Rezolvând diverse probleme, de foarte multe ori trebuie să efectuăm transformări identice ale expresiilor. Dar se întâmplă că un fel de transformare este permisă în unele cazuri, dar nu în altele. DHS oferă asistență semnificativă în ceea ce privește monitorizarea admisibilității transformărilor în curs. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Esența abordării este următoarea: variabilele ODZ pentru expresia originală sunt comparate cu variabilele ODZ pentru expresia obținută ca urmare a efectuării unor transformări identice, iar pe baza rezultatelor comparației se trag concluzii adecvate.

În general, transformările identice pot

• nu afectează ODZ;
• duce la o extindere a DHS;
• duce la o îngustare a ODZ.

Să explicăm fiecare caz cu un exemplu.

Se consideră expresia x 2 +x+3·x , ODZ a variabilei x pentru această expresie este mulțimea R . Acum să facem următoarea transformare identică cu această expresie - să aducem termeni similari , ca rezultat va lua forma x 2 +4 x . În mod evident, variabila ODZ x a acestei expresii este și mulțimea R . Astfel, transformarea nu a schimbat ODZ.

Sa trecem peste. Luați expresia x+3/x−3/x . În acest caz, ODZ este determinată de condiția x≠0 , care corespunde mulțimii (−∞, 0)∪(0, +∞) . Această expresie conține și termeni similari, după reducerea cărora ajungem la expresia x, pentru care ODZ este R. Ce vedem: ca urmare a transformării, ODZ sa extins (numărul zero a fost adăugat la ODZ al variabilei x pentru expresia originală).

Rămâne de luat în considerare un exemplu de restrângere a intervalului de valori admisibile după transformări. Luați expresia . ODZ a variabilei x este determinată de inegalitatea (x−1) (x−3)≥0, potrivită pentru soluția acesteia, de exemplu, ca rezultat avem (−∞, 1]∪∪; editat de S. A. Telyakovskii . - 17- e ed. - M.: Educație, 2008. - 240 p.: ilustrații - ISBN 978-5-09-019315-3.

Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

Mordkovich A. G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. La ora 14.00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 2010.- 368 p. : Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Să începem prin a găsi domeniul de definire a sumei funcţiilor. Este clar că o astfel de funcție are sens pentru toate astfel de valori ale variabilei pentru care au sens toate funcțiile care alcătuiesc suma. Prin urmare, nu există nicio îndoială cu privire la validitatea următoarei afirmații:

Dacă funcția f este suma n funcții f 1 , f 2 , …, f n , adică funcția f este dată de formula y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) ) , atunci domeniul funcției f este intersecția domeniilor funcțiilor f 1 , f 2 , …, f n . Să-l scriem ca .

Să fim de acord să folosim în continuare înregistrări ca ultima, prin care ne referim la scrise între paranteze, sau la îndeplinirea simultană a oricăror condiții. Acest lucru este convenabil și rezonează destul de natural cu semnificația sistemelor.

Exemplu.

Având în vedere o funcție y=x 7 +x+5+tgx , și trebuie să găsim domeniul ei.

Decizie.

Funcția f este reprezentată prin suma a patru funcții: f 1 este o funcție de putere cu un exponent de 7 , f 2 este o funcție de putere cu un exponent de 1 , f 3 este o funcție constantă și f 4 este o funcție tangentă.

Privind tabelul de domenii de definire a funcțiilor elementare de bază, constatăm că D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3) =(−∞, +∞) , iar domeniul tangentei este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția numerelor .

Domeniul funcției f este intersecția domeniilor funcțiilor f 1 , f 2 , f 3 și f 4 . Este destul de evident că acesta este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția numerelor .

Răspuns:

mulţime de toate numerele reale, cu excepţia .

Să trecem la găsirea domenii ale produsului de funcţii. Pentru acest caz, o regulă similară este valabilă:

Dacă funcția f este produsul n funcții f 1 , f 2 , …, f n , adică funcția f este dată de formula y=f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x), atunci domeniul funcției f este intersecția domeniilor funcțiilor f 1 , f 2 , …, f n . Asa de, .

Este de înțeles, în zona indicată sunt definite toate funcțiile produsului și, prin urmare, funcția f în sine.

Exemplu.

Y=3 arctgx lnx .

Decizie.

Structura părții drepte a formulei care definește funcția poate fi considerată ca f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) , unde f 1 este o funcție constantă, f 2 este funcția arc tangentă și f 3 este funcția logaritmică cu baza e.

Știm că D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) și D(f 3)=(0, +∞) . Apoi .

Răspuns:

domeniul functiei y=3 arctgx lnx este multimea tuturor numerelor pozitive reale.

Să ne oprim separat la găsirea domeniului de definiție al funcției dat de formula y=C·f(x) , unde C este un număr real. Este ușor de arătat că domeniul acestei funcții și domeniul funcției f coincid. Într-adevăr, funcția y=C f(x) este produsul dintre o funcție constantă și o funcție f . Domeniul unei funcții constante este mulțimea tuturor numerelor reale, iar domeniul funcției f este D(f) . Atunci domeniul funcției y=C f(x) este , care urma să fie arătat.

Deci, domeniile funcțiilor y=f(x) și y=C·f(x) , unde С este un număr real, coincid. De exemplu, dacă domeniul rădăcinii este , devine clar că D(f) este mulțimea tuturor x din domeniul funcției f 2 pentru care f 2 (x) este inclus în domeniul funcției f 1 .

Prin urmare, domeniul unei funcții complexe y=f 1 (f 2 (x)) este intersecția a două mulțimi: mulțimea tuturor x astfel încât x∈D(f 2) și mulțimea tuturor x astfel încât f 2 (x)∈D(f 1 ). Adică în notația noastră (acesta este în esență un sistem de inegalități).

Să aruncăm o privire la câteva exemple. În acest proces, nu vom descrie în detaliu, deoarece acest lucru depășește scopul acestui articol.

Exemplu.

Aflați domeniul funcției y=lnx 2 .

Decizie.

Funcția originală poate fi reprezentată ca y=f 1 (f 2 (x)), unde f 1 este un logaritm cu baza e și f 2 este o funcție de putere cu exponent 2.

Revenind la domeniile cunoscute de definire a funcțiilor elementare de bază, avem D(f 1)=(0, +∞) și D(f 2)=(−∞, +∞) .

Apoi

Deci am găsit domeniul de definire al funcției de care aveam nevoie, este mulțimea tuturor numerelor reale cu excepția zero.

Răspuns:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Exemplu.

Care este domeniul de aplicare al funcției ?

Decizie.

Această funcție este complexă, poate fi considerată ca y \u003d f 1 (f 2 (x)) , unde f 1 este o funcție de putere cu exponent și f 2 este funcția arcsinus și trebuie să-i găsim domeniul.

Să vedem ce știm: D(f 1)=(0, +∞) și D(f 2)=[−1, 1] . Rămâne să găsim intersecția mulțimilor de valori x astfel încât x∈D(f 2) și f 2 (x)∈D(f 1) :

Pentru arcsinx>0, să ne amintim proprietățile funcției arcsinus. Arcsinusul crește pe întregul domeniu al definiției [−1, 1] și dispare la x=0 , prin urmare, arcsinx>0 pentru orice x din intervalul (0, 1] .

Să revenim la sistem:

Astfel, domeniul dorit de definire a funcției este un semi-interval (0, 1] .

Răspuns:

(0, 1] .

Acum să trecem la funcțiile generale complexe y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Domeniul funcției f în acest caz se găsește ca .

Exemplu.

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții .

Decizie.

Funcția complexă dată poate fi scrisă ca y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), unde f 1 - sin, f 2 - funcția rădăcinii gradului al patrulea, f 3 - lg.

Știm că D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪/ Mod de acces: Materiale site-uri www.fipi.ru, www.eg

Interval valid - există o soluție [Resursa electronică] / Mod de acces: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - interval de valori acceptabile, cum să găsiți ODZ [Resursa electronică] / Mod de acces: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

Gamă acceptabilă: teorie și practică [Resursa electronică] / Mod de acces: pandia.ru›text/78/083/13650.php

Ce este ODZ [Resursa electronică] / Modul de acces: www.cleverstudents.ru›odz.html

Ce este ODZ și cum să-l cauți - o explicație și un exemplu. Resursa electronica]/ Mod de acces: cos-cos.ru›math/82/

Anexa 1

Lucrare practică „ODZ: când, de ce și cum?”

Opțiunea 1	Opțiunea 2
│х+14│= 2 - 2х
	│3-х│=1 - 3х

Anexa 2

Răspunsuri la sarcinile lucrărilor practice „ODZ: când, de ce și cum?”

Opțiunea 1	Opțiunea 2
Răspuns: fără rădăcini	Răspuns: x este orice număr, cu excepția x=5
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Răspuns: fără rădăcini	ODZ: x=-3, x=5. Răspuns: -3;5.
y= -scade, y= -creşte Deci ecuația are cel mult o rădăcină. Răspuns: x=6.	ODZ: → →х≥5 Răspuns: x≥5, x≤-6.
│х+14│=2-2х ODZ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 nu aparține ODZ	Scade – crește Ecuația are cel mult o rădăcină. Răspuns: fără rădăcini.
0, ODZ: x≥3, x≤2 Răspuns: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Răspuns: fără rădăcini.
x=7, x=1. Răspuns: nicio soluție	Creștere - descrescătoare Răspuns: x=2.
0 ODZ: x≠15 Răspuns: x este orice număr, cu excepția x=15.	│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, х≤ x=-1, x=1 nu aparține ODZ. Răspuns: x=-1.