru a desemna linii paralele. Adică, dacă liniile a și b sunt paralele, atunci puteți scrie pe scurt a b.

Rețineți că dacă liniile A și B sunt paralele, putem spune că linia A este paralelă cu linia B și, de asemenea, că linia B este paralelă cu linia A.

Să exprimăm o afirmație care joacă un rol important în studiul dreptelor paralele în plan: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această declarație este acceptată ca un fapt (nu se poate dovedi pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei) și se numește axiomul liniilor paralele.

Pentru cazul în spațiu, teorema este adevărată: prin orice punct în spațiu care nu se află pe o linie dată, există o singură linie paralelă cu cea dată cea dată. Această teoremă poate fi demonstrată cu ușurință folosind axioma de mai sus a dreptelor paralele (demonstrația ei o puteți găsi în manualul de geometrie clasa 10-11, care este enumerată la sfârșitul articolului în bibliografie).

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă se demonstrează cu ușurință folosind axioma dreptelor paralele prezentată mai sus.

Paralelismul liniilor - semne și condiții de paralelism.

Un semn de linii paralele este o condiție suficientă pentru liniile paralele, adică o astfel de condiție, a cărei îndeplinire garantează linii paralele. Cu alte cuvinte, împlinirea acestei afecțiuni este suficientă pentru a afirma faptul că liniile sunt paralele.

Există, de asemenea, condiții necesare și suficiente pentru liniile paralele din plan și în spațiul tridimensional.

Să explicăm sensul expresiei "Condiția necesară și suficientă pentru liniile paralele".

Ne-am ocupat deja de condiția suficientă pentru liniile paralele. Și care este „condiția necesară pentru linii paralele”? Prin denumirea "necesară" este clar că îndeplinirea acestei afecțiuni este necesară pentru ca liniile să fie paralele. Cu alte cuvinte, dacă condiția necesară pentru liniile paralele nu este îndeplinită, atunci liniile nu sunt paralele. Prin urmare, condiție necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele este o condiție, a căror împlinire este atât necesară, cât și suficientă pentru liniile paralele. Adică, pe de o parte, acesta este un semn al liniilor paralele și, pe de altă parte, aceasta este o proprietate pe care o au liniile paralele.

Înainte de a afirma condiția necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele, este util să amintim câteva definiții auxiliare.

linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte non-coincidente date.

La intersecția a două linii ale unei secante se formează opt nedesfășurate. Asa numitul culcat în cruce, corespunzătorși colțuri unilaterale. Să le arătăm pe desen.

Teorema.

Dacă două linii drepte pe un plan sunt traversate de un secant, atunci pentru paralelismul lor este necesar și suficient ca unghiurile minore încrucișate să fie egale sau unghiurile corespunzătoare sunt egale sau suma unghiurilor unilaterale este egală cu 180 de grade .

Să arătăm o ilustrare grafică a acestei condiții necesare și suficiente pentru liniile paralele din avion.

Puteți găsi dovezi ale acestor condiții pentru liniile paralele în manualele de geometrie pentru clasele 7-9.

Rețineți că aceste condiții pot fi utilizate și în spațiul tridimensional - principalul lucru este că cele două linii și secanta se află în același plan.

Iată câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra paralelismul liniilor.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici rezultă din axioma dreptelor paralele.

Există o condiție similară pentru liniile paralele în spațiul tridimensional.

Teorema.

Dacă două linii din spațiu sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici este luată în considerare la lecțiile de geometrie din clasa a 10-a.

Să ilustrem teoremele exprimate.

Să mai dăm o teoremă care ne permite să demonstrăm paralelismul dreptelor în plan.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.

Teorema.

Dacă două drepte din spațiul tridimensional sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele.

Să atragăm imagini corespunzătoare acestor teoreme.

Toate teoremele formulate mai sus, semne și condiții necesare și suficiente sunt perfect potrivite pentru a dovedi paralelismul liniilor drepte prin metode de geometrie. Aceasta este, pentru a dovedi paralelismul a două linii date, este necesar să se arate că acestea sunt paralele cu a treia linie sau pentru a arăta egalitatea unghiurilor încrucișate etc. Multe dintre aceste probleme sunt rezolvate la orele de geometrie din liceu. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că, în multe cazuri, este convenabil să se utilizeze metoda de coordonate pentru a dovedi paralelismul liniilor într-un plan sau în spațiu tridimensional. Să formulăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor care sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiulare.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

În această secțiune a articolului, vom formula condiţii necesare şi suficiente pentru liniile paraleleÎntr-un sistem de coordonate dreptunghiulare, în funcție de tipul de ecuații care determină aceste linii și vom oferi, de asemenea, soluții detaliate la probleme tipice.

Să începem cu starea paralelismului a două linii pe plan în sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxy. Dovada sa se bazează pe definiția vectorului de direcție al liniei și definiția vectorului normal al liniei de pe plan.

Teorema.

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele într-un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul de direcție al unei linii să fie perpendicular pe normal vector al liniei a doua.

Evident, starea paralelismului a două linii în plan reduc (vectori de direcție sau vectori normali de linii) sau (vector de direcție al unei linii și vector normal al liniei a doua). Astfel, dacă și sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b și și sunt vectorii normali ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci condiția necesară și suficientă pentru liniile paralele a și b poate fi scrisă ca , sau , sau , unde t este un număr real. La rândul lor, coordonatele vectorilor de direcție și (sau) normali ai dreptelor a și b se găsesc din ecuațiile cunoscute ale dreptelor.

În special, dacă linia a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan definește ecuația generală a dreptei de forma , iar linia dreaptă b - , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și respectiv, iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se va scrie ca .

Dacă linia dreaptă a corespunde ecuației liniei drepte cu coeficientul de pantă al formularului . Prin urmare, dacă liniile drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiulare sunt paralele și pot fi administrate prin ecuații de linii drepte cu coeficienți de panta, atunci coeficienții de panta ai liniilor vor fi egali. Și invers: în cazul în care liniile drepte non-coincide pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiulare pot fi administrate de ecuațiile unei linii drepte, cu coeficienți de panta egali, atunci astfel de linii drepte sunt paralele.

Dacă linia a și linia b într-un sistem de coordonate dreptunghiular definesc ecuațiile canonice ale dreptei pe planul formei și , sau ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan al formei și respectiv, atunci vectorii de direcție ai acestor drepte au coordonatele și , iar condiția de paralelism pentru liniile a și b se scrie ca .

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Sunt liniile paralele? și ?

Decizie.

Rescriem ecuația unei linii drepte în segmente sub forma unei ecuații generale a unei linii drepte: . Acum putem vedea că este vectorul normal al dreptei , și este vectorul normal al dreptei. Acești vectori nu sunt colinear, deoarece nu există un număr real T pentru care egalitatea ( ). În consecință, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe plan nu este îndeplinită, prin urmare, dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns:

Nu, liniile nu sunt paralele.

Exemplu.

Sunt linii și paralele?

Decizie.

Aducem ecuația canonică a unei drepte la ecuația unei drepte cu pantă: . Evident, ecuațiile dreptelor și nu sunt aceleași (în acest caz, dreptele date ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, prin urmare, liniile inițiale sunt paralele.

Nu se intersectează, indiferent cât de mult vor continua. Paralelismul liniilor în scris este indicat după cum urmează: AB|| CuE

Posibilitatea existenței unor astfel de linii este dovedită printr-o teoremă.

Teorema.

Prin orice punct luat în afara unei linii date, se poate trasa o paralelă cu această dreaptă..

Lasa AB această linie și Cu un punct luat în afara lui. Se cere să se demonstreze că Cu poți trage o linie dreaptă paralelAB. Să trecem mai departe AB dintr-un punct Cu perpendicularCuDși atunci vom face CuE^ CuD, ce este posibil. Drept CE paralel AB.

Pentru demonstrație, presupunem contrariul, adică că CE se intersectează AB la un moment dat M. Apoi de la punct M la o linie dreaptă CuD am avea două perpendiculare diferite MDși DOMNIȘOARĂ, ceea ce este imposibil. Mijloace, CE nu se poate intersecta cu AB, adică CuE paralel AB.

Consecinţă.

Două perpendiculare (CEșiD.B.) la o linie dreaptă (CD) sunt paralele.

Axioma dreptelor paralele.

Prin același punct este imposibil să se deseneze două linii diferite paralele cu aceeași linie.

Deci, dacă o linie dreaptă CuD, tras prin punct Cu paralel cu o linie dreaptă AB, apoi orice altă linie CuE prin acelasi punct Cu, nu poate fi paralel AB, adică continuă ea se intersectează cu AB.

Dovada acestui adevăr nu tocmai evident se dovedește a fi imposibilă. Se acceptă fără dovezi ca o presupunere necesară (postulatum).

Consecințe.

1. Dacă Drept(CuE) se intersectează cu una dintre paralel(SW), apoi se intersectează cu celălalt ( AB), pentru că altfel prin același punct Cu două linii drepte diferite, paralele AB, ceea ce este imposibil.

2. Dacă fiecare dintre cele două direct (AșiB) sunt paralele cu aceeași a treia linie ( Cu) , atunci ei sunt paraleleîntre ei.

Într-adevăr, dacă presupunem că Ași B se intersectează la un moment dat M, apoi două drepte diferite, paralele între ele, ar trece prin acest punct. Cu, ceea ce este imposibil.

Teorema.

În cazul în care un linia dreaptă este perpendiculară pe una dintre drepte paralele, atunci este perpendiculară pe cealaltă paralel.

Lasa AB || CuDși EF ^ AB.Se cere să se demonstreze că EF ^ CuD.

PerpendicularEF, intersectându-se cu AB, cu siguranță se va intersecta și CuD. Fie punctul de intersecție H.

Să presupunem că acum CuD nu perpendicular pe EH. Apoi o altă linie, de exemplu HK, va fi perpendicular pe EHși deci prin același punct H Două drept paralel AB: unu CuD, după condiție, iar cealaltă HK asa cum sa dovedit inainte. Deoarece acest lucru este imposibil, nu se poate presupune că SW nu era perpendicular pe EH.